专题五 第2讲 概率、随机变量及其分布
概率统计和随机过程课件第二章随机变量及其分布
n 重Bernoulli 试验概型感兴趣的问题为： 在 n 次试验中事件 A 出现 k 次的概率，记为
Pn (k) 一般地，若 P (A ) p ,0 p 1 则 P n ( k ) C n k p k ( 1 p ) n k ,k 0 , 1 , 2 , , n
10
第二章 随机变量及其分布
A, B, C 两两独立
7
常利用独立事件的性质计算它们的并事件 的概率
若 n 个事件 A1, A2, …, An 相互独立，则
n
n
P( Ai ) 1(1P(Ai))
i 1
i1
n
P ( A i)P (A 1 A 2 A n)
i 1 1 P (A 1 A 2 A n )
n
1P(A 1A 2 A n)1P(Ai )
n B i
B1 AB1
A
ABn
Bn i 1 BiB j
AB2
n
A AB i
i 1
B2
( AB i )( AB j )
4
n
n
P(A)P(ABi) P(Bi)P(ABi)全概率公式
i1
i1
意 义 ： 事 件 组 B n 一 般 是 导 致 A 发 生 的 所 有 可 能 的 “ 原 因 ”
13
引入随机变量后，用随机变量的等式或不 等式表达随机事件
在同一个样本空间可以同时定义多个随机 变量
随机变量的函数一般也是随机变量
可以根据随机事件定义随机变量
设 A 为随机事件，则可定义
XA 10,,
A A
称 XA 为事件A 的示性变量
14
如，若用X 表示电话总机在9:00~10:00接到 的电话次数，则
概率论与数理统计课件：随机变量及其分布
随机变量及其分布
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§2.2 离散型随机变量及其分布律
定义 设离散型随机变量 X 所有可能取的值为xk , k = 1, 2,
X 取各个可能值的概率,即事件{ X xk } 的概率，为
P{ X xk } pk , k 1, 2, .
称此为离散型随机变量 X 的分布律.
随机变量及其分布
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定义2.1 设随机试验E, 其样本空间S, 若对样本
空间每一个样本点e, 都有唯一一个实数X(e)与之对
应，那么就把这个定义域为S的单值实值函数X=X(e),
称为随机变量。
随机变量通常用大写字母X,Y,Z 或希腊字母 ξ,η等表示.
而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母x,y,z等.
量方面，如，投掷一枚均匀骰子，我们观察出现的点
数。
记X=“出现的点数”
则X的可能取1, 2, …, 6中任一个数，可见X是变量；
又X取那个值不能事先确定，故此X的取值又带有随机
性.
有了随机变量，有关事件的表示也方便了，如
{X=2}, {X≤2}, ……
随机变量及其分布
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这样的例子还有很多. 又如，研究手机的使用寿命
或写成
随机变量及其分布
5
P( X k )
6
k 1
1
, k 1, 2,
6
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常见离散型随机变量
（一）“0-1”分布
设随机变量 X 只可能取 0 和1 两个值，它的分布律
为
k
P X k p（
1 p)1k k 0,1
(0 p 1)
2概率统计第二讲
∑
k ≥1
pk＝1.
三、一维离散型r.v的几个常用分布 一维离散型 的几个常用分布
1. 退化分布 单点分布) 退化分布(单点分布 单点分布 X～P{X＝a}＝1，其中 为常数。 ～ 为常数。 ＝ ＝ ，其中a为常数 2. (0－1)分布 两点分布 － 分布 两点分布) 分布(两点分布 X～P{X＝k}＝pk(1－p)1－k, (0<p<1) k＝0，1 ～ ＝ ＝ － － ＝ ， 3. 几何分布 X～P{X＝k}＝ (1－p)k－1 p, (0<p<1) k＝1, 2, … ～ ＝ ＝ － － ＝ 4. 二项分布 二项分布B(n, p) － － X～P{X＝k}＝ Ck pk(1－p)n－k, ～ ＝ ＝ n (0<p<1) k＝0, 1, 2, …, n ＝
3. [04(一)(三)(四)一(6)] 设r.v.X服从参数为λ的指数分布 则 服从参数为λ 一 三 四一 服从参数为 的指数分布,
P { X > DX } = _____ .
