2016-2017年上海市普陀区曹杨二中高二(上)期中数学试卷及参考答案
2016-2017高二下期中数学卷-曹杨二中(含答案)
2016 学 曹杨二中高二 级第二学期期中数学试卷2017.4一、填空题1.复数 z 满足(z − 3)(2 − =i ) 5，则 z = ____________.x = 5 − t cos40°(t ∈R)的倾斜角是____________.2.直线y = t sin50°3.复数 z(z −2)2 +8i 均为纯虚数.则 z = ____________.4.点 P x y ( , )是椭圆 x2 + y 2 =1的一个动点，则 x + 2y 的最大值为____________.4 35.实数 z 满足z − + =3i 5 ，则 z = ____________.6.若直线 y = +kx 1(k ∈R )双曲线 x 2 − =y 2 2 有且仅有一个公共点，则k = ____________.7.已知复数 z 在复 面 对应的点在曲线 y =2运动，则 z 的最小值是____________.x8.曲线x x + y = b 有公共点，则实数b 的取值范围是____________.9.动圆 定圆x 2 + + − =y 24x 320 内 且过定圆内一点A (2,0)，则动圆圆心的轨迹方程为____________.10.已知双曲线 x 2− y 2=1，直线l 过其左焦点F 1，交双曲线左支于A B , 两点，且 AB = 4，F 2 为双曲线的右焦点，m 7∆ABF 2 的周长为 20 ，则实数m 的值为____________.x 22 2y 2(a > 0)的动点，点 F 的坐标为(−2,0)，若满足 AF =10 的点 A 有且仅有两个，则实 11.设 A是椭圆 +=1 a a − 4数a 的取值范围为____________.12.抛物线y 2 = 2x 的焦点为 F ，过点 M)的直线抛物线相交于A B , 两点， 抛物线的准线相交于C ，其中 AS ∆BCF = ____________. 在第一象限， B 在第四象限，C 在第 象限， BF = 2，则∆BCF ∆ACF 的面 之比S∆ACF二、选择题13.设 z ∈C 且 z ≠ 0 ， z 是纯虚数 是 z 2 ∈R 的A .充 非必要条件B .必要非充 条件C .充要条件D . 既 充必要条件14.若曲线C 1 : x 2 + y 2 − 2x = 0曲线C 2 : y y ( − mx − m )= 0 有四个 同的交点，则实数m 的取值范围是33A .B .,00,3 3 C .D . ,− 3 3 ,3 315.复数 z = m + i(m ∈R )在复 面 对应的点 可能位于3 33333 ,1− iA .第一象限内B .第二象限内C .第 象限内D . 第四象限内16.已知曲线 y = x 2 − 7 存在关于直线 x + y = 0 对 的两点A B , ，则 AB 等于A . 5B C . 6D 、解答题17 已知 A (1,2 ,) B a ( ,1 ,) C (2,3 ,) D (−1,b )(a b , ∈R ) 是复 面的四点，且向 AB CD , 对应的复数 别是 z z 1, 2 . 1若 z 1 + = −z 21 2i ，求 z z 1 2；z 12若 z 1 + z 2 为纯虚数， z 1 − z 2 为实数，求 的值.218.已知复数 z 1 = 2cos θ+ i ⋅sin θ, z 2 =1− i θ)，其中i 是虚数单位，θ∈R .1当cos θ=3时，求 z z 1 2 ；32当θ为何值时， z 1 = z 2 .19.已知关于t 的一元二方程t2 + (2 + i t) + 2xy + (x −y i) = 0(x y, ∈R)有实根.1求点(x y, )的轨迹方程；2求方程的实根的取值范围.20.斜率为k 的直线l 过P(−2,0) ，且抛物线y2 = 4x交于同的两点A B, . 1试确定k 的取值范围；2若以AB 为直径的圆过抛物线焦点，求直线l 的方程；3当AP = − PB 时，求线段AB 的长度.21.设双曲线Γ的方程为x2 −y2 =1，过其右焦点F 且斜率为零的直线l1 双曲线交于A B, 两点，直线l2 的方程为3x = t ，A B, 在直线l2 的射影别为C D, .1当l1 垂直于x 轴，t =−2 时，求四边形ABDC 的面；AC ⋅FB2当t = 0 ，l1 的斜率为实数，A 在第一象限，B 在第四象限时，试比较和1的大小，并说明理由.BD ⋅F A3是否存在实数t ∈ −( 1,1)，使得对满足题意的任意直线l 1 ，直线 AD 和直线 BC 的交点总在 x 轴 ，若存在，求出所有的t 的值和 时直线 ADBC 交点的位置；若 存在，说明理由.参考答案一、填空题1.5+i2.3.−2i4.45.3 ± 2 66.±1,± 26 7.28.−2,2 2x 2y 2(8,12)12.9. + =1 10.9 11. 9 5二、选择题13. A14. B、解答题 15. D16. B 17.1 − −13 i ；ikk Z19. 1x 2 + y 2 − 2x + 2y = 0； 2[−4,0]20. 1 k 22 ,0 0, 22 ； 2 y = ± 2 1717 (x − 2)； 3AB = 4 223AC ⋅ FB1 21. 124； 2 =1； 3 t = −⋅F 2。
【高二】2016-2017年上海市曹杨二中高二上期中
曹杨二中高二期中考数学卷2016.11一. 填空题1.三个平面最多把空间分成个部分2.两条异面直线所成角的取值范围是3.给出以下命题“已知点A 、B 都在直线l 上，若A 、B 都在平面α上，则直线l 在平面α上”，试用符号语言表述这个命题4.设E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则四边形EFGH 的形状一定是5.设点A ∈平面α，点B ∈平面β，l αβ=，且点A ∉直线l ，点B ∉直线l ，则直线l 与过A 、B两点的直线的位置关系6.数列{}n a 中，设n S 是它的前n 项和，若2log (1)1n S n +=+，则数列{}n a 的通项公式n a =7.设a 、b 是两个不相等的正数，若11lim 2n n n nn a b a b ++→∞-=+，则b 的取值范围是 8.计算1981891899189991899991n -++++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=个9.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则点1C 到直线BD 的距离为10.我们把b 除a 的余数r 记为mod r a b =，例如49mod5=，如图所示，若输入209a =，77b =，则循环体“mod r a b ←”被执行了次11.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =12.若三数a 、1、c 成等差数列，且2a 、1、2c 成等比数列，则22lim()n n a c a c →∞+=+13.在学习公理四“平行于同一条直线的两条直线平行”时，有同学进行类比，提出了下列命题：① 平行于同一平面的两个不同平面互相平行；② 平行于同一直线的两个不同平面互 相平行；③ 垂直于同一直线的两个不同平面互相平行；④ 垂直于同一平面的两个不同平面 互相平行；其中正确的有14.在n 行n 列矩阵12321234113451212321n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅--⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅- ⎪⎪⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅---⎝⎭中，若记位于第i 行第j 列的 数为ij a (,1,2,,)i j n =⋅⋅⋅，则当9n =时，表中所有满足2i j <的ij a 的和为二. 选择题15.已知右图是计算111124620S =+++⋅⋅⋅+的值的一 个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ） A. 10i > B. 10i <C. 20i > D. 20i <16.下列命题中，正确的共有（ ）①因为直线是无限的，所以平面内的一条直线就可以延伸到平面外去；②两个平面有时只相交于一个公共点；③分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上；④一条直线与三角形的两边都相交，则这条直线必在三角形所在的平面内；A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个17.从21k +()k N ∈开始，连续21k +个自然数的和等于（ ）A.3(1)k +B. 33(1)k k ++C. 33(1)k k -+ D. 3(21)(1)k k ++ 18.已知方程组239246x y z x y z k x y z -+=⎧⎪+-=⎨⎪-++=⎩的解中，1y =-，则k 的值为（） A. 3B. 3-C. 1D. 1- 三. 解答题19.解关于x 、y 的方程组(1)2024160x m y m mx y +++-=⎧⎨++=⎩，并对解的情况进行讨论；20.如图，A 是△BCD 所在平面外一点，M 、N 为△ABC 和△ACD 重心，6BD =；（1）求MN 的长；（2）若A 、C 的位置发生变化，MN 的位置和长度会改变吗？21.已知长方体ABCD A B C D ''''-中，4AB =，3AD =，2AA '=；（1）求出异面直线AC '和BD 所成角的余弦值；（2）找出AC '与平面D DBB ''的交点，并说明理由；22.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：(1)1n n a S a a =--(a 为常数，且0a ≠，1)a ≠； （1）求{}n a 的通项公式；（2）设21n n nS b a =+，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值； （3）若数列{}n b 是（2）中的等比数列，数列(1)n n c n b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T ；23.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则称{}n a 是“H 数列”； （1）若数列{}n a 的前n 项和2n n S =，*n N ∈，{}n a 是否是“H 数列”，说明理由；（2）设{}n a 是等差数列，其首项11a =，公差0d <，若{}n a 是“H 数列”，求d 的值；（3）证明：对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“H 数列”{}n b 和{}n c ，使得n n n a b c =+ *()n N ∈成立；参考答案一. 填空题1.82.(0,]2π3.已知A l ∈，B l ∈，若A α∈，B α∈，则l α⊆4.平行四边形5.异面6. 3,12,2n n n a n =⎧=⎨≥⎩7.02b <<8. 110910n n +-- 9. 210.411. 1n -12.0或113. ①③ 14.88二. 选择题15.A16.C 17.B 18.B三. 解答题19.略；20.（1）2；（2）位置改变，长度不改变；21.（1）145；（2）略； 22.（1）n a ；（2）13；（3）3n n b =，错位相减，1239344n n n T +-=⋅+； 23.（1）是；（2）1-；（3）略；。
2020-2021学年上海市曹杨第二中学高二上学期期末数学试题(解析版)
2020-2021学年上海市曹杨第二中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．设P 是双曲线221169x y -=上的点，若1F ，2F 是双曲线的两个焦点，则12PF PF -=（ ） A ．4 B ．5C ．8D ．10【答案】C【分析】根据双曲线的定义可得：122PF PF a -=，结合双曲线的方程可得答案.【详解】由双曲线221169x y -=可得4a = 根据双曲线的定义可得：2128PF F a P -== 故选：C2．已知直线方程为12010031xy =，则下列各点不在这条直线上的是（ ）A ．()2,6-B ．()4,3-C ．()1,2D ．()2,0【答案】C【分析】由行列式计算，把直线方程化为一般式，然后判断点是否在直线上．【详解】12016320031xy x y =--=，即3260x y +-=，代入点的坐标，只有C 不合． 故选：C ．3．如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线422x y +=围成的平面区域的直径为( )A．B ．3C．D ．4【答案】B【分析】根据曲线对称性，利用曲线参数方程表示区域内两点间的距离，再根据二次函数性质求最值得结果.【详解】422x y +=的参数方程为：2x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）曲线是关于点（0，0）中心对称的图形，所以曲线422x y +=上点（x 0，y 0）到原点距离为直径长的一半， d当cos 4θ=时，d 取得取大值为32，所以，直径为3，故选B.【点睛】本题考查曲线对称性以及二次函数性质，考查综合分析与求解能力，属中档题.4．已知数列{}n a 满足1N a *∈，1,2+3,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数，若{}n a 为周期数列，则1a 的可能取到的数值有（ ） A ．4个 B ．5个C ．6个D ．无数个【答案】B【分析】讨论出当1a 分别取1、2、3、4、6时，数列{}n a 为周期数列，然后说明当19a ≥时，分1a 为正奇数和正偶数两种情况分析出数列{}n a 不是周期数列，即可得解.