第三讲 胡克定律
弹性力学中的胡克定律讲解
弹性力学中的胡克定律讲解弹性力学是研究物体在受力作用下变形和应力分布规律的学科。
而胡克定律是描述弹性体受力后的变形性质的一种基本定律。
本文将对胡克定律进行详细讲解。
一、胡克定律的概述胡克定律是由英国科学家罗伯特·胡克于17世纪末提出的，它描述了弹性体在受力作用下变形的关系。
根据胡克定律，当物体受力后发生弹性变形时，物体内部各点之间的相对位置发生变化，但是物体的形状并不发生改变。
二、胡克定律的表达式胡克定律可以用一个简洁的数学表达式来表示：F = -kx其中，F代表受力的大小，k表示物体的弹性系数，x表示物体的形变量。
这个等式说明，当物体的形变量增加时，受力的大小也会随之增加。
三、胡克定律的解释胡克定律可以通过一个弹簧的例子来解释。
当我们用力拉伸或压缩弹簧时，弹簧会发生变形。
根据胡克定律，当形变量增加时，弹簧的弹性系数k表示了弹簧对形变的抵抗能力。
而受力的大小与形变量成正比，即形变量增大，受力也会增大。
四、胡克定律的应用范围胡克定律在工程和科学中有广泛的应用。
例如，在建筑工程中，我们常常会遇到悬挂吊车或者吊灯的情况。
这时，根据胡克定律，可以通过计算悬挂绳或者链条的弹性变形来确定所需的材料和结构强度。
此外，在材料科学领域，胡克定律也被广泛应用于弹性体的材料特性研究。
通过对胡克定律的研究，我们能够更好地理解材料的弹性行为，并为材料设计和工程应用提供指导。
五、胡克定律的局限性虽然胡克定律在很多情况下都能够有效地描述弹性体的变形性质，但是它并不适用于所有情况。
胡克定律的适用条件是弹性体在小变形范围内的应力和应变成正比。
当物体的变形量较大时，胡克定律可能不再适用。
六、结论胡克定律是描述弹性体受力后变形的基本定律，它通过一个简洁的数学表达式揭示了受力和形变量之间的关系。
胡克定律的应用范围广泛，不仅在工程和科学中有重要意义，也为材料科学的研究提供了基础。
通过深入理解和应用胡克定律，我们可以更好地理解弹性体的力学性质，并在实际问题中得到应用。
胡克定律
胡克定律的表达式为F=k·x或△F=k·Δx，其中k是常数，是物体的劲度（倔强）系数。
在国际单位制中，F的单位是牛，x的单位是米，它是形变量（弹性形变），k的单位是牛/米。
劲度系数在数值上等于弹簧伸长（或缩短）单位长度时的弹力。
弹性定律是胡克最重要的发现之一，也是力学最重要基本定律之一。
在现代，仍然是物理学的重要基本理论。
胡克的弹性定律指出：弹簧在发生弹性形变时，弹簧的弹力Ff和弹簧的伸长量（或压缩量）x成正比，即F= -k·x 。
k是物质的弹性系数，它由材料的性质所决定，负号表示弹簧所产生的弹力和其伸长（或压缩）的方向相反。
为了证实这一定律，胡克还做了大量实验，制作了各种材料构成的各种形状的弹性体。
满足胡克定律的弹性体是一个重要的物理理论模型，它是对现实世界中复杂的非线性本构关系的线性简化，而实践又证明了它在一定程度上是有效的。
然而现实中也存在这大量不满足胡克定律的实例。
胡克定律的重要意义不只在于它描述了弹性体形变和力的关系，更在于它开创了一种研究的重要方法：将现实世界中复杂的非线性现象作线性简化，这种方法的使用在理论物理学中是数见不鲜的。
胡克定律又可表示为：[1]Fn∕S=E·（△l∕l。
）式中比例系数E成为弹性模量，也成为杨氏模量，由于△l∕l。
为纯数，故弹性模量和应力具有相同的单位，弹性模量是描写材料本身的物理量，由上式可知，应力大而应变小，则弹性模量较大；反之，弹性模量较小。
弹性模量反映材料对于拉伸或压缩变形的抵抗能力，对于一定的材料来说，拉伸和压缩量的弹性模量不同，但二者相差不多，这时可认为两者相同，下表列出了几种常见材料的弹性模量。
材料铝绿石英混凝土铜玻璃花岗石铁铅松木（平行于纹理）7.0 9.1 2.0 11 5.5 4.5 19 1.6 1.0E∕10^10Pa2历史证明Hookelaw材料力学和弹性力学的基本规律之一。
由R.胡克于1678年提胡克定律相关图表出而得名。
胡克定律
胡克定律及其拓展
课题四（拓展）：实验装置改进
