中国石油大学华东线性代数(2013-2014-1)-A卷
07~08中国石油大学华东线性代数考题答案
0 b # 0 0
" 0 0 " 0 0 # # " a b " 0 a
解： 按第一行展开，即得
a 0 Dn = a # 0 0
b a # 0 0
" 0 0 b " 0 0 a n+1 # # + ( −1) b # 0 " a b 0 " 0 a
0 b # 0 0
" 0 0 " 0 0 # # ……………….(4) " b 0 " a b
1⎞ ⎟ 1⎟ ， 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎠
……………(4)
故知 （1）向量组的秩为 2，…………………………(5)
α 1 , α 2 是一个最大无关组；
……………(6)
（2） α 3 = −α 1 + α 2 ， α 4 = α 1 + α 2 ……………(10)
5
五（10 分）
１ ． 设 向 量 组 α1 ,
β 2 , β3 , β 4 线性无关。…………（5）
2
２．设 A 为三阶实对称矩阵，且满足条件 A + 2 A = 0 ，已知 A 的秩 r ( A) = 2 ． 求 A 的全部特征值； 解： （ l ） A 的一个特征值，对应的特征向量为 α ，则
Aα = λα , (α ≠ 0) ， A 2α = λ2α 。于是 ( A 2 + 2 A)α = (λ2 + 2λ )α 。由条件
（1）求此向量组的秩，并求一个最大无关组， （2）将其余向量用这个最大无关组线性表示。 解 记
1 0 2 ⎞ ⎛1 ⎛ 1 ⎟ ⎜ ⎜ 4 3 5 ⎟ r ⎜0 ⎜ 1 A=⎜ ~ − 1 − 3 − 2 − 4⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ − 1 − 1 0 − 2⎟ ⎜ 0 ⎠ ⎝ ⎝
中石油华东《线性代数(理)》2014年秋学期在线作业(二)答案
B.
C.
D.
?
正确答案：D
9.题目及选项如下：
A.
B.
C.
D.
?
正确答案：B
10.题目及选项如下：
A.
B.
C.
D.
?
正确答案：C
二,判断题
1.题目如下：
A.错误
B.正确
?
正确答案：B
2.题目如下：
A.错误
B.正确
?
正确答案：B
3.题目如下：
A.错误
B.正确
?
正确答案：B
4.线性无关的向量组一定不含有零向量。
《线性代数（理）》2014年秋学期在线作业（二）
一,单选题
1.题目如下：
A.
0
B. 1
C. -1
D.不能确定
?
正确答案：A
2.题目及选项如下：
A.
B.
C.
D.
?
正确答案：D
3.题目如下：
A. 0
B. 1
C. 3
D. 6
?
正确答案：A
4.题目如下：
A.必线性无关
B.必线性相关
C.可能线性无关
D.以上结论都不正确
A.错误
B.正确
?
正确答案：B
5.题目如下：
A.错误
B.正确
?
正确答案：A
6.若A可逆，则0必是A的一个特征值。
A.错误
B.正确
?
正确答案：A
?
正确答案：B
5.非齐次线性方程组有解的充分必有条件是（）。
A.系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等
B.增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩
中石油线性代数期末考试答案完整版
中石油线性代数期末考试答案HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】练习一一、选择题1．x x x x x x f 21112121321)(=中，3x 项的系数是（ C. -1 ）。
2.若A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101542，B=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321654，则（ D. AB 无意义 ）。
3．设A 为3阶方阵，且已知A 2-=2，则A =（） 4．行列式5400120032650121-的值是（ A. -24 ）5．下列结论中，（）是正确的。
6．λ不能为（ B. 2 ）时，下列方程组只有零解。
⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++03020321321321x x x x x x x x x λ7．下列矩阵中，（ D. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100000100001 ）是行最简形矩阵。
8．下列矩阵中，（ A. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001 ）是单位矩阵。
9.设D= 312702151--，则余子式23A =（ D. 11 ）。
10． 设向量组4321,,,αααα线性相关，则向量组中（ A. 必有一个向量可以表为其余向量的线性组合 ）二、填空题1．已知四阶行列式1108132543010001--，则14131211325A A A A ++-。
2．已知矩阵A 的秩为3，则矩阵A。
3．已知4阶行列式D 中第二行元素依次为1，0，1，2，它们的余子式依次为3，-1，2，1，则4．已知向量组，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=20011α， ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=05102α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=42123t α的秩为2，则数。
5．设A= ()321，B=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛123，则。
练习二一、选择题1．下列各式中，（）是二阶行列式。
2．若A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛1234，B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛321654，则（ A. AB 是2×3矩阵 ）。
3．设矩阵A 的秩为r ，则下列结论正确的是（ B. A 中存在r 阶子式不为零 ）4．若向量组()T 2,0,1=α，()T 2,2,1-=β，()T k 8,,3=γ线性相关，则k=( B. 1 )5．设D=2121b b a a ，则kD=（ ）。
中国石油大学(华东)高等数学___期末考试真题___版
4.设 f(x)在区 [0,1间 ]上连续，则下 不列 正等 确_式 的 _._中 是
1
1
(A) f(x)dx f(t)dt;
(B)
1
f(x)dx
1f(x2)dx2;
0
0
0
0
(C)
1
f(x)dx
1f(x2)dx2;(D)
1
f(x)dx
1
f(sinx)dsin x.
