新人教A版高中数学选修2-2综合测试题【2】及答案
高中数学第一章导数及其应用1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)练习新人教A版选修2_2
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）[A 基础达标]1．函数y ＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选D.y ′＝[(x ＋1)2]′(x －1)＋(x ＋1)2(x －1)′ ＝2(x ＋1)(x －1)＋(x ＋1)2＝3x 2＋2x －1， 所以y ′|x ＝1＝4.2．函数y ＝cos(－x )的导数是( ) A ．cos x B ．－cos x C ．－sin xD ．sin x解析：选C.法一：[cos(－x )]′＝－sin(－x )·(－x )′＝sin(－x )＝－sin x . 法二：y ＝cos(－x )＝cos x ，所以[cos(－x )]′＝(cos x )′＝－sin x .3．(2018·郑州高二检测)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1，0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－1，0)解析：选C.因为f ′(x )＝2x －2－4x ＝2（x －2）（x ＋1）x，又x >0，所以f ′(x )>0即x－2>0，解得x >2.4．对于函数f (x )＝e xx 2＋ln x －2kx，若f ′(1)＝1，则k 等于( )A.e 2B.e 3 C ．－e 2D ．－e 3解析：选A.因为f ′(x )＝e x（x －2）x 3＋1x ＋2kx2，所以f ′(1)＝－e ＋1＋2k ＝1，解得k ＝e2，故选A. 5．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2e xf ′(1)＋3ln x ，则f ′(1)＝( )A ．－3B ．2eC.21－2eD.31－2e解析：选D.因为f ′(1)为常数， 所以f ′(x )＝2e xf ′(1)＋3x，所以f ′(1)＝2e f ′(1)＋3， 所以f ′(1)＝31－2e.6．若f (x )＝log 3(2x －1)，则f ′(2)＝________． 解析：因为f ′(x )＝[log 3(2x －1)] ′＝ 1（2x －1）ln 3(2x －1)′＝2（2x －1）ln 3，所以f ′(2)＝23ln 3.答案：23ln 37．已知函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，若f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝________. 解析：法一：由f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，得f ′(x )＝4ax 3＋2bx .因为f ′(1)＝2， 所以4a ＋2b ＝2， 即2a ＋b ＝1.则f ′(－1)＝－4a －2b ＝－2(2a ＋b )＝－2. 法二：因为f (x )是偶函数， 所以f ′(x )是奇函数， 所以f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2. 答案：－28．已知f (x )＝exx，若f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，则x 0的值为________．解析：因为f ′(x )＝（e x ）′x －e x x ′x 2＝e x（x －1）x2(x ≠0)． 所以由f ′(x 0)＋f (x 0)＝0， 得e x0（x 0－1）x 20＋e x0x 0＝0. 解得x 0＝12.答案：129．求下列函数的导数： (1)y ＝cos(1＋x 2)； (2)y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3； (3)y ＝ln(2x 2＋x )； (4)y ＝x ·2x －1.解：(1)设u ＝1＋x 2，y ＝cos u ，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(cos u )′·(1＋x 2)′ ＝－sin u ·2x ＝－2x sin(1＋x 2)． (2)设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3，则y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝2u ·cos v ·2 ＝4sin v ·cos v＝2sin 2v ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3. (3)设u ＝2x 2＋x ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(ln u )′·(2x 2＋x )′ ＝1u ·(4x ＋1)＝4x ＋12x 2＋x. (4)y ′＝x ′·2x －1＋x ·(2x －1)′. 先求t ＝2x －1的导数． 设u ＝2x －1，则t ＝u 12，t ′x ＝t ′u ·u ′x ＝12·u －12·(2x －1)′＝12×12x －1×2＝12x －1 . 所以y ′＝2x －1＋x 2x －1＝3x －12x －1. 10．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1，1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a 、b 、c 的值．解：因为曲线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点P (1，1)， 所以a ＋b ＋c ＝1.① 因为y ′＝2ax ＋b ，所以4a ＋b ＝1.②又因为曲线过点Q (2，－1)， 所以4a ＋2b ＋c ＝－1.③ 联立①②③，解得a ＝3，b ＝－11，c ＝9.[B 能力提升]11．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215解析：选 C.因为f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝8，所以f ′(0)＝84＝212.12．给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″ (x )＝(f ′(x ))′.若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上不是凸函数的是( )A ．f (x )＝sin x ＋cos xB ．f (x )＝ln x －2xC ．f (x )＝－x 3＋2x －1D ．f (x )＝－x e －x解析：选D.若f (x )＝sin x ＋cos x ，则f ″(x )＝－sin x －cos x ，在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上，恒有f ″(x )<0；若f (x )＝ln x －2x ，则f ″(x )＝－1x 2，在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上，恒有f ″(x )<0；若f (x )＝－x 3＋2x －1，则f ″(x )＝－6x ，在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上，恒有f ″(x )<0；若f (x )＝－xe－x，则f ″(x )＝2e－x－x e－x＝(2－x )e －x，在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上，恒有f ″(x )>0，不是凸函数．13．已知曲线y ＝e 2x·cos 3x 在点(0，1)处的切线与直线l 的距离为5，求直线l 的方程．解：因为y ′＝(e 2x)′·cos 3x ＋e 2x·(cos 3x )′＝2e 2x·cos 3x －3e 2x·sin 3x ， 所以y ′|x ＝0＝2，所以经过点(0，1)的切线方程为y －1＝2(x －0)， 即y ＝2x ＋1.设符合题意的直线方程为y ＝2x ＋b ，根据题意，得5＝|b －1|5，解得b ＝6或－4. 所以符合题意的直线方程为y ＝2x ＋6或y ＝2x －4. 14．(选做题)已知函数f (x )＝ax 2＋ln x 的导数为f ′(x )． (1)求f (1)＋f ′(1)；(2)若曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，求实数a 的取值范围． 解：(1)由题意，函数的定义域为(0，＋∞)， 由f (x )＝ax 2＋ln x ， 得f ′(x )＝2ax ＋1x，所以f (1)＋f ′(1)＝3a ＋1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x ∈(0，＋∞)内导函数f ′(x )＝2ax ＋1x存在零点，即f ′(x )＝0⇒2ax ＋1x＝0有正实数解，即2ax 2＝－1有正实数解，故有a <0，所以实数a 的取值范围是(－∞，0)．。
人教a版数学【选修2-2】练习：1.3.2函数的极值与导数(含答案)
选修2-2 第一章 1.3 1.3.2一、选择题1．已知函数f (x )在点x 0处连续，下列命题中，正确的是( ) A ．导数为零的点一定是极值点B ．如果在点x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极小值C ．如果在点x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值D ．如果在点x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极大值 [答案] C[解析] 导数为0的点不一定是极值点，例如f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2，f ′(0)＝0，但x ＝0不是f (x )的极值点，故A 错；由极值的定义可知C 正确，故应选C.2．(2013·北师大附中高二期中)函数y ＝14x 4－13x 3的极值点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] B[解析] y ′＝x 3－x 2＝x 2(x －1)，由y ′＝0得x 1＝0，x 2＝1. 当x 变化时，y ′、y 的变化情况如下表3．函数y ＝ax 3＋bx 2取得极大值和极小值时的x 的值分别为0和13，则( )A ．a －2b ＝0B ．2a －b ＝0C ．2a ＋b ＝0D ．a ＋2b ＝0[答案] D[解析] y ′＝3ax 2＋2bx 由题设0和13是方程3ax 2＋2bx ＝0的两根，∴a ＋2b ＝0.4．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9[答案] D[解析] f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ＝0的一根为x ＝1，即12－2a －2b ＝0. ∴a ＋b ＝6，∴ab ≤(a ＋b 2)2＝9，当且仅当a ＝b ＝3时“＝”号成立．5．已知实数a 、b 、c 、d 成等比数列，且曲线y ＝3x －x 3的极大值点坐标为(b ，c )，则ad 等于( )A ．2B ．1C ．－1D ．－2[答案] A[解析] ∵a 、b 、c 、d 成等比数列，∴ad ＝bc ， 又(b ，c )为函数y ＝3x －x 3的极大值点， ∴c ＝3b －b 3，且0＝3－3b 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，c ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝－2.∴ad ＝2. 6．(2013·辽宁实验中学期中)函数f (x )＝－x e x (a <b <1)，则( )A ．f (a )＝f (b )B ．f (a )<f (b )C ．f (a )>f (b )D ．f (a )，f (b )的大小关系不能确定[答案] C[解析] f ′(x )＝(－x e x )′＝(－x )′·e x －(－x )·(e x )′(e x )2＝x －1e x. 