【详解】已知数列{}n a 满足1N a *∈，1,2+3,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数. ①若11a =，则24a =，32a =，41a =，54a =，，以此类推，可知对任意的n *∈N ，3n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；②若12a =，则21a =，34a =，42a =，51a =，，以此类推，可知对任意的n *∈N ，3n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；③若13a =，则26a =，33a =，46a =，，以此类推，可知对任意的n *∈N ，2n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；④若14a =，则22a =，31a =，44a =，52a =，，以此类推，可知对任意的n *∈N ，3n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；⑤若15a =，则28a =，34a =，42a =，51a =，64a =，，以此类推，可知对任意的2n ≥且n *∈N ，1n a a <，此时，{}n a 不是周期数列； ⑥若16a =，则23a =，36a =，43a =，，以此类推，可知对任意的n *∈N ，2n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；⑦若17a =，则210a =，35a =，48a =，54a =，，以此类推，可知对任意的2n ≥且n *∈N ，1n a a <，此时，{}n a 不是周期数列； ⑧若18a =，则24a =，32a =，41a =，54a =，，以此类推，可知对任意的2n ≥且n *∈N ，1n a a <，此时，{}n a 不是周期数列.下面说明，当19a ≥且1N a *∈时，数列{}n a 不是周期数列.（1）当(3412,2a ⎤∈⎦且1N a *∈时，由列举法可知，数列{}n a 不是周期数列； （2）假设当(()112,23,k k a k k N +*⎤∈≥∈⎦且1N a *∈时，数列{}n a 不是周期数列，那么当(()1212,23,k k a k k N ++*⎤∈≥∈⎦时. 若1a 为正偶数，则(1122,22k k a a +⎤=∈⎦，则数列{}n a 从第二项开始不是周期数列，从而可知，数列{}n a 不是周期数列； 若1a 为正奇数，则((121321323,232,2k k k k a a ++++⎤⎤=+∈++⊆⎦⎦且2a 为偶数，由上可知，数列{}n a 从第二项开始不是周期数列，进而可知数列{}n a 不是周期数列.综上所述，当19a ≥且1N a *∈时，数列{}n a 不是周期数列.因此，若{}n a 为周期数列，则1a 的取值集合为{}1,2,3,4,6. 故选：B.【点睛】本题解题的关键是抓住“数列{}n a 为周期数列”进行推导，对于1a 的取值采取列举法以及数学归纳法进行论证，对于这类问题，我们首先应弄清问题的本质，然后根据数列的基本性质以及解决数列问题时常用的方法即可解决．二、填空题 5．线性方程组20235x y x y --=⎧⎨+=⎩对应的增广矩阵为______.【答案】112235-⎛⎫⎪⎝⎭【分析】将方程组变形为2235x y x y -=⎧⎨+=⎩，利用增广矩阵的定义可得结果.【详解】原方程组即为2235x y x y -=⎧⎨+=⎩，该线性方程组的增广矩阵为112235-⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：112235-⎛⎫⎪⎝⎭.6．若直线l 的倾斜角为34π，则l 的一个方向向量d 可以是______.(只需填写一个) 【答案】()1,1-【分析】利用直线倾斜角确定直线斜率，进而确定方向向量的横纵坐标之比，写出方向向量.【详解】直线l 的倾斜角为34π，故直线的斜率3tan 14k π==-， 故方向向量的横纵坐标之比为1-， 故d 可以是()1,1-， 故答案为：()1,1-.7．已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若22a =，515S =，则数列{}n a 的通项公式为n a =__________. 【答案】n【分析】根据数列{}n a 为等差数列，且22a =，515S =，利用“1,a d ”法求解. 【详解】因为数列{}n a 为等差数列，且22a =，515S =， 所以112110,55a a d d +==+， 解得11,1a d ==，所以1(1)n a a n d n =+-=， 故答案为：n8．若椭圆2236x ty -=的一个焦点为()0,2F ，则实数t =______. 【答案】-1【分析】先将椭圆方程化为标准方程，再根据其一个焦点为()0,2F 求解.【详解】椭圆2236x ty -=的标准方程为：22162x y t+=-， 因为其一个焦点为()0,2F ， 所以226,2a b t=-=， 所以624t--=， 解得1t =-， 故答案为：-19．用数学归纳法证明()2511222n n N -*++++∈能被31整除时，从k 到1k +添加的项数共有__________________项（填多少项即可）． 【答案】5【分析】分别写出n k =和1n k =+时的对应的结果，再比较差异，得到答案. 【详解】当n k =时，原式为：251122...2k -++++，当1n k =+时，原式为251551525354122...222222k k k k k k -+++++++++++++， 比较后可知多了55152535422222k k k k k ++++++++，共5项. 故答案为：510．圆222690x y x y +--+=上的点到直线240x y --=的距离的最大值为______.1【分析】先求得圆心和半径，再求得圆心到直线的距离，由此距离加半径为最大值求解. 【详解】圆222690x y x y +--+=的圆心为()1,3半径为1，圆心到直线240x y --=的距离d ==，1111．若直线1l 、2l 的斜率分别是方程22730x x -+=的两根，则1l 、2l 的夹角为______. 【答案】4π 【分析】记直线1l 、2l 的倾斜角分别为1α、2α，且12αα>，解方程22730x x -+=，可求得1tan α、2tan α的值，利用两角差的正切公式求出()12tan αα-的值，即可求得结果.【详解】记直线1l 、2l 的倾斜角分别为1α、2α，且12αα>， 解方程22730x x -+=，即()()2130x x --=，解得13x =，212x =， 所以，1α、2α均为锐角，且1tan 3α=，21tan 2α=， 由两角差的正切公式可得()12121213tan tan 2tan 111tan tan 132αααααα---===++⨯， 202πα<<，102πα<<且12αα>，可得1202παα<-<，124παα∴-=.因此，1l 、2l 的夹角为4π. 故答案为：4π. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键就是利用两角差的正切公式求出两直线夹角的正切值，同时要注意注意讨论所求角的取值范围，结合正切值求出所求角.12．已知双曲线Γ经过点()2,2P ，且与双曲线2212x y -=具有相同的渐近线，则双曲线Γ的标准方程为______.【答案】22124y x -=【分析】设双曲线Γ的方程为222x y λ-=，将点P 的坐标代入双曲线Γ的方程，求出λ的值，即可得出双曲线Γ的标准方程.【详解】由于双曲线Γ与双曲线2212x y -=具有相同的渐近线，设双曲线Γ的方程为222x y λ-=， 将点P 的坐标代入双曲线Γ的方程得222222λ=-=-，所以，双曲线Γ的方程为2222x y -=-，化为标准方程即为22124y x -=.故答案为：22124y x -=.13．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若213n n S a =-*()n N ∈，则lim n n S →∞=__________． 【答案】1【解析】当1n =时，11213S a =-，即135a =；当2n ≥时，11213n n S a --=-，由11221133n n n n n a S S a a --⎛⎫=-=--- ⎪⎝⎭得到125n n a a -=，故数列{}n a 是等比数列，所以215nn S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则lim 1n n S →∞=，故答案为1.14．若直线()43y k x =+-与曲线x =k 的取值范围是______. 【答案】3240,27⎡⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭【分析】作出曲线x =()43y k x =+-的图象，考查直线()43y k x =+-与曲线x =相切时k 的取值，数形结合可求得实数k 的取值范围.【详解】由0x =≤可得229x y =-，即229x y +=，所以，曲线x =229x y +=的左半圆，直线()43y k x =+-过定点()4,3P --，且斜率为k ，如下图所示：当直线()43y k x =+-过点()0,3A -时，可得433k -=-，解得0k =； 当直线()43y k x =+-过点()0,3B 时，可得433k -=，解得32k； 当直线()43y k x =+-与曲线29x y =--相切，且切点C 位于第二象限时，0k >， 24331k k -=+，因为0k >，解得247k =. 由图可知，当302k ≤<或247k =，直线()43y k x =+-与曲线29x y =--有且仅有一个公共点，因此，实数k 的取值范围是3240,27⎡⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭. 故答案为：3240,27⎡⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭. 【点睛】思路点睛：本题考查利直线与半圆的公共点个数求参数，思路如下： （1）画出直线与半圆的图象；（2）根据图象找到直线与半圆有公共点的相切或相交的情况； （3）根据公式计算，得出结果.15．已知椭圆22:15x y Γ+=的左、右焦点分别是1F ，2F ，P 是Γ上的点.若123PF PF ⋅=，则12PF PF ⋅的值为______.【答案】1-【分析】根据椭圆的定义写出12PF PF +与12F F ，然后代入求解12cos F PF ∠，即可求出12PF PF ⋅.【详解】由题意可知，2a c ==，由椭圆的定义知，12124PF PF F F +==，则12206161cos 233F PF --∠==-⨯，所以12121cos 1PF PF P P F PF F F ⋅∠==-⋅.故答案为：1-.16．已知圆221:(4)(4)4C x y -+-=，圆222:(3)(5)2C x y -++=.若圆心在x 轴上的圆C 同时平分圆1C 和2C 的圆周，则圆C 的方程为______. 【答案】2236x y +=【分析】由题意，圆C 与圆1C 和圆2C 的公共弦分别为圆1C 和圆2C 的直径，求出圆心坐标，可得结论.【详解】由题意，圆C 与圆1C 和圆2C 的公共弦分别为圆1C 和圆2C 的直径 设圆C 的圆心为(,0)x ，半径为r ， 则2222(4)(04)(3)(05)24x x -+-=-++++，解得：0x =，半径6r ==，故圆C 的方程为2236x y +=， 故答案为：2236x y +=.三、解答题17．设常数a R ∈，已知直线()1:210l a x y +++=，()2:3430l x ay a ++-=. （1）若12l l ⊥，求a 的值； （2）若12//l l ，求1l 与2l 的距离；【答案】（1）32-；（2）d =【分析】（1）根据两直线垂直的条件求参数值；（2）由平行的条件求得参数值，两方程中,x y 的系数分别化为相同，然后由平行间距离公式计算．【详解】（1）由题意3(2)0a a ++=，解得32=-； （2）由两条平行显然0a ≠，因此213a a+=，解得1a =或3a =-，1a =时，两直线方程均为310x y ++=，不合题意，3a =-时，1l 方程为10x y -++=，即10x y --=，2l 方程为33150x y --=，即50x y --=，所求距离为d ==．【点睛】易错点睛：本题考查由两直线平行与垂直求参数，考查平行间距离公式．在已知平行求参数时，一般在求得参数值时需要进行检验，剔除两直线重合的情形，这是易错点．18．已知点C 是曲线()30xy x =>上一点，以C 为圆心的圆与x 轴交于O ､A 两点，与y 交于O ､B 两点，其中O 为坐标原点. （1）求证：OAB 的面积为定值；（2）设直线35y x =-+与圆C 交于M ，N 两点，若=OM ON ，求圆C 的方程.【答案】（1）证明见解析；（2）()()223110x y -+-=. 【分析】（1）设3,C a a ⎛⎫⎪⎝⎭可得圆的方程，求出A B 、两点的坐标计算出OAB 的面积即可证明；（2）由条件得出原点O 在线段MN 的垂直平分线上，所以直线CO 与35y x =-+垂直，由斜率之积为-1求得3a =，从而得到圆C 的方程.【详解】（1）证明：由题意设3,(0)C a a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则半径为0)R a =>， 所以圆的方程为()222239(0)x a y a a a a ⎛⎫-+-=+> ⎪⎝⎭， 令0x =，则222223392a y y a a a a ⎛⎫+-⨯+=+ ⎪⎝⎭， 所以6y a =，60,A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 令0y =，则22222392x a ax a a a ⎛⎫+-+=+ ⎪⎝⎭， 所以2x a =，()2,0B a ，所以1162622OABSOA OB a a=⨯⨯=⨯⨯=， 所以OAB 的面积为定值.（2）因为=OM ON ，所以原点O 在线段MN 的垂直平分线上，设线段MN 的中点为H ，则C H O 、、三点共线，由（1）知3,(0)C a a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭， CO 的斜率为23k a =，由于直线所以CO 与35y x =-+垂直，所以23(3)1a ⨯-=-， 解得3a =，或3a =-舍去，所以()3,1,C R == 圆C 的方程为()()223110x y -+-=.【点睛】方法点睛：本题考查直线和圆的方程，根据条件建立方程关系是解决本题的关键，有一定的综合性，考查学生分析问题、解决问题的能力.19．某公司自2020年起，每年投入的设备升级资金为500万元，预计自2020年起(2020年为第1年)，因为设备升级，第n 年可新增的盈利()()5801,5100010.6,6n n n n a n -⎧-≤⎪=⎨-≥⎪⎩(单位：万元)，求：（1）第几年起，当年新增盈利超过当年设备升级资金； （2）第几年起，累计新增盈利总额超过累计设备升级资金总额. 