二次根式的乘除法和加减法
二次根式及其运算
(2)原式＝( 10－3)2016×( 10＋3)2016×( 10－3) ＝[( 10－3)( 10＋3)]2016×( 10－3) ＝[( 10)2－32]2016×( 10－3) ＝(10－9)2016×( 10－3)＝1×( 10－3) ＝ 10－3.
★名师指津 最简二次根式成立的条件缺一不可，而二次 根式在表达形式上，容易导致认识错误，例如 0.2b和 x2－y2，会误以为前者不含分母、后者含有能开方的因 式．应注意对数学概念的理解：小数可以转化成分数， 因式和项有区别．
易错点3
二次根式的性质
＝|a|
1 1 1 2 【典例 3】 化简并求值：a＋ a ＋ 2－2，其中 a＝ . a 5 12 a － 1 1 1 【错解】 原式＝ ＋ a ＝ ＋a－ ＝a. a a a 1 1 当 a＝ 时，原式＝a＝ . 5 5 12 a － 1 【析错】 化简 a2＋ 2－2＝ 根据 a2＝|a|， a 时， a 可知结果一定是非负数． 12 1 a－ a－ 1 1 1 ∵当 a＝ 时，a－ <0，∴ a ＝ a ＝ －a， 5 a a 1 而不是 a－ . a
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x≤ 9
x－ 1 【类题演练 1】 (2016· 怀化)函数 y＝ 中， 自变量 x x－ 2 的取值范围是 ( ) A. x≥0 B. x＞1 C. x≥1 且 x≠2 D. x≠2
【解析】 根据二次根式有意义的条件，得 x－1≥0，由 分式有意义的条件，得 x－2≠0， ∴x≥1 且 x≠2.
【答案】 D
2．(2016· 自贡)下列根式中，不是最简二次根式的是( A. 10 B. 8 C. 6 D. 2
二次根式的知识点汇总
二次根式的知识点汇总知识点一：二次根式的概念形如仁.）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以匚二丨是仁为二次根式的前提条件，如门，∖i ' ，等是二次根式，而辰，y∣-x-l等都不是二次根知识点二：取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≥0时，二；有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a< 0时，仁没有意义。
知识点三：二次根式化I）的非负性仁（匚二I）表示a的算术平方根，也就是说，仁（匚二I ）是一个非负数，即仁二O （ = _ I ）。
注：因为二次根式仁（「：_ .∣）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，O的算术平方根是0,所以非负数（「：_.）的算术平方根是非负数，即■'-：上0^|），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若丄V ,则a=0,b=0 ;若S L' '■;" r,贝Ua=0,b=0 ;若-Jl-■- ÷∙-' ：J I,则a=0,b=0。
知识点四：二次根式（仁）*的性质文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
知识点五：二次根式的性质知识点六：V：'1与「的异同点1、不同点:与= 表示的意义是不同的,表示一个正数a的算术平方根的平方，而二表示一个实数a的平方的算术平方根；在'x-1''中匸二1，而中a可以是正实数，0,负实数。
但\-.：|；'与都是非负数，即J"；」，" H。
因而它的运算的结果是有差别的■山，2、相同点：当被开方数都是非负数，即一丨时，■」£「；时，A「无意义，而=-■.知识点七：二次根式的运算（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面•（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式.（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，？乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算•【例题精选】二次根式有意义的条件：例1:求下列各式有意义的所有X的取值范围O 3 - 2x；2)x T；⑶____ 3解：（1）要使∙∙3-2X有意义，必须3-2x_ 0,由3-2x_0得x_?， .当X空？时，,ab =、. a ∙ b (a≥0 b≥0 ；式子..、3-2X在实数范围内有意义。
二次根式及计算
二次根式及计算————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：ﻩ初中数学二次根式及计算编稿老师董志臣一校安宁二校黄楠审核宋树庆考点考纲要求分值考向预测二次根式及计算１.理解二次根式定义，理解最简二次根式、同类二次根式含义并能加以区分；2.能够进行二次根式的有关加减乘除运算,以及化简求值；３.掌握二次根式的特殊求值方法,能够运用二次根式的性质解决问题。
