青岛版九年级数学上册《解直角三角形的应用》教案
青岛版初中数学解直角三角形的应用 教学案
9．5解直角三角形的应用（一）【教师寄语】：学以致用，在实际应用中体会学数学的乐趣。
【学习目标】：1、知道仰角、俯角的概念，并能将之灵活应用于实际生活。
2、能从实际问题中抽象出几何模型，并能借助计算器解决问题。
3、运用三角比的有关知识来解决有关仰角、俯角的问题。
【重点】：运用三角比的有关知识来解决有关仰角、俯角的问题。
【难点】：从实际问题中抽象出恰当的几何模型，用三角比的有关知识来解决。
【学习过程】：一、快乐预习：1、问题感知，解决课本76页问题，请写在下面。
2、读一读课本76页小资料：在实际测量中，从低处观测高处的目标时，_________与_________所成的锐角叫做_________，从高处观测低处的目标时，_______与________所成的锐角叫做______。
3、学习例题，尝试完成课本78页练习1、2。
水平线铅垂线二、合作探究：1、小组讨论解决课本例习题，展示解答过程，并与同学交流。
2、反思归纳：把实际问题转化为解直角三角形问题，关键是找出实际问题中的_____________三、拓展提高：1、某商场准备改善原有楼梯的安全性能把倾角由40º减至35º，已知原楼梯长4m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面？（结果精确到0.01m）2、一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40º夹角，且DB＝5m，在C点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少？（结果精确到0、01m）四、感恩达标：1 如图从地面上C、D两处望山顶A，仰角分别是300和500，若从山顶A看地面上的D处时，则（）A、仰角是450B、俯角是300C、俯角是600D、俯角是7503005002、如上右图某厂房屋顶成人字架形（等腰三角形），如图所示，已知AC=BC=8米，∠A=300，CD⊥AB 于点D.（1）求∠ACB的大小；（2）求AB的长度。
《解直角三角形的应用》教案 (公开课获奖)教案 2022青岛版
§2.5解直角三角形的应用（1）学习目标：1.明确仰角、俯角的概念，并能将之灵活应用于实际生活。
2．能从实际问题中抽象出几何模型，并能借助计算器解决问题。
学习重点：运用三角比的有关知识来解决实际应用问题。
学习难点：从实际问题中抽象出恰当的几何模型，用三角比的有关知识来解决。
自学过程：一、自学课本P53-54完成下列问题：1、独立完成课本P53测量东方明珠塔的高度，求出AB的长，2、读一读课本54页小资料：在实际测量中，从低处观测高处的目标时，_________与_________所成的锐角叫做_________，从高处观测低处的目标时，_______与________所成的锐角叫做______。
3、自学课本54页例1，然后把解题过程写在下面：4、自学课本54页例2，然后把解题过程写在下面：§2.5解直角三角形的应用（1）达标测试1、(5分)如图，厂房屋顶人字架的跨度为10米，上弦AB=BD，∠A=260，求中柱BC和上弦AB的长。
（精确到0.01米）2、(5分)某飞机于空中Ａ处探测地面上目标Ｂ，此时从飞机上看目标Ｂ的俯角α，若测得飞机到目标Ｂ的距离AB约为2400米，已知sinα=0.52，求飞机飞行的高度ＡＣ约为多少米？AB C2.5解直角的应用（2）学习目标：1、进一步探索直角三角形的边角关系,并能解决实际问题.2、根据实际问题并转化为数学问题,能作垂线构造直角三角形.学习重点：运用解直三角形的知识解决实际问题.学习难点：运用解直三角形的知识解决实际问题自学过程：一、自学课本p56--57完成下列问题：1、从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角叫做。
从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角叫做．2、如图1，在点处看点的仰角是；在处看点的仰角是；在点处看点的俯角是；在点处看点的俯角是 .3、自学56页例3，然后把解题过程写在下面，鼓励同学们学习例题，而不是抄袭例题：§2.5解直角三角形的应用（2）达标测试1、（6分）热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?2、（4分）结合数学建模思想，谈谈我们遇到实际问题时，解题的一般思路是什么？预习设计：§2.5 解直角三角形的应用（3）学习目标：1、知道“横断面、坡度、坡角”的概念和意义。
2.5 解直角三角形的应用 教案- 2022-2023学年青岛版九年级数学上册
2.5 解直角三角形的应用教案- 2022-2023学年青岛版九年级数学上册一、教学目标1.理解直角三角形概念及性质；2.掌握利用三角比解各种实际问题的方法；3.能够解决与直角三角形相关的实际问题；4.培养学生分析和解决问题的能力。