4. [98(三)(四)二(5)] 设F1(x)与F2(x)分别为 r.v.X1与X2的 三 四二 与 分别为 分布函数, 为使F(x)=a F1(x)−b F2(x)是某一 的分布函数 是某一r.v.的分布函数 分布函数 为使 − 是某一 的分布函数, 在下列给定的各组数值中应取 (A) a=3/5, b= −2/5 (C) a= −1/2, b= 3/2 5. 已知 ~ 已知X X P (B) a=2/3, b= 2/3 (D) a=1/3, b= −3/2 [ ]
2. 多维离散型随机变量函数的分布律
定理2 定理 设X1，X2，… , Xn是一个n维随机变量，若y＝ 则 Y＝g(X1，X2，…, Xn)也是一个随机变量。 以二维为例，若 (X, Y)～P(X＝xi, Y＝yk)＝pik ，i, k＝1, 2, … 则 Z＝g(X, Y)～P{Z＝zl}＝
【全版】随机变量及其概率分布推荐PPT
解：X的可能取值为 0，1，2
P{X=0}
C
2 17
C
2 20
136 190
=P(抽得的两件全为正品)
P{X=1}
C
31C
1 17
C
2 20
51 190
=P(只有一件为次品)
P{X=2}
C
2 3
C
2 20
3 190
=P(抽得的两件全为次品)
故X的分布律为
X0 1 2
pk
136 190
51
3
190
3.什么是概率分布表？
X
x1
x2
…
xn
P
P1
p2
…
pn
4.pi的性质:
（1）pi≥0(i=1,2,…,n); （2）p1+p2+ …+pn=1. 5．求随机变量X的分布列的步骤：
(1 ) 确 定 变 量 X 可 能 的 取 值 x i( i 1 ,2 , … ) ；
（2）求出相应的概率 P(Xxi)pi； （3）列成表格的形式.
如果用X表示取得的红球数，则X的取值可为0，1，2。 一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．
“两只白球”记为 {X=0} 当取到1白1黑时，随机变量X＝1； （2）p1+p2+ …+pn=1.
此时， “两只红球”= “X取到值2”,记为 {X=2} 而“至少抽得一件次品”={X≥1}
解：从箱中取出两个球的情形有以下六种： {2白}，{1白1黄}，{1白1黑}，{2黄}，{1黑1黄}，{2黑}．
当取到2白时，结果输2元，随机变量X＝－2；
当取到1白1黄时，输1元，随机变量X＝－1； 当取到1白1黑时，随机变量X＝1；当取到2黄时，X＝0； 当取到1黑1黄时，X＝2；当取到2黑时，X＝4．
第二章随机变量及其概率分布(概率论)
当 x ≥ 1 时,F ( x) = P( X ≤ x) =P( X = 0) + P( X = 1) =1 ⎧0 x < 0
所以 F ( x) = ⎪⎨0.3 0 ≤ x < 1. ⎪⎩1 1 ≤ x
⎧0 x < 0 分布函数为 F ( x) = ⎪⎨0.3 0 ≤ x < 1
⎪⎩1 1 ≤ x
分布函数图形如下
F(x) 1 0.3
x 01
3
例 设X的概率分布律如下,求X的分布函数. X012 P 0.4 0.35 0.25
解
⎧0
x<0
F
(
x)
=
⎪⎪ ⎨
⎪
0.4 0.75
0≤ x<1 1≤ x<2
⎪⎩ 1
x≥2
由此可见
(1)离散型随机变量的分布函数是分段函数,分 段区间是由X的取值点划分成的左闭右开区间; (2)函数值从0到1逐段递增,图形上表现为阶梯 形跳跃递增; (3)函数值跳跃高度是X取值区间中新增加点的 对应概率值.
z 泊松在数学方面贡献很多。最突出的是1837 年在提出泊松分布。
z 除泊松分布外，还有许多数学名词是以他的 名字命名的，如泊松积分、泊松求和公式、 泊松方程、泊松定理。
当一个随机事件,以固定的平均瞬时速率 λ随机独立地出现时,那么这个事件在单 位时间(面积或体积)内出现的次数或个数 就近似地服从泊松分布。
解: 依题意, X可取值 0, 1, 2, 3.
