3.1位置与坐标
北师大高中数学选择性必修第一册3.1空间直角坐标系【课件】
0，0)，C(0，4，0)，A(4，0，0)，B1(4，4，4).
∵点F是B1C的中点，
∴点F的坐标为(2，4，2).
又∵|DE|＝3|EA|，∴点E的坐标为(3，0，0).
∴|EF|＝ (－) ＋(－) ＋(－) ＝ .
通法提炼
一个点到坐标轴的距离等于该点与其在这条坐标轴上的投影间的距离，一个
点到坐标平面的距离等于该点与其在这个平面内的投影间的距离. 点到点的距
离，先求出点的坐标，再利用点到点的距离公式直接求解.
变式训练 2
求以下两点间的距离.
(1)A(1，0，－1)，B(0，1，2)；
(2)A(10，－1，6)，B(4，1，9).
1)的距离最小.
[解]
(1)设点P(x，0，0). 由题意，得|PA|＝ (－) ＋＋＝ ，
解得x＝9或x＝－3.
所以点P的坐标为(9，0，0)或(－3，0，0).
(2)由条件，可设M(x，x－1，0)，则
|MB|＝ (＋) ＋(－－) ＋(－) ＝
－
＝
(1 －2 )2 ＋(1 －2 )2 ＋(1 －2 )2 .
2. 特殊情况：空间中任意一点 P(x，y，z)与原点 O 的距离为|OP|＝
2 ＋ 2 ＋ 2 .
1. 三个坐标平面的关系是怎样的?在 xOy 平面内画平面图形时，应怎样画?
提示：三个坐标平面两两互相垂直；在xOy平面内画平面图形时，一般采用
解析：在空间直角坐标系中，点M(x，y，z)关于y轴的对称点的坐标为(－
x，y，－z)，点M(4，7，6)关于y轴的对称点的坐标为(－4，7，－6).
《平面直角坐标系》知识点大全
《平面直角坐标系》知识点大全3.1确定位置：在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据。
3.2平面直角坐标系1、有序数对：我们把这种有顺序的两个数a 与b 组成的数对叫做有序数对，即：（a,b)2、平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直、且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x 轴或横轴，习惯上取向右为正方向竖直的数轴称为y 轴或纵轴，习惯上取向上方向为正方向两坐标轴的交战为平面直角坐标系的原点3、象限：坐标轴上的点不属于任何象限第一象限：x>0，y>0;第二象限：x<0，y>0第三象限：x<0，y<0;第四象限：x>0，y<0x 轴上的点：（x ，0）y 轴上的点：（0，y ）4、距离问题：点（x ，y ）距x 轴的距离为y点（x ，y ）距y 轴的距离为x坐标轴上两点间距离：点A （x 1，0）点B （x 2，0），则AB 距离为21x x -点A （0，y 1）点B （0，y 2），则AB 距离为21y y -5、角平分线问题若点（x ，y ）在第一、三象限角平分线上，则x=y若点（x ，y ）在第二、四象限角平分线上，则x=-y6、对称问题：对称点坐标的特征：P(a，b)关于x 轴对称的点的坐标为(a,-b)；P(a，b)关于y 轴对称的点的坐标为(-a,b)；P(a，b)关于原点对称的点的坐标为(-a,-b)7、平行于坐标轴的直线上的点：平行于x 轴的直线上的点的纵坐标相同；平行于y 轴的直线上的点的横坐标相同。
8、中点坐标：点A （1x ，0）点B （2x ，0），则AB 中点坐标为（221x x +，0）。
初中数学八年级下册第3章图形与坐标3.1平面直角坐标系教学
我思 我进步
通过本节课，你有什么收获？ 你还存在哪些疑问，和同伴交流.
练习
3.如图是某动物园的部分平面示意图，试建立适当的 平面直角坐标系， 用坐标表示大门、百鸟园、大象馆、 狮子馆和猴山的位置.
解：如图，以大门所在点为原点O，在网格中以过点O
的水平直线和垂直直线分别作为x 轴，y 轴建立平面直
角坐标系.
y
由图可知大门、百鸟园、大象
馆、狮子馆和猴山的位置为：
大门（0，0），百鸟园（5，
2 O1 学校
-5-4-3-2-1 1 2 3 4 5 x -1
B电影院-2 -3
有时还可借助方向和距离（或称方 位） 来刻画两物体的相对位置.
-4 -5 C汽车站
思考
（1）如图，李亮家距学校1000 m，如何用方向和距离来
描述李亮家相对于学校的位置？（2）反过来，学校相对
于李亮家的位置怎样描述呢？
如图，以学校所在位置为原点，分别以正东、正北方向为x
轴， y 轴的正方向，建立平面直角坐标系， 规定1 个单位长
度代表100 m长. 根据题目条件，点A（5，4.5） 是书
北
y 5
A书店
4
店的位置，点B（-2.5，-3）是电影
3
院的位置， 点C（4，-6） 是汽车站 的位置. 在日常生活中， 除了用平面直角 坐标系刻画物体之间的位置关系外，
分析：如图，设H 岛所在的位置 为C，△ABC 是直角三角形， ∠CAB = 90°，利用勾股定理可 以求出BC间的距离.
解：在Rt△ABC 中， ∵ AC = 30海里， AB = 40海里，∠CAB = 90°，
BC AC2 AB2 302 402 50海里.
