13.4.最短路径(2)—造桥选址问题
造桥选址问题案例设计甘晓云
六、小结提升
（一）要使所得到的路径最短，就是要通过平移，使除河宽不变外，其他路径经平移后能在一条直线上.最后还是应用“两点之间，线段最短”解决问题.
（二）综合问题1、2，在解决最短路径问题时,我们通常可以利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择.
方法2：如图6，将点A沿与第一条河流垂直的方向平移一个河宽到A1，将B沿与第二条河垂直的方向平移一个河宽到B1，连接A1B1与两条河分别相交于N、P，在N、P两处，分别建桥MN、PQ，所得路径AQPMNB最短.
设计意图：拓展1是直接对问题2所总结方法的直接应用，加深对问题2的理解.
拓展2：如图9，如果在上述条件不变的情况下，两条河不平行，又该如何建桥？
所以，基于以上分析，确定本节课的重点：利用平移将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．
二、目标与目标解析
（一）目标
能利用平移解决某些最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化和化归的思想.
（二）目标解析
本节课所要达成的目标，一是能将实际问题中的“地点”、“河”抽象为数学中的“点”、“线’,把实际问题抽象为数学的线段和最小问题；二是能利用平移将和最小问题转化为“两点之间，线段最段”问题；三是能通过逻辑推理证明所求距离最短；四是在探索最短路径的过程中，体会平移的“桥梁”作用，感悟数学转化思想.
针对学生可能出现的问题，我的教学策略是这样的：
通过创设具有启发性、学生感兴趣的、有助自主学习和探索的问题情境，使学生在活动丰富、思维积极的状态中进行探究学习，在教学过程中，将学生以6个人为一个小组，通过小组讨论交流学案的形式，相互配合，提出问题，并积极的解决问题，通过讨论、交流得到解决方法，培养学生的合作学习能力.并结合几何画板演示加深学生的理解。在教学模式上，以学生为主体，将课堂还给学生，给学生一个充分展示自己的舞台，在小组合作探究后，让学生代表在白板上演示自己小组的成果展示，使学生在这个过程中获得成功的体验，从而激发对数学的激情。在这节课堂教学中，充分利用白板、几何画板等现代多媒体工具，使学生对抽象、复杂的关系有了更直接、明了具体的感观，激发学生对数学的兴趣.
13.4课题学习最短路径问题
P
C
M ’
本节课你有什么收获？
①学习了利用轴对称解决最短路径问题 ②感悟和体会转化的思想
补偿提高
如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山 脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返 回P 处，请画出旅游船的最短路径． C 山
Q
P
河岸
A
大桥
B
思路分析： 由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线 段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为 一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC 的同侧，如何在BC上找到 C 一点R，使PR与QR 的和最 Q 河岸 山 小”． P A
B
A C
l
两点之间，线段最短.
B
分析：
B
A A C
l
C
lBBiblioteka （1）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？ （2）我们能否把左图A、B两点转化到直线l 的异侧呢？
（3）利用什么知识可以实现转化目标？
如图，作点B关于直线 l 的对称点B′ . 当点C在直线 l 的什么位置时，AC与CB′的和最小？
B A C
思考：
你能把这个问题转化 为数学问题吗？
如图假定任选位置造桥MN， 连接AM和BN，从A到B的路径是 AM+MN+BN，那么折线AMNB在什 么情况下最短呢？
A M
a b
N
B
由于河宽是固定的，因此当 AM+NB最小时，AM+MN+NB最小.
分析：
A A' N M
a
b
A C
l
B
B
如图，如果将点A沿与河岸垂直的方向平移到点A′， 使AA′等于河宽，则AA′=MN，AM=A′N，问题转化为：当 点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？ 参考右图，利用“两点之间，线段最短”可以解决.