设 Ai ={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3
路口3
路口2
P(X=0)= P(A1)=1/2,
路口1
X=该汽车首次停下时通过的路口的个数. 设 Ai={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3
2023考研概率统计全考点精讲-第二讲 随机变量及其分布
第二讲 随机变量及其分布【考试要求】1.理解随机变量的概念，理解分布函数(){}()F x P X x x =≤−∞<<+∞的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率.2.理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0-1分布、二项分布(,)B n p 、几何分布、超几何分布、泊松(Poisson)分布()P λ及其应用.3.（数一了解，数三掌握）泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布.4.理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布(,)U a b 、正态分布2(,)N μσ、指数分布及其应用，其中参数为λ的指数分布()λE 的概率密度为()e ,00,0x x f x x λλ−⎧>=⎨≤⎩.5.会求随机变量函数的分布.考点：随机变量与分布函数1.随机变量：设试验E 的样本空间为Ω，如果对于每一个样本点Ω∈ω，都有一个实数)(ωX 与之对应，则称定义在Ω上的单值实值函数)(ωX 为随机变量，简记为X . 通常用,,X Y Z 等表示随机变量.【注】随机变量的等式和不等式可表示随机事件. 2.分布函数（1）定义：设X 是一个随机变量，x 是任意实数，称(){}()F x P X x x =≤−∞<<+∞为X 的分布函数.（2）基本性质①单调不减，即若12x x <，则12()()F x F x ≤；②lim ()0x F x →−∞=，lim ()1x F x →+∞=； ③()F x 是右连续，即(0)()F x F x +=.【注】这三条性质是一个函数作为某随机变量的分布函数的充分必要条件. （3）其他性质（用分布函数()F x 求概率）①)()(}{a F b F b X a P −=≤<； ②)0(}{−=<a F a X P ；③)0()(}{−−==a F a F a X P ；④)0()0(}{−−−=<≤a F b F b X a P ； ⑤)()0(}{a F b F b X a P −−=<<； ⑥{}()(0)P a X b F b F a ≤≤=−−. 【注】分布函数在处连续.【例1】 下述函数中，可以作为某个随机变量的分布函数的是（ ） （A ） ()211F x x =+ （B ）()x x F sin = （C ） ()11arctan π2F x x =+ （D ） ()1e ,020,0xx F x x −⎧−>⎪=⎨⎪≤⎩【例2】 设随机变量X 的分布函数为()00πsin 02π12,x F x A x,x ,x ⎧⎪<⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，则A _____=，6P X ______π⎧⎫<=⎨⎬⎩⎭.【例3】 已知随机变量X 的分布函数为()0,11,18,111,1x x F x ax b x x <−⎧⎪⎪=−⎪=⎨⎪+−<<⎪≥⎪⎩，且()F x a {}0P X a ⇔=={}114P X ==，则_____,_____a b ==. 【例4】 设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥−<≤<=−1,110,210,0)(x e x x x F x，则{}1P X ==（ ）（A ）0 （B ）21（C ）121−−e （D ）11e −−考点：离散型随机变量及其分布1.离散型随机变量定义：若随机变量X 所有可能取值是有限或可列无限个，则称X 为离散型随机变量.2.