由于在点B处测得H岛在北偏西 53°6′的方向上， 则∠BCA = 53°6′. 故此时，渔政船在H岛南偏东53°6′ 的方向， 距H岛50海里的位置.
3.1平面直角坐标系
5 4 3 2 1 -4 -2
D B P（4，2） A x
O
-2 -4
1 2 3 4 5
结论
综上所述，
在建立了平面直角坐标系后，平面上的 点与有序实数对一一对应.
在平面直角坐标系中，两条坐标轴（即横轴和纵 轴）把平面分成如图3-3所示的Ⅰ，Ⅱ ，Ⅲ，Ⅳ四个区 域，我们把这四个区域分别称为第一，二，三，四象 限，坐标轴上的点不属于任何一个象限.
例如，李亮在教室里的座位可以简单地记作（ 4，2）.
动脑筋
怎样用有序实数对来表示平面内点的位置呢？
从李亮在教室里的座位的例子可以看到，第4组是从 横的方向来数的，第2排是从纵的方向来数的. 为了用有序实数对表示平面内的一个点，需要用两 根互相垂直的数轴: 一根叫横轴(通常称x轴)，另一根叫
纵轴(通常称y轴)，它们的交点O是这两根数轴的原点，
图3-5
解
如图3-5，先在x 轴上找到表示5的点，再在y 轴 上找出表示4 的点，过这两个点分别作x 轴，y 轴 的垂线，垂线的交点就是点A. 类似地，其他各点 的位置如图所示.点A 在第一象限，点B 在第二象 限，点C在第三象限，点D在第四象限.
图3-5
动脑筋
结合例1、例2的解答，试说出平面直角坐标系中 四个象限的点的坐标有什么特征，并填写下表：
图3-8
解 如图3-8，以学校所在位置为原点，分别以正东、 正北方向为x 轴， y 轴的正方向，建立平面直角 坐标系， 规定1 个单位长度代表100 m长. 根据题目条件，点A（5，4.5） 是书店的位置， 点B（-2.5，-3）是电影院的位置， 点C（4，-6） 是汽车站的位置.
在日常生活中， 除了用平面直角坐标系刻 画物体之间的位置关系外，有时还可借助方向
山东省峄城区底阁镇中学八年级数学上册教案：3.1确定位置
其次，在新课讲授环节，我发现同学们对于坐标平面内点与有序实数对的对应关系掌握得还不错，但在案例分析部分，有些同学对于坐标的正负意义仍然存在疑惑。这提醒我在接下来的教学中，需要更加关注这个难点的讲解，通过更多的实例和操作，帮助同学们克服这个困难。
4.培养学生的合作意识和团队精神，通过小组讨论、互助学习，提高学生在团队中的沟通与协作能力，促进共同成长。这些核心素养目标与新教材的要求相符，有助于学生全面发展。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容一：坐标平面内点与有序实数对的对应关系。重点在于使学生理解并掌握点在坐标平面上的位置与其坐标一一对应的关系。
-举例：强调点（3，2）表示在横坐标为3，纵坐标为2的位置有一个点。
-核心内容二：平面直角坐标系中点的坐标表示方法。重点在于让学生熟练掌握横坐标和纵坐标的表示方法及其意义。
-举例：通过具体的点示例，解释横坐标表示点在水平方向的位置，纵坐标表示点在垂直方向的位置。
-核心内容三：运用坐标确定物体位置的方法。重点在于教授学生如何通过给定的坐标来确定物体在平面直角坐标系中的具体位置。
1.培养学生的空间观念和几何直观，使其能够理解坐标平面内点与有序实数对的对应关系，形成对平面直角坐标系的直观认识。
2.提升学生运用数学语言进行表达的能力，通过描述点的坐标，培养学生准确、简洁地使用数学语言描述问题的素养。
3.增强学生的逻辑思维能力和问题解决能力，使学生能够运用坐标知识分析和解决实际问题，培养其数学建模和数学应用的素养。
四年级下册数学教案- 3.1 确定位置 ︳西师大版
四年级下册数学教案- 3.1 确定位置 | 西师大版一、教学目标1. 知识与技能：（1）学生能够运用上、下、左、右、前、后描述物体的相对位置。
（2）学生能够利用数对表示物体在平面图上的位置。
（3）学生能够根据方向和距离确定物体的具体位置。
2. 过程与方法：（1）通过观察、操作、描述等实践活动，培养学生空间观念和动手操作能力。
（2）通过小组合作，培养学生团队协作能力和解决问题的能力。
3. 情感、态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和求知欲。
（2）培养学生积极参与、主动探索的学习态度。
二、教学内容1. 教学重点：运用上、下、左、右、前、后描述物体的相对位置；利用数对表示物体在平面图上的位置；根据方向和距离确定物体的具体位置。
2. 教学难点：利用数对表示物体在平面图上的位置；根据方向和距离确定物体的具体位置。
三、教学过程1. 导入（5分钟）利用课件展示一组图片，引导学生观察并描述图片中物体的位置关系。
例如：小猫在小狗的左边，小鸟在小猫的右边等。
2. 探究新知（15分钟）（1）引导学生运用上、下、左、右、前、后描述图片中物体的相对位置。
（2）介绍数对的概念，引导学生利用数对表示物体在平面图上的位置。
（3）讲解如何根据方向和距离确定物体的具体位置。
3. 活动实践（15分钟）（1）学生分小组进行实践活动，运用所学知识描述教室里物体的位置关系。
（2）学生根据方向和距离，找出教室里的某个物体。
4. 巩固练习（10分钟）（1）完成教材上的练习题。
（2）教师出示一些实际问题，让学生运用所学知识解决。
5. 总结与反思（5分钟）（1）教师引导学生回顾本节课所学内容。
（2）学生分享自己的学习心得和收获。
四、作业布置1. 完成教材上的练习题。
2. 观察家里的物体，用数对表示它们的位置，并与家长分享。
五、板书设计1. 板书标题：3.1 确定位置2. 板书内容：（1）上、下、左、右、前、后描述物体的相对位置（2）数对表示物体在平面图上的位置（3）根据方向和距离确定物体的具体位置六、教学反思本节课通过观察、操作、描述等实践活动，让学生掌握了确定位置的方法。
九年级数学下册 3.1数量、位置的变化课件 苏科版
• 课标解读 • 命题分析 • 课前热身反馈 • 中考热点突破 • 课堂小结
H
1
课标解读
• 1.了解平面直角坐标系的有关概念,会画直 角坐标系,能由点的坐标确定点的位置,由点 的位置确定点的坐标;
• 2.理解常量和变量的意义,了解函数的一般 概念,会用解析法表示简单函数;
• 3.理解自变量的取值范围和函数值的意义, 会用描点法画出函数的图像.
