磁场的能量
通电线圈磁场能的计算
通电线圈磁场能的计算一、磁场能的定义磁场能是指由磁场所储存在空间中的能量，它来源于磁场对物质的作用而具有能量的形式。
在物理学中，磁场能是电磁场能量的一部分，与电场能等同重要。
磁场能可以通过公式进行表述：\[U_{mag} = \frac{1}{2\mu_0} \int B^2 dV\]其中，$U_{mag}$为磁场能，$\mu_0$为真空磁导率，$B$为磁感应强度，$dV$为体积元素。
这一公式表达了在给定磁场中单位体积内的储存的能量量，即磁场能密度。
二、磁场能密度的推导和计算根据上述定义，磁场能可以表示为磁场能密度的积分形式。
为了推导磁场能密度，首先考虑磁场对物质的作用，即磁场能来源。
在传统的静磁场情况下，系统总能量为：\[U = U_{mag} + U_{mech}\]其中，$U_{mech}$为磁场对电流所做的功，其表达式为：\[U_{mech} = \int \vec{M} \cdot \vec{B} dV\]其中，$\vec{M}$为磁矩，$\vec{B}$为磁感应强度。
将上述两式合并，可以得到磁场能密度的表达式：\[u_{mag} = \frac{1}{2}(\vec{H} \cdot \vec{B})\]其中，$\vec{H}$为磁场强度。
这一表达式表示了单位体积内磁场的能量密度。
三、通电线圈磁场能的求解对于通电线圈而言，其磁场能可以通过积分计算线圈周围的磁场能密度来求解。
设通电线圈的磁场强度为$\vec{H}$，磁感应强度为$\vec{B}$，面积为$S$，匝数为$N$，电流为$I$，则通电线圈的磁场能为：\[U = \frac{1}{2} NIS \vec{H} \cdot \vec{B}\]将磁场强度与磁感应强度之间的关系$\vec{B} = \mu \vec{H}$代入上式，可以得到通电线圈的磁场能的具体表达式：\[U = \frac{1}{2} NIS \mu \vec{H} \cdot \vec{H}\]以上便是通电线圈磁场能的计算方法。
磁场能量
1 wm 2 B H
1 we 2 D E
4
第16章 电磁感应和电磁波
例 1 一由 N 匝线圈绕成的螺绕环，通有电流 I ，
其中充有均匀磁介质。
I
求 磁场能量Wm 。
解 根据安培环路定理,螺绕环内
H NI 2πr
B 0r NI
2πr
wm
1 BH 2
1 2
0r N 2I 2
4π2r2
取体积元 dV 2πrhdr
L1
L2
W1
1 2
L1I12
再闭合 K2
R1 K1
i2 : 0 I2
1
2 K2
R2
W2
1 2
L2 I22
W W1 W2
6
需要考虑互感的影响
第16章 电磁感应和电磁波
当回路 2 电流增加时，在回路 1 中产生互感电动势
12
M
diБайду номын сангаас dt
将使电流 I1 减小
若保 I1 不变, 电源 1 提供的能量应等于互感电动势所做的功
t
W12 0 12 I1dt
I2 0
MI1di2
MI1 I 2
总磁能
注意:
——(互感能量)
W
1 2
L1I12
1 2
L2 I22
MI1 I 2
两载流线圈的总磁能与建立 I1, I2 的具体步骤无关
7
第16章 电磁感应和电磁波
一、磁能的来源
在原通有电流的线圈中存 在能量 —— 磁能
K
R
A
L
B
自感为 L 的线圈中通有电流 I0 时所储存的磁能 ——为电流 I0 消失时自感电动势所做的功
磁场的能量与磁场能的计算
磁场的能量与磁场能的计算磁场是物质周围的物理场，对于我们的生活和科学研究具有重要的意义。
了解磁场的能量和如何计算磁场能量对于深入理解磁场的本质和应用具有重要的意义。
本文将介绍磁场的能量及其计算方法。
一、磁场的能量磁场是由带电粒子的运动产生的，磁场能量即为磁场中储存的能量。
磁场能量可以分为两种类型：势能和动能。
1. 势能磁场具有势能的体现是磁场对带电物体产生力的能力。
当带电物体在磁场中运动时，磁场力将对其进行做功，从而将能量转化为势能。
势能的计算公式如下：E_p = -m · B其中，E_p表示势能，m表示带电物体的磁矩，B表示磁感应强度。
在SI国际单位制中，磁感应强度的单位为特斯拉（T），磁矩的单位为安培-米²（A·m²）。