分布律（1）定义：设离散型随机变量X 的所有可能取值为()12i x i ,,=，且X 取ix 的概率为i p ，则称{}()12i i P X x p i ,,===为离散型随机变量X 的分布律.X（2）基本性质：①0,1,2,i p i ≥=；②11ii p∞==∑.【注】这两条性质也是一个数列可以作为某随机变量分布律的充分必要条件. 3.离散型随机变量的分布函数若离散型随机变量X 的分布律为{}()12i i P X x p i ,,===，则X 的分布函数为(){}{}()i i i i x xx xF x P X x P X x p x ≤≤=≤===−∞<<+∞∑∑.若123x x x <<<，则()111212230,,,x x p x x x F x p p x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨+≤<⎪⎪⎩. 【注】若已知X 的分布函数()F x （阶梯函数），则X 的分布律为{}()()0i i i P X x F x F x ==−−，12i ,,=.【例1】 （1）做n 次伯努利实验，已知每次成功的概率均为()10<<p p ，令X 表示n 次试验中成功的次数，求X 的分布律.（2）做伯努利试验，已知每次成功的概率均为()10<<p p ，令X 表示直到第一次成功为止所进行的实验次数，求X 的分布律.【例2】 设袋中有5个球，其中3个新球，2个旧球，从中任取3个球，用X 表示3个球中新球个数，求X 的分布律与分布函数.考点：连续型随机变量及其分布1.连续型随机变量及其概率密度（1）定义：设随机变量X 的分布函数为()F x ，若存在非负可积函数()f x ，使得对于任意实数x ，有()()xF x f t dt −∞=⎰，则称X 为连续型随机变量，()f x 称为X 的概率密度函数，简称概率密度（简写为.f .d .p ）.【注】①只有存在概率密度的随机变量才能称为连续型随机变量，分布函数连续的随机变量不一定是连续型随机变量.②存在既非连续型又非离散型的随机变量.③(),()()0()F x x F x f x x F x '⎧=⎨⎩为的可导点，为的不可导点. （2）概率密度的基本性质：①()0f x ≥；②()1f x dx +∞−∞=⎰.【注】这两条性质是一个函数可以作为概率密度函数的充分必要条件.（3）连续型随机变量的其他性质： ①)(x F 处处连续.②对()+∞∞−∈∀,a ，有{}.0==a X P ③若()f x 在x 处连续，则有()()F x f x '=. ④对于任意的实数()1212x ,x x x ≤，有{}()()211221()x x P x X x F x F x f x dx <≤=−=⎰.【例1】 设随机变量X 的概率密度为()x f ，则下列函数中必为某随机变量的概率密度的是（ ）（A ）()x f 2 （B ）()x f 2 （C ）()x f −1 （D ）()x f −1【例2】 设随机变量X 的概率密度为()cos ,||20,||2A x x f x x ππ⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，求（1）常数A ； （2）X 的分布函数为()x F . 【例3】 设随机变量X 的概率密度为()1||,||10,x x f x else −<⎧=⎨⎩，则______412=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<−X P .考点：常见分布1.常见的离散型随机变量 （1） 0-1分布若随机变量X 的分布律为{}()()110101kk P X k p p ,k ,p −==−=<<，则称X 服从0-1分布，记为),1(~p B X .（2） 二项分布若随机变量的分布律为{}C (1),0,1,2,k k n kn P X k p p k n −==−=，其中01p <<，则称X 服从二项分布，记为~(,)X B n p .（3） 几何分布若随机变量X 的分布律为{}1(1)k P X k p p −==−⋅，1,2,3k =，其中01p <<，则称X 服从参数为p 的几何分布，记为()~X G p .（4） 超几何分布（从未考过）若随机变量X 的分布律为{}C C C k n kM N MnNP X k −−==，其中N k ∈，且{}{}n M k N n M ,min ,0max ≤≤−+，则称X 服从超几何分布.