2022年全国各省中考数学真题分类解析整式
2022年全国各省中考数学真题分类解析无理数和二次根式
（2022•福建中考）如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（）A．−√2B．√2C．√5D．π【解析】选B．根据题意可得，1＜P＜2，∵1＜√2＜2，∴这个无理数是√2．（2022•荆州中考）实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图，其中有一对互为相反数，它们是（）A．a与d B．b与d C．c与d D．a与c【解析】选C．∵c＜0，d＞0，|c|＝|d|，∴c，d互为相反数.（2022•永州中考）如图，数轴上点E对应的实数是（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【解析】选A．数轴上点E对应的实数是﹣2.1（2022•雅安中考）使√x−2有意义的x的取值范围在数轴上表示为（）A．B．C．D．【解析】选B．∵√x−2有意义，∴x﹣2≥0，∴x≥2.（2022•大庆中考）实数c，d在数轴上的对应点如图所示，则下列式子正确的是（）A．c＞d B．|c|＞|d|C．﹣c＜d D．c+d＜0【解析】选C．由题意得：c＜0，d＞0且|c|＜|d|，A.c＜d，故A不符合题意；B.|c|＜|d|，故B不符合题意；C.﹣c＜d，故C符合题意；D.c+d＞0，故D不符合题意.2（2022•吉林中考）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则a，b的大小关系为（）A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．无法确定【解析】选B．∵b＞0，a＜0，∴a＜b.（2022•遂宁中考）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|−√(b−1)2+√(a−b)2= 2 ．【解析】由数轴可得，﹣1＜a＜0，1＜b＜2，∴a+1＞0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，∴|a+1|−√(b−1)2+√(a−b)2＝a+1﹣（b﹣1）+（b﹣a）＝a+1﹣b+1+b﹣a＝2.答案：2。
2022年全国数学中考真题(江苏河南广东四川湖南等)汇编专题02 整式与因式分解(解析版)
专题02 整式与因式分解一．选择题1．（2022·江苏宿迁）下列运算正确的是（ ）A ．21m m -=B ．236·m m a =C ．()222mn m n =D ．()235m m = 【答案】C【分析】由合并同类项可判断A ，由同底数幂的乘法可判断B ，由积的乘方运算可判断C ，由幂的乘方运算可判断D ，从而可得答案．【详解】解：2m m m -=， 故A 不符合题意；235m m m ⋅=， 故B 不符合题意；()222mn m n =， 故C 符合题意；()236m m =， 故D 不符合题意；故选：C【点睛】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方运算，幂的乘方运算，掌握以上基础运算是解本题的关键．2．（2022·湖南株洲）下列运算正确的是（ ）A ．235a a a ⋅=B ．()235a a =C ．22()ab ab = D ．632(0)a a a a =≠ 【答案】A【分析】根据同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，分式的化简，逐项判断即可求解．【详解】解：A 、235a a a ⋅=，故本选项正确，符合题意；B 、()236a a =，故本选项错误，不符合题意； C 、222()ab a b =，故本选项错误，不符合题意；D 、462(0)a a a a=≠，故本选项错误，不符合题意；故选：A 【点睛】本题主要考查了同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，分式的化简，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．3．（2022·陕西）计算：()2323x x y ⋅-=（ ） A ．336x y B ．236x y - C ．336x y - D ．3318x y【答案】C 【分析】利用单项式乘单项式的法则进行计算即可．【详解】解：()()23233323236x x y x x y x y ⋅-=⨯-⨯=-⋅⨯．故选：C ．【点睛】本题考查了单项式乘单项式的运算，正确地计算能力是解决问题的关键．4．（2022·浙江嘉兴）计算a 2·a （ ）A ．aB ．3aC ．2a 2D ．a 3【答案】D【分析】根据同底数幂的乘法法则进行运算即可．【详解】解：23,a a a 故选D 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，掌握“同底数幂的乘法，底数不变，指数相加”是解本题的关键． 5．（2022·四川眉山）下列运算中，正确的是（ ）A ．3515x x x ⋅=B ．235x y xy +=C ．22(2)4x x -=-D ．()2242235610x x y x x y ⋅-=-【答案】D【分析】根据同底数幂的乘法法则，合并同类项，完全平方公式，单项式乘多项式的法则分析选项即可知道答案．【详解】解：A. 3515x x x ⋅=，根据同底数幂的乘法法则可知：358⋅=x x x ，故选项计算错误，不符合题意；B. 235x y xy +=，2x 和3y 不是同类项，不能合并，故选项计算错误，不符合题意；C. 22(2)4x x -=-，根据完全平方公式可得：22(2)44-=+-x x x ，故选项计算错误，不符合题意；D. ()2242235610x x y x x y ⋅-=-，根据单项式乘多项式的法则可知选项计算正确，符合题意； 故选：D【点睛】本题考查同底数幂的乘法法则，合并同类项，完全平方公式，单项式乘多项式的法则，解题的关键是掌握同底数幂的乘法法则，合并同类项，完全平方公式，单项式乘多项式的法则．6．（2022·江西）下列计算正确的是（ ）A ．236m m m ⋅=B ．()m n m n --=-+C ．2()m m n m n +=+D ．222()m n m n +=+【答案】B【分析】利用同底数幂的乘法，去括号法则，单项式乘多项式，完全平方公式对各选项依次判断即可．【详解】解：A 、2356m m m m ⋅=≠，故此选项不符合题意；B 、()m n m n --=-+，故此选项符合题意；C 、22()m m n m mn m n +=+≠+，故此选项不符合题意；D 、22222()2m m n m n m n n +=++≠+，故此选项不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查了整式的混合运算，涉及到同底数幂的乘法，去括号法则，单项式乘多项式的运算法则，完全平方公式等知识．熟练掌握各运算法则和222()2a b a ab b +=++的应用是解题的关键．7．（2022·浙江宁波）将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形ABCD 内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）A ．正方形纸片的面积B ．四边形EFGH 的面积C ．BEF 的面积D ．AEH △的面积【答案】C 【分析】设正方形纸片边长为x ，小正方形EFGH 边长为y ，得到长方形的宽为x -y ，用x 、y 表达出阴影部分的面积并化简，即得到关于x 、y 的已知条件，分别用x 、y 列出各选项中面积的表达式，判断根据已知条件能否求出，找到正确选项．【详解】根据题意可知，四边形EFGH 是正方形，设正方形纸片边长为x ，正方形EFGH 边长为y ，则长方形的宽为x -y ，所以图中阴影部分的面积=S 正方形EFGH +2S △AEH +2S △DHG =2112()222y y x y xy +⨯-+⨯=2xy ，所以根据题意，已知条件为xy 的值，A.正方形纸片的面积=x 2，根据条件无法求出，不符合题意；B.四边形EFGH 的面积=y 2， 根据条件无法求出，不符合题意；C.BEF 的面积=12xy ，根据条件可以求出，符合题意； D.AEH △的面积=21()22xy y y x y --=，根据条件无法求出，不符合题意；故选 C ． 【点睛】本题考查整式与图形的结合，熟练掌握正方形、长方形、三角形等各种形状的面积公式，能正确用字母列出各种图形的面积表达式是解题的关键．8．（2022·浙江温州）化简3()()a b -⋅-的结果是（ ） A ．3ab - B ．3ab C ．3a b - D ．3a b【答案】D【分析】先化简乘方，再利用单项式乘单项式的法则进行计算即可．【详解】解：()()()333·a b a b a b -⋅-=--=，故选：D ．【点睛】本题考查单项式乘单项式，掌握单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式是解题的关键．9．（2022·江西）将字母“C ”，“H ”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H ”的个数是（ ） A ．9 B ．10 C ．11D ．12【答案】B 【分析】列举每个图形中H 的个数，找到规律即可得出答案．【详解】解：第1个图中H 的个数为4，第2个图中H 的个数为4+2，第3个图中H 的个数为4+2×2，第4个图中H 的个数为4+2×3=10，故选：B ．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H 的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个H 是解题的关键．10．（2022·浙江绍兴）下列计算正确的是（ ）A ．2()a ab a a b +÷=+B ．22a a a ⋅=C ．222()a b a b +=+D ．325()a a =【答案】A【分析】根据多项式除以单项式、同底数幂的乘法、完全平方公式、幂的乘方法则逐项判断即可．【详解】解：A 、2()a ab a a b +÷=+，原式计算正确；B 、23a a a ⋅=，原式计算错误；C 、222()2a b a b ab +=++，原式计算错误；D 、326()a a =，原式计算错误；故选：A ．【点睛】本题考查了多项式除以单项式、同底数幂的乘法、完全平方公式和幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．11．（2022·云南）按一定规律排列的单项式：x ，3x ²，5x ³，7x 4，9x 5，……，第n 个单项式是（ ） A ．(2n -1)n xB ．(2n +1)n xC ．(n -1)n xD ．(n +1)n x【答案】A【分析】系数的绝对值均为奇数，可用(2n -1)表示；字母和字母的指数可用xn 表示．【详解】解：依题意，得第n 项为（2n -1）xn ，故选：A ．【点睛】本题考查的是单项式，根据题意找出规律是解答此题的关键．12．（2022·重庆）把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为（ ） A ．15 B ．13 C ．11 D ．9【答案】C【分析】根据第①个图案中菱形的个数：1；第②个图案中菱形的个数：123+=；第③个图案中菱形的个数：1225+⨯=；…第n 个图案中菱形的个数：()121n +-，算出第⑥个图案中菱形个数即可．【详解】解：∵第①个图案中菱形的个数：1；第②个图案中菱形的个数：123+=；第③个图案中菱形的个数：1225+⨯=；…第n 个图案中菱形的个数：()121n +-，∵则第⑥个图案中菱形的个数为：()126111+⨯-=，故C 正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律． 13．（2022·安徽）下列各式中，计算结果等于9a 的是（ ）A ．36+a aB ．36a a ⋅C ．10a a -D ．182÷a a【答案】B 【分析】利用整式加减运算和幂的运算对每个选项计算即可．【详解】A ．36+a a ，不是同类项，不能合并在一起，故选项A 不合题意；B ．36369a a a a +⋅==，符合题意；C ．10a a -，不是同类项，不能合并在一起，故选项C 不合题意；D ．11816282a a a a -==÷，不符合题意，故选B【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握整式的运算性质是解题的关键．14．（2022·四川成都）下列计算正确的是（ ）A ．2m m m +=B ．()22m n m n -=-C ．222(2)4m n m n +=+D ．2(3)(3)9m m m +-=-【答案】D【分析】根据合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式进行运算，即可一一判定．【详解】解：A.2m m m +=，故该选项错误，不符合题意；B.()222m n m n -=-，故该选项错误，不符合题意；C.2224(2)4m n m n mn ++=+，故该选项错误，不符合题意；D.2(3)(3)9m m m +-=-，故该选项正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式，熟练掌握和运用各运算法则和公式是解决本题的关键．15．（2022·山东滨州）下列计算结果，正确的是（ ）A ．352()a a =B C 2= D ．1cos302︒= 【答案】C【分析】根据幂的乘方、算术平方根的计算、立方根的化简和特殊角的三角函数值逐一进行计算即可．【详解】解：A 、23236()a a a ⨯==，该选项错误；B =C 2，该选项正确；D 、cos30=°，该选项错误；故选：C ． 【点睛】本题考查了幂的乘方、算术平方根的计算、立方根的化简和特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解题的关键．16．（2022·重庆）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（ ）A ．32B ．34C．37D．41【答案】C【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n个图形的算式，然后再解答即可．【详解】解：第1个图中有5个正方形；第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；．．．第n个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37．故选：C．【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键．17．（2022·湖南湘潭）下列整式与2ab为同类项的是（）A．2a b B．22ab-C．ab D．2ab c【答案】B【解析】【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，结合选项求解．【详解】解：由同类项的定义可知，a的指数是1，b的指数是2．A、a的指数是2，b的指数是1，与2ab不是同类项,故选项不符合题意；B、a的指数是1，b的指数是2，与2ab是同类项,故选项符合题意；C、a的指数是1，b的指数是1，与2ab不是同类项,故选项不符合题意；D、a的指数是1，b的指数是2，c的指数是1，与2ab不是同类项,故选项不符合题意．故选：B．【点睛】此题考查了同类项，判断同类项只要两看，即一看所含有的字母是否相同，二看相同字母的指数是否相同．18．（2022·江苏苏州）下列运算正确的是（）A7=-B．2693÷=C．222a b ab+=D．235a b ab⋅=【答案】Ba=，判断A选项不正确；C选项中2a、2b不是同类项，不能合并；D选项中，单项式与单项式法则：把单项式的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式；B【详解】A. 7=，故A 不正确； B. 2366932÷=⨯=，故B 正确； C. 222a b ab +≠，故C 不正确；D. 236a b ab ⋅=，故D 不正确；故选B ．【点睛】本题考查二次根式的性质、有理数的除法及整式的运算，灵活运用相应运算法则是解题的关键． 19．（2022·重庆）对多项式x y z m n ----任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：()()x y z m n x y z m n ----=--++，()x y z m n x y z m n ----=--+-，…，给出下列说法： ①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；③所有的“加算操作”共有8种不同的结果．以上说法中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】D【分析】给x y -添加括号，即可判断①说法是否正确；根据无论如何添加括号，无法使得x 的符号为负号，即可判断②说法是否正确；列举出所有情况即可判断③说法是否正确．【详解】解：∵()x y z m n x y z m n ----=----∴①说法正确∵0x y z m n x y z m n -----++++=又∵无论如何添加括号，无法使得x 的符号为负号∴②说法正确∵当括号中有两个字母，共有4种情况，分别是()x y z m n ----、()x y z m n ----、()x y z m n ----、()x y z m n ----；当括号中有三个字母，共有3种情况，分别是()x y z m n ----、()x y z m n ----、()x y z m n ----；当括号中有四个字母，共有1种情况，()x y z m n ----∴共有8种情况∴③说法正确∴正确的个数为3故选D ．【点睛】本题考查了新定义运算，认真阅读，理解题意是解答此题的关键．二．填空题20．（2022·江苏苏州）已知4x y +=，6-=x y ，则22x y -=______．【分析】根据平方差公式计算即可．【详解】解：∵4x y +=，6-=x y ，∴22()()4624x y x y x y -=+-=⨯=，故答案为：24．【点睛】本题考查因式分解的应用，先根据平方差公式进行因式分解再整体代入求值是解题的关键． 21．（2022·四川乐山）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”，如图所示，“优美矩形”ABCD 的周长为26，则正方形d 的边长为______．【答案】5【分析】设正方形a 、b 、c 、d 的边长分别为a 、b 、c 、d ，分别求得b =13c ，c =35d ，由“优美矩形”ABCD 的周长得4d +2c =26，列式计算即可求解．【详解】解：设正方形a 、b 、c 、d 的边长分别为a 、b 、c 、d ，∵“优美矩形”ABCD 的周长为26，∴4d +2c =26，∵a =2b ，c =a +b ，d =a +c ，∴c =3b ，则b =13c ， ∴d =2b +c =53c ，则c =35d ，∴4d +65d =26， ∴d =5，∴正方形d 的边长为5，故答案为：5．【点睛】本题考查了整式加减的应用，认真观察图形，根据长方形的周长公式推导出所求的答案是解题的关键．22．（2022·四川乐山）已知221062m n m n ++=-，则m n -=______．【答案】4【分析】根据已知式子，凑完全平方公式，根据非负数之和为0，分别求得,m n 的值，进而代入代数式即可求解． 【详解】解：221062m n m n ++=-，2210620m n m n +-+∴+=，即()()22310m n -++=，3,1m n ∴==-，()314m n ∴-=--=，故答案为：4．【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．23．（2022·湖南邵阳）已知2310x x -+=，则2395x x -+=_________．