13.4轴对称之最短路径问题人教版2024—2025学年八年级上册
13.4轴对称之最短路径问题人教版2024—2025学年八年级上册二、例题讲解例1.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知线段AB＝4，DE＝2，BD＝8，设CD＝x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE最小？最小为多少？（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求代数式的最小值．变式1.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC，EC，已知AB＝5，DE＝1，BD＝8．（1）请问点C什么位置时AC+CE的值最小？最小值为多少？（2）设BC＝x，则AC+CE可表示为，请直接写出的最小值为．例2.如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）A．B．C．D．变式1.如图，在⊥ABC中，BA＝BC，BD平分⊥ABC，交AC于点D，点M、N 分别为BD、BC上的动点，若BC＝10，⊥ABC的面积为40，则CM+MN的最小值为．变式2.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为8，面积是24，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF 上一动点，则⊥CDM的周长的最小值为（）A．7B．8C．9D．10变式3.如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．（1）点D的坐标为；（2）若E为边OA上的一个动点，当⊥CDE的周长最小时，求点E的坐标．例3.如图，⊥AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N．若⊥PMN的周长是6cm，则P1P2的长为（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm变式1.已知点P在⊥MON内．如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P 关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．（1）若⊥MON＝50°，求⊥GOH的度数；（2）如图2，若OP＝6，当⊥P AB的周长最小值为6时，求⊥MON的度数．变式2.如图，⊥MON＝45°，P为⊥MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，当⊥P AB的周长取最小值时，⊥APB的度数为（）A．45°B．90°C．100°D．135°变式3.如图，⊥AOB＝30°，P是⊥AOB内的一个定点，OP＝12cm，C，D分别是OA，OB上的动点，连接CP，DP，CD，则⊥CPD周长的最小值为．变式4.如图，在五边形中，⊥BAE＝140°，⊥B＝⊥E＝90°，在边BC，DE上分别找一点M，N，连接AM，AN，MN，则当⊥AMN的周长最小时，求⊥AMN+⊥ANM 的值是（）A．100°B．140°C．120°D．80°例4.如图，在⊥ABC中，AB＝AC，⊥A＝90°，点D，E是边AB上的两个定点，点M，N分别是边AC，BC上的两个动点．当四边形DEMN的周长最小时，⊥DNM+⊥EMN的大小是（）A．45°B．90°C．75°D．135°变式1.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（4，0），C（m+2，2），D（m，2），当四边形ABCD的周长最小时，m的值是（）A．B．C．1D．变式2.如图，在四边形ABCD中，⊥B＝90°，AB⊥CD，BC＝3，DC＝4，点E 在BC上，且BE＝1，F，G为边AB上的两个动点，且FG＝1，则四边形DGFE 的周长的最小值为．例5.如图，⊥AOB＝20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、OA上的动点，记⊥MPQ＝α，⊥PQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α的值为（）A．10°B．20°C．40°D．60°变式1.如图，∠AOB＝20°，M，N分别为OA，OB上的点，OM＝ON＝3，P，Q分别为OA，OB上的动点，求MQ+PQ+PN的最小值。
〖2021年整理〗《最短路径问题2》名师优秀教案
