第二章近似计算方法
计算方法——第二章——课后习题答案刘师少
2.1 用二分法求方程013=--x x 在[1, 2]的近似根，要求误差不超过31021-⨯至少要二分多少？ 解：给定误差限ε＝0.5×10－3，使用二分法时，误差限为)(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(211a b k 即可，亦即 96678.912lg 10lg 35.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝10.2.3 证明方程1 -x –sin x ＝0 在区间[0, 1]内有一个根，使用二分法求误差不超过0.5×10-4的根要二分多少次？证明 令f (x )＝1－x －sin x ，∵ f (0)=1>0，f (1)=－sin1<0∴ f (x )=1－x －sin x =0在[0，1]有根.又f '(x )=-1－c os x<0 (x ∈[0.1]),故f (x ) 在[0，1]单调减少，所以f (x ) 在区间[0，1]内有唯一实根.给定误差限ε＝0.5×10－4，使用二分法时，误差限为)(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(211a b k 即可，亦即 7287.1312lg 10lg 45.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝14.2.4 方程0123=--x x 在x =1.5附近有根，把方程写成四种不同的等价形式，并建立相应的迭代公式：（1）211x x +=，迭代公式2111kk x x +=+ （2）231x x +=，迭代公式3211k k x x +=+ （3）112-=x x ，迭代公式111-=+k k x x （4）13-=x x ，迭代公式131-=+k k x x 试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛迭代公式求出具有四位有效数字的近似根。
第二章--计算流体力学的基本知识
第二章计算流体力学的基本知识流体流动现象大量存在于自然界及多种工程领域中，所有这些工程都受质量守恒、动量守恒和能量守恒等基本物理定律的支配。
这章将首先介绍流体动力学的发展和流体力学中几个重要守恒定律及其数学表达式，最后介绍几种常用的商业软件。
2.1计算流体力学简介2.1.1计算流体力学的发展流体力学的基本方程组非常复杂，在考虑粘性作用时更是如此，如果不靠计算机，就只能对比较简单的情形或简化后的欧拉方程或N-S方程进行计算。
20世纪30～40年代，对于复杂而又特别重要的流体力学问题，曾组织过人力用几个月甚至几年的时间做数值计算，比如圆锥做超声速飞行时周围的无粘流场就从1943年一直算到1947年。
数学的发展，计算机的不断进步，以及流体力学各种计算方法的发明，使许多原来无法用理论分析求解的复杂流体力学问题有了求得数值解的可能性，这又促进了流体力学计算方法的发展，并形成了"计算流体力学"。
从20世纪60年代起，在飞行器和其他涉及流体运动的课题中，经常采用电子计算机做数值模拟，这可以和物理实验相辅相成。
数值模拟和实验模拟相互配合，使科学技术的研究和工程设计的速度加快，并节省开支。
数值计算方法最近发展很快，其重要性与日俱增。
自然界存在着大量复杂的流动现象，随着人类认识的深入，人们开始利用流动规律来改造自然界。
最典型的例子是人类利用空气对运动中的机翼产生升力的机理发明了飞机。
航空技术的发展强烈推动了流体力学的迅速发展。
流体运动的规律由一组控制方程描述。
计算机没有发明前，流体力学家们在对方程经过大量简化后能够得到一些线形问题解读解。
但实际的流动问题大都是复杂的强非线形问题，无法求得精确的解读解。
计算机的出现以及计算技术的迅速发展使人们直接求解控制方程组的梦想逐步得到实现，从而催生了计算流体力学这门交叉学科。
计算流体力学是一门用数值计算方法直接求解流动主控方程(Euler或Navier-Stokes方程)以发现各种流动现象规律的学科。
高中数学：2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法 _1
(1)确定区间[a，b]，验证_____f_(_a_)·_f_(b_)_<_0____________；