1 x3
A.x≤2;
B.x=3;
C.x<2且x≠3;D.x ≤2且x ≠3
H
13
变式训练
• 下列函数中,自变量x的取值范围是x>2的函数是( )
A .yx2;B .y2x1;
C.y 1 ;D.y 1 ;
x2
2x1
H
14
中考热点4:图象信息题
• 例.(2008潍坊)某蓄水池的横断面示意图如 图所示,分深水区和浅水区.如果这个注满水 的蓄水池以固定的流量把水全部放出,下面 能大致表示水的深度h和放水时间t之间的图 象是( )
• (A)修车时间为15分钟;
H
20
热身训练
• 3.(2009益阳)某天小明骑自行车上学,途中 因自行车发生故障,修车耽误了一段时间后 继续骑行,按时赶到了学校.图描述了他上学 的情景,下列说法中错误的是( )
• (B)学校离家的距离为2 000米
H
21
热身训练
• 3.(2009益阳)某天小明骑自行车上学,途中 因自行车发生故障,修车耽误了一段时间后 继续骑行,按时赶到了学校.图描述了他上学 的情景,下列说法中错误的是( )
H
25
热身训练
• 6.已知△ABC的三个顶点坐标如表:
锦城一中数学(北师大版)八年级(上)第三章《位置与坐标》教材解读
北师大版八年级上册第三章《位置与坐标》教材解读金苹果锦城第一中学初2019级备课组 朱思瑾Contents01（1）内容本章的内容主要包括三大部分：第一：确定位置第二：平面直角坐标系知识结构图一次函数图形与几何空间观念ü对八年级学生而言，他们对新鲜事物特别有兴趣，因此，教学过程中，创设生动活泼、直观形象、且贴近他们生活的问题情境，会引起学生的极大关注，会有利于学生对内容的较深层次的理解。
另一方面，学生已经具备了一定的学习能力，可多为学生创造自主学习、合作交流的机会，促使他们主动参与、积极探究。
2.学生学情分析021.用有序实数对可以表示物体的位置2.用坐标刻画一个简单图形平面直角坐标系的有关概念1.能用方位角和距离刻画两个物体的相对位置2.能画出直角坐标系3.能根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标4.能建立适当直角坐标系，描述物体的位置5.以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标知识要点平面直角坐标系在直角坐标系中，位置与坐标的对应关系用坐标刻画一个简单图形建立适当坐标系，描述物体位置•能建立适当的直角坐标系，描述物体的位置，用坐标刻画一个简单图形等•结合具体情境灵活运用多种方式确定物体的位置•经历探索图形位置变化与图形坐标变化之间关系的过程•从事对现实世界中确定位置的现象进行观察、分析、抽象和概括的活动空间观念数学建模几何直观应用意识本章总体规划以3.1确定位置为例03教学重点ü平面直角坐标系的概念和点与坐标的一一对应关系；ü在平面直角坐标系中，确定点的坐标的方法；ü图形变换与坐标变换之间的关系教学难点ü建立适当的平面直角坐标系描述物体的位置ü用坐标表示图形的变换以及到坐标轴的距离BC D1课时3课时1课时2课时平面直角坐标系的概念，坐标系中的点的表示方法，一一对应关系建立适当的平面直角坐标系，解决简单的几何问题熟练掌握由坐标找点和由点写坐标，特殊点的坐标特征，到坐标轴的距离相关知识拓展和升华A04数学应用意识2.具体方法： （1）以现实情境为依据，发展应用意识（2）创设丰富的现实情境（3）以轴对称变换为主线，突出数形结合思想能力（4）通过坐标变换，感受数学的美（5）以探究活动为主线，增强应用意识（教材P196） （教材P194） （教材P65）051.深度挖掘教材资源，用好教材的材料、例题、习题本章教材资源丰富，教材有很多的素材可以选用，比如与实际生活的联系，这些材料应该整合进每一课时的学习之中。
初中数学八年级上册第三章位置与坐标教案 北师大版
第三章位置与坐标1 确定位置1．在现实情境中感受物体定位的多种方法．2．能较灵活地运用不同的方式对物体定位．3．了解在平面上确定物体位置的方法的统一性：都需要两个数据．重点根据行和列确定并描述物体的位置．难点用坐标的思想表示点的位置．一、情境导入课件出示教材第54页“议一议”上面的主题图．(1)在电影院内如何找到电影票上所指的位置？(2)在电影票上，“3排6座”与“6排3座”中的“6”的含义有什么不同？师：如果将“3排6座”记作(3，6)，那么“6排3座”如何表示？(5，6)表示什么含义？二、探究新知确定位置．课件出示教材第54页例题．结论：生活中常常用“方位角”和“距离”来确定位置．三、举例分析1．课件出示教材第55页“做一做”第(1)小题．结论：生活中常常用“经度”和“纬度”来确定位置．2．课件出示教材第55页“做一做”第(2)小题．3．课件出示教材第55页“议一议”．结论：在平面内，确定一个物体的位置一般需要2个数据．若设这两个数据分别为a 和b，则：a表示：排数、行数、经度、方位……b表示：座数、列数、纬度、距离……拓展：确定平面上的点的位置方法很多，不管采用哪种方法，都需要两个量，特别是用数对表示位置时，应该注意数是有顺序的，顺序不同表示点的位置就不同．四、练习巩固教材第56页“随堂练习”第 1～2题．五、小结1．在现实情境中感受了确定物体位置的多种方式，并能灵活运用不同方式确定物体的位置．2．在数轴上，确定一个点的位置一般需要一个数据．在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据.若设这两个数据分别为a和b，则：a表示：排数、行数、经度、方位……b表示：座数、列数、纬度、距离……六、课外作业教材第57页习题3.1第1～3题．