2. 动能磁场中的动能是带电粒子在磁场力的作用下所具有的能量。
当带电粒子在磁场中做加速运动时，由于受到磁场力的作用，其动能将被转化为磁场能量。
动能的计算公式如下：E_k = 1/2mv²其中，E_k表示动能，m表示带电物体的质量，v表示带电物体在磁场中的速度。
在SI单位制中，质量的单位为千克（kg），速度的单位为米/秒（m/s）。
二、磁场能的计算磁场能的计算涉及到磁场强度、磁通量和磁场能量密度等多个参数。
下面将介绍一些常见的磁场能计算方法。
1. 对于匀强磁场在匀强磁场中，磁感应强度是恒定的，磁场能计算比较简单。
磁场能可以通过下列公式计算：W = V · B²/2μ₀其中，W表示磁场能，V表示磁场体积，B表示磁感应强度，μ₀表示真空磁导率。
2. 对于非匀强磁场在非匀强磁场中，磁感应强度随位置的变化而变化，计算磁场能稍微复杂。
一种常见的方法是将非匀强磁场分解为无穷小体积，然后对每个小体积进行磁场能的计算，最后将所有小体积的磁场能相加得到总的磁场能量。
三、总结本文介绍了磁场的能量及其计算方法。
磁场的能量可以分为势能和动能，势能是磁场对带电物体产生力的能力，动能是带电粒子在磁场中具有的能量。
磁场力和磁场能量的转化
磁场力和磁场能量的转化磁场力是指磁场对物体施加的作用力，而磁场能量则是磁场所具有的能量。
磁场力和磁场能量之间存在着一种转化关系，通过研究这种转化关系，我们可以更好地理解磁场的特性和应用。
本文将探讨磁场力和磁场能量的转化以及相关的实例和应用。
一、磁场力的转化磁场力的转化是指磁场力所做的功转化为其他形式的能量。
根据物体所处的位置和方向，磁场力可以分为吸引力和斥力。
当两个磁性物体之间存在磁场时，它们之间会相互吸引或相互斥力。
当两个相同极性的磁体靠近时，它们之间会产生相互的斥力，这是由于它们的磁场相互作用造成的。
反之，当两个不同极性的磁体靠近时，它们之间会产生相互的吸引力。
这种磁场力的转化可以用以下公式表示：F = BILsinθ其中，F表示磁场力，B表示磁感应强度，I表示电流强度，L 表示导线的长度，θ表示磁场线与导线的夹角。
通过这个公式，我们可以计算出磁场力的大小。
磁场力的转化主要有以下几种形式：1. 运动能量转化当一个物体受到磁场力的作用，而且在作用力的方向上有运动时，磁场力会使得物体的动能增加或减少。
这种转化可以用以下公式表示：W = ΔKE = Fd其中，W表示功，ΔKE表示动能的变化，F表示磁场力，d表示物体在磁场力方向上的位移。
通过这个公式，我们可以计算出磁场力所做的功以及动能的变化。
2. 热能转化当一个物体受到磁场力的作用，并且在作用力方向上有一定的摩擦时，磁场力会使物体产生热能。
这种转化可以用以下公式表示：Q = ΔE = Fd其中，Q表示热能的变化，ΔE表示内能的变化，F表示磁场力，d表示物体在磁场力方向上的位移。
通过这个公式，我们可以计算磁场力所做的功以及热能的变化。
二、磁场能量的转化磁场能量是指磁场所具有的能量，它是由电流所激发的磁场产生的。
当电流通过导线时，它会产生磁场，并且给磁场储存了一定的能量。
这种储存的能量可以通过改变电流的强度或改变导线的长度来改变。
磁场能量的转化主要有以下几种形式：1. 引起感应电流当磁场与一个闭合电路相互作用时，它会引起电磁感应现象，导致感应电流的产生。
磁场能量课件ppt
S Jm dS
M dS
S
M dl
C
( B M ) dl I
C 0
令
H B M
0
H称为磁场强度，单位：安培每米（ A/ m）。有
CH dl I
上式为介质中安培环路定律的积分形式 利用斯托克斯定律有
C H dl S H dS I SJ dS
由于积分路径是任意的，所以有
量B也不会是 的函数。取场点为 (r,0, z)；源点为
(0,0, z') 。则
R r r' rer (z z')ez
R r (z z') eR R R er R ez
dl' ez dz'
dl 'e R
r R
dz' e
根据线电流的毕奥-沙伐公式得
B 0
4
Idl 'e R C' R2
2 ( 1 ) 4 (r r')
R
方程右边可变换为
B(r)
0 4Βιβλιοθήκη S'J
(r R
'
)
dS
'
0
J (r') (r r')dV '
v'