二、教学重点1.理解直角三角形的定义及性质；2.掌握利用正弦定理、余弦定理和正切定理解决实际问题；3.培养学生分析和解决问题的能力。
三、教学内容1. 直角三角形的定义及性质直角三角形是指有一个角为直角（90度）的三角形。
直角三角形的性质包括：•斜边：直角三角形的斜边是直角的边；•直角边：直角三角形的直角边是和直角相邻的两条边；•定理：勾股定理，即“直角三角形的斜边的平方等于直角边的平方之和”。
2. 解直角三角形的方法解直角三角形的方法包括利用正弦定理、余弦定理和正切定理。
•正弦定理：在任意一个三角形中，三角形的三条边和与这些边对应的角的正弦之比是相等的。
•余弦定理：在任意一个三角形中，三角形的三条边和与这些边对应的角的余弦之比是相等的。
•正切定理：在任意一个直角三角形中，直角边和与这个直角边相邻的锐角的正切之比是相等的。
3. 利用直角三角形解决实际问题直角三角形的应用非常广泛，可以用于解决实际问题。
例如：•使用直角三角形解决测量问题：通过测量一个直角三角形的两个已知边长，可以计算出第三条边的长度；•使用直角三角形解决高度或距离问题：可以通过测量一个直角三角形中的某个角度和一条边的长度，来计算出另一条边的长度；•使用直角三角形解决斜面问题：可以通过计算斜面的倾斜角度和高度，来计算斜面的长度或高度。
四、教学步骤1.引入直角三角形的概念及性质，示例说明直角三角形的特点；2.介绍正弦定理、余弦定理和正切定理的原理和应用场景；3.示范教学：通过几个典型的直角三角形应用问题，演示解题步骤及方法；4.学生练习：将学到的知识应用到实际问题中，进行个别或小组练习；5.整理归纳：让学生总结直角三角形解题的方法和技巧；6.拓展练习：提供多个其他类型的直角三角形题目，让学生继续练习和巩固。
青岛版数学九年级上册2.5《解直角三角形的应用》教学设计
青岛版数学九年级上册2.5《解直角三角形的应用》教学设计一. 教材分析《解直角三角形的应用》是青岛版数学九年级上册第2.5节的内容。
本节主要让学生掌握解直角三角形的应用，会运用正弦、余弦、正切函数解决实际问题。
教材通过生活实例，引导学生运用数学知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角函数的基本知识，对直角三角形有一定的了解。
但学生在解决实际问题时，往往不能将数学知识与实际问题相结合。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将数学知识运用到实际问题中，提高学生的数学应用能力。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握解直角三角形的应用，会运用正弦、余弦、正切函数解决实际问题。
2.过程与方法：通过生活实例，引导学生运用数学知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极解决实际问题的意识。
四. 教学重难点1.重点：让学生掌握解直角三角形的应用。
2.难点：如何引导学生将数学知识与实际问题相结合，提高学生的数学应用能力。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生运用数学知识解决实际问题。
2.启发式教学法：教师提问，引导学生思考，激发学生的学习兴趣。
3.小组合作学习：让学生在小组内讨论问题，培养学生的合作意识。
六. 教学准备1.教师准备：备好相关的生活实例，制作PPT，准备讲解和解题示范。
2.学生准备：预习相关知识，了解直角三角形的基本概念。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个生活实例引入课题，如测量楼房的高度。
让学生思考如何运用数学知识解决这个问题。
2.呈现（10分钟）教师呈现一些实际问题，让学生尝试用解直角三角形的方法解决。
如给出一个直角三角形，其中一个锐角为30度，斜边为10米，求另一直角边的长度。
3.操练（10分钟）学生独立解决呈现的问题，教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）教师引导学生总结解直角三角形的步骤和方法，让学生加深对知识的理解。
九年级数学上册第2章解直角三角形2.5解直角三角形的应用教案3青岛版(最新整理)
解直角三角形的应用教学目标1.知道坡角、破比（坡度）的意义。
2.能将有关实际问题转化为解直角三角形的问题.3.培养严谨致学的学习态度。
教学重点与难点将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间关系进行解题.教学过程一、知识回顾解决直角三角形的应用思路。
1。
把实际问题转化为解直角三角形的问题，关键是找出实际问题中的＿＿＿＿＿＿＿＿，直角三角形＿＿＿＿＿＿＿之间的关系,是解决与直角三角形有关的实际问题的重要工具.2。