当x <1时，f ′(x )<0，∴f (x )为减函数， ∵a <b <1，∴f (a )>f (b )． 二、填空题7．(2014·福建安溪一中、养正中学联考)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．[答案] 4x －y －3＝0[解析] y ′|x ＝1＝(3ln x ＋4)|x ＝1＝4，∴切线方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0. 8．(2014·河北冀州中学期中)若函数f (x )＝x ＋a sin x 在R 上递增，则实数a 的取值范围为________．[答案] [－1,1][解析] f ′(x )＝1＋a cos x ，由条件知f ′(x )≥0在R 上恒成立，∴1＋a cos x ≥0，a ＝0时显然成立；a >0时，∵－1a ≤cos x 恒成立，∴－1a ≤－1，∴a ≤1，∴0<a ≤1；a <0时，∵－1a≥cos x 恒成立，∴－1a≥1，∴a ≥－1，即－1≤a <0，综上知－1≤a ≤1.9．设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点，则常数a ＝________. [答案] －23[解析] f ′(x )＝ax ＋2bx ＋1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a 2＋4b ＋1＝0.∴a ＝－23.三、解答题10．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1时取得极值，且f (1)＝－1. (1)试求常数a 、b 、c 的值；(2)试判断x ＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由． [解析] (1)由f ′(－1)＝f ′(1)＝0，得3a ＋2b ＋c ＝0,3a －2b ＋c ＝0. 又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1. ∴a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)f (x )＝12x 3－32x ，∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)．当x <－1或x >1时，f ′(x )>0；当－1<x <1时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上为减函数．∴当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1；当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1. [点评] 若函数f (x )在x 0处取得极值，则一定有f ′(x 0)＝0，因此我们可根据极值得到两个方程，再由f (1)＝－1得到一个方程，解上述方程组成的方程组可求出参数．一、选择题11．(2014·山东省德州市期中)已知函数f (x )＝e x (sin x －cos x )，x ∈(0,2013π)，则函数f (x )的极大值之和为( )A ．e 2π(1－e 2012π)e 2π－1B ．e π(1－e 2012π)1－e 2πC ．e π(1－e 1006π)1－e 2πD ．e π(1－e 1006π)1－e π[答案] B[解析] f ′(x )＝2e x sin x ，令f ′(x )＝0得sin x ＝0，∴x ＝k π，k ∈Z ，当2k π<x <2k π＋π时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当(2k －1)π<x <2k π时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴当x ＝(2k ＋1)π时，f (x )取到极大值，∵x ∈(0,2013π)，∴0<(2k ＋1)π<2013π，∴0≤k <1006，k ∈Z .∴f (x )的极大值之和为S ＝f (π)＋f (3π)＋f (5π)＋…＋f (2011π)＝e π＋e 3π＋e 5π＋…＋e 2011π＝e π[1－(e 2π)1006]1－e 2π＝e π(1－e 2012π)1－e 2π，故选B.12．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点，则f (x )的极大值、极小值分别为( )A ．427，0B ．0，427C ．－427，0D ．0，－427[答案] A[解析] f ′(x )＝3x 2－2px －q ， 由f ′(1)＝0，f (1)＝0得，⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1，∴f (x )＝x 3－2x 2＋x . 由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0得x ＝13或x ＝1，易得当x ＝13时f (x )取极大值427.当x ＝1时f (x )取极小值0.13．(2014·西川中学高二期中)已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是( )A ．－1<a <2B ．－3<a <6C ．a <－3或a >6D ．a <－1或a >2[答案] C[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6， ∵f (x )有极大值与极小值， ∴f ′(x )＝0有两不等实根，∴Δ＝4a 2－12(a ＋6)>0，∴a <－3或a >6. 二、填空题14．已知函数y ＝x 3＋ax 2＋bx ＋27在x ＝－1处有极大值，在x ＝3处有极小值，则a ＝________________，b ＝________.[答案] －3 －9[解析] y ′＝3x 2＋2ax ＋b ，方程y ′＝0有根－1及3，由韦达定理应有⎩⎨⎧－1＋3＝－2a3，－3＝b 3.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－9.经检验a ＝－3，b ＝－9符合题意． 三、解答题15．(2013·新课标Ⅰ文，20)已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． [解析] (1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4. 由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)(e x －12)．令f ′(x )＝0得，x ＝－ln2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln2)时，f ′(x )<0. 故f (x )在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减． 当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．16．(2014·三峡名校联盟联考)已知函数f (x )＝ln x ＋x 2＋ax . (1)当a ＝－3时，求函数y ＝f (x )的极值点；(2)当a ＝－4时，求方程f (x )＋x 2＝0在(1，＋∞)上的根的个数． [解析] (1)f (x )＝ln x ＋x 2－3x ，f ′(x )＝1x ＋2x －3，令f ′(x )＝0，则x ＝1或x ＝12，由f ′(x )>0得0<x <12，或x >1，∴f (x )在(0，12)和(1，＋∞)上单调递增，在(12，1)上单调递减，∴f (x )的极大值点x ＝12，极小值点x ＝1.(2)当a ＝－4时，f (x )＋x 2＝0，即ln x ＋2x 2－4x ＝0， 设g (x )＝ln x ＋2x 2－4x ，则g ′(x )＝1x ＋4x －4＝4x 2－4x ＋1x ≥0，则g (x )在(0，＋∞)上单调递增，又g (1)＝－2<0，g (2)＝ln2>0， 所以g (x )在(1，＋∞)上有唯一实数根．17．(2014·温州八校联考)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋b (a 、b ∈R )． (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若对任意a ∈[3,4]，函数f (x )在R 上都有三个零点，求实数b 的取值范围． [解析] (1)∵f (x )＝－x 3＋ax 2＋b ， ∴f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝－3x (x －2a 3)．当a ＝0时，f ′(x )≤0函数f (x )没有单调递增区间； 当a >0时，令f ′(x )>0，得0<x <2a3，函数f (x )的单调递增区间为(0，23a )；当a <0时，令f ′(x )>0，得2a3<x <0， 函数f (x )的单调递增区间为(23a,0)．(2)由(1)知，a ∈[3,4]时，x 、f ′(x )、f (x )的取值变化情况如下：∴f (x )极小值＝f (0)＝b ，f (x )极大值＝f (2a 3)＝4a 327＋b ，∵对任意a ∈[3,4]，f (x )在R 上都有三个零点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)<0，f (2a 3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧b <0，4a 327＋b >0.得－4a 327<b <0.∵对任意a ∈[3,4]，b >－4a 327恒成立，∴b >(－4a 327)max ＝－4×3327＝－4.∴实数b 的取值范围是(－4,0)．。
人教a版数学【选修2-2】练习：1.2.2基本初等函数的导数公式(一)(含答案)
选修2-2 第一章 1.2 1.2.2 第1课时一、选择题1．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( ) A ．4x －y －3＝0 B ．x ＋4y －5＝0 C ．4x －y ＋3＝0 D ．x ＋4y ＋3＝0[答案] A[解析] ∵直线x ＋4y －8＝0的斜率k ＝－14，∴直线l 的斜率为4，而y ′＝4x 3，由y ′＝4得x ＝1而x ＝1时，y ＝1，故直线l 的方程为：y －1＝4(x －1)即4x －y －3＝0.2．已知f (x )＝ax 3＋9x 2＋6x －7，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于( ) A ．193B ．163C ．103D ．133[答案] B[解析] ∵f ′(x )＝3ax 2＋18x ＋6，∴由f ′(－1)＝4得，3a －18＋6＝4，即a ＝163.∴选B.3．(2014·山师附中高二期中)设f (x )＝sin x －cos x ，则f (x )在x ＝π4处的导数f ′(π4)＝( )A ． 2B ．－ 2C ．0D ．22[答案] A[解析] ∵f ′(x )＝cos x ＋sin x ， ∴f ′(π4)＝cos π4＋sin π4＝2，故选A.4．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·…·x n的值为( )A ．1nB ．1n ＋1C ．n n ＋1D ．1[答案] B[解析] 对y ＝x n ＋1(n ∈N *)求导得y ′＝(n ＋1)x n ，令x ＝1得在点(1,1)处的切线的斜率k＝n ＋1，在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x n －1)．令y ＝0，得x n ＝nn ＋1.则x 1·x 2·…·x n ＝12×23×34×…×n －1n ×n n ＋1＝1n ＋1，故选B.5．(2014·合肥一六八高二期中)下列函数中，导函数是奇函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝e x C ．y ＝ln x D ．y ＝cos x －12[答案] D[解析] 由y ＝sin x 得y ′＝cos x 为偶函数，故A 错；又y ＝e x 时，y ′＝e x 为非奇非偶函数，∴B 错；C 中y ＝ln x 的定义域x >0，∴C 错；D 中y ＝cos x －12时，y ′＝－sin x 为奇函数，∴选D.6．