❖ 在导体表面上，电流密度总是与面的法线垂直，故
它们的点乘积恒为零，即：
J (r') dS' 0
因此方程右边第一项恒为零。所以
B(r) 0
J (r') (r r')dV '
【解】场源电流与 、z无关，所以磁感应强度关于z 轴圆对称，只要选择同心圆积分回路，则在积分回 路上只存在B的切向分量，且数值相等。
磁场的能量的概述
2
放电时情况
K
L
R1 I
L
Lidt i Rdt (6)
idt
E
R2
i
dt内电阻消耗的能量 dt内自感电动势提供的能量 当电流从I 0时，对（6）式两边积分： 左边积分为自感电动势作功
0 di 1 2 A Lidt L dt Lidi LI I 自感电动势作的功 dt 2
总而言之： 互感电路的磁场能量
1 1 2 2 Wm L1 I10 L2 I 20 M I10 I 20 2 2
L1 M L2 磁通相助取正号；
I10
L1 M L2
I 20
磁通相消取负号；
I10
I 20
例1：求自感量分别为L1、L2、L2的两线圈串联后 的总自感量。 1 1 2 2 解：1）顺串： Wm L1 I L2 I 2 2 L1 M L2 1 2
L2
M 21
i 20 I2
1 2 L1 I10 2 M 21I10 I 20
与*式比较
…..**
1 1 2 2 Wm L1 I10 L2 I 20 M 12 I10 I 20…..* 2 2 W 'm Wm M12 M 21
以上只是磁通相的情况，磁通相消的情况呢？ L1 M L2 互感电动势与电流 i1 同向，即互感电 动势对外作功，能 量来之于磁能的减 i 20 I2 少。
i
即线圈磁场中 贮藏了能量： 放电时情况
K
1 2 0 Lidi 2 LI (4)
1 2 Wm LI (5) 2
R2 式（5）两边同乘
R1
L i( R1 R2 ) iR (5)
磁场的能量公式
磁场的能量公式
1. 自感线圈磁场能量公式。
- 对于一个自感系数为L的线圈，当通过的电流为I时，其储存的磁场能量W = (1)/(2)LI^2。
- 推导过程：当电路中的电流I发生变化时，自感电动势E = - L(di)/(dt)。
在建立电流I的过程中，电源克服自感电动势做功，这个功就转化为磁场的能量。
根据能量守恒定律，设电流从0增加到I，电源克服自感电动势做的功W=∫_0^tEidt=∫_0^ILi
di=(1)/(2)LI^2。
2. 磁场能量密度公式。
- 在均匀磁场中，磁场能量密度w=(1)/(2)frac{B^2}{μ}，其中B是磁感应强度，μ是磁导率（对于真空μ=μ_0，对于介质μ = μ_rμ_0，μ_r是相对磁导率）。
- 推导过程：对于长直螺线管，内部磁场B=μ nI（n是单位长度的匝数），自感系数L=μ n^2V（V是螺线管的体积）。
根据W=(1)/(2)LI^2，将L和I=(B)/(μ n)代入可得W=(1)/(2)frac{B^2}{μ}V，所以磁场能量密度w = (W)/(V)=(1)/(2)frac{B^2}{μ}。
对于非均匀磁场，可以通过对体积元dV积分W=∫_Vw dV=∫_V(1)/(2)frac{B^2}{μ}dV
来计算磁场的总能量。
三13-7 磁场能量
定义：磁场能量密度---单位体积中的磁场能量 定义：磁场能量密度 单位体积中的磁场能量 能量密度 2 Wm B 1 1v v wm = = = BH= B ⋅ H V 2µ 2 2 注意:1)此式适用于磁场的一般情况 此式适用于磁场的一般情况; 注意 此式适用于磁场的一般情况 对非均场 dW 1v v
di ε − L = iRL(2) dt
εL = iRL(5)
di = iR 即: − L dt R
E i= (1−e R
−
R t L
)
i
E R
i I0
t
i = I0e
− t L
t
三）磁场能量密度 以长载流螺线管为例:设通以电流 以长载流螺线管为例 设通以电流I 设通以电流
• • • • • • • • • • • • • •
1 Wm = ∫ wmdV = ∫ µH 2dV V V 2 R2 1 I )2 2πrldr =∫ µ( R 2 1 2πr
R2 R1
dV = 2πrldr
l
作业:p386 13-28, 31, 37 作业
