课时跟踪检测(二十四) 对数函数的概念、图象及性质
对数函数的定义和基本性质
对数函数的定义和基本性质1. 对数函数的定义对数函数是实数域上的一个函数，通常用符号y = log_a(x)（其中a是底数，x是真数）表示。
对数函数是对数arithmetic和函数function的组合。
对数函数是一类重要的数学函数，在数学分析、高等数学、工程学等领域中都有广泛的应用。
2. 对数函数的基本性质（1）单调性对数函数y = log_a(x)在定义域（即真数集）内是单调递增的。
当底数a > 1时，随着真数x的增加，对数函数的值也增加；当底数0 < a < 1时，随着真数x的增加，对数函数的值减少。
（2）反函数对数函数y = log_a(x)（其中a是底数，x是真数）和函数y = a^x（其中a是底数，x是真数）是互为反函数的关系。
也就是说，对于任意一个正实数y，都存在一个正实数x使得log_a(y) = x，则有a^x = y。
（3）对数恒等式对数恒等式是指对数函数在不同底数之间可以进行转换。
具体来说，有以下两个恒等式：•对数换底公式：log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)（其中a, b, c 都是正实数，且a != 1, c != 1）。
•对数性质公式：log_a(b^c) = c * log_a(b)（其中a, b, c都是正实数，且a != 1）。
（4）对数函数的图像对数函数的图像是一条经过点(1, 0)，且斜率在0和+∞之间的曲线。
当底数a > 1时，图像位于第一象限；当底数0 < a < 1时，图像位于第二象限。
（5）对数函数的渐近线对数函数没有水平渐近线，但有一条垂直渐近线，即x = 0。
当x趋近于0时，对数函数的值趋近于负无穷；当x趋近于正无穷时，对数函数的值趋近于正无穷。
（6）对数函数与指数函数的关系对数函数和指数函数是互为逆运算的关系。
具体来说，对于任意一个正实数y，如果y = log_a(x)，则有x = a^y。
对数函数图像及性质
㈢ 若底数、真数都不相同,则常借助 1、0、－1等中间量进行比较
作业：p46（三）1、2（2）
教学反思：
岐山高级中学
王升平.
三维目标：
1、知识与技能 （1） 理解对数函数的定义 （2）掌握对数函数的图像和性质，并进行简单的 应用。 2、过程与方法 （1）形成数学交流能力和与分组合作意识； （2）从对数函数的学习中渗透数形结合、分类讨 论的数学思想。 3、情感、态度与价值观 （1）通过对对数函数的图象和性质研究，体会知 识之间的有机联系，激发学习兴趣.
例2、比较下列各组中，两个值的大小： （2） log 0.3 1.8与 log 0.3 2.7
解法1：画图找点比高低 解法2：考察函数y=log 0.3 x , ∵a=0.3< 1, ∴函数在区间（0，+∞）上是减函数； ∵1.8<2.7 ∴ log 0.3 1.8> log 0.3 2.7
（2）在教学过程中，对对数函数有关性质的 研究，形成观察、分析、归纳的思维能力以及数 学交流能力，增强学习的积极性，同时形成倾听、 接受别人意见的优良品质.
教学重点： 对数函数的图象和性质
教学难点： 对数函数性质的应用
教学过程：
一、复习引入 （1）对数的定义：
（2）对数的运算性质：
那么，今天我们一起来学习对数函数的图像和 性质。
注意:利用对数函数的增减性比较两个对数的大
小.当不能直接进行比较时,可在两个对数中间插入
一个已知数(如1或0等),间接比较上述两个对数的大
小
一、对数函数的定义; 二、对数函数的图象和性质; 三、比较两个对数值的大小.
比较两个对数值的大小.
对数函数的概念图像及性质
-0.5
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
0
1
-0.5
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
-1
-1.5
-1.5
-2
-2
-2.5
-2.5
定义域： 值域：
（0，+∞） (,)
在（0，+∞）上是 减 函数
性 质
恒过点（1，0），即当x=1时，y=0 在（0，+∞）上是 增 函数
x (0,1)
y0
y0
x (0,1)
小结：
1.定义
对 数 函 数
2.图象和性质
3.性质的应用
（1）求对数型函数的定义域 （2）比较两个对数的大小
作业：P74.