旋转体的体 __积 __为 ___. ___
5.曲 线 zzx2 2 2 y2 y2在 xO 面 y 上的投 _影 ___ 曲 ._
一、
2;
2 (1 x)3 ;
( x 2)ln( x 2)
x C;
x2 ;
3y2 z0
2
二、单项选择（每小题 4 分， 共 20 分） 1.设lxim （ 0 1xx） 12,则有 ___. (A) 1,1; (B) 2,1;
1
1
0 2xf ( x)dx 0 f ( x)dx.
1 1 y2
在x轴的总的分力为
kdy .
(1 y 2 )3
1
y dy y
o
1 y2
•
1
x
1
Fx
0
kdy
y tan t k 4 cos tdt
2 k.
(1 y 2 )3
0
2
1
七. (8分）设函数 f ( x) xe x2，填下表并作图.
四、求导数与积分（每小题 7 分， 共 21 分）
| 1.设y
f(x)由参数方 xy程aacsion33stt所确,定 求dd2xy2
工程数学试题 13-14-2 A(N)
中国石油大学（北京）研究生期末考试试卷 2013 --2014 学年第 二 学期 A 卷 (开卷考试) 考试课程：工程数学 课程编号：1306002 考生姓名：_______________________ 考生学号：______________ 注：计算题保留小数点后四位装 订线一、 填空题(每小题4分，共20分) 1、当x的更好计算方法为_________。
2、355113作为π（真值为3.14159265）的近似值，其有效数字有______位。
3、3()21f x x x =++， [1,2,3,4,5]f =_________。
4、已知矩阵5347A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1A =_________。
5、解方程3210x x --=的Newton 迭代格式为_________。
二、（10分）用三角分解方法求解Ax=b ，其中 3 -1 13-2 5 1,4-1 -2 41A b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦装订线三、（15分）已知线性方程组为 12121012817x x x x +=⎧⎨+=⎩ （1）写出Jacobi 迭代和Gauss Seidel -迭代格式，并取零初值迭代2步； （2）两种迭代格式是否收敛？ 四、（15分）甘油（丙三醇353()C H OH ）是一种液体，可作为制造从肥皂到（爆炸性的）硝化甘油(nitroglycerin)等诸多产品的原料。
甘油的粘度是温度的函数，从下表数据中三次多项式插值估计甘油在22o C 下的粘度。
装订线五、（15分）给定实验实据(,)i i x y ，试求形如bx y ae =的拟合函数。
六、(15分) 用梯形公式与Simpson 公式计算积分0⎰并与精确值1.1477936比较。
装 订线七、（10分）用欧拉法求解1(0)1y x yy'=+-⎧⎨=⎩，取步长1.0=h计算(0.2)y，并与精确解xy e x-=+相比较。
中国石油大学华东 A卷试卷答案
2012—2013学年第二学期 《大学物理（2-1）》期末考试A 卷答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、C2、D3、C4、D5、C6、D7、C8、B9、A 10、B二、简单计算与问答题（共6小题，每小题5分，共30分）1、答：在物体系重力势能减少达到受力平衡的过程中，重力势能的减小，不仅增加了弹性势能而且部分转化成物体的动能，根据机械能守恒定律有： 22002121v m ky mgy +=① 3分 而不是 20021ky mgy =y 0的正确求法应根据合力为零的条件00=-ky mg求得kmg y =0 ② 2分2、答：=+⨯+⨯=++==∑22222)2(3)3(4ml l m l m J J J rm J R Q P ii 50ml 2 5分3、解：飞船静止长度0l 为其固有长度，地球上测得其长度为运动长度，由长度收缩公式，则 2)(1020l cv l l =-= 3分 解得： c c v 866.023==2分4、答：以上叙述都是不正确的，正确的说法应该是：(1) f (v )d v 表示在v →v ＋d v 速率区间内的分子数占总分子数的百分比． 2分 (2) ⎰21d )(v v v v f 表示处在v 1→v 2速率区间内的分子数占总分子数的百分比． 1分(3)⎰∞d )(v v v f 表示在整个速率范围内分子速率的算术平均值．2分5、解：(1) 势能 221kx W P = 总能量 221kA E = 由题意，4/2122kA kx =， 21024.42-⨯±=±=Ax m 2分 (2) 周期 T = 2π/ω = 6 s从平衡位置运动到2A x ±=的最短时间 ∆t 为 T /8．∴ ∆t = 0.75 s ． 3分6、解：设I max ，I min 分别表示出射光的最大值和最小值，则 I max ＝I a / 2＋Ib 2分 I min ＝ I a/ 22分令 ()()n I I I I I a b a =+=2//2//min max所以 ()1/2/-=n I I b a 1分 三、计算题（共4小题，每小题10分，共40分） 1、（本题10分）解：各物体受力情况如图． 图2分 F －T ＝ma 1分 T '＝ma 1分 (T T '-)R ＝β221mR 1分 a ＝R β 1分由上述方程组解得：β ＝2F / (5mR )＝10 rad ·s -22分 T ＝3F / 5＝6.0 N 1分T '＝2F / 5＝4.0 N 1分 2、（本题10分）解：(1) 1－2 任意过程11112125)2()(RT T T C T T C E V V =-=-=∆ 11211221212121)(21RT RT RT V p V p A =-=-=3分 11111132125RT RT RT A E Q =+=+=∆ 2－3 绝热膨胀过程12123225)()(RT T T C T T C E V V -=-=-=∆ 12225RT E A =-=∆ 3分02=Qaa T ’3－1 等温压缩过程3=∆E1111131308.2)/8ln()/ln(RTVVRTVVRTA-=-=-=3分13308.2RTAQ-==(2) %7.30308.2111131=-=-==RTRQQQA T吸η1分3、（本题10分）解：(1)波的周期T = λ / u =( 40/20) s= 2 s．2分P处Q处质点振动周期与波的周期相等，故P处质点的振动曲线如图(a) 振动方程为：2分)21cos(20.0π-π=tyP(SI) 2分(2) Q处质点的振动曲线如图(b)，振动2分方程为)cos(20.0π+π=tyQ(SI)或)cos(20.0π-π=tyQ(SI) 2分4、（本题10分）解：(1) 由光栅衍射主极大公式得a +b =ϕλsink=2.4×10-6 m 3分(2) 若第三级不缺级，则由光栅公式得()λϕ3sin='+ba由于第三级缺级，则对应于最小可能的a，ϕ'方向应是单缝衍射第一级暗纹：两式比较，得λϕ='sinaa = (a + b)/3=0.8×10-6 m 3分(3) ()λϕkba=+sin，(主极大)λϕka'=sin，(单缝衍射极小) (k＇=1，2，3，......)因此k=3，6，9，........缺级．2分又因为k max=(a＋b) / λ=4, 所以实际呈现k=0，±1，±2级明纹．(k=±4在π / 2处看不到．) 2分-。