胡克定律实验采用弹簧竖直悬挂, 我们可以把弹簧水平放置进行实验。 弹簧 竖直悬挂测量时, 由于弹簧自身重力的影响, 实际上测的不是弹力与形变量 的关系, 而是弹簧弹力变化量与弹簧形变量的变化量之间的关系。考虑到弹 簧如果水平放置在桌面上会有摩擦力存在, 从而影响测量准确性, 因此, 采用 竖直面内, 弹簧水平悬空安装, 从而减少不必要的摩擦力影响。使用滑轮使 钩码产生的重力竖直向下，这样可以减小弹簧由于重力的影响。滑轮的摩擦 影响不可能消除, 只能尽量小, 采用大轮子、小轮轴的塑料滑轮, 可以使摩擦 影响减小到可以忽略的范围内。
胡克定律及其拓展
课题三（拓展）： 将四个弹簧悬挂在铁架台上，用毫米刻度尺量出弹簧的长度。 2.在弹簧下挂1个钩码，用毫米刻度尺量出此时弹簧的长度l1。 3.分别在弹簧下挂 2、3、4个钩码，依次量出相应的弹簧长度l2，l3，l4。 5.以力为纵坐标，以弹簧的伸长量为横坐标，在坐标纸上描点。 6.按照坐标图中各点的分布与走向，尝试作出一条平滑的直线。所画的点不一定正 好在这条直线上，但要注意使直线两侧的点数大致相同 7.用作图标记法直接获取F-X的图像 8.整理器材
胡克定律及其拓展
【实验器材】 刻度尺、铁架台（带铁夹）四个弹簧 白板 卷 尺 钩码
胡克定律及其拓展
【实验过程与数据分析】 课题一： 1.固定弹簧，用刻度尺测出弹簧长度l0； 2.在其弹性限度内用钩码在弹簧挂钩上加一个力F1，用刻度尺 测出弹簧此时长度l1； 3.仿照步骤2，得到F2，F3，F4，F5，F6和l2，l3，l4，l5， l6； 4.换用另一根弹簧，重复1-3步； 5.整理器材。
胡克定律及其拓展
课题二(拓展)： 1.固定弹簧，用刻度尺测出弹簧长度l0； 2.使弹簧匝数为N1，在其弹性限度内用钩码在弹簧 挂钩上加一个力F1，用刻度尺测出弹簧此时长度l1； 3.仿照步骤2，得到N2，N3，N4，N5，N6，F2， F3，F4，F5，F6和l2，l3，l4，l5，l6； 4.换用另一根弹簧，再重复1-3步5次； 5.整理器材。
三向的胡克定律
三向的胡克定律一、三向胡克定律的基础概念三向胡克定律，又称为三维胡克定律，是弹性力学的基本定律之一。
它描述了在三维空间中，物体的应力和应变之间的关系。
与传统的二维胡克定律相比，三向胡克定律考虑了更多的因素，包括剪切应力、旋转应力和三维空间的应变状态。
在三向胡克定律中，物体的应力和应变被表示为三维向量，这些向量不仅包括大小，还包括方向。
这使得三向胡克定律能够更准确地描述在复杂应力状态下的物体行为，如扭曲、弯曲和剪切等。
二、三向胡克定律的数学表达三向胡克定律的数学表达通常由三个方程构成：应力平衡方程、几何方程和物理方程。
这些方程一起描述了物体的应力、应变和变形之间的关系。
1.应力平衡方程：该方程描述了物体内部应力的平衡状态。
在三维空间中，这个方程是一个线性方程组，表示为：σij,j=0 （i=1,2,3）。
其中，σij表示应力张量分量，j表示偏量算子。
2.几何方程：这个方程描述了物体的应变和变形。
它通常表示为：εij=1/2（uij+uji），其中εij表示应变张量分量，uij表示位移梯度分量。
3.物理方程：这个方程将应力和应变联系起来，通常表示为：σij=λδij+2μεij。
其中，λ和μ是拉梅常数，δij是克罗内克符号，表示当i=j时值为1，否则为0。
三、三向胡克定律的应用三向胡克定律在许多工程领域中有广泛的应用，包括结构工程、航空航天工程和材料科学等。
以下是一些具体的应用实例：1.结构工程：在结构工程中，三向胡克定律被用于分析桥梁、建筑和其它大型结构的应力分布和变形。
这种分析可以帮助工程师预测结构的强度、刚度和稳定性，从而优化设计。
2.航空航天工程：在航空航天工程中，由于飞行器经常处于复杂的应力状态，因此三向胡克定律的应用尤为重要。
它被用于分析飞行器的结构强度、疲劳寿命和气动弹性等问题。
3.材料科学：在材料科学中，三向胡克定律用于研究材料的力学性能，如弹性模量、泊松比和剪切模量等。
这种研究有助于理解材料的微观结构和宏观力学行为之间的关系，为新材料的开发提供理论支持。
胡克定律
胡克定律科技名词定义中文名称：胡克定律英文名称：Hooke's law定义：材料在弹性变形范围内，力与变形成正比的规律。