本节内容与现实生活联系紧密，学生在生活中经常能遇到相关的知识，因此在教学时尽量让学生参与进来．学生在亲身体验中学习知识，加深印象，并培养认真的学习态度．要让学生学习时有条理地思考和表达，在确定位置的活动中，学生不仅自己要明白物体的位置，而且要能有条理地向别人表述．这种表达可以反映学生的表达水平、有关知识的掌握程度和空间观念.2 平面直角坐标系第1课时平面直角坐标系的概念1．理解平面直角坐标系以及横轴、纵轴、原点、坐标等概念．2．能在方格纸上画出平面直角坐标系．3．初步理解坐标平面内点与有序实数对的一一对应关系，并能熟练地由点的位置写出它的坐标．重点在平面直角坐标系中，根据位置写出给定点的坐标，以及根据坐标描出点的位置．难点理解坐标和平面上的点的一一对应的关系，体会数形结合思想．一、情境导入师：同学们，你们喜欢旅游吗？假如你到了某一个城市旅游，那么你应怎样确定旅游景点的位置呢？课件出示教材第58页图3－4及相关问题．分组讨论后，指名回答．由于学生所选的方法不同，答案可能出现多种，只要合理教师应给予肯定．师：在上一节课中，我们已经学会了许多确定位置的方法，今天我们来研究另外一种表示位置的方法——平面直角坐标系．二、探究新知平面直角坐标系．课件出示教材第58页“做一做”．师：原点位置不同，点的位置也不同，刚才图3－6所建立的就是这节课我们要学习的平面直角坐标系．在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系．通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向．水平的数轴叫做x轴或横轴，铅直的数轴叫做y轴或纵轴，x轴和y轴统称坐标轴，它们的公共原点 O 称为直角坐标系的原点．建立了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一组有序实数对来表示了．如图①，对于平面内任意一点 P，过点 P 分别向x轴、y 轴作垂线，垂足在x轴、y 轴上对应的数 a，b 分别叫做点 P 的横坐标、纵坐标，有序数对(a，b)叫做点 P 的坐标.如图②，在平面直角坐标系中，两条坐标轴将坐标平面分成了四部分，右上方的部分叫做第一象限，其他三部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限．坐标轴上的点不在任何一个象限内．三、举例分析1．课件出示教材第59页例1.让学生抢答出点A，B，C，D，E，F的坐标．2．课件出示教材第60页“做一做”．结论：在直角坐标系中，对于平面上的任意一点，都有唯一的一个有序实数对(即点的坐标)与它对应；反过来，对于任意一个有序实数对，都有平面上唯一的一点与它对应．四、练习巩固教材第60页“随堂练习”．五、小结在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系．通常两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向．水平的数轴叫做x轴或横轴．铅直的数轴叫做y轴或纵轴．x轴和y轴统称坐标轴．它们的公共原点O称为直角坐标系的原点．如图所示，两坐标轴把平面分成四个部分，右上方的部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限．六、课外作业教材第61～62页习题3.2 第1～4题．本节课在上一节课的基础之上引入平面直角坐标系的概念，探究点和有序实数对的关系．学生在观察中总结出点的坐标与点在坐标系中的位置的关系，得出在直角坐标系中，对于平面上的任意一点，都有唯一的一个有序实数对(即点的坐标)与它对应；反过来，对于任意一个有序实数对，都有平面上唯一的一点与它对应．总之，结论的得出都是以问题为载体，通过学生观察、思考得出来的规律性的知识．第2课时根据坐标描点和建立坐标系1．知道在坐标轴上的点以及与坐标轴平行的直线上点的坐标的特征；知道不同象限内点的坐标的特征．2．能结合所给图形的特点，建立适当的坐标系，写出点的坐标．3．能根据一些特殊点的坐标复原坐标系．4．经历画坐标系、描点、连线、看图以及由点找坐标等过程，进一步体会平面直角坐标系中点与坐标之间的对应关系，发展数形结合意识．重点认识坐标轴上的点和各象限内点的坐标特征．难点根据一些特殊点的坐标复原坐标系．一、复习导入师：上节课我们学习了平面直角坐标系，请同学们在方格纸上建立一个平面直角坐标系，在建立坐标系时要注意哪些问题？生：应注意标明正方向即箭头，标明x轴和y轴，还应标明单位长度．师：在你所建的坐标系中标出象限，思考每个象限具有怎样的特点．并指出下列各点所在的象限或坐标轴：A(－1，－2.5)，B(3，－4)，C(－1，1)，D(3，6)，E(－2.3，0)，F(0，－1)，G(0，0)．生：A点在第三象限，B点在第四象限，C点在第二象限，D点在第一象限，E点在x轴上，F点在y轴上，G点在坐标原点上．二、探究新知1．坐标轴上点的特征．(1)课件出示教材第62页例2.学生讨论、交流，独立完成．在学生解答时，教师巡视，发现学生出现的错误，集中讲评，让学生在坐标轴上再任意取几点．(2)课件出示教材第63页“议一议”．结论：坐标轴上的点的坐标中至少有一个是0，即横轴上的点的纵坐标是0，纵轴上的点的横坐标是0.2．象限内点的特征．课件出示教材第63页“做一做”．解：(1)第一象限内的点的坐标有：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(5，2)等，它们的横坐标与纵坐标都是正实数．