中国石油大学近三年高数期末试题及答案
2013—2014学年第一学期《高等数学（2-1）》期末考试A 卷（工科类）参考答案及评分标准一．（共5小题，每小题3分，共计1 5 分）判断下列命题是否正确？在题后的括号内打“√”或“⨯” ，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明. 1．若)(x f 在),(∞+a 无界，则∞=∞+→)(lim x f x .（ ⨯ ）------------- （ 1分 ）例如：x x x f sin )(=，在),1(∞+无界，但∞≠∞+→x x x sin lim . ------- （ 2分 ）2．若)(x f 在0x 点连续，则)(x f 在0x 点必可导.（ ⨯ ）------------- （ 1分 ） 例如：x x f =)(，在0=x 点连续，但x x f =)( 在 0=x 不可导. ------ （ 2分 ） 3．若0lim =∞→n n n y x ，则0lim =∞→n n x 或.0lim =∞→n n y （ ⨯ ）-------------- （ 1分 ）例如：,0,1,0,1:n x,1,0,1,0:n y有0lim =∞→n n n y x ，但n n x ∞→lim ，n n y ∞→lim 都不存在. ---------------------------- （ 2分 ）4．若0)(0='x f ，则)(x f 在0x 点必取得极值.（ ⨯ ）------------------- （ 1分 ）例如：3)(x x f =，0)0(='f ，但3)(x x f =在0=x 点没有极值. ---------（ 2分 ） 5．若)(x f 在],[b a 有界，则)(x f 在],[b a 必可积.（ ⨯ ）------------- （ 1分 ）例如：⎩⎨⎧=.,0,1)(为无理数当为有理数，当x x x D ，在]1,0[有界，但)(x D 在]1,0[不可积. （ 2分）二．（共3小题，每小题7分，共计2 1分）1. 指出函数x x x f cot )(⋅=的间断点，并判断其类型. 解 函数x x x f cot )(⋅=的间断点为：,2,1,0,±±==k k x π------------------------------------------------------- ( 3分 )当 ,0=k 即 0=x 时, ,1sin cos limcot lim )(lim 0===→→→xxx x x x f x x x 0=∴x 为函数x x x f cot )(⋅=的第一类可去间断点; ----------------------- ( 2分 )当 ,2,1,±±==k k x π时, ,sin cos limcot lim )(lim ∞===→→→xxx x x x f k x k x k x πππ),2,1(, ±±==∴k k x π为函数x x x f cot )(⋅=的第二类无穷间断点 . --------- ( 2分 )2．求极限⎰-+∞→+x x t x dt e t x 022)1(1lim解 ⎰-+∞→+x x t x dt e t x 022)1(1lim⎪⎭⎫⎝⎛∞∞+=⎰+∞→xx t x e x dt e t 202)1(lim-------------------（3分） xxx e x x e x )2()1(lim22++=+∞→----------------------------------------------------------------- ( 3分 ).121lim 22=++=+∞→x x x x ---------------------------------------------------------------（1分）3．设方程)0,0(>>=y x x y yx 确定二阶可导函数)(x y y =，求22d ydx.解1 对yx x y =两边取对数，得 x yy x ln 1ln 1=，即xx y y ln ln =，-------------------------------------------------------------- ( 2分 )等式两边关于x 求导，得：x dxdyy ln 1)ln 1(+=+，即y x dx dy ln 1ln 1++=，------- ( 2分 )⎪⎭⎫⎝⎛=∴dx dy dx d dxy d 222)ln 1(1)ln 1()ln 1(1y dxdyy x y x +⋅⋅+-+=---------------------------- ( 2分 )322)ln 1()ln 1()ln 1(y xy x x y y ++-+=.------------------------------------------------ ( 1分 )三．（共3小题，每小题7分，共计2 1分）1．求不定积分⎰+dx xxx 23sin 1cos sin . 解 ⎰⎰+-=+)(sin sin 1)sin 1(sin sin 1cos sin 2223x d xx x dx x x x ------------------------（2分） （令t x =sin ） =⎰+-dt t t t 221)1(=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++-dt t t t 212 ------------------（2分） C t t +++-=)1ln(222=.)sin 1ln(sin 2122C x x +++-----------------（3分）2．