【答案】2【分析】将2395x x -+变形为23(31)+2x x -+即可计算出答案．【详解】22239539323(31)+2x x x x x x -+=-++=-+∵2310x x -+=∴23950+2=2x x -+=故答案为：2．【点睛】本题考查代数式的性质，解题的关键是熟练掌握代数式的相关知识．24．（2022·天津）计算7m m ⋅的结果等于___________．【答案】8m【分析】根据同底数幂的乘法即可求得答案．【详解】解：7178m m m m +⋅==，故答案为：8m ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握计算方法是解题的关键．25．（2022·江苏扬州）掌握地震知识，提升防震意识．根据里氏震级的定义，地震所释放出的能量E 与震级n 的关系为 1.510n E k =⨯（其中k 为大于0的常数），那么震级为8级的地震所释放的能量是震级为6级的地震所释放能量的________倍．【答案】1000【分析】分别求出震级为８级和震级为6级所释放的能量，然后根据同底数幂的除法即可得到答案．【详解】解：根据能量E 与震级n 的关系为 1.510n E k =⨯（其中k 为大于0的常数）可得到， 当震级为8级的地震所释放的能量为： 1.58121010k k ⨯⨯=⨯，当震级为6级的地震所释放的能量为： 1.5691010k k ⨯⨯=⨯，12391010100010k k ⨯==⨯， ∴震级为8级的地震所释放的能量是震级为6级的地震所释放能量的1000倍．故答案为：1000．【点睛】本题考查了利用同底数幂的除法底数不变指数相减的知识，充分理解题意并转化为所学数学知识是解题的关键．26．（2022·山东泰安）观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022时，n 的值为____________． 【答案】不存在【分析】首先根据n =1、2、3、4时，“•”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n 个图形中“•”的个数是3n ；然后根据n =1、2、3、4，“○”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n 个“○”的个数是()12n n +；最后根据图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022，列出方程，解方程即可求出n 的值是多少即可． 【详解】解：∵n =1时，“•”的个数是3=3×1； n =2时，“•”的个数是6=3×2； n =3时，“•”的个数是9=3×3； n =4时，“•”的个数是12=3×4； ……∴第n 个图形中“•”的个数是3n ； 又∵n =1时，“○”的个数是1=1(11)2⨯+； n =2时，“○”的个数是2(21)32⨯+=， n =3时，“○”的个数是3(31)62⨯+=，n =4时，“○”的个数是4(41)102⨯+=， ……∴第n 个“○”的个数是()12n n +， 由图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022 ()1320222n n n +∴-=①，()1320222n n n +-=② 解①得：无解解②得：12n n ==故答案为：不存在【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．27．（2022·四川遂宁）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为______．【答案】127【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数． 【详解】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个）， 第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），.....．∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（个），故答案为：127．【点睛】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律． 28．（2022·山东滨州）若10m n +=，5mn =，则22m n +的值为_______． 【答案】90【分析】将22m n +变形得到()22m n mn +-，再把10m n +=，5mn =代入进行计算求解． 【详解】解：∵10m n +=，5mn =，∴22m n + ()22m n mn =+- 21025=-⨯ 10010=- 90=．故答案为：90．【点睛】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式的应用，灵活运用完全平方公式是解答关键． 29．（2022·山东泰安）地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千米，地球的体积约是太阳体积的倍数是_____（用科学记数法表示，保留2位有效数字） 【答案】7.1×10-7【分析】直接利用整式的除法运算法则结合科学记数法求出答案．【详解】∵地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千米， ∴地球的体积约是太阳体积的倍数是：1012÷(1.4×1018)≈7.1×10-7．故答案是：7.1×10-7．【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示数的除法与有效数字，正确掌握运算法则是解题关键． 30．（2022·四川德阳）已知（x+y ）2=25，（x ﹣y ）2=9，则xy=___． 【答案】4【分析】根据完全平方公式的运算即可. 【详解】∵()225x y +=，()29x y -= ∵()2x y ++()2x y -=4xy =16，∴xy =4.【点睛】此题主要考查完全平方公式的灵活运用，解题的关键是熟知完全平方公式的应用. 31．（2022·浙江嘉兴）分解因式：m 2－1＝_____． 【答案】()()11m m +-【分析】利用平方差公式进行因式分解即可．【详解】解：m 2－1＝11,m m 故答案为：()()11m m +-【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握“平方差公式的特点”是解本题的关键． 32．（2022·湖南怀化）因式分解：24-=x x _____．【答案】2(1)(1)+-x x x 【分析】根据提公因式法和平方差公式进行分解即可．【详解】解：()242221(1)(1)-=-=+-x x x x x x x ，故答案为：2(1)(1)+-x x x【点睛】本题考查了提公因式法和平方差公式，熟练掌握提公因式法和平方差公式是解题的关键． 33．（2022·浙江绍兴）分解因式：2x x + ＝ ______． 【答案】(1)x x +【分析】利用提公因式法即可分解． 【详解】2(1)x x x x +=+， 故答案为：(1)x x +．【点睛】本题考查了用提公因式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解．34．（2022·浙江宁波）分解因式：x 2-2x +1=__________．【答案】（x -1）2【详解】由完全平方公式可得：2221(1)x x x -+=- 故答案为2(1)x -．【点睛】错因分析 容易题.失分原因是：①因式分解的方法掌握不熟练；②因式分解不彻底.35．（2022·江苏连云港）若关于x 的一元二次方程()2100mx nx m +-=≠的一个解是1x =，则m n +的值是___．【答案】1【分析】根据一元二次方程解的定义把1x =代入到()2100mx nx m +-=≠进行求解即可． 【详解】∵关于x 的一元二次方程()2100mx nx m +-=≠的一个解是1x =，∴10m n +-=，∴1m n +=，故答案为：1．【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键． 36．（2022·浙江丽水）如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形PQMN ，已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5.,AE a DE b ==，且a b >．（1）若a ，b 是整数，则PQ 的长是___________；（2）若代数式222a ab b --的值为零，则ABCD PQMNS S 四边形矩形的值是___________．【答案】 -a b3+【分析】（1）根据图象表示出PQ 即可；（2）根据2220a ab b --=分解因式可得()()0a b a b --=，继而求得a b =，根据这四个矩形的面积都是5，可得55,EP EN a b==，再进行变形化简即可求解． 【详解】（1）①和②能够重合，③和④能够重合，,AE a DE b ==， PQ a b ∴=-，故答案为：-a b ；（2）2220a ab b --=，2222222()2()()0a ab b b a b b a b a b ∴-+-=--=---=，0a b ∴-=或0a b -=，即a b =（负舍）或a b =+这四个矩形的面积都是5，55,EP EN a b∴==， ()()()()()()()()22555555ABCD PQMNa b a b a b a b S b a ab a b S a b a b a b b a ab ⎛⎫++⋅++⋅⎪+⎝⎭∴===-⎛⎫----⋅⎪⎝⎭四边形矩形，2222222222222222a b ab a b a b a a b ab a b a b b ++++-===+-+-+，3=+ 【点睛】本题考查了代数式及其分式的化简求值，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的根据． 37．（2022·四川德阳）古希腊的毕达哥拉斯学派对整数进行了深入的研究，尤其注意形与数的关系，“多边形数”也称为“形数”，就是形与数的结合物．用点排成的图形如下：其中：图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是123+=，第三个三角形数是1236++=，……图②的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方形数是1，第二个正方形数是134+=，第三个正方形数是1359++=，……由此类推，图④中第五个正六边形数是______．【答案】45【分析】根据题意找到图形规律，即可求解． 【详解】根据图形，规律如下表：(3)1m ⎪-⎬⎪⎭1+2+312(3)12m +⎫⎪-⎬⎪+⎭ 1+2+3+423(23m ++⎫⎪-⎬⎪++⎭ n +1n +1(1)n +-n +(1)n +-n +(1)n +- 2n ++2(1)n +++- 12(1)n +++-12(1)n +++-12(1)3)12(1)n n +++-⎪⎬⎪+++-⎭由上表可知第n 个M 边形数为：12)[12(1)]()(3S n n m +++++++-=-，整理得：1)(1)(3)2(2n n n n m S --+=+， 则有第5个正六边形中，n=5，m=6，代入可得：((1)(1)(3)15)55(51)(63)452222n n n S n m +--+--+=+==，故答案为：45．【点睛】本题考查了整式--图形类规律探索，理解题意是解答本题的关键． 38．（2022·湖南怀化）正偶数2，4，6，8，10，……，按如下规律排列， 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20……则第27行的第21个数是______． 【答案】744【分析】由图可以看出，每行数字的个数与行数是一致的，即第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数••••••••第n 行有n 个数，则前n 行共有(1)2n n +个数，再根据偶数的特征确定第几行第几个数是几．【详解】解：由图可知， 第一行有1个数， 第二行有2个数， 第三行有3个数， •••••••第n 行有n 个数． ∴前n 行共有1+2+3+⋯+n =(1)2n n +个数． ∴前26行共有351个数，∴第27行第21个数是所有数中的第372个数．∵这些数都是正偶数， ∴第372个数为372×2=744．故答案为：744．【点睛】本题考查了数字类的规律问题，解决这类问题的关键是先根据题目的已知条件找出其中的规律，再结合其他已知条件求解． 三．解答题39．（2022·江苏苏州）已知23230x x --=，求()2213x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的值．【答案】24213x x -+，3【分析】先将代数式化简，根据23230x x --=可得2213x x -=，整体代入即可求解．【详解】原式222213x x x x =-+++24213x x =-+．∵23230x x --=，∴2213x x -=．∴原式22213x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭211=⨯+3=．【点睛】本题考查了整式的乘法运算，代数式化简求值，整体代入是解题的关键．40．（2022·江苏宿迁）某单位准备购买文化用品，现有甲、乙两家超市进行促销活动，该文化用品两家超市的标价均为10元/件，甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖；乙超市全部按标价的8折售卖．(1)若该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为 元；乙超市的购物金额为 元；(2)假如你是该单位的采购员，你认为选择哪家超市支付的费用较少？【答案】(1)300，240(2)当040x <≤时，选择乙超市更优惠，当50x =时，两家超市的优惠一样，当4050x <<时，选择乙超市更优惠，当50x >时，选择甲超市更优惠． 【分析】（1）根据甲、乙两家超市的优惠方案分别进行计算即可；（2）设单位购买x 件这种文化用品，所花费用为y 元， 可得当040x <≤时，10,y x 甲 100.88,y x x 乙 显然此时选择乙超市更优惠，当40x >时4000.610406100,y x x 甲 100.88,y x x 乙再分三种情况讨论即可．(1)解： 甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖； ∴该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为3010=300⨯（元），∵乙超市全部按标价的8折售卖，∴该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为30100.8240（元）， 故答案为：300,240(2)设单位购买x 件这种文化用品，所花费用为y 元，又当10x =400时，可得40,x = 当040x <≤时，10,y x 甲 100.88,y x x 乙 显然此时选择乙超市更优惠， 当40x >时，4000.610406100,y x x 甲 100.88,y x x 乙当y y =甲乙时，则86100,x x 解得：50,x = ∴当50x =时，两家超市的优惠一样， 当y y >乙甲时，则61008,x x 解得：50,x ∴当4050x <<时，选择乙超市更优惠， 当y y <乙甲时，则61008,x x 解得：50,x ∴当50x >时，选择甲超市更优惠．【点睛】本题考查的是列代数式，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，清晰的分类讨论是解本题的关键．41．（2022·湖南衡阳）先化简，再求值：()()()2a b a b b a b +-++，其中1a =，2b =-．【答案】2a 2ab +，3-【分析】利用平方差公式与多项式乘法法则进行化简，再代值计算． 【详解】解：原式222222a b ab b a ab =-++=+， 将1a =，2b =-代入式中得：原式()21212143=+⨯⨯-=-=-．【点睛】本题考查多项式乘法与平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．42．（2022·浙江金华）如图1，将长为23a +，宽为2a 的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．(1)用关于a 的代数式表示图2中小正方形的边长．(2)当3a =时，该小正方形的面积是多少？【答案】(1)3a +(2)36【分析】（1）分别算出直角三角形较长的直角边和较短的直角边，再用较长的直角边减去较短的直角边即可得到小正方形面积；（2）根据（1）所得的小正方形边长，可以写出小正方形的面积代数式，再将a 的值代入即可． (1)解：∵直角三角形较短的直角边122a a =⨯=，较长的直角边23a =+， ∴小正方形的边长233a a a =+-=+；(2)解：22(3)69S a a a =+=++小正方形，当3a =时，2(33)36S =+=小正方形．【点睛】本题考查割补思想，属性结合思想，以及整式的运算，能够熟练掌握割补思想是解决本题的关键． 43．（2022·安徽）观察以下等式：第1个等式：()()()22221122122⨯+=⨯+-⨯， 第2个等式：()()()22222134134⨯+=⨯+-⨯， 第3个等式：()()()22223146146⨯+=⨯+-⨯， 第4个等式：()()()22224158158⨯+=⨯+-⨯，……按照以上规律．解决下列问题：(1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第n 个等式（用含n 的式子表示），并证明． 【答案】(1)()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯(2)()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，证明见解析【分析】（1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答；（2）观察相同位置的数变化规律可以得出第n 个等式为()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，利用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明．(1)解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯，故答案为：()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯；(2)解：第n 个等式为()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，证明如下：等式左边：()2221441n n n +=++， 等式右边：[][]22(1)21(1)2n n n n +⋅+-+⋅[][](1)21(1)2(1)21(1)2n n n n n n n n =+⋅+++⋅⋅+⋅+-+⋅[](1)411n n =+⋅+⨯2441n n =++，故等式()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅成立．【点睛】本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键．44．（2022·浙江丽水）先化简，再求值：(1)(1)(2)x x x x +-++，其中12x =． 【答案】12x + ；2 【分析】先利用平方差公式，单项式与多项式乘法化简，然后代入12x =即可求解． 【详解】(1)(1)(2)x x x x +-++ 2212x x x =-++12x =+当12x =时， 原式12x =+11222=+⨯=． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，正确地把代数式化简是解题的关键．45．（2022·重庆）若一个四位数M 的个位数字与十位数字的平方和恰好是M 去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M 为“勾股和数”．例如：2543M =，∵223425+=，∴2543是“勾股和数”；。