课题学习最短路径问题（第二课时）造桥选址问题（邹敏）一、教学目标：（一）学习目标1熟练应用轴对称变换知识，提高解决实际问题的能力；2学会利用平移变换知识解决造桥选址的最短路径问题；3体会平移变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．（二）教学重点教学重点：利用平移将“造桥选址”的实际问题转化为“两点之间，线段最短”问题（三）教学难点教学难点：如何利用平移将最短路径问题转化为线段和最小问题二、教学设计（一）课前设计1预习任务⑴平移不改变图形的和;⑵三角形三边的数量关系：三角形任意两边的差第三边;⑶如图，直线AB，CD且AB∥CD，在直线AB上任取不同两点NMBC DA P Q图1图3图2BA PBAP BA PlBAlPAB l图1CA'BADCE FA DCE FFE FQP CA B DE（图2）E F'DCBA F lBAlPABFDCABE（图1）DCBAF1212AC BC AB ⋅6810⨯2452451212245GE FCA BP ，BD =30m ，且CD =30m ．现在要在河流CD 上建立一个泵站、N 分别在边OA 、OB 上，且OM =1，ON =3，点、N 分别在边OA 、OB 上的定点，作M 关于OB 的对称点M ′，作N 关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为M′OB=∠AOB=30°，O N′=ON=3，OM′=OM=1，∴∠N′OM′=90°，∴在Rt△M′ON′中，M′N′=2231=10．故答案为10．【答案】10自助餐1 如图，小河CD边有两个村庄A村、B村，现要在河边建一自来水厂E为A村与B村供水，自来水厂建在什么地方到A村、B村的距离和最小？请在下图中找出点E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）【知识点】轴对称知识，两点之间线段最短【思路点拨】利用轴对称求最短路线的方法得出A点关于直线CD的对称点A′，再连接A′B交CD 于点E，即可得出答案．【解题过程】如图所示，点E即为所求．2 如图，在一条笔直的公路旁修建一个仓储基地，分别给A、B两个超市配货，那么这个基地建在什么位置，能使它到两个超市的距离之差即｜lBAlPABlCB'BAD ABCE FP 为直线AB 上的一动点，过M 作轴的垂线，垂足为点N ，连接＋MN ＋NQ 的最小值；xy C QP O AB【知识点】平移知识，两点之间线段最短【思路点拨】将直线AB 和轴看作河的两岸，点→N →Q ，如图所示，而MN 是定值，于是要使路程最短，只要N 到＋MN ＋′，连接，则N ＋NQ 的最小值为线段yM N Q'P'C QP O A B，则N ＋NQ的最小值为线段N 的长．又易得22''C Q C P +2268+＋MN ＋NQ 的最小值为102=12【答案】N ＋NQ 的最小值为12。
人教版八年级上册数学课题学习造桥选址问题课件
交所直以线问a题于还点可M以，转当化点为N在：直当线点bN的在什直
么线位b的置什时么，位AM置+时M，N+ANMB+最N小B最？小？
思维分析
人教版八年级上册数学课题学习造桥 选址问 题课件
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拓展应用
拓展1：如图，如果A、B两地之间有两
条平行的河，我们要建的桥都是与河岸
垂直的。我们如何找到这个最短的距离
呢？
A
河流1
方法
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图像
河流2 B
பைடு நூலகம்
人教版八年级上册数学课题学习造桥 选址问 题课件
方法：将点A沿与第一条河流垂直的 方向平移一个河宽到A1，将B沿与第 二条河垂直的方向平移一个河宽到B1， 连接A1B1与两条河分别相交于P、M， 在P、M两处，分别建桥PQ 、 MN， 所得路径AQPMNB最短。
人教版八年级上册数学课题学习造桥 选址问 题课件
13.4 课题学习 最短路径问题（2）
造桥选址问题
人教版八年级上册数学课题学习造桥 选址问 题课件
人教版八年级上册数学课题学习造桥 选址问 题课件
教学目标
1、知识与技能： 理解利用平移的方法，解决最短路径问题。 2、过程与方法： （1）在观察、操作、归纳等探索过程中，培养 学生的实际动手能力； （2）在运用知识解决有关问题的过程中，体验 并掌握探索、归纳最短路径选取的方法。 3、情感、态度与价值观 （1）体会数学与现实生活的联系，增强克服困 难的勇气和信心； （2）会应用数学知识解决一些简单的实际问题， 增强应用意识； （3）使学生进一步形成数学来源于实践，反过 来又服务于实践的辩证唯物主义观点。
人教版数学八年级上册13.4课题学习最短路径造桥选址实验教学探究优秀教学案例
4.鼓励学生积极参与评价，培养学生的评价能力和批判性思维。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教师通过一个有趣的现实生活中的选址问题，如“如何在两个村庄之间建一座桥，使得两地之间的距离最短？”引起学生的兴趣。
2.学生尝试用自己的知识解决此问题，教师引导学生思考问题的方法论。
人教版数学八年级上册13.4课题学习最短路径造桥选址实验教学探究优秀教学案例
一、案例背景
人教版数学八年级上册13.4课题学习“最短路径造桥选址实验教学”探究优秀教学案例，是基于学生在学习了平面直角坐标系、一次函数和二次函数等知识的基础上，对“线性规划”的初步认识。此章节内容旨在让学生通过实验探究，掌握线性规划的基本方法，解决实际问题。
在教学过程中，我以“最短路径造桥选址”为例，让学生结合生活实际，探讨如何在一个城市中选择最佳的桥梁建设位置，以达到连接两个区域、节省路程、提高效率的目的。通过对问题的探究，引导学生运用所学的数学知识，解决实际问题，提高学生的实践能力和创新能力。