【答案】（1）第7年；（2）第12年. 【分析】（1）分段解不等式500na >，（2）对n 进行讨论，求n a 的前n 项和n S ，令500n S n ≥，解不等式.【详解】（1）当5n ≤时，80(1)500n a n =->，解得7.25n >，即8n ≥，不成立，当6n ≥时，51000(10.6)500n na -=->，即50.60.5n -<，50.6n -随着n 的增大而减小，当6n =时，650.60.60.5-=<不成立，当7n =时，750.60.360.5-=<成立， 故第7年起，当年新增盈利超过当年设备升级资金； （2）当5n =时，累计新增盈利总额5123450801602403208005005S a a a a a =++++=++++=<⨯，可得所求n 超过5，当6n ≥时，55600(10.6)1000(5)50010.6n n S S n n --=+-->-，整理得530.611.4n n -+⨯>，由于530.6n -⨯随着n 的增大而减小 又当11n =时，1151130.611.4-+⨯<，故不成立，当12n =时，1251230.611.4-+⨯>，故成立，故从第12年起，累计新增盈利总额超过累计设备升级资金总额.20．已知有序数列{}n a 的各项均不相等，将{}n a 的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列{}n p ，称{}n p 为{}n a 的“序数列”.例如：数列1a ，2a ，3a 满足132a a a >>，则其“序数列”{}n p 为1，3，2.（1）若数列{}n a 的通项公式为()()21,2,3,4nn a n =-=，写出{}n a 的“序数列”；（2）若项数不少于5项的有穷数列{}n b ，{}n c 的通项公式分别为35nn b n ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，2n c n tn =-+，且{}n b “序数列”与{}n c 的“序数列”相同，求实数t 的取值范围；（3）已知有序数列{}n a 的“序数列”为{}n p .求证：“{}n p 为等差数列”的充要条件是“{}n a 为单调数列”.【答案】（1）4，2，1，3；（2）()4,5；（3）证明见解析.【分析】(1)由条件可得12342,4,8,16a a a a =-==-= ，4213a a a a >>>，得出答案.(2)通过作差法比较相邻两项的大小关系，即1323·()55nn n n b b +--=，得到当2n 时，1n n b b +<．所以需要比较第一项的大小，得出所在的位置，计算可以得出2314b b b b >>>的大小关系．则数列{}nc 大小关系为231451n n c c c c c c c ->>>>>⋯>>．分别算出11c t =-，224c t =-，339c t =-．由列231c c c >>列不等式并求解得t 的取值范围．（3）由题意，分别证明充分性和必要性．其中，充分性证明即若有穷数列{}n a 的序数列{}n P 为等差数列，则有穷数列{}n a 为单调数列，分别讨论{}n P 为递增数列时，数列{}n a 的特点是项由大到小依次排列，得到有穷数列{}n a 为单调递减数列；同理{}n P 为递减数列，有穷数列{}n a 为单调递增数列．必要性证明同样需将有穷数列{}n a 分为递增和递减来讨论，最后得出其序数列{}n P 为等差数列； 【详解】（1）由()()21,2,3,4nn a n =-=，可得12342,4,8,16a a a a =-==-=4213a a a a >>>，{}n a 的“序数列”为：4，2，1，3（2）由题意得，因为*3·()()5n n b n n N =∈，所以1323·()55nn n n b b +--= 当2n 时，10nnb b 即1n n b b +<135b =，21825b =，381125b =，4324625b =231451n n b b b b b b b ->>>>>⋯>>又因为2*()n c n tn n N =-+∈，且{}n b 的序数列与{}n c 的序数列相同所以231451n n c c c c c c c ->>>>>⋯>> 又因为11c t =-，224c t =-，339c t =- 所以24391t t t ->->- 所以45t <<即(4,5)t ∈ （3）充分条件：因为有穷数列{}n a 的序数列{}n P 为等差数列 所以①{}n P 为1，2，3，⋯，2n -，1n -，n 所以有穷数列{}n a 为递减数列，②{}n P 为n ，1n -，2n -，⋯，3，2，1 所以有穷数列{}n a 为递增数列， 所以由①②，有穷数列{}n a 为单调数列 必要条件：因为有穷数列{}n a 为单调数列 所以①有穷数列{}n a 为递减数列则{}n P 为1，2，3，⋯，2n -，1n -，n 的等差数列 ②有穷数列{}n a 为递增数列则{}n P 为n ，1n -，2n -，⋯，3，2，1的等差数列 所以由①②，序数列{}n P 为等差数列综上，有穷数列{}n a 的序数列{}n P 为等差数列的充要条件是有穷数列{}n a 为单调数列【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是1323·()55nn n n b b +--=得出其单调性，即231451n n b b b b b b b ->>>>>⋯>>，从而得到231451n n c c c c c c c ->>>>>⋯>>.21．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y C +=，过点()4,0P 作直线l 与椭圆交于A ，B 两点.（1）若()1,4n =是直线l 的一个法向量，求直线l 的标准方程； （2）若AOB 的面积为127，求直线l 的方程； （3）在线段AB 上取点Q ，使得AP BQ AQ BP ⋅=⋅，求证：点Q 在一条定直线上. 【答案】（1）440x y +-=；（2）)44y x =±-或()3410y x =±-；（3）证明见解析.【分析】(1)由条件得到直线l 的斜率为14k =-，从而写出方程. (2)设直线l 的方程为4x my =+，与椭圆方程联立写出韦达定理，由121122S AOB OP y y OP =⋅-=.(3) 设()()()1122,,,,,A x y B x y Q x y 由AP BQ AQ BP ⋅=⋅,则()()1212y y y y y y -=-,即112122yy y y y y yy -=-,即3y m=-，从而可得1x =从而可证.【详解】（1）直线l 的一个法向量为()1,4n =，则直线l 的斜率为14k =- 又直线l 过点()4,0P ，所以直线l 的方程为：()144y x =--，即440x y +-= （2）根据题意直线l 的斜率不为0，则其方程为：4x my =+ 设()()1122,,,A x y A x y所以224143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,可得 ()223424360m y my +++= 所以()()2224436430m m∆=-⨯⨯+>，即24m>1212222436,4343m y y y y m m -+==++，121122S AOB OP yy OP =⋅-=142=⨯24312247m ⨯=+=，即2431m =+ t =，则224m t =+所以()243144t t +⨯=+，即2141603t t -+=，解得2t = 或83t =即m =±103m =±经检验，m =±103m =±都满足0∆> 所以直线l 的方程为：4x =±+或1043x y =±+ 即直线l 的方程为：)44y x =±-或()3410y x =±- （3）设()()()1122,,,,,A x y B x y Q x y根据题意，Q 点在A B ，之间，不妨设点A 在点B 的左侧. 当直线l 与椭圆交于A ，B 两点，A ，B 两点x 轴上方时， 由AP BQ AQ BP ⋅=⋅则()()1212y y y y y y -=-,即112122yy y y y y yy -=-所以()12122y y y y y +=，则212122236272343242443y y m y m y y m m m ⨯+===-=--++ 同理当A ，B 两点x 轴下方时，也有3y m =-成立.所以当直线l 的斜率不为0时，有3y m=-，由（2）有3441x my m m ⎛⎫=+=⨯-+= ⎪⎝⎭当直线l 的斜率为0时，即A ，B 两点为椭圆的左右顶点，即()()2,0,2,0A B - 所以满足AP BQ AQ BP ⋅=⋅的点Q 为()1,0综上所述: 满足条件的点Q 在直线1x =上.即点Q 在一条定直线上.【点睛】关键点睛：解答本题的关键是由三角形的面积()212121211422S AOB OP y y OP y y y y =⋅-=+-⋅AP BQ AQ BP ⋅=⋅，得到()()1212y y y y y y -=-，进一步有3y m=-.。
2017-2018-高二上期中考-曹杨二中
【答案】
13 5 3 26
பைடு நூலகம்
11.定义在 0， 上的函数 f x 满足 f x 3 f x 2 ，当 x 0, 2 时， f x x 2 2 x ，设 f x 在
1 2.计算： 3 3 【答案】 6
2 2 4 3 6 6
4 ____________ . 2
3.若数列 an 的前 n 项和 Sn n 2 ，则数列 an 的通项公式 an ____________ .
sin x 0 1 6.三阶行列式 6 cos x 2 sin x x R 中元素 4 的代数余子式的值记为 f x ，则 f _________ . 3 5 4 0
海
辅
导
圈
【答案】 2n 1
9.在数列 an 中，若对一切 n N * 都有 an 3an 1 ，且 lim a2 a4 a6 a2 n
n
9 ， 2
则 a1 的值为 ____________ . 【答案】 12 10.已知 f x
有解，求整数 m 的最小值； （3）在数列
1 n 1 1 中，是否一定存在首项、第 r 项、第 s 项 1 r s ，使得这三项依次成等差 an
数列？若存在，请指出 r、s 所满足的条件；若不存在，请说明理由。 【答案】 （1）由 an an an 1 2an 1 ，得
a b 2anbn 5 , an 1 n n , bn 1 ,n N . 2 2 an bn
2021-2022学年上海市曹杨第二中学高二上学期期中数学试题(解析版)
2021-2022学年上海市曹杨第二中学高二上学期期中数学试题一、填空题1．两条异面直线所成角的取值范围是________ 【答案】(0,2π【分析】由异面直线所成角的定义求解．【详解】解：由异面直线所成角的定义可知：过空间一点，分别作相应直线的平行线，两条相交直线所成的直角或锐角为异面直线所成的角，故两条异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎝⎦故答案为：0,2π⎛⎤⎥⎝⎦【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，同时还考查了转化思想，属于基础题． 2．设等差数列的前项和为整数，若，则公差________. {}n a n ,n S n 132,12a S ==d =【答案】2【分析】根据等差数列的前项和公式求解即可. n 【详解】因为是等差数列, {}n a 所以， 31132333122S a d a d ⨯=+=+=又因为，所以. 12a =2d =故答案为:.23．已知直线、及平面，若且，则与平面的位置关系为________. a b β//a b //a βb β【答案】或//b βb β⊂【分析】根据已知条件结合线面位置关系判断可得出结论.【详解】因为且，直线与平面的位置关系为或. //a b //a βb β//b βb β⊂故答案为：或.//b βb β⊂4．若数列是等比数列，其前项和，为正整数，则实数的值为____. {}n a n 2n n S a =-n a 【答案】1【分析】利用与的关系结合等比数列的前项和公式求解. n a n S n 【详解】当时，，当时，，1n =12a a =-2n ≥112n n S a --=-所以，()()111122222n n n n n n n n a S S a a ----=-==-=---又是等比数列，所以是以为首项，为公比的等比数列，{}n a {}n a 12此数列的前项和，则的值为.n 122112nn n S -==--a 1故答案为：1.5．若数列为等比数列，且________.（其中为正{}n a 12,a q ==13521n a a a a -+++++= n 整数） 【答案】4【分析】求出新等比数列的公比代入求和公式即可.【详解】因为数列为等比数列，.{}n a 12,a q =212q =则.1352124112n a a a a -+++++==- 故答案为：4.6．若一个圆锥的侧面是半径为6的半圆围成，则这个圆锥的表面积为________. 【答案】27π【分析】求出底面半径，代入公式即可.【详解】因为圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆， 6所以圆锥的母线长为，6l =设圆锥的底面半径为，则，所以， r 26r ππ=⨯3r =所以圆锥的表面积为. 227S r rl πππ=+=故答案为：.27π7．如图所示，在地面上两点测得建筑物的仰角为，，若，则,A B PO 45 30 90,60m OAB AB ∠== 该建筑物的高度为________.PO m【答案】【分析】先将未知量转化到同一个三角形中，再利用勾股定理即可求解. 【详解】因为在地面上两点测得建筑物的仰角为，,A B OP 45 30所以，即， 45,30PAO PAO ∠=∠=,OP OA OB ==又因为，所以， 90,60m OAB AB ∠== 222OA AB OB +=所以，所以2236003OP OP +=OP =即该建筑物的高度为..OP m 故答案为：8．有一个细胞团开始时有4个细胞，每次分裂前死去1个，再由剩余的每个细胞分裂成2个，则（为正整数）次分裂之后共有细胞的个数是_______.n n 【答案】122n ++【分析】设次分类后共有个细胞,则根据题意可得递推公式, n n a ()121n n a a +=-通过构造等比数列即可求得通项公式.