已知物体的运动方程是s ＝14t 4－4t 3＋16t 2(t 表示时间，s 表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是( )A ．0秒、2秒或4秒B ．0秒、2秒或16秒C ．2秒、8秒或16秒D ．0秒、4秒或8秒 [答案] D[解析] 显然瞬时速度v ＝s ′＝t 3－12t 2＋32t ＝t (t 2－12t ＋32)，令v ＝0可得t ＝0,4,8.故选D.二、填空题7．过曲线y ＝cos x 上点P ⎝⎛⎭⎫π3，12且与在这点的切线垂直的直线方程为________． [答案] 2x －3y －2π3＋32＝0[解析] ∵y ＝cos x ，∴y ′＝－sin x ， 曲线在点P ⎝⎛⎭⎫π3，12处的切线斜率是 y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为23， ∴所求的直线方程为y －12＝23⎝⎛⎭⎫x －π3， 即2x －3y －2π3＋32＝0.[点评] 在确定与切线垂直的直线方程时，应注意考察函数在切点处的导数y ′是否为零，当y ′＝0时，切线平行于x 轴，过切点P 垂直于切线的直线斜率不存在．8．(2014·杭州质检)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为________． [答案] (2，＋∞)[解析] 由f (x )＝x 2－2x －4ln x ，得函数定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝2x －2－4x ＝2x 2－2x －4x ＝2·x 2－x －2x ＝2·(x ＋1)(x －2)x ，f ′(x )>0，解得x >2，故f ′(x )>0的解集为(2，＋∞)．9．在曲线y ＝4x 2上求一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P 点坐标为________．[答案] (2,1)[解析] 设P (x 0，y 0)，∵y ′＝⎝⎛⎭⎫4x 2′＝(4x －2)′＝－8x －3，tan135°＝－1， ∴－8x －30＝－1.∴x 0＝2，y 0＝1.三、解答题10．求下列函数的导数：(1)y ＝x (x 2＋1x ＋1x 3)；(2)y ＝(x ＋1)(1x －1)；(3)y ＝sin 4x 4＋cos 4x4；(4)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x .[解析] (1)∵y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x 2， ∴y ′＝3x 2－2x 3.(2)∵y ＝(x ＋1)⎝⎛⎭⎫1x －1＝－x 12＋x －12，∴y ′＝－12x －12－12x －32＝－12x ⎝⎛⎭⎫1＋1x . (3)∵y ＝sin 4x 4＋cos 4x4＝⎝⎛⎭⎫sin 2x 4＋cos 2x 42－2sin 2x 4cos 2x4＝1－12sin 2x 2＝1－12·1－cos x 2＝34＋14cos x ，∴y ′＝－14sin x .(4)∵y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x＝2＋2x 1－x ＝41－x－2， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2.一、选择题11．(2014·长春市期末调研)已知直线y ＝kx 是y ＝ln x 的切线，则k 的值为( ) A ．－e B ．e C ．－1eD ．1e[答案] D[解析] y ′＝1x ＝k ，∴x ＝1k ，切点坐标为⎝⎛⎭⎫1k ，1， 又切点在曲线y ＝ln x 上，∴ln 1k ＝1，∴1k ＝e ，k ＝1e.12．(2014·山师附中高二期中)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2 [答案] C[解析] 由条件知，点A 在直线上，∴k ＝2，又点A 在曲线上，∴a ＋b ＋1＝3，∴a ＋b ＝2.由y ＝x 3＋ax ＋b 得y ′＝3x 2＋a ，∴3＋a ＝k ，∴a ＝－1，∴b ＝3，∴2a ＋b ＝1.13．若函数f (x )＝e x sin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( ) A ．π2B ．0C ．钝角D ．锐角 [答案] C[解析] y ′|x ＝4＝(e x sin x ＋e x cos x )|x ＝4＝e 4(sin4＋cos4)＝2e 4sin(4＋π4)<0，故倾斜角为钝角，选C.14．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2013(x )等于( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x[答案] C[解析]f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)＝(sin x)′＝cos x，f2(x)＝f1′(x)＝(cos x)′＝－sin x，f3(x)＝f2′(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f4(x)＝f3′(x)＝(－cos x)′＝sin x，∴4为最小正周期，∴f2013(x)＝f1(x)＝cos x.故选C.二、填空题15．等比数列{a n}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝________.[答案]212[解析]f′(x)＝x′·[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]＋[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′·x＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′·x，所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)...(0－a8)＋[(0－a1)(0－a2)...(0－a8)]′.0＝a1a2 (8)因为数列{a n}为等比数列，所以a2a7＝a3a6＝a4a5＝a1a8＝8，所以f′(0)＝84＝212.16．(2014·宁夏三市联考)经过点P(2,1)且与曲线f(x)＝x3－2x2＋1相切的直线l的方程是________．[答案]4x－y－7＝0或y＝1[解析]设切点为(x0，x30－2x20＋1)，由k＝f′(x0)＝3x20－4x0，可得切线方程为y－(x30－2x20＋1)＝(3x20－4x0)(x－x0)，代入点P(2,1)解得：x0＝0或x0＝2.当x0＝0时切线方程为y＝1；当x0＝2时切线方程为4x－y－7＝0.综上得直线l的方程是：4x－y－7＝0或y＝1.三、解答题17．已知两条曲线y＝sin x、y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．[解析]由于y＝sin x、y＝cos x，设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)，∴两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为k1＝y′|x＝x0＝cos x0，k2＝y′|x＝x0＝－sin x0.若使两条切线互相垂直，必须cos x0·(－sin x0)＝－1，即sin x0·cos x0＝1，也就是sin2x0＝2，这是不可能的，∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．18．已知函数f (x )＝ax －6x 2＋b 的图象在点M (－1，f (－1))处的切线的方程为x ＋2y ＋5＝0，求函数的解析式．[分析] f (x )在点M 处切线方程为x ＋2y ＋5＝0有两层含义，(一)是点M 在f (x )的图象上，且在直线x ＋2y ＋5＝0上，(二)是f ′(－1)＝－12.[解析] 由条件知，－1＋2f (－1)＋5＝0， ∴f (－1)＝－2， ∴－a －61＋b＝－2，(1) 又直线x ＋2y ＋5＝0的斜率k ＝－12，∴f ′(－1)＝－12，∵f ′(x )＝－ax 2＋12x ＋ab(x 2＋b )2，∴－a －12＋ab (1＋b )2＝－12，(2) 由(1)(2)解得，a ＝2，b ＝3.(∵b ＋1≠0，∴b ＝－1舍去)． ∴所求函数解析式为f (x )＝2x －6x 2＋3.。
最新人教版高中数学选修2-2综合测试题及答案2套
最新人教版高中数学选修2-2综合测试题及答案2套最新人教版高中数学选修2-2综合测试题及答案2套一、选择题1.复数z＝2－i(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：∵z＝2－i＝5/√26－i√26/√26＝(5-i√26)/√26。
在第四象限．∴复数z对应的点的坐标为(2.-1)。
答案：D2.函数f(x)＝x^3＋4x＋5的图象在x＝1处的切线在x轴上的截距为()A．10/3B．5/7C．－1/7D．－3/7解析：f′(x)＝3x^2＋4，f′(1)＝7，f(1)＝10，y－10＝7(x－1)，y＝0时，x＝－3/7.答案：D3.类比下列平面内的三个结论所得的空间内的结论成立的是()①平行于同一直线的两条直线平行；②一条直线如果与两条平行直线中的一条垂直，则必与另一条垂直；③如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必与另一条相交。
A．①②③B．①③C．①D．②③解析：类比①的结论为：平行于同一个平面的两个平面平行，成立；类比②的结论为：一个平面如果与两个平行平面中的一个垂直，则必与另一个垂直，成立；类比③的结论为：如果一个平面与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，成立。
答案：A4.函数y＝x^3－3x^2－9x(－2<x<2)有()A．极大值5，极小值－27B．极大值5，极小值－11C．极大值5，无极小值D．极小值－27，无极大值解析：y′＝3x^2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)，得x＝－1，x＝3，当x0；当x>－1时，y′<0.当x＝－1时，y极大值＝5，x取不到3，无极小值。
答案：C5.函数y＝4x^2＋1/x的单调递增区间是()A．(0，＋∞)B．(－∞，1)C．(1，2)D．(2，＋∞)解析：令y′＝8x－1/x^2＝0，得x=1/2，y′＜0时，x＜1/2；y′＞0时，x＞1/2.答案：C6.下列计算错误的是()A．∫π－πsinxdx＝0B．∫1/2xdx＝1/8C．∫(x^2－1)(x＋1)dx＝∫(x^3－x^2＋x－1)dxD．∫(x^2＋1)/(x^2－2x＋2)dx＝∫(1＋2/(x^2－2x＋2))dx解析：B选项计算错误，正确结果为∫1/2xdx＝1/8.答案：B1.剔除格式错误和明显有问题的段落：无明显问题的段落为第7、9、10、11题，保留。
最新人教版高中数学选修2-2综合测试题及答案2套