2022年全国中考数学整式与因式分解解答题真题汇总
专题02 整式与因式分解三．解答题39．（2022·江苏苏州）已知23230x x −−=，求()2213x x x ⎛⎫−++ ⎪⎝⎭的值．【答案】24213x x −+，3【分析】先将代数式化简，根据23230x x −−=可得2213x x −=，整体代入即可求解． 【详解】原式222213x x x x =−+++24213x x =−+． ∵23230x x −−=，∴2213x x −=． ∴原式22213x x ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭211=⨯+3=．【点睛】本题考查了整式的乘法运算，代数式化简求值，整体代入是解题的关键．40．（2022·江苏宿迁）某单位准备购买文化用品，现有甲、乙两家超市进行促销活动，该文化用品两家超市的标价均为10元/件，甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖；乙超市全部按标价的8折售卖．(1)若该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为 元；乙超市的购物金额为 元；(2)假如你是该单位的采购员，你认为选择哪家超市支付的费用较少？【答案】(1)300，240(2)当040x <≤时，选择乙超市更优惠，当50x =时，两家超市的优惠一样，当4050x <<时，选择乙超市更优惠，当50x >时，选择甲超市更优惠． 【分析】（1）根据甲、乙两家超市的优惠方案分别进行计算即可；（2）设单位购买x 件这种文化用品，所花费用为y 元， 可得当040x <≤时，10,y x 甲 100.88,y x x 乙 显然此时选择乙超市更优惠，当40x >时4000.610406100,y x x 甲 100.88,y x x 乙再分三种情况讨论即可．(1)解：Q 甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖； ∴该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为3010=300⨯（元）， ∵乙超市全部按标价的8折售卖，∴该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为30100.8240（元）， 故答案为：300,240(2)设单位购买x 件这种文化用品，所花费用为y 元，又当10x =400时，可得40,x = 当040x <≤时，10,y x 甲 100.88,y x x 乙 显然此时选择乙超市更优惠， 当40x >时，4000.610406100,y x x 甲100.88,y x x 乙当y y =甲乙时，则86100,x x 解得：50,x = ∴当50x =时，两家超市的优惠一样， 当y y >乙甲时，则61008,x x 解得：50,x ∴当4050x <<时，选择乙超市更优惠， 当y y <乙甲时，则61008,x x 解得：50,x ∴当50x >时，选择甲超市更优惠．【点睛】本题考查的是列代数式，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，清晰的分类讨论是解本题的关键．41．（2022·湖南衡阳）先化简，再求值：()()()2a b a b b a b +−++，其中1a =，2b =−． 【答案】2a 2ab +，3−【分析】利用平方差公式与多项式乘法法则进行化简，再代值计算． 【详解】解：原式222222a b ab b a ab =−++=+， 将1a =，2b =−代入式中得：原式()21212143=+⨯⨯−=−=−．【点睛】本题考查多项式乘法与平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．42．（2022·浙江金华）如图1，将长为23a +，宽为2a 的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．(1)用关于a 的代数式表示图2中小正方形的边长．(2)当3a =时，该小正方形的面积是多少？ 【答案】(1)3a +(2)36【分析】（1）分别算出直角三角形较长的直角边和较短的直角边，再用较长的直角边减去较短的直角边即可得到小正方形面积；（2）根据（1）所得的小正方形边长，可以写出小正方形的面积代数式，再将a 的值代入即可． (1)解：∵直角三角形较短的直角边122a a =⨯=，较长的直角边23a =+， ∴小正方形的边长233a a a =+−=+；(2)解：22(3)69S a a a =+=++小正方形，当3a =时，2(33)36S =+=小正方形．【点睛】本题考查割补思想，属性结合思想，以及整式的运算，能够熟练掌握割补思想是解决本题的关键． 43．（2022·安徽）观察以下等式：第1个等式：()()()22221122122⨯+=⨯+−⨯， 第2个等式：()()()22222134134⨯+=⨯+−⨯， 第3个等式：()()()22223146146⨯+=⨯+−⨯， 第4个等式：()()()22224158158⨯+=⨯+−⨯，……按照以上规律．解决下列问题：(1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第n 个等式（用含n 的式子表示），并证明． 【答案】(1)()()()2222516101610⨯+=⨯+−⨯(2)()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+−+⋅，证明见解析【分析】（1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答；（2）观察相同位置的数变化规律可以得出第n 个等式为()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+−+⋅，利用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明．(1)解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：()()()2222516101610⨯+=⨯+−⨯，故答案为：()()()2222516101610⨯+=⨯+−⨯；(2)解：第n 个等式为()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+−+⋅，证明如下：等式左边：()2221441n n n +=++， 等式右边：[][]22(1)21(1)2n n n n +⋅+−+⋅[][](1)21(1)2(1)21(1)2n n n n n n n n =+⋅+++⋅⋅+⋅+−+⋅[](1)411n n =+⋅+⨯2441n n =++，故等式()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+−+⋅成立．【点睛】本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键．44．（2022·浙江丽水）先化简，再求值：(1)(1)(2)x x x x +−++，其中12x =． 【答案】12x + ；2 【分析】先利用平方差公式，单项式与多项式乘法化简，然后代入12x =即可求解． 【详解】(1)(1)(2)x x x x +−++2212x x x =−++12x =+当12x =时， 原式12x =+11222=+⨯=． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，正确地把代数式化简是解题的关键．45．（2022·重庆）若一个四位数M 的个位数字与十位数字的平方和恰好是M 去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M 为“勾股和数”．例如：2543M =，∵223425+=，∴2543是“勾股和数”；又如：4325M =，∵225229+=，2943≠，∴4325不是“勾股和数”． (1)判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；(2)一个“勾股和数”M 的千位数字为a ，百位数字为b ，十位数字为c ，个位数字为d ，记()9c dG M +=，()()()103a cb d P M −+−=．当()G M ，()P M 均是整数时，求出所有满足条件的M ．【答案】(1)2022不是“勾股和数”，5055是“勾股和数”；理由见解析 (2)8109或8190或4536或4563．【分析】（1）根据“勾股和数”的定义进行验证即可；（2）由“勾股和数”的定义可得2210a b c d +=+，根据()G M ，()P M 均是整数可得9c d +=，22812c d cd+=−为3的倍数，据此得出符合条件的c ，d 的值，然后即可确定出M ． (1)解：2022不是“勾股和数”，5055是“勾股和数”； 理由：∵22228+=，820≠，∴1022不是“勾股和数”； ∵225550+=，∴5055是“勾股和数”；(2)∵M 为“勾股和数”，∴2210a b c d +=+，∴220100c d <+<， ∵()9c dG M +=为整数，∴9c d +=， ∵()()()2291010910333c a c b d a b c dP c d M −−+−+−+=−−==为整数， ∴22812c d cd +=−为3的倍数，∴①0c ，9d =或9c =，0d =，此时8109M =或8190； ②3c =，6d =或6c =，3d =，此时4536M =或4563， 综上，M 的值为8109或8190或4536或4563．【点睛】本题以新定义为背景考查了整式混合运算的应用以及学生应用知识的能力，解题关键是要理解新定义，能根据条件找出合适的“勾股和数”．46．（2022·重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N ，若N 能被它的各数位上的数字之和m 整除，则称N 是m 的“和倍数”．例如：∵247(247)2471319÷++=÷=，∴247是13的“和倍数”． 又如：∵214(214)2147304÷++=÷=L L ，∴214不是“和倍数”． (1)判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；(2)三位数A 是12的“和倍数”，a ，b ，c 分别是数A 其中一个数位上的数字，且a b c >>．在a ，b ，c 中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为()F A ，最小的两位数记为()G A ，若()()16F AG A +为整数，求出满足条件的所有数A ．【答案】(1)357不是15“和倍数”，441是9的“和倍数”；理由见解析 (2)数A 可能为732或372或516或156【分析】（1）根据题目中给出的“和倍数”定义进行判断即可；（2）先根据三位数A 是12的“和倍数”得出12a b c ++=，根据a b c >>，()F A 是最大的两位数，()G A 是最小的两位数，得出()()10210F A G A a b c +=++，()()16k F A G A +=（k 为整数），结合12a b c ++=得出152b k =−，根据已知条件得出16b ＜＜，从而得出3b =或5b =，然后进行分类讨论即可得出答案．(1)解：∵()357357357152312÷++=÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，∴357不是15“和倍数”； ∵()441441441949÷++=÷=，∴441是9的“和倍数”． (2)∵三位数A 是12的“和倍数”，∴12a b c ++=，∵a b c >>，∴在a ，b ，c 中任选两个组成两位数，其中最大的两位数()10F A a b =+，最小的两位数()10G A c b =+，∴()()101010210F A G A a b c b a b c +=+++=++， ∵()()16F A G A +为整数，设()()16k F A G A +=（k 为整数），则1021016a b c k ++=， 整理得：558a c b k ++=，根据12a b c ++=得：12a c b +=−， ∵a b c >>，∴12b b −＞，解得6b ＜，∵“和倍数”是各数位上的数字均不为0的三位自然数，∴0a b c >>＞，∴1b ＞，∴16b ＜＜，把12a c b +=−代入558a c b k ++=得： ()5128b b k −+=，整理得：152b k =−，∵16b ＜＜，k 为整数，∴3b =或5b =， 当3b =时，1239a c +=−=，∵0a b c >>＞，∴a ＞3，03c ＜＜，7a ∴=，3b =，2c =，或8a =，3b =，1c =，要使三位数A 是12的“和倍数”，数A 必须是一个偶数， 当7a =，3b =，2c =时，组成的三位数为732或372， ∵7321261÷=，∴732是12的“和倍数”， ∵3721231÷=，∴372是12的“和倍数”；当8a =，3b =，1c =时，组成的三位数为318或138， ∵31812266÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，∴318不是12的“和倍数”， ∵13812116÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，∴138不是12的“和倍数”；当5b =时，1257a c +=−=，∵0a b c >>＞，∴57a ＜＜，6a ∴=，5b =，1c =，组成的三位数为516或156，∵5161243÷=，∴516是12的“和倍数”， ∵1561213÷=，∴156是12的“和倍数”；综上分析可知，数A 可能为732或372或516或156．【点睛】本题主要考查了新定义类问题，数的整除性，列代数式，利用数位上的数字特征和数据的整除性，是解题的关键，分类讨论是解答本题的重要方法，本题有一定的难度．47．（2022·浙江嘉兴）设5a 是一个两位数，其中a 是十位上的数字（1≤a ≤9）．例如，当a ＝4时，5a 表示的两位数是45．(1)尝试：①当a ＝1时，152＝225＝1×2×100＋25； ②当a ＝2时，252＝625＝2×3×100＋25； ③当a ＝3时，352＝1225＝ ；……(2)归纳：25a 与100a (a ＋1)＋25有怎样的大小关系？试说明理由． (3)运用：若25a 与100a 的差为2525，求a 的值．【答案】(1)③34100+25；(2)相等，证明见解析；(3)5a = 【分析】（1）③仔细观察①②的提示，再用含有相同规律的代数式表示即可； （2）由()222510510010025,a a a a =+=++再计算100a (a ＋1)＋25，从而可得答案；（3）由25a 与100a 的差为2525，列方程，整理可得225,a =再利用平方根的含义解方程即可． (1)解：①当a ＝1时，152＝225＝1×2×100＋25； ②当a ＝2时，252＝625＝2×3×100＋25； ③当a ＝3时，352＝1225＝34100+25； (2)解：相等，理由如下：Q ()222510510010025,a a a a =+=++100a (a ＋1)＋25=210010025,a a25100125.a a a(3)Q 25a 与100a 的差为2525， 2100100251002525,a a a整理得：21002500,a 即225,a = 解得：5,a Q 1≤a ≤9， 5.a ∴=【点睛】本题考查的是数字的规律探究，完全平方公式的应用，单项式乘以多项式，利用平方根的含义解方程，理解题意，列出运算式或方程是解本题的关键．。
2022年全国各省中考数学真题分类解析一元二次方程
（2022•泰州中考）如图，在长为50m 、宽为38m 的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m 2，道路的宽应为多少？【解析】设路宽应为x 米根据等量关系列方程得：（50﹣2x ）（38﹣2x ）＝1260，解得：x ＝4或40，40不合题意，舍去，所以x ＝4.答：道路的宽应为4米．（2022·牡丹江中考）如图，直线MN 与x 轴，y 轴分别相交于A ，C 两点，分别过A ，C 两点作x 轴，y 轴的垂线相交于B 点，且OA ，OC （OA ＞OC ）的长分别是一元二次方程x 2﹣14x +48＝0的两个实数根．（1）求C 点坐标；（2）求直线MN 的解析式；（3）在直线MN 上存在点P ，使以点P ，B ，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P 点的坐标．【解析】（1）解方程x 2﹣14x +48＝0得x 1＝6，x 2＝8．∵OA ，OC （OA ＞OC ）的长分别是一元二次方程x 2﹣14x +48＝0的两个实数根，∴OC ＝6，OA ＝8．∴C （0，6）；（2）设直线MN 的解析式是y ＝kx +b （k ≠0）．由（1）知，OA ＝8，则A （8，0）．∵点A 、C 都在直线MN 上，∴{8k +b =0b =6，解得，{k =−34b =6，∴直线MN 的解析式为y =−34x +6； （3）∵A （8，0），C （0，6），∴根据题意知B （8，6）．∵点P 在直线MN ：y =−34x +6上，∴设P （a ，−34a +6）当以点P ，B ，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形时，需要分类讨论： ①当PC ＝PB 时，点P 是线段BC 的中垂线与直线MN 的交点，则P 1（4，3）； ②当PC ＝BC 时，a 2+（−34a +6﹣6）2＝64，解得，a =±325，则P 2（−325，545），P 3（325，65）； ③当PB ＝BC 时，（a ﹣8）2+（34a ﹣6+6）2＝64，解得，a =25625，则−34a +6=−4225，∴P 4（25625，−4225）． 综上所述，符合条件的点P 有：P 1（4，3），P 2（−325，545），P 3（325，65），P 4（25625，−4225）．。
中考数学真题分类解析(三)整式考题汇编及解析
A．aB．a6C．6aD．a5
【解析】选D．a3•a2＝a5．
0301
（2022•丽水中考）计算﹣a2•a的正确结果是（ ）
A．﹣a2B．aC．﹣a3D．a3
【解析】选C．﹣a2•a＝﹣a3.
0301
（2022•绍兴中考）下列计算正确的是（ ）
0301
（2022•遂宁中考）下列计算中正确的是（ ）
A．a3•a3＝a9B．（﹣2a）3＝﹣8a3C．a10÷（﹣a2）3＝a4D．（﹣a+2）（﹣a﹣2）＝a2+4
【解析】选B.A.原式＝a6，故该选项不符合题意；B.原式＝﹣8a3，故该选项符合题意；
C.原式＝a10÷（﹣a6）＝﹣a4，故该选项不符合题意；D.原式＝（﹣a）2﹣22＝a2﹣4，故该选项不符合题意.
【解析】选D．A．m+m＝2m，故本选项不合题意；
B．2（m﹣n）＝2m﹣2n，故本选项不合题意；
C．（m+2n）2＝m2+4mn+4n2，故本选项不合题意；
D．（m+3）（m﹣3）＝m2﹣9，故本选项符合题意；
0301
（2022•德阳中考）下列计算正确的是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣b2B． 1C．a÷a• aD．（ ab2）3 a3b6
0301
（2022•自贡中考）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣1）2＝﹣2 B．（ ）（ ）＝1 C．a6÷a3＝a2D．（ ）0＝0
【解析】选B.A.原式＝1，故该选项不符合题意；B.原式＝（ ）2﹣（ ）2＝3﹣2＝1，故该选项符合题意；
C.原式＝a3，故该选项不符合题意；D.原式＝1，故该选项不符合题意.