【详解】由题意可设次分类后共有个细胞， n n a 则第次分裂后共有细胞个数为， 1n +()121n n a a +=-即,且，122n n a a +=-()12416a =-=对数列等式两端同时减去2,可得， ()1222n n a a +-=-即,， 1222n n a a +-=-12624a -=-=所以数列是以为首项,为公比的等比数列， {}2n a -124a -=2所以,化简可得，1242n n a --=⨯122n n a +=+即次分裂之后共有个细胞. n 122n ++故答案为:122n ++9．梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形，则原梯形的面积为OA B C '''_______.【答案】4【分析】根据原图形面积是直观图面积的.【详解】设直观图的上下底为，高为，则直观图的面积为，,a b h 1()2a b h +则原梯形的上下底为，高为， ,ab 2sin 45hh '=⨯=所以原梯形的面积等于,11()()22a b h a b h '+=+即原图形面积是梯形的面积OA B C '''因为梯形，所以原梯形的面积是. OA B C '''4故答案为:4.10．已知函数，数列满足，为正整数，若，则实数的2log ,()1,x x af x x x a >⎧=⎨-+≤⎩{}n a ()n a f n =n 3n a a ≥a 取值范围是_______. 【答案】[3,4)【分析】根据分段函数的单调性与数列的最小值联系即可求解. 【详解】当时，函数严格单调递减， x a ≤()f x 当时，函数严格单调递增， x a >()f x 所以当时，取到最小值，x a =()f x 因为数列满足，{}n a *(),n a f n n =∈N 若，则是数列的最小项，3n a a ≥3a 所以，故实数的取值范围是. 34a ≤<a [3,4)故答案为: .[3,4)11．中，边上的中垂线分别交于，若，则_______.ABC BC ,BC AC ,D M 6,2AM BC AB ⋅==AC =【答案】4【分析】利用平面向量的基本定理和余弦定理即可求解.【详解】因为，所以，DM BC ⊥0DM BC ⋅=且，1,62AM AB BC DM AM BC =++⋅=所以， 221116222AB BC DM BC AB BC BC BA BC BC ⎛⎫++⋅=⋅+=-⋅+= ⎪⎝⎭ 所以，且，2212BA BC BC ⋅=- 2AB =在中，由余弦定理得即 ABC 2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅，()22222241216AC AB BC BA BC BC BC =+-⋅=+--= 所以. 4AC =故答案为:4.12．定义，设函数，数列是等比数列，公比，且,0,0ab ab a b a ab b≥⎧⎪⊗=⎨<⎪⎩2()log f x x x =⊗{}n a 0q >，则首项_______.()()()()()5011239991000131,a f a f a f a f a f a a =+++++=- 1a =【答案】##0.12518【分析】根据题设对函数的定义结合等比数列运算求解.()f x 【详解】因为对任意实数，定义，,a b ,0,0ab ab a b a ab b ≥⎧⎪⊗=⎨<⎪⎩函数，222log ,1()log log ,01x x x f x x x x x x ≥⎧⎪=⊗=⎨<<⎪⎩数列是公比大于的等比数列，且. {}n a 05011a =①当时，因为，1q >5011a =所以， [)1235005035025010001,,,,(0,1),,,,,1,a a a a a a a a ∈∈+∞ 由等比数列通项公得，所以， 50050111a a q ==51001a q =整个数列为， 2500499498499111,,,,1,,,,q q q q q q因为， ()()()()()123999100013f a f a f a f a f a a +++++=- 所以代入得 50010001000350023221222121log log log log 30log a a a a a a a a a a a +++++-=+ 即 500499498222225004994981111log log log log log qq q q q q q q q q+++++2249949950022log log 3(i)q q q q q +++=- 由对数运算499499499498498498222249949811log log 0,log log 0(ii)qq q q q q qq+=+=⋯所以式化简得，即，所以. ()i 50050025001log 3qq q =-500328q ==1500118a q ==②当时，，1q =12310001a a a a ==== 此时.()()()()()12399910000f a f a f a f a f a ======，所以不成立.()()()()()123499100003f a f a f a f a f a +++++=≠- ③当时，，所以， 01q <<50050111a a q ==51001a q =整个数列为， 2500499498499111,,,,1,,,,q q q q q q所以， [)()1235015025031000,,,,1,,,,,0,1a a a a a a a ∞∈+∈ 因为， ()()()()()991231000913f a f a f a f a f a a +++++=-代入得 25021212223235002500502log log log log log 0a a a a a a a a a a ++++++ ， 25032100050310001log log 3a a a a a +++=- 即49822225005004994994982log 1111111log log log log q q q q q q q q q q+++++ 2499500222499log log 3(iii)q q q q q+++=- 由对数运算，499499499498498498222249949811log log 0,log log 0qq q q q q qq+=+=⋯所以式化简得. (iii)500250050011log 3q q q=-因为当时，，所以等式左边大于，等式右边小于，方程无解. 1q <150011a q =>00综上所述，.118a =故答案为：.18二、单选题13．“数列为等差数列”是“数列为等比数列”的（ ）{}n a {}2n aA ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据等差数列和等比数列的定义,结合充要条件定义判断即可. 【详解】充分条件:若“数列为等差数列” 成立，则有（常数），{}n a 1n n a a d +-=所以(常数)，所以数列为等比数列.112222n n n n a a a d a ++-=={}2n a必要条件:若“数列为等比数列”，所以为常数，{}2na 11222n n n n a a a a ++-=所以为常数，所以数列为等差数列，1n n a a +-{}n a 所以数列为等差数列是数列为等比数列的充要条件.{}n a {}2n a故选:.C 14．在梯形中，，，.将梯形绕所在直ABCD 90ABC ∠=︒//AD BC 222BC AD AB ===ABCD AD 线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 A ．B ．C ．D ．23π43π53π2π【答案】C【详解】由题意可知旋转后的几何体如图:直角梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1，母线长为2的圆柱挖去一个底面半径同样是1、高为1的圆锥后得到的组合体，所以该组合体的体积为2215121133V V V πππ=-=⨯⨯-⨯⨯⨯=圆柱圆锥故选C.【解析】1、空间几何体的结构特征；2、空间几何体的体积.15．实数a ，b 满足a •b ＞0且a ≠b ，由a 、b 、按一定顺序构成的数列（ ） 2a b+A ．可能是等差数列，也可能是等比数列 B ．可能是等差数列，但不可能是等比数列 C ．不可能是等差数列，但可能是等比数列 D ．不可能是等差数列，也不可能是等比数列 【答案】B【分析】由实数a ，b 满足a•b ＞0且a≠b ，分a ，b ＞0和a ，b ＜0，两种情况分析根据等差数列的定义和等比数列的定义，讨论a 、b 、2a b+件的a ，b 的值，最后综合讨论结果，可得答案． 【详解】（1）若a ＞b ＞0则有a ＞b 2a b+若能构成等差数列，则a+b=2a b +2a b+解得a=b （舍），即此时无法构成等差数列若能构成等比数列，则a•b=， 2a b +2a b +=解得a=b （舍），即此时无法构成等比数列 （2）若b ＜a ＜0，2a ba b +>>>，得2a bb a +=+于是b ＜3a 4ab=9a 2-6ab+b 2 得b=9a ，或b=a （舍）当b=9a 时这四个数为-3a ，a ，5a ，9a ，成等差数列． 于是b=9a ＜0，满足题意＜0，a•＞0，不可能相等，故仍无法构成等比数列 2a b+故选B【点睛】本题考查的知识点是等差数列的确定和等比数列的确定，熟练掌握等差数列和等比数列的定义和性质是解答的关键．16．如图所示，在正方体中，分别是的中点，有下列结论：①1111ABCD A B C D -,E F 11,AB BC ；②平面；③与所成角为；④平面，其中正确1EF BB ⊥EF ⊥11BCC B EF 1C D 45 //EF 1111D C B A 的序号是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【答案】B【分析】利用线面垂直可得线线垂直即可判断①；利用线面垂直可判断②；利用异面直线的夹角可判断③；利用线面平行的判定定理可判断④.【详解】连接，则交于，又因为为中点，1A B 1A B 1AB E F 1BC得，由平面，平面, 11//EF A C 1B B ⊥1111D C B A 11AC ⊂1111D C B A 得，得，故①正确；111B B A C ⊥1B B EF ⊥由平面，得平面，1111//,EF A C A C ⊥11BDD B EF ⊥11BDD B 而平面与平面不平行，所以平面错误， 11BDD B 11BCC B EF ⊥11BCC B 故②错误；因为与所成角就是，连接, EF 1C D 11A C D ∠1A D 则为等边三角形， 11AC D 所以，故③错误； 1160AC D ∠=由分别是的中点，得，,E F 11,AB BC 11//EF A C 平面，平面，EF ⊄1111D C B A 11AC ⊂1111D C B A 得平面， //EF 1111D C B A 故④正确； 故选:B.三、解答题17．在中，.ABC 1,3AB AC AB BC ⋅=⋅=-(1)求证：；tan 3tan B A =(2)求的长； AB 【答案】(1)证明见解析 (2) 2AB =【分析】(1)利用向量的数量积公式和正弦定理结合求解； (2)利用向量的减法运算求解即可.【详解】（1）因为，所以，1,3AB AC AB BC ⋅=⋅=- 3AB AC BA BC ⋅=⋅所以，即， cos 3cos cb A ca B =cos 3cos b A a B =由正弦定理得，， sin sin b aB A=sin cos 3sin cos B A A B =又因为，所以， 0πA B <+<cos 0,cos 0>>A B 在等式两边同时除以，得；cos cos A B tan 3tan B A =（2）由题意得，4AB AC AB BC ⋅-⋅=()4AB AC BC ⋅-= 所以，即.4AB AB ⋅=2AB =18．《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图所示，四面体 PABC 中，平面是棱的中点.PA ⊥,,ABC AC BC D =AB(1)证明：，并判断四面体是否为鳖臑？若是，写出其每个面的直角；若不是，说CD PB ⊥PACD 明理由；(2)若四面体是鳖臑，且，求直线与平面所成角的大小.PABC 2AP AB ==AP PCD 【答案】(1)证明见解析，四面体是鳖臑，直角分别为，和 PACD PAC ∠,PAB ADC ∠∠PDC ∠(2)【分析】(1)利用线面垂直的判定定理和线面垂直的性质即可说明；(2)利用等体积法求出椎体的高，进而利用三角函数值求线面夹角的正弦值.【详解】（1）因为平面平面，所以，PA ⊥,ABC CD ⊂ABC PA CD ⊥因为是棱的中点，所以，,AC BC D =AB CD AB ⊥又平面，所以平面，,,PA AB A PA AB ⋂=⊂PAB CD ⊥PAB 因为平面，所以，所以四面体是鳖臑，PB ⊂PAB CD PB ⊥PACD 直角分别为，和.PAC ∠,PAB ADC ∠∠PDC ∠（2）设到平面的距离为，A PCD h 因为平面，所以 PA ⊥ABC 1133P ACD ACD PCD V S PA S h -=⋅=⋅ 因为四面体是鳖臑，，是棱的中点，，PABC AC BC =D AB 2AP AB ==所以，所以，，1AC BC AD ==PD =CD AB ⊥因为，所以平面，平面，则，AD PA A ⋂=CD ⊥PAD PD ⊂PAD CD PD ⊥即，所以 111111213232h ⨯⨯⨯⨯=⋅⨯h =设直线与平面所成角为， AP PCD 0,2πθθ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭所以， sin h AP θ===所以直线与平面所成角的大小为AP PCD 19．西部某地区有沙地亩，从年开始每年在沙地植树造林，第一年年底共植树亩，22002015100以后每一年年底比上一年年底多植树亩.50(1)假设所植树苗全部成活，则到哪一年年底植树后可将沙地全部绿化？(2)若每亩所植树苗木材量为立方米，每年所值树木，从它种下的第二年起，木材量自然增长率为2，求沙地全部绿化后的那年年底该山林的木材总量 (精确到整数).20%【答案】(1)年2022(2)立方米9060【分析】（1）利用等差数列求和公式即可求解；（2）利用等比数列求和公式即可求解【详解】（1）设植树年年底后可将沙地全部绿化，记第年年底植树量为，n n n a 由题意得数列是首项为，公差的等差数列，{}n a 1100a =50d =所以，所以， (1)1005022002n n n -+⨯=23880n n +-=所以，因为，所以，(11)(8)0n n +-=*n ∈N 8n =所以到年年底植树后可以将荒山全部绿化.2022（2）设年初木材存量为，到年底木材存量增加为， 2015312a m 20228312 1.2a m ⨯年初木材存量为，到年底木材存量增加为， 2016322a m 20227322 1.2a m ⨯，年初木材存量为，到年底木材存量增加为 .