【注】：此公式的数学模型为：设N 件产品中含M 件次品，现从中任取n 件产品，则所取的n 件产品恰有k 件次品的概率.（5） 泊松分布 ①定义若随机变量X 的分布律为{}e !kP X k k λλ−==，0,1,2,k =，其中0λ>，则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为~()X P λ.X②泊松定理（数一了解；数三掌握）设0λ>是一个常数，n 是任意正整数，若lim n n np λ→∞=，则对于任意的非负整数k ，有()e lim 1.!nk n kkknn n C p p k λλ−−→∞−=【例1】 设随机变量X 服从参数为()2,p 的二项分布，随机变量Y 服从参数为()3,p 的二项分布，若{}519P X ≥=，则{}1_______P Y ≥=. 【例2】 设某时间段内通过一路口的汽车流量服从泊松分布，已知该时段内没有汽车通过的概率为1e，则这段时间内至少有两辆汽车通过的概率为___________. 2.常见的连续型随机变量 （1） 均匀分布若X 的概率密度为1,()0,a xb f x b a⎧<<⎪=−⎨⎪⎩其它，则称X 在()a,b 上服从均匀分布，记为()~,X U a b ，其分布函数为0,(),1,x a x aF x a x b b a x b<⎧⎪−⎪=≤<⎨−⎪⎪≥⎩. （2） 指数分布若X 的概率密度为e ,0()0,0x x f x x λλ−⎧>=⎨≤⎩，其中0λ>，则称X 服从参数为λ的指数分布，记为()XE λ，其分布函数为1e ,0()0,0x x F x x λ−⎧−≥=⎨<⎩.（3） 正态分布若随机变量X的概率密度为22()2()()x f x x μσ−−=−∞<<+∞，其中0σ>,μ与σ均为常数，则称X 服从参数为,μσ的正态分布，记为2~(,)X N μσ，其分布函数为22()2()d ()t xF x t x μσ−−=−∞<<+∞⎰.特别地，当0,1μσ==，即~(0,1)X N ，称X 服从标准正态分布，其概率密度为22(),x x x ϕ−=−∞<<+∞，分布函数22()d t xx t −Φ=⎰，x −∞<<+∞.【注】（1）指数分布的无记忆性：若()~X E λ，则对任意的0,0s t >>，有{}{}|.P X s t X s P X t >+>=>【例3】 设随机变量()6,1~U X ，则方程012=++Xy y 有实根的概率为____.【例4】 设随机变量()~2,5X U ，现对X 进行三次独立重复观测，求至少有两次观测值大于3的概率.【例5】 设随机变量Y 服从参数为12λ=的指数分布，求关于未知量x 的方程2230x Yx Y ++−=没有实根的概率.【例6】 设随机变量的概率密度函数为()221e ()x x f x k x −+−=−∞<<+∞X则常数=_______k .【例7】 设随机变量()22,X N σ且{}240.3P X <<=，则{}0_______P X <=.【例8】 设随机变量()2,X N μσ，则概率{}P X μσ−<的值随着σ的增大而（ ）（A ）增大 （B ）减小 （C ）保持不变 （D ）无法确定考点：随机变量函数的分布1.离散型随机变量函数的分布设X 为离散型随机变量，其概率分布为{},1,2,i i P X x p i ===，函数()g x 连续，则随机变量()Y g X =的分布律为{}(),1,2,i k k i g x y P Y y p k ====∑.做法：找到Y 全部可能的取值，算出相应值的概率.【例1】 设随机变量X 在()1,2−上服从均匀分布，1,01,0X Y X −<⎧=⎨≥⎩，求Y 的分布律.【例2】（课后作业）设随机变量X 的概率分布为，求常数和的概率分布. 2.连续型随机变量函数的分布情形一：Y 为离散型. 做法：找到Y 全部可能的取值，算出相应值的概率. 情形二：Y 为连续型.（1）分布函数法（代数法和几何法）先求出()Y g X =的分布函数()Y F y ，即()(){}()()Y g x y F y P g X y f x dx ≤=≤=⎰，再对()YF y 求导得到Y 的概率密度()Y f y .