数系的扩充和复数的概念(合成)

i 称为虚数单位。
R C
讨 论？
复数集C和实数集R之间有什么关系？
实数b 0 复数a+bi 纯虚数a 0，b 0 虚数 b 0 非纯虚数a 0，b 0
典例讲 评
例1 实数m取什么值时，复数 z＝m＋1＋(m－1)i分别是实数， 虚数和纯虚数？ 当m＝1时，z是实数； 当m≠1时，z是虚数；
问题探 究
这与 x +
1 1 2 1、由 x + = 1 得 x + 2 = - 1， x x 1 2
x 方程x2－x＋1＝0无实根
2
> 0 矛盾的原因是什么？
2、方程x2－x＋1＝0无实根的根本原 因是什么？ －1不能开平方
问题提 出
3、我们设想引入一个新数，用字母i表 示，使这个数是－1的平方根，即 i2 ＝－1，那么方程x2－x＋1＝0的根是什 么？
y Z1
z 4＝2 －i
Z2 O Z3 Z4 x
典例讲评
例3 设复数 z = log 1 x + 4i ，
若|z|≥5，求x的取值范围.
2
课堂小结
1.复数集C和复平面内所有的点所成的集 合是一一对应的，即 一一对应 复数z＝a＋bi 复平面内的点 Z （ a， b） 2.复数集C与复平面内的向量所成的集合 也是一一对应的，即 复数z＝a＋bi 一一对应 复平面内的向 uuu r 量 OZ
y
问题探究
表示，向量 OZ 的模叫做复数z的模，记作|z| 或|a＋bi|，那么|a＋bi|的计算公式是什么？
b
Z ： a＋ bi a
| a + bi |=
a +b
2
2
O
x
问题探究
5、设向量a，b分别表示复数z1，z2， 若a＝b，则复数z1与z2的关系如何？ 规定：相等的向量表示同一个复数.
6、若|z|＝1，|z|＜1，则复数z对应 复平面内的点的轨迹分别是什么？ 单位圆，单位圆内部.
复习巩固
3.复数集、实数集、虚数集、 纯虚数集之间的关系如何？
复数 纯虚数 实数 虚数
复数的代数形式： 通常用字母 z 表示，即
z a bi (a R, b R)
实部 虚部
其中
i 称为虚数单位。
实数b 0 复数a+bi 纯虚数a 0，b 0 虚数 b 0 非纯虚数a 0，b 0
典例讲 评
练习 设复数z1＝(x－y)＋(x＋3)i， z2＝(3x＋2y)－yi，若z1＝z2，求实数x， y的值. x＝－9，y＝6.
课堂小 结
1.将实数系扩充到复数系是源于解 方程的需要，到十九世纪中叶已建立 了一套完整的复数理论，形成一个独 立的数学分支.
课堂小 结
2.虚数单位i的引入解决了负数不能 开平方的矛盾，并将实数集扩充到了复 数集，它使得任何一个复数都可以写成 a＋bi（a，b∈R）的形式.
1 3 ± i 2 2
问题提 出
4、若x4＝1，利用i2＝－1,则x等于 什么？ 1，－1，i，－i.
问题探 究
5、满足i2＝－1的新数i显然不是实数， 称为虚数单位，根据数系的扩充原则， 应规定虚数单位i和实数之间的运算满 足哪些运算律？ 乘法和加法都满足交换律、结合律， 乘法对加法满足分配律.
课堂小 结
3.复数包括了实数和虚数，实数 的某些性质在复数集中不成立，如 x2≥0； 若x－y＞0，则x＞y等，今后 在数学解题中，如果没有特殊说明， 一般都在实数集内解决问题.
• 1.若方程 x +(m+2i)x+(2+mi)=0 至少有一个实数根，试求实数m的 值. 2 2 • 2.已知不等式 m -( m -3m)i 2 • <10+( m -4m+3)i,试求实数m的值.
形成结论
一般地，实轴上的点，虚轴上的点，各 象限内的点分别表示什么样的数？
y
实轴上的点表示实数，b 虚轴上的点除原点外 都表示纯虚数，各象 O 限内的点表示虚部不 为零的虚数.
Z ： a＋ bi
a
x
问题探究
1、用有向线段表示平面向量，向量的 大小和方向由什么要素所确定？
有向线段的始点和终点.
2、用坐标表示平面向量，如何根据向 量的坐标画出表示向量的有向线段？
问题探 究
3、有序实数对（a，b）的几何意义是什 么？复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以用什 么几何量来表示？ y
b
Z ： a ＋ bi x
a
O
复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以用直角 坐标系中的点Z（a，b）来表示.
形成结论
用直角坐标系来表示复数的坐标平面 叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做 虚轴.