【解析】选A．A.a3+a3＝2a3≠2a6，故选项A计算不正确；B.（﹣a3）2＝a6，故选项B计算正确；
2022年全国各省中考数学真题分类解析菱形
（2022•武威中考）如图1，在菱形ABCD中，∠A＝60°，动点P从点A出发，沿折线AD→DC→CB方向匀速运动，运动到点B停止．设点P的运动路程为x，△APB的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，则AB的长为（）A．√3B．2√3C．3√3D．4√3【解析】选B．在菱形ABCD中，∠A＝60°，∴△ABD为等边三角形，设AB＝a，由图2可知，△ABD的面积为3√3，∴S△ABD=√34a2＝3√3，解得：a＝2√3.（2022•自贡中考）如图，菱形ABCD对角线交点与坐标原点O重合，点A（﹣2，5），则点C的坐标是（）A．（5，﹣2）B．（2，﹣5）C．（2，5）D．（﹣2，﹣5）【解析】选B.∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，即点A与点C关于原点对称，∵点A（﹣2，5），∴点C的坐标是（2，﹣5）.（2022•株洲中考）如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E，下列结论不一定正确的是（）A．OB=12CE B．△ACE是直角三角形C．BC=12AE D．BE＝CE【解析】选D．∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO=12，AC⊥BD，∵CE∥BD，∴△AOB∽△ACE，∴∠AOB＝∠ACE＝90°，AOAC=OBCE=ABAE=12，∴△ACE是直角三角形，OB=12CE，AB=12AE，（2022•河南中考）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 为CD 的中点．若OE ＝3，则菱形ABCD 的周长为（ ）A ．6B ．12C ．24D ．48【解析】选C ．∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∴△COD 为直角三角形．∵OE ＝3，点E 为线段CD 的中点，∴CD ＝2OE ＝6．∴C 菱形ABCD ＝4CD ＝4×6＝24．（2022•赤峰中考）如图，菱形ABCD ，点A 、B 、C 、D 均在坐标轴上．∠ABC ＝120°，点A （﹣3，0），点E是CD 的中点，点P 是OC 上的一动点，则PD +PE 的最小值是（ ）A ．3B ．5C ．2√2D ．32√3【解析】选A ．根据题意得，E 点关于x 轴的对称点是BC 的中点E '，连接DE '交AC 与点P ，此时PD +PE 有最小值为DE '，∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC ＝120°，点A （﹣3，0），∴OA ＝OC ＝3，∠DBC ＝60°，∴△BCD 是等边三角形，∴DE '＝OC ＝3，即PD +PE 的最小值是3．（2022•海南中考）如图，菱形ABCD 中，点E 是边CD 的中点，EF 垂直AB 交AB 的延长线于点F ，若BF ：CE ＝1：2，EF =√7，则菱形ABCD 的边长是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．45√7【解析】选B ．过点D 作DH ⊥AB 于点H ，如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝CD，AB∥CD．∵EF⊥AB，DH⊥AB，∴DH∥EF，∴四边形DHFE为平行四边形，∴HF＝DE，DH＝EF=√7．∵点E是边CD的中点，∴DE=12CD，∴HF=12CD=12AB．∵BF：CE＝1：2，∴设BF＝x，则CE＝2x，∴CD＝4x，DE＝HF＝2x，AD＝AB＝4x，∴AF＝AB+BF＝5x．∴AH＝AF﹣HF＝3x．在Rt△ADH中，∵DH2+AH2＝AD2，∴(√7)2+(3x)2=(4x)2．解得：x＝±1（负数不合题意，舍去），∴x＝1．∴AB＝4x＝4．即菱形ABCD的边长是4.A ．52 B ．5 C ．10 D ．20 【解析】选C ．由作图过程可得：PQ 为BD 的垂直平分线，∴BM ＝MD ，BN ＝ND ．设PQ 与BD 交于点O ，如图，则BO ＝DO ．∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠MDO ＝∠NBO ，∠DMO ＝∠BNO ，在△MDO 和△NBO 中，{∠MDO =∠NBO∠DMO =∠BNO OD =OB，∴△MDO ≌△NBO （AAS ），∴DM ＝BN ，∴四边形BNDM 为平行四边形，∵BM ＝MD ，∴四边形MBND 为菱形，∴四边形MBND 的周长＝4BM ．设MB ＝x ，则MD ＝BM ＝x ，∴AM ＝AD ﹣DM ＝4﹣x ，在Rt △ABM 中，∵AB 2+AM 2＝BM 2，∴22+（4﹣x ）2＝x 2，解得：x =52，∴四边形MBND 的周长＝4BM ＝10．（2022•武威中考）如图，菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若AB ＝2√5cm ，AC ＝4cm ，则BD 的长为8 cm ．【解析】∵四边形ABCD 是菱形，AC ＝4cm ，∴AC ⊥BD ，BO ＝DO ，AO ＝CO ＝2cm ，∵AB ＝2√5cm ，∴BO =√AB 2−AO 2=4cm ，∴DO ＝BO ＝4cm ，∴BD ＝8cm.答案：8．（2022•温州中考）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝1，∠BAD ＝60°．在其内部作形状、大小都相同的菱形AENH和菱形CGMF ，使点E ，F ，G ，H 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，点M ，N 在对角线AC 上．若AE ＝3BE ，则MN 的长为 √32 ．【解析】连接DB 交AC 于点O ，作MI ⊥AB 于点I ，作FJ ⊥AB 交AB 的延长线于点J ，如图所示，∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，AB ＝1，∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝1，∠BAC ＝30°，AC ⊥BD ，∵△ABD 是等边三角形，∴OD =12，∴AO =√AD 2−DO 2=√12−(12)2=√32， ∴AC ＝2AO =√3，∵AE ＝3BE ，∴AE =34，BE =14，∵菱形AENH 和菱形CGMF 大小相同，∴BE ＝BF =14，∠FBJ ＝60°，∴FJ ＝BF •sin60°=14×√32=√38， ∴MI ＝FJ =√38，∴AM =MI sin30°=√3812=√34， 同理可得，CN =√34， ∴MN ＝AC ﹣AM ﹣CN =√3−√34−√34=√32. 答案：√32．DQ ﹣P 'Q 的最大值为 16√23．【解析】如图，连接BD 交AC 于点O ，过点D 作DK ⊥BC 于点B ，延长DE 交AB 于点R ，连接EP ′交AB 于点J ，作EJ 关于AC 的对称线段EJ ′，则DP ′的对应点P ″在线段EJ ′上．当点P 是定点时，DQ ﹣QP ′＝AD ﹣QP ″，当D ，P ″，Q 共线时，QD ﹣QP ′的值最大，最大值是线段DP ″的长，当点P 与B 重合时，点P ″与J ′重合，此时DQ ﹣QP ′的值最大，最大值是线段DJ ′的长，也就是线段BJ 的长．∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO ＝OC ，∵AE ＝14．EC ＝18，∴AC ＝32，AO ＝OC ＝16，∴OE ＝AO ﹣AE ＝16﹣14＝2，∵DE ⊥CD ，∴∠DOE ＝∠EDC ＝90°，∵∠DEO ＝∠DEC ，∴△EDO ∽△ECD ，∴DE 2＝EO •EC ＝36，∴DE ＝EB ＝EJ ＝6，∴CD =√EC 2−DE 2=√182−62=12√2，∴OD =√DE 2−OE 2=√62−22=4√2，∴BD ＝8√2，∵S △DCB =12×OC ×BD =12BC •DK ， ∴DK =12×16×8√212√212×16×8√26√2=323， ∵∠BER ＝∠DCK ，∴sin ∠BER ＝sin ∠DCK =DK CD =32312√2=4√29， ∴RB ＝BE ×4√29=8√23，3（2022•达州中考）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝24，BD＝10，则菱形ABCD的周长为52．【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，∵AC＝24，BD＝10，∴AO=12AC＝12，BO=12BD＝5，在Rt△AOB中，AB=√AO2+BO2=√122+52=13，∴菱形的周长为13×4＝52．答案：52（2022•娄底中考）菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，点P、Q分别是BC、BD上的动点，CQ+PQ的最小值为√2．【解析】连接AQ，作AH⊥BC于H，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CB，∠ABQ＝∠CBQ，∵BQ＝BQ，∴△ABQ≌△CBQ（SAS），（2022•天津中考）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，F为CE的中点，AF与DE相交于点G，则GF的长等于√194．【解析】如图，过点F作FH∥CD，交DE于H，过点C作CM⊥AB，交AB的延长线于M，连接FB，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD＝BC＝2，AB∥CD，∴FH∥AB，∴∠FHG＝∠AEG，∵F是CE的中点，FH∥CD，∴H是DE的中点，∴FH是△CDE的中位线，∴FH=12CD＝1，∵E是AB的中点，∴AE＝BE＝1，∴AE＝FH，∵∠AGE＝∠FGH，∴△AEG≌△FHG（AAS），∴AG＝FG，∵AD∥BC，4（2022•陕西中考）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，BD＝7．若M、N分别是边AD、BC上的动点，且AM＝BN，作ME⊥BD，NF⊥BD，垂足分别为E、F，则ME+NF的值为√152．【解析】连接AC交BD于O，∵四边形ABCD为菱形，∴BD⊥AC，OB＝OD=72，OA＝OC，由勾股定理得：OA=√AB2−OB2=√42−(72)2=√152，∵ME⊥BD，AO⊥BD，∴ME∥AO，∴△DEM∽△DOA，∴MEOA=DMAD，即ME√152=4−AM4，解得：ME=4√15−√15AM8，同理可得：NF=√15AM8，∴ME+NF=√15 2，答案：√152．（2022•台州中考）如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，AB ＝6．折叠该菱形，使点A 落在边BC 上的点M 处，折痕分别与边AB ，AD 交于点E ，F ．当点M 与点B 重合时，EF 的长为 3√3 ；当点M 的位置变化时，DF 长的最大值为 6﹣3√3 ．【解析】如图1中，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝AB ＝BC ＝CD ，∠A ＝∠C ＝60°，∴△ADB ，△BDC 都是等边三角形，当点M 与B 重合时，EF 是等边△ADB 的高，EF ＝AD •sin60°＝6×√32=3√3．如图2中，连接AM 交EF 于点O ，过点O 作OK ⊥AD 于点K ，交BC 于点T ，过点A 作AG ⊥CB 交CB 的延长线于点G ，取AD 的中点R ，连接OR ．∵AD ∥CG ，OK ⊥AD ，∴OK ⊥CG ，∴∠G ＝∠AKT ＝∠GTK ＝90°，∴四边形AGTK 是矩形，∴AG ＝TK ＝AB •sin60°＝3√3，∵OA ＝OM ，∥AOK ＝∠MOT ，∠AKO ＝∠MTO ＝90°，（2022•黔东南州中考）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．若AC＝10，则四边形OCED的周长是20．【解析】∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，∴OC＝DE，OD＝CE，∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴OC=12AC＝5，OD=12BD，BD＝AC，∴OC＝OD＝5，∴OC＝OD＝CE＝DE，∴平行四边形OCED是菱形，∴C菱形OCED＝4OC＝4×5＝20.答案：20．（2022•哈尔滨中考）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在OB上，连接AE，点F为CD 的中点，连接OF．若AE＝BE，OE＝3，OA＝4，则线段OF的长为2√5．【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO＝4，BO＝DO，∴AE=√AO2+EO2=√9+16=5，∴BE＝AE＝5，∴BO＝8，∴BC=√BO2+CO2=√64+16=4√5，∵点F为CD的中点，BO＝DO，∴OF=12BC＝2√5.答案：2√5．【解析】添加的条件是AB ＝CD ，理由如下：∵AB ∥CD ，AB ＝CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，又∵AC ⊥BD ，∴平行四边形ABCD 是菱形.答案：AB ＝CD （答案不唯一）．（2022•龙东中考）如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠BAD ＝60°，AD ＝3，AH 是∠BAC的平分线，CE ⊥AH 于点E ，点P 是直线AB 上的一个动点，则OP +PE 的最小值是 32√6 ．【解析】连接OE ，过点O 作OF ⊥AB ，垂足为F ，并延长到点O ′，使O ′F ＝OF ，连接O ′E 交直线AB 于点P ，连接OP ，∴AP 是OO ′的垂直平分线，∴OP ＝O ′P ，∴OP +PE ＝O ′P +PE ＝O ′E ，此时，OP +PE 的值最小，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝AB ＝3，∠BAC =12∠BAD ，OA ＝OC =12AC ，OD ＝OB =12BD ，∠AOD ＝90°， ∵∠BAD ＝60°，∴△ADB 是等边三角形，∴BD ＝AD ＝3，∴OD =12BD =32，∴AO =√AD 2−DO 2=√32−(32)2=32√3，∴AC ＝2OA ＝3√3， ∵CE ⊥AH ，∴∠AEC ＝90°，∴OE ＝OA =12AC =32√3，∴∠OAE ＝∠OEA ，∵AE 平分∠CAB ，∴∠OAE ＝∠EAB ，∴∠OEA ＝∠EAB ，∴OE ∥AB ，∴∠EOF ＝∠AFO ＝90°，在Rt △AOF 中，∠OAB =12DAB ＝30°，∴OF =12OA =34√3，∴OO ′＝2OF =32√3， 在Rt △EOO ′中，O ′E =√EO 2+OO ′2=√(32√3)2+(32√3)2=32√6，∴OE +PE =32√6，∴OP +PE 的最小值为32√6. 答案：32√6．（2022·安徽中考）已知四边形ABCD 中，BC ＝CD ，连接BD ，过点C 作BD 的垂线交AB 于点E ，连接DE ．【解析】（1）证明：设CE 与BD 交于点O ，∵CB ＝CD ，CE ⊥BD ，∴DO ＝BO ，∵DE ∥BC ，∴∠DEO ＝∠BCO ，∵∠DOE ＝∠BOC ，∴△DOE ≌△BOC （AAS ），∴DE ＝BC ，∴四边形BCDE 是平行四边形，∵CD ＝CB ，∴平行四边形BCDE 是菱形；（2）（i ）解：∵DE 垂直平分AC ，∴AE ＝EC 且DE ⊥AC ，∴∠AED ＝∠CED ，又∵CD ＝CB 且CE ⊥BD ，∴CE 垂直平分DB ，∴DE ＝BE ，∴∠DEC ＝∠BEC ，∴∠AED ＝∠CED ＝∠BEC ，又∵∠AED +∠CED +∠BEC ＝180°，∴∠CED =13×180°=60°；（ii ）证明：由（i ）得AE ＝EC ，又∵∠AEC ＝∠AED +∠DEC ＝120°，∴∠ACE ＝30°，同理可得，在等腰△DEB 中，∠EBD ＝30°，∴∠ACE ＝∠ABF ＝30°， 在△ACE 与△ABF 中，{∠ACE =∠ABF∠CAE =∠BAF AE =AF，∴△ABF ≌△ACE （AAS ），∴AC ＝AB ，又∵AE ＝AF ，∴AB ﹣AE ＝AC ﹣AF ，即BE ＝CF ．（2022•连云港中考）如图，四边形ABCD 为平行四边形，延长AD 到点E ，使DE ＝AD ，且BE ⊥DC ．（1）求证：四边形DBCE 为菱形；（2）若△DBC 是边长为2的等边三角形，点P 、M 、N 分别在线段BE 、BC 、CE 上运动，求PM +PN 的最小值．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，∵DE ＝AD ，∴DE ＝BC ，∵E 在AD 的延长线上，∴DE ∥BC ，∴四边形DBCE是平行四边形，∵BE⊥DC，∴四边形DBCE是菱形；（2）解：作N关于BE的对称点N'，过D作DH⊥BC于H，如图：由菱形的对称性知，点N关于BE的对称点N'在DE上，∴PM+PN＝PM+PN'，∴当P、M、N'共线时，PM+PN'＝MN'＝PM+PN，∵DE∥BC，∴MN'的最小值为平行线间的距离DH的长，即PM+PN的最小值为DH的长，在Rt△DBH中，∠DBC＝60°，DB＝2，=√3，∴PM+PN的最小值为√3．∴DH＝DB•sin∠DBC＝2×√32（2022•滨州中考）如图，菱形ABCD的边长为10，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于点O，点E在对角线BD 上，连接AE，作∠AEF＝120°且边EF与直线DC相交于点F．（1）求菱形ABCD的面积；（2）求证AE＝EF．【解析】（1）作AG⊥BC交BC于点G，如图所示，∵四边形ABCD是菱形，边长为10，∠ABC＝60°，=5√3，∴BC＝10，AG＝AB•sin60°＝10×√32∴菱形ABCD的面积是：BC•AG＝10×5√3=50√3，即菱形ABCD的面积是50√3；（2）证明：连接EC，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴EO垂直平分AC，∠BCD＝120°，∴EA＝EC，∠DCA＝60°，∴∠EAC＝∠ECA，∠ACF＝120°，∵∠AEF＝120°，∴∠EAC+∠EFC＝360°﹣∠AEF﹣∠ACF＝360°﹣120°﹣120°＝120°，∵∠ECA+∠ECF＝120°，∴∠EFC＝∠ECF，∴EC＝EF，∴AE＝EF．