5～10分主要考查内容:二次根式有意义的条件;二次根式性质的运用；（a)2与2a的化简;二次根式的计算。
一、二次根式的基本概念：1．定义一般地,形如a(a≥０)的代数式叫作二次根式。
“”称为二次根号。
（当a≥0时,a表示a的算术平方根)【要点诠释】（１)形如ab（a≥０）的式子也叫作二次根式；(2）二次根式a中的被开方数a，可以是数,也可以是单项式、多项式、分式，但必须满足a≥0。
2. 二次根式的性质①非负性,a表示a的算术平方根,因此a（a≥0）是一个非负数；②2)(a＝a(a≥0);③2a=a=(0)0(0)(0)a aaa a>⎧⎪=⎨⎪-<⎩；④积的算术平方根的性质：积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积；ab＝a·b(a≥0，b≥0）⑤商的算术平方根的性质:商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
a b ＝a b(ａ≥0，b>0） ３. 最简二次根式 必须同时满足下列条件① 被开方数中不含开方开得尽的因数或因式； ② 被开方数中不含分母； ③ 分母中不含根式。
【规律总结】在判断最简二次根式的过程中要注意:① 在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数,就不是最简二次根式；② 在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数),如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式。
【随堂练习】(长宁区二模）下列二次根式中，最简二次根式是（ ) A.9x Ｂ. 23x -Ｃ.x yx- D. 23a b答案:A. 9x =23x ⨯＝3x ，可化简;C ． x yx-= ()x x y x x -⨯=2x xy x-,可化简；D.23a b =｜ａ|3b ,可化简；因此只有B 是最简二次根式，故选B 。
八年数学下二次根式加减乘除混合运算考点与讲解二次根式加减乘除混合运算考点与讲解
二次根式加减乘除混合运算考点与解析1．计算：．考点：二次根式的乘除法．专题：计算题．分析：按照•=，从左至右依次相乘即可．解答：解：，=2．点评：本题考查二次根式的乘法运算，比较简单，注意在运算时要细心．2．计算：﹣32+×+|﹣3|考点：二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值．分析：分别利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质化简求出即可．解答：解：﹣32+×+|﹣3|=﹣9+×+3﹣=﹣5﹣．点评：此题主要考查了二次根式的混合运算以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质等知识，正确化简各数是解题关键．3．计算：（﹣1）2015+sin30°+（2﹣）（2+）．考点：二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值．分析：运用﹣1的奇次方等于﹣1，30°角的正弦等于，结合平方差公式进行计算，即可解决问题．解答：解：原式=﹣1++4﹣3=．点评：该题主要考查了二次根式的混合运算、特殊角的三角函数值等知识点及其应用问题；牢固掌握特殊角的三角函数值、灵活运用二次根式的混合运算法则是正确进行代数运算的基础和关键．4．计算：．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：先根据二次根式的乘除法法则得到原式=﹣+2，然后利用二次根式的性质化简后合并即可．解答：解：原式=﹣+2=4﹣+2=4+．点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后进行二次根式的加减运算．5．计算：（1）sin60°﹣|﹣|﹣﹣（）﹣1（2）（1+）÷．考点：二次根式的混合运算；分式的混合运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：（1）根据特殊角的三角函数值、分母有理化和负整数指数幂的意义得到原式=﹣﹣﹣2，然后合并即可；（2）先把括号内合并和除法运算化为乘法运算，然后约分即可．解答：解：（1）原式=﹣﹣﹣2=﹣2；（2）原式=•=x．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数指数幂和分式的混合运算．6．计算：（2015﹣π）0+|﹣2|+÷+（）﹣1．考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．分析：首先根据零指数幂、负整数指数幂的运算方法，二次根式的除法的运算法则，以及绝对值的求法计算，然后根据加法交换律和结合律，求出算式（2015﹣π）0+|﹣2|+÷+（）﹣1的值是多少即可．解答：解：（2015﹣π）0+|﹣2|+÷+（）﹣1．=1+3=（1+2+3）=6+0=6点评：（1）此题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”．