最新人教版高中数学选修2-2综合测试题及答案2套模块综合检测(A)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数z ＝2－i2＋i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析： ∵z ＝2－i 2＋i ＝(2－i )2(2＋i )(2－i )＝4－4i －15＝35－45i ，∴复数z 对应的点的坐标为⎝⎛⎭⎫35，－45，在第四象限． 答案： D2．函数f (x )＝x 3＋4x ＋5的图象在x ＝1处的切线在x 轴上的截距为( ) A ．10 B ．5 C ．－1D ．－37解析： f ′(x )＝3x 2＋4，f ′(1)＝7，f (1)＝10，y －10＝7(x －1)，y ＝0时，x ＝－37.答案： D3．类比下列平面内的三个结论所得的空间内的结论成立的是( ) ①平行于同一直线的两条直线平行；②一条直线如果与两条平行直线中的一条垂直，则必与另一条垂直； ③如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必与另一条相交． A ．①②③ B ．①③ C ．①D ．②③解析： 类比①的结论为：平行于同一个平面的两个平面平行，成立；类比②的结论为：一个平面如果与两个平行平面中的一个垂直，则必与另一个垂直，成立；类比③的结论为：如果一个平面与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，成立．答案： A4．函数y ＝x 3－3x 2－9x (－2<x <2)有( ) A ．极大值5，极小值－27 B ．极大值5，极小值－11 C ．极大值5，无极小值D ．极小值－27，无极大值解析： y ′＝3x 2－6x －9＝0，得x ＝－1，x ＝3，当x <－1时，y ′>0；当x >－1时，y ′<0. 当x ＝－1时，y 极大值＝5，x 取不到3，无极小值． 答案： C5．函数y ＝4x 2＋1x 的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1)C ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞D ．(1，＋∞)解析： 令y ′＝8x －1x 2＝8x 3－1x 2>0，即(2x －1)(4x 2＋2x ＋1)>0，且x ≠0，得x >12.答案： C6．下列计算错误的是( ) A ．⎠⎛π－πsin x d x ＝0B ．⎠⎛1x d x ＝23C ．cos x d x ＝2cos x d xD ．⎠⎛π－πsin 2x d x ＝0解析： 由微积分基本定理或定积分的几何意义易得结果． 答案： D7．用数学归纳法证明1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>1(n ∈N ＋)时，在验证n ＝1时，左边的代数式为( )A ．12＋13＋14B ．12＋13C ．12D ．1解析： 当n ＝1时，不等式左边为11＋1＋11＋2＋13×1＋1＝12＋13＋14.答案： A8．函数y ＝ax 3－x 在(－∞，＋∞)上的减区间是[－1,1]，则( ) A ．a ＝13B ．a ＝1C ．a ＝2D ．a ≤0解析： x ∈[－1,1]，y ′＝3ax 2－1≤0，且y ′|x ＝±1＝0， ∴3a ＝1，a ＝13.答案： A9．若z1，z2∈C，则z1z2＋z1z2是()A．纯虚数B．实数C．虚数D．不能确定解析：设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则z1z2＋z1z2＝(a＋b i)(c－d i)＋(a －b i)(c＋d i)＝(2ac＋2bd)∈R.答案：B10．设z＝log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－3)(m∈R)，若z对应的点在直线x－2y＋1＝0上，则m的值是()A．±15 B．15C．－15 D．15解析：log2(m2－3m－3)－2log2(m－3)＋1＝0，log2m2－3m－3(m－3)2＝－1，m2－3m－3(m－3)2＝12，m＝±15，而m>3，所以m＝15.答案：B11．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为()A．(－1,1) B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)解析：设m(x)＝f(x)－(2x＋4)，则m′(x)＝f′(x)－2>0，∴m(x)在R上是增函数．∵m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0，∴m(x)>0的解集为{x|x>－1}，即f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)．答案：B12．按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律，写出后一种化合物的分子式是()A ．C 4H 9B ．C 4H 10 C ．C 4H 11D ．C 6H 12解析： 后一种化合物应有4个C 和10个H ， 所以分子式是C 4H 10. 答案： B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知复数z ＝－1＋i1＋i －1，则在复平面内，z 所对应的点在第__________ 象限．解析： z ＝－1＋i1＋i －1＝－1＋i.答案： 二14．垂直于直线2x －6y ＋1＝0并且与曲线y ＝x 3＋3x 2－5相切的直线方程是________． 解析： 设切点为P (a ，b )，函数y ＝x 3＋3x 2－5的导数为y ′＝3x 2＋6x ，切线的斜率k ＝y ′|x ＝a ＝3a 2＋6a ＝－3，得a ＝－1，代入到y ＝x 3＋3x 2－5，得b ＝－3，即P (－1，－3)，y ＋3＝－3(x ＋1)，3x ＋y ＋6＝0.答案： 3x ＋y ＋6＝015．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与直线y ＝0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为274，则a 的值为________．解析： 由题意可知，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(0)＝0 ∴b ＝0，∴f (x )＝x 2(x ＋a )，有274＝∫－a 0[0－(x 3＋ax 2)]d x ＝－⎝⎛⎭⎫x 44＋ax 33| －a 0＝a 412，∴a ＝±3. 又－a >0⇒a <0，得a ＝－3.答案： －316．若Rt △ABC 中两直角边为a ，b ，斜边c 上的高为h ，则1h 2＝1a 2＋1b 2，如图，在正方体的一角上截取三棱锥P －ABC ，PO 为棱锥的高，记M ＝1PO 2，N ＝1P A 2＋1PB 2＋1PC 2，那么M ，N 的大小关系是________．解析： 在Rt △ABC 中，c 2＝a 2＋b 2①，由等面积法得ch ＝ab ， ∴c 2·h 2＝a 2·b 2②，①÷②整理得1h 2＝1a 2＋1b2.类比得，S 2△ABC ＝S 2△P AB ＋S 2△PBC ＋S 2△P AC ③，由等体积法得S △ABC ·PO ＝12P A ·PB ·PC ，∴S 2△ABC ·PO 2＝14P A 2·PB 2·PC 2④， ③÷④整理得M ＝N . 答案： M ＝N三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知曲线y ＝5x ，求： (1)曲线上与直线y ＝2x －4平行的切线方程； (2)求过点P (0,5)且与曲线相切的切线方程． 解析： (1)设切点为(x 0，y 0)，由y ＝5x ， 得y ′|x ＝x 0＝52x 0.∵切线与y ＝2x －4平行， ∴52x 0＝2，∴x 0＝2516，∴y 0＝254，则所求切线方程为y －254＝2⎝⎛⎭⎫x －2516，即2x －y ＋258＝0. (2)∵点P (0,5)不在曲线y ＝5x 上，故需设切点坐标为M (x 1，y 1)，则切线斜率为52x 1.又∵切线斜率为y 1－5x 1，∴52x 1＝y 1－5x 1＝5x 1－5x 1，∴2x 1－2x 1＝x 1，得x 1＝4.∴切点为M (4,10)，斜率为54，∴切线方程为y －10＝54(x －4)，即5x －4y ＋20＝0.18．(本小题满分12分)设复数z 满足|z |＝1且(3＋4i)z 是纯虚数，求复数z . 解析： 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由|z |＝1，得a 2＋b 2＝1. ①(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝3a －4b ＋(4a ＋3b )i 是纯虚数，则3a －4b ＝0. ②联立①②解得⎩⎨⎧a ＝45，b ＝35或⎩⎨⎧a ＝－45，b ＝－35.所以z ＝45＋35i 或z ＝－45－35i.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋1的图象经过点(1，－3)且在x ＝1处，f (x )取得极值．求：(1)函数f (x )的解析式；(2)f (x )的单调递增区间．解析： (1)由f (x )＝ax 3＋bx ＋1的图象过点(1，－3)得a ＋b ＋1＝－3， ∵f ′(x )＝3ax 2＋b ， 又f ′(1)＝3a ＋b ＝0，∴由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－43a ＋b ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－6，∴f (x )＝2x 3－6x ＋1. (2)∵f ′(x )＝6x 2－6，∴由f ′(x )>0得x >1或x <－1，∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)．20．(本小题满分12分)已知a >b >c ，求证：1a －b ＋1b －c ≥4a －c.证明： 已知a >b >c ，因为a －ca －b ＋a －c b －c ＝a －b ＋b －c a －b ＋a －b ＋b －c b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －bb －c ≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4，所以a －ca －b ＋a －c b －c ≥4，即1a －b ＋1b －c ≥4a －c.21．(本小题满分13分)用总长14.8 m 的钢条做一个长方体容器的框架．如果所做容器的底面的一边长比另一边长多0.5 m ，那么高是多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．解析： 设该容器底面的一边长为x m ，则另一边长为(x ＋0.5)m ，此容器的高为h ＝14.84－x －(x ＋0.5)＝3.2－2x (0<x <1.6)．于是，此容器的容积为V (x )＝x (x ＋0.5)(3.2－2x )＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x ，其中0<x <1.6. 由V ′(x )＝－6x 2＋4.4x ＋1.6＝0，得x ＝1或x ＝－415(舍去)．因为V (x )在(0,1.6)内只有一个极值点，且x ∈(0,1)时，V ′(x )>0，函数V (x )单调递增；x ∈(1,1.6)时，V ′(x )<0，函数V (x )单调递减．所以，当x ＝1时，函数V (x )有最大值V (1)＝1×(1＋0.5)×(3.2－2×1)＝1.8(m 3)，h ＝3.2－2＝1.2(m)．即当高为1.2 m 时，长方体容器的容积最大，最大容积为1.8 m 3.22．(本小题满分13分)设函数f (x )＝x 22(x －1)，给定数列{a n }，其中a 1＝a >1，a n ＋1＝f (a n )(n∈N ＋)．(1)若{a n }为常数列，求a 的值；(2)判断a n 与2的大小，并证明你的结论． 解析： (1)若{a n }为常数列，则a n ＝a . 由a n ＋1＝f (a n )，得a ＝f (a )． 因为f (x )＝x 22(x －1)，所以a ＝a 22(a －1).又a >1，所以a ＝2(a －1)，解得a ＝2. (2)当a ＝2时，由(1)知a n ＝2.当a ≠2时，因为a 1＝a ，a n ＋1＝f (a n )＝a 2n2(a n －1)，所以a 2＝a 212(a 1－1)＝a 22(a －1).所以a 2－2＝a 22(a －1)－2＝a 2－4a ＋42(a －1)＝(a －2)22(a －1)>0，即a 2>2.因为a 3－2＝a 222(a 2－1)－2＝(a 2－2)22(a 2－1)>0，所以a 3>2.猜想当n ≥2时，a n >2. 下面用数学归纳法证明：①n ＝2时，a 2>2，显然猜想成立． ②假设当n ＝k (k ≥2)时，猜想成立，即a k >2. 当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝f (a k )＝a 2k2(a k －1)，所以a k ＋1－2＝a 2k －4a k ＋42(a k －1)＝(a k －2)22(a k －1).由a k >2，知a k ＋1－2>0，所以a k ＋1>2.