⋯2022382a m 2022382 1.2a m ⨯则到年年底木材总量为202287612382 1.22 1.22 1.22 1.2S a a a a =⨯+⨯+⨯+⋯+⨯2678900 1.2800 1.2400 1.2300 1.2200 1.2S =⨯+⨯+⋯+⨯+⨯+⨯237981.2900 1.2800 1.2400 1.2200 1.2300 1.2S ⨯=⨯+⨯+⋯+⨯+⨯+⨯两式作差得()92380.2200 1.21001.2 1.2 1.2900 1.2S =⨯++++-⨯ ，所以，8840 1.21800840 4.318001812=⨯-≈⨯-=39060S m =答：到全部绿化后的那一年年底，该山林的木材总量立方米. 906020．已知四棱锥中，平面，底面是边长为的菱形，，P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD 2120°∠=BAD .1AP =(1)求证：平面；BD ⊥PAC (2)求到平面的距离；A PBD (3)设与交于点，为中点，求二面角的大小.AC BD O M OC O PM D --【答案】(1)证明见解析(3)【分析】(1)根据线面垂直判定定理证明;(2)应用等体积法计算可求;(3)应用线面垂直的判定定理,结合二面角平面角定义,找到平面角计算即可.【详解】（1）因为四边形是菱形，所以，ABCD AC BD ⊥因为平面，在平面内，PA ⊥ABCD BD ABCD所以，BD PA ⊥又因为，平面,平面.所以平面. PA AC A = PA ⊂PAC AC ⊂PAC BD ⊥PAC （2）设到平面的距离为，A PBD h 因为平面，所以 PA ⊥ABCD 11,33P ABD A PBD ABD PBD V V S PA S h --=⋅=⋅ 因为底面是边长为的菱形，，. ABCD 2120BAD ∠= 1PA =所以，BD PB PD ===所以，解得11112213232h ⨯⨯⨯=⨯⨯h =（3）过作交于，连接，O OH PM ⊥PM H HD由(1)因为平面，平面,,,平面,平面,DO ⊥PAC PM ⊂PAC DO ⊥PM OH PM ⊥DO ⊂DOH OH ⊂DOH 所以平面,平面得， DO OHO = PM ⊥DOH DH ⊂DOH DH PM ⊥平面,平面,所以为的平面角， DH ⊂PMD OH ⊂PMO OHD ∠O PM D --因为底面是边长为的菱形，，ABCD 2120BAD ∠= 1PA =所以，13,22OD OM AM ===sin OH PA OMH OM PM ∠==从而，OM AP OH PM ⋅====所以，又二面角为锐角， tan OD OHD OH ∠===O PM D --所以二面角的平面角大小为O PM D --21．已知数列的各项均为正数，且，对任意的正整数，都有.{}n a 11a =n 121n n a a +=+(1)求证：是等比数列，并求出的通项；{}1n a +{}n a (2)设，若数列中去掉的项后，余下的项组成数列，求()22log 11n n b a =+-{}n b {}n a {}n c；12100c c c +++ (3)在（2）中，设，数列的前项和为，是否存在正整数、且，使11n n n d b b +=⋅{}n d n n S m n 1m n <<得、、依次成等差数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.1S m S n S m 【答案】(1)证明见解析，()21N n n a n *=-∈(2)11202(3)存在，2m =【分析】（1）由已知可得出，结合等比数列的定义可证得结论成立，确定数列()1121n n a a ++=+的首项和公比，可求得数列的通项公式，进而可得出数列的通项公式； {}1n a +{}1n a +{}n a （2）求出数列的通项公式，分析可得出，，进而可得出{}n b 647127b a ==71078a b a <<，结合分组求和法可求得结果； ()()1210012107127c c c b b b a a a +++=+++-+++ （3）利用裂项求和法可求得，根据等差数列的定义可得出，可得出，n S 12m n S S S =+152041m n m -=>-求出的取值范围，结合且可求得的值，并求出的值，即可得出结论.m N m *∈1m >m n 【详解】（1）解：因为，且，所以，且， 121n n a a +=+11a =()1121n n a a ++=+112a +=故数列为等比数列，且首项为，公比为， {}1n a +112a +=2所以，，故.11222n n n a -+=⨯=()21N n n a n *=-∈（2）解：，且 ，()22log 121121n n b n =+--=- 11b =其中（常数）， ()()1211212n n b b n n +-=+---=⎡⎤⎣⎦所以数列是以为首项、为公差的等差数列， {}n b 12，，，， 111b a == 64127b =106211b =107213b =由（1）得，，，因为，， 7127a =8255a =647127b a ==71078a b a <<所以()()1210012107127c c c b b b a a a +++=+++-+++ ()()()71272121071213107214222772212-⨯+⨯⎡⎤=-+++-=-+⎣⎦- .2810729=-+=11202（3）解：， ()()111112*********n n n n n n n d b b +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝=⋅⎭ 111111111121335212122121n n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 其中，，， 113S =21m m S m =+21n n S n =+假设存在正整数、且，使得、、依次成等差数列， m n 1m n <<1S m S n S 则有，即，所以，解得， 12m n S S S =+2121321m n m n =+++152041m n m -=>-1542m <<又因为，，所以，此时， *N m ∈1m >2m =7n =所以存在满足题设条件的、，.m n 2m =。
上海市曹杨第二中学高二数学理月考试题含解析
上海市曹杨第二中学高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设m、n是不同的直线，α、β、γ是不同的平的，有以下四个命题：①若α∥β，α∥γ，则β∥γ②若α⊥β，m∥α，则m⊥β③若m∥n，n?α，则m∥α④若m⊥α，m∥β，则α⊥β其中正确命题的序号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④参考答案：B【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】定义法；空间位置关系与距离；简易逻辑．【分析】①根据面面平行的性质进行判断，②根据线面垂直和面面垂直的性质和判定定理进行判断，③根据线面平行的判定定理进行判断，④根据线面垂直，线面平行和面面垂直的性质进行判断．【解答】解：①若α∥β，α∥γ，则β∥γ，成立，故①正确，②若α⊥β，m∥α，则m⊥β或m∥β或m?β，故②错误，③若m∥n，n?α，则m∥α或m?α，故③错误，④若m⊥α，m∥β，则α⊥β成立，故④正确，故正确是①④，故选：B．【点评】本题主要考查与空间直线和平面平行或垂直的命题的真假的判断，要求熟练掌握空间线面，面面平行或垂直的性质定理和判定定理．2. i是虚数单位，则1+i3等于（）A.iB.-iC.1+iD.1-i参考答案：D略3. 某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班;乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是( )A、2日和5日B、5日和6日C、6日和11日D、2日和11日参考答案：C提示：1~12日期之和为78，三人各自值班的日期之和相等，故每人值班四天的日期之和是26，甲在1日和3日都有值班，故甲余下的两天只能是10号和12号；而乙在8日和9日都有值班，8+9=17，所以11号只能是丙去值班了。
余下还有2号、4号、5号、6号、7号五天，显然，6号只可能是丙去值班了。
曹杨二中2016-2017学年高二上学期期中考试数学试卷(解析版)
2016-2017学年上海市普陀区曹杨二中高二（上）期中数学试卷一.填空题1．三个平面最多把空间分割成个部分．2．两条异面直线所成的角的取值范围是．3．给出以下命题“已知点A、B都在直线l上，若A、B都在平面α上，则直线l在平面α上”，试用符号语言表述这个命题．4．设E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的形状一定是．5．设点A∈平面α，点B∈平面β，α∩β=l，且点A∉直线l，点B∉直线l，则直线l与过A、B两点的直线的位置关系．6．数列{a n}中，设S n是它的前n项和，若log2（S n+1）=n+1，则数列{a n}的通项公式a n=．7．a，b是不等的两正数，若=2，则b的取值范围是．8．计算81+891+8991+89991+…+81=．9．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则点C1到直线BD的距离为．10．我们把b除a的余数r记为r=abmodb，例如4=9bmod5，如图所示，若输入a=209，b=77，则循环体“r←abmodb”被执行了次．11．设S n是数列{a n}的前n项和，a1=﹣1，a n+1=S n S n+1，则S n=．12．若三个数a，1，c成等差数列（其中a≠c），且a2，1，c2成等比数列，则的值为．13．在学习公理四“平行于同一条直线的两条直线平行”时，有同学进行类比，提出了下列命题：①平行于同一平面的两个不同平面互相平行；②平行于同一直线的两个不同平面互相平行；③垂直于同一直线的两个不同平面互相平行；④垂直于同一平面的两个不同平面互相平行；其中正确的有．14．在n行n列矩阵中，若记位于第i行第j列的数为a ij（i，j=1，2，…，n），则当n=9时，表中所有满足2i＜j的a ij的和为．二.选择题15．如图给出的是计算的值的一个程序框图，判断其中框内应填入的条件是（）A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜2016．下列命题中，正确的共有（）①因为直线是无限的，所以平面内的一条直线就可以延伸到平面外去；②两个平面有时只相交于一个公共点；③分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上；④一条直线与三角形的两边都相交，则这条直线必在三角形所在的平面内．A．0个B．1个C．2个D．3个17．从k2+1（k∈N）开始，连续2k+1个自然数的和等于（）A．（k+1）3B．（k+1）3+k3C．（k﹣1）3+k3D．（2k+1）（k+1）318．已知方程组的解中，y=﹣1，则k的值为（）A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1三.解答题19．解关于x、y的方程组，并对解的情况进行讨论．20．如图，A是△BCD所在平面外一点，M、N为△ABC和△ACD重心，BD=6；（1）求MN的长；（2）若A、C的位置发生变化，MN的位置和长度会改变吗？21．已知长方体ABCD﹣A'B'C'D'中，AB=4，AD=3，AA'=2；（1）求出异面直线AC'和BD所成角的余弦值；（2）找出AC'与平面D'DBB'的交点，并说明理由．22．已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n=（a n﹣1）（a为常数，且a≠0，a≠1）；（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=+1，若数列{b n}为等比数列，求a的值；（3）若数列{b n}是（2）中的等比数列，数列c n=（n﹣1）b n，求数列{c n}的前n项和T n．23．设数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得S n=a m，则称{a n}是“H数列”．（1）若数列{a n}的前n项和为S n=2n（n∈N*），证明：{a n}是“H数列”；（2）设{a n}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{a n}是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{a n}，总存在两个“H数列”{b n}和{c n}，使得a n=b n+c n（n∈N*）成立．2016-2017学年上海市普陀区曹杨二中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（2015春•鹤岗校级期末）三个平面最多把空间分割成8个部分．【考点】平面的基本性质及推论．【专题】空间位置关系与距离．【分析】分别讨论三个平面的位置关系，根据它们位置关系的不同，确定平面把空间分成的部分数目．【解答】解：三个平面两两平行时，可以把空间分成4部分，三个平面有两个平行，第三个与他们相交时，可以把空间分成6部分，三个平面交于同一直线时，可以把空间分成6部分，三个平面两两相交，交线相互平行时，可以把空间分成7部分，当两个平面相交，第三个平面同时与两个平面相交时，把空间分成8部分．所以空间中的三个平面最多能把空间分成8部分．故答案为：8．【点评】本题考查平面的基本性质及推论，要讨论三个平面不同的位置关系．2．（2009秋•三明期中）两条异面直线所成的角的取值范围是（0°，90°] ．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】阅读型．【分析】由异面直线所成角的定义求解．【解答】解：由异面直线所成角的定义可知：过空间一点，分别作相应直线的平行线，两条相交直线所成的直角或锐角为异面直线所成的角故两条异面直线所成的角的取值范围是（0°，90°]故答案为：（0°，90°]【点评】本题主要考查异面直线所成的角，同时，还考查了转化思想，属基础题．3．（2016秋•普陀区校级期中）给出以下命题“已知点A、B都在直线l上，若A、B都在平面α上，则直线l在平面α上”，试用符号语言表述这个命题已知A∈l，B∈l，若A∈α，B∈α，则l⊆α．【考点】平面的基本性质及推论．【专题】阅读型；定义法；空间位置关系与距离．【分析】根据几何符号语言的应用，对题目中的语句进行表示即可．