(2)求区间(a，b)的中点 x1； (3)计算 f(x1)；①若______f_(x_1_)_＝__0_____，则 x1 就是函数的 零点；②若_____f(_a_)_·f_(_x_1)_<_0______________，则令 b＝x1 (此 时零点 x0∈(a，x1))；③若_______f(_x_1_)·_f_(b_)_<_0____________， 则令 a＝x1(此时零点 x0∈(x1，b))． (4)判断是否达到精确度 ，即若|a－b|< ，则得到零点近似
栏目 导引
第二章 函 数
又 F(1)＝－1<0， F(2)＝29>0， 所以方程 x5－x－1＝0 的根在区间(1，2)内． (2)证明：令 F(x)＝x3－3x＋1， 它的图象一定是不间断的， 又 F(－2)＝－8＋6＋1＝－1<0， F(－1)＝－1＋3＋1＝3>0， 所以方程 x3－3x＋1＝0 的一根在区间(－2，－1)内．
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第二章 函 数
2．二分法 对于在区间[a，b]上连续不断，且 f(a)·f(b)<0 的函数 y＝f(x)， 通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间 的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫 做二分法．
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第二章 函 数
3．用二分法求函数 f(x) 零点近似值的步骤
标
的函数值
x3＝1.5＋21.625＝ 1．562 5
f(x3)＝0．252 2>0
x4＝1.5＋12.562 5 ＝1．531 25
人教B版高中数学必修一第二章求函数零点近似解的一种计算方法——二分法课件
2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法 六、二分法的Excel实验
只 有 一 个 天 平 ， 请 你 设 计 一 个 实 验 方 案 我们把这种不断取中点来
六、二分法的Excel实验 我们把这种不断取中点来
， 要 求 用 尽 可 能 少 的 步 骤 找 出 这 枚 假 币 六、二分法的Excel实验
现在有16枚硬币，其中有一枚是假币，已知假币的质量比真币的质量轻，现在只有一个天平，请你设计一个实验方案，要求用尽可能 少的步骤找出这枚假币。
。 请 问至 少 需要 多 少次 称 量能 确 保找 出 2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法 我们把这种不断取中点来
思考： 我们把这种不断取中点来
我们把这种不断取中点来 问题1：CCTV2的一档娱乐节目，要求选手在有限的时间内猜出某一物品的售价。 六、二分法的Excel实验 解决问题的方法称为——二分法
现在有16枚硬币，其中有一枚是假币 ， 我们把这种不断取中点来
六、二分法的Excel实验 我们把这种不断取中点来
解决问题的方法称为——二分法 现在有16枚硬币，其中有一枚是假币，已知假币的质量比真币的质量轻，现在只有一个天平，请你设计一个实验方案，要求用尽可能
少的步骤找出这枚假币。 六、二分法的Excel实验 六、二分法的Excel实验 六、二分法的Excel实验 现在有16枚硬币，其中有一枚是假币，已知假币的质量比真币的质量轻，现在只有一个天平，请你设计一个实验方案，要求用尽可能 少的步骤找出这枚假币。 六、二分法的Excel实验 现在有16枚硬币，其中有一枚是假币，已知假币的质量比真币的质量轻，现在只有一个天平，请你设计一个实验方案，要求用尽可能 少的步骤找出这枚假币。 现在有这样一个信封，里面装着0元至100元，只给大家七次机会，猜这个信封里究竟有多少元？ 六、二分法的Excel实验
第2章方程的近似解法
第二章 方程求根在许多实际问题中，常常会遇到方程f(x)=0求解的问题。
当f(x)为一次多项式时，f(x)=0称为线性方程，否则称为非线性方程。
对于非线性方程，由于f(x)的多样性，求其根尚无一般的解析方法可以使用，因此研究非线性方程的数值解法是十分必要的。
法、迭代法、牛顿法及割线法。
这些方法均是知道根的初始近似值后，进一步把根精确化，直到达到所要求的 精度为止。
也即求非线性方程根的数值方法。