在教学设计上，我充分考虑了学生的认知规律和兴趣，将抽象的数学知识与具体的生活情境相结合，以实验教学为主线，让学生在动手操作、观察分析、合作交流的过程中，掌握线性规划的方法。同时，我注重引导学生进行思考，激发学生的学习兴趣，培养学生的自主学习能力。
4.全面提高学生的数学素养：通过对实际问题的解决，本节课不仅使学生掌握了线性规划的基本方法，还培养了学生的观察力、动手能力、思维能力、沟通能力和团队协作能力，全面提高了学生的数学素养。
5.教学策略灵活多样：教师根据学生的认知规律和兴趣，采用了情景创设、问题导向、小组合作等多种教学策略，使学生在轻松愉快的氛围中学习，提高了教学效果。
人教版数学八年级上册13.4 课题学习 最短路径问题课件(共27张PPT)
A∙ 请小组讨论证明这个结论吧！
A′
M′ a M
b
N′
N
∙B
13.4 最短路径问题
证明
证明：在直线b上另外任意取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，垂足为M′，
连接AM′，A′N′，N′B.
∵在△A′N′B中，A′B<A′N′+BN′，
∴A′N+NB<A′N′+BN′. 即A′N+NB+MN<A′N′+BN′+M′N′. ∴AM+NB+MN<AM′+BN′+M′N′， 即AM+NB+MN的值最小.
13.4 最短路径问题
解：∵点B 和 点C 关于直线 AD 对称， ∴BF = CF . 求BF + EF 最小值，只需 CF + EF 最小. 连接EC，线段 CE 的长即为 BF + EF 的最 小值. ∵D、E 是等边△ABC 中 BC、AB 的中点， ∴CE = AD = 5. ∴BF+EF的最小值为5.
路程最短？ C
A
D
A1
A C
C1 D1 E
E1 B B1
C1 B
解：如图，作 AA1⊥CD，且 AA1 = 河宽，作 BB1⊥CE，且 BB1 = 河宽， 连接 A1B1，与内河岸相交于 E1，D1. 过 E1，D1作河岸的垂线段 EE1 、 DD1，即为桥.
13.4 最短路径问题
13.4 最短路径问题
学习目标 1. 利用轴对称、平移等变化解决简单的最短路径问题. 重点
2. 体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感受由实际问题转化为
数学问题的思想. 难点
13.4.最短路径(2)—造桥选址问题电子教案
13.4.最短路径(2)—
造桥选址问题
精品资料
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13.4造桥选址问题
一．学习目标：
1、能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用;感悟转化思想.
2、在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想. 二．重点难点：
学习重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短”问题. 学习难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题． 三．合作探究：（同学合作，教师引导） 1．温故知新：
前面我们研究过最短路径问题，求最短路径的依据有：
（1） . （2） . 2．探究新知： 问题2 造桥选址问题
如图,A 和B 两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN.桥建在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)
思维分析：
1.如右图假定任选位置造桥MN,连接AM 和BN,从A 到B 的路径是AM+MN+BN,那么怎样确定什么情况下最短呢?
2.利用上面的“求最短路径的依据”解决问题:我们遇到了什么障碍呢?
四．感悟与反思：
A ·
· B
A ·
· B。
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造桥选址问题
一．学习目标：
1、能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用;感悟转化思想.
2、在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.
二．重点难点：
学习重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短”问题.
学习难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题．
三．合作探究：（同学合作，教师引导）
1．温故知新：
前面我们研究过最短路径问题，求最短路径的依据有：
（1）.
（2）. 2．探究新知：
问题2造桥选址问题
如图,A和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN.桥建在何处才能使从A到B的路径AMNB最短(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)
思维分析：
1.如右图假定任选位置造桥MN,连接AM和BN,从A到B的路径是AM+MN+BN,那么怎样确定什么情况下最短呢
2.利用上面的“求最短路径的依据”解决问题:我们遇到了什么障碍呢
四．感悟与反思：
A ·
·B A ·
·B。