对数函数图象及其性质
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4.6对数函数的图像和性质(共43张)
4.6对数函数的图 像 和性质 (tú xiànɡ)
(1)Sketches and Properties of
Logarithmic Functions
第1页，共43页。
复习:一般的,函数 y = ax ( a ＞ 0, 且 a ≠ 1 ) 叫做(jiàozuò)指数函数,其
中x是自变量.函数的定义域是 R.
a
a
第10页，共43页。
例2 比较下列各组中两个(liǎnɡ ɡè)值的大小:
⑴ log 67 , log 7 6 ;
⑵ log 3π , log 2 0.8 .
提示 : log aa＝1
提示: log a1＝0
解: ⑴ ∵ log67＞log66＝1
log76＜log77＝1
∴
log67＞log76
图像㈠在(1,0)点右边的 纵坐标都大于0,在(1,0)点 左 图边像的㈡纵则坐正标好都相小反于0;
自左向右看,
图像㈠逐渐上升 图像㈡逐渐下降
函数性质
定义域是( 0,＋∞）
1 的对数是 0
当底数a＞1时 x＞1 , 则logax＞0
当底数0＜a＜100时＜＜xx＜x＜＞111,,则则, 则lologlgoaxagx＞a＜x0＜0 0 当a＞1时,
当0＜a＜1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是减函数,于是 log a5.1＞log a5.9
注:例1是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小的,
对底数与1的大小关系未明确指出时,
要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小.
第9页，共43页。
练习:
1、比较下列(xiàliè)各题中两个值的大小:
2
2
求函数
(1)Sketches and Properties of
Logarithmic Functions
第1页，共43页。
复习:一般的,函数 y = ax ( a ＞ 0, 且 a ≠ 1 ) 叫做(jiàozuò)指数函数,其
中x是自变量.函数的定义域是 R.
a
a
第10页，共43页。
例2 比较下列各组中两个(liǎnɡ ɡè)值的大小:
⑴ log 67 , log 7 6 ;
⑵ log 3π , log 2 0.8 .
提示 : log aa＝1
提示: log a1＝0
解: ⑴ ∵ log67＞log66＝1
log76＜log77＝1
∴
log67＞log76
图像㈠在(1,0)点右边的 纵坐标都大于0,在(1,0)点 左 图边像的㈡纵则坐正标好都相小反于0;
自左向右看,
图像㈠逐渐上升 图像㈡逐渐下降
函数性质
定义域是( 0,＋∞）
1 的对数是 0
当底数a＞1时 x＞1 , 则logax＞0
当底数0＜a＜100时＜＜xx＜x＜＞111,,则则, 则lologlgoaxagx＞a＜x0＜0 0 当a＞1时,
当0＜a＜1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是减函数,于是 log a5.1＞log a5.9
注:例1是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小的,
对底数与1的大小关系未明确指出时,
要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小.
第9页，共43页。
练习:
1、比较下列(xiàliè)各题中两个值的大小:
2
2
求函数
对数函数的图像及性质
联系。
小结：
01
对数函数的图像与性质
利用对数函数的性质解决有关 问题
02
l o g 2 0 . 6 ＞ l o g 2 0 . 8
3
3
l o g 1 .5 6 ＜ l o g 1 .5 8
log2 m ＞ log2 n 则 m ＜ n
3
3
log1.5 m ＜ loA组 3,4
思考题： 对比对数函数与指数函数的图 像与性质，找出他们的区别和
求解对数函数定义域问题的关键是要求
总 真数大于零，当真数为某一代数式时， 结 可将其看作一个整体单独提出来求其大
于零的解集即该函数的定义域。
例题讲解（二）
例2：比较下列各组中，两个值的大小 ：
（1） （2）
lloogg203.7与1.6lo与g2l3o.5g
0.7
1.8
比较两个同底对数值的大小时，
总 结
首先观察底是大于1还是大于0小于1 （大于1时为增函数，大于0且小于1 时为减函数）；再比较真数值的大小
；最后根据单调性得出结果。
(3) log34与 log43 (4) log32与 log20.8
总 结
当不能利用对数函数的单调性进行比较 时,可在两个对数中间插入一个中间数(如1
或0等),间接比较上述两个对数的大小。
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对数函数的图像及性质
此处添加副标题
单/击/此/处/添/加/正/文
对数函数的定义
一般地，形如y= logax(a＞0,且a≠ 1)的函数 叫做对数函数.其中 x是自变量,函数的定义域 是(0 ,+∞).