(2)第二象限内的点的坐标有：(－1，1)，(－1，2)，(－2，1)，(－2，2)，(－2，3)，(－5，2)等，它们的横坐标是负实数，纵坐标是正实数．第三象限内的点的坐标有：(－1，－1)，(－3，－3)等，它们的横坐标与纵坐标都是负实数．第四象限内的点的坐标有：(1，－1)，(3，－3)等，它们的横坐标是正实数，纵坐标是负实数．(3)点A(1，2)在第一象限，点B(－1，－3)在第三象限，点C(2，－1)在第四象限，点D(－3，4)在第二象限．师：各个象限内的点的坐标特征是怎样的？生：第一象限(＋，＋)，第二象限(－，＋)，第三象限(－，－)，第四象限(＋，－)．拓展：根据点的坐标符号的情况可以确定点的位置；反之，也可以根据点的位置确定点的符号情况．坐标轴上的点不属于任何象限．3．平面直角坐标系的建立．(1)课件出示教材第65页例3.师：在没有直角坐标系的情况下不能写出各个顶点的坐标，所以应先建立直角坐标系，那么应如何建立直角坐标系呢？请大家思考．生1：如图所示，以点C为坐标原点，分别以CD，CB所在直线为x轴、y轴，建立直角坐标系．由CD的长为6，CB长为4，可得A，B，C，D的坐标分别为A(6，4)，B(0，4)，C(0，0)，D(6，0)．生2：如图所示，以点D为坐标原点，分别以CD，AD所在直线为x轴、y轴，建立直角坐标系．师：这两位同学建立坐标系的方式都是以矩形的某一个顶点为坐标原点，矩形的相邻两边所在直线分别作为x轴、y轴，建立直角坐标系的．这样建立直角坐标系的方式还有两种，即分别以A，B为原点，矩形两邻边所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系．除此之外，还有其他方式吗？生1：有，如图所示，以矩形的中心(即对角线的交点)为坐标原点，平行于矩形相邻两边的直线为x轴、y轴建立直角坐标系，则A，B，C，D的坐标分别为A(3，2)，B(－3，2)，C(－3，－2)，D(3，－2)．生2：把上图中的x轴逐渐向上或向下移动，y轴向左或向右移动，则可得到不同的坐标系，从而得到A，B，C，D四点的不同坐标．师：从刚才我们讨论的情况看，大家能发现什么？生：建立直角坐标系有多种方法．(2)课件出示教材第65页例4.师：等边三角形的边长已经确定是4，它一边上的高是不是会因所处位置的不同而发生变化呢？生：不会，只是位置变化，而长度不会变．师：除了上面的直角坐标系的建立方法外，是否还有其他的建立方法？你认为怎样建立适合的直角坐标系？注意：确定坐标系时，要看点的位置，同时要看此点到坐标轴的距离，而距离往往需要进行计算．(3)课件出示教材第65页“议一议”．师：同学们，既然我们已经学会建立平面直角坐标系来确定点的位置了，那么下面我们一起去“寻宝”吧！学生分组讨论如何找到宝藏．让每组选一名代表发言，阐述本组讨论的结果．师生共同完成“寻宝”．三、练习巩固1．教材第63页“随堂练习”．2．教材第66页“随堂练习”．四、小结建立直角坐标系有多种方法，不同的坐标系，对于同一个图形，点的坐标是不同的．五、课外作业1．教材第64页习题3.3 第1～4题．2．教材第66页习题3.4 第1～4题．例题的设计是这节课的一个亮点，通过自主探究平面直角坐标系的建立方法，学生认识到平面直角坐标系的用途和建立平面直角坐标系需要注意的地方；也认识到不同的平面直角坐标系，对同一个图形、同一个顶点用不同坐标来表示.3 轴对称与坐标变化1．经历图形坐标变化与图形轴对称之间关系的探索过程，发展形象思维能力和数形结合意识．2．将图形的坐标变化与图形的轴对称自然地结合在一起，并用自己的语言加以描述．3．通过对图形的研究，激发学生对数学学习的好奇心与求知欲，使学生积极参与数学学习活动．重点图形坐标变化与图形轴对称之间的关系．难点由坐标的变化探索新旧图形之间的变化过程，发展形象思维能力和数形结合意识．一、情境导入课件出示：师：如图所示的是小刚的脸，如果用(－1，2)表示他的左眼，用(0，0)表示嘴，那么右眼的位置应如何表示？二、探究新知关于坐标轴对称的点的坐标规律．(1)课件出示题目：在如图所示的平面直角坐标系中，第一、二象限内各有一面小旗．师：观察图形并思考：①两面小旗之间有怎样的位置关系？对应点A与A1的坐标又有什么特点？其他对应点的坐标也有这个特点吗？揭示规律：两面小旗各对对应点的横坐标互为相反数，纵坐标相同．②在这个坐标系里画出小旗ABCD关于x轴的对称图形，它的各个“顶点”的坐标与原来的各对应点的坐标有什么关系？揭示规律：两面小旗各对对应点的横坐标相同，纵坐标互为相反数．(2)课件出示教材第68页例题．学生小组合作交流，教师引导学生通过动手画图得到上述问题的结论．师：横坐标保持不变，纵坐标分别乘－1，再将所得的点用线段依次连接起来，所得的图案与原来的图案相比有什么变化？生：横坐标保持不变，纵坐标分别乘－1，所得各点的坐标依次是(0，0)，(5，－4)，(3，0)，(5，－1)，(5，1)，(3，0)，(4，2)，(0，0)，依次连接这些点，观察所得的图案，它与原图案关于x轴对称．(3)课件出示教材第69页“议一议”．总结：关于x轴对称的两个点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数．关于y轴对称的两个点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标相同．三、练习巩固教材第69页习题3.5第2题．四、小结1．