（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）a0=1（a≠0）；（2）00≠1．（3）此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）a﹣p=（a≠0，p为正整数）；（2）计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；（3）当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．（4）此题还考查了绝对值的非负性和应用，要熟练掌握．7．化简：（1）（2）（3）．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：（1）、（2）利用二次根式的性质把二次根式化为最简二次根式；（3）根据平方差公式计算．解答：解：（1）原式=4；（2）原式=；（3）原式=（﹣）（+）=3﹣2=1．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．8．计算：（1）（2）﹣5+6（3）×﹣（4）﹣π（精确到0.01）．考点：二次根式的混合运算．分析：（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（3）根据二次根式的乘法法则运算；（4）把≈1.414，π=3.142代入原式进行近似计算即可．解答：解：（1）原式=2+4﹣=5；（2）原式=4﹣+=3；（3）原式=﹣=20﹣3=17；（4）原式≈0.5+1.414﹣3.142≈﹣1.23．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．9．计算：﹣﹣（）2+|2﹣|．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：先把各二次根式化为最简二次根式，再根据绝对值的意义去绝对值，然后合并即可．解答：解：原式=2﹣﹣2+2﹣=．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．10．计算：（）﹣1﹣|2﹣1|+．考点：二次根式的混合运算；负整数指数幂．专题：计算题．分析：根据负整数指数幂和分母有理化的意义得到原式3﹣2+1+，然后合并即可．解答：解：原式=3﹣（2﹣1）+=3﹣2+1+=4﹣．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数指数幂．11．计算：+（﹣）+．考点：二次根式的混合运算．分析：先进行二次根式的化简和乘法运算，然后合并．解答：解：原式=+1+3﹣3+=4﹣．点评：本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简和乘法法则．12．计算：（）﹣2﹣+（﹣6）0﹣．考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：根据零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值得到原式=4﹣4+1﹣，然后进行二次根式的除法运算后合并即可．解答：解：原式=4﹣4+1﹣=1﹣2=﹣1．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值．13．计算：（2﹣）2+﹣（）﹣1．考点：二次根式的混合运算；负整数指数幂．专题：计算题．分析：根据完全平方公式和负整数指数幂的意义得到原式=4﹣4+3﹣3，然后合并即可．解答：解：原式=4﹣4+3﹣3=1﹣．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数指数幂．14．计算（1）（2）．考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．分析：（1）先算负指数幂，0次幂和绝对值，再进一步合并即可；（2）先利用平方差公式和二次根式的性质化简，再进一步合并即可．解答：解：（1）原式=2﹣1+3=4；（2）原式=2﹣3+﹣2=﹣3．点评：此题考查二次根式的混合运算，正确掌握二次根式的性质化简以及乘法计算公式是解决问题的关键．15．（1）计算：4×÷﹣2sin30°﹣（）﹣1（2）化简：÷﹣．考点：二次根式的混合运算；分式的混合运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．分析：（1）分别进行二次根式的乘法运算、除法运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂等运算，然后合并；（2）根据分式的混合运算法则求解．解答：解：（1）原式=10÷﹣2×﹣2=10﹣1﹣2=7；（2）原式=•﹣=﹣=．点评：本题考查了二次根式的混合运算、特殊角的三角函数值、负整数指数幂等知识，掌握运算法则是解答本题的关键．16．计算：（1）+（﹣2013）0﹣（）﹣1+|﹣3|（2）÷﹣×+．考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．