注：(1) logax 的系数为1； ② 底数是不为1的正数； ③ 真数只含自变量x,而且x>0
小结：
01
对数函数的图像与性质
利用对数函数的性质解决有关 问题
02
l o g 2 0 . 6 ＞ l o g 2 0 . 8
3
3
l o g 1 .5 6 ＜ l o g 1 .5 8
log2 m ＞ log2 n 则 m ＜ n
3
3
log1.5 m ＜ loA组 3,4
思考题： 对比对数函数与指数函数的图 像与性质，找出他们的区别和
求解对数函数定义域问题的关键是要求
总 真数大于零，当真数为某一代数式时， 结 可将其看作一个整体单独提出来求其大
于零的解集即该函数的定义域。
例题讲解（二）
例2：比较下列各组中，两个值的大小 ：
（1） （2）
lloogg203.7与1.6lo与g2l3o.5g
0.7
1.8
比较两个同底对数值的大小时，
总 结
首先观察底是大于1还是大于0小于1 （大于1时为增函数，大于0且小于1 时为减函数）；再比较真数值的大小
；最后根据单调性得出结果。
(3) log34与 log43 (4) log32与 log20.8
总 结
当不能利用对数函数的单调性进行比较 时,可在两个对数中间插入一个中间数(如1
或0等),间接比较上述两个对数的大小。
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对数函数的图像及性质
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对数函数的定义
一般地，形如y= logax(a＞0,且a≠ 1)的函数 叫做对数函数.其中 x是自变量,函数的定义域 是(0 ,+∞).
注：(1) logax 的系数为1； ② 底数是不为1的正数； ③ 真数只含自变量x,而且x>0
对数函数的图象及性质 课件
标从左向右依次为 c，d，a，b，显然 b＞a＞1＞d＞c.
【答案】
(1)C
8 (2)9
(3)b＞a＞1＞d＞c
(1)由函数 y＝x＋a 的图象判断出 a 的范围． ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2)依据 loga1＝0，a0＝1，求定点坐标． (3)沿直线 y＝1 自左向右看，对数函数的底数由小变大．
方法归纳
解决对数函数图象的问题时要注意 (1)明确对数函数图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四 象限．当 x 趋近于 0 时，函数图象会越来越靠近 y 轴，但永远不会 与 y 轴相交． (2)建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数 的底数 a 的取值范围是 a>1，还是 0<a<1. (3)牢记特殊点．对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象经过 点：(1,0)，(a,1)和1a，－1.