关于y轴对称的两个图形上点的坐标特征：(x，y)——(－x，y)．2．关于x轴对称的两个图形上点的坐标特征：(x，y)——(x，－y)．五、课外作业1．教材第69～70页习题3.5 第1，3，4题．2．教材第72页复习题第13题．通过本节课的学习，经历坐标变化与图形的轴对称变换之间的关系的探索过程， 掌握空间与图形的基础知识和基本技能，丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维，激发学生对数学学习的好奇心与求知欲．学生能积极参与数学学习活动，积极交流合作，体验数学活动充满着探索与创造性．第三章检测题(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．(聊城中考)在平面直角坐标系中，点M(－3，4)在( B )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．八(2)班有45人参加学校运动会的入场式，队伍共9排5列，如果用(2，4)表示第2排从左到右第4列站着的同学，那么站在队伍最中间的点表示为( D )A ．(15，4)B ．(2，3)C ．(3，0)D ．(5，3)3．若点A (m ，n )在第三象限，则点B (－m ，n )在( D )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．(湘潭中考)如图，点A 的坐标(－1，2)，点A 关于y 轴的对称点的坐标为( A )A ．(1，2)B ．(－1，－2)C ．(1，－2)D ．(2，－1)第4题图 第8题图 第9题图5．如果M (m ＋3，2m ＋4)在y 轴上，那么点M 的坐标是( B )A ．(－2，0)B ．(0，－2)C ．(1，0)D ．(0，1)6．(贵港中考)若点A (1＋m ，1－n )与点B (－3，2)关于y 轴对称，则m ＋n 的值是( D )A ．－5B ．－3C ．3D ．17．如果P 点的坐标为(a ，b )，它关于y 轴的对称点为P 1，P 1关于x 轴的对称点为P 2，已知P 2的坐标为(－2，3)，则点P 的坐标为( B )A ．(－2，－3)B ．(2，－3)C ．(－2，3)D ．(2，3)8．如图，小明从点O 出发，先向西走40米，再向南走30米到达点E ，如果点E 的位置用(－40，－30)表示，那么(10，20)表示的位置是( B )A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D9．如图，在平面直角坐标系中，以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P .若点P 的坐标为(2a ，b ＋1)，则a 与b 的数量关系为( B )A ．a ＝bB ．2a ＋b ＝－1C ．2a －b ＝1D ．2a ＋b ＝110. 已知A (a ，0)和B 点(0，10)两点，且AB 与坐标轴围成的三角形的面积等于20，则a 的值为( D )A ．2B ．4C ．0或4D ．4或－4二、填空题(每小题3分，共15分)11．(2019·泸州)在平面直角坐标系中，点M (a ，b )与点N (3，－1)关于x 轴对称，则a ＋b 的值是4．12．如图，如果所在的位置坐标为(－1，－2)，所在的位置坐标为(2，－2)，则所在的位置坐标为__(－3，3)__.第12题图 第14题图13．已知点A (4，3)，AB ∥y 轴，且AB ＝3，则B 点的坐标为__(4，0)或(4，6)__.14．如图，正方形A 1A 2A 3A 4，A 5A 6A 7A 8，A 9A 10A 11A 12，…(每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向，依次记为A 1，A 2，A 3，A 4；A 5，A 6，A 7，A 8；A 9，A 10，A 11，A 12；…)的中心均在坐标原点O ，各边均与x 轴或y 轴平行，若它们的边长依次是2，4，6…，则顶点A 20的坐标为__(5，－5)__.15．(湘潭中考)阅读材料：设a → ＝(x 1，y 1)，b → ＝(x 2，y 2)，如果a → ※b → ，则x 1·y 2＝x 2·y 1.根据该材料填空：已知a → ＝(2，3)，b → ＝(4，m )，且a → ※b → ，则m ＝__6__.三、解答题(共75分)16．(8分)有一张图纸被损坏，但上面有如图所示的两个标志点A (－3，1)，B (－3，－3)可见，而主要建筑C (3，2)破损，请通过建立直角坐标系找到图中建筑C 的位置．解：如图：17．(9分)图中标明了小强家附近的一些地方．(1)写出公园、游乐场和学校的坐标；(2)早晨，小强从家里出发，沿(－3，－1)，(－1，－2)，(0，－1)，(2，－2)，(1，0)，(1，3)，(－1，2)路线转了一下，又回到家里，写出他路上经过的地方．解：(1)公园(3，－1)，游乐场(3，2)，学校(1，3) (2)邮局——移动通讯——幼儿园——消防队——火车站——学校——糖果店18．(9分)如图，分别说明：△ABC从①→②，再从②→③…一直到⑤，它的横、纵坐标依次是如何变化的？解：①→②纵坐标不变，横坐标都加1 ②→③横坐标不变，纵坐标都加1 ③→④横、纵坐标都乘以－1 ④→⑤横坐标不变，纵坐标都乘以－119．(9分)已知点A(a－3，a2－4)，求分别满足下列条件的a及点A的坐标：(1)当点A在x轴上；(2)当点A在y轴上；(3)已知点B(2，5)，且AB∥x轴．