设x 2ln 是函数)(x f 的一个原函数，求⎰'dx x f x )(. 解)(ln 2)ln (2x f xxx ==' ，------------------------------------------------- ( 2分 )Cx dx x f +=∴⎰2ln )(，------------------------------------------------------- ( 2分 )⎰⎰='∴)()(x df x dx x f x⎰-=dx x f x f x )()(.ln ln 22C x x +-=-------------------------------------------- ( 3分 )3．求定积分dx x x x )2cos sin (74344+⎰-ππ.解 dx x x x )2cos sin (74344+⎰-ππ⎰⎰--+=44743442cos sin ππππdx x dx x x ------- ( 1分 )dx x 2cos 0744⎰-+=ππ-------------------------------------------------------（2分）dx x 2cos 2740⎰=π----------------------------------------------------------（2分）（令t x =2）dt t 720cos ⎰=π----------------------------------------------------------------（1分）.!!7!!6=---------------------------------------------------------------------------（1分） 四．（共2小题，每小题6分，共计1 2分）1．已知一个长方形的长l 以2cm/s 的速度增加，宽w 以3cm/s 的速度增加，则当长为12cm ，宽为5cm 时，它的对角线的增加率是多少？解：设长方形的对角线为y ，则 222w l y += ----------------------------------- ( 2分 )两边关于t 求导，得 dt dww dt dl l dt dy y ⋅+⋅=⋅222， 即 dt dww dt dl l dt dy y ⋅+⋅=⋅------（1）-------------------------------- ( 2分 ) 已知,2=dt dl ,3=dtdw,13512,5,1222=+=⇒==y w l 代入（1）式，得 对角线的增加率：3=dtdy（cm/s ）.-------------------------------------------------- ( 2分 )2．物体按规律2x ct =做直线运动，该物体所受阻力与速度平方成正比，比例系数为1，计算该物体由0x =移至x a =时克服阻力所做的功.解ct dtdxt v 2)(==----------------------------------------------------------- ( 2分 )cxt c t c k x f 444)(2222===,-------------------------------------------------- ( 2分 )⎰=acxdxW 04＝22ca .------------------------------------------------------ ( 2分 )五．（本题10分）已知x x x f arctan 5)(-=，试讨论函数的单调区间，极值，凹凸性，拐点，渐近线解 函数的定义域为.),(+∞-∞22214151)(xx x x f +-=+-='，令0)(='x f 得驻点.2±=x ----------------------------------------------------------------------------------- ( 1分 ),)1(10)(22x xx f +=''令0)(=''x f ，得可能拐点的横坐标：.0=x -------- ( 1分 ) 列表讨论函数的单调区间，极值，凹凸性，拐点：----------------------------------------------------------------------------------------------------- ( 6分 ),1)arctan 51(lim )(lim1=-==∞+→∞+→xxx x f a x x ,25)arctan 5(lim ])([lim 11π-=-=-=∞+→∞+→x x a x f b x x,1)arctan 51(lim )(lim2=-==∞-→∞-→xxx x f a x x ,25)arctan 5(lim ])([lim 22π=-=-=∞-→∞-→x x a x f b x x 渐近线为：.25π±=x y ---------------------------------------------------------------- ( 2分 )六．（共2小题，每小题7分，共计14分） 1. 试求曲线)0(2≥=-x ex y x与x 轴所夹的平面图形绕x 轴旋转所得到的伸展到无穷远处的旋转体的体积 . 解：⎰⎰∞+-∞+==02dxxe dx y V x ππ------------------------------------------------------（4分） []x x xe x ex -+∞→∞+-+-=+-=)1(lim )1(0πππππππ=-=+-=+∞→01limx x ex ----------------------------------------------（3分）2.求微分方程x y y y 2345-=+'+''的通解.解 特征方程为：,0452=++r r 特征根：.1,421-=-=r r ----------------- ( 2分 ) 对应齐次方程的通解为：.241x xe C e C y --+=------------------------------ ( 2分 )而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为B Ax y +=*----------------- ( 1分 ) 代入原方程可得，.811,21=-=B A .8112*+-=∴x y -------------------- ( 1分 )故所要求的通解为.8112241+-+=--x e C e C y x x-------------------------------- ( 1分 )七．