（2022•舟山中考）小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，OB＝OD．求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．小惠：证明：∵AC⊥BD，OB＝OD，∴AC垂直平分BD．∴AB＝AD，CB＝CD，∴四边形ABCD是菱形．小洁：这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明．若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．【解析】赞成小洁的说法，补充条件：OA＝OC，证明如下：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形．（2022•凉山州中考）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADBF是菱形；（2）若AB＝8，菱形ADBF的面积为40．求AC的长．【解析】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFC＝∠FCD，∠F AE＝∠CDE，∵点E是AD的中点，∴AE＝DE，∴△F AE≌△CDE（AAS），∴AF＝CD，∵点D是BC的中点，∴BD＝CD，∴AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形，（2022•南充中考）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，BE＝BF，DE，DF分别与AC交于点M，N．求证：（1）△ADE≌△CDF．（2）ME＝NF．【证明】（1）∵四边形ABCD是菱形，∴DA＝DC，∠DAE＝∠DCF，AB＝CB，∵BE＝BF，∴AE＝CF，在△ADE和△CDF中，{DA=DC∠DAE=∠DCF AE=CF，∴△ADE≌△CDF（SAS）；（2）由（1）知△ADE≌△CDF，∴∠ADM＝∠CDN，DE＝DF，∵四边形ABCD是菱形，∴∠DAM＝∠DCN，∴∠DMA＝∠DNC，∴∠DMN＝∠DNM，∴DM＝DN，∴DE﹣DM＝DF﹣DN，∴ME＝NF．（2022•广元中考）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连结CE．（1）求证：四边形AECD为菱形；（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．【解析】（1）证明：∵E为AB中点，∴AB＝2AE＝2BE，∵AB＝2CD，∴CD＝AE，又∵AE∥CD，∴四边形AECD是平行四边形，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠EAC，∵AB∥CD，∴∠DCA＝∠CAB，∴∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，∴平行四边形AECD是菱形；（2）∵四边形AECD是菱形，∠D＝120°，∴AD＝CD＝CE＝AE＝2，∠D＝120°＝∠AEC，∴AE＝CE＝BE，∠CEB＝60°，∴∠CAE＝30°＝∠ACE，△CEB是等边三角形，∴BE＝BC＝EC＝2，∠B＝60°，∴∠ACB＝90°，∴AC=√3BC＝2√3，∴S△ABC=12×AC×BC=12×2×2√3=2√3．【解析】（1）①证明：∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠BEC＝∠DFC＝90°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，BC＝CD，∴△BEC≌△DFC（AAS），∴CE＝CF；②连接AC，如图1，∵E是边AB的中点，CE⊥AB，∴BC＝AC，∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝AC，∴△ABC是等边三角形，∠EAC＝60°，在Rt△ACE中，AE＝2，∴CE＝AE•tan60°＝2×√3=2√3；（2）方法一：如图2，延长FE交CB的延长线于M，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AB＝BC，∴∠AFE＝∠M，∠A＝∠EBM，∵E是边AB的中点，∴AE＝BE，∴△AEF≌△BEM（AAS），∴ME＝EF，MB＝AF，∵AE＝3，EF＝2AF＝4，∴ME＝4，BM2，BE＝3，∴BC＝AB＝2AE＝6，∴MC＝8，∴MBME =24=12，MEMC=48=12，∴MBME=MEMC，∵∠M为公共角，∴△MEB∽△MCE，∴BEEC =MBME=24，∵BE＝3，∴CE＝6；方法二：如图3，延长FE 交CB 的延长线于M ，过点E 作EN ⊥BC 于点N ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，AB ＝BC ，∴∠AFE ＝∠M ，∠A ＝∠EBM ，∵E 是边AB 的中点，∴AE ＝BE ，∴△AEF ≌△BEM （AAS ），∴ME ＝EF ，MB ＝AF ，∵AE ＝3，EF ＝2AF ＝4，∴ME ＝4，BM 2，BE ＝3，∴BC ＝AB ＝2AE ＝6，∴MC ＝8，在Rt △MEN 和Rt △BEN 中，ME 2﹣MN 2＝EN 2，BE 2﹣BN 2＝EN 2，∴ME 2﹣MN 2＝BE 2﹣BN 2，∴42﹣（2+BN ）2＝32﹣BN 2，解得：BN =34，∴CN ＝6−34=214， ∴EN 2＝BE 2﹣BN 2＝32﹣（34）2=13516，在Rt △ENC 中，CE 2＝EN 2+CN 2=13516+44116=57616=36，∴CE ＝6.（2022•娄底中考）如图，以BC 为边分别作菱形BCDE 和菱形BCFG （点C ，D ，F 共线），动点A 在以BC 为直径且处于菱形BCFG 内的圆弧上，连接EF 交BC 于点O ．设∠G ＝θ．（1）求证：无论θ为何值，EF 与BC 相互平分；并请直接写出使EF ⊥BC 成立的θ值．（2）当θ＝90°时，试给出tan ∠ABC 的值，使得EF 垂直平分AC ，请说明理由．【解析】（1）∵四边形BCFG ，四边形BCDE 都是菱形，∴CF ∥BG ，CD ∥BE ，CB ＝CF ＝CD ＝BG ＝BE ，∵D ，C ，F 共线，∴G ，B ，E 共线，∴DF ∥EG ，DF ＝GE ，∴四边形DEGF 是平行四边形，∴EF 与BC 互相平分．当EF ⊥FG 时，∵GF ＝BG ＝BE ，∴EG ＝2GF ，∴∠GEF ＝30°，∴θ＝90°﹣30°＝60°；（2）当tan ∠ABC ＝2时，EF 垂直平分线段AC ．理由：如图（2）中，设AC 交EF 于点J ．∵四边形BCFG 是菱形，∴∠G ＝∠FCO ＝90°，∵EF 与BC 互相平分，∴OC ＝OB ，∴CF ＝BC ，∴FC ＝2OC ，∴tan ∠FOC ＝tan ∠ABC ，∴∠ABC ＝∠FOC ，∴OJ ∥AB ，∵OC ＝OB ，∴CJ ＝AJ ，∵BC 是直径，∴∠BAC ＝∠OJC ＝90°，∴EF 垂直平分线段AC.（2022•岳阳中考）如图，点E ，F 分别在▱ABCD 的边AB ，BC 上，AE ＝CF ，连接DE ，DF ．请从以下三个条件：①∠1＝∠2；②DE ＝DF ；③∠3＝∠4中，选择一个合适的作为已知条件，使▱ABCD 为菱形． （1）你添加的条件是 ① （填序号）；（2）添加了条件后，请证明▱ABCD 为菱形．【解析】（1）添加的条件是∠1＝∠2，答案：①；（2）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A ＝∠C ，在△ADE 和△CDF 中，{∠1=∠2∠A =∠C AE =CF，∴△ADE ≌△CDF （AAS ），∴AD ＝CD ，∴▱ABCD 为菱形.【解析】（1）M 与B 重合时，如图1，∵PQ ⊥AB ，∴∠PQA ＝90°，∴PA =12AB ＝2，∴t ＝2；（2）①当0≤t ≤2时，∵AM ＝2t ，∴BM ＝4﹣2t ，∵△APQ ≌△BMF ，∴AP ＝BM ，∴t ＝4﹣2t ，∴t =43；②当2＜t ≤4时，∵AM ＝2t ，∴BM ＝2t ﹣4，∵△APQ ≌△BMF ，∴AP ＝BM ，∴t ＝2t ﹣4，∴t ＝4；综上所述，t 的值为4或43； （3）①0≤t ≤2时，如图2，在Rt △APQ 中，PQ =√32t ，∴MQ =32t ，∴S =12PQ ⋅MQ =12×√32t ×32t =3√38t 2； ②当2＜t ≤4时，如图3，∵BF ＝t ﹣2，MF =√3（t ﹣2），∴S △BFM =12BF •MF =√32(t −2)2，∴S ＝S △PQM ﹣S △BFM =−√38t 2+2√3t −2√3；∴S ={3√38t 2(0≤t ≤2)−√38t 2+2√3t −2√3(2＜t ≤4)； （4）连接AE ，如图4，∵△PQE 为等边三角形，∴PE =√32t ，在Rt △APE 中，tan ∠PAE =PE PA =√32t t =√32， ∴∠PAE 为定值，∴点E 的运动轨迹为直线，∵AP ＝t ，∴AE =√AP 2+PE 2=√t 2+(√32t)2=√72t ，当t ＝2时，AE =√7，（2022•荆州中考）如图，在10×10的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中△ABC为格点三角形．请按要求作图，不需证明．（1）在图1中，作出与△ABC全等的所有格点三角形，要求所作格点三角形与△ABC有一条公共边，且不与△ABC重叠；（2）在图2中，作出以BC为对角线的所有格点菱形．【解析】（1）如图1中，△ABD1，△ABD2，△ACD3，△ACD4，△CBD5即为所求；（2）如图2中，菱形ABDC，菱形BECF即为所求．（2022•长沙中考）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝AD．（1）求证：AC⊥BD；（2）若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，EF=32，AO＝2，求BD的长及四边形ABCD的周长．【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，∴▱ABCD是菱形，∴AC⊥BD；（2）∵点E，F分别为AD，AO的中点，∴EF是△AOD的中位线，∴OD＝2EF＝3，由（1）可知，四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，BD＝2OD＝6，在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD=√AO2+OD2=√22+32=√13，∴C菱形ABCD＝4AD＝4√13．（2）若AE＝BE＝2，求BF的长．【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，四边形HEFG是菱形，∴AD＝CD，ED＝GD，∠ADB＝∠CDB，∠EHB＝∠GHB，∴∠ADB﹣∠EHB＝∠CDB﹣∠GHB，即∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，{AD=CD∠ADE=∠CDG ED=GD，∴△ADE≌△CDG（SAS）；（2）过E作EQ⊥DF于Q，则∠EQB＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，AD＝AB＝AE+EF＝2+2＝4，∠EBQ＝∠CBD＝45°，∴∠QEB＝45°＝∠EBQ，∴EQ＝BQ，∵BE＝2，∴2EQ2＝22，∴EQ＝BQ=√2（负数舍去），在Rt△DAE中，由勾股定理得：DE=√AD2+AE2=√42+22=2√5，∵四边形EFGH是菱形，∴EF＝DE＝2√5，∴QF=√EF2−EQ2=√(2√5)2−(√2)2=3√2，∴BF＝QF﹣QB＝3√2−√2=2√2．【解析】（1）作PE⊥AC于点E，在Rt△APE中，cos30°=AE AP，∴AE＝AP•cos30°=√3x，∵∠APQ＝120°，∴∠AQP＝180°﹣120°﹣30°＝30°，∴AP＝PQ，∴点E为AQ中点，∴AQ＝2√3x（cm），答案：2√3x．（2）如图，∵∠APQ＝120°，∴∠MNB＝∠PQB＝60°，∵∠B＝60°，∴△MNB为等边三角形，∴AP＝PQ＝PN＝MN＝NB，即AP+PN+NB＝3AP＝AB，∴3×2x＝6，解得x＝1．（3）当0≤x≤1时，作QF⊥AB于点F，∵∠A ＝30°，AQ ＝2√3x ，∴QF =12AQ =√3x ，∵PN ＝PQ ＝AP ＝2x ，∴y ＝PN •QF ＝2x •√3x ＝2√3x 2．当1＜t ≤32时，QM ，NM 交BC 于点H ，K ，∵AB ＝6cm ，∠A ＝30°，∴AC =√32AB ＝3√3cm ，∴CQ ＝AC ﹣AQ ＝3√3−2√3x ，∴QH =2√3CQ =2√3（3√3−2√3x ）＝6﹣4x ， ∴HM ＝QM ﹣QH ＝2x ﹣（6﹣4x ）＝6x ﹣6， ∵△HKM 为等边三角形，∴S △HKM =√34HM 2＝9√3x 2﹣18√3x +9√3， ∴y ＝2√3x 2﹣（9√3x 2﹣18√3x +9√3）＝﹣7√3x 2+18√3x ﹣9√3． 当32＜x ≤3时，重叠图形△PQM 为等边三角形，PQ ＝PB ＝AB ﹣AP ＝6﹣2x ，∴y =√34PB 2=√34（6﹣2x ）2=√3x 2﹣6√3x +9√3．综上所述，y ={ 2√3x 2(0≤x ≤1)−7√3x 2+18√3x −9√3(1＜x ≤32)√3x 2−6√3x +9√3(32＜x ≤3)。
2022年全国各省中考数学真题分类解析矩形
（2022•舟山中考）如图，在Rt △ABC 和Rt △BDE 中，∠ABC ＝∠BDE ＝90°，点A 在边DE 的中点上，若AB ＝BC ，DB ＝DE ＝2，连结CE ，则CE 的长为（ ）A ．√14B ．√15C ．4D ．√17【解析】选D ．作EF ⊥CB 交CB 的延长线于点F ，作EG ⊥BA 交BA 的延长线于点G ， ∵DB ＝DE ＝2，∠BDE ＝90°，点A 是DE 的中点， ∴BE =√BD 2+DE 2=√22+22=2√2，DA ＝EA ＝1， ∴AB =√BD 2+AD 2=√22+12=√5， ∵AB ＝BC ，∴BC =√5， ∵AE⋅BD 2=AB⋅EG 2，∴1×22=√5⋅EG2，解得EG =2√55，∵EG ⊥BG ，EF ⊥BF ，∠ABF ＝90°， ∴四边形EFBG 是矩形，∴EG ＝BF =2√55，∵BE ＝2√2，BF =2√55， ∴EF =√BE 2−BF 2=√(2√2)2−(2√55)2=6√55，CF ＝BF +BC =2√55+√5=7√55， ∵∠EFC ＝90°，∴EC =√EF 2+CF 2=√(6√55)2+(7√55)2=√17.（2022·安徽中考）两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝（ ）A ．α﹣90°B ．α﹣45°C ．180°﹣αD ．270°﹣α 【解析】选C ．由图可得， ∠1＝90°+∠3，∵∠1＝α，∴∠3＝α﹣90°，∵∠3+∠2＝90°，∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣（α﹣90°）＝90°﹣α+90°＝180°﹣α.（2022•连云港中考）如图，将矩形ABCD 沿着GE 、EC 、GF 翻折，使得点A 、B 、D 恰好都落在点O 处，且点G 、O 、C 在同一条直线上，同时点E 、O 、F 在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF ∥EC ；②AB =4√35AD ；③GE =√6DF ；④OC ＝2√2OF ；⑤△COF ∽△CEG ．其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．①④⑤D ．②③④【解析】选B ．由折叠性质可得：DG ＝OG ＝AG ，AE ＝OE ＝BE ，OC ＝BC ， ∠DGF ＝∠FGO ，∠AGE ＝∠OGE ，∠AEG ＝∠OEG ，∠OEC ＝∠BEC ， ∴∠FGE ＝∠FGO +∠OGE ＝90°，∠GEC ＝∠OEG +∠OEC ＝90°， ∴∠FGE +∠GEC ＝180°， ∴GF ∥CE ，故①正确；设AD ＝2a ，AB ＝2b ，则DG ＝OG ＝AG ＝a ，AE ＝OE ＝BE ＝b ， ∴CG ＝OG +OC ＝3a ，在Rt △CGE 中，CG 2＝GE 2+CE 2，（3a ）2＝a 2+b 2+b 2+（2a ）2，解得：b =√2a ，∴AB =√2AD ，故②错误； 在Rt △COF 中，设OF ＝DF ＝x ，则CF ＝2b ﹣x ＝2√2a ﹣x ， ∴x 2+（2a ）2＝（2√2a ﹣x ）2，解得：x =√22a ，∴√6DF =√6×√22a =√3a ，2√2OF ＝2√2×√22a ＝2a ，在Rt △AGE 中，GE =√AG 2+AE 2=√3a ， ∴GE =√6DF ，OC ＝2√2OF ，故③④正确；无法证明∠FCO ＝∠GCE ，∴无法判断△COF ∽△CEG ，故⑤错误； 综上，正确的是①③④.（2022•泰安中考）如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝4，点P 是线段BC 上一动点，点M 为线段AP 上一点，∠ADM ＝∠BAP ，则BM 的最小值为（ ）A ．52B ．125C ．√13−32D ．√13−2【解析】选D ．如图，取AD 的中点O ，连接OB ，OM ．∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠BAD ＝90°，AD ＝BC ＝4， ∴∠BAP +∠DAM ＝90°， ∵∠ADM ＝∠BAP ， ∴∠ADM +∠DAM ＝90°， ∴∠AMD ＝90°， ∵AO ＝OD ＝2， ∴OM =12AD ＝2，∴点M 的运动轨迹是以O 为圆心，2为半径的⊙O ． ∵OB =√AB 2+AO 2=√32+22=√13， ∴BM ≥OB ﹣OM =√13−2， ∴BM 的最小值为√13−2（2022•达州中考）如图，点E 在矩形ABCD 的AB 边上，将△ADE 沿DE 翻折，点A 恰好落在BC 边上的点F 处，若CD ＝3BF ，BE ＝4，则AD 的长为（ ）A ．9B ．12C ．15D ．18【解析】选C ．∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ＝BC ，∠A ＝∠EBF ＝∠BCD ＝90°， ∵将矩形ABCD 沿直线DE 折叠， ∴AD ＝DF ＝BC ，∠A ＝∠DFE ＝90°， ∴∠BFE +∠DFC ＝∠BFE +∠BEF ＝90°， ∴∠BEF ＝∠CFD ， ∴△BEF ∽△CFD ，（2022•湖州中考）如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在边AD，BC上，连结BE，DF．