习题2.2
A组 7 、8
一确定的次数y与它对应，所以x是y的函数。
对数函数的定义：
一般地，函数
y log a x
( a ＞ 0 且 a ≠ 1 )
叫做 对数函数。 其中 x 是自变量，其定义域为 0, 。
思考： 思考 1.为什么要求
a＞0，且a≠1 呢？
根据对数式和指数式的关系，知 y loga x 可化 y 2.你能求出函数的定义域和值域吗？ y 为a x 。由指数函数的概念知，要使 a x有 意义必须规定 a 0且a 1 根据对数式和指数式的关系，知 y loga x 可化 y 为 a x 。由指数函数的性质知，不管y取什么值 y 均有 a y 0成立，所以 x (0,) ， (,) 即得定义域为
(0,) ，值域为 (,)
回顾： 我们在学习指数函数的时候，根据 什么思路来研究指数函数的性质？对 数函数呢？
学年高中数学课时练习22对数函数的概念对数函数y=log2x的图像和性质北师大版必修1
对数函数的概念对数函数y＝log2x的图像和性质【基础全面练】(20分钟35分)1．下列函数是对数函数的是( )A．y＝ln x B．y＝ln (x＋1)C．y＝log x e D．y＝log x x【解析】选A.对数函数底数不能是自变量x，所以C，D都不对．对数函数的真数是自变量x，所以B不对．2．函数f(x)＝11－x＋lg (1＋x)的定义域是( )A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)C．(－1，1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)【解析】选C.由真数1＋x>0得，x>－1.又因为1－x≠0，所以x>－1，且x≠1.3．对数函数的图像过点M(16，4)，则此对数函数的解析式为( )A．y＝log4x B．y＝log14xC．y＝log12x D．y＝log2x【解析】选D.设f(x)＝log a x(a>0，a≠1)，过点M(16，4)，所以log a16＝4，所以a＝2.4．若f(x)＝log a x＋(a2－4a－5)是对数函数，则a＝________．【解析】由已知得a2－4a－5＝0，又因为a＞0，a≠1，所以a＝5.答案：55．若函数y＝f(x)是函数y＝5x的反函数，则f(f(5))＝________.【解析】因为y＝f(x)与y＝5x互为反函数，所以f(x)＝log5x.所以f(f(5))＝f(log55)＝f(1)＝log51＝0.答案：06．若函数y＝log a(x＋a)(a＞0且a≠1)的图像过点(－1，0).(1)求a的值．(2)求函数的定义域．【解析】(1)将(－1，0)代入y＝log a(x＋a)(a＞0，a≠1)中，有0＝log a(－1＋a)，则－1＋a＝1，所以a＝2.(2)由(1)知y＝log2(x＋2)，由x ＋2＞0，解得x ＞－2，所以函数的定义域为{x|x ＞－2}．【综合突破练】 (30分钟 60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．若对数函数f(x)满足f(9)＝2，则f(3)＝( )A ．0B ．1C ．3D ．4【解析】选B.设对数函数为f(x)＝log a x(a>0，a≠1)，所以2＝log a 9.所以a ＝3.所以解析式为y ＝log 3x.所以f(3)＝log 33＝1.2．函数y ＝2－log 2x 的定义域是( )A ．(3，＋∞)B ．(－∞，4]C ．(4，＋∞)D ．(0，4]【解析】选D.由2－log 2x≥0，得log 2x≤log 24，所以x≤4，又因为x>0，所以0<x≤4.【误区警示】本题易忽视真数x>0，从而误选B.3．设集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y|y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ∈[0，＋∞） ，N ＝{}y|y ＝log 2x ，0<x≤1 ，则集合M ∪N 等于( )A ．(－∞，0)∪[1，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(－∞，1]D ．(－∞，0)∪(0，1)【解析】选C.因为M ＝(0，1]，N ＝(－∞，0]，所以M ∪N ＝(－∞，1].4．函数y ＝log 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，4 的值域为( ) A ．[2，4]B ．[－1，2]C ．[－2，2]D ．[－2，1]【解析】选C.因为y ＝log 2x 是增函数，所以y min ＝log 214＝－2，y max ＝log 24＝2. 所以，其值域为[－2，2].5．