根据①和②可知，当a ≠2时，对于一切不小于2的正整数n 都有a n >2.综上所述，当a ＝2时，a n ＝2；当1<a <2时，a 1<2，a n >2(n ≥2)；当a >2时，a n >2.模块综合检测(B)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z 的共轭复数z ＝1＋2i(i 为虚数单位)，则z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析： 求出复数z ，再确定z 对应的点的坐标．∵z ＝1＋2i ，∴z ＝1－2i ，∴z 在复平面内对应的点位于第四象限． 答案： D2．已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( )解析： 根据导函数值的大小变化情况，确定原函数的变化情况．从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x ＝0时最大，所以函数f (x )的图象的变化率也先增大后减小，在x ＝0时变化率最大．A 项，在x ＝0时变化率最小，故错误；C 项，变化率是越来越大的，故错误；D 项，变化率是越来越小的，故错误．B 项正确．答案： B3．“因为指数函数y ＝a x 是增函数(大前提)，而y ＝⎝⎛⎭⎫13x是指数函数(小前提)，所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x是增函数(结论)”，上面推理的错误在于( )A ．大前提错误导致结论错B ．小前提错误导致结论错C ．推理形式错误导致结论错D ．大前提和小前提错误导致结论错解析： 推理形式没有错误，而大前提“y ＝a x 是增函数”是不正确的，当0<a <1时，y ＝a x 是减函数；当a >1时，y ＝a x 是增函数．答案： A4．若复数z ＝1＋b i2＋i (b ∈R ，i 是虚数单位)是纯虚数，则复数z 的共轭复数是( )A ．35iB ．－35iC ．iD ．－i解析： 因为z ＝1＋b i 2＋i ＝(1＋b i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝2＋b 5＋2b －15i 是纯虚数，所以2＋b ＝0且2b －1≠0，解得b ＝－2.所以z ＝－i ，则复数z 的共轭复数是i. 答案： C5．类比平面内正三角形“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是( )①棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等； ②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等． A ．① B ．② C ．③D ．①②③解析： 三个性质都是正确的，但从“类比”角度看，一般是“线→面”、“角→二面角”．答案： B6．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－1处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )解析： 由题意知f ′(－1)＝0，当x <－1时f ′(x )<0，当x >－1时f ′(x )>0， ∴当x <－1时，x ·f ′(x )>0， 当－1<x <0时，x ·f ′(x )<0， 当x >0时，x ·f ′(x )>0. 答案： B7．若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2且a >1，则实数a 的值是( ) A ．2 B ．3 C ．5D ．6解析： ⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )| a 1＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，所以a ＝2. 答案： A8．观察式子：1＋122＜32，1＋122＋132＜53，1＋122＋132＋142＜74，…，则可归纳出一般式子为( )A ． 1＋122＋132＋…＋1n 2＜12n －1(n ≥2)B ． 1＋122＋132＋…＋1n 2＜2n ＋1n (n ≥2)C ． 1＋122＋132＋…＋1n 2＜2n －1n (n ≥2)D ． 1＋122＋132＋…＋1n 2＜2n2n ＋1(n ≥2)解析： 由合情推理可得． 答案： C9．在平面内有n (n ∈N ＋，n ≥3)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，若n 条直线把平面分成f (n )个平面区域，则f (9)等于( )A ．18B ．22C ．37D ．46解析： f (3)＝7， f (4)－f (3)＝4， f (5)－f (4)＝5， …f (n )－f (n －1)＝n . 以上各式相加： ∴f (n )＝7＋4＋5＋…＋n∴f (9)＝7＋4＋5＋…＋9＝7＋6×(4＋9)2＝46.答案： D10．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．－2 解析： 设直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )的切点为(x 0，y 0)，则y 0＝1＋x 0，y 0＝ln(x 0＋a )．又y ′＝1x ＋a ，∴y ′|x ＝x 0＝1x 0＋a＝1，即x 0＋a ＝1. 又y 0＝ln(x 0＋a )， ∴y 0＝0.∴x 0＝－1.∴a ＝2. 答案： B11．定义复数的一种运算z 1* z 2＝|z 1|＋| z 2 |2 (等式右边为普通运算)，若复数z ＝a ＋b i ，且正实数a ，b 满足a ＋b ＝3，则z *z 的最小值为( )A ．92B ．322C ．32D ．94解析： z *z ＝|z |＋|z |2＝2a 2＋b 22＝a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ，又∵ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝94， ∴－ab ≥－94，z *z ≥9－2×94＝92＝322. 答案： B12．函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (1)＝0，当x >0时，有xf ′(x )－f (x )x 2>0恒成立，则不等式f (x )>0的解集为( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－1,0)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)解析： 由题意知g (x )＝f xx 在(0，＋∞)上是增函数，且g (1)＝0，∵f (x )是R 上的奇函数， ∴g (x )是R 上的偶函数． f (x )x的草图如图所示： 由图象知：当x >1时，f (x )>0，当－1<x <0时，f (x )>0.∴不等式f (x )>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)． 答案： A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为________．解析： 根据题意先求出P ，Q 的坐标，再应用导数求出切线方程，然后求出交点． 因为y ＝12x 2，所以y ′＝x ，易知P (4,8)，Q (－2,2)，所以在P ，Q 两点处切线的斜率的值为4或－2.所以这两条切线的方程为l 1：4x －y －8＝0，l 2：2x ＋y ＋2＝0， 将这两个方程联立方程组求得y ＝－4. 答案： －414.⎠⎛01(1－x 2＋x )d x ＝________.解析： ⎠⎛011－x 2d x ＝14π，⎠⎛01x d x ＝12x 2| 10＝12－0＝12， ∴⎠⎛01(1－x 2＋x )d x ＝14π＋12.答案： 14π＋1215．通过类比长方形，由命题“周长为定值l 的长方形中，正方形的面积最大，最大值为l 216”，可猜想关于长方体的相应命题为________________________________________ ________________________________________________________________________. 解析： 表面积为定值S 的长方体中，正方体的体积最大，最大值为⎝⎛⎭⎫S 632. 答案： 表面积为定值S 的长方体中，正方体的体积最大，最大值为⎝⎛⎭⎫S 63216．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是________． 解析： f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m 要使f (x )是R 上的单调函数， 需使Δ＝4－12m ≤0， ∴m ≥13.答案： m ≥13三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)若复数z ＝1＋i ，求实数a ，b 使得az ＋2b z ＝(a ＋2z )2. 解析： 由z ＝1＋i ，可知z ＝1－i ，代入az ＋2b z ＝(a ＋2z )2，得a (1＋i)＋2b (1－i)＝[a ＋2(1＋i)]2，即a ＋2b ＋(a －2b )i ＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝(a ＋2)2－4，a －2b ＝4(a ＋2)，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－4，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ＋k2x 2(k ≥0)．当k ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程．解析： 当k ＝2时，f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2， f ′(x )＝11＋x －1＋2x .由于f (1)＝ln 2，f ′(1)＝32，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －ln 2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln 2－3＝0.19．(本小题满分12分)用数学归纳法证明：当n ∈N *时，1＋22＋33＋…＋n n <(n ＋1)n . 证明： (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝2,1<2，不等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时不等式成立，即1＋22＋33＋…＋k k <(k ＋1)k ；那么，当n ＝k ＋1时，左边＝1＋22＋33＋…＋k k ＋(k ＋1)k ＋1<(k ＋1)k ＋(k ＋1)k ＋1＝(k ＋1)k (k ＋2)<(k ＋2)k ＋1＝[(k ＋1)＋1]k ＋1＝右边，即左边<右边，即当n ＝k ＋1时不等式也成立．根据(1)和(2)可知，不等式对任意n ∈N *都成立．20．(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 33－(a ＋1)x 2＋4ax ＋b ，其中a ，b ∈R .(1)若函数f (x )在x ＝3处取得极小值12，求a ，b 的值；(2)求函数f (x )的单调递增区间；(3)若函数f (x )在(－1,1)内有且只有一个极值点，求实数a 的取值范围． 解析： (1)因为f ′(x )＝x 2－2(a ＋1)x ＋4a ， 所以f ′(3)＝9－6(a ＋1)＋4a ＝0，得a ＝32.由f (3)＝12，解得b ＝－4.(2)因为f ′(x )＝x 2－2(a ＋1)x ＋4a ＝(x －2a )(x －2)， 令f ′(x )＝0，得x ＝2a 或x ＝2.当a >1时，f (x )的单调递增区间为(－∞，2)，(2a ，＋∞)； 当a ＝1时，f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)； 当a <1时，f (x )的单调递增区间为(－∞，2a )，(2，＋∞)．