（本题7分）叙述罗尔)(Rolle 中值定理，并用此定理证明：方程0cos 2cos cos 21=+++nx a x a x a n在),0(π内至少有一个实根，其中n a a a ,,21为常数.罗尔)(Rolle 中值定理：设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，)()(b f a f =，则),(b a ∈∃ξ，使得.0)(='ξf -------------------------------------------------------------- ( 3分 ) 令nnx a xa x a x f nsin 22sin sin )(21+++= ，-------------------------------------- ( 2分 )在],0[π上连续，在),0(π内可导，且nx a x a x a x f n cos 2cos cos )(21+++=' ，0)()0(==πf f ,由罗尔中值定理，),0(πξ∈∃,使得)(ξf '0cos 2cos cos 21=+++=ξξξn a a a n ，即方程0cos 2cos cos 21=+++nx a x a x a n 在),0(π内至少有一个实根. ---- ( 2分 )各章所占分值如下：第 一 章 函数与极限 13 %； 第 二 章 一元函数的导数与微分 16 %； 第 三 章 微分中值定理与导数的应用 20 %； 第 四 章 不定积分 14 %； 第 五 章 定积分及其应用 30 % . 第 六 章 常微分方程 7 % .2014—2015学年第一学期《高等数学（2-1）》期末考试A卷( 工科类 )参考答案及评分标准各章所占分值如下：第 一 章 函数与极限 16 %； 第 二 章 一元函数的导数与微分 16 %； 第 三 章 微分中值定理与导数的应用 14 %； 第 四 章 不定积分 15 %； 第 五 章 定积分及其应用 26 % . 第 六 章 常微分方程 13 % .一．（共3小题，每小题4分，共计12 分）判断下列命题是否正确在 题后的括号内打“√”或“⨯” ，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明 . 1．极限xx 1sinlim 0→不存在. （ √ ）--------------------------------------------------（2分） 证 设x x f 1sin)(= ，取πn x n 21=，221ππ+=n y n ，),2,1( =n0lim =∞→n n x ，0lim =∞→n n y ，但)(lim n n x f ∞→n n x 1sinlim ∞→=02sin lim ==∞→πn n ，)(lim n n y f ∞→n n y 1sinlim ∞→=1)22sin(lim =+=∞→ππn n ， 由海涅定理，xx 1sin lim 0→不存在.---------------------------------------------------------------（2分）2．若曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点处存在切线，则)(x f 在0x 点必可导.（ ⨯ ）--------------------------------------------------------（2分）例：3x y =在)0,0(点处有切线0=x ，但3x y =在0=x 处不可导.---------------------------------------------------------（2分）3．设函数)(x f 在],[b a 上连续且下凸，在),(b a 内二阶可导，则),(b a x ∈∀有0)(>''x f . （ ⨯ ）----------------------------------------------------------（2分）例：4)(x x f =在]3,2[-上连续且下凸，但 0)0(=''f ..---------------------------------------------------------（2分） 二．（共3小题，每小题6分，共计18分） 1. 求极限)!sin()11(lim n nnn ⋅-∞→ .解,0)11(lim =-∞→nn n,1)!sin(≤n ------------------------------------------------------（3分）.0)!sin()11(lim =⋅-∴∞→n nn n ----------------------------------------------------------------（3分）2.求极限44)1(lim xdte t x x t x ⎰-+∞→+.解44)1(limx dte t x x t x ⎰-+∞→+⎪⎭⎫⎝⎛∞∞+=⎰+∞→xx t x e x dt e t 404)1(lim----------------------------（3分）xxx e x x e x )4()1(lim434++=+∞→.141lim 434=++=+∞→x x x x -----------------------------------------（3分）3．求极限)21(lim 222222nn n n n n n n ++++++∞→ . 解 )21(lim 222222n n nn n n n n ++++++∞→∑=∞→⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=ni n n n i 12111lim------------------------------------------------------------------（3分）⎰+=1021x dx 4arctan 10π==x.-------------------------------------------------------（3分）三．（共3小题，每小题6分，共计18分） 1．求函数()xx eex f 11211++=的间断点并判断其类型.解=x 是)(x f 的间断点，---------------------------------------------------------------------（3分）又 )(lim 0x f x +→21211lim 110=++=+→xx x ee，)(lim 0x f x -→1211lim 110=++=-→xxx e e， 0=∴x 是)(x f 的跳跃间断点.