【解答】解：用符号语言表述这个命题为：已知A∈l，B∈l，若A∈α，B∈α，则l⊆α．故答案为：已知A∈l，B∈l，若A∈α，B∈α，则l⊆α．【点评】本题考查了空间几何符号语言的应用问题，是基础题目．4．（2016秋•普陀区校级期中）设E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA 的中点，则四边形EFGH的形状一定是平行四边形．【考点】棱锥的结构特征．【专题】综合题；转化思想；演绎法；空间位置关系与距离．【分析】证明FG∥EH，且FG=EH即可得出结论．【解答】解：如图，连接BD．因为FG是△CBD的中位线，所以FG∥BD，FG=BD．又因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，EH=BD．根据公理4，FG∥EH，且FG=EH．所以四边形EFGH是平行四边形．故答案为平行四边形【点评】主要考查知识点：简单几何体和公理四，证明平行四边形常用方法：对边平行且相等；或对边分别平行；或对角线相交且平分．要注意：对边相等的四边形不一定是平行四边形．5．（2016秋•普陀区校级期中）设点A∈平面α，点B∈平面β，α∩β=l，且点A∉直线l，点B∉直线l，则直线l与过A、B两点的直线的位置关系异面．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】计算题；转化思想；反证法；空间位置关系与距离．【分析】假设l与AB不是异面直线，那么它们在同一个平面上，记这个平面为γ，由此能推导出A 在α与β的交线l上，与已知点A∉直线l，点B∉直线l相互矛盾．从而得到l与AB是异面直线．【解答】解：假设l与AB不是异面直线，那么它们在同一个平面上，记这个平面为γ．∵A和l都在平面γ上，∴由它们决定的平面α在平面γ上，∴平面γ=平面α．同理γ=平面β．∴α=β，∵A∈α，∴A∈β，所以A在α与β的交线l上，与已知点A∉直线l，点B∉直线l相互矛盾．∴假设不成立，∴l与AB是异面直线．故答案为：异面．【点评】本题考查两直线的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．6．（2016秋•普陀区校级期中）数列{a n}中，设S n是它的前n项和，若log2（S n+1）=n+1，则数列{a n}的通项公式a n=．【考点】数列递推式．【专题】综合题；函数思想；转化法；等差数列与等比数列．【分析】由已知数列递推式求得S n，再由a n=S n﹣S n﹣1（n≥2）求得数列{a n}的通项公式．【解答】解：由log2（S n+1）=n+1，得S n+1=2n+1，∴，当n=1时，a1=S1=3；当n≥2时，，当n=1时，上式不成立，∴．故答案为：．【点评】本题考查数列递推式，考查了由数列的前n项和求数列的通项公式，是中档题．7．（2016秋•普陀区校级期中）a，b是不等的两正数，若=2，则b的取值范围是（0，2）．【考点】极限及其运算．【专题】计算题；分类讨论；极限思想．==a，进而求出b的范围．【分析】当a＞b时，【解答】解：a，b是不等的两正数，且=2，须对a，b作如下讨论：=0，则==a，①当a＞b时，所以，a=2，因此，b∈（0，2），②当a＜b时，则=﹣b=2，而b＞0，故不合题意，舍去．综合以上讨论得，b∈（0，2），故答案为：（0，2）．【点评】本题主要考查了极限及其运算，以及应用常用极限|q|＜1，q n=0解题，属于基础题．8．（2016秋•普陀区校级期中）计算81+891+8991+89991+…+81=10n+1﹣9n﹣10．【考点】数列的求和．【专题】转化思想；等差数列与等比数列．【分析】原式=8×（10+102+…+10n）+（1+1+…+1）+（90+990+…+×10），利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：原式=8×（10+102+…+10n）+（1+1+…+1）+（90+990+…+×10）=8×+n+（102﹣10）+（103﹣10）+…+（10n﹣10）=+n+﹣10（n﹣1）=10n+1﹣9n﹣10．故答案为：10n+1﹣9n﹣10．【点评】本题考查了分组求和、等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（2016秋•普陀区校级期中）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则点C1到直线BD的距离为．【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】数形结合；转化思想；空间位置关系与距离．【分析】如图所示，连接AC，BD，DC1，BC1．设AC∩BD=O，连接OC1．利用等腰三角形的性质可得：OC1⊥BD，因此OC1是点C1到直线BD的距离．【解答】解：如图所示，连接AC，BD，DC1，BC1．设AC∩BD=O，连接OC1．∵DC1=BC1，OB=OD．∴OC1⊥BD，∴OC1是点C1到直线BD的距离．OC1==．故答案为：．【点评】本题考查了正方体的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 10．（2016秋•普陀区校级期中）我们把b 除a 的余数r 记为r=abmodb ，例如4=9bmod5，如图所示，若输入a=209，b=77，则循环体“r ←abmodb ”被执行了 4 次．【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a ，b ，r 的值，当r=0时满足条件，退出循环，从而得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得 a=209，b=77， r=55不满足条件r=0，执行循环体，a=77，b=55，r=22 不满足条件r=0，执行循环体，a=55，b=22，r=11 不满足条件r=0，执行循环体，a=22，b=11，r=0 此时，满足条件r=0，退出循环，输出a 的值为22． 由此可得循环体“r ←abmodb ”被执行了4次． 故答案为：4．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的a ，b ，r 的值是解题的关键，属于基础题．11．（2016秋•徐汇区校级期中）设S n 是数列{a n }的前n 项和，a 1=﹣1，a n +1=S n S n +1，则S n = ﹣ ． 【考点】数列的求和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列． 【分析】a n +1=S n S n +1，可得S n +1﹣S n =S n S n +1， =﹣1，再利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵a n +1=S n S n +1，∴S n +1﹣S n =S n S n +1， ∴=﹣1，∴数列是等差数列，首项为﹣1，公差为﹣1．∴=﹣1﹣（n ﹣1）=﹣n ，解得S n =﹣． 故答案为：．【点评】本题考查数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 12．（2014•宝山区二模）若三个数a ，1，c 成等差数列（其中a ≠c ），且a 2，1，c 2成等比数列，则的值为 0 ．【考点】极限及其运算；等差数列的性质；等比数列的性质． 【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】由等差中项的概念和等比中项的概念列式求得a ，c 的值，然后代入数列极限求得答案． 【解答】解：∵a ，1，c 成等差数列， ∴a +c=2 ①又a 2，1，c 2成等比数列， ∴a 2c 2=1 ② 联立①②得： 或或，∵a ≠c ， ∴或，则a +c=2，．∴=．故答案为：0．【点评】本题考查等差数列和等比数列的性质，考查了方程组的解法，训练了数列极限的求法，是基础的计算题．13．（2016秋•普陀区校级期中）在学习公理四“平行于同一条直线的两条直线平行”时，有同学进行类比，提出了下列命题：①平行于同一平面的两个不同平面互相平行；②平行于同一直线的两个不同平面互相平行；③垂直于同一直线的两个不同平面互相平行；④垂直于同一平面的两个不同平面互相平行；其中正确的有①③．【考点】类比推理．【专题】综合题；转化思想；演绎法．【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：①平行于同一平面的两个不同平面互相平行，正确；②平行于同一直线的两个不同平面互相平行或相交，不正确；③垂直于同一直线的两个不同平面互相平行，正确；④垂直于同一平面的两个不同平面互相平行或相交，不正确．故答案为①③．【点评】本题考查类比推理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．14．（2016秋•普陀区校级期中）在n行n列矩阵中，若记位于第i行第j列的数为a ij（i，j=1，2，…，n），则当n=9时，表中所有满足2i＜j的a ij的和为88．【考点】三阶矩阵．【专题】选作题；转化思想；演绎法；矩阵和变换．【分析】根据题意n=9时，求得所有满足2i＜j的a ij，相加即可求得答案．【解答】解：由题意可知：当i=1时，由2i＜j，∴j取3，4，5，6，7，8，9当i=2时，j取5，6，7，8，9当i=3时，j取7，8，9当i=4时，j取9∴表中所有满足2i＜j的a ij和为：a13+a14+a15+a16+a17+a18+a19+a25+a26+a27+a28+a29+a37+a38+a39+a49=3+4+5+6+7+8+9+6+7+8+9+1+9+1+2+3=88，故答案为：88【点评】本题考查高阶矩阵，考查学生的理解问题，分析解决问题的能力，考查a ij中i和j的字母含义，属于中档题．二.选择题15．（2013•沈河区模拟）如图给出的是计算的值的一个程序框图，判断其中框内应填入的条件是（）A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜20【考点】程序框图．【专题】阅读型；图表型．【分析】框图给出的是计算的值的一个程序框图，首先赋值i=1，执行s=0+时同时执行了i=i+1，和式共有10项作和，所以执行完s=后的i值为11，再判断时i=11应满足条件，由此可以得到正确答案．【解答】解：框图首先给变量s，n，i赋值s=0，n=2，i=1．判断，条件不满足，执行s=0+，n=2+2=4，i=1+1=2；判断，条件不满足，执行s=+，n=4+2=6，i=2+1=3；判断，条件不满足，执行s=++，n=6+2=8，i=3+1=4；…由此看出，当执行s=时，执行n=20+2=22，i=10+1=11．此时判断框中的条件应满足，所以判断框中的条件应是i＞10．故选C．【点评】本题考查了程序框图中的直到型循环，虽然是先进行了一次判断，但在不满足条件时执行循环，直到满足条件算法结束，此题是基础题．16．（2016秋•普陀区校级期中）下列命题中，正确的共有（）①因为直线是无限的，所以平面内的一条直线就可以延伸到平面外去；②两个平面有时只相交于一个公共点；③分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上；④一条直线与三角形的两边都相交，则这条直线必在三角形所在的平面内．A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】平面的基本性质及推论．【专题】探究型；空间位置关系与距离．【分析】根据平面的基本性质及其推论逐一判断即可得解．【解答】解：对于①，因为平面也是可以无限延伸的，故错误；对于②，两个平面只要有一个公共点，就有一条通过该点的公共直线，故错误；对于③，交点分别含于两条直线，也分别含于两个平面，必然在交线上，故正确；对于④，一条直线与三角形的两边都相交，则两交点在三角形所在的平面内，则这条直线必在三角形所在的平面内，故正确．故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断，考查平面的基本性质及其推论的应用，属于基础题．17．（2016秋•普陀区校级期中）从k2+1（k∈N）开始，连续2k+1个自然数的和等于（）A．（k+1）3B．（k+1）3+k3C．（k﹣1）3+k3D．（2k+1）（k+1）3【考点】数学归纳法．【专题】转化思想；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】从k2+1（k∈N）开始，连续2k+1个自然数的和=k2+1+k2+2+…+（k2+2k+1），再利用等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：从k2+1（k∈N）开始，连续2k+1个自然数的和=k2+1+k2+2+…+（k2+2k+1）=（2k+1）•k2+=2k3+3k2+3k+1=（k+1）2+k3．故选：B．【点评】本题考查了数学归纳法、等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（2016秋•普陀区校级期中）已知方程组的解中，y=﹣1，则k的值为（）A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1【考点】简单线性规划．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】由已知方程组得到x，z，k的方程组，解之即可．【解答】解：由已知得到，解得；故选B．【点评】本题考查了三元一次方程组的解法；只要利用加减消元即可得到所求．三.解答题19．（2016秋•普陀区校级期中）解关于x、y的方程组，并对解的情况进行讨论．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】综合题；转化思想；演绎法；函数的性质及应用．【分析】将原方程组写成矩阵形式为Ax=b，其中A为2×2方阵，x为2个变量构成列向量，b为2个常数项构成列向量．而当它的系数矩阵可逆，或者说对应的行列式D不等于0的时候，它有唯一解．并不是说有解．【解答】解：系数矩阵D非奇异时，或者说行列式D=4﹣2m2﹣2m≠0，即m≠1且m≠﹣2时，方程组有唯一的解，x==，y==．系数矩阵D奇异时，或者说行列式D=4﹣2m2﹣2m=0，即m=1或m=﹣2时，方程组有无数个解或无解．当m=﹣2时，原方程为无解，当m=1时，原方程组为，无解．【点评】本题主要考查克莱姆法则，克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立．20．