R µI 2l ln ( 2) = 4π R 1 1 2 R µI 2l ln ( 2) 再根据: LI = W= m 4π R 2 1 R µl 可得同轴电缆的自感系数为 ln ( 2) L= 2π R 1
idt
ε
εL
R2
i
dt内电阻消耗的能量 内电阻消耗的能量 dt内自感电动势提供的能量 内自感电动势提供的能量 当电流从I 0时，对（6）式两边积分： 当电流从 时 ）式两边积分： 左边积分为自感电动势作功 左边积分为自感电动势作功
0 di 1 2 A = ∫ ε Lidt = ∫ − Li dt = ∫ − Lidi = LI I dt 2
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横截面图
I
（2）单位长度同轴电缆内储存的磁场能量
Wm mdV
0 r I 2 Wm 2 rdr 2 2 R 8 r 0 r I 2 R2 ln 4 R1
R2
1
dV 2rdrl l 取单位长度
（3）单位长度上同轴电缆的自感磁能为
1 2 Wm LI 2 0 r R2 L ln 两式比较得 2 R1
例2（补充）： 习题 7.6.3
无限长圆柱形
横截面图
R
证明：导线内的磁场为
rI H 2R 2
磁场能量密度
B H
1 1 2 H m B H 0 r 2 2
1 0 H 2 2
导线内 r 1
磁场能量
Wm m dV
0
B B1 B2
H H1 H 2
储存在磁场所在空间的总磁场能量为
1 Wm （B H）dV 2 V
1 Wm B1 B2 H1 H 2 dV 2 V
1 1 ( B1 H1 )dV ( B2 H 2 )dV 2 V 2 V 1 ( B1 H 2 B2 H1 )dV 2 V
例1（补充）：无限长同轴电缆的内筒半径R1，
（2）单位长度同轴电缆所储存的磁场能量 （3）同轴电缆单位长度的自感系数 解：（1）由于磁场分布具有 对称性，由安培环路定理得两筒 之间的磁场分布为 I 0 r I H B 2r 2r 磁场能量密度 0 r I 2 1 m BH 2 8 2 r 2
上式（1）（2）项对应于载流线圈1和2的自感磁 能，即
1 1 2 ( B H ) dV L I 1 1 1 1 2 V 2 1 1 2 ( B2 H 2 )dV L2 I 2 2 V 2
第（3）项对应于两个载流线圈间的互感磁能，即
1 B1 H 2 B2 H1 dV MI1 I 2 2 V
R
习题：7.6.2
1 0 H 2 2 rdr 单位长度 0 2 0 I 2 证毕。 16
R
§7.6 磁场的能量
将自感线圈的磁能及互感线圈的磁能转化为磁 场的能量，将磁能用描述磁场的场量 B和H 来表示。 考虑一个很长的直螺线管，管内充满磁导率为 的均匀磁介质。管中磁场看作均匀且认为磁场全 部集中在管内。 考虑一个螺绕环（平均半径远大于环上所绕线 圈的半径），环内充满磁导率为 的均匀磁介质。 环中磁场看作均匀且认为磁场全部集中在环内。 设通过螺线管（螺绕环）的电流为I，则螺线管 （螺绕环）内的磁感应强度及磁场强度为
说明：（1）上式从螺线管（螺绕环）中均匀磁 场的特例导出，但它是一个普通成立的表达式，只 须将 B、H 看成位置的函数即可。
（2）对于非均匀的磁场，求总磁场能量 Wm ，就 是将上式对磁场存在的空间V进行积分，即
1 Wm （B H）dV 2 V
（3）如果空间的磁场是由多个电流激发，如电流 I1、I2 在空间某点激发的磁场分别为 B1、H1 和 B2、 H 2 ，则据叠加原理该点的总磁场为
上述三式说明：在恒定磁场的情形中，用路量 （L，M，I）和用场量（ B、H ）表示的磁能是相 等的。同时还提供了一种计算自感系数和互感系数 的方法，即通过磁场能量计算L和M。 外筒半径R2，两筒之间充满均匀磁介质，其相对磁 导率 r ，电流I从外筒流去，内筒流回，忽略两筒 厚度，求 （类似习题7.6.2） （1）两筒间磁场能量密度分布
H 内 nI， B内 nI
螺线管（螺绕环）的自感系数
自感线圈储存的磁能
L n 2V
1 2 1 2 2 Wm LI n VI 2 2
1 BHV 2 磁场均匀分布在螺线管（螺绕环）体积V内，磁 能也均匀分布在体积V内，磁场的能量密度为 Wm 1 1 m BH B H V 2 2