将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连结GF．则下列结论不正确的是（）A．BD＝10B．HG＝2C．EG∥FH D．GF⊥BC【解析】选D．∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，BC＝AD，∵AB＝6，BC＝8，∴BD=√AB2+AD2=√62+82=10，故A选项不符合题意；∵将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，∴AB＝BG＝6，CD＝DH＝6，∴GH＝BG+DH﹣BD＝6+6﹣10＝2，故B选项不符合题意；∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝90°，∵将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，∴∠A＝∠BGE＝∠C＝∠DHF＝90°，∴EG∥FH．故C选项不符合题意；（2022•黄冈中考）如图，在矩形ABCD 中，AB ＜BC ，连接AC ，分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧交于点M ，N ，直线MN 分别交AD ，BC 于点E ，F ．下列结论： ①四边形AECF 是菱形； ②∠AFB ＝2∠ACB ； ③AC •EF ＝CF •CD ；④若AF 平分∠BAC ，则CF ＝2BF ． 其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【解析】选B.根据题意知，EF 垂直平分AC ，在△AOE 和△COF 中，{∠EAO =∠FCO∠AOE =∠COF =90°AO =CO ，∴△AOE ≌△COF （AAS ），∴OE ＝OF ，∴AE ＝AF ＝CF ＝CE ，即四边形AECF 是菱形，故①结论正确； ∵∠AFB ＝∠FAO +∠ACB ，AF ＝FC ，∴∠FAO ＝∠ACB ， ∴∠AFB ＝2∠ACB ，故②结论正确；2901 （2022•宜宾中考）如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，将△BCD 沿BD 折叠到△BED 位置，DE 交AB 于点F ，则cos ∠ADF 的值为（ ）A ．817B ．715C ．1517D ．815【解析】选C ．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝90°，AB ∥CD ，AD ＝BC ＝3，AB ＝CD ＝5，∴∠BDC ＝∠DBF ， 由折叠的性质可得∠BDC ＝∠BDF ， ∴∠BDF ＝∠DBF ，∴BF ＝DF ， 设BF ＝x ，则DF ＝x ，AF ＝5﹣x ， 在Rt △ADF 中，32+（5﹣x ）2＝x 2， ∴x =175，∴cos ∠ADF =3175=1517.（2022•陕西中考）在下列条件中，能够判定▱ABCD 为矩形的是（ ）A ．AB ＝ACB ．AC ⊥BDC ．AB ＝ADD ．AC ＝BD【解析】选D ．A 、▱ABCD 中，AB ＝AC ，不能判定▱ABCD 是矩形，故选项A 不符合题意；B 、∵▱ABCD 中，AC ⊥BD ，∴▱ABCD 是菱形，故选项B 不符合题意；C 、∵▱ABCD 中，AB ＝AD ，∴▱ABCD 是菱形，故选项C 不符合题意；D 、∵▱ABCD 中，AC ＝BD ，∴▱ABCD 是矩形，故选项D 符合题意；【解析】选B ．如图，该垃圾填埋场外围受污染土地的面积＝80×3×2+60×3×2+32π＝（840+9π）m 2（2022•荆州中考）如图，已知矩形ABCD 的边长分别为a ，b ，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD 各边的中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1；第二次，顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边的中点，得到四边形A 2B 2C 2D 2；…如此反复操作下去，则第n 次操作后，得到四边形A n B n ∁n D n 的面积是（ ）A ．ab 2nB ．ab2n−1C ．ab2n+1D ．ab22n【解析】选A ．如图，连接A 1C 1，D 1B 1，∵顺次连接矩形ABCD 各边的中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1， ∴四边形A 1BCC 1是矩形，∴A 1C 1＝BC ，A 1C 1∥BC ， 同理，B 1D 1＝AB ，B 1D 1∥AB ， ∴A 1C 1⊥B 1D 1，∴S 1=12ab ，∵顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边的中点，得到四边形A 2B 2C 2D 2， ∴C 2D 2=12A 1C 1，A 2D 2=12B 1D 1， ∴S 2=12A 1C 1×12B 1D 1=14ab ， …… 依此可得S n =ab2n .A ．3B ．175C ．72D ．185【解析】选D ．连接BF ，交AE 于O 点，∵将△ABE 沿AE 折叠得到△AFE ，∴BE ＝EF ，∠AEB ＝∠AEF ，AE 垂直平分BF ，∵点E 为BC 的中点，∴BE ＝CE ＝EF ＝3，∴∠EFC ＝∠ECF ， ∵∠BEF ＝∠ECF +∠EFC ，∴∠AEB ＝∠ECF ，∴AE ∥CF ， ∴∠BFC ＝∠BOE ＝90°，在Rt △ABE 中，由勾股定理得，AE =√AB 2+BE 2=√32+42=5， ∴BO =AB×BE AE =3×45=125，∴BF ＝2BO =245， 在Rt △BCF 中，由勾股定理得， CF =√BC 2−BF 2=√62−(245)2=185． （2022•绥化中考）如图，在矩形ABCD 中，P 是边AD 上的一个动点，连接BP ，CP ，过点B 作射线，交线段CP 的延长线于点E ，交边AD 于点M ，且使得∠ABE ＝∠CBP ，如果AB ＝2，BC ＝5，AP ＝x ，PM ＝y ，其中2＜x ≤5．则下列结论中，正确的个数为（ ） （1）y 与x 的关系式为y ＝x −4x ； （2）当AP ＝4时，△ABP ∽△DPC ； （3）当AP ＝4时，tan ∠EBP =35．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【解析】选C ．（1）过点P 作PF ⊥BC 于点F ，如图，∵四边形ABCD 是矩形，PF ⊥BC ，∴四边形ABFP 是矩形， ∴PF ＝AB ＝2，BF ＝AP ＝x ，∴AM ＝AP ＝PM ＝x ﹣y ． ∵∠ABE ＝∠CBP ，∠A ＝∠PFB ＝90°，∴△ABM ∽△FBP ，∴AM PF=AB BF，∴x−y 2=2x．∴x 2﹣xy ＝4．∴y ＝x −4x ．∴（1）的结论正确； （2）当AP ＝4时，DP ＝AD ﹣AP ＝5﹣4＝1， ∵AB AP=24=12，DB CD=12，∴AB AP=DP DC．∵∠A ＝∠D ＝90°，∴△ABP ∽△DPC ．∴（2）的结论正确； （3）由（2）知：当AP ＝4时，△ABP ∽△DPC ，∴∠ABP ＝∠DPC ．∵∠BP A +∠ABP ＝90°，∴∠APB +∠DPC ＝90°．∴∠CPB ＝90°．∴∠BPE ＝90°．∴tan ∠EBP =PEPB ． 由（1）知：PM ＝AP −4AP =3，BP =√AP 2+AB 2=2√5，CP =√CD 2+DP 2=√5．∵AD ∥BC ，∴PMBC =PEEC ．∴35=PEPE+√5，解得：PE =3√52，∴tan ∠EBP =PE PB =3√522√5=34，∴（3）的结论错误，综上，正确的结论为：（1）（2）．（2022•武威中考）如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ∥BC ，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD成为一个矩形，只需添加的一个条件是 ∠A ＝90°（答案不唯一） ．【解析】需添加的一个条件是∠A ＝90°，理由如下： ∵AB ∥DC ，AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形， 又∵∠A ＝90°，∴平行四边形ABCD 是矩形， 答案：∠A ＝90°（答案不唯一）．【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6cm，∠ABC＝∠C＝90°，AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC，∵AE＝2cm，∴BE＝AB﹣AE＝6﹣2＝4（cm），∵G是EF的中点，∴EG＝BG=12EF，∴∠BEG＝∠ABD，∴∠BEG＝∠BDC，∴△EBF∽△DCB，∴EBDC =BFCB，∴46=BF9，∴BF＝6，∴EF=√BE2+BF2=√42+62=2√13（cm），∴BG=12EF=√13（cm）.答案：√13．（2022•滨州中考）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10．若点E是边AD上的一个动点，过点E作EF⊥AC且分别交对角线AC、直线BC于点O、F，则在点E移动的过程中，AF+FE+EC的最小值为252+5√52．【解析】如图，过点E作EH⊥BC于点H．∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠BAD＝∠BHE＝90°，∴四边形ABHE是矩形，∴EH＝AB＝5，∵BC＝AD＝10，∴AC=√AB2+BC2=√52+102=5√5，∵EF⊥AC，∴∠COF＝90°，∴∠EFH+∠ACB＝90°，∵∠BAC+∠ACB＝90°，∴∠EFH＝∠BAC，∴△EHF∽△CBA，∴EHCB =FHAB=EFAC，∴510=FH5=EF5√5，∴FH=52，EF=5√52，设BF＝x，则DE＝10﹣x−52=152−x，∵EF是定值，∴AF+CE的值最小时，AF+EF+CE的值最小，∵AF +CE =√52+x 2+√(152−x)2+52，∴欲求AF +CE 的最小值相当于在x 轴上找一点P （x ，0），使得P 到A （0，5），B （152，5）的距离和最小，如图1中，作点A 关于x 轴的对称点A ′，连接BA ′交xz 轴于点P ，连接AP ，此时PA +PB 的值最小，最小值为线段A ′B 的长，∵A ′（0，﹣5），B （152，5），∴A ′B =√102+(152)2=252，∴AF +CE 的最小值为252，∴AF +EF +CE 的最小值为252+5√52． 解法二：过点C 作CC ′∥EF ，使得CC ′＝EF ，连接C ′F ．∵EF ＝CC ′，EF ∥CC ′，∴四边形EFC ′C 是平行四边形， ∴EC ＝FC ′，∴AF +EC ＝AF +FC ′≥AC ′=252，∴AF +EF +CE 的最小值为252+5√52．答案：252+5√52． （2022•自贡中考）如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝2，G 是AD 的中点，线段EF 在边AB 上左右滑动，若EF＝1，则GE +CF 的最小值为 3√2 ．【解析】如图，作G 关于AB 的对称点G '，在CD 上截取CH ＝1，然后连接HG '交AB 于E ，在EB 上截取EF ＝1，此时GE +CF 的值最小，∵CH ＝EF ＝1，CH ∥EF ， ∴四边形EFCH 是平行四边形，（2022•丽水中考）如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形PQMN ．已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5．AE ＝a ，DE ＝b ，且a ＞b ． （1）若a ，b 是整数，则PQ 的长是 4 ； （2）若代数式a 2﹣2ab ﹣b 2的值为零，则S 四边形ABCDS矩形PQMN的值是 3+2√2 ．【解析】（1）由图可知：PQ ＝a ﹣b ， ∵a ，b 是整数，四个矩形的面积都是5， ∴①的另一条边也是整数，即5a 是整数，∴a ＝5， 同理b ＝1，∴PQ ＝5﹣1＝4， 答案：4；（2）∵a 2﹣2ab ﹣b 2＝0， ∴a 2﹣b 2＝2ab ，（a ﹣b ）2＝2b 2， ∴a ＝b +√2b （负值舍），∵四个矩形的面积都是5．AE ＝a ，DE ＝b ，∴EP =5a ，EN =5b ， 则S 四边形ABCDS矩形PQMN=(a+b)(5a +5b )(a−b)(5b −5a)=(a+b)⋅5b+5a ab (a−b)⋅5a−5bab=a 2+2ab+b 2a 2−2ab+b2=a 2b 2=(√2+1)2b 2b 2=3+2√2．答案：3+2√2．（2022•十堰中考）“美丽乡村”建设使我市农村住宅旧貌变新颜，如图所示为一农村民居侧面截图，屋坡AF ，AG 分别架在墙体的点B ，C 处，且AB ＝AC ，侧面四边形BDEC 为矩形．若测得∠FBD ＝55°，则∠A ＝ 110 °．【解析】∵四边形BDEC 为矩形，∴∠DBC ＝90°，（2022•宜昌中考）如图，在矩形ABCD 中，E 是边AD 上一点，F ，G 分别是BE ，CE 的中点，连接AF ，DG ，FG ，若AF ＝3，DG ＝4，FG ＝5，矩形ABCD 的面积为 48 ．【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAE ＝∠CDE ＝90°，AD ∥BC ， ∵F ，G 分别是BE ，CE 的中点，AF ＝3，DG ＝4，FG ＝5， ∴BE ＝2AF ＝6，CE ＝2DG ＝8，BC ＝2FG ＝10，∴BE 2+CE 2＝BC 2， ∴△BCE 是直角三角形，∠BEC ＝90°， ∴S △BCE =12⋅BE ⋅CE =12×6×8=24，∵AD ∥BC ，∴S 矩形ABCD ＝2S △BCE ＝2×24＝48. 答案：4816．（2022•苏州中考）如图，在矩形ABCD 中，AB BC=23．动点M 从点A 出发，沿边AD 向点D 匀速运动，动点N 从点B 出发，沿边BC 向点C 匀速运动，连接MN ．动点M ，N 同时出发，点M 运动的速度为v 1，点N 运动的速度为v 2，且v 1＜v 2．当点N 到达点C 时，M ，N 两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形MABN 沿MN 翻折，得到四边形MA ′B ′N ．若在某一时刻，点B 的对应点B ′恰好与CD 的中点重合，则v 1v 2的值为35．【解析】如图，设AD 交AB ′于点Q ．设BN ＝NB ′＝x ．∵AB CB=23，∴可以假设AB ＝2k ，CB ＝3k ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ＝3k ，CD ＝AB ＝2k ，∠C ＝∠D ＝90°， 在Rt △CNB ′中，CN 2+CB ′2＝NB ′2， ∴（3k ﹣x ）2+k 2＝x 2，∴x =53k ， ∴NB ′=53k ，CN ＝3k −53k =43k ，由翻折的性质可知∠A ′B ′N ＝∠B ＝90°，∴∠DB ′Q +∠CB ′N ＝90°，∠CB ′N +∠CNB ′＝90°， ∴∠DB ′Q ＝∠CNB ′，∵∠D ＝∠C ＝90°，∴△DB ′Q ∽△CNB ′， ∴DQ ：DB ′：QB ′＝CB ′：CN ：NB ′＝3：4：5， ∵DB ′＝k ，∴DQ =34k ，∵∠DQB ′＝∠MQA ′，∠D ＝∠A ′， ∴△DQB ′∽△A ′QM ，∴A ′Q ：A ′M ：QM ＝DQ ：DB ′：QB ′＝3：4：5， 设AM ＝MA ′＝y ，则MQ =54y ，∵DQ +QM +AM ＝3k ，∴34k +54y +y ＝3k ，∴y ＝k ，∴v 1v 2=AM BN=k53k =35，答案：35（2022•眉山中考）如图，点P 为矩形ABCD 的对角线AC 上一动点，点E 为BC 的中点，连接PE ，PB ，若AB ＝4，BC ＝4√3，则PE +PB 的最小值为 6 ．【解析】如图，作点B 关于AC 的对称点B '，交AC 于点F ，连接B ′E 交AC 于点P ，则PE +PB 的最小值为B ′E 的长度，∵四边形ABCD 为矩形， ∴AB ＝CD ＝4，∠ABC ＝90°， 在Rt △ABC 中，AB ＝4，BC ＝4√3， ∴tan ∠ACB =ABBC =√33， ∴∠ACB ＝30°，由对称的性质可知，B 'B ＝2BF ，B 'B ⊥AC ， ∴BF =12BC ＝2√3，∠CBF ＝60°， ∴B ′B ＝2BF ＝4√3， ∵BE ＝BF ，∠CBF ＝60°， ∴△BEF 是等边三角形， ∴BE ＝BF ＝B 'F ， ∴△BEB '是直角三角形，∴B ′E =√B′B 2−BE 2=√(4√3)2−(2√3)2=6， ∴PE +PB 的最小值为6， 答案：6．（2022•雅安中考）如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，若BC ＝9，CD ＝3，那么阴影部分的面积为152．【解析】根据翻折的性质可知：∠FBD ＝∠DBC ， 又∵AD ∥BC ，∴∠ADB ＝∠DBC ， ∴∠ADB ＝∠FBD ，∴BF ＝DF ， 设BF ＝DF ＝x ，∴AF ＝9﹣x ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝90°， ∴AF 2+AB 2＝BF 2，（9﹣x ）2+32＝x 2， 解得x ＝5，∴S △FDB =12×5×2=152． 答案：152．交AB 于点G ，点P 是线段DG 上的一个动点，则△PEF 的周长最小值为 5+√37 ．【解析】如图，在DC 上截取DT ，使得DT ＝DE ，连接FT ，过点T 作TH ⊥AB 于点H ．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠ADT ＝90°， ∵∠AHT ＝90°，∴四边形AHTD 是矩形， ∵AE ＝DE =12AD ＝3．AF ＝FB =12AB ＝4，∴AH ＝DT ＝3，HF ＝AF ﹣AH ＝4﹣3＝1，HT ＝AD ＝6， ∴FT =√FH 2+TH 2=√12+62=√37，∵DG 平分∠ADC ，DE ＝DT ，∴E 、T 关于DG 对称，∴PE ＝PT ， ∴PE +PF ＝PF +PT ≥FT =√37， ∵EF =√AE 2+AF 2=√32+42=5， ∴△EFP 的周长的最小值为5+√37. 答案：5+√37．（2022•龙东中考）在矩形ABCD 中，AB ＝9，AD ＝12，点E 在边CD 上，且CE ＝4，点P 是直线BC 上的一个动点．若△APE 是直角三角形，则BP 的长为313或154或6 ．