（2016秋•普陀区校级期中）如图，A是△BCD所在平面外一点，M、N为△ABC和△ACD重心，BD=6；（1）求MN的长；（2）若A、C的位置发生变化，MN的位置和长度会改变吗？【考点】棱锥的结构特征．【专题】综合题；转化思想；演绎法；空间位置关系与距离．【分析】（1）利用三角形的重心的性质，可得M、N分别是△ABC与△ACD的中线的一个三等分点，得=，由此利用平行线的性质与三角形中位线定理，算出MN与BD的关系，即可得到MN的长．（2）由（1）可得位置改变，长度不改变．【解答】解：（1）延长AM、AN，分别交BC、CD于点E、F，连结EF．∵M、N分别是△ABC和△ACD的重心，∴AE、AF分别为△ABC和△ACD的中线，且=，可得MN∥EF且MN=EF，∵EF为△BCD的中位线，可得EF=BD，∴MN=BD=2；（2）由（1）可得位置改变，长度不改变．【点评】本题着重考查了三角形的重心性质、平行线的性质和三角形的中位线定理等知识，属于中档题．21．（2016秋•普陀区校级期中）已知长方体ABCD﹣A'B'C'D'中，AB=4，AD=3，AA'=2；（1）求出异面直线AC'和BD所成角的余弦值；（2）找出AC'与平面D'DBB'的交点，并说明理由．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；异面直线及其所成的角．【专题】计算题；作图题；转化思想；空间位置关系与距离；立体几何．【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出两条线段的方向向量，代入向量夹角公式，可得答案．（2）连接BD'，DB'交于点O，则点O即为AC'与平面D'DBB'的交点，根据长方体的性质，可得结论．【解答】解：（1）建立如图所示空间直角坐标系，∵AB=4，AD=3，AA'=2；∴C'（4，3，2），B（4，0，0），D（0，3，0）则：=（4，3，2），=（﹣4，3，0）异面直线AC'和BD所成角的余弦值为：==；（2）连接BD'，DB'交于点O，则点O即为AC'与平面D'DBB'的交点，根据长方体的几何特征可得：O为长方体ABCD﹣A'B'C'D'外接球的球心，AC'为长方体ABCD﹣A'B'C'D'外接球的直径，故O为AC'中点，又由BD'，DB'交于点O，故O在平面D'DBB'上，故O即为AC'与平面D'DBB'的交点．【点评】本题考查的知识点是空间直线与直线，直线与平面的位置关系，异面直线的夹角，难度中档．22．（2016秋•普陀区校级期中）已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n=（a n﹣1）（a为常数，且a≠0，a≠1）；（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=+1，若数列{b n}为等比数列，求a的值；（3）若数列{b n}是（2）中的等比数列，数列c n=（n﹣1）b n，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【专题】方程思想；作差法；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（1）由公式求得通项公式；（2）简化数列{b n}，再由等比数列的通项公式的结构特征，得出=0，解得参数a；（3）由（2）求出数列{c n}的通项，根据通项结构特征，采用错位相减法求数列{c n}的前n项和．【解答】解：（1）当n=1时，，∴a1=a，，当n≥2时，S n=（a n﹣1）且，两式做差化简得：a n=a•a n﹣1即：，∴数列{a n}是以a为首项，a为公比的等比数列，∴．（2）b n=+1=，若数列{b n}为等比数列，则=0，即．（3）由（2）知，∴∴T n=0×3+1×32+2×33+…+（n﹣1）3n…①3T n=0×32+1×33+2×34+…+（n﹣2）×3n+（n﹣1）×3n+1…②①﹣②得：﹣2T n=32+33+34+…+3n﹣（n﹣1）×3n+1=∴．【点评】本题主要考查求数列通项公式，已知等比数列求参数，求数列前n项和，利用错位相减求前前n项和是关键．23．（2014•江苏）设数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得S n=a m，则称{a n}是“H数列”．（1）若数列{a n}的前n项和为S n=2n（n∈N*），证明：{a n}是“H数列”；（2）设{a n}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{a n}是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{a n}，总存在两个“H数列”{b n}和{c n}，使得a n=b n+c n（n∈N*）成立．【考点】数列的应用；等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）利用“当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，当n=1时，a1=S1”即可得到a n，再利用“H”数列的意义即可得出．（2）利用等差数列的前n项和即可得出S n，对∀n∈N*，∃m∈N*使S n=a m，取n=2和根据d＜0即可得出；（3）设{a n}的公差为d，构造数列：b n=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，c n=（n﹣1）（a1+d），可证明{b n}和{c n}是等差数列．再利用等差数列的前n项和公式及其通项公式、“H”的意义即可得出．【解答】解：（1）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，当n=1时，a1=S1=2．当n=1时，S1=a1．当n≥2时，S n=a n+1．∴数列{a n}是“H”数列．（2）S n==，对∀n∈N*，∃m∈N*使S n=a m，即，取n=2时，得1+d=（m﹣1）d，解得，∵d＜0，∴m＜2，又m∈N*，∴m=1，∴d=﹣1．（3）设{a n}的公差为d，令b n=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，对∀n∈N*，b n+1﹣b n=﹣a1，c n=（n﹣1）（a1+d），对∀n∈N*，c n+1﹣c n=a1+d，则b n+c n=a1+（n﹣1）d=a n，且数列{b n}和{c n}是等差数列．数列{b n}的前n项和T n=，令T n=（2﹣m）a1，则．当n=1时，m=1；当n=2时，m=1．当n≥3时，由于n与n﹣3的奇偶性不同，即n（n﹣3）为非负偶数，m∈N*．因此对∀n∈N*，都可找到m∈N*，使T n=b m成立，即{b n}为H数列．数列{c n}的前n项和R n=，令c m=（m﹣1）（a1+d）=R n，则m=．∵对∀n∈N*，n（n﹣3）为非负偶数，∴m∈N*．因此对∀n∈N*，都可找到m∈N*，使R n=c m成立，即{c n}为H数列．因此命题得证．【点评】本题考查了利用“当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，当n=1时，a1=S1”求a n、等差数列的前n项和公式及其通项公式、新定义“H”的意义等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、构造法，属于难题．。
《解析》上海市曹杨二中2016-2017学年高一上学期期末数学试卷Word版含解析
2015-2016学年上海市曹杨二中高一（上）期末数学试卷一、填空题：1．已知集合A={x|x≥1}，B={x|x≥a}，若A，则实数a的取值范围是．2．若函数，，则f（x）+g（x）=．3．函数f（x）=2|x|+ax为偶函数，则实数a的值为．4．函数f（x）=x2（x≤﹣1）的反函数是f﹣1（x）=．5．在直角坐标系xOy中，终边在坐标轴上的角α的集合是．6．已知函数，则f（f（3））=．7．若幂函数在（0，+∞）是单调减函数，则m的取值集合是．8．若不等式|x﹣m|＜1成立的充分不必要条件是1＜x＜2，则实数m的取值范围是．9．已知等腰三角形的周长为常数l，底边长为y，腰长为x，则函数y=f（x）的定义域为．10．已知角α的终边上一点，且，则tanα的值为．11．已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，，则此函数的值域为．12．对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0，则称x0是f（x）的一个不动点，已知f（x）=x2+ax+4在[1，3]恒有两个不同的不动点，则实数a的取值范围．二、选择题：13．若a＜0，b＞0，则下列不等式恒成立的是（）A．a2＜b2B． C． D． +≥214．函数y=ln|x|与y=﹣在同一平面直角坐标系内的大致图象为（）A． B． C． D．15．已知函数f（x）=|lgx|﹣（）x有两个零点x1，x2，则有（）A．x1x2＜0 B．x1x2=1 C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜116．对于函数f（x），若存在区间A=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f（x）为“可等域函数”，区间A为函数的一个“可等域区间”．给出下列四个函数：①f（x）=|x|；②f（x）=2x2﹣1；③f（x）=|1﹣2x|；④f（x）=log2（2x ﹣2）．其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4三、解答题：（共48分）17．（10分）已知一个扇形的周长为定值a，求其面积的最大值，并求此时圆心角α的大小．18．（12分）若方程x2+（m﹣3）x+m=0，m∈R，在x∈R上有两个不相等的实数根，求m的取值范围．19．（12分）设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≥3；（2）若不等式f（x）≥3对一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围．20．（14分）已知集合M是具有下列性质的函数f（x）的全体：存在实数对（a，b），使得f（a+x）•f（a﹣x）=b对定义域内任意实数x都成立（1）判断函数是否属于集合M（2）若函数具有反函数f﹣1（x），是否存在相同的实数对（a，b），使得f（x）与f﹣1（x）同时属于集合M？若存在，求出相应的a，b，t；若不存在，说明理由．（3）若定义域为R的函数f（x）属于集合M，且存在满足有序实数对（0，1）和（1，4）；当x∈[0，1]时，f（x）的值域为[1，2]，求当x∈[﹣2016，2016]时函数f（x）的值域．2015-2016学年上海市曹杨二中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：1．已知集合A={x|x≥1}，B={x|x≥a}，若A，则实数a的取值范围是（﹣∞，1] ．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】利用并集的定义和不等式的性质求解．【解答】解：∵集合A={x|x≥1}，B={x|x≥a}，A，∴a≤1．∴实数a的取值范围是（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意子集定义的合理运用．2．若函数，，则f（x）+g（x）=1+，0≤x≤1．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】利用函数性质直接求解．【解答】解：∵函数，，∴，即0≤x≤1，∴f（x）+g（x）=（1+）+（）=1+．0≤x≤1．故答案为：1+．0≤x≤1．【点评】本题考查函数解析式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．3．函数f（x）=2|x|+ax为偶函数，则实数a的值为0．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性的定义建立方程关系进行求解即可．【解答】解：∵f（x）=2|x|+ax为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即2|﹣x|﹣ax=2|x|+ax，则a=0，故答案为：0．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，根据条件建立方程关系是解决本题的关键，比较基础．4．函数f（x）=x2（x≤﹣1）的反函数是f﹣1（x）=﹣，x≥1．【考点】反函数．【分析】先求出x=﹣，y≥1，x，y互换，得反函数f﹣1（x）．【解答】解：∵函数f（x）=y=x2（x≤﹣1），∴x=﹣，y≥1，x，y互换，得反函数f﹣1（x）=﹣，x≥1．故答案为：﹣，x≥1．【点评】本题考查反函数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意反函数性质的合理运用．5．在直角坐标系xOy中，终边在坐标轴上的角α的集合是{α|α=，n∈Z} ．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】分别写出终边在x轴上的角的集合、终边在y轴上的角的集合，进而可得到终边在坐标轴上的角的集合．【解答】解：终边在x轴上的角的集合为{α|α=kπ，k∈Z}，终边在y轴上的角的集合为{α|α=kπ+，k∈Z}，故合在一起即为{α|α=，n∈Z}故答案为：{α|α=，n∈Z}【点评】本题考查终边相同的角的表示方法，属于基础题．6．已知函数，则f（f（3））=3．【考点】函数的值．【分析】由已知得f（3）=23=8，从而f（f（3））=f（8），由此能求出结果．【解答】解：∵函数，∴f（3）=23=8，f（f（3））=f（8）=log28=3．故答案为：3．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．7．若幂函数在（0，+∞）是单调减函数，则m的取值集合是{0，1} ．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】由幂函数f（x）为（0，+∞）上递减，推知m2﹣m﹣2＜0，解得﹣1＜m＜2因为m为整数故m=0，1．【解答】解：∵幂函数f（x）=x m2﹣m﹣2（m∈Z）在区间（0，+∞）上是减函数，∴m2﹣m﹣2＜0，解得﹣1＜m＜2，∵m为整数，∴m=0，1∴满足条件的m的值的集合是{0，1}，故答案为：{0，1}．【点评】本题考查函数的解析式的求法，是基础题，解题时要注意幂函数的性质的合理运用．8．