解答过程的思路：转化实际问题解直角三角形的问题问题答案求出有关的边或角二、探究新知（一)学习坡角和坡比（坡度）的定义.从爬山引入：有的山坡很陡，有的山坡比较缓，那么我们如何从数量上来描述山坡的陡的程度呢？比较上面两个斜坡，给出坡度的定义.定义：坡面的铅垂高度(h ）与水平宽度（L ）的比叫做坡面的坡度（或坡比),记作,i 即L h i =. 坡度通常写成1∶m 的形式。
定义:坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α。
坡度与坡角的关系：tg L h i ==α。
问：根据定义，你能用坡度来刻画斜坡的倾斜、即陡的程度吗？答：坡度越大，坡面越陡。
小练习：1.斜坡的坡度是31：，则坡角α=_____度。
2。
斜坡的坡角是450 ，则坡比是 _______。
3。
斜坡长是12米，坡高6米,则坡比是_______。
4.在一次军事训练中，有一辆坦克准备通过如图的一座小山，AC 为1000米，BC 为400米，如果这辆坦克能够爬300 的斜坡，试问：它能不能通过这座小山？hL α能爬过.那么反过来，你能利用我们今天学习的知识来阻止坦克爬过这个斜坡吗?（二)有关坡角与坡比（坡度）的实际应用学生分组讨论以下问题：梯形的常用辅助线的作法之一是作高，其目的是什么？找出题目中的已知量，未知量，并在图中标示出来。
（3）说一说坡度5.2:1,3:1==i i 在本题中的含义？（4）写出解答过程，同桌互查互纠.变式训练1.水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m,坝高20m,斜坡AB 的坡度 i=1∶3 ，斜坡CD 的坡度i=1∶1。
青岛版-数学-九年级上册-教案2.5 解直角三角形的应用 (1)
二、课内探究（2）解答过程的思路：实际问题解直角三角形问题1、创设问题情景，引出新知：上海东方明珠塔于1994 年10 月1 日建成，出示图片，在各国广播电视塔的排名榜中，当时其高度列亚洲第一、世界第三．与外滩的“万国建筑博览群”隔江相望．在塔顶俯瞰上海风景，美不胜收．运用本章所学过的知识，能测出东方明珠塔的高度来吗？思考回答转化问题答案求出有关的边或角AB ECDA CDB四、思维扩展，举一反三五、巩固提高３、根据已知条件和所学知识，这种形状的图形能不能解？仿照例１根据下图和图中的已知，编写一道应用“解直角三角形”知识的题。
（要求叙述完整）例2、如图，河对岸有水塔AB 。
在C 处测得塔顶A的仰角为30°,向塔前进12m 到达D ，在D 处测得A 的仰角为45°， 求塔高。
通过编写题目来加深学生对解直角三角形应用的理解与掌握，达到扩散思维的作用1、积极思考，踊跃回答，并计算结果。
2、四人小组讨论，给出结果。
450 3006米（自主探究，合作学习，采用小组合作的方法）教学程序教师活动学生活动一、学前准备二、自学探究1.指南或指北的方向与目标方向线构成小于900的角，叫做__ ____,如图：点A在点O的___________,点B在点O的南偏西45º或方向.2阅读课本80页中有关坡度的内容，说一说什么是坡角，什么是坡度或坡比，坡度与坡角的正切有什么关系? 请把重点知识写在下面.______________________________________________________________________________1、某地计划在河流的上游修建一条拦水大坝，大坝的横断面ABCD是梯形（如图），坝顶宽BC=6米，坝高25米，应水坡AB的坡度i=1：3，被水坡CD的坡度i=1：2.5.（1）.求斜坡AB和CD的长（精确到0.01米）；（2）.求拦水大坝的底面AD的宽.做一做，看谁做得快组内探索，交流推荐学生回答BC10米A D E5.6米i=1:2.5α β三、练习自测1.一名滑雪运动员从坡度为1：5的山坡上滑下，如果这名运动员滑行的距离为150米，那么他下降的高度是多少（精确到0.1米）？2.如上图，拦水坝的横断面为梯形ABCD ，根据图中数据，求：（1）.角α和β的大小（精确到1 ） （2）、坝底宽AD 和斜坡AB 的长（精确到0.1米） 3.入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，达到历史最低水位，一条船在松花江某水段自西向东沿直线航行，在A 处测得航标C 在北偏东60°方向上，前进100米到达B 处，又测得航标C 在北偏东45°方向上，如图9，在以航标C 为圆心，120米长为半径的圆形区域内有浅滩，如果这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？A 、B 两市相距100公里，在A 市东偏北30º方向，B 市的西北方向是一森林公园C ，方圆30公里.若在思考回答、推举同学讲解先独立解答，不会的相互帮助 所思所想四、拓展延伸五、归纳小结A、B两市间修一条笔直的高速公路.它会不会穿过森林公园.1.这节课我的收获和疑问：___________________________我将____________________________________________________ ______解决我的困惑。