【解析】 (1)A 中，由 y＝x＋a 的图象知 a＞1，而 y＝logax 为减函数，A 错；B 中，0＜a＜1，而 y＝logax 为增函数，B 错；C 中，0＜a＜1，且 y＝logax 为减函数，所以 C 对；D 中，a＜0，而 y＝logax 无意义，也不对．
(2)依题意可知定点 A(－2，－1)，f(－2)＝3－2＋b＝－1，b＝－
解析：由题意，得x1≥－0x，>0， 解得 0≤x<1；故函数 y＝ xln(1 －x)的定义域为[0,1)．
答案：B
4．若 f(x)＝log2x，x∈[2,3]，则函数 f(x)的值域为________．
解析：因为 f(x)＝log2x 在[2,3]上是单调递增的， 所以 log22≤log2x≤log23， 即 1≤log2x≤log23. 答案：[1，log23]
对数函数 对数函数的图像和性质
函数值变化情况：x>1时，y>0；x＝1时，y＝0； 0<x<1时，y<0. 单调性：在(0，＋∞)上是增函数．
问题 2：函数 y＝log 况及单调性如何？
1 2
x 的定义域、值域、函数值的情
提示：定义域：(0，＋∞)，值域：(－∞，＋∞)， 函数值变化情况：x>1 时，y<0；x＝1 时，y＝0； 0<x<1 时，y>0. 单调性：在(0，＋∞)上是减函数． 问题 3：它们的图像有什么关系？ 提示：关于 x 轴对称．
对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像与性质 a＞1 0＜a＜1
图
像
a＞1
0＜a＜1 定义域：(0，＋∞) 值域： R
图像过定点： (1,0)
性 当x＞1时，y ＞ 0， 当x＞1时，y ＜ 0， 质 当0＜x＜1时，y ＜ 0 当0＜x＜1时，y ＞ 0
增区间： (0，＋∞)
奇偶性： 非奇非偶函数
答案：B
[例2]
作出函数y＝lg|x|的图像，并由图像判断其奇
偶性，并求出f(x)>0的解集． [思路点拨] 先去掉绝对值号，画出y轴右边的图像，
再由对称性作出另一部分，最后结合图像求解集．
[精解详析]
lgx， ＝ lg－x，
f(x)＝lg|x| x>0， x<0.
又y＝lgx与y＝lg(－x)关于y轴对称，从而将函数y＝lgx (x>0)的图像对称到y轴的左侧与函数y＝lgx的图像合起来得 函数f(x)的图像，如图所示．由图知：此函数是偶函数， f(x)>0的解集为 (－∞，－1)∪(1，＋∞)．
(3)底不相同，真数也不相同的几个数，可通过特殊值来
问题 2：函数 y＝log 况及单调性如何？
1 2
x 的定义域、值域、函数值的情
提示：定义域：(0，＋∞)，值域：(－∞，＋∞)， 函数值变化情况：x>1 时，y<0；x＝1 时，y＝0； 0<x<1 时，y>0. 单调性：在(0，＋∞)上是减函数． 问题 3：它们的图像有什么关系？ 提示：关于 x 轴对称．
对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像与性质 a＞1 0＜a＜1
图
像
a＞1
0＜a＜1 定义域：(0，＋∞) 值域： R
图像过定点： (1,0)
性 当x＞1时，y ＞ 0， 当x＞1时，y ＜ 0， 质 当0＜x＜1时，y ＜ 0 当0＜x＜1时，y ＞ 0
增区间： (0，＋∞)
奇偶性： 非奇非偶函数
答案：B
[例2]
作出函数y＝lg|x|的图像，并由图像判断其奇
偶性，并求出f(x)>0的解集． [思路点拨] 先去掉绝对值号，画出y轴右边的图像，
再由对称性作出另一部分，最后结合图像求解集．
[精解详析]
lgx， ＝ lg－x，
f(x)＝lg|x| x>0， x<0.
又y＝lgx与y＝lg(－x)关于y轴对称，从而将函数y＝lgx (x>0)的图像对称到y轴的左侧与函数y＝lgx的图像合起来得 函数f(x)的图像，如图所示．由图知：此函数是偶函数， f(x)>0的解集为 (－∞，－1)∪(1，＋∞)．
(3)底不相同，真数也不相同的几个数，可通过特殊值来
对数函数的图像与性质
你能口答吗？
变一变还能口答吗？
log10 6 ＜ log10 8 log10 m＜ log10 n 则 m ＜ n
log0.5 6 ＞ log0.5 8 log0.5 m＞ log0.5 n 则 m ＜ n
log2 0.6 ＞ log2
0.8
log2 m ＞ log2 n 则
3
3
m ＜ n
你知道指数与对数的关系吗?