专题：计算题．分析：（1）根据零指数幂和负整数指数幂的意义得到原式=3+1﹣2+3，然后进行加减运算；（2）根据二次根式的乘除法则运算．解答：解：（1）原式=3+1﹣2+3=5；（2）原式=﹣+2=4﹣+2=4+．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂和负整数指数幂．17．计算（1）÷+﹣3（2）（+）（﹣）．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：（1）先进行二次根式的除法运算，再先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用平方差公式计算．解答：解：（1）原式=+2﹣3=0；（2）原式==a﹣2b．点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．18．（1）（2）．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：（1）先进行乘方和开方运算，再进行乘法运算，然后进行减法运算；（2）先去括号，然后合并即可．解答：解：（1）原式=4+4×（﹣）=4﹣3=1；（2）原式=2+2﹣=2+．点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．19．计算题：（1）+﹣；（2）（1+）（﹣）﹣（2﹣1）2．考点：二次根式的混合运算．分析：（1）先进行二次根式的化简，然后合并；（2）先进行二次根式的乘法运算，然后合并．解答：解：（1）原式=3+﹣=4﹣；（2）原式=﹣+﹣3﹣13+4=4﹣2﹣13．点评：本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握二次根式的乘法法则以及二次根式的化简．20．计算（1）+（3+）（2）（﹣）×2（3）先化简，再求值．（a+）﹣（﹣b），其中a=2，b=3．考点：二次根式的混合运算；二次根式的化简求值．专题：计算题．分析：（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）根据二次根式的乘法法则运算；（3）先把各二次根式化为最简二次根式得到原式=+2﹣+，然后合并后把a和b的代入即可．解答：解：（1）原式=3+3+2=8；（2）原式=2﹣2=4﹣；（3）原式=+2﹣+=+3当a=2，b=3时，原式=+3．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了二次根式的化简求值．。
二次根式化简与计算的方法和技巧
二次根式化简与计算的方法和技巧根式（或称为根号）是数学中一个重要的概念，在许多数学问题中都会涉及到根式的计算与化简。
在本文中，我将介绍一些二次根式化简与计算的方法和技巧。
一、根式的化简方法1.合并同类项：对于具有相同根号的根式，可以将它们合并为一个根式，并进行运算。
例如，√3+√2+√3=2√3+√22.有理化分母：当根式的分母为根号时，可以通过有理化分母将其转化为有理数。
有理化分母的方法有两种：一是乘以分子分母的共轭复数；二是进行分式的乘法和除法。
例如，√2/(√2+1)可以有理化分母得到(√2/(√2+1))*((√2-1)/(√2-1))=(√2-1)。
3.化简复数根式：对于具有复数根号的根式，可以使用以下性质进行化简：(1)√(-a)=i√a（其中i为虚数单位）(2) √(ab) = √a * √b（其中a和b为非负实数）4.有理数展开：对于一些特殊的根式，可以将其展开为有理数的形式。
例如，√5可以展开为√5=√(4+1)=√(2^2+1)=2√(1/4+1/2)=2√(3/4)=2√3/2=√3二、根式的计算技巧1.四则运算：根式可以进行加法、减法、乘法和除法等四则运算。
在进行四则运算时，需要进行化简和合并同类项的操作。
2.分解因式：对于一些具有完全平方数的根式，可以通过分解因式的方法进行计算。
例如，√12=√(4*3)=2√33.二次根式的乘除法：当进行二次根式的乘法或除法时，可以根据根式的性质进行相应的计算。
例如，√3*√5=√(3*5)=√15；√3/√2=(√3/√2)*(√2/√2)=√(3*2)/√2=√6/√2=√34.化简复杂根式：对于一些形式较为复杂的根式，可以使用分解因式、合并同类项、有理化分母等方法进行化简。
例如，√(6+√8)=√[(√2)^2+√8]=√[2+2√2]=√2*√(1+√2)。
5.平方差公式：当进行根式的乘法和除法时，可以利用平方差公式进行计算。
同类2次根式
同类2次根式摘要：一、同类二次根式的概念1.同类二次根式的定义2.同类二次根式的性质二、同类二次根式的计算方法1.合并同类二次根式2.同类二次根式的乘除法3.同类二次根式的加减法三、同类二次根式的应用1.二次根式的化简2.二次根式的求值3.二次根式的应用实例正文：同类二次根式是数学中一种常见的概念，对于理解和掌握二次根式的性质和计算方法有着重要的作用。
一、同类二次根式的概念同类二次根式是指具有相同根指数和相同被开方数的二次根式。