解直角三角形-青岛版九年级数学上册教案
解直角三角形-青岛版九年级数学上册教案
一、教学目标
1.了解直角三角形的基本概念和定理；
2.掌握利用三角函数（正弦、余弦、正切）求解直角三角形的方法；
3.解决直角三角形的实际问题。
二、教学重难点
1.理解三角函数的概念和性质；
2.掌握求解应用题的方法。
三、教学内容和学生活动
1. 直角三角形的定义
学生通过PPT介绍、教师讲解及类比了解直角三角形是什么，并掌握直角三
角形的性质和基本概念；
•定义：一个三角形的其中一个角是90度，则称这个三角形为直角三角形；
•性质：直角三角形的对边为斜边，斜边的两个端点为直角和对角。
•基本概念：斜边、底边、高、角度符号等。
2. 特殊角的三角函数值
学生可以通过PPT演示、动画、练习等方式重点掌握以下角度的三角函数值：0度、30度、45度、60度、90度。
3. 三角函数的概念
•定义：在直角三角形中，正弦值、余弦值、正切值是一个角的三角比，分别表示为sin、cos、tan。
•性质：三角函数值的范围与特点。
4. 三角函数的计算方法
学生通过举例、练习等方式，使用计算器和三角函数表，掌握三角函数的计算方法。
5. 应用题例解
教师通过例题解析的方式，帮助学生理解掌握直角三角形应用题的解法，以确保学生可以应用所学知识解决实际问题。
四、教学方法
1.讲述
2.PPT演示
3.线上互动练习
五、学习评价
1.课堂小测验；
2.作业练习；
3.课后测试。
六、教学后记
通过互动形式将知识点梳理完整并同步，结合实际应用情景，丰富教学方式，激发学生的学习兴趣，提高教学效果。
2.5.1 解直角三角形的应用 教学设计 2022—2023学年青岛版数学九年级上册
2.5.1 解直角三角形的应用教学设计 2022—2023学年青岛版数学九年级上册一、教学目标通过本节课的教学，使学生掌握解直角三角形应用题的解题方法和技巧，培养学生运用直角三角形解决实际问题的能力。
1.掌握直角三角形的基本概念和性质。
2.学会应用三角函数(sin、cos、tan)解直角三角形的应用题。
3.培养学生分析和解决实际问题的能力。
二、教学重点1.直角三角形的基本概念和性质。
2.应用三角函数解直角三角形的应用题。
三、教学难点应用三角函数解直角三角形的应用题。
四、教学准备1.教学课件。
2.教学素材：直角三角形的实际应用题。
3.教学工具：黑板、白板、彩色粉笔、直角三角形模型。
五、教学过程步骤一：导入与热身（10分钟）1.利用直角三角形模型向学生介绍直角三角形的基本概念和性质，并让学生回顾直角三角形的定义和性质。
2.引导学生思考，直角三角形在实际生活中的应用场景，并与学生共同发现解决实际问题的方法之一就是通过解直角三角形。
步骤二：知识讲解（20分钟）1.通过教师讲解和展示教学课件，系统地介绍应用三角函数(sin、cos、tan)解直角三角形的方法和步骤。
2.以具体实例为例，讲解如何使用三角函数求解直角三角形的边长和角度，引导学生理解解题思路。
3.引导学生熟悉三角函数的定义和基本关系，加深对三角函数的理解和运用。
步骤三：例题演练（30分钟）1.教师根据教材和课件设计一些具有挑战性的直角三角形应用题例题，逐步引导学生运用所学知识解题。
2.将学生分成小组，让学生在小组内讨论和解答例题，并及时给予指导和反馈。
3.随堂检测，抽查学生解题情况，帮助学生纠正错误，巩固所学知识。
步骤四：拓展应用（20分钟）1.让学生在实际生活中找到更多直角三角形的应用场景，并结合所学知识解决相关问题。
2.鼓励学生尝试探索不同的解决方法和角度，培养学生分析和解决实际问题的能力。
步骤五：总结与小结（10分钟）1.教师对本节课的知识点进行总结，并强调应用三角函数解直角三角形的重要性和实用性。
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《解直角三角形的应用》教案
教学目标
1．使学生了解仰角、俯角、方位角、坡角的概念．
2．逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．
3．巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题．
学习重点
将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．
教学难点
学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型．
教学过程
一、寻疑之自主学习
1．仰角：如图1，从低处观察高处时，视线与水平线所成的锐角叫做仰角．