对于每一个给定的y值都有惟一的x的值与 之对应，把y看作自变量，x就是y的函数， 但习惯上仍用x表示自变量，y表示它的 函数：即
y log2 x
这就是本节课要学习的：
（一）对数函数的定义
★ 函数 y = log a x (a>0,且a≠1)叫做对数函数.
其中x是自变量，定义域是(0,＋∞)
对称性：y loga x 和 y log1 x 的图像关于y轴对称. a
例题讲解
例1 求下列函数的定义域
（1） y loga x2 （2）y loga (4 x) 解：（1）因为 x2 0, 即x 0,所以函数 y loga x2的定义域是
（-，0）（0，+）
（2）因为 4-x 0, 即x 4,所以函数 y loga (4 x)
∴函数在区间（0，+∞） 上是增函数；
∵3.4<8.5
∴ log23.4< log28.5
∴ log23.4< log28.5
• 例8：比较下列各组中，两个值的大小： • （1） log23.4与 log28.5 （2） log 0.3 1.8与 log 0.3 2.7
解2：考察函数y=log 0.3 x , ∵a=0.3< 1, ∴函数在区间（0，+∞）上是减函数； ∵1.8<2.7 ∴ log 0.3 1.8> log 0.3 2.7
对数函数的图像与性质
1 1 log 4 6 log 4 7
log6 4 log7 4
方法
当底数不相
同，真数相 同时，写成 倒数形式比 较大小
y 2
1 11
0 42
123 4 12
y log 2 x
y log 3 x
x
y log1 x
3
y log1 x
2
对数函数在第一象限越靠近y轴底数越大
例3.比较大小：
探究：对数函数:y
=
loga x
(a＞0,且a≠ y
1)
图象与性质
发现:认真观察函数 2
y log1 x
111
42
2
的图象填写下表
0 123 4 -1
x
图象特征
-2
代数表述
图象位于y轴右方
定义域 : ( 0,+∞)
与轴交点（1,0）
定点（1,0）
图象向上、向下无限延伸 值 域 : R
自左向右看图象逐渐下降 在(0,+∞)上是： 减函数
l
og3
n
，则m___n;
> > 2、log1.51.6 ______log1.51.4 4、 若 log0.7m log0.7n ， 则m___n.
例3 比较大小：
> log64
log74
解:
log6
4
1 log 4
6
log 7
4
1 log 4
7
0 log 4 1 log 4 6 log 4 7
探究：对数函数:y = loga x (a＞0,且a≠ 1) 图象与性质
探索发现:认真观察 y
函数y=log2x 的图象填写下表
对数函数的图像和性质
函数研究思路
概念 图像 性质 应用
利用列表、描点、 利用列表、描点、连线画出具 体某几个函数图像后， 体某几个函数图像后，归纳总 结得到一般这类函数图像
二 规律总结
a
y
函数y=logax (a>0且a≠1)的图像和性质 函数 且 的图像和性质
a>1
0<a<1
y
图 像
x x 定义域 (0，+∞) ， 值域 R
∴ x > 2或x < −2 ∴ y = loga ( x − 4)定义域 (−∞,−2) U (2,+∞)
2
( 2) Q x + 2 > 0 ∴ x > −2 ∴ y = log a ( x + 2)定义域 ( −2,+∞ )
例2 比较下列各题中两个数的大小 解：) Q 2 > 1 (1
(1) log25.3 , log24.7 (2)log0.27 , log0.29 (3) log3π, logπ3 (4)loga3.1 loga5.2
对数函数的图像与性质
函数y=log x和y=log 和 一 知识回顾 函数
2
的图像和性质 0.5x的图像和性质
y=log0.5x
y=log2x y y
图 像
x
定义域（ 定义域（0,+∞） ） 值域 R
x
性 质增函数ຫໍສະໝຸດ 定点（ ） 即 定点（1,0） ,即 loga1=0 0<x<1,y<0 ; x>1,y>0 0<x<1,y>0 ;x>1,y<0 减函数
小结
函数y=log (a>0且 ≠1) 函数y=logax (a>0且a≠1)的图 像和性质 函数定义域求解方法规律总结 两个数大小比较方法规律总结
对数函数图像及性质
二、对数函数的图象
用描点法画出对数函数
y = log2 x和y = log 1 x 的图象。
2
作图步骤: ①列表,
②描点, ③连线。
作y log 2 x 图象
列 X 1/4 1/2 1 表 y=log2x -2 -1 0