例如，$sqrt{8}$ 和$sqrt{16}$ 就是同类二次根式，因为它们的根指数都是2，被开方数都是8。
同类二次根式具有以下性质：同类二次根式的和等于它们的和的二次根式；同类二次根式的积等于它们的积的二次根式。
二、同类二次根式的计算方法1.合并同类二次根式：当同类二次根式之间进行加减运算时，可以直接将它们的系数相加减，而根式部分保持不变。
例如，$sqrt{8} - sqrt{2} = sqrt{8 - 2} = sqrt{6}$。
2.同类二次根式的乘除法：同类二次根式的乘法就是将它们的系数相乘，根式部分保持不变；同类二次根式的除法就是将它们的系数相除，根式部分保持不变。
例如，$sqrt{8} times sqrt{2} = sqrt{8 times 2} = sqrt{16} = 4$；$sqrt{8} div sqrt{2} = sqrt{frac{8}{2}} = sqrt{4} = 2$。
3.同类二次根式的加减法：同类二次根式的加减法需要先将它们化为同类二次根式，然后再进行加减运算。
例如，$sqrt{8} + sqrt{2}$ 不能直接进行加法运算，需要先将$sqrt{2}$ 化为$sqrt{4} times sqrt{2}$，然后再与$sqrt{8}$ 相加，得到$sqrt{8} + sqrt{4} times sqrt{2} = sqrt{8} +2sqrt{2}$。
(完整)九年级上册数学《二次根式》知识点整理,推荐文档
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图1
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R
r
图2
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图3
图5
四 垂径定理: 垂径定理：垂直于
弦的直径平分弦且平分弦所对的弧
推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
二次根式
一、本节学习指导
学习二次根式时，我们把平方根的知识顺带巩固一下。这就是系统性学习，这样学习 的好处是把零碎的知识可以系统起来。本节中我们要对二次根式有意义的条件要掌握。
二、知识要点 1、二次根式的概念：形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式。
注意：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但
x b 1 9 1 3
2a
4
4
x1
1,
x2
1 2
4、 因式分解法
方法：将式子左边进行因式分解，右边为 0
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例: 2x2 10x x 10
解 : 2x(x 10) (x 10) 0
(x 10)(2x 1) 0
x 10 0或2x 1 0
x1
10,
x2
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都
相等的一条直线
三 位置关系：
1 点与圆的位置关系:
点在圆内
d<r
点 C 在圆内
点在圆上
d=r
点 B 在圆上
点在此圆外
d>r
点 A 在圆外
二次根式方法总结大全
二次根式一一、二次根式的定义一般地，0)a ≥的式子叫做二次根式。
A 叫做被开方数。
叫做二次根号。
注意：二次根式必须满足两个条件：（1；（2）被开方数一定是非负数。
考点一：识别二次根式例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？1x x>0）1x y+x ≥0，y ≥0）总结：判断一个式子是不是二次根式，一定要紧扣定义，看所给的式子是不是具备二次根式的两个特征。
二、二次根式的性质1、积的算术平方根的性质：)0,0(≥≥•=b a b a ab ；2、商的算术平方根的性质：)0,0(>≥=b a bab a 。
考点二：二次根式的化简 例2 求下列各式的值：（1 （2； （3 （4 例3 化简：（1 （2 （3随堂练习一1、在式子（1（2（3；（4；（5中，是二次根式的有（ ）个A 、2B 、3C 、4D 、5 2、下列各式中，一定是二次根式的是( )．A 、23-B 、2)3.0(-C 、2-D 、x3、化简：（1（2（3（4三、最简二次根式与同类二次根式1、一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的根式叫做最简二次根式。
注意：最简二次根式必须具备两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
2、几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。
注意：同类二次根式以下三点： ①都是二次根式，即根指数都是2；②必须先化成最简二次根式；③被开方数相同。
考点三：化成最简二次根式 例4 把下列根式化成最简根式（1）16；（2）12；（3）8；（4）125 ；（5；（6例5下列根式中，哪些是同类二次根式？为什么？，总结：在判断同类二次根式时，一定要看清楚被开方数和根指数是否相同。