第一节 第一节 增值寻根法与二分法2.1.1 增值寻根法设非线性方程f(x)=0的根为*x ，增值寻根法的基本思想是，从初始值0x 开始，按规定 的一个初始步长h 来增值。
令 1n x +=n x +h(n=0,1,2，…)，同时计算f(1n x +)。
在增值的计算过程中可能遇到三种情形：(1) f(1n x +)=0，此时1n x +即为方 程的根*x 。
(2) f(n x )和f(1n x +)同符号。
这说明区间［n x , 1n x +］内无根。
(3) f(n x )和f(1n x +)异号，f(n x )·f(1n x +)＜0此时当f(x)在区间［n x , 1n x +］上连续时，方程f(x)=0在［n x , 1n x +］ 一定有根。
也即我们用增值寻根法找到了方程根的存在区间，n x 或1n x +均可以视为根的近似值。
下一步就是设法在该区间内寻找根 *x 更精确的近似值，为此再用增值寻根法 把n x 作为新的初始近似值，同时把步长缩小，例如选新步长1100h h =，这 样会得到区间长度更小的有根区间，从而也得到使f(x)n x ，作为*x 更 精确的近似值，若精度不够，可重复使用增值寻根法，直到有根区间的长度｜1n x +-n x ｜＜ε(ε为所要求的精度)为止。
此时f(n x )或f(1n x +)就可近似认为是零。
n x 或1n x +就是满足精度的方程的近似根（如图2-1）.2—1例1 用增值寻根法求方程f(x)=324x x +-10=0的有根区间。
《近似数》教案设计
《近似数》教案设计第一章：引言1.1 教学目标让学生了解近似数的概念和作用。
能够理解近似数与精确数的关系。
学会使用四舍五入法来进行近似计算。
1.2 教学内容近似数的概念和作用。
近似数与精确数的区别。
四舍五入法的原理和应用。
1.3 教学方法通过实例引入近似数的概念，激发学生的兴趣。
使用图片和实际例子来说明近似数的作用。
分组讨论，让学生探索近似数与精确数的关系。
1.4 教学评估观察学生在课堂上的参与程度和理解程度。
收集学生的讨论结果，进行评估。
第二章：四舍五入法2.1 教学目标让学生掌握四舍五入法的原理和步骤。
能够运用四舍五入法来进行近似计算。
理解四舍五入法在实际生活中的应用。
2.2 教学内容四舍五入法的原理。
四舍五入法的步骤。
四舍五入法在实际生活中的应用。
2.3 教学方法通过讲解和示例，让学生掌握四舍五入法的原理和步骤。
进行小组活动，让学生练习运用四舍五入法进行近似计算。
联系实际生活中的例子，让学生理解四舍五入法的应用。
2.4 教学评估观察学生在课堂上的参与程度和理解程度。
收集学生的练习结果，进行评估。
第三章：近似数的计算3.1 教学目标让学生能够运用四舍五入法来进行近似计算。
能够理解和运用科学记数法来进行近似计算。
能够解决实际问题，并进行近似计算。
3.2 教学内容四舍五入法进行近似计算。
科学记数法进行近似计算。
实际问题的解决和近似计算。
3.3 教学方法通过示例和练习，让学生掌握四舍五入法和科学记数法的运用。
引导学生运用所学的近似计算方法解决实际问题。
分组讨论，让学生交流解题方法和经验。
3.4 教学评估观察学生在课堂上的参与程度和理解程度。
收集学生的练习结果和解题方法，进行评估。
第四章：近似数在实际应用中的重要性4.1 教学目标让学生理解近似数在实际生活中的重要性。
能够运用近似数进行估算和决策。
能够分析近似数在实际应用中的优缺点。
4.2 教学内容近似数在实际生活中的应用。
近似数进行估算和决策。
近似数在实际应用中的优缺点。
人教A版数学必修一2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
三、教与学的方法
（一）本节课贯彻的教育理念和教学思想
1、新课标强调要为学生提供开阔的探索空 间及合作体验的机会，并且倡导积极主动、 勇于探索的学习方式。 2、提倡利用信息技术来实现以往教学中难 以呈现的课程内容。 3、学生在利用函数的性质求解函数零点近 似解的过程中，认识函数与方程的联系，能 初步感悟数值逼近中所蕴含的极限思想。
五、教学反思
谢谢！
灿若寒星整理制作
高中数学课件
人教版高中必修一数学全册(新课标)
学校：北京市首都师大附中 教师：数学科组
人教B版必修一
第二章函数
说课
2.4.2求函数零点近似解的一种计算
方法——二分法
a
b
一、教学内容 二、学情分析 三、教与学的方法 四、教学过程设计 五、教学反思