（2）公式法 若()y g x =在X 的取值区间内有连续导数()g x '，且()0g x '>或者()0g x '<，则()Y g X =是连续型随机变量，且其概率密度为{}(1,2,)3k c P X k k ===c sin()2Y X π=()()()',0,X Y f h y h y y f y αβ⎧<<⎡⎤⎪⎣⎦=⎨⎪⎩其他其中(),αβ为()y g x =的值域，()h y 是()g x 的反函数.情形三：Y 既非连续型又非离散型 做法：分布函数法求其分布函数.【例3】 设随机变量X 服从()0,2上的均匀分布，则随机变量2Y X =在()0,4内的概率密度()Y f y _______=.【例4】 设随机变量X 的概率密度为()22,00,x x f x ππ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它，求sin Y X =的概率密度()Y f y .。
【高三数学】二轮复习：专题五 第2讲 概率、随机变量及其分布
1
感染的,于是假定他受 A 和 B 感染的概率都是2.同样也假定 D 受 A,B 和 C
1
感染的概率都是3.在这种假定下,B,C,D 中恰有两人直接受 A 感染的概率是
(
)
1
A.6
1
B.3
1
C.2
2
D.3
(2)(2021·河北张家口一模)某大学进行“羽毛球”“美术”“音乐”三个社团选拔.
三局.若甲抽到的三张扑克牌分别是A1,A2,A3,乙抽到的三张扑克牌分别是
B1,B2,B3,且这六张扑克牌的大小顺序为A1>B1>B2>A2>A3>B3,则三局比赛
结束后甲得4分的概率为(
1
6
A.
1
3
B.
)
1
2
C.
2
3
D.
(2)(2021·山东泰安三模)已知大于3的素数只分布在{6n-1}和{6n+1}两数
[例2-4](2021·江苏苏州中学园区校月考)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七
场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,
甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,
客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概
率是
.
1
次的概率为2,现有一个该型号的充电宝已经循环充电超过 500 次,则其能够
循环充电超过 1 000 次的概率是(
3
A.4
2
B.3
)
1
C.2
1
D.3
第二章-随机变量与概率分布2
x
x
P{x1<Xx2}=P{X x2}- P{X x1}=F(x2)-F(x1)
③ 分布函数F(x)是一个普通的函数,它完整的描 述了随机变量的统计规律性,通过它我们就可 以利用高等数学的方法来研究随机变量.
二、分布函数的基本性质
1. F(x)是单调非减函数. 即若x1< x2,则F(x1)F(x2). 2. 0 F(x) 1, 且
函数f(x)，使对于任意实数x 有
x
F ( x ) f (t )dt
(*)
则称X 为连续型随机变量,称f(x)为X的概率密度函数.
(1) f ( x) 0;
(2) f ( x )dx 1;
(3)P{x1 X x2} F(x2)F(x1)
x2 x1
f (x)dx,
(x1 x2)
(4)若f(x)在点 x 处连续, 则 F ( x) f ( x)
显XP的然{分c，布f(Xx函)≥数0d,且为} Fcd(fxf()x(x)d)xdbxx101aa
§2.3 随机变量的分布函数
对于非离散型随机变量，由于它的可能取值不 能一个一个地列举出来，因而就不能像离散型随机 变量那样用分布律来描述它；另外,非离散型随机 变量取指定实数值的概率通常等于零, 因而我们主 要来研究随机变量所取的值落在一个区间内的概率, 即P{x1<X x2}, 而
P{x1< X x2}= P{X x2}- P{X x1｝ 所以,只要知道形如 P{X x} 的概率就可以了．
x f (x)dx
0 0dx x kx 2dx
0
x0 0 x2
0
0dx
2 kx2dx
x
kxdx
1
0
概率论与数理统计第2章随机变量及其分布
1 4
)0
(
3 4
)10
C110
(
1 4
)(
3 4
)9
0.756.