---------------------------------------------------------------（3分）2．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,00,1)(2x x x e x f x ，求 .)(x f '解 当0≠x 时，2)1(2)(22x e x x e x f x x --⋅='21222x e e x x --=-----------------（3分 ）当0=x 时，0)0()(lim)0(0--='→x f x f f x xx ex x 1lim 20-=→201lim 2x e x x -=→122lim 20==→x xe xx ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠--='∴.0,1,0,12)(222x x x e e x f x x ------------------------------------------------ （ 3分 )3．设方程ln(sin )cos sin x t y t t t=⎧⎨=+⎩确定y 为x 的函数，求dy dx 与22d ydx . 解()sin ()dy y t t t dx x t '==' ,--------------------------------------------------------------------（3分）22d y d dy dx dx dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭()sin d t t dx =()sin d dt t t dt dx=⋅sin cos ()t t tx t +='sin tan sin t t t t =+. -----------------------------------------------------------------------（3分）四．（共3小题，每小题6分，共计18分） 1．求不定积分⎰+dx e xxln 2.解 ⎰+dx e xx ln 2⎰⋅=dx e e x x ln 2⎰=dx x e x 2-----------------------（3分）)(2122⎰=x d e x .212C e x +=-------------------------------------------------------------（3分）2．求不定积分⎰dx x x 2cos .解⎰dx x x 2cos ⎰+=dx xx 22cos 1-------------------------------------------------------（1分）⎰⎰+=xdx x dx x 2cos 2121 ⎰+=)2(sin 41412x xd x ---------------------------------------------------（2分）⎰-+=dx x x x x 2sin 412sin 41412-------------------------------------（2分）C x x x x +++=2cos 812sin 41412.------------------------------------（1分）3．设)(x f 在]1,1[-上连续，求定积分dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰-.解1dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰- dx x x f x f sin )]()([11-+=⎰-dx x 2111-+⎰-------------------------------（1分） dx x 210120-+=⎰（上半单位圆的面积）-----------------------------------（3分）242ππ=⋅=.------------------------------------------------------------------------------（2分）五．（本题8分）设由曲线 x y ln = 与直线 0=-ey x 及 x 轴 所围平面图形为 D (1) 求D 的面积S ；（4分）(2) 求D 绕直线e x =旋转所得旋转体的体积 V .（4分）解 曲线x y ln =与直线 0=-ey x 的交点为)1,(e ，------------（1分）.12-=e--------------------（3分） （2）⎰⎰---=-=121221)()(dy e e dy ey e V V V y ππ------------------------------（2分） ⎰⎰+---=1221022)2()1(dy e ee e dy y e y y ππ122132)22(3)1(y ye ee y e y e+----=ππ.)3125(6)2212(3222+-=---=e e e e e πππ---------------------（2分）xx⎰-=1)()1(dyy e e S y 12]2[e ye y -=六．（共2小题，每小题6分，共计12分）1．设有半径为R 的半球形蓄水池中已盛满水 (水的密度为ρ), 求将池中水全部抽出所做的功.解 过球心的纵截面建立坐标系如图,则半圆方程为222x y R +=.-------------------------------------（1分）.44gR ρπ=---------------------------------------------------------------------------（2分）2．设有质量为m 的降落伞以初速度0v 开始降落，若空气的阻力与速度成正比（比例系数为0>k ），求降落伞下降的速度与时间的函数关系.