问题探 究
3、复数通常用字母z表示，即 z＝a＋bi（a，b∈R），这一表示形式 叫做复数的代数形式，其中a与b分别 叫做复数z的实部与虚部，那么复数 z＝ 2－3i的实部和虚部分别是什么？
实部为 2 ,虚部为－3.
问题探 究
4、两个实数可以相等，两个复数也 可以相等，并且规定：a＋bi＝c＋di （a，b，c，d∈R）的充要条件是a＝c 且b＝d，那么a＋bi＝0的充要条件是 什么？ a＝ b ＝ 0
问题探 究
5、对于复数z＝a＋bi（a，b∈R） 当b＝0时，z为什么数？由此说明实 数集与复数集的关系如何？ 当b＝0时z为实数. 实数集R是复数集C的真子集.
问题探 究
6、对于复数z＝a＋bi（a，b∈R）当 b≠0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，z叫做虚数，当a＝0且b≠0 时，z叫做纯虚数，那么虚数集与纯 虚数集之间如何？ 纯虚数集是虚数集的真子集.
问题探 究
6、设a∈R，下列运算正确吗？
ai ia ai ia
i(a b) ia ib
1 i 2 i i i
i i i i
3 2
问题探 究
1、虚数单位i与实数进行四则运算， 可以形成哪种一般形式的数？ a＋bi（a，b∈R）
2、把形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做 复数，全体复数所成的集合叫做复数集， 记作C，那么复数集如何用描述法表示？ C＝{a＋bi|a，b∈R}
问题探 究
7、复数集、实数集、虚数集、纯虚 数集之间的关系用韦恩图怎样表示？
复数 纯虚数 实数 虚数
8、两个实数可以比较大小，一个实数与 一个虚数或两个虚数可以比较大小吗？ 虚数不能比较大小.
复数的代数形式： 通常用字母 z 表示，即
z a bi (a R, b R)
实部 虚部
其中
第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.1 数系的扩充和复数 的概念
问题提 出
1.数的概念产生和发展的历史进程： N 正分数 Q＋ 正无理数 R＋ 零和负数 R
数系每次扩充的基本原则： 第一、增加新元素； 第二、原有的运算性质仍然成立；
第三、新数系能解决旧数系中的矛盾.
问题提出
1 2.若 x + = 1 ，则 x
典例讲评
例1 已知复数
z = log2 (m - 3m - 3) + i log2 (m - 3)
对应的点在直线x－2y＋1＝0上，求实数m 的值.
2
m =
15
典例讲评
例2 若复平面内一个正方形的三个顶 点对应的复数分别为z1＝1＋2i，z2＝－2＋ i，z3＝－1－2i，求这个正方形第四个顶 点对应的复数.
课堂小结
3.复数z＝a＋b i 与复平面内的点 uuu r Z（a，b）和向量OZ 是一个三角对应 关系，即
复数z＝a＋bi
点 Z(a ， b)
uuu r 向量 OZ
1 1 2 x + 2 = (x + ) - 2 = - 1. x x
2
对此你有什么困惑？
问题提 出
3.唯物辨证法认为，事物是发展变化的， 事物内部的矛盾运动是推动事物向前发 展的根本动力.由于实数的局限性，导致 某些数学问题出现矛盾的结果，数学家 们预测，在实数范围外还有一类新数存在，
还有比实数集更大的数系.
以原点为始点，向量的 坐标对应的点为终点画 有向线段.
O
y (a ， b) x
问题探究
3、在复平面内，复数z＝a＋bi（a， b∈R）用向量如何表示？
y
b
O a
Z ： a＋ bi
x
以原点O为始点，点Z（a，b）为终点的 uuu r 向量 OZ .
uuu r 4、复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以用OZ 向量 uuu r
当m＝－1时，z是纯虚数.
练习1 设复数z=lg(m2–2m–2)+
(m2+3m+2)i，试求实数m取何 值时。 （1）z是纯虚数； （2）z是实数；
例2
设x，y∈R，并且
(2x–1)+xi=y–(3–y)i，求x， y。
解题总结：
复数相等 的问题
转化
求方程组的解 的问题
一种重要的数学思想—转化思想
提出问题
4.实数与数轴上的点一一对应，从 而实数可以用数轴上的点来表示，这 是实数的几何意义，根据类比推理， 复数也应有它的几何意义.因此，探究 复数的几何意义就成为一个新的学习 内容.
问题探究
1、在什么条件下，复数z惟一确定？
给出复数z的实部和虚部 2、设复数z＝a＋bi（a，b∈R），以 z的实部和虚部组成一个有序实数对 （a，b），那么复数z与有序实数对 （a，b）之间是一个怎样的对应关系？ 一一对应
变式练习
2
误点警示：虚数不能比较大小！
3.1
数系的扩充和复数的概念
3.1.2 复数的几何意义
复习巩固