y
描2 点1
11 42
0 1 23 4
连 -1 线 -2
2 4… 1 2…
(3)ln 1 x 1x
0
(4)f x log3 x ,若f a f 2,
则a的取值范围
（5）已知 loga
3 4
1,loga
2 3
2
1,
则a的取值范围
(6)f x
3x 1,x log8 x ,x
0 ,若f x
0
1, 3
求x的取值范围。
(7)若函数y
f
x
的定义域为12
，2，求函数
x
在同一坐标系y 画lo出g 1 x
2
x … 1/4 1/2
列 表
y log 2
y log 1
x…
x…
2
-2 2
-1 1
y
描
2
点
1
11
42
0 1 23 4
连
-1
线
-2
图像
1 24 …
0 1 2… 0 -1 -2 …
x 这两个函 数的图象 有什么关 系呢？
关于x轴对称
探索发现:认真观察 y
函数y=log2x 的图象填写下表
高一数学必修1课件
温故而知新
对数： 一般地，如果a x N a 0, a 1
则数x 叫做a以 为底N的对数，记作
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温故知新 1.指数函数的定义：
形如y = ax(a0，且a 1)的函数叫做指数函数，其中x是自变 量 . 函数的定义域是R .
2.对数定义：ab＝N a＞0, a≠1 b＝ logaN
2.2.2 对数函数及其性质
探究一 一、对数函数的定义：
一般地,函数y = loga x(a＞0,且a≠ 1)叫做对数函数. 其中 x是自变量. 函数的定义域为（0,+∞）
.
2.函数y=log2(x2+2x+9)的定义域为
，值域为______
3.求y
(log2
x
-
2)
(log4
x
1 2
)(
2 x 8)值域为_____
思考： (1)函数f(x)=lg(ax2+2x+1)的定义域为R，则a的取值范围___
(2)函数f(x)=lg(ax2+2x+1)的值域为R时,则a的取值范围____
当 x>1 时,y>0
当 x>1 时,y<0
在(0,+∞)上
是 增 函数
在(0,+∞)上
是 减 函数
对称性 函数 y=logax 和函数 y= log1 x 的图象关于 x 轴对称 a
典例分析
题型一、对数型函数的定点、定义域和值域
1.函数y=loga(x-2)-2一定过的定点是
.
变式：
y=f(x)为对数函数，则y=f(x-2)-2一定过的定点
(7)y ln x
(8) y log(a2a)x(a为常数)
2.若函数 y log(2a1)x (a2 5a对数函数图象过点 ( 1 ， 4) ，则f(4)=_____ 16
探究二
二、对数函数:y = loga x(a＞0且a≠1)的图象与性质
在同一坐标系中，用不同颜色的笔画出对数函数 y log2 x 和 y log1 x
y log3 x
x 2345 6 7 8 9
y log1 x
3
y log 1 x
2
y
y log2 x
对数函数的性质：
2
1.恒过定点(1,0)；
1
y log3 x
2.图象恒在 y轴右侧，
x 即定义域为 (0,)；
0 12 3 4 5 6 7 8 9
-1
y log1 x
3.a 1，在(0,)上单增； 0 a 1，在(0,)上单减；
2
的图象。
x
y log2 x y log 1 x
2
x
1 11 2 4
42
y log2 x -2 -1 0 1 2 y
y log 1 x 2 1 0 -1 -2
2
在同一坐标系中，用不同颜色
的笔画出对数函数 y log3 x
2 1
01 -1
和 y log1 x 的图象。
-2
3
y log2 x
注意: 对数函数的特点： ①底数a＞0,且a≠1 ②真数为单个x ③对数的系数为1
即时训练：
1.判定下列函数哪些是对数函数
(1) y log5 x 1 (2) y 2log3 x
(3) y log（2 x-1）
(4) y log3 x2
(5)y log( 31) x (6) y log x 3
-2
3 4.a 1，x 1 y 0；
y log 1 x
0 x 1 y 0
2
0 a 1，x 1 y 0；
0 x 1 y 0
a>1
0<a<1
图象
定义域 值域
关键点 函数值 性 的变化 质 单调性
(0,+∞)
R
过定点 (1,0 ,即 x=1 时,y=0
当 0<x<1 时,y<0),
当 0<x<1 时,y>0,
形如y = ax(a0，且a 1)的函数叫做指数函数，其中x是自变 量 . 函数的定义域是R .