(3)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a <1，f ′(－1)·f ′(1)<0，解得－12<a <12.所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，12. 21．(本小题满分13分)某厂生产产品x 件的总成本c (x )＝1 200＋275x 3(万元)，已知产品单价P (万元)与产品件数x 满足：P 2＝kx，生产100件这样的产品单价为50万元．(1)设产量为x 件时，总利润为L (x )(万元)，求L (x )的解析式；(2)产量x 定为多少件时总利润L (x )(万元)最大？并求最大值(精确到1万元)． 解析： (1)由题意有502＝k100，解得k ＝25×104， ∴P ＝25×104x ＝500x， ∴总利润L (x )＝x ·500x －1 200－2x 375＝－2x 375＋500x －1 200(x >0)．(2)由(1)得L ′(x )＝－225x 2＋250x，令L ′(x )＝0⇒250x ＝225x 2，令t ＝x ，得250t ＝225t 4⇒t 5＝125×25＝55，∴t ＝5，于是x ＝t 2＝25，所以当产量定为25时，总利润最大． 这时L (25)≈－416.7＋2 500－1 200≈883.答：产量x 定为25件时总利润L (x )最大，约为883万元． 22．(本小题满分13分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－3x (a ∈R )． (1)若函数f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围； (2)若x ＝13是函数f (x )的极值点，求函数f (x )在[－a,1]上的最大值；(3)在(2)的条件下，是否存在实数b ，使得函数g (x )＝bx 的图象与函数f (x )的图象恰有3个交点？若存在，请求出b 的取值范围；若不存在，请说明理由．解析： (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax －3， ∵f (x )在[1，＋∞)上是增函数， ∴在[1，＋∞)上恒有f ′(x )≥0. ∴－a3≤1且f ′(1)＝2a ≥0.∴a ≥0.(2)由题意知f ′⎝⎛⎭⎫13＝0，即13＋2a3－3＝0， ∴a ＝4.∴f (x )＝x 3＋4x 2－3x .令f ′(x )＝3x 2＋8x －3＝0得x ＝13或x ＝－3.∵f (－4)＝12，f (－3)＝18，f ⎝⎛⎭⎫13＝－1427，f (1)＝2， ∴f (x )在[－a,1]上的最大值是f (－3)＝18.(3)若函数g (x )＝bx 的图象与函数f (x )的图象恰有3个交点，即方程x 3＋4x 2－3x ＝bx 恰有3个不等实根．∵x ＝0是其中一个根，∴方程x 2＋4x －(3＋b )＝0有两个非零不等实根．∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16＋4(3＋b )>0，－(3＋b )≠0， ∴b >－7且b ≠－3.∴满足条件的b 存在，其取值范围是(－7，－3)∪(－3，＋∞)．。
人教A版选修2-2数学：第三章《数系的扩充与复数的引入》综合测试2(新人教A版选修2—2).docx
高中新课标数学选修（2-2）第三章测试题一、选择题1．0a =是复数()z a bi a b =+∈R ，为纯虚数的（ ）Ａ．充分条件但不是必要条件 Ｂ．必要条件但不是充分条件 Ｃ．充要条件Ｄ．既不是充分也不必要条件 答案：Ｂ2．若12z i =+，23()z ai a =+∈R ，12z z +的和所对应的点在实轴上，则a 为（ ） Ａ．3 Ｂ．2Ｃ．1Ｄ．1-答案：Ｄ3．复数22(2)(2)z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上，则（ ） Ａ．2a ≠或1a ≠ Ｂ．2a ≠且1a ≠ Ｃ．0a = Ｄ．2a =或0a =答案：Ｄ4．设1z ，2z 为复数，则下列四个结论中正确的是（ ）Ａ．若22120z z +>，则2212z z >-Ｂ．12z z -Ｃ．22121200z z z z +=⇔== Ｄ．11z z -是纯虚数或零 答案：Ｄ5．设22(253)(22)z t t t t i =+-++-+，t ∈R ，则下列命题中正确的是（ ） Ａ．z 的对应点Z 在第一象限Ｂ．z 的对应点Z 在第四象限 Ｃ．z 不是纯虚数 Ｄ．z 是虚数 答案：Ｄ6．若1i +是实系数方程20x bx c ++=的一个根，则方程的另一个根为（ ） Ａ．1i - Ｂ．1i -+ Ｃ．1i -- Ｄ．i 答案：Ａ7．已知复数1cos z i θ=-，2sin z i θ=+，则12z z ·的最大值为（ ）Ａ．32 Ｄ．3答案：Ａ 8．已知m ∈R ，若6()64m mi i +=-，则m 等于（ ）Ａ．2-Ｂ．Ｃ．Ｄ．4答案：Ｂ9．在复平面内，复数12ω=-+对应的向量为OA u u u r ，复数2ω对应的向量为OB u u u r ．那么向量AB u u u r对应的复数是（ ）Ａ．1 Ｂ．1- Ｄ．答案：Ｄ10．在下列命题中，正确命题的个数为（ ） ①两个复数不能比较大小；②123z z z ∈C ，，，若221221()()0z z z z -+-=，则13z z =； ③若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =±； ④z 是虚数的一个充要条件是z z +∈R ；⑤若a b ，是两个相等的实数，则()()a b a b i -++是纯虚数； ⑥z ∈R 的一个充要条件是z z =．Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 答案：Ｂ11．复数()a bi a b +∈R ，等于它共轭复数的倒数的充要条件是（ ） Ａ．2()1a b += Ｂ．221a b += Ｃ．221a b -= Ｄ．2()1a b -=答案：Ｂ12．复数z 满足条件：21z z i +=-，那么z 对应的点的轨迹是（ ） Ａ．圆 Ｂ．椭圆 Ｃ．双曲线 Ｄ．抛物线 答案：Ａ 二、填空题13．若复数cos sin z i θθ=-·所对应的点在第四象限，则θ为第 象限角． 答案：一14．复数z i =与它的共轭复数z 对应的两个向量的夹角为 ． 答案：60°15．已知2z i =-，则32452z z z -++= ． 答案：2 16．定义运算a b ad bc c c =-，则符合条件2132i z zi-=+的复数z = ． 答案：7455i -三、解答题17．已知复数(2)()x yi x y -+∈R ，的模为3，求yx的最大值． 解：23x yi -+=∵，22(2)3x y -+=∴，故()x y ，在以(20)C ，为圆心，3为半径的圆上，yx表示圆上的点()x y ，与原点连线的斜率． 如图，由平面几何知识，易知yx的最大值为3． 18．已知1z i a b =+，，为实数． （1）若234z z ω=+-，求ω；（2）若2211z az bi z z ++=--+，求a ，b 的值．解：（1）2(1)3(1)41i i i ω=++--=--， 2ω=∴；（2）由条件，得()(2)1a b a ii i+++=-，()(2)1a b a i i +++=+∴，121a b a +=⎧⎨+=⎩，，∴解得12a b =-⎧⎨=⎩，．19．已知2211z x x i =++，22()z x a i =+，对于任意x ∈R ，均有12z z >成立，试求实数a 的取值范围． 解：12z z >∵， 42221()x x x a ++>+∴，22(12)(1)0a x a -+->∴对x ∈R 恒成立．当120a -=，即12a =时，不等式成立； 当120a -≠时，21201124(12)(1)0a a a a ->⎧⇒-<<⎨---<⎩， 综上，112a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，． 20．已知()z i z ω=+∈C ，22z z -+是纯虚数，又221116ωω++-=，求ω． 解：设()z a bi a b =+∈R ，2(2)2(2)z a bi z a bi--+=+++∴2222(4)4(2)a b bia b +-+=++． 22z z -+∵为纯虚数， 22400a b b ⎧+-=⎨≠⎩，．∴222211(1)(1)(1)(1)a b i a b i ωω++-=++++-++∴2222(1)(1)(1)(1)a b a b =++++-++ 222()44a b b =+++844b =++ 124b =+．12416b +=∴．1b =∴．把1b =代入224a b +=，解得a =．z i =∴．2i ω=∴．21．复数3(1)()1i a bi z i++=-且4z =，z 对应的点在第一象限内，若复数0z z ，，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．解：2(1)(1)()2()221i i z a bi i i a bi a bi i++=+=+=---···，由4z =，得224a b +=． ①∵复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，z z z =-∴，把22z a bi =--代入化简，得1b =． ② 又Z ∵点在第一象限内，0a <∴，0b <．由①②，得1a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩．故所求a =1b =-．22．设z 是虚数1z z ω=+是实数，且12ω-<<．（1）求z 的值及z 的实部的取值范围．（2）设11zzμ-=+，求证：μ为纯虚数； （3）求2ωμ-的最小值．（1）解：设0z a bi a b b =+∈≠R ，，，， 则1a bi a bi ω=+++2222a b a b i a b a b ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭．因为ω是实数，0b ≠，所以221a b +=，即1z =．于是2a ω=，即122a -<<，112a -<<．所以z 的实部的取值范围是112⎛⎫- ⎪⎝⎭，；（2）证明：2222111211(1)1z a bi a b bi bi z a bi a b a μ------====-++++++．因为112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，0b ≠，所以μ为纯虚数；（3）解：22222122(1)(1)b a a a a a ωμ--=+=+++1222111a a a a a -=-=-+++12(1)31a a ⎡⎤=++-⎢⎥+⎣⎦因为112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以10a +>，故223ωμ-·≥431-=． 当111a a +=+，即0a =时，2ωμ-取得最小值1． 高中新课标数学选修（2-2）第三章测试题一、选择题1．实数x ，y 满足(1)(1)2i x i y ++-=，则xy 的值是（ ） Ａ．1 Ｂ．2Ｃ．2-Ｄ．1-答案：Ａ2．复数cos z i θ=，[)02πθ∈，的几何表示是（ ） Ａ．虚轴Ｂ．虚轴除去原点Ｃ．线段PQ ，点P ，Q 的坐标分别为(01)(01)-，，， Ｄ．（Ｃ）中线段PQ ，但应除去原点 答案：Ｃ3．z ∈C ，若{}22(1)1M z z z =-=-|，则（ ）Ａ．{}M =实数Ｂ．{}M =虚数Ｃ．{}{}M实数复数苘Ｄ．{}M ϕ=答案：Ａ4．已知复数1z a bi =+，21()z ai a b =-+∈R ，，若12z z <，则（ ） Ａ．1b <-或1b > Ｂ．11b -<< Ｃ．1b > Ｄ．0b >答案：Ｂ5．已知复数z 满足2230z z --=的复数z 的对应点的轨迹是（ ） Ａ．1个圆 Ｂ．线段Ｃ．2个点Ｄ．2个圆答案：Ａ6．设复数()z z ∈C 在映射f 下的象是zi ·，则12i -+的原象为（ ） Ａ．2i - Ｂ．2i + Ｃ．2i -+ Ｄ．13i +－答案：Ａ7．设A ，B 为锐角三角形的两个内角，则复数(cot tan )(tan cot )z B A B A i =-+-对应的点位于复平面的（ ）Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限答案：Ｂ8．已知()22f z i z z i +=++，则(32)f i +=（ ） Ａ．9i Ｂ．93i +Ｃ．9i -Ｄ．93i -－答案：Ｂ 9．