随堂练习二1、把下列二次根式32，27，125，454，82，18，12，15化简后，与2 的被开方数相同的有________；与3的被开方数相同的有________；与5的被开方数相同的有________．2、化简后，与2的被开方数相同的二次根式是( )．A 、12B 、18C 、41 D 、61 3、在二次根式①12；②23；③32；④27中，与3是同类二次根式的是（ ） A 、①，③ B 、②，③ C 、①，④ D 、③，④4 ）A B C D乘除法法则：（10,0)a b ≥≥；（20,0)a b=≥＞。
二次根式加减法法则
二次根式加减法法则
二次根式加减法法则：先把各个二次根式化简成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并。
根式加减法法则是根式的运算法则之一，若干根式相加减，先把各根式化成最简根式，再合并同类根式，并将不同类的根式用运算符号连写在一起。
二次根式的加减法
（1）同类二次根式：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
（2）合并同类二次根式：把几个同类二次根式合并为一个二次根式就
叫做合并同类二次根式。
（3）二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被
开方数相同的进行合并。
二次根式的乘除法
二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变，再把结果化为最
简二次根式。
（1）乘法运算：两个数的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术
平方根。
（2）除法运算：两个数的算术平方根的商，等于这两个数商的算术平
方根。
二次根式的加减乘除
⼆次根式的加减乘除⼆次跟式的加减乘除练习知识点1. ⼆次根式的有关概念：⑴⼆次根式：式⼦■-1 (a > 0)做⼆次根式。
(2) 最简⼆次根式：满⾜下列两个条件的⼆次根式，叫做最简⼆次根式；①被开⽅数的因数是整数，因式是整式；②被开⽅数中不含 _______________________ 。
如倨不是最简⼆次根式，因被开⽅数中含有4是可开得尽⽅的因-⼀，5："，J 都是最简⼆次根式。
(3) 同类⼆次根式：⼏个⼆次根式化成最简⼆次根式以后，如果，这⼏个⼆次根式就叫做同类⼆次根式如, ⼼就是同类⼆次根式，因为丄=2-'，?⼃…：=3 J，它们与「I的被开⽅数均为2。
(4) 有理化因式：两个含有⼆次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有⼆次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。
如’?与」，a+」与a」|，「- 与」+ '、，互为有理化因式。
2. ⼆次根式的性质:(2) ⾮负数的算术平⽅根再平⽅仍得这个数，即:a(a > 0)(3) _________________________________________ 某数的平⽅的算术平⽅根等于某数的，即辭=冏=1⼀匝<°(4) ⾮负数的积的算术平⽅根等于积中各因式的算术平⽅根的积，即(5) ⾮负数的商的算术平⽅根等于被除式的算术平⽅根除以除式的算术平⽅根，即3. ⼆次跟式的加减法则：同类⼆次根式可以合并，合并时，只合并⼆次根式前边的倍数，被开⽅数不变。
知识点四：⼆次根式的乘除1. ⼆次根式的乘法法则：⼆次根式的除法则：两个数的算术平⽅根的商，等于这两个数商的算术平⽅根。
知识点五：⼆次根式的性质(1) (a > 是⼀个⾮负数,即■ ab(a°，b°〉反过来，就得到ab..a?、、b(a 0,b 0).V3.... 都不是最简⼆次根式，⽽ -(a》0,b =)<0(4)⾮负数的积的算术平⽅根等于积中各因式的算术平⽅根的积，即(5) ⾮负数的商的算术平⽅根等于被除式的算术平⽅根除以除式的算术平⽅根，即知识点六：⼆次根式的化简求值利⽤商的算术平⽅根的性质和分式的基本性质化去根号内的分母，即3.化简⼆次根式：运⽤积的算术平⽅根的性质a a(a°)及因式分解等知识化简⼆次根式? k。
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中科教育学科教师辅导讲义讲义编号： ZK_guoshanshan学员编号： 年 级：九 课 时 数：2学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：郭姗姗 课 题二次根式 授课日期及时段 2015 年 月 日 :00 — :00教学目的 1、掌握二次根式的乘、除法运算法则，会进行简单的二次根式的乘除运算；2，会利用积的算术平方根的性质，商的算术平方根的性质对二次根式进行化简；3、掌握将二次根式化为最简二次根式的一般方法教学内容知识点一 二次根式的乘法★二次根式的乘法法则：)0,0(≥≥=⋅b a ab b a★二次根式的乘法法则的拓展：)0,0,0(≥≥≥=⋅⋅c b a abc c b a例1 计算：（1）2334⨯- （2）51121231⨯⨯ （3）yxy 14⋅知识点二 积的算术平方根（即二次根式乘法法则的逆用）★把)0,0(≥≥=⋅b a ab b a 反过来，就得到)0,0(≥≥⋅=b a b a ab ，也就是说，积的算术平方根等于各因式算术平方根的积注意：（1）化简时要把所有能开得尽方的因数（或因式）移到根号外面；（2）在利用)0,0(≥≥⋅=b a b a ab 时，要特别注意满足条件0,0≥≥b a 。