2．俯角：如图1，从高处观察低处时，视线与水平线所成的锐角叫做俯角．
3．方向角：如图2，点A位于点O的北偏西30°方向；点B位于点O的南偏东60°方向．
图1 图2 4．坡角：如图，坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α
5．坡度：如图，坡面的铅垂高度h与水平宽度l的比叫做坡度，用i表示，即i＝tanα
＝h l．
二、解惑之例题解析
例1如图2-14（课本第54页），一架飞机执行海上搜救任务，在空中A处发现海面上有一目标B，仪器显示这时飞机的高度为1.5km，飞机距目标4.5km.求飞机在A处观测目标B的俯角（精确到1'）.
例2 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功．当飞船完成变轨后，就在离地球表面350 km的圆形轨道上运行．如图，当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6 400km，结果精确到0.1km）
O Q
F
P
α
解：在图中，FQ 是⊙O 的切线，△FOQ 是直角三角形．
6400cos 0.956400350
OQ OF ==≈+α 18α∴≈ ∴ PQ 的长为
186400 3.146402009.6180
π≈××= 答： 当飞船在P 点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P 点约2009.6km 解析：从飞船上能最远直接看到的地球上的点，应是视线与地球相切时的切点．
例3 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m ，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m ）
解析： Rt △ABC 中，α =30°，AD ＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD ；类似地可以求出CD ，进而求出BC ．
解：如图，α= 30°，β= 60°， AD ＝120．
tan ,tan BD CD AD AD αβ==
tan 120tan 30BD AD α∴=⋅=⨯
120==
tan 120tan 60CD AD β=⋅=
⨯
120=⨯=
BC BD CD ∴=+=+
277.1=≈
A B
C D
α β
答：这栋楼高约为277.1m
直角三角形边角之间的关系，是解决与直角三角形有关的实际问题的重要在工具.把实际问题转化为解直角三角形问题，关键是找出实际问题中的直角三角形.这一解答过程的思路是：
例4 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求：
（1）坝底AD与斜坡AB的长度.（精确到0.1m）
（2）斜坡CD的坡角α.（精确到1°）
例5 如图2-23（课本第59页），要测量铁塔的高度AB，在地面上选取一个点C，在A、C两点间选取一点D，测得CD=14m，在C、D两点处分别用测角器测得铁塔顶端B的仰角为α＝30°和β=45°，测角仪支架的高度为1.2m，求铁塔的高度（精确到0.1m).
三、尝试之知识巩固
1．数学实践探究课中，老师布置同学们测量学校旗杆的高度．小民所在的学习小组在距离旗杆底部10米的地方，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为60°，则旗杆的高度是___
_米．
2．如图，已知楼房AB高为50m，铁塔塔基距楼房地基间的水平距离BD为100m，塔
m，则下面结论中正确的是（C ）
高CD为
50)
A．由楼顶望塔顶仰角为60°
B．由楼顶望塔基俯角为60°
C．由楼顶望塔顶仰角为30°
D．由楼顶望塔基俯角为30°
3．如图，在离铁塔BE 120m的A处，用测角仪测量塔顶的仰角为30°，已知测角仪高AD=1.5m，则塔高BE=
1.5)m．
4．如图，从地面上的C，D两点测得树顶A仰角分别是45°和30°，已知CD=200m，
+（根号保留）．
点C在BD上，则树高AB等于1)m
5．(2014·十堰)如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是24 海里．
四、课堂小结：
1．仰角、俯角
当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．
2．坡度与坡角
坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），
一般用i表示。
即i＝h
l
，常写成i=1∶m的形式如i=1∶2.5
把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．。