已知f(x)是函数y ＝log 2x 的反函数，则y ＝f(1－x)的图像是( )【解析】选C.函数y ＝log 2x 的反函数为y ＝2x ，故f(x)＝2x ，于是f(1－x)＝21－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 x －1 ，此函数在R 上为减函数，其图像过点(0，2)，所以C 选项中的图像符合要求．【光速解题】本题求出f(x)＝2x后，令x ＝－1，x ＝1，计算y ＝f(1－x)的函数值，从而得到答案．二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知函数f(x)＝log 3x ＋log 13x ，则f( 3 )＝________．【解析】f( 3 )＝log 3 3 ＋log 13 3 ＝12 －12＝0. 答案：07．已知函数f(x)＝log a (x ＋2)，若图象过点(6，3)，f(x)＝________，f(30)＝________．【解析】代入(6，3)，得3＝log a (6＋2)＝log a 8，即a 3＝8，所以a ＝2，所以f(x)＝log 2(x ＋2)，所以f(30)＝log 232，令log 232＝m ，所以2m＝32＝25，所以m ＝5.答案：log 2(x ＋2) 5【误区警示】该题的解析式为f(x)＝log a (x ＋2)，解题过程中注意别写成了f(x)＝log 2x.8．设f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝log 2x ，则当x<0时，f(x)＝________．【解析】当x<0时，－x>0，f(－x)＝log 2(－x).又因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝log 2(－x)，故当x<0时，f(x)＝－log 2(－x).答案：－log 2(－x)【补偿训练】函数f(x)＝log 2x 在区间[a ，2a](a>0)上最大值与最小值之差为________．【解析】因为f(x)是增函数，所以f(x)max ＝f(2a)＝log 22a ，f(x)min ＝f(a)＝log 2a. 所以f(x)max －f(x)min ＝log 22a －log 2a ＝log 22＝1.答案：1三、解答题(每小题10分，共20分)9．求下列函数的定义域：(1)y ＝log 3(1－x). (2)y ＝1log 2x. 【解析】(1)因为当1－x>0，即x<1时，函数y ＝log 3(1－x)有意义，所以函数y ＝log 3(1－x)的定义域为(－∞，1).(2)由log 2x≠0，得x>0且x≠1.所以函数y ＝1log 2x的定义域为{x|x>0，且x≠1}． 10．(1)已知f(x)＝log 3x ，若f(x)＝－2，求x 的值．(2)若log 2m<0<log 2n ，求m ，n 满足的关系．【解析】(1)因为f(x)＝－2，所以f(x)＝log 3x ＝－2，由指数、对数式互化得x ＝3－2＝19. (2)因为log 2m<0<log 2n ，所以log 2m<log 21<log 2n ，f(x)＝log 2x 在区间(0，＋∞)上是增加的，所以0<m<1<n.【应用创新练】设方程2x＋x －3＝0的根是a ，方程log 2x ＋x －3＝0的根为b ，求a ＋b 的值．【解析】将方程整理得2x ＝3－x ，log 2x ＝3－x.由图可知，a 是指数函数y ＝2x 的图像与直线y ＝3－x 的交点A 的横坐标，b 是对数函数y ＝log 2x 的图像与直线y ＝3－x 交点B 的横坐标．由于函数y ＝log 2x 与y ＝2x互为反函数，它们的图像关于直线y ＝x 对称，因此，A ，B 两点也关于直线y ＝x 对称．于是点A 为(a ，b)，点B 为(b ，a).由于点A 、点B 都在直线y ＝－x ＋3上，故有b ＝－a ＋3或a ＝－b ＋3，即a ＋b ＝3.【补偿训练】已知对数函数f(x)＝(m 2－m －1)·log (m ＋1)x ，求f(27)的值．【解析】因为f(x)是对数函数，故⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －1＝1，m ＋1>0，m ＋1≠1，解得m ＝2，所以f(x)＝log 3x ，f(27)＝log 327＝3.。
对数函数的概念442对数函数的图象和性质
(2)loga3.1,loga5.2(a>0,且a≠1);
(3)log30.2,log40.2;
(4)log3π,logπ3.
解:(1)因为函数y=ln x在定义域内是增函数,且0.3<2,所以ln
.
2 -2-8 = 0,
解析:(1)由题意可知 + 1 > 0, 解得 a=4.