解 设降落伞下降的速度为)(t v ，则根据牛顿第二运动定律，有 kv mg dtdvm-=，其中g为重力加速度，-------------------------------------------（2分）分离变量，得m dtkv mg dv =- ，两端积分 ⎰⎰=-m dtkv mg dv ， 1ln 1C m t kv mg k +=-- ， 1ln kC t mkkv mg --=-， t mk Cekv mg -=- （其中1kC e C -=，>-kv mg ）---------------------------------（2分）y,],0[R x ∈∀所做功的微元：取],[dx x x +（其中g x dx x R g dW ⋅-=)(22πρ分）（3)(32dx x x R g -=πρdxx x R g W R)((320-=⎰πρ故由已知0)0(v v =，代入上式，得0kv mg C -=， 故.)(0t m ke kmg v k mg v --+=------------------------------------------------------------（2分）七．（本题6分）求微分方程2106652+-=+'-''x x y y y 的通解.解 特征方程为：,0652=+-r r 特征根：.3,221==r r 对应齐次方程的通解为：.3221x x e C e C y +=----------------------------------------（3分）而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为C Bx Ax y ++=21，----------------（1分）B Ax y +='21,A y 21='',代入原方程得， 2106)(6)2(5222+-=++++-x x C Bx Ax B Ax A ， 2106652)106(622+-=+-+-+x x C B A x A B Ax ,比较同次幂的系数，得⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-=.2652,10106,66C B A A B A解之得，.0,0,1===C B A .21x y =∴故所要求的通解为.23221x e C e C y x x ++=---------------------------------------------（2分）八．（本题8分）设L 是一条平面曲线，其上任意一点)0(),(>x y x 到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y 轴上的截距，且L 经过点)0,21(. （1）试求曲线L 的方程；（2）求L 位于第一象限的一条切线，使该切线与L 以及两坐标轴所围图形的面积最小. 解（1）过曲线L 上点),(y x 处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-， 令0=X ，得切线在y 轴上的截距：y x y Y '-=，由题意，得y x y y x '-=+22，即dx dy x y x y -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+21，)0(>x ------------（2分） 令u x y=，则,12x dx u du -=+)0(>x ,12⎰⎰-=+⇒x dx udu )0(>x C x u u ln ln )1ln(2+-=++⇒,C u u x =++⇒)1(2,将xyu =代入并化简，得 C y x y =++22，由L 经过点)0,21(，令21=x ，0=y ，得21=C ，故曲线L的方程为：,2122=++y x y 即 241x y -=.----------------------------------（2分）（2）曲线L ：241x y -=在点),(y x 处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-，即)(2)41(2x X x x Y --=--，亦即 )210(4122≤<++-=x x X x Y ， 切线与x轴及y轴的交点分别为：)0,241(2xx +，).41,0(2+x -----------------------（2分） 所求面积⎰--+⋅=210222)41(2)41(21)(dx x xx x S ，)0(>x)413)(41(41)41(2)41(441)(22222222-+=+-+⋅='x x x x x x x x S ，)0(>x 令0)(='x S ，得)(x S 符合实际意义唯一驻点：63=x ， 即63=x 为)(x S 在)21,0(内的最小值点， 故所求切线方程为： 41363632++⋅-=X Y ,即.3133+-=X Y ---------------------------------------------（2分）2015—2016学年第一学期 《高等数学（2-1）》期末考试卷答案及评分标准( 工 科 类 )专业班级 姓 名A 卷学 号 开课系室 基础数学系 考试日期 2016年1月 11 日注意事项：1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸； 2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共八道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废； 4. 本试卷正文共8页。
石大在线《线性代数(文)》第一阶段在线作业(自测)答案
A、a-1 B、-a-1 C、1-a D、a 1
标准答案：A
您的答案：
题目分数：10
此题得分：0.0
批注：
9．第9题 单选题 矩阵
的秩等于(
)
A、0 B、1 C、2 D、3
标准答案：D
您的答案：
mhtml:file://D:\用户数据\win8\Desktop\线性代数\《线性代数(文)》第一阶段在线作... 2013/5/9
标准答案：C
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题目分数：10 此题得分：0.0 批注：
mhtml:file://D:\用户数据\win8\Desktop\线性代数\《线性代数(文)》第一阶段在线作... 2013/5/9
试题
页码，2/3
5．第5题 单选题 下列排列中是奇排列的是(
)
A、4321 B、1234 C、2314 D、4123
3．第3题 单选题
4阶行列式D，其第3列的元素分别为1, 2, 3, 4.它们的余子式分别为4，3，2，1，
则行列式D = （
）
A、0
B、1
C、-1
D、2
标准答案：A
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题目分数：10
此题得分：0.0
批注：
4．第4题 单选题 若
,则必有(
).