【解析】若△APE 是直角三角形，有以下三种情况： ①如图1，∠AEP ＝90°，∴∠AED +∠CEP ＝90°，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠C ＝∠D ＝90°，∴∠CEP +∠CPE ＝90°，∴∠AED ＝∠CPE ， ∴△ADE ∽△ECP ，∴AD CE=DECP ，即124=9−4CP，∴CP =53，∵BC ＝AD ＝12，∴BP ＝12−53=313；②如图2，∠P AE ＝90°，∵∠DAE +∠BAE ＝∠BAE +∠BAP ＝90°，∴∠DAE ＝∠BAP ， ∵∠D ＝∠ABP ＝90°，∴△ADE ∽△ABP ，∴AD AB=DE PB，即129=5BP，∴BP =154； ③如图3，∠APE ＝90°，设BP ＝x ，则PC ＝12﹣x ，同理得：△ABP ∽△PCE ，∴AB PC=BP CE，即912−x=x4，∴x 1＝x 2＝6，∴BP ＝6，综上，BP 的长是313或154或6．答案：313或154或6．（2022•内江中考）如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝4，点E 、F 分别是AB 、DC 上的动点，EF ∥BC ，则AF +CE 的最小值是 10 ．【解析】延长BC 到G ，使CG ＝EF ，连接FG ，∵EF ∥CG ，EF ＝CG ， ∴四边形EFGC 是平行四边形， ∴CE ＝FG ， ∴AF +CE ＝AF +FG ，∴当点A 、F 、G 三点共线时，AF +CE 的值最小为AG ， 由勾股定理得，AG =√AB 2+BG 2=√62+(4+4)2=10， ∴AF +CE 的最小值为10. 答案：10．（2022•遂宁中考）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，过点D作DF∥AC交OE的延长线于点F，连接AF．（1）求证：△AOE≌△DFE；（2）判定四边形AODF的形状并说明理由．【解析】（1）证明：∵E是AD的中点，∴AE＝DE，∵DF∥AC，∴∠OAD＝∠ADF，∵∠AEO＝∠DEF，∴△AOE≌△DFE（ASA）．（2）四边形AODF为矩形．理由：∵△AOE≌△DFE，∴AO＝DF，∵DF∥AC，∴四边形AODF为平行四边形，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，即∠AOD＝90°，∴平行四边形AODF为矩形.（2022•云南中考）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°．（1）求证：四边形ABDF是矩形；（2）若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BA∥CD，∴∠BAE＝∠FDE，∵点E是AD的中点，∴AE＝DE，在△BEA和△FED中，{∠BAE=∠FDE AE=DE∠BEA=∠FED，∴△BEA≌△FED（ASA），∴EF＝EB，又∵AE＝DE，∴四边形ABDF是平行四边形，∵∠BDF＝90°．∴四边形ABDF是矩形；（2）由（1）得四边形ABDF是矩形，∴∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD，（2022•绍兴中考）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点E从点A出发，沿边AD，DC向点C运动，A，D关于直线BE的对称点分别为M，N，连结MN．（1）如图，当E在边AD上且DE＝2时，求∠AEM的度数．（2）当N在BC延长线上时，求DE的长，并判断直线MN与直线BD的位置关系，说明理由．（3）当直线MN恰好经过点C时，求DE的长．【解析】（1）∵DE＝2，∴AE＝AB＝6，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∴∠AEB＝∠ABE＝45°．由对称性知∠BEM＝45°，∴∠AEM＝90°．（2）如图2，∵AB＝6，AD＝8，∴BD＝10，∵当N落在BC延长线上时，BN＝BD＝10，∴CN＝2．由对称性得，∠ENC＝∠BDC，∴cos∠ENC=2EN =610，得EN=103，∴DE＝EN=103．∵BM＝AB＝CD，MN＝AD＝BC，∴Rt△BMN≌Rt△DCB（HL），∴∠DBC＝∠BNM，∴MN∥BD．（3）如图3，当E在边AD上时，∴∠BMC＝90°，∴MC=√BC2−BM2=2√7．∵BM＝AB＝CD，∠DEC＝∠BCE，∴△BCM≌△CED（AAS），∴DE＝MC=2√7．如图4，点E在边CD上时，∵BM＝6，BC＝8，∴MC=2√7，CN＝8−2√7．∵∠BMC＝∠CNE＝∠BCD＝90°，∴△BMC∽△CNE，∴BMCN =MCEN，∴EN=MC⋅CNBM=8√7−143，∴DE＝EN=8√7−143．综上所述，DE的长为2√7或8√7−143．（2022•德阳中考）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2√3cm，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于点H．点F从点B出发沿BD方向以2cm/s向点D匀速运动，同时，点E从点H出发沿HD方向以1cm/s 向点D匀速运动．设点E，F的运动时间为t（单位：s），且0＜t＜3，过F作FG⊥BC于点G，连结EF．（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）连结FC，EC，点F，E在运动过程中，△BFC与△DCE是否能够全等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．【解析】（1）证明：∵EH⊥BC，FG⊥BC，∴EH∥FG，由题意知BF＝2tcm，EH＝tcm，∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴∠CBD＝30°，（2022•南充中考）如图，在矩形ABCD中，点O是AB的中点，点M是射线DC上动点，点P在线段AM上（不与点A重合），OP=12 AB．（1）判断△ABP的形状，并说明理由．（2）当点M为边DC中点时，连接CP并延长交AD于点N．求证：PN＝AN．（3）点Q在边AD上，AB＝5，AD＝4，DQ=85，当∠CPQ＝90°时，求DM的长．【解析】（1）△ABP是直角三角形，理由如下：∵点O是AB的中点，∵OP=12 AB，∴OP＝OA＝OB，∴∠OBP＝∠OPB，∠OAP＝∠APO，∵∠OAP+∠APO+∠OBP+∠BPO＝180°，∴∠APO+∠BPO＝90°，∴∠APB＝90°，∴△ABP是直角三角形；（2）证明：如图1，延长AM，BC交于点Q，∵M是CD的中点，∴DM＝CM，∵∠D＝∠MCQ＝90°，∠AMD＝∠QMC，∴△ADM≌△QCM（ASA），∴AD＝CQ＝BC，∵∠BPQ＝90°，∴PC=12BQ＝BC，∴∠CPB＝∠CBP，∵∠OPB＝∠OBP，∴∠OBC＝∠OPC＝90°，∴∠OPN＝∠OP A+∠APN＝90°，∵∠OAP+∠P AN＝90°，∠OAP＝∠OP A，∴∠APN＝∠P AN，∴PN＝AN；（3）分两种情况：①如图2，点M在CD上时，过点P作GH∥CD，交AD于G，交BC于H，设DM ＝x ，QG ＝a ，则CH ＝a +85，BH ＝AG ＝4−85−a =125−a ， ∵PG ∥DM ，∴△AGP ∽△ADM ，∴PGDM =AG AD ，即PG x =125−a 4， ∴PG =35x −14ax ， ∵∠CPQ ＝90°，∴∠CPH +∠QPG ＝90°，∵∠CPH +∠PCH ＝90°，∴∠QPG ＝∠PCH ，∴tan ∠QPG ＝tan ∠PCH ，即QG PG =PH CH ， ∴PH •PG ＝QG •CH ，同理得：∠APG ＝∠PBH ，∴tan ∠APG ＝tan ∠PBH ，即AG PG =PH BH ， ∴PG •PH ＝AG •BH ＝AG 2，∴AG 2＝QG •CH ，即（125−a ）2＝a （85+a ）， ∴a =910， ∵PG •PH ＝AG 2，∴（35x −940x ）•（5−35x +940x ）＝（125−910）2， 解得：x 1＝12（舍），x 2=43， ∴DM =43；②如图3，当M 在DC 的延长线上时，同理得：DM ＝12，综上，DM 的长是43或12（2022•十堰中考）如图，▱ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别是OA ，OC 的中点．（1）求证：BE ＝DF ；（2）设ACBD =k ，当k 为何值时，四边形DEBF 是矩形？请说明理由．【解析】（1）证明：如图，连接DE ，BF ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BO ＝OD ，AO ＝OC ，∵E ，F 分别为AO ，OC 的中点，∴EO =12OA ，OF =12OC ，∴EO ＝FO ，∵BO ＝OD ，EO ＝FO ，∴四边形BFDE 是平行四边形，∴DE ＝BF ；（2）当k ＝2时，四边形DEBF 是矩形；理由如下：当BD ＝EF 时，四边形DEBF 是矩形，∴当OD ＝OE 时，四边形DEBF 是矩形，∵AE ＝OE ，∴当k ＝2时，四边形DEBF 是矩形．答案：2．（2022•苏州中考）如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 的对应点为点E ，AE 与CD 交于点F ．（1）求证：△DAF ≌△ECF ；（2）若∠FCE ＝40°，求∠CAB 的度数．【解析】（1）将矩形ABCD 沿对角线AC 折叠，则AD ＝BC ＝EC ，∠D ＝∠B ＝∠E ＝90°，在△DAF 和△ECF 中，{∠DFA =∠EFC∠D =∠E DA =EC，∴△DAF ≌△ECF （AAS ）；（2）∵△DAF ≌△ECF ，∴∠DAF ＝∠ECF ＝40°，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DAB ＝90°，（2022•天津中考）将一个矩形纸片OABC 放置在平面直角坐标系中，点O （0，0），点A （3，0），点C （0，6），点P 在边OC 上（点P 不与点O ，C 重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P ，并与x 轴的正半轴相交于点Q ，且∠OPQ ＝30°，点O 的对应点O ′落在第一象限．设OQ ＝t ．（Ⅰ）如图①，当t ＝1时，求∠O ′QA 的大小和点O ′的坐标；（Ⅱ）如图②，若折叠后重合部分为四边形，O ′Q ，O ′P 分别与边AB 相交于点E ，F ，试用含有t 的式子表示O ′E 的长，并直接写出t 的取值范围；（Ⅲ）若折叠后重合部分的面积为3√3，则t 的值可以是 3或103 （请直接写出两个不同的值即可）．【解析】（Ⅰ）如图①中，过点O ′作O ′H ⊥OA 于点H ．在Rt △POQ 中，∠OPQ ＝30°，∴∠PQO ＝60°，由翻折的性质可知QO ＝QO ′＝1，∠PQO ＝∠PQO ′＝60°，∴∠O ′QH ＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴QH ＝QO ′•cos60°=12，O ′H =√3QH =√32，∴OH ＝OQ +QH =32，∴O ′（32，√32）； （Ⅱ）如图②中，∵A （3，0），∴OA ＝3，∵OQ ＝t ，∴AQ ＝3﹣t ．∵∠EQA ＝60°，∴QE ＝2QA ＝6﹣2t ，∵OQ ′＝OQ ＝t ，∴EO ′＝t ﹣（6﹣2t ）＝3t ﹣6（2＜t ＜3）；（Ⅲ）如图③中，当点Q 与A 重合时，重叠部分是△APF ，过点P 作PG ⊥AB 于点G ．在Rt △PGF 中，PG ＝OA ＝3，∠PFG ＝60°，∴PF =PG sin60°=2√3， ∵∠OPA ＝∠APF ＝∠PAF ＝30°，∴FP ＝FA ＝2√3，∴S △APF =12•AF •PG =12×2√3×3＝3√3， 观察图象可知当3≤t ＜2√3时，重叠部分的面积是定值3√3，∴满足条件的t 的值可以为3或103（答案不唯一）． 答案：3或103 （2022•玉林中考）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝4，点E 是DC 边上的任一点（不包括端点D ，C ），过点A 作AF ⊥AE 交CB 的延长线于点F ，设DE ＝a ．（1）求BF 的长（用含a 的代数式表示）；（2）连接EF 交AB 于点G ，连接GC ，当GC ∥AE 时，求证：四边形AGCE 是菱形．【解析】（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ADE ＝∠ABF ＝∠BAD ＝90°，∴∠DAE +∠BAE ＝90°，∵AF ⊥AE ，∴∠BAF +∠BAE ＝90°，∴∠DAE ＝∠BAF ，∴△ADE ∽△ABF ，∴ADAB =DEBF ，即48=a BF ，∴BF ＝2a ，（2）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AG ∥CE ，∵GC ∥AE ，∴四边形AGCE 是平行四边形．∴AG ＝CE ＝8﹣a ，∴BG ＝AB ﹣AG ＝8﹣（8﹣a ）＝a ，在Rt △BGF 中，GF 2＝a 2+（2a ）2＝5a 2，在Rt △CEF 中，EF 2＝（2a +4）2+（8﹣a ）2＝5a 2+80，在Rt△ADE中，AE2＝42+a2＝16+a2，如图，过点G作GM⊥AF于点M，∴GM∥AE，∴△MGF∽△AEF，∴GMAE=GFEF，∴GM2AE2=GF2EF2，∴GM216+a2=5a25a2+80，∴GM＝a，∴GM＝BG，又∵GM⊥AF，GB⊥FC，∴GF是∠AFB的角平分线，∴EA＝EC，∴平行四边形AGCE是菱形．（2022•无锡中考）如图，已知四边形ABCD为矩形，AB＝2√2，BC＝4，点E在BC上，CE＝AE，将△ABC 沿AC翻折到△AFC，连接EF．（1）求EF的长；（2）求sin∠CEF的值．【解析】（1）∵CE＝AE，∴∠ECA＝∠EAC，根据翻折可得：∠ECA＝∠FCA，∠BAC＝∠CAF，∵四边形ABCD是矩形，∴DA∥CB，∴∠ECA＝∠CAD，∴∠EAC＝∠CAD，∴∠DAF＝∠BAE，∵∠BAD＝90°，∴∠EAF＝90°，设CE＝AE＝x，则BE＝4﹣x，在△BAE中，根据勾股定理可得：BA2+BE2＝AE2，即：(2√2)2+(4−x)2=x2，解得：x＝3，在Rt△EAF中，EF=√AF2+AE2=√17．（2）过点F作FG⊥BC交BC于点G，设CG＝x，则GB＝3﹣x，∵FC＝4，FE=√17，∴FG2＝FC2﹣CG2＝FE2﹣EG2，即：16﹣x2＝17﹣（3﹣x）2，解得：x=4 3，∴FG=√FC2−CG2=8√2 3，∴sin∠CEF=FGEF=8√3451．（2022•哈尔滨中考）已知矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD上一点，连接BE，CE，OE，且BE＝CE．（1）如图1，求证：△BEO≌△CEO；（2）如图2，设BE与AC相交于点F，CE与BD相交于点H，过点D作AC的平行线交BE的延长线于点G，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形（△AEF除外），使写出的每个三角形的面积都与△AEF的面积相等．【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC=12AC，OB＝OD=12BD，AC＝BD，∴OB＝OC＝OA＝OD，∵BE＝CE，OE＝OE，∴△BEO≌△CEO（SSS）；（2）△DHE，△CHO，△DEG，△BFO都与△AEF的面积相等，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠CDA＝90°AB∥CD，AB＝DC，∵BE＝CE，∴Rt△BAE≌Rt△CDE（HL），∴∠AEB＝∠DEC，AE＝DE，∵OA＝OD，∴∠OEA＝∠OED＝90°，∴∠BAD＝∠OED＝90°，∠ADC＝∠AEO＝90°，∴AB∥OE，DC∥OE，∴S△AEO＝S△BEO，S△DEO＝S△COE，（2022•鄂州中考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且∠CDF＝∠BDC、∠DCF＝∠ACD．（1）求证：DF＝CF；（2）若∠CDF＝60°，DF＝6，求矩形ABCD的面积．【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴OC=12AC，OD=12BD，AC＝BD，∴OC＝OD，∴∠ACD＝∠BDC，∵∠CDF＝∠BDC，∠DCF＝∠ACD，∴∠CDF＝∠DCF，∴DF＝CF；（2）由（1）可知，DF＝CF，∵∠CDF＝60°，∴△CDF是等边三角形，∴CD＝DF＝6，∵∠CDF＝∠BDC＝60°，OC＝OD，∴△OCD是等边三角形，∴OC＝OD＝6，∴BD＝2OD＝12，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∴BC=√BD2−CD2=√122−62=6√3，∴S矩形ABCD＝BC•CD＝6√3×6＝36√3．（2022•泰州中考）如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线．（1）求证：AF与DE互相平分；（2）当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由．【解析】（1）∵点D是AB的中点，∴AD=12AB，∵点E是AC的中点，点F是BC的中点，（2022•威海中考）（1）将两张长为8，宽为4的矩形纸片如图1叠放．①判断四边形AGCH的形状，并说明理由；②求四边形AGCH的面积．（2）如图2，在矩形ABCD和矩形AFCE中，AB＝2√5，BC＝7，CF=√5，求四边形AGCH的面积．【解析】（1）①四边形AGCH是菱形，理由如下：∵四边形ABCD和四边形AFCE是矩形，∴∠B＝∠F＝90°，AD∥BC，AF∥CE，∴四边形AGCH是平行四边形，∵S平行四边形AGCH＝GC•AB＝AG•CF，AB＝CF，∴GC＝AG，∴平行四边形AGCH是菱形；②由①可知，GC＝AG，设GC＝AG＝x，则BG＝8﹣x，在Rt△ABG中，AB＝4，由勾股定理得：42+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝5，∴GC＝5，∴S菱形AGCH＝GC•AB＝5×4＝20；（2）设GC＝a，则BG＝7﹣a，（2022•海南中考）如图1，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点P在边BC上，且不与点B、C重合，直线AP 与DC的延长线交于点E．（1）当点P是BC的中点时，求证：△ABP≌△ECP；（2）将△APB沿直线AP折叠得到△APB'，点B'落在矩形ABCD的内部，延长PB'交直线AD于点F．