+ 1 ≠ 1,
(2)设对数函数为f(x)=logax(a>0,且a≠1).
则由题意可得f(8)=-3,即loga8=-3,
所以
a-3=8,即
1
3
-
a=8 =
1
.
2
所以 f(x)=log 1 x,故由 B(n,2)在函数图象上可得 f(n)=log 1 n=2,
2
是
.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思想方法
随堂演练
解析:(1)由题意得x2-x>0,
解得x>1或x<0,
故函数的定义域是(-∞,0)∪(1,+∞).故选A.
(2)∵已知函数 f(x)=2log1 x 的值域为[-1,1],
2
∴-1≤2log1 x≤1,
2
即 log 1 1
≤2log1 x≤log1 1
(3)
)
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思想方法
对数函数的概念
例1 (1)已知对数函数f(x)=(m2-3m+3)·logmx,则m=
1
随堂演练
对数函数及其基本性质
对 数 函 数（1）对数函数的定义：指数函数y a a a x =>≠()01且的反函数y x a =l o g x∈+∞(,)0叫 做对数函数。
其中x 是自变量，对数函数x y a log = )10(≠>a a 且的定义域为),0(+∞，值域为),(+∞-∞注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。
如：x y 2log 2=，不是对数函数，而只能称其为对数型函数．○2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ． （2）对数函数的图象：由于对数函数x y a log =与指数函数x a y =互为反函数，所以x y a log =的图象与x a y =的图象关于直线x y =对称因此，我们只要画出和x a y =的图象关于x y =对称的曲线，就可以得到x y a log =的图象，然后根据图象特征得出对数函数的性质011A11（3）对三个对数函数y x y x==l o g l o g 212，，y x =lg 的图象的认识。
（4）对数函数的性质：:由对数函数的图象，观察得出对数函数的性质图象特征与函数性质对图象的进一步的认识（通过三个函数图象的相互关系的比较）： （1）所有对数函数的图象都过点（1,0），但是y x =l o g 2与y x =lg 在点（1,0）曲线是交叉的，即当x >0时，y x =l o g 2的图象在y x =lg 的图象上方；而01<<x 时，y x =l o g 2的图象在y x =lg 的图象的下方，故有：l o g.l g .21515>；l o g .l g .20101<。
（2）y x=l o g 2的图象与y x =log 12的图象关于x 轴对称。
（3）通过y x=l o g 2，y x =lg ，y x =log 12三个函数图象，可以作出任意一个对数函数的示意图，如作y x =l o g 3的图象，它一定位于y x=l o g 2和y x =lg 两个图象的中间，且过点（1,0），x >0时，在y x =lg的上方，而位于y x =l o g 2的下方，01<<x 时，刚好相反，则对称性，可知y x =log 13的示意图。
对数函数的概念与图象
a>1
y x =1
图
yl oagx(a1)
象
O (1,0)
X
定义域 值域
(0,+) R
性 特殊点 过点（1，0） 单调性 在(0,+)上是增函数
奇偶性 非奇非偶函数
质 最值 无最值
当x>1时,y>0; 当0<x<1时,y<0.
0<a<1
y x =1
我很重要
(1,0)
O
X yl oax g (0a1)
坐标,
求出Y值即为定点 的纵坐标.
联想：求指数函 数的定点坐标方
法是__？
深入探究：函数 y=2X 与y=log2 x 的图象关
系 观察（2）：
从图象中你能发现两个函数的图象间有什么关系
y=2X y=x
y
2 A● B 1●
11
y=log2 x
●A*
1 0
4
2
●
2
3
4
x
- B*
1- 结论(1)：图象关于直线y=x对称。
2024年11月10日星期日
4
4
5、已知 y函 lo2g数 2xalo2gx2b 当x1时有最 1， 小a求 ,b值 的值
2 例题与练习
2024年11月10日星期日
6、已f知 (x)lg1x,若f(a)1
1x
2
求值 : f(a)例题与练习
2024年11月10日星期日
7、判断下列函数的奇偶 性 (1)f (x) lg1x 1x
202X 对数函数及其性质
对数函数的概念与图象
新课讲解： （一）对数函数的定义：
函数 yloga x (a0且 a1)叫做对数函数；
对数函数的图象及性质
解得65<x<3.