（二）本节内容的知识结构体系
函数与方程
三、教与学的方法
（三）教学媒体的选择和学案的设计
动画课堂、几何画板、动画
四、教学过程设计
（一）引入阶段：
猜一猜刻有中国文化名村 爨底下的“爨”字的一块瓦 片的市场价格。
中国历史文化名村
—爨底下
（二）由具体到一般的探究认知过程：
1、复习发现新问题阶段：
通过一组求解函数零点的问题，发现有 些高次函数不能分解因式，求不出零点 ，从而产生认知冲突，激起学生了解、 探究、获取新知的欲望。同时给学生展 示三次方程的求根公式，介绍解方程的 历史。
2、过程与方法目标：
体验二分法的形成过程，感受函数与 方程的内在联系，体会近似思想和逼 近思想的应用；
（三）本节课的教学目标、重点与难点分析
3、情感、态度与价值观目标：
通过二分法的学习培养归纳概括的能 力，了解有关解方程的历史；在探究 解决问题的过程中，培养学生与他人 合作的态度、表达与交流的意识；培 养认真、耐心、严谨的数学品质。
中科大算法第二章近似算法--黄刘生(调整后适合打印版)
NP-完全性理论
Karp的贡献
理查德·卡普（Richard Karp ， 1935- ） 1972 年论文 ”Reducibility among Combinatorial Problems” 发 展和加强了由库克提出的“NP完全性”理论。 尤其是库 克仅证明了命题演算的可满足问题是NP完全的，而卡普则证明了从 组合优化中引出的大多数经典问题(背包问题、覆盖问题、匹配问 题、分区问题、路径问题、调度问题等)都是NP完全问题。只要证 明其中任一个问题是属于P类的，就可解决计算复杂性理论中最大 的一个难题，即P=?NP。
SAT∈P当且仅当P=NP
Cook 于1961 年获 Michigan 大学学士学位， 1962 和 1966年分获哈佛 大学硕士与博士学位。 1966-1970 ，他在 UC Berkeley 担任助教授； 1970年加盟多伦多大学，现为该校CS 和数学系教授，他的论文开启 了NP完备性的研究，令该领域于之后的十年成为计算机科学中最活 跃和重要的研究。因其在计算复杂性理论方面的贡献，尤其是在奠 定NP完全性理论基础上的突出贡献而荣获1982年度的图灵奖。
9
P、NP及NPC类问题
NP=？P
∵确定型图灵机是非确定型图灵机的特例，∴P⊆NP 是否有NP⊆P？即是否NP=P？
美国麻省的Clay数学研究所于2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣 布：对七个“千年数学难题”中的每一个均悬赏 100 万美元，而 问题NP=？P位列其首:
1.P问题对NP问题 2.霍奇猜想 3. 庞加莱猜想 (2002.11-2003.7 ，俄罗斯数学家佩雷尔曼在 3 篇 论文预印本中证明了几何化猜想，2006被授予菲尔兹奖) 4.黎曼假设 5.杨－米尔斯存在性和质量缺口 6.纳维叶－斯托克斯方程的存在性与光滑性 7.贝赫和斯维讷通－戴尔猜想
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2.2.2 水平荷载下的近似计算—D值法
计算假定：忽略杆件轴向变形，各柱侧移相同。
1）抗侧移刚度 A. 不考虑柱端转角影响
12i V 2 h
d
V
抗侧刚度定义
12ic d 2 hc
D值法
B. 柱端有转角（大小与 i
当α ＝1时：D=d
b
ic
有关）；
12i V 2 h
M i N i
2.4 剪力墙结构的近似计算方法
剪力墙结构
抗侧力结构和承重单体均由剪力墙（R.C墙） 组成的空间结构体系均为剪力墙结构。
2.4.1 剪力墙结构的受力特点及计算方法
竖向：纵、横墙 竖向：恒、活
空间盒式结构 荷载
水平：楼盖
水平：地震、风
一、竖向荷载作用下的内力
剪力墙结构
楼板约束：各片墙的竖向荷载可按其受荷面积计算
D H LA A D D E E H
A
D E D E E H
H
L
H I H I I L L M M P
L
M
(a) 原结构
P 原结构 原结构
M
P E
H
I 分层计算简图 分层计算简图
P
(b) 分层计算简图
框架结构计算假定
① 计算各层梁上竖向荷载及其产生 的梁固端弯矩；
分层法
② 将框架分层，柱端假定为固端；
2.1 计算基本假定
近似计算方法
平面结构假定：一片框架或剪力墙可以抵抗 在本身平面内的侧向力，平面外刚度忽略不计 －可以计算平面结构的内力和位移；