①证明F A＝FP，并求出在（1）条件下AF的值；②连接B'C，求△PCB'周长的最小值；③如图2，BB'交AE于点H，点G是AE的中点，当∠EAB'＝2∠AEB'时，请判断AB与HG的数量关系，并说明理由．【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠BAP＝∠E，∠B＝∠BCE，∵点P是BC的中点，∴BP＝CP，∴△ABP≌△ECP（AAS）；（2）①∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠APB＝∠F AP，由折叠得∠APB＝∠APF，∴∠F AP＝∠APF，∴F A＝FP，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，∴BC＝AD＝8，∵点P是BC的中点，∴BP＝CP＝4，由折叠得AB′＝AB＝6，PB′＝PB＝4，∠B＝∠AB′P＝∠AB′F＝90°，设F A＝x，则FP＝x，∴FB′＝x﹣4，在Rt△AB′F中，AF2＝B′F2+B′A2，∴x2＝（x﹣4）2+62，解得x=132，即AF=132；②由折叠得AB′＝AB＝6，PB′＝PB＝4，∴△PCB'的周长＝CP+PB′+CB′＝CB+CB′＝8+CB′，连接B'C，AC，∵AB′+B′C＞AC，∴当点B′恰好位于对角线AC上时，CB′+AB′最小，在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，∴AC=√62+82=10，∴CB′的最小值＝AC﹣AB′＝4，∴△PCB'周长的最小值＝8+CB′＝8+4＝12；③AB与HG的数量关系是AB＝2HG．理由：如图，由折叠可知∠1＝∠6，AB'＝AB，BB'⊥AE，过点B'作B'M∥DE，交AE于点M，∴AB∥DE，∴AB∥DE∥B'M，∴∠l＝∠6＝∠5＝∠AED，∴AB'＝B'M＝AB，∴点H是AM中点，∵∠EAB'＝2∠AEB'，即∠6＝2∠8，∴∠5＝2∠8．∵∠5＝∠7+∠8，∴∠7＝∠8．∴B'M＝EM．∴B'M＝EM＝AB'＝AB．∵点G为AE中点，点H是AM中点，∴AG=12AE，AH=12AM．∴HG＝AG﹣AH=12（AE﹣AM）=12EM．∴HG=12AB．∴AB＝2HG．【解析】（1）∵F 为BE 的中点， ∴BF ＝EF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD∴∠BMF ＝∠ECF ，∵∠BFM ＝∠EFC ，∴△BMF ≌△ECF （AAS ），∴BM ＝CE ，∵点E 为CD 的中点，∴CE ＝DE ，∴BM ＝CE ＝DE ，∵AB ＝CD ，∴AM ＝CE ；（2）∵∠BMF ＝∠ECF ，∠BFM ＝∠EFC ， ∴△BMF ∽△ECF ，∴BFEF =BMCE =12， ∵CE ＝3，∴BM =32，∴AM =92，∵CM ⊥MN ，∴∠CMN ＝90°，∴∠AMN +∠BMC ＝90°，∵∠AMN +∠ANM ＝90°，∴∠ANM ＝∠BMC ，∵∠A ＝∠MBC ，∴△ANM ∽△BMC ，。
2022年中考数学真题分类汇编：整式乘法与因式分解(含答案)
2022年全国各省市中考数学真题汇编整式乘法与因式分解一、选择题1.(2022·山东省)计算(−a3)2的结果是( )A. a6B. −a6C. −a5D. a52.(2022·湖北省咸宁市)下列计算正确的是( )A. a2⋅a4=a8B. (−2a2)3=−6a6C. a4÷a=a3D. 2a+3a=5a23.(2022·贵州省黔东南苗族侗族自治州)下列运算正确的是( )A. a6÷a2=a3B. a2+a3=a5C. −2(a+b)=−2a+bD. (−2a2)2=4a44.(2022·全国)多项式39x2+5x−14可因式分解成(3x+a)(bx+c)，其中a、b、c均为整数，求a+2c之值为何？( )A. −12B. −3C. 3D. 125.(2022·广西壮族自治区贺州市)下列运算正确的是( )A. x3+x3=x6B. x6÷x3=x2C. (3x3)2=6x5D. x2⋅x3=x56.(2022·湖南省永州市)下列因式分解正确的是( )A. ax+ay=a(x+y)+1B. 3a+3b=3(a+b)C. a2+4a+4=(a+4)2D. a2+b=a(a+b)7.(2022·陕西省)计算：2x⋅(−3x2y3)=( )A. 6x3y3B. −6x2y3C. −6x3y3D. 18x3y38.(2022·浙江省湖州市)下列各式的运算，结果正确的是( )A. a2+a3=a5B. a2⋅a3=a6C. a3−a2=aD. (2a)2=4a29.(2022·浙江省绍兴市)下列计算正确的是( )A. (a2+ab)÷a=a+bB. a2⋅a=a2C. (a+b)2=a2+b2D. (a3)2=a510.(2022·四川省泸州市)下列运算正确的是( )A.a2⋅a3=a6B. 3a−2a=1C. (−2a2)3=−8a6D. a6÷a2=a311.(2022·四川省成都市)下列计算正确的是( )A. m+m=m2B. 2(m−n)=2m−nC. (m+2n)2=m2+4n2D. (m+3)(m−3)=m2−912.(2022·湖南省娄底市)下列式子正确的是( )A. a3⋅a2=a5B. (a2)3=a5C. (ab)2=ab2D. a3+a2=a513.(2022·四川省眉山市)下列运算中，正确的是( )A. x3⋅x5=x15B. 2x+3y=5xyC. (x−2)2=x2−4D. 2x2⋅(3x2−5y)=6x4−10x2y14.(2022·四川省广元市)下列运算正确的是( )A. x2+x=x3B. (−3x)2=6x2C. 3y⋅2x2y=6x2y2D. (x−2y)(x+2y)=x2−2y215.(2022·四川省遂宁市)下列计算中正确的是( )A. a3⋅a3=a9B. (−2a)3=−8a3C. a10÷(−a2)3=a4D. (−a+2)(−a−2)=a2+4二、填空题16.(2022·湖南省常德市)分解因式，x3−9xy2=______．17.(2022·贵州省黔东南苗族侗族自治州)分解因式：2022x2−4044x+2022=______．18.(2022·天津市)计算m⋅m7的结果等于______．19.(2022·江苏省苏州市)已知x+y=4，x−y=6，则x2−y2=______．20.(2022·四川省乐山市)已知m2+n2+10=6m−2n，则m−n=______．21.(2022·江苏省扬州市)分解因式：3m2−3=______．22.(2022·湖南省株洲市)因式分解：x2−25=______．23.(2022·湖南省怀化市)因式分解：x2−x4=______．24.(2022·山东省滨州市)若m+n=10，mn=5，则m2+n2的值为______．25.(2022·甘肃省武威市)计算：3a3⋅a2=______．三、解答题26.(2022·四川省南充市)先化简，再求值：(x+2)(3x−2)−2x(x+2)，其中x=√3−1．27.(2022·江苏省)先化简，再求值：(x+3)(x−3)−2(x−2)(2x−1)，其中x=1．28.(2022·浙江省丽水市)先化简，再求值：(1+x)(1−x)+x(x+2)，其中x=1．2 29.(2022·山东省)先简化，再求值(mn+2)(mn−2)−(mn−1)2，其中m=5，n=−1．230.(2022·山东省)先化简，后求值：(2x−3)2−(x+2y)(x−2y)−4y2，其中x=1，y=3．31.(2022·山东省)计算(1)已知：x+y=6，xy=4，求x2+y2的值；(2)已知10m=2，10n=3，求103m−n的值．32.(2022·河北省)发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．验证如，(2+1)2+(2−1)2=10为偶数．请把10的一半表示为两个正整数的平方和；探究设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确．参考答案1.A2.C3.D4.A5.D6.B7.C8.D9.A10.C11.D12.A13.D14.C15.B16.x(x+3y)(x−3y)17.2022(x−1)218.m819.2420.421.3(m+1)(m−1)22.(x+5)(x−5)23.x2(1+x)(1−x)24.9025.3a526.解：原式=(x+2)(3x−2−2x)=(x+2)(x−2)=x2−4，当x=√3−1时，原式=(√3−1)2−4=−2√3．27.解：(x +3)(x −3)−2(x −2)(2x −1)=x 2−9−2(2x 2−x −4x +2)=x 2−9−4x 2+2x +8x −4=−3x 2+10x −13， 当x =1时，原式=−3×1+10×1−13=−3+10−13=−6．28.解：(1+x)(1−x)+x(x +2)=1−x 2+x 2+2x =1+2x ，当x =12时，原式=1+2×12=1+1=2．29.解：原式=m 2n 2−4−(m 2n 2−2mn +1)=m 2n 2−4−m 2n 2+2mn −1=2mn −5，当m =5，n =−12时， 原式=2×5×(−12)−5 =−10．30.解：原式=4x 2−12x +9−(x 2−4y 2)−4y 2=4x 2−12x +9−x 2+4y 2−4y 2 =3x 2−12x +9， 当x =1，y =3时， 原式=3−12+9=0．31.解：(1)x 2+y 2=(x +y)2−2xy =62−2×4=36−8=28；(2)∵10m =2，10n =3，∴103m−n =103m ÷10n =(10m )3÷10n =23÷3=83．32.解：两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．理由如下： (m +n)2+(m −n)2=m 2+2mn +n 2+m 2−2mn +n 2=2m2+2n2=2(m2+n2)，故两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．。
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0301
（2022•宜昌中考）下列运算错误的是（ ）
A．x3•x3＝x6B．x8÷x2＝x6C．（x3）2＝x6D．x3+x3＝x6
【解析】选D．A.x3•x3＝x6，故A不符合题意；B.x8÷x2＝x6，故B不符合题意；
0301
（2022•眉山中考）下列运算中，正确的是（ ）
A．x3•x5＝x15B．2x+3y＝5xy
C．（x﹣2）2＝x2﹣4D．2x2•（3x2﹣5y）＝6x4﹣10x2y
【解析】选D.A．x3•x5＝x15，根据同底数幂的乘法法则可知：x3•x5＝x8，故选项计算错误，不符合题意；
B．2x+3y＝5xy，2x和3y不是同类项，不能合并，故选项计算错误，不符合题意；
【解析】选D．A．a2+a3，无法合并，故此选项不合题意；
B．a2•a3＝a5，故此选项不合题意；
C．a3﹣a2，无法合并，故此选项不合题意；
D．（2a）2＝4a2，故此选项符合题意
0301
（2022•宁波中考）下列计算正确的是（ ）
A．a3+a＝a4B．a6÷a2＝a3C．（a2）3＝a5D．a3•a＝a4
C.（x3）2＝x6，故C不符合题意；D.x3+x3＝2x3，故D符合题意.
0301
（2022•武汉中考）计算（2a4）3的结果是（ ）
A．2a12B．8a12C．6a7D．8a7
【解析】选B．（2a4）3＝8a12.
0301
（2022•娄底中考）下列式子正确的是（ ）
A．a3•a2＝a5B．（a2）3＝a5C．（ab）2＝ab2D．a3+a2＝a5
代码
中考题及其解析
0301
（2022•江西中考 ）下列计算正确的是（ ）
A．m2•m3＝m6B．﹣（m﹣n）＝﹣m+nC．m（m+n）＝m2+nD．（m+n）2＝m2+n2
【解析】选B．A.原式＝m5，故该选项不符合题意；B.原式＝﹣m+n，故该选项符合题意；
C.原式＝m2+mn，故该选项不符合题意；D.原式＝m2+2mn+n2，故该选项不符合题意.
0301
（2022•金华中考）计算a3•a2的结果是（ ）
A．aB．a6C．6aD．a5
【解析】选D．a3•a2＝a5．
0301
（2022•丽水中考）计算﹣a2•a的正确结果是（ ）
A．﹣a2B．aC．﹣a3D．a3
【解析】选C．﹣a2•a＝﹣a3.
0301
（2022•绍兴中考）下列计算正确的是（ ）
（2022•苏州中考）下列运算正确的是（ ）
A． 7B．6 9C．2a+2b＝2abD．2a•3b＝5ab
【解析】选B．A. 7，故此选项不合题意；B.6 9，故此选项，符合题意；
C.2a+2b，无法合并，故此选项不合题意；D.2a•3b＝6ab，故此选项不合题意
0301
（2022•嘉兴中考）计算a2•a（ ）
C．（x﹣2）2＝x2﹣4，根据完全平方公式可得：（x﹣2）2＝x2+4x﹣4，故选项计算错误，不符合题意；
D．2x2•（3x2﹣5y）＝6x4﹣10x2y，根据单项式乘多项式的法则可知选项计算正确，符合题意
0301
（2022·新疆生产建设兵团中考）下列运算正确的是（ ）
A．3a﹣2a＝1 B．a3•a5＝a8C．a8÷2a2＝2a4D．（3ab）2＝6a2b2
【解析】选C．A.x2与x不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；B.原式＝9x2，故该选项不符合题意；
C.原式＝6x2y2，故该选项符合题意；D.原式＝x2﹣（2y）2＝x2﹣4y2，故该选项不符合题意.
0301
（2022•河北中考）计算a3÷a得a？，则“？”是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
A．﹣3abB．3abC．﹣a3bD．a3b
【解析】选D.原式＝﹣a3•（﹣b）＝a3b.
0301
（2022•怀化中考）下列计算正确的是（ ）
A．（2a2）3＝6a6B．a8÷a2＝a4C． 2D．（x﹣y）2＝x2﹣y2
【解析】选C．A．（2a2）3＝8a6，故此选项不合题意；
B．a8÷a2＝a6，故此选项不合题意；
【解析】选C．A．a2•a3＝a5，故本选项不合题意；
B．3a﹣2a＝a，故本选项不合题意；
C．（﹣2a2）3＝﹣8a6，故本选项符合题意；
D．a6÷a2＝a4，故本选项不合题意
0301
（2022•南充中考）下列计算结果正确的是（ ）
A．5a﹣3a＝2 B．6a÷2a＝3aC．a6÷a3＝a2D．（2a2b3）3＝8a6b9
【解析】选B．A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故A选项错误，不符合题意；
B. 1，故B选项正确，符合题意；
C．a÷a• 1 ，故C选项错误，不符合题意；
D．（ ab2）3 a3b6，故D选项错误，不符合题意．
0301
（2022•泸州中考）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．3a﹣2a＝1C．（﹣2a2）3＝﹣8a6D．a6÷a2＝a3
【解析】选A．A.a3•a2＝a5，故A符合题意；B.（a2）3＝a6，故B不符合题意；
C.（ab）2＝a2b2，故C不符合题意；D.a3与a2不能合并，故D不符合题意.
0301
（2022•岳阳中考）下列运算结果正确的是（ ）
A．a+2a＝3aB．a5÷a＝a5C．a2•a3＝a6D．（a4）3＝a7
A．aB．3aC．2a2D．a3
【解析】选D．原式＝a1+2＝a3
0301
（2022•衡阳中考）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5B．a3•a4＝a12C．（a3）4＝a7D．a3÷a2＝a
【解析】选D．A选项，a2与a3不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；B选项，原式＝a7，故该选项不符合题意；C选项，原式＝a12，故该选项不符合题意；D选项，原式＝a，故该选项符合题意
0301
（2022•云南中考）下列运算正确的是（ ）
A． B．30＝0 C．（﹣2a）3＝﹣8a3D．a6÷a3＝a2
【解析】选C．A选项， 和 不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意；
B选项，原式＝1，故该选项不符合题意；
C选项，原式＝﹣8a3，故该选项符合题意；
D选项，原式＝a3，故该选项不符合题意.
【解析】选C．A选项，原式＝4x，故该选项不符合题意；
B选项，原式＝a，故该选项不符合题意；
C选项，原式＝x3，故该选项符合题意；
D选项，原式＝x2﹣2xy+y2，故该选项不符合题意
0301
（2022•成都中考）下列计算正确的是（ ）
A．m+m＝m2B．2（m﹣n）＝2m﹣nC．（m+2n）2＝m2+4n2D．（m+3）（m﹣3）＝m2﹣9
【解析】选C．根据同底数幂的除法可得：a3÷a＝a2，∴？＝2.
0301
（2022•十堰中考）下列计算正确的是（ ）
A．a6÷a3＝a2B．a2+2a2＝3a2C．（2a）3＝6a3D．（a+1）2＝a2+1
【解析】选B．A.a6÷a3＝a3，故A不符合题意；B.a2+2a2＝3a2，故B符合题意；
【解析】选B．3a﹣2a＝a，故选项A错误，不符合题意；a3•a5＝a8，故选项B正确，符合题意；
【解析】选C.a2•a4＝a6，故A错误，不符合题意；（﹣2a2）3＝﹣8a6，故B错误，不符合题意；
a4÷a＝a3，故C正确，符合题意；2a+3a＝5a，故D错误，不符合题意.
0301
（2022•宜宾中考）下列计算不正确的是（ ）
A．a3+a3＝2a6B．（﹣a3）2＝a6C．a3÷a2＝aD．a2•a3＝a5
B．因为（a3）2＝a2×3＝a6，所以B选项运算不正确，故B选项不符合题意；
C．因为（ab）2＝a2b2，所以C选项运算不正确，故C选项不符合题意；
D．因为 a6﹣2＝a4，所以D选项运算不正确，故D选项不符合题意
0301
（2022•泰安中考）下列运算正确的是（ ）
A．6x﹣2x＝4B．a﹣2•a3＝a﹣6C．x6÷x3＝x3D．（x﹣y）2＝x2﹣y2
【解析】选C．A.2m﹣m＝m，故A不符合题意；B.m2•m3＝m5，故B不符合题意；
C.（mn）2＝m2n2，故C符合题意；D.（m3）2＝m6，故D不符合题意.
0301
（2022•广元中考）下列运算正确的是（ ）
A．x2+x＝x3B．（﹣3x）2＝6x2C．3y•2x2y＝6x2y2D．（x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣2y2
A．（a2+ab）÷a＝a+bB．a2•a＝a2
C．（a+b）2＝a2+b2D．（a3）2＝a5
【解析】选A．A.原式＝a2÷a+ab÷a＝a+b，故该选项符合题意；B.原式＝a3，故该选项不符合题意；
C.原式＝a2+2ab+b2，故该选项不符合题意；D.原式＝a6，故该选项不符合题意.
0301
（2022•温州中考）化简（﹣a）3•（﹣b）的结果是（ ）
【解析】选A．A.原式＝3a，故该选项符合题意；B.原式＝a4，故该选项不符合题意；
C.原式＝a5，故该选项不符合题意；D.原式＝a12，故该选项不符合题意.
0301
（2022•常德中考）计算x4•4x3的结果是（ ）