所属学科：水利科技（一级学科）；工程力学、工程结构、建筑材料（二级学科）；工程力学（水利）（三级学科）本内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布百科名片胡克定律是力学基本定律之一。
适用于一切固体材料的弹性定律，它指出：在弹性限度内，物体的形变跟引起形变的外力成正比。
这个定律是英国科学家胡克发现的，所以叫做胡克定律。
目录定律简介历史证明编辑本段定律简介胡克定律的表达式为F＝-kx或△F=-kΔx，其中k是常数，是物体的[胡克定律]胡克定律劲度（倔强）系数。
在国际单位制中，F 的单位是牛，x的单位是米，它是形变量（弹性形变），k的单位是牛／米。
倔强系数在数值上等于弹簧伸长（或缩短）单位长度时的弹力。
弹性定律是胡克最重要的发现之一，也是力学最重要基本定律之一。
在现代，仍然是物理学的重要基本理论。
胡克的弹性定律指出：弹簧在发生弹性形变时，弹簧的弹力Ff和弹簧的伸长量（或压缩量）x成正比，即F= -kx。
k是物质的弹性系数，它由材料的性质所决定，负号表示弹簧所产生的弹力与其伸长（或压缩）的方向相反。
为了证实这一定律，胡克还做了大量实验，制作了各种材料构成的各种形状的弹性体。
编辑本段历史证明Hooke law材料力学和弹性力学的基本规律之一。
由R.胡克于1678年提[胡克定律相关图表]胡克定律相关图表出而得名。
胡克定律的内容为：在材料的线弹性范围内，固体的单向拉伸变形与所受的外力成正比；也可表述为：在应力低于比例极限的情况下，固体中的应力σ与应变ε成正比，即σ＝Εε，式中E为常数，称为弹性模量或杨氏模量。
把胡克定律推广应用于三向应力和应变状态，则可得到广义胡克定律。
胡克定律为弹性力学的发展奠定了基础。
各向同性材料的广义胡克定律有两种常用的数学形式：σ11＝λ（ε11＋ε22＋ε33）＋2Gε11，σ23＝2Gε23，σ22＝λ（ε11＋ε22＋ε33）＋2Gε22，σ31＝2Gε31，(1)σ33＝λ（ε11＋ε22＋ε33）＋2Gε33，σ12＝2Gε12，及式中σij为应力分量；εij为应变分量（i，j＝1，2，3）；λ和G为拉梅常量，G又称剪切模量；E为弹性模量（或杨氏模量）；v为泊松比。
胡克定律
E
• 简单应力状态的胡克定律和横向效应：
广义胡克定律
• 把胡克定律推广应用于三向应力和应变状态，则 可得到广义胡克定律。胡克定律为弹性力学的发 展奠定了基础。 • 对用主单元体表示的三向应力状态，有σx, σy, σz 三个主应力，可以把它们看做是三组单向应力的 组合，如图所示：
• 在纯剪切的情况下，在剪应力不超过剪切 比例极限时，剪应力和剪应变之间的关系 服从剪切胡克定律，即 G 或 G
• 单向拉伸与压缩时，在线弹性范围内，应 力与应变成线性关系，满足胡克定律
E
• 此外，轴向变形还将引起横向尺寸的变化， 横向线应变根据材料的泊松比可得出：
• 在正应力σx单独作用时(图(b))，单元体在x方向的线应变
xx x E
• 在σy单独作用时(图(c))，单元体在x方向的线应变为 用时(图(d))，单元体在x方向的线应变为 xz E
• 在σx、σy、σz共同作用下，单元体在x方向的线应变为
• 由于应力张量、应变张量和弹性系数张量存在对 称性（应力张量的对称性就是材料力学中的剪应 力互等定理），81个弹性常数中对于最一般的材 料也只有21个是独立的。
1 z z ( x y ) E
• 对于剪应变与剪应力之间，由于剪应变只与剪应 力有关，并且剪应力只能引起与其相对应的剪应 变分量的改变，而不会影响其它方向上的剪应变。 在xy、yz、zx三个面内的剪应变分别是
xy
1 2(1 ) xy xy G E
主要内容
1. 胡克定律 2. 广义胡克定律
胡克定律
• 胡克定律（Hooke‘s law）：
在弹性极限内，弹性体的应力与应变成正比， 其关系式为σ=Εε 满足胡克定律的材料称为线弹性或胡克型材料。
胡克定律原理
胡克定律原理
胡克定律是描述弹簧伸缩行为的物理规律之一。
根据胡克定律，当施加在一个弹簧两端的力与弹簧伸长或缩短的距离成正比时，该弹簧会产生恢复力。
具体而言，胡克定律可以用以下公式表示：
F = -kx