例2 计算与化简，使被开方数不含完全平方的因式（或因数）（1）300 （2）48a （3）)6(32-⨯- （4）)4()36(-⨯- （5）43b a知识点三 二次根式的除法★二次根式的除法法则：)0,0(≥≥=b a b a ba 注意：（1）由于二次根式的被开方数必须是非负数，又因为分母不能是0，所以公式中分子的被开方数 要大于或者等于0，分母的被开方数要大于0，即公式要满足条件0≥a 0,>b（2）当二次根式前面有系数时，可类比单项式与单项式相除的法则，把系数和被开方数分别相除 作为积的因式，即)0,0()(>≥=÷b a b a n m b n a m 例3 计算：（1）633x x ÷ （2）)821(322÷ （3）bab 3272（4）61)31(21÷-÷知识点四 商的算术平方根（即二次根式除法法则的逆用）★商的算术平方根用式子可表示为：)0,0(>≥=b a b a b a ，也就是说，商的算术平方根，等于两个算术平方根的商注意：（1）商的算术平方根的性质的限制条件是0,0>≥b a ，它与积的算术平方根的限制条件类似，但 也有区别，因为分母不能为0，即除式b 不能为0，所以除式b 必须是正数（2）)0,0(>≥=b a ba b a 中的字母可以是数，也可以是代数式，无论是数还是代数式，只有满 足0,0>≥b a ，才能用此性质进行计算例4 化简：（1）92 （2）100211 （3）479-⨯- （4）2327b a 知识点五 最简二次根式★被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因数（或因式）的幂的指数都小于2，像这样的二次根式称为最简二次根式注意：最简二次根式要从以下两点来解释（1）根号下是整数或整式；（2）被开方数中不含能开的尽的因数或因式，也就是每个因数或因式的指数都是1例5 下列各式中属于最简二次根式的是（ ）A 、3x B 、a 8 C 、36x D 、13+x 知识点六 化二次根式为最简二次根式★化简二次根式，就是把二次根式化为最简二次根式★把一个二次根式化为最简二次根式的一般步骤：（1）把根号下的带分数化为假分数，把绝对值小于1的小数化为分数；（2）把被开方数中的多项式进行因式分解；（3）使被开方数中不含分母；（4）把被开方数中能开的尽方的因数或者因式利用公式)0(2≥=a a a 去掉根号；（5）化去分母中的根号；（6）约分例6 把下列各式化为最简二次根式：（1）18 （2）1253（3）)0,0(832≥≥y x y x （4）)0,0(2442≥≥+y x y x y x知识点七 分母有理化★把分母中的根号化去的过程，叫做分母有理化（1）在计算二次根式除法时，当分母中的被开方数不能开的尽方时，常用分母有理化的方法化简（2） 分母有理化的依据是：分数（或分式）的基本性质和二次根式的性质)0(2≥=a a a ，)0()(2≥=a a a ★分母有理化的方法是：将分子和分母都乘一个恰当的二次根式（即分母的有理化因式），化去分母中的根号如果被开方数是分数或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成两个算术平方根的形式，然后将分子、分母同乘一个恰当的因式进行化简，如5555555a a a a =⋅==，也可以根据分式的基本性质，将分子、分母都乘同一个不为零的整式，将分母化成完全平方式，然后利用商的算术平方根的性质化简，如555555555522a a a a a ===⨯= 注意：（1）a 的有理化因式是a ，)0(≠m a m 的有理化因式是a ；（2）如果已知二次根式不是最简二次根式，要先把它化为最简二次根式后，再确定其有理化因式例7 化简：（1）21 （2）7324- （3）xy y x 6433例8 化简：231+知识点八 同类二次根式（重点）★ 与整式中同类项相类似，我们像a 3、a 2-与a 4这样的几个二次根式，称为同类二次根式，33与32-也是同类二次根式；★ 几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，则这几个二次根式是同类二次根式【注意】（1）判断两个二次根式是否为同类二次根式，应先将各个二次根式化为最简二次根式；再观察每个最简二次根式的被开方数，若被开方数相同，则称它们为同类二次根式（2）几个二次根式是不是同类二次根式，只与被开方数和根指数有关，而与根号外面的因数（或因式）无关例1 在二次根式27,32,23,12中，与3是同类二次根式的是（ ） A 、32,12 B 、32,23 C 、27,12 D 、27,32知识点九 合并同类二次根式★ 法则：将同类二次根式的系数相加减作为结果的系数，被开方数和根指数不变 例2 计算：341227++知识点十 