解：(1)因为点A(a－3，a2－4)在x轴上，所以a2－4＝0，所以a＝±2.点A的坐标为(－1，0)或(－5，0)(2)因为点A在y轴上，所以a－3＝0，所以a＝3，点A的坐标为(0，5)(3)因为AB∥x轴，所以a2－4＝5，且a－3≠2，所以a＝±3.故当a＝±3时，点A的坐标为(0，5)或(－6，5)20．(9分)如图，在平面直角坐标系中有A，B，C三点．(1)写出A，B，C三点坐标；(2)画出△ABC关于x轴对称图形△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标；(3)在图中描出D(2，4)，E(3，1)，F(1，3)，观察△DEF与△ABC有什么关系？(4)如果三角形ABC中任意一点M的坐标为(x，y)，那么它关于y轴对称的点N的坐标是什么？解：(1)A(－2，4)，B(－3，1)，C(－1，3)(2)图略，A1(－2，－4)，B1(－3，－1)，C1(－1，－3)(3)△DEF与△ABC关于y轴对称(4)N(－x，y)21．(10分)如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A 在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝10，OC＝8.在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D，E两点的坐标.解：由题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，在Rt△ABE中，AE＝AO＝10，AB ＝8，BE＝AE2－AB2＝102－82＝6，所以CE＝4，所以E(4，8).在Rt△DCE中，DC2＋CE2＝DE2，又因为DE＝OD，所以(8－OD)2＋42＝OD2，解得OD＝5，所以D(0，5)22．(10分)如图，在平面直角坐标系中有三点A(－2，1)，B(3，1)，C(2，3).(1)在平面直角坐标系内描出点A，B，C的位置，并将各点用线段依次连接起来；(2)求出以A，B，C三点为顶点的三角形的面积；(3)在y轴上是否存在点P，使以A，B，P三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)图略(2)依题意，得AB ∥x 轴，且AB ＝3－(－2)＝5，所以S △ABC ＝12×5×2＝5 (3)存在．因为AB ＝5，S △ABP ＝10，所以P 点到AB 的距离为4.又因为点P 在y 轴上，所以点P 的坐标为(0，5)或(0，－3)23．(11分)如图，在平面直角坐标系中，直线l 是第一、三象限的角平分线． 实验与探究：(1)由图观察可知点A (0，2)与点A 1(2，0)关于直线l 对称，请你在图中标明点B (3，5)，C (3，－5)，D (－3，－5)，E (－5，0)关于直线l 的对称点B 1，C 1，D 1，E 1的位置，并写出它们的坐标；归纳与发现：(2)结合图形并观察以上五组点的坐标，你会发现：坐标平面内任意一点P (a ，b )关于直线l 的对称点P 1的坐标为__(b ，a )__；拓展与应用：(3)若点M (4，2＋5y )与点N (－3，3x ＋1)关于第一、三象限的角平分线对称，求点(x ，y )的坐标.解：(1)B 1(5，3)，C 1(－5，3)，D 1(－5，－3)，E 1(0，－5)(2)(b ，a )(3)根据任意一点P (a ，b )关于直线y ＝x 的对称点P 1的坐标为 (b ，a )可知，2＋5y ＝－3，3x ＋1＝4，解得x ＝1，y ＝－1，所以点(x ，y )的坐标为(1，－1)。
3.1确定位置(教案)
本节课旨在培养学生的空间观念和解决问题的能力，让学生在实际情境中感受数学的实用价值。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生的空间观念和几何直观能力，通过坐标平面内点的位置表示，使学生能够直观理解点、线、面之间的关系。
3.1确定位置（教案）
一、教学内容
本节课选自《数学》七年级上册，章节为3.1“确定位置”。教学内容主要包括：坐标平面内点的位置表示方法，利用数对表示物体位置，以及根据方向和距离确定物体位置。具体内容包括：
1.理解坐标平面，学习如何用数对表示点在平面上的位置。
2.通过实例，掌握如何根据方向（如上、下、左、右）和距离确定物体位置。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调数对的概念和如何根据方向、距离确定物体位置这两个重点。对于难点部分，我会通过实物演示和实际案例来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与确定位置相关的实际问题，如如何在地图上找到指定地点。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。如在教室里，让学生根据给定的方向和距离找到某个同学的位置。
举例：如果点A向东移动5个单位，再向北移动3个单位，那么点A的新位置可以用数对表示为（原横坐标+5，原纵坐标+3）。
（3）实际应用：结合生活情境，让学生学会将实际问题转化为数学模型，并解决问题。
举例：在地图上，如何根据给定的方向和距离找到某个地点的实际位置。
2.教学难点