(2)因为
P{X
6}
C160
(
1)6 4
(
3 4
)4
0.016
,
即单靠猜测答对 6 道题的可能性是 0.016,概率很小,所
以由实际推断原理可推测,此学生是有答题能力的.
二项分布 b(n, p) 和 (0 1) 分布 b(1, p ) 还有一层密切关
P{X 4} P(A1 A2 ) P(A1)P(A2 ) 0.48 ,
P{X 6} P(A1A2 ) P(A1)P(A2 ) 0.08 , P{X 10} P(A1A2 ) P(A1)P(A2 ) 0.32 , 即 X 的分布律为
X 0 4 6 10
P 0.12 0.48 0.08 0.32
点 e, X 都有一个数与之对应. X 是定义在样本空间 S 上的
一个实值单值函数,它的定义域是样本空间 S ,值域是实数
集合 {0,1,2},使用函数记号将 X写成
0, e TT , X＝X (e) 1, e HT 或TH ,
2, e HH.
▪
例2.2 测试灯泡的寿命.
▪
样本空间是 S {t | t 0}.每一个灯泡的实际使用寿命可
(2)若一人答对 6 道题,则推测他是猜对的还是有答 题能力.
解 设 X 表示该学生靠猜测答对的题数,则
X
~
b(10,
1) 4
.
(1) X 的分布律为
P{X
k}
C1k0
(
1)k 4
(
3 4
随机变量及其分布PPT课件
例8. 某类灯泡使用时数在1000小时以上 的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率.
解: 设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯
泡数 . X ~ B (3, 0.8)，
P(X k)C3k (0.8)k (0.把2)观3察k ,一个k 灯泡0,的1,2使,3用
1 6
)k
(
5)3k 6
,
k0,1,2,3
32
例7. 已知100个产品中有5个次品，现从中 有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的 3个中恰有2个次品的概率.
解: 因为这是有放回地取3次，因此这3 次试验
的条件完全相同且独立，它是贝努里试验. 依题意，每次试验取到次品的概率为0.05. 设X为所取的3个中的次品数，
请思考： 古典概型与贝努里概型不同，有何区别？
34
贝努里概型对试验结果没有等可能的 要求，但有下述要求： （1）每次试验条件相同；
（2）每次试验只考虑两个互逆结果A或 A ，
且P(A)=p ，P( A) 1 p；
（3）各次试验相互独立. 可以简单地说， 二项分布描述的是n重贝努里试验中出现 “成功”次数X的概率分布.
随后单调减少.
..
0
n=13,p=0.5
..n
当(n+1)p为整数时，二项概率P(X=k) 在k=(n +1)p和k =(n+1)p-1处达到最大 值.
课下请自行证明上述结论.
31
例6. 将一枚均匀骰子抛掷3次， 令X 表示3次中出现“4”点的次数
不难求得，
X的概率分布列是：
P{
X
k}C3k
(
第三章
随机变量及其分布
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选去第一医院工作有1种情况，所以概率为P＝
1 9
.
(2)河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与
自己的观察，画出的“八卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”．把
一到十分成五组，如图，其口诀：一六共宗，为水居北；二七同道，为
火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；
五十同途，为土居中．现从这十个数中随机抽取四个数，
(2)从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取2个，用X表示抽得甲组 学生的人数，求随机变量X的分布列和均值.
解 由(1)知，在参加问卷调查的12名学生中，来自甲、丙两小组的学生 人数分别为4,2， 所以抽取的两个人中是甲组学生的人数X的可能取值为0,1,2， 因为 P(X＝0)＝CC04C26 22＝115， P(X＝1)＝CC14C26 12＝185， P(X＝2)＝CC24C26 02＝25.
所以随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
1 15
8 15
2 5
所以随机变量 X 的均值为 E(X)＝0×115＋1×185＋2×25＝43.