复数2()12miA Bi m AB i-=+∈+R ，，，且0A B +=，则m =（ ）Ｂ．23 Ｃ．23-Ｄ．2答案：Ｃ10．(32)(1)i i +-+表示（ ） Ａ．点(32)，与点(11)，之间的距离 Ｂ．点(32)，与点(11)--，之间的距离 Ｃ．点(32)，与原点的距离 Ｄ．点(31)，与点(21)，之间的距离 答案：Ａ11．已知z ∈C ，21z -=，则25z i ++的最大值和最小值分别是（ ）11 Ｂ．3和1Ｃ．和3答案：Ａ12．已知1z ，2z ∈C ，12z z +=1z =2z =12z z -=（ ）Ａ．1 Ｂ．12Ｃ．2答案：Ｄ 二、填空题13．若()1()f z z z =-∈C ，已知123z i =+，25z i =-，则12z f z ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．答案：19172626i - 14．“复数z ∈R ”是“11z z=”的 ． 答案：必要条件，但不是充分条件 15．A ，B 分别是复数1z ，2z 在复平面上对应的两点，O 为原点，若1212z z z z +=-，则AOB △为 ． 答案：直角16．若n 是整数，则6(1)(1)nn i i -+-=· ． 答案：8±或8i ±三、解答题17．已知复数3z z -对应的点落在射线(0)y x x =-≤上，1z +=z ． 解：设()z a bi a b =+∈R ，，则33324z z a bi a bi a bi -=+-+=+， 由题意得4120ba b ⎧=-⎪⎨⎪>⎩，，①又由1z +=22(1)2a b ++=， ② 由①，②解得21a b =-⎧⎨=⎩，，2z i =-+∴．18．实数m 为何值时，复数216(815)55m z m i m i m m -⎛⎫=++++ ⎪++⎝⎭．（1）为实数； （2）为虚数； （3）为纯虚数；（4）对应点在第二象限．解：226(815)5m m z m m i m +-=++++．（1）z 为实数28150m m ⇔++=且50m +≠，解得3m =-； （2）z 为虚数2815050m m m ⎧++≠⇔⎨+≠⎩，，解得3m ≠-且5m ≠-；（3）z 为纯虚数226058150m m m m m ⎧+-=⎪⇔+⎨⎪++≠⎩，，解得2m =；（4）z 对应的点在第二象限226058150m m m m m ⎧+-<⎪⇔+⎨⎪++>⎩，，解得5m <-或32m -<<．19．设O 为坐标原点，已知向量1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r分别对应复数12z z ，，且213(10)5z a i a =+-+，22(25)1z a i a=+--，a ∈R ．若12z z +可以与任意实数比较大小，求1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r 的值．解：213(10)5z a i a =--+，则31232[(10)(25)]51z z a a i a a+=++-+-+-的虚部为0， 22150a a +-=∴．解得5a =-或3a =． 又50a +≠∵，3a =∴．则138z i =+，21z i =-+，1318OZ ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u u r ，，2(11)OZ =-u u u u r ，． 1258OZ OZ =u u u u r u u u u r ∴·．20．已知z 是复数，2z i +与2zi-均为实数，且复数2()z ai +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解：设()z x yi x y =+∈R ，，2(2)z i x y i +=++为实数，2y =-∴．211(22)(4)2255z x i x x i i i -==++---为实数， 4x =∴，则42z i =-．22()(124)8(2)z ai a a a i +=+-+-∵在第一象限， 212408(2)0a a a ⎧+->⎨->⎩，，∴解得26a <<． 21．已知关于x 的方程2(6)90()x i x ai a -+++=∈R 有实数根b ． （1）求实数a ，b 的值；（2）若复数z 满足2z a bi z --=，求z 为何值时，z 有最小值并求出最小值． 解：（1）将b 代入题设方程，整理得2(69)()0b b a b i -++-=， 则2690b b -+=且0a b -=，解得3a b ==；（2）设()z x yi x y =+∈R ，，则2222(3)(3)4()x y x y -++=+， 即22(1)(1)8x y ++-=．∴点Z 在以(11)-，为圆心，22为半径的圆上， 画图可知，1z i =-时，min 2z =．。
高中人教A版数学选修2-2答案
高中人教A 版数学选修2-2测试题答案一、选择题1．A 2．C 3．A 4．D 5．A 6．B 7．B 8．D 9．B 10．C 11．B 12．D 二、填空题13．(－∞，－1) 14．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)215.1316．－1－3i 三、解答题17．证明 反证法．假设1＋y x ≥2，1＋xy≥2，即1＋y ≥2x,1＋x ≥2y .∴2＋x ＋y ≥2x ＋2y .即x ＋y ≤2. 这与x ＋y >2矛盾． ∴1＋y x 和1＋x y中至少有一个小于2.18．解 设方程有实根x 0，则x 20＋(a ＋b i)x 0＋1＋a i ＝0，即(x 20＋ax 0＋1)＋(bx 0＋a )i ＝0.∵a ，b ，x 0∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 20＋ax 0＋1＝0，bx 0＋a ＝0.①②∵b >0，∴x 0＝－a b. 将其代入①得b 2－a 2b ＋a 2＝0.③∵b >0，∴Δ≥0，即a 4－4a 2≥0，a 2≠0， ∴a 2≥4，又a >0，∴a ≥2.故a 的最小值为2，所以b ＝2. ∴x 0＝－1. 原方程的解集为{－1}．19．解 f (x )＝ax (x －2)2＝a (x 3－4x 2＋4x )．∴f ′(x )＝a (3x 2－8x ＋4)＝a (3x －2)(x －2)．由f ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝2；当a >0时，f (x )在x ＝23处，取极大值； 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝32，得a ＝27， 当a <0时，f (x )在x ＝2时，取极大值， 由f (2)＝32，得a 不存在，∴a ＝27. 20．(1)解 依题意知函数的定义域为x >0，∵f ′(x )＝x ＋1x，故f ′(x )>0，∴f (x )的单调增区间为(0，＋∞)．(2)证明 设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ，∴g ′(x )＝2x 2－x －1x，∵当x >1时，g ′(x )＝x －12x 2＋x ＋1x>0，∴g (x )在(1，＋∞)上为增函数，∴g (x )>g (1)＝16>0，∴当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.21．解 设桶的底面半径为r ，桶高为h ，材料费用为W ，每平方米的木板价钱为a (a >0，r >0)，则V ＝πr 2h ，所以h ＝V πr 2.所以W ＝2πr ·h ·a ＋πr 2·5a ＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2Vr ＋5πr 2，又W ′r＝a (10πr －2V r 2)，由W ′r ＝0，得10πr －2Vr2＝0，解得r ＝3V5π，当r ＝3V5π附近左侧时，W ′r <0，右侧时，W ′r >0.所以在r ＝3V5π时，W 取极小值，又此函数只有一个极值点，所以当r＝3V5π时，h ＝325Vπ，此时所用材料费用最少．22．解 推测S n ＝2n ＋12－12n ＋12 (n ∈N *)．用数学归纳法证明如下：(1)当n ＝1时，S 1＝2＋12－12＋12＝89，等式成立；(2)假设当n ＝k 时等式成立，即S k ＝2k ＋12－12k ＋12，那么当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝S k ＋8k ＋12k ＋122k ＋32＝2k ＋12－12k ＋12＋8k ＋12k ＋122k ＋32＝[2k ＋12－1]2k ＋32＋8k ＋12k ＋122k ＋32＝2k ＋122k ＋32－2k ＋32＋8k ＋12k ＋122k ＋32＝2k ＋122k ＋32－2k ＋122k ＋122k ＋32＝2k ＋32－12k ＋32＝[2k ＋1＋1]2－1[2k ＋1＋1]2.也就是说，当n ＝k ＋1时，等式成立．根据(1)和(2)，可知对一切n ∈N *，等式均成立．。
最新人教A版高中数学选修2-2 综合测试题2(含答案解析)
高中新课标数学选修（2-2）综合测试题一、选择题（每题小题5分）1.设y=2x －x ,则x ∈[0,1]上的最大值是（ ） A 0 B －41 C 21 D 412.若质点P 的运动方程为S(t)=2t 2+t （S 的单位为米，t 的单位为秒），则当t=1时的瞬时速度为（ ） A 2米/秒 B 3米/秒 C 4米/秒 D 5米/秒 3.曲线ｙ＝－313x －2在点（－1，35-）处切线的倾斜角为（ ） Ａ 30º Ｂ 45º Ｃ 135º Ｄ 150º 4.函数y=－2x + 3x 的单调递减区间是（ ）A (－∞,－36) B (－36,36) C(－∞,－36)∪(36,+∞) D (36,+∞)5.过曲线ｙ＝3x ＋１上一点（-１，０），且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程是（ ） Ａ ｙ＝３ｘ＋３ Ｂ ｙ＝3x ＋３ Ｃ ｙ＝-3x -31Ｄ ｙ＝-３ｘ-３ 6.曲线ｙ＝313x 在点（１，31）处的切线与直线ｘ＋ｙ-３＝０的夹角为 Ａ 30º Ｂ 45º Ｃ 60º Ｄ 90º7.已知函数)(x f =3x +a 2x +b 的图象在点P (1,0)处的切线与直线3x+y=0平行.则a 、b 的值分别为（ ）. A －3, 2 B －3, 0 C 3, 2 D 3, －4 8.已知)(x f =a 3x +32x +2,若)1(/-f =4,则a 的值等于（ ） A319 B 310 C 316 D 313 9.函数y = 3x －12x +16在 [－3,3]上的最大值、最小值分别是（ ） A 6，0 B 32, 0 C 2 5, 6 D 32, 1610.已知a>0，函数ｙ＝3x -a ｘ在[1，+∞)上是单调增函数，则a 的最大值为（ ） A 0 B 1 C 2 D 311.已知)(x f =23x -62x +m （m 为常数），在[-2，2]上有最大值3，则此函数在[-2，2]上的最小值为（ ）A -37B -29C -5D -1112.已知)(x f =x +3x , 且x 1+x 2<0, x 2+x 3<0, x 3+x 1<0则（ ）A f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)>0B f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)<0C f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)=0D f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)符号不能确定.二、填空题（每小题4分）13.过抛物线y=)(x f 上一点A （1，0）的切线的倾斜角为45°则)1(/f =__________. 14.函数)(x f =3x －3x 的递减区间是__________15.过点P(－1,2)且与曲线ｙ＝32x －4x +2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是__________. 16.函数)(x f =x (1－2x )在[0,1]上的最大值为__________. 三、解答题17.已知函数)(x f =a 4x +b 2x +c 的图像经过点(0,1)，且在x =1处的切线方程是y=x －2. 求)(x f 的解析式；12分18.证明：过抛物线y=a(x －x 1)(x －x 2)(a ≠0, x 1< x 2)上两点A(x 1,0),B(x 2,0)的切线与x 轴所成的锐角相等。
