多自由度系统近似计算方法

在线性多自由度系统振动中，振动问题归结为刚度矩阵和质量矩阵的广义特征值问题，缺点：当系统自由度较大时，求解计算工作量非常大。本章介绍邓克利法，瑞利法，里茨法，传递矩阵法等计算方法，可作为实用的工程计算方法对系统的振动特性作近似计算。 1、邓克利法

由邓克利（Dunkerley ）在实验确定多圆盘的横向振动固有频率时提出的，便于作为系统基频的计算公式 。

自由振动作用力方程：

0KX X

M =+ n R ∈X 左乘柔度矩阵F = K -1，位移方程：0X X FM =+ 定义D=FM 为系统的动力矩阵：0X X

D =+ 作用力方程的特征值问题：φφM K 2ω= 位移方程的特征值问题：φφλ=D 特征值：22221n ωωω<<< ，n λλλ>>> 21 关系：2/1i i ωλ=

位移方程的最大特征根：211/1ωλ=，对应着系统的第一阶固有频率。 位移方程的特征方程：0=-I D λ展开：

0)()1(1

11

1=++++---n n n n

n

a a a λλ

λ

D tr d d d a nn -=+++-=)(22111

例：

02221

1211=--λ

λd d d d

0)]()([)1(2112221122112

2

=-++--d d d d d d λλ

当 M 为对角阵时：

)(FM D tr tr =∑

==

n

i i

ii m f 1

特征方程又可写为：0)())((21=---n λλλλλλ

有：∑=-=n

i i a 1

1λtrD -=∑=-=n

i i ii m f 1

∑

∑===

n

i i

ii n

i i

m f 1

1

λ

∑

∑

===

n

i i ii n

i i

m f 1

1

2

1

ω

如果只保留第 i 个质量，所得的单自由度系统的固有频率为：

i

ii i

i i m f m k 12

=

=

ω

例：两自由度系统

柔度矩阵：⎥⎥⎥⎥

⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡+=211

11

1111

1k k k k k

F （1）只保留 m 1 时

1

111k f =

，1

121m k =

ω

（2）只保留 m 2 时

12

2

1

22111k k k f =

+

=

，2

1222m k =ω

将2

i ω代入：2

2

2

2

1

1

2

1

1

1

1

n

n

i i

ωωωω+

++

=

∑

=

对于梁结构系统，第二阶及第二阶以上的固有频率通常远大于基频，因此左端可只保留基频项，有：

222

2

1

2

1

1

1

1

1

n

ω

ω

ωω

+

++

≈

例：三自由度系统

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢

⎢⎣⎡----+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡00022

231012

20

010*********x x x k x x x m 采用常规方法，固有频率：

m k /3730

.01=ω，m k /3213

.12=ω，m k /0286

.23=ω

邓克利法

当 m1 单独存在时：m k /21=ω 当 m2 单独存在时：k k k k k k 21212112=+=，m k /1222=ω

当 m3 单独存在时：

k

k k k k 2511113

2

1

123

=++

=

，5

2123k k =

，m

k 523=

ω

代入邓克利法公式：2

2

2

2

1

2

1

1

1

1

1

n

ωωωω+

++

≈

，m

k /3535

.01=ω

2、瑞利法

瑞利法是基于能量原理的一种近似方法，可用于计算系统的基频，算出的近似值为实际基频的上限，配合邓克利法算出的基频下限，可以估计实际基频的大致范围。

n 自由度保守系统：

0KX X

M =+ n R ∈X 主振动 ：)sin(ϕω+=t φX 动能与势能：X

M X T

T 2

1=，KX X T

V 2

1=

最大值：φφM T

T 2

max 2

1ω=

，φφK T

V 2

1

max =

max

max V T =得2

)(

ω

==φ

φφφφM K T

T

R 成为瑞利商。

对于第 i 阶模态：

2

)

()()()()

()(i i T

i i T

i i R ω==

φ

φ

φ

φφM K

当φ为一般向量时（不是实际模态），总能展开为 n 个正则模态的线性组合：

)()

2(2)

1(1n N

N N

N

a a a φ

φ

φ

＋ ++==ϕφ∑==

n

j j N

j

a 1

)(φ

a

ΦN =

其中],,,[

)()2()1(n N N N N φφφ =Φ，T n a a a ],,,[21 =a 代入瑞利商：

a

M ΦΦa a K ΦΦa N T

N T

N T

N T

R =

)(ϕIa

a Λa a T

T =

∑∑===

n

j j

n j j

j

a

a

1

21

22ω

可以证明：21ω和 2n ω分别为瑞利商的极小值和极大值，即：221)(n R ωϕω≤≤ 分析：若将瑞利商右端分子内的所有j ω换为1ω，由于1ω是最低阶固有频率，因此：

2

11

21

21

2

)(ωω

ϕ=≥

∑∑==n

j j n

j j

a

a

R

由瑞利商公式知，当)1(φ=ϕ确为第一阶模态时，有：21)(ωϕ=R 。 因此，瑞利商的极小值为21ω，同理可证明，瑞利商的极大值为2

n ω 如果ϕ接近第 k 阶真实模态)(k φ=ϕ，比起 a k ，其它系数很小

k

j n j a a k j j ≠==,,,2,1 ，ε ，1<