在这个公式中，F代表弹簧的恢复力（单位为牛顿），k代表
弹簧的弹性系数（单位为牛顿每米），x代表弹簧的伸长或缩
短距离（单位为米）。
根据胡克定律，当施加的力增大时，弹簧的伸长或缩短距离也会增大。
而当弹簧的弹性系数增大时，给定的力会产生更大的伸长或缩短距离。
此外，胡克定律还可以推广到描述其他伸缩体（如橡胶带）的行为。
胡克定律的重要应用之一是弹簧的设计和使用。
根据胡克定律，设计弹簧时可以选择适当的弹性系数，以满足所需的力和伸长或缩短距离。
此外，在许多机械系统中，胡克定律也被用于计算和预测弹簧的恢复力和变形。
胡克定律 杨氏模量
胡克定律杨氏模量
胡克定律
胡克定律是固体力学中的一个基本定律，用来描述弹性体在受力作用下产生的形变。
它的表述为：物体受到的弹性形变与作用力成正比，即F=kx，其中F为作用力，x为形变量，k为弹性系数，也称为劲度系数。
这个定律适用于弹性变形，当物体受到过大的力时，它会超过弹性极限，发生不可逆的塑性变形。
杨氏模量
杨氏模量是一种物理量，指的是物体在受到垂直于其表面的拉应力时，单位面积的相对伸长量与拉应力之比。
它的数值表示了物体的刚度，通常用G 表示。
杨氏模量是描述物体弹性特性的重要参数之一，该值越大，表示物体越难被拉伸。
在实际应用中，杨氏模量常被用来描述材料的弹性变形行为，例如，在设计桥梁、建筑物、机器等工程中，需要用到该参数来计算物体的稳定性和强度。
胡克定律 发现
胡克定律发现胡克定律（Hooke's Law）是一个基础性的物理定律，描述了弹性力学中弹簧变形的关系。
该定律由英国科学家罗伯特·胡克（Robert Hooke）于17世纪提出。
胡克定律的表述为：弹簧的形变与所受力成比例，且方向相反。
换句话说，当施加在弹簧上的力增大时，弹簧的形变也随之增大；而当力减小或消失时，弹簧恢复到原来的形态。
胡克定律可以用以下的数学公式表示：F = -kx，其中F代表力的大小与方向，k代表弹簧的劲度系数，x代表弹簧的形变。
胡克定律的实验证明是通过研究弹簧的力和形变之间的关系得出的。
在实验中，弹簧通常会用来测量物体的质量或者施加力。
通过施加不同大小的力并测量弹簧的形变，可以得到胡克定律的验证。
胡克定律的应用非常广泛，不仅仅局限于弹簧。
它还可以用于解释弹性体的变形、材料的破坏和稳定等问题。
在工程领域中，胡克定律被广泛应用于设计和建造各种结构，例如桥梁、建筑物和机械系统等。
胡克定律不仅在理论研究中有重要意义，还在实际应用中具有实用价值。
通过胡克定律，我们可以计算出弹簧的形变和所受力之间的关系，从而可以确定弹簧的劲度系数。
这对于设计弹簧系统、调整弹簧材料的性能以及预测材料的破坏点都有重要意义。
此外，胡克定律还可以用于研究非弹性材料的行为。
当施加的力超过材料的弹性极限时，材料会出现塑性变形，不再服从胡克定律。
对于这类材料，我们可以利用胡克定律来研究它们的临界变形点以及可能导致破坏的力。
虽然胡克定律是一个简单的物理定律，但它在弹性力学和工程应用中起着重要的作用。
它帮助我们理解和预测弹性体的行为，为设计和建造弹性结构提供了基础和指导。
胡克定律的一些结论
胡克定律的一些结论
胡克定律是物理学中一个非常重要的定律，它描述了弹性体在力的作用下产生的形变与作用力之间的关系。
以下是胡克定律的一些重要结论：
1.线性关系
胡克定律指出，在弹性范围内，物体的形变与作用力成正比，即两者之间存在线性关系。
这意味着，当作用力增加时，物体的形变也会相应地增加，反之亦然。
2.反作用力
根据牛顿第三定律，任何作用力都伴随着一个大小相等、方向相反的反作用力。
在胡克定律中，当一个物体受到外部作用力时，它会产生一个大小相等、方向相反的形变力，这个形变力被称为反作用力。
3.弹性极限
胡克定律适用于弹性范围内的物体。
当作用力超过弹性极限时，物体的形变将不再是可逆的，这意味着物体将不再恢复到原来的形状。
因此，胡克定律的应用需要注意弹性极限。
4.应力与应变
胡克定律中涉及两个重要的物理量：应力和应变。
应力是指作用在物体上的力的大小，而应变则是指物体产生的形变的大小。
胡克定律描述了应力和应变之间的关系，即应力等于劲度系数乘以应变。
5.胡克定律的应用
胡克定律在许多领域都有广泛的应用，例如工程学、物理学、生物学等。