2x＋3<5x－6
②当 0<a<1 时，2x＋3>0
，
5x－6>0
解得 x>3.
综 上 所 得 ， 当 a>1 时 ， 原 不 等 式 的 解 集 为
x65
<x<3；
当 0<a<1 时，原不等式的解集为{x|x>3}．
与对数函数有关的定义域问题
求下列函数的定义域．
(1)y＝log(x－1)(3－x)；(2)y＝ log2x＋1－1；
一．中真数不是自变量x，不是对数函数； 二．中对数式后减1，∴不是对数函数； 三．中log8x前的系数是2，而不是1，∴不是对数函数．
1．下列函数是对数函O 数N E的是( )
A．y＝log32x
1B．y＝log3x2
C．y＝log13x 答案：D．yC＝log131x
对数概念的理解 求下列各式中 x 的范围． (1)log(2x－1)(x＋2)；(2)log(x2＋1)(－3x＋8)．
4解.求下析列：函数的(值1)域∵． x2－4x＋6＝(x－2)2＋2≥2，
(又1)y＝f(loxg)2＝(x2lo－g42xx＋6在)；(0，＋∞)上是增函数， (∴2)yl＝olgog2(2x(x22－－44xx－＋5)．6)≥log22＝1. ∴函数的值域是[1，＋∞)． (2)∵x2－4x－5＝(x－2)2－9≥－9， ∴x2－4x－5 能取得所有正实数． ∴函数 y＝log2(x2－4x－5)的值域是 R.
由题目可获取以下主要信息：(1)中底数相同，真数不同；(2) 中底数不同，真数相同；(3)(4)中底数与真数各不相同.解答 本题可考虑利用对数函数的单调性或图象求解.
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课时跟踪检测（二十四）对数函数的概念、图象及性质
A级——学考合格性考试达标练
1．(2019·衡水高一月考)函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为( )
A．(0，1) B．[0，1]
C．(－∞，0)∪(1，＋∞)D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
解析：选C 由x2－x＞0，解得x＜0或x＞1，则定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)，故选C.
2．对数函数的图象过点M(16，4)，则此对数函数的解析式为( )
A．y＝log4x B．y＝log
4
1
x
C．y＝log
1
2
x D．y＝log2x
解析：选D 设该函数为y＝log a x，由于对数函数的图象过点M(16，4)，所以4＝log a16，得a＝2.所以对数函数的解析式为y＝log2x，故选D.
3．函数y＝log a(x－2)(a＞0且a≠1)的图象恒过的定点是( )
A．(1，0) B．(2，0)
C．(3，0) D．(4，0)
解析：选C 令x－2＝1，得x＝3.当x＝3时，y＝0，故函数的图象恒过定点(3，0)．4．函数y＝lg(x＋1)的图象大致是( )
解析：选C 由底数大于1可排除A、B，y＝lg(x＋1)可看作是y＝lg x的图象向左平移1个单位．(或令x＝0得y＝0，而且函数为增函数)
5．若函数y＝f(x)是函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)＝( )
1
2
A ．log 2x
B ．12x
C ．
log 12x
D ．2x －2 解析：选A 函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数是f (x )＝log a x ， 又f (2)＝1，即log a 2＝1，所以a ＝2.故f (x )＝log 2x .
6．若f (x )＝log a x ＋(a 2－4a －5)是对数函数，则a ＝________． 解析：由对数函数的定义可知， ⎩⎪⎨⎪⎧a 2
－4a －5＝0，a ＞0，
a ≠1，解得a ＝5. 答案：5
7．已知函数f (x )＝3log 13
x 的定义域为[3，9]，则函数f (x )的值域是________．
解析：∵y ＝log 13
x 在(0，＋∞)上是减函数，
∴当3≤x ≤9时，log 139≤log 13x ≤log 13
3，
即－2≤log 13
x ≤－1，
∴－6≤3log 13
x ≤－3，
∴函数f (x )的值域是[－6，－3]． 答案：[－6，－3]
8．已知m ，n ∈R ，函数f (x )＝m ＋log n x 的图象如图，则m ，n 的取值范围分别是________．
①m ＞0，0＜n ＜1 ②m ＜0，0＜n ＜1。