2.对数定义：ab＝N a＞0, a≠1 b＝ logaN
2.2.2 对数函数及其性质
探究一 一、对数函数的定义：
一般地,函数y = loga x(a＞0,且a≠ 1)叫做对数函数. 其中 x是自变量. 函数的定义域为（0,+∞）
.
2.函数y=log2(x2+2x+9)的定义域为
，值域为______
3.求y
(log2
x
-
2)
(log4
x
1 2
)(
2 x 8)值域为_____
思考： (1)函数f(x)=lg(ax2+2x+1)的定义域为R，则a的取值范围___
(2)函数f(x)=lg(ax2+2x+1)的值域为R时,则a的取值范围____
当 x>1 时,y>0
当 x>1 时,y<0
在(0,+∞)上
是 增 函数
在(0,+∞)上
是 减 函数
对称性 函数 y=logax 和函数 y= log1 x 的图象关于 x 轴对称 a
典例分析
题型一、对数型函数的定点、定义域和值域
1.函数y=loga(x-2)-2一定过的定点是
.
变式：
y=f(x)为对数函数，则y=f(x-2)-2一定过的定点
(7)y ln x
(8) y log(a2a)x(a为常数)
2.若函数 y log(2a1)x (a2 5a对数函数图象过点 ( 1 ， 4) ，则f(4)=_____ 16
探究二
二、对数函数:y = loga x(a＞0且a≠1)的图象与性质
在同一坐标系中，用不同颜色的笔画出对数函数 y log2 x 和 y log1 x
y log3 x
x 2345 6 7 8 9
y log1 x
3
y log 1 x
2
y
y log2 x
对数函数的性质：
2
1.恒过定点(1,0)；
1
y log3 x
2.图象恒在 y轴右侧，
x 即定义域为 (0,)；
0 12 3 4 5 6 7 8 9
-1
y log1 x
3.a 1，在(0,)上单增； 0 a 1，在(0,)上单减；
2
的图象。
x
y log2 x y log 1 x
2
x
1 11 2 4
42
y log2 x -2 -1 0 1 2 y
y log 1 x 2 1 0 -1 -2
2
在同一坐标系中，用不同颜色
的笔画出对数函数 y log3 x
2 1
01 -1
和 y log1 x 的图象。
-2
3
y log2 x
注意: 对数函数的特点： ①底数a＞0,且a≠1 ②真数为单个x ③对数的系数为1
即时训练：
1.判定下列函数哪些是对数函数
(1) y log5 x 1 (2) y 2log3 x
(3) y log（2 x-1）
(4) y log3 x2
(5)y log( 31) x (6) y log x 3
-2
3 4.a 1，x 1 y 0；
y log 1 x
0 x 1 y 0
2
0 a 1，x 1 y 0；
0 x 1 y 0
a>1
0<a<1
图象
定义域 值域
关键点 函数值 性 的变化 质 单调性
(0,+∞)
R
过定点 (1,0 ,即 x=1 时,y=0
当 0<x<1 时,y<0),
当 0<x<1 时,y>0,