（1）数对的理解与应用：对于一些学生来说，数对的概念可能较难理解，特别是如何将现实中的位置转化为数对表示。
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)
E F 大北门 G
A.D 7,E 6 C.E7,D 6
B.D6,E7 D.E6,D 7
关闭
C
答案
10
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互动课堂理解 1
轻松尝试应用 2 3 4
3.如图,这是小明家与周围地区的行走路线示意图,对小明家来说:
(1)北偏东 30° 的方向上有
个地方 ,分别是
4
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1.用有序数对确定位置 【例 1】 下面是某学校一角的平面示意图,若校门的位置用(3,0) 来表示,则图书馆、教学楼、会议室、旗杆的位置如何表示?
分析:由题意可知 ,校门用 (3,0)表示 ,即第一个数字为列数,第二 个数字为行数 ,由此易写出其他地点的位置表示. 解:图书馆(1,1);教学楼 (5,2);会议室(5,4);旗杆 (2,4). 点拨:一个点可以用一对有序实数来确定,但要注意顺序 ,也可用 一个角度和一个距离来表示,可以自己试试 .
第三章
位置与坐标
1
确定位置
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学前温故
新课早知
1.画一条水平 直线 ,在直线上取一点 O 表示 0(叫 原点 做 ),选取某一长度作为 单位长度 ,规定直线上向右的 方向为 正方向 ,就得到数轴. 2.任何一个
实数
都可以用数轴上的一个点来表示.
3
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5
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2.用“方位+距离”确定位置 【例 2】 如图所示是某学校周边环境示意图,对于学校来说: (1)正东方向上有哪些设施 ?要明确这些设施相对于学校的位置, 还需要哪些数据? (2)离学校最近的设施是什么?在学校的哪个方向上?这一方向 上还有其他设施吗?
6
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.
(2)要想确定照相馆的位置,还需要 个数据 . (3)要确定小明家附近的各点的位置,各需要 个数据,分别 是
(1)两 超市、照相馆 (2)一
.
关闭
(3)两
方位角和距离
答案
11
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4.如图,点 A 是某部队的一处沿海哨所,点 B 为一艘不明船只,请描述 点 B 的位置.
7
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解:(1)有体训基地、网球场;还需要这些设施到学校的距离. (2)经过观察 ,炮台、百花苑离学校都比较近,又经过进一步测量, 可确定百花苑离学校最近,在学校的南偏西 30° 方向上 .这一方向上 还有黄海饭店. (3)方位角和距离. 点拨:“方位角+距离 ”是确定位置的一种重要方法.
8
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1.若第二列第一行用数对(2,1)表示,则数对(3,6)和(7,6)表示的位置是 ( ) B.同一列 D.不同行不同列 A.同一行 C.同行同列
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A
答案
9
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2.下面是某人所画的沈阳市“简图”的一部分,图中“故宫”和“鼓楼” 所在地分别可表示为(
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学前温故
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1.在平面内,确定一个物体的位置一般需要 两个 2.下列数据不能确定物体位置的是( B )
数据.
A.3 楼 5 号 B.北偏西 40° C.解放路 30 号 D.东经 120° ,北纬 30° 3.确定物体的位置的主要方法有:① 用两个有序实数对表示 , 例如:电影院中座位的确定;② 用方位角和距离表示 ,例如:在海上 行船时,船与某岛的位置;③ 经纬度定位法 ,例如:在地球仪上 确定某个城市的位置;④ 区域定位法 ,例如:市区简图中的住宅 或场所等.
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点 B 的位置可以有两种表示方法:第一种:(3,3);第二 种:∠BAC=45° ,AB=3 2.
答案
12
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(3)要确定京山相对于学校的位置,需要哪些数据 ? 某校周边环境示意图
分析:首先要以 “学校 ”为中心 ;其次在说 “方向角 ”时 ,一定要表 达清楚 ,如 “西偏南 60° ”或 “南偏西 30° ”,不能只笼统地说 60° 或 30° ; 再次在表达 “距离 ”时 ,一定要仔细测量 ,力求数据较为准确 .