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高中新课标数学选修（2-2）综合测试题一、选择题（每题小题5分）1.设y=2x －x ,则x ∈[0,1]上的最大值是（ ） A 0 B －41 C 21 D 41 2.若质点P 的运动方程为S(t)=2t 2+t （S 的单位为米，t 的单位为秒），则当t=1时的瞬时速度为（ ）A 2米/秒B 3米/秒C 4米/秒D 5米/秒 3.曲线ｙ＝－313x －2在点（－1，35-）处切线的倾斜角为（ ） Ａ 30º Ｂ 45º Ｃ 135º Ｄ 150º 4.函数y=－2x + 3x 的单调递减区间是（ ）A (－∞,－36) B (－36,36) C(－∞,－36)∪(36,+∞) D (36,+∞)5.过曲线ｙ＝3x ＋１上一点（-１，０），且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程是（ ） Ａ ｙ＝３ｘ＋３ Ｂ ｙ＝3x ＋３ Ｃ ｙ＝-3x -31Ｄ ｙ＝-３ｘ-３ 6.曲线ｙ＝313x 在点（１，31）处的切线与直线ｘ＋ｙ-３＝０的夹角为 Ａ 30º Ｂ 45º Ｃ 60º Ｄ 90º7.已知函数)(x f =3x +a 2x +b 的图象在点P (1,0)处的切线与直线3x+y=0平行.则a 、b 的值分别为（ ）.A －3, 2B －3, 0C 3, 2D 3, －4 8.已知)(x f =a 3x +32x +2,若)1(/-f =4,则a 的值等于（ ） A319 B 310 C 316 D 313 9.函数y = 3x －12x +16在 [－3,3]上的最大值、最小值分别是（ ） A 6，0 B 32, 0 C 2 5, 6 D 32, 1610.已知a>0，函数ｙ＝3x -a ｘ在[1，+∞)上是单调增函数，则a 的最大值为（ ） A 0 B 1 C 2 D 311.已知)(x f =23x -62x +m （m 为常数），在[-2，2]上有最大值3，则此函数在[-2，2]上的最小值为（ ）A -37B -29C -5D -1112.已知)(x f =x +3x , 且x 1+x 2<0, x 2+x 3<0, x 3+x 1<0则（ ）A f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)>0B f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)<0C f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)=0D f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)符号不能确定. 二、填空题（每小题4分）13.过抛物线y=)(x f 上一点A （1，0）的切线的倾斜角为45°则)1(/f =__________. 14.函数)(x f =3x －3x 的递减区间是__________15.过点P(－1,2)且与曲线ｙ＝32x －4x +2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是__________.16.函数)(x f =x (1－2x )在[0,1]上的最大值为__________. 三、解答题17.已知函数)(x f =a 4x +b 2x +c 的图像经过点(0,1)，且在x =1处的切线方程是y=x －2. 求)(x f 的解析式；12分18.证明：过抛物线y=a(x －x 1)(x －x 2)(a ≠0, x 1< x 2)上两点A(x 1,0),B(x 2,0)的切线与x 轴所成的锐角相等。
12分19.已知)(x f =a 3x +b 2x +cx （a ≠0）在x=±1时取得极值且f （1）= -1 试求常数a 、b 、c 的值并求极值。
12分 20.已知函数)(x f =1323++-x ax x a . （1）若)(x f 在（－∞，+∞）上是增函数，求a 的取值范围.(2) 若)(x f 在x=x 1及x=x 2 (x 1, x 2>0)处有极值，且1<21x x ≤5,求a 的取值范围。
12分 21.已知函数)(x f =ax 3+cx+d(a ≠0)在R 上满足 )(x f -=－)(x f , 当x=1时)(x f 取得极值－2. (1)求)(x f 的单调区间和极大值;(2)证明：对任意x 1,x 2∈(－1,1),不等式│)()(21x f x f -│<4恒成立. 14分22.如图在边长为4的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，在把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底盒子.xx（1）问切去的小正方形边长为多少时，盒子容积最大？最大容积1V 是多少？（2）上述做法，材料有所浪费，如果可以对材料进行切割、焊接，请你重新设计一个方案，使材料浪费最少，且所得无盖的盒子的容积2V >1V 14分答案：1.A2.D3.C4.B5.C6.D7.A8.B9.B10.D11.A12B13. 1 14.[－1,1] 15.2x －y+4=0 16.932 提示：1.A f(1)=f(0)=0最大2. D ∵S '=4t+1∴当t=1时的瞬时速度为5米/秒3. 选Ｃ∵)(/x f =－2x ∴)1(/-f =－1即tan α=－1∴α=135º 4. 选B ∵y '=－2+32x <0,∴－36<x <36 5. C ∵23x y ='∴该点处的切线斜率为3，∴所求直线方程为y=－31(x+1)即Ｃ答案 6. 选Ｄ∵y ' =2x , y '│x=1=1,∴切线斜率为1,又直线斜率为－1∴两直线垂直∴夹角为90º7. A ∵)(/x f =32x +2ax ，切线的斜率k=3+2a ，3+2a= -3 ∴a=-3又∵f （1）=a+b+1=0 ∴b=2，故选A8. 选B ∵)(/x f =3a 2x +6x ∴)1(/-f =3a －6∴a=310 9. 选B ∵y '=32x －12, 由y '=0得x =±2当x =±2，x =±3时求得最大值32，最小值010. D ∵)(/x f =32x －a ，∴若)(x f 为增函数，则)(/x f >0即a<32x 要使a<32x , x ∈[1,+∞)，上恒成立，∴a ≤3故选D11. A 令)(/x f =0得x =0或x =2，而f(0)=m,f(2)=－8+m,f(－2)=－40+m 显然f(0)>f(2)>f(－2)∴m=3最小值为f(－2)=－37故选A12. B ∵)(/x f =32x +1,∴)(/x f >0∴)(x f 在上是增函数，且)(x f 是奇函数，∴f(x 1)<f(－x 2), f(x 2)<f(－x 3), f(x 3)<f(－x 1)∴f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)<－[f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)]即f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)<0故选B13.由题意可知切线斜率为1，由导数定义知)1(/f =1 14. ∵)(/x f =32x －3∴令32x －3≤0解得－1≤x ≤115. ∵y '=6x －4∴k=y '│x=1=2∴直线方程为y －2=2(x +1)即2x －y+4=016. ∵)(x f =x －3x ∴)(/x f =1－32x =0得x =33可知当x =33时函数值为最大值，最大值是932 17. 解：由题意可知f(0)=1，f(1)=－1，)1(f '=1，.…………..6分∴⎪⎩⎪⎨⎧-=++=+=11241c b a b a c 解之得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-===29251b ac .………….11分∴)(x f =1292524+-x x .…………..12分 18. 证明：∵y= a(x －x 1)(x －x 2)=ax 2－a(x 1+ x 2)x+a x 1 x 2.…………..3分 ∴y '=2ax －a(x 1+x 2) .………….6分∴k 1=y '│x=x 1=a(x 1－x 2) k 2=y '│x=x 2=a(x 2－x 1) .…………..9分设两切线与x 轴所成锐角为θ1和θ2则tan θ1=│a(x 1－x 2)│=│a │(x 2－x 1)>0, tan θ2=│a(x 2－x 1)│=│a │(x 2－x 1)>0………11分∴tan θ1= tan θ2.…………..12分19. 解：)(/x f =3a 2x +2bx+c ，.…………3分∵)(x f 在x=±1时取得极值∴x=±1是)(/x f =0即3a 2x +2bx+c=0的两根………6分∴⎩⎨⎧=+-=++)2(023)1(023c b a c b a ∵f （1）= -1 ∴ a+b+c=-1（3）由（1），（2），（3）得a=21， b=0，c=23-………9分 ∴)(x f = 213x 23-x ，∴)(/x f =23（x –1）（x+1）当x<-1或x>1时，)(/x f >0，当-1<x<1时，)(/x f <0∴)(x f 在（-∞，-1）及（1，+∞）上是增函数，在（-1，1）是减函数………11分 ∴当x= -1时函数取得极大值f （-1）=1当x=1时函数取得极小值f （1）= -1………12分20. 解：(1)∵)(x f '=ax 2－2ax+1……………………………...….1分∴当a=0时，，)(x f '=1>0,故结论成立………………………………2分 当a>0时,[ )(x f ']min =)1(f '=1－a ≥0,∴a ≤1即0<a ≤1.…………..4分 当a<0时, )(x f '在(0,+∞)上不恒大于或等于0，故舍去.…………..5分 综上得a 的取值范围是0≤a ≤1.(2) 令)(x f '=ax 2－2ax+1=0，由题知其二根为x 1，x 2且x 1+x 2=2，x 1x 2=a1…………..7分 ∵1<21x x ≤5 ∴x 1≤2－x 2≤5x 1 ∴31≤x 1<1 …………..9分 ∴x 1(2－x 2)=a 1 ∴a1=－(x 1－1)2+1…………..11分 ∴95≤a 1<1 ∴1<a ≤59…………..12分 21. 解：（1）由)(x f -=－)(x f (x ∈R)得.d=0∴)(x f = ax 3+cx , )(x f '=ax 2+c. (2)分由题设f(1)=－2为)(x f 的极值,必有)1(f '=0∴⎩⎨⎧=+=+030c a c a 解得a=1,c=－3∴)(x f ' =3x 2－3=3(x －1)(x+1) 从而)1(f '=)1(-'f =0. …………4分当x ∈(－∞,－1)时, )(x f '>0则)(x f 在(－∞,－1)上是增函数; …………5分 在x ∈(－1,1)时, )(x f '<0则)(x f 在(－1,1)上是减函数…………6分 当x ∈(1,+∞)时, )(x f '>0则)(x f 在(1,+∞)上是增函数…………7分 ∴)1(-f =2为极大值. …………9分(2)由(1)知, )(x f =x x 33-在[－1,1]上是减函数,且)(x f 在[－1,1]上的最大值M=)1(-f =2,在[－1,1]上的最小值m= f(2)=－2. …………12分对任意的x 1,x 2∈(－1,1),恒有│)()(21x f x f -│<M －m=2－(－2)=4…………14分. 22. 解：（1）设切去的正方形边长为x ，则焊接成的盒子的底面边长为4－2x ，高为x .所以1V =(4－2x )2·x =4(3x －42x +4x ),(0<x <2) ………5分∴1V '=4(32x －8x +4). ………6分令1V '=0得x 1=32 ,x 2=2（舍去）而1V '=12(x －32)(x －2)又当x <32时，1V '>0, 当32<x <2时，1V '<0∴当x =32时盒子容积最大，最大容积1V 是27128………9分 方案：如下图a ，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图b ，将切下的小正方形焊接成长方形再焊在原正方形一边；如图c 再焊成盒子123411212321图a 图b 图c新焊成的盒子的容积2V 为：3×2×1=6,显然2V >1V 故此方案符合要求。