二次根式的加减（重点）例3 （1）x x x x 1246932-+ （2）)14()41(b b a b a a --+知识点十一 二次根式的混合运算（难点）★ 二次根式混合运算的常见类型及方法：（1）)(d c b a ++型，运用乘法对加法的分配律化简（2）))((d c b a ++型，可类比多项式乘多项式的法则进行计算，即bd bc ad ac d c b a +++=++))((（3）b a b a b a b a -=-=-+22)()())((（其中0,0≥≥b a ），ab b a b a 2)(2±+=±（其中0,0≥≥b a ）（4）c bc ac cc c b a c b a +=+=+)(（其中0,0,0>≥≥c b a ）； （5）b a ab b a b a b a b a b a b a b a b a b a -++=+-++=-+=-÷+2))(())(()()(（其中0,0≥≥b a 且b a ≠）例4 计算：（1）)86(3+ （2）)32()6334(÷- （3）)36)(26(-+（4）)75)(75(-+ （5）2)232(- （6）22)1()1(a a a a --+例5 化简：（1）122- （2）2323+-典型例题剖析题型一 公式)0,0(≥≥=⋅b a ab b a 及)0,0(≥≥=b a b a ba 的运用 例1 （1）1112-=-⋅+x x x 成立的条件是（ ）A 、1≥xB 、1-≥xC 、11≤≤-xD 、11-≤≥x x 或（2）当 时，a a aa --=--4545 例2 不改变原式的值，将根号外的非负因数移到根号内（1）32 （2）53- （3）aa 1-题型二 二次根式的化简例3 已知b a <，化简二次根式b a 3-的正确结果是（ ）A 、ab a --B 、ab a -C 、ab aD 、ab a -题型三 二次根式的乘除运算例4 计算：（1）)1843(202115-÷⨯（2）)62(621211÷÷题型四 实数大小的比较例5 比较32和23的大小题型五 根据同类二次根式的定义确定字母的取值例1 若最简二次根式b a +-33与)(b a b +是同类二次根式，求b a ,的值题型六 二次根式的混合运算例2 计算：（1）)2361(32+⨯ （2）)21(231)13(2-+-+题型七 含二次根式条件的代数式的化简求值问题例3 先化简，再求值：112)11(22-+-÷-x x x x ，其中2=x题型八 二次根式的加法在生活中的应用例4 教师节到了，为了表示对老师的敬意，小方同学做了两张大小不同的正方形壁画准备送给老师,其中一个面积为800cm2,另一个面积为450cm2,她想如果再把壁画的边用金色的 彩带镶上就更加漂亮了,她现在有1.2m 的金色彩带,请你帮她算一算,她的金色彩带够用 吗?如果不够,还需要再买多长的金色彩带?（根号2约等于1.414,结果保留整数）题型九 二次根式大小的比较例5 设25,32,23-=-=-=c b a ，则c b a ,,的大小关系是（ ）A 、c b a >>B 、b c a >>C 、a b c >>D 、a c b >> 题型十 有关二次根式的探究题例6 是否存在正整数)(,b a b a <，使其满足50=+b a ？若存在，试求出b a ,的值；若不存在，请说明理由课后作业：1、下列二次根式中，不是最简二次根式的是（ ）A 、12+aB 、12+xC 、42b D 、m 2.0 2、如果0,0<+>b a ab ，那么下列各式：①b a b a =；②1=⋅a b b a ；③b b a ab -=÷，其中正确的是（ ） A 、①② B 、②③ C 、①③ D 、①②③3．下列各式计算正确的是( )A ．2＋3＝ 5B ．2＋2＝2 2C ．32－2＝2 2D ．12－102＝6－5[来源:学.科.网Z.X.X.K] 4．估计8×12＋3的运算结果在( )A ．1到2之间B ．2到3之间C ．3到4之间D ．4到5之间5．若a ＜1，化简(a －1)2－1等于( )A ．a －2B ．2－aC ．aD ．－a6．已知实数a 满足|2 011－a |＋a －2 012＝a ，则a －2 0112的值是( )A ．2 011B ．2 010C ．2 012D ．2 0097．计算212－613＋8的结果是( )A ．32－2 3B ．5－2C ．5－ 3D ．2 28．若x ＋1＋(y －2 012)2＝0，则x y ＝__________.9．当－1＜x ＜3时，化简：(x －3)2＋x 2＋2x ＋1＝__________.10．如果代数式4x －3有意义，则x 的取值范围是________． 11．计算：(－3)0＋12×3＝__________.12.比较大小：（1）34和7 （2）54-和35-13.计算：（1）)21432(36181841÷⨯； （2）)631(205315-÷⨯（3）)0,0)(22()21(3>>-⋅-÷y x x x y xy （4）)0,0)(21()32(33>>÷-⋅b a a b ab ab b（5）131-⎪⎭⎫ ⎝⎛－23－(π－2)0＋|－1|. （6）(3＋2)(3－2)－|1－2|.（7）(－3)0－27＋|1－2|＋13＋2 .。