例如，在桥梁工程中，胡克定律可以用来计算桥梁的形变量，以确保桥梁的安全性
和稳定性。
在材料科学中，胡克定律可以用来研究材料的弹性和力学性能。
在生物学中，胡克定律可以用来解释肌肉收缩和骨骼结构等生物力学现象。
总之，胡克定律是物理学中一个非常重要的定律，它描述了弹性体在力的作用下产生的形变与作用力之间的关系。
这个定律在许多领域都有广泛的应用，对于我们的生活和生产活动都有着重要的影响。
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= 2ε12
σ 6 = σ 12
s66 = 4 s1212
9
2.4.2 弹性系数
弹性刚度系数cijkl
cijkl = cmn
m, n =1,2,3,4,5,6
σ 12 = c1211ε11 + c1212ε12 + c1221ε 21 +
= c1211ε 11 + c1212 ⋅ 2ε 12 +
sλµ d 2ψ = dσ λ dσ µ
上式中，求导结果与求导次序无关，因此：
sλµ = sµλ
5
2.4.2 弹性系数
弹性系数的下标缩减
sλµ = sµλ
弹性系数最多可能有多少个独立分量？
6
2.4.2 弹性系数
下标缩减后的弹性系数 弹性柔顺系数：
sijkl = smn
m,n=1,2,3 m,n中一个 =4,5,6 m和n都为 =4,5,6 m =1,2,3,4,5,6 m =1,2,3 m =4,5,6
熟悉、掌握书本中的附录三，利用附录三给出相应点群晶体的弹 性常数矩阵形式！
16
s11 s12 s 13 0 0 0
s12 s11 s13 0 0 0
s13 s13 s33 0 0 0
0 0 0 s44 0 0
0 0 0 0 s44 0
0 0 0 0 0 s66
s11 s12 s 12 0 0 0
2a11a13 2a21a23 2a31a33
( a23 a31 + a33 a21 ) ( a33 a11 + a13 a31 ) ( a13 a21 + a23 a11 )
2a21a22 2a31a32 ( a12 a32 + a31a22 ) ( a31a12 + a11a32 ) ( a11a22 + a21a12 ) 2a11a12
s12 s11 s12 0 0 0
s12 s12 s11 0 0 0
0 0 0 s44 0 0
0 0 0 0 s44 0
0 0 s44 0 0 0
4mm
各向同性
13
2.4.4 弹性系数与晶体的对称性
晶体弹性系数与晶体点群的关系
② 张量变换法
' sijkl = aip a jq akr als s pqrs = sijkl
2
2.4.2 弹性系数
弹性系数的下标缩减 例一：当晶体只受剪切力 σ 12时，有：
ε 11 = s1112σ 12 + s1121σ 21
由于剪切力总是成对出现，式中s1112和s1121总是同时 出现，且物理意义相同。
sijkl = sijlk
3
2.4.2 弹性系数
弹性系数的下标缩减 例二：当晶体受单轴应力 σ 11时，有：
晶体物理性质的对称性总是高于或等于其结构对称性； 随着物理性质张量阶数的增高，其对称性下降。 以4mm点群晶体的介电、压电、弹性参数为例： ε33 s3333 d
333
∞mm
∞mm
4mm
12
2.4.4 弹性系数与晶体的对称性
晶体弹性系数与晶体点群的关系
① 下标法 例一：利用下标法，求出4mm点群晶体和各向同性晶体的弹性常数矩阵
a11a13 a21a23 a31a33 ( a23 a31 + a33 a21 ) ( a33 a11 + a13 a31 ) ( a13 a21 + a23 a11 )
a11a12 a21a22 a31a32 ( a12 a32 + a31a22 ) ( a31a12 + a11a32 ) ( a11a22 + a21a12 )
ε12 = s1211σ 11
ε 21 = s2111σ 11
显然，式中s1211和s2111是相等的。
sijkl = s jikl
根据以上两个例子，弹性常数可以记为：
sλµ
4
2.4.2 弹性系数
弹性系数的下标缩减
sλµ = sµλ ?
