数学旋转的专项培优练习题(含答案)及答案

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最大值=3，PC 的最小值= 3 ﹣1．
【解析】 分析：（1）如图 1 中，易知当点 D 在线段 AD 和线段 AD 的延长线上时，OC∥ AB，此时旋 转角 α=60°或 240°．
（2）结论：AC=BD．只要证明△ AOC≌ △ BOD 即可． （3）在图 3、图 4 中，分别求解即可． （4）如图 5 中，由题意，点 C 在以 O 为圆心，1 为半径的⊙O 上运动，过点 O 作 OH⊥AB 于 H，直线 OH 交⊙O 于 C′、C″，线段 CB 的长即为 PC 的最大值，线段 C″H 的长即
∴ AB=
=5，
∵ △ ABO 绕点 B 逆时针旋转 90°，得△ A′BO′， ∴ BA=BA′，∠ ABA′=90°，
∴ △ ABA′为等腰直角三角形， ∴ AA′= BA=5 ；
(2)、作 O′H⊥y 轴于 H，如图②， ∵ △ ABO 绕点 B 逆时针旋转 120°，得△ A′BO′， ∴ BO=BO′=3，∠ OBO′=120°， ∴ ∠ HBO′=60°， 在 Rt△ BHO′中，∵ ∠ BO′H=90°﹣
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如图 4 中，当 A、C、D 共线时，作 OH⊥AC 于 H．
易知 AC=BD=AH﹣CH= 13 1 ． 2
综上所述：当 A、C、D 三点共线时，BD 的长为 13 1 或 13 1 ；
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（4）如图 5 中，由题意，点 C 在以 O 为圆心，1 为半径的⊙O 上运动，过点 O 作
OH⊥AB 于 H，直线 OH 交⊙O 于 C′、C″，线段 CB 的长即为 PC 的最大值，线段 C″H 的长即
出直线 O′C 的解析式为 y=
x﹣3，从而得到 P（
，0），则 O′PD，然后确定∠ DP′O′=30°后利用含 30 度的直角三角形三边的关系可计算出 P′D 和 DO′的长，从而可得到 P′点的坐标． 试题解析：(1)、如图①， ∵ 点 A（4，0），点 B（0，3）， ∴ OA=4，OB=3，
OA OB COA DOB ，∴ △ AOC≌ △ BOD，∴ AC=BD； CO OD
（3）①如图 3 中，当 A、C、D 共线时，作 OH⊥AC 于 H．
在 Rt△ COH 中，∵ OC=1，∠ COH=30°，∴ CH=HD= 1 ，OH= 3 ．在 Rt△ AOH 中，
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AH= OA2 OH 2 = 13 ，∴ BD=AC=CH+AH= 1 13 ．
为 PC 的最小值．易知 PC 的最大值=3，PC 的最小值= 3 ﹣1．
点睛：本题考查了圆综合题、旋转变换、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、
勾股定理、圆上的点到直线的距离的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解 决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，利用辅助圆解决最值问题，属 于中考压轴题．
时，直接写出点 P′的坐标．
【答案】（1）10，10 2 ；（2）（ 3 3 ，9）；（3）（12 3 ，54 ） 55
【解析】 试题分析：(1)、如图①，先利用勾股定理计算出 AB=5，再根据旋转的性质得 BA=BA′， ∠ ABA′=90°，则可判定△ ABA′为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求 AA′的 长；(2)、作 O′H⊥y 轴于 H，如图②，利用旋转的性质得 BO=BO′=3，∠ OBO′=120°，则 ∠ HBO′=60°，再在 Rt△ BHO′中利用含 30 度的直角三角形三边的关系可计算出 BH 和 O′H 的 长，然后利用坐标的表示方法写出 O′点的坐标；(3)、由旋转的性质得 BP=BP′，则 O′P+BP′=O′P+BP，作 B 点关于 x 轴的对称点 C，连结 O′C 交 x 轴于 P 点，如图②，易得 O′P+BP=O′C，利用两点之间线段最短可判断此时 O′P+BP 的值最小，接着利用待定系数法求
一、旋转 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．在等边△ AOB 中，将扇形 COD 按图 1 摆放，使扇形的半径 OC、OD 分别与 OA、OB 重
合，OA＝OB＝2，OC＝OD＝1，固定等边△ AOB 不动，让扇形 COD 绕点 O 逆时针旋转，线
段 AC、BD 也随之变化，设旋转角为 α．（0＜α≤360°）
2．在平面直角坐标系中，O 为原点，点 A（8，0），点 B（0，6），把△ ABO 绕点 B 逆时
针旋转得△ A′B′O′，点 A、O 旋转后的对应点为 A′、O′，记旋转角为 α．
（1）如图 1，若 α=90°，则 AB=
，并求 AA′的长；
（2）如图 2，若 α=120°，求点 O′的坐标；
（3）在（2）的条件下，边 OA 上的一点 P 旋转后的对应点为 P′，当 O′P+BP′取得最小值
∠ HBO′=30°， ∴ BH= BO′= ，O′H= BH=
， ∴ OH=OB+BH=3+
， ∴ O′点的坐标为
（
）；
（3）∵ △ ABO 绕点 B 逆时针旋转 120°，得△ A′BO′，点 P 的对应点为 P′， ∴ BP=BP′， ∴ O′P+BP′=O′P+BP， 作 B 点关于 x 轴的对称点 C，连结 O′C 交 x 轴于 P 点，如图②， 则 O′P+BP=O′P+PC=O′C，此时 O′P+BP 的值最小， ∵ 点 C 与点 B 关于 x 轴对称， ∴ C（0， ﹣3）， 设直线 O′C 的解析式为 y=kx+b，
为 PC 的最小值．易知 PC 的最大值=3，PC 的最小值= 3 ﹣1．
详解：（1）如图 1 中，∵ △ ABC 是等边三角形，∴ ∠ AOB=∠ COD=60°，∴ 当点 D 在线段 AD 和线段 AD 的延长线上时，OC∥ AB，此时旋转角 α=60°或 240°．
故答案为 60 或 240； （2）结论：AC=BD，理由如下： 如图 2 中，∵ ∠ COD=∠ AOB=60°，∴ ∠ COA=∠ DOB．在△ AOC 和△ BOD 中，
（1）当 OC∥ AB 时，旋转角 α＝
度；
发现：（2）线段 AC 与 BD 有何数量关系，请仅就图 2 给出证明．
应用：（3）当 A、C、D 三点共线时，求 BD 的长．
拓展：（4）P 是线段 AB 上任意一点，在扇形 COD 的旋转过程中，请直接写出线段 PC 的
最大值与最小值．
【答案】（1）60 或 240；(2) AC=BD，理由见解析；（3） 13+1 或 13 1 ；（4）PC 的