楼板刚性假定：楼板在自身平面内刚度无限 大，平面外刚度忽略不计。－解决在水平荷载 作用下各片平面结构之间的荷载分配问题；
水平荷载作用方向假定：在矩形平面中，对正
B'
VBA
12ic D 2 hc V
MAB
A'
VAB
hAB
MBA
上层柱
i1 i2 i3 i4 K ic
K 2＋K
D值法
底层柱
0.5 K 2＋K
i1 i2 K ic
D值法
柱刚度修正系数的计算
楼 层 简 图 K
一般层
i1 i2 i3 i4 K K 2 K 2ic
平面内大 水平荷载作用下各墙受力 单向抗侧力结构
③ 计算ib，ic 梁： ┓ I=1.5Ir , T I=2.0Ir 柱： 除底层外，上层各 柱ic×0.9修正；
框架结构计算假定（续）
④ 计算梁柱弯矩分配系数和传递系数
分层法
分配系数：按各节点周围杆件的刚度i计算
传递系数：梁1/2，柱 底层1/2
其它层1/3
⑤ 按力矩分配法计算单层梁、柱M；
⑥ 柱端M叠加，柱轴力：上层传来＋本层
交的两个主轴x、y方向分别进行内力分析 ，有 斜交抗侧力构件的结构，当相交角度大于15° 时，应分别计算各抗侧力构件方向上的内力。
2.2 框架结构的近似计算方法
框架结构计算假定
1）三个基本假定
① 一片框架或一片剪力墙在自身平面内抵抗水平 力，平面外刚度为零； ② 楼板平面内刚度无限大，各框架柱侧移相同。 ③ 水平荷载作用方向：主轴，斜交。
注：连梁处有M、V对墙M、V有影响
其它主要为轴力
楼面大梁传来 大梁下：局部承压
（集中力）
下部45°向下传→均布kN/m
（考虑侧墙）
二、基本假定
剪力墙结构
① 楼面结构假定：自身平面内刚度很 大，可视为刚度无限大的刚性楼板，平面 外刚度较小，可忽略不计。 楼板平面内没有相对变形，各墙在楼 面连接下水平受荷时作刚体运动。 ② 平面结构假定： 各墙在自身平面 内刚度很大，平面外刚度小。
n
⑦ 柱轴力
Ni V j
j i
2.2.3 水平荷载作用下侧移的近似计算
框架侧移
一、框架侧移组成
梁柱弯曲产生的剪切型变形 （较大，主要）
柱轴向力变形产生的弯曲型变形（较小，次
要，多层可忽略，高层不可忽略）
二、剪切型
① 层间侧移
M i
V pi
D
j 1
s
ij
框架侧移
② j层总侧移
底
层
i1 i2 K ic
0.5 K 2 K
D值法
2）框架柱剪力分配
Vij Dij V pi
D
j 1
s
ij
3）柱反弯点位置
当 ib ∞时，反弯点在端中点（底层2h/3处） 当ib/ ic≤3~5时，反弯点位置发生变化
D值法
影响因素 影响规律
结构总层数 该层所在位置 ib/ ic 荷载形式 ib上/ ib下 上下层层高变化
Nz : 水平荷载引起的边柱的轴力
M z Nz B
3 V H 0 N Fn j 2 EB A底
框架侧移
V0:基底剪力 Fn
n H : 系数与 有关 H j 荷载形式
框架侧移
层间变形
N i N i
N i 1
i M N 四、框架总侧移 i i i M N n n n
边梁端
Mbi M M
t ij
t ij l bi
b ij
l b
D值法
i 中跨梁端 M (M M ) l r ib ib r ib r t b M bi (M ij M ij ) l r ib ib
b ij
⑥ 梁杆件平衡，求梁端Vi
M M Vi l
r bi
l bi
2）忽略梁柱轴向变形与剪切变形； 3）杆件为等截面杆件，杆件轴线为计算轴线； 4）忽略竖向荷载下的侧移影响。
2.2.1 竖向荷载下的近似计算—分层法
除轴力外，各层的内力影响小。
按下图所示，先将（a）所示框架按（b）所示分 层计算，再将分层计算结果还原至原结构中。
A E I
A E I
D H L A
M j i 1
பைடு நூலகம்
j
M i
③ 顶点总侧移
M n iM i 1 n
框架侧移
三、柱轴向变形产生的侧移(弯曲型）
忽略中柱，各层侧移看成连续函数，利用 图 乘原理计算。 第j层侧移 2
N j Hj
0
N N
z
z
EA dz
Nz : 单位水平集中力作用在j层时边柱的轴力
Nz dz 侧移 EA
反弯点向约束作用小的一端移动。
方 法
标准反弯点＋修正
4）计算步骤
① 计算第i层结构总剪力Vpi
D值法
② 计算各柱剪力 ③ 计算各柱反弯点高度yhi
④ 计算各柱端M 上端 下端 ⑤ 节点平衡计算梁端弯矩
Vij
Dij
D
j 1
s
V pi
ij
t Mij Vij h(1 y) b Mij Vij hy