晶体的弹性能的一般表述：
dψ = σ λ dε λ
dψ = σ λ dε λ = σ λ dsλµσ µ = sλµσ λ dσ µ
其中aij为该点群所具有的对称操作矩阵 课堂练习：证明各向同性介质中，弹性系数有如下关系
s44 = 2( s11 − s12 )
1 c44 = ( c11 − c12 ) 2
提示：
' s3333 = a3 p a3q a3r a3s s pqrs = s3333
14
2.4.4 弹性系数与晶体的对称性
晶体弹性系数与晶体点群的关系
③ 矩阵法（主要用于三方和六方晶系）
' [ sλµ ] = [ N ]T [ sλµ ][ N ] = [ sλµ ] ' [cλµ ] = [ M ]T [cλµ ][ M ] = [cλµ ]
2 2 2 a12 a13 a11 a12 a13 2 2 2 a22 a23 a a a 22 23 21 2 2 2 a31 a32 a33 a32 a33 [N ] = 2a21a31 2a22 a32 2a23 a33 ( a22 a33 + a32 a23 ) 2a a 2a a 2a a ( a32 a13 + a12 a33 ) 32 12 33 13 31 11 2a11a21 2a12 a22 2a13 a23 ( a12 a23 + a22 a13 )
晶体的弹性
本章内容
2.1 引言 2.2 应力张量 2.3 应变张量 2.4 弹性系数 2.5 晶体中的弹性波
1
2.4.1线性弹性方程
ε ij = sijklσ kl σ ij = cijkl ε kl
ε பைடு நூலகம்3 =
s33klσ kl = s3311σ 11 + s3322σ 22 + s3333σ 33 + s3312σ 12 + s3321σ 21 + ...
7
2 sijkl = smn
缩减后应满足：
4 sijkl = smn
应力： 应变：
ε m = smnσ n
σ ij = σ m
ε ij = ε m 2ε ij = ε m
2.4.2 弹性系数
① 考察晶体受剪切力是的情况
ε11 = s1112σ 12 + s1121σ 21 = 2 s1112σ 12
ε1 = s16σ 6
② 考察晶体受单轴力
ε12 = s1233σ 33
ε 6 = s63σ 3
因为：s63
= 2 s1233
ε 6 = 2ε12
8
2.4.2 弹性系数
③ 考察晶体受剪切力时，产生的剪切应变
ε12 = s1212σ 12 + s1221σ 21 = 2 s1212σ 12
ε 6 = s66σ 6
σ 6 = c61ε1 + c66ε 6 +
10
2.4.3 各向同性介质中的弹性模量
1 Y= s11
G= 1 1 = s44 2( s11 − s12 )
杨氏模量
切变模量
s12 ν =− s11
理解弹性模量的物理意义！
泊松比
对于各向异性介质，是否有上述弹性模量？
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2.4.4 弹性系数与晶体的对称性
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2.4.4 弹性系数与晶体的对称性
晶体弹性系数与晶体点群的关系
2 2 2 2a12 a13 a11 a12 a13 2 2 2 2a22 a23 a a a 22 23 21 2 2 2 a31 2a32 a33 a32 a33 [M ] = a21a31 a22 a32 a23 a33 ( a22 a33 + a32 a23 ) a a a a a a ( a32 a13 + a12 a33 ) 31 11 32 12 33 13 a11a21 a12 a22 a13 a23 ( a12 a23 + a22 a13 )