跟踪演练2 PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于
2.5微米的可入肺颗粒物.根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值
在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方
2 考点二 随机变量的分布列
PART TWO
核心提炼
1.超几何分布 在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，则事件{X ＝k}发生的概率 P(X＝k)＝CMk CCnNnN－－kM，k＝0,1,2，…，m，其中 m＝min{M，n}， 且 n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
解析 由题意可知，填写的可能结果共有如下32种： 00000,00001,00010,00011,00100,00101,00110,00111， 01000,01001,01010,01011,01100,01101,01110,01111， 10000,10001,10010,10011,10100,10101,10110,10111， 11000,11001,11010,11011,11100,11101,11110,11111， 其中满足题意的有10种： 10101,10110,10111,11001,11010,11011,11100,11101,11110,11111， 由古典概型概率计算公式可得满足题意的概率值 P＝3120＝156.
跟踪演练1 (1)(2018·全国Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究
中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示
为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个
不同的数，其和等于30的概率是
A.112
B.114
√C.115
D.118
解析 不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个， 随机选取两个不同的数，共有 C210＝45(种)情况，
专题五 概率与统计
考情分析
KAO QING FEN XI
1.考查古典概型、互斥事件、相互独立事件、独立重复试验等内容， 主要以选择题、填空题的形式出现，中低等难度.
2.离散型随机变量的分布列、均值、方差和概率的计算问题常常结合 在一起进行考查，中高等难度．
内
考点一
容 索
考点二
引
专题强化练
1 考点一 古典概型
而和为30的有7＋23,11＋19,13＋17这3种情况， 所以所求概率为435＝115.
(2)用0与1两个数字随机填入如图所示的5个格子里，每个格子填一个数字， 并且从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数，则 这样填法的概率为
5 A.32
√B.156
11 C.32
11 D.16
PART ONE
核心提炼 古典概型的概率公式 P(A)＝mn ＝事件试A验中的所基含本的事基件本总事数件数.
例1 (1)(2020·宁夏六盘山高级中学模拟)2020年春节突如其来的新型冠
状病毒肺炎在某省爆发，一方有难八方支援，全国各地的白衣天使走上
战场的第一线，某医院抽调甲、乙、丙三名医生，抽调A，B，C三名护
士支援某市第一医院与第二医院，参加该市疫情狙击战.其中选一名护士
与一名医生去第一医院，其他都在第二医院工作，则医生甲和护士A被
选去第一医院工作的概率为
1 A.12
1 B.6
1 C.5
√D.19
解析 根据题意，选一名护士与一名医生去第一医院，有：甲A，甲B，
甲C，乙A，乙B，乙C，丙A，丙B，丙C,9种情况，而医生甲和护士A被
则能成为两组的概率是
1 A.5
1 B.10
√C.211
1 D.252
解析 现从这十个数中随机抽取 4 个数，基本事件总数 n＝C410，
能成为两组的基本事件个数 m＝C25，则能成为两组的概率是 P＝mn＝CC41250＝211.
规律 方法
古典概型求解的关键点 (1)正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常 常用到排列、组合的有关知识. (2)对于较复杂的题目计数时要正确分类，分类时应不重不漏．
小组 甲 乙 丙 丁
人数
12
9
6
9
(1)从参加问卷调查的12名学生中随机抽取2人，求这2人来自同一个小组 的概率；
解 由题意得，问卷调查从四个小组中抽取的人数分别为 4,3,2,3，从参加 问卷调查的 12 名学生中随机抽取两人的取法共有 C212＝66(种)，抽取的两 名学生来自同一小组的取法共有 C24＋2C23＋C22＝13(种)， 所以，抽取的两名学生来自同一个小组的概率为 P＝6163.
2.二项分布 一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试 验中事件A发生的概率为p，则 P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.
考向一 超几何Leabharlann 布例2 (2020·天津市滨海新区塘沽第一中学模拟)4月23日是“世界读书 日”，某中学开展了一系列的读书教育活动.学校为了解高三学生课外阅 读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个读书小组 (每名学生只能参加一个读书小组)学生中抽取12名学生参加问卷调查.各 组人数统计如下：