A、k=-1 B、k=3 C、k=-1或k=3 D、k≠-1且k≠3
试题
此题得分：0.0 批注：
10．第10题 单选题 若A是4阶方阵,|A|=2则|2A|=（
）
A、4 B、8 C、16 D、32
标准答案：D
您的答案：
题目分数：10
此题得分：0.0
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A卷
2013—2014学年第一学期
《线性代数》期末试卷
（32学时）
专业班级_____________________
姓名_____________________
学号_____________________
开课系室应用数学系
考试日期2014 年1月9日
页号一二三四五六总分
本页
30 16 16 14 12 12
满分
本页
得分
阅卷人
注意事项：1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；
2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；
3．本试卷共六道大题，满分100分；
4．试卷本请勿撕开，否则作废；
5．本试卷正文共6页。
一．填空题（3分⨯5=15分）
1．在5阶行列式中，项4123125435a a a a a 前的符号为【 】.
2. 设3阶方阵100025013A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，则1A -=【 】.
3. 设向量组1(,0,)T a c α=，2(,,0)T b c α=，3(0,,)T a b α=线性无关，则,,a b c 必满 足关系式【 】.
4. 设n 阶可逆矩阵A 的每行元素之和为常数a ，则1A -的每行元素之和为【 】.
5．设二次型222
1231231213(,,)4222f x x x x x x tx x x x =++++，当t 满足【 】
时，123(,,)f x x x 为正定二次型.
二. 选择题（3分⨯5=15分）
1. 设3
0402
2
2
2
07004222
D =
---，则D 的第4行元素余子式之和为【 】.
(A) 0; (B) 28; (C) 28-; (D) 前面选项都不对.
2. 设A 是n 阶方阵，2A =，*A 为A 的伴随矩阵，则1*-=A A 【 】. (A) 2； (B) 2n ； (C) 12-n ； (D) 前面选项都不对.
3. 已知矩阵11221130B a -⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭，且()2R B =，则a =【 】.
(A) 5; (B) 1; (C) 1-; (D) 5-.
4. 设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ，则方程组0=Ax 有非零 解的充分必要条件是【 】.
(A) r n =； (B) r n ≥； (C) r n >； (D) r n <.
5．设3阶方阵A 的特征值为1,2,3-，E 为单位矩阵，则2+A E 的迹(2)tr A E + 为【 】.
(A) 7； (B) 7-； (C) 2； (D) 前面选项都不对.
三. 解下列各题（8分⨯4=32分）
1.计算行列式
1111
1111
1111
1111
a
a
D
a
a
+-
+-
=
+-
-+
.
2.已知矩阵
201
020,
102
A
⎛⎫
⎪
= ⎪
⎪
-
⎝⎭
022
221
341
B
⎛⎫
⎪
= ⎪
⎪
⎝⎭
，且满足矩阵方程-=+
AX E B X
求矩阵X.
3. 设有向量组
123451113311311,,,,2134531557ααααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
(1) 求此向量组的秩，并求一个最大无关组；(2) 将其余向量用这个最大无关组线性表示.
4. 设3R 的两个基为1(1,0,1),T α=-2(1,0,1),T α=--3(0,1,0)T α=，及1(1,2,1),T β=
2(1,1,1),T β=- 3(1,1,1)T β=-. (1)求由基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵C ；(2)求1β关于基123,,ααα的坐标.
四. （7分⨯2=14分）
1. 设方阵A 满足方程220A A E --=，证明2A E +可逆，并求 ()
1
2A E -+.
2．设向量组1234,,,αααα线性无关，11234,βαααα=+++21234234,βαααα=+++
312344916,βαααα=+++4123482764βαααα=+++，证明向量组1234,,,ββββ也线性无关.
五．（12分）
λ取何值时，线性方程组
2123123123
1x x x x x x x x x λλλλλ⎧++=⎪
++=⎨⎪++=⎩ (1) 有唯一解；(2) 无解；(3) 有无穷多解，并求此时的通解.
六．（12分）
设实二次型123121323(,,)222f x x x x x x x x x =-+，用正交变换x P y =将此二次型化为标准形，写出正交矩阵P 及二次型的标准形.。