若不等式|x﹣m|＜1成立的充分不必要条件是1＜x＜2，则实数m的取值范围是[1，2] ．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据不等式的性质，以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：由|x﹣m|＜1得m﹣1＜x＜m+1，∵1＜x＜2是不等式|x﹣m|＜1成立的充分不必要条件，∴满足，且等号不能同时取得，即，解得1≤m≤2，故答案为：[1，2]．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式之间的关系是解决本题的关键．9．已知等腰三角形的周长为常数l，底边长为y，腰长为x，则函数y=f（x）的定义域为（，）．【考点】函数的定义域及其求法；函数解析式的求解及常用方法．【分析】根据周长得出x、y、l三者的关系，再根据三角形的三边大小关系及不等式的性质即可得出．【解答】解：由题意得：y+2x=l，2x＞y＞0，解得：＜x＜，故答案为：（，）．【点评】熟练不等式的基本性质和三角形的三边大小关系是解题的关键．10．已知角α的终边上一点，且，则tanα的值为±1．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用正弦函数的定义求出m，利用正切函数的定义求出tanα的值．【解答】解：由题意，，∴，∴tanα=±1．故答案为±1．【点评】本题考查三角函数的定义，考查学生的计算能力，比较基础．11．已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，，则此函数的值域为．【考点】指数函数综合题；函数的值域．【分析】设t=，利用换元法求得当x≥0时函数的值域，再根据奇函数的性质求得当x≤0时函数的值域，然后求并集可得答案．【解答】解：设t=，当x≥0时，2x≥1，∴0＜t≤1，f（t）=﹣t2+t=﹣+，∴0≤f（t）≤，故当x≥0时，f（x）∈[0，]；∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴当x≤0时，f（x）∈[﹣，0]；故函数的值域时[﹣，]．【点评】本题考查了函数的性质及其应用，考查了函数值域的求法，运用换元法求得x≥0时函数的值域是解答本题的关键．12．对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0，则称x0是f（x）的一个不动点，已知f（x）=x2+ax+4在[1，3]恒有两个不同的不动点，则实数a的取值范围．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】不动点实际上就是方程f（x0）=x0的实数根．二次函数f（x）=x2+ax+4有不动点，是指方程x=x2+ax+4有实根．即方程x=x2+ax+4有两个不同实根，然后根据根列出不等式解答即可．【解答】解：根据题意，f（x）=x2+ax+4在[1，3]恒有两个不同的不动点，得x=x2+ax+4在[1，3]有两个实数根，即x2+（a﹣1）x+4=0在[1，3]有两个不同实数根，令g（x）=x2+（a﹣1）x+4．在[1，3]有两个不同交点，∴，即解得：a∈；故答案为：．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、函数与方程的综合运用，解答该题时，借用了一元二次方程的根的判别式与根这一知识点．二、选择题：13．若a＜0，b＞0，则下列不等式恒成立的是（）A．a2＜b2B． C． D． +≥2【考点】不等式的基本性质．【分析】根据题意，依次分析选项，对于A、B，举出反例可得其错误，对于C，分析可得＜0而＞0，易得C正确，对于D，分析a、b的符号可得＜0且＜0，则有+＜0，可得D错误；综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、若a=﹣3，而b=1，则a2＞b2．故A错误；对于B、若a=﹣9，而b=1，则有＞，故B错误；对于C，若a＜0，则＜0，而b＞0，则＞0，故＜，故C正确；对于D，若a＜0，b＞0，故＜0，＜0，则有+＜0，故D错误；故选C．【点评】本题考查不等式的性质，关键是熟悉不等式的性质，对于不成立的不等式，可以举出反例，进行判断．14．函数y=ln|x|与y=﹣在同一平面直角坐标系内的大致图象为（）A． B． C． D．【考点】函数的图象．【分析】根据函数y=ln|x|是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，排除A、B；再根据y=﹣表示一个半圆（圆位于x轴下方的部分），可得结论．【解答】解：由于函数y=ln|x|是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，故排除A、B；由于y=﹣，即y2+x2=1（y＜0），表示一个半圆（圆位于x轴下方的部分），故选：C．【点评】本题主要考查函数的图象特征，属于基础题．15．已知函数f（x）=|lgx|﹣（）x有两个零点x1，x2，则有（）A．x1x2＜0 B．x1x2=1 C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1【考点】函数的零点与方程根的关系；指数函数与对数函数的关系．【分析】先将f（x）=|lgx|﹣（）x有两个零点转化为y=|lgx|与y=2﹣x有两个交点，然后在同一坐标系中画出两函数的图象得到零点在（0，1）和（1，+∞）内，即可得到﹣2﹣x1=lgx1和2﹣x2=lg x2，然后两式相加即可求得x1x2的范围．【解答】解：f（x）=|lgx|﹣（）x有两个零点x1，x2即y=|lgx|与y=2﹣x有两个交点由题意x＞0，分别画y=2﹣x和y=|lgx|的图象发现在（0，1）和（1，+∞）有两个交点不妨设x1在（0，1）里x2在（1，+∞）里那么在（0，1）上有2﹣x1=﹣lgx1，即﹣2﹣x1=lgx1…①在（1，+∞）有2﹣x2=lg x2…②①②相加有2﹣x2﹣2﹣x1=lgx1x2∵x2＞x1，∴2﹣x2＜2﹣x1即2﹣x2﹣2﹣x1＜0∴lgx1x2＜0∴0＜x1x2＜1故选D．【点评】本题主要考查确定函数零点所在区间的方法﹣﹣转化为两个函数的交点问题．函数的零点等价于函数与x轴的交点的横坐标，等价于对应方程的根．16．对于函数f（x），若存在区间A=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f（x）为“可等域函数”，区间A为函数的一个“可等域区间”．给出下列四个函数：①f（x）=|x|；②f（x）=2x2﹣1；③f（x）=|1﹣2x|；④f（x）=log2（2x ﹣2）．其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数的值．【分析】在①中，（0，+∞）是f（x）=|x|的唯一可等域区间；在②中，[﹣1，1]是唯一的可等域区间；在③中，函数只有一个等可域区间[0，1]；在④中，函数无可等域区间．【解答】解：在①中，（0，+∞）是f（x）=|x|的唯一可等域区间，故①成立；在②中，f（x）=2x2﹣1≥﹣1，且f（x）在x≤0时递减，在x≥0时递增，若0∈[m，n]，则﹣1∈[m，n]，于是m=﹣1，又f（﹣1）=1，f（0）=﹣1，而f（1）=1，故n=1，[﹣1，1]是一个可等域区间；若n≤0，则，解得m=，n=，不合题意，若m≥0，则2x2﹣1=x有两个非负解，但此方程的两解为1和﹣，也不合题意，故函数f（x）=2x2﹣1只有一个等可域区间[﹣1，1]，故②成立；在③中，函数f（x）=|1﹣2x|的值域是[0，+∞），所以m≥0，函数f（x）=|1﹣2x|在[0，+∞）上是增函数，考察方程2x﹣1=x，由于函数y=2x与y=x+1只有两个交点（0，1），（1，2），即方程2x﹣1=x只有两个解0和1，因此此函数只有一个等可域区间[0，1]，故③成立；在④中，函数f（x）=log2（2x﹣2）在定义域（1，+∞）上是增函数，若函数有f（x）=log2（2x﹣2）等可域区间[m，n]，则f（m）=m，f（n）=n，但方程log2（2x﹣2）=x无解（方程x=log2x无解），故此函数无可等域区间，故④不成立．综上只有①②③正确．故选：C．【点评】本题考查函数的可等域区间的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．三、解答题：（共48分）17．（10分）（2015秋•普陀区校级期末）已知一个扇形的周长为定值a，求其面积的最大值，并求此时圆心角α的大小．【考点】扇形面积公式．【分析】设扇形的弧长，然后，建立关系式，结合二次函数的图象与性质求解最值即可．【解答】解：设扇形面积为S，半径为r，圆心角为α，则扇形弧长为a﹣2r，所以S=（a﹣2r）r=﹣+．故当r=且α=2时，扇形面积最大为．【点评】本题重点考查了扇形的面积公式、弧长公式、二次函数的最值等知识，属于基础题．18．（12分）（2015秋•普陀区校级期末）若方程x2+（m﹣3）x+m=0，m∈R，在x∈R上有两个不相等的实数根，求m的取值范围．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据二次函数的性质求出m的范围即可．【解答】解：若方程x2+（m﹣3）x+m=0，m∈R，在x∈R上有两个不相等的实数根，则△=（m﹣3）2﹣4m＞0，解得：m＜1，或m＞9．【点评】本题考查了二次函数的性质，根据判别式求出m的范围即可．19．（12分）（2015秋•普陀区校级期末）设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≥3；（2）若不等式f（x）≥3对一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）利用a=3，化简不等式，通过分类讨论取得绝对值求解即可．（2）利用函数恒成立，转化求解即可．【解答】解：（1）当a=﹣1时，不等式f（x）≥3，即|x﹣1|+|x+1|≥3，①当x≥1时，不等式即x﹣1+x+1≥5，解得x≥；②当﹣1＜x＜1时，不等式即x﹣1﹣1﹣x≥5，无解；③当x≤﹣1时，不等式即1﹣x﹣1﹣x≥3，解得x≤﹣；综上，不等式f（x）≥5的解集为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．（2）∵f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|（x﹣1）﹣（x﹣a）|=|a﹣1|，∴f（x）min=|a﹣1|．∵f（x）≥3对任意x∈R恒成立，∴|a﹣1|≥3，解得a≤﹣2或a≥4，即实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）．【点评】本题考查函数恒成立绝对值不等式的解法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力．20．（14分）（2015秋•普陀区校级期末）已知集合M是具有下列性质的函数f（x）的全体：存在实数对（a，b），使得f（a+x）•f（a﹣x）=b对定义域内任意实数x都成立（1）判断函数是否属于集合M（2）若函数具有反函数f﹣1（x），是否存在相同的实数对（a，b），使得f（x）与f﹣1（x）同时属于集合M？若存在，求出相应的a，b，t；若不存在，说明理由．（3）若定义域为R的函数f（x）属于集合M，且存在满足有序实数对（0，1）和（1，4）；当x∈[0，1]时，f（x）的值域为[1，2]，求当x∈[﹣2016，2016]时函数f（x）的值域．【考点】反函数；函数的值域．【分析】（1）根据已知中集合M的定义，分别判断两个函数是否满足条件，可得结论；（2）假定∈M，求出相应的a，b，t值，得到矛盾，可得答案．（3）利用题中的新定义，列出两个等式恒成立；将x用2+x代替，两等式结合得到函数值的递推关系；用不完全归纳的方法求出值域【解答】解：（1）当f（x）=x时，f（a+x）•f（a﹣x）=（a+x）•（a﹣x）=a2﹣x2，其值不为常数，故f1（x）=x∉M，当f（x）=3x时，f（a+x）•f（a﹣x）=3a+x•3a﹣x=32a，当a=0时，b=1，故存在实数对（0，1），使得f（0+x）•f（0﹣x）=1对定义域内任意实数x都成立，故∈M；（2）若函数具有反函数f﹣1（x），且∈M，则f（a+x）•f（a﹣x）=•==b，则，解得：，此时f（x）=1（x≠﹣1），不存在反函数，故不存在实数对（a，b），使得f（x）与f﹣1（x）同时属于集合M．（3）函数f（x）∈M，且存在满足条件的有序实数对（0，1）和（1，4），于是f（x）•f（﹣x）=1，f（1+x）•f（1﹣x）=4，用x﹣1f替换f（1+x）•f（1﹣x）=4中x得：f（x）f（2﹣x）=4，当x∈[1，2]时，2﹣x∈[0，1]，f（x）=∈[2，4]，∴x∈[0，2]时，f（x）∈[1，4]．又由f（x）•f（﹣x）=1得：f（x）=，故=，即4f（﹣x）=f（2﹣x），即f（2+x）=4f（x）．（16分）∴x∈[2，4]时，f（x）∈[4，16]，x∈[4，8]时，f（x）∈[16，64]，…依此类推可知x∈[2k，2k+2]时，f（x）∈[22k，22k+2]，故x∈[2014，2016]时，f（x）∈[22014，22016]，综上所述，x∈[0，2016]时，f（x）∈[1，22016]，x∈[﹣2016，0]时，f（x）=∈[2﹣2016，1]，综上可知当x∈[﹣2016，2016]时函数f（x）的值域为[2﹣2016，22016]．【点评】本题考查理解题中的新定义、判断函数是否具有特殊函数的条件、利用新定义得到恒等式、通过仿写的方法得到函数的递推关系、考查利用归纳的方法得结论．。
2016年上海中学高二上学期数学期中考试试卷
所以 ．
11.
【解析】在同一平面直角坐标系中画出曲线 （注：该曲线是以点 为圆心、 为半径的圆不在直线 上方的部分）与直线 的图象如图所示，
平移该直线，结合图形分析可知，当直线沿 轴正方向平移到点 的过程中的任何位置，相应的直线与曲线 都有公共点；
注意到与 平行且过点 的直线的方程是 ；
当直线 与以点 为圆心、 为半径的圆（圆不在直线 上方的部分）相切时，有 ， ．
结合图形可知， 的取值范围是 ．
12.
【解析】由题意： ，化简可得： ，
令 ， ，则有： ，且 ．
因为 ， ， ，所以 ， ，
因为 表示为 为圆心，半径为 的圆．
令 ，则 ．
数形结合法：如图：
当直线 过 点或 点时最小．
2016年上海中学高二上学期数学期中考试试卷
一、填空题（共12小题；共60分）
1.已知 ， ， 三点，则经过点 且与 平行的直线 的点斜式方程为．
2.已知 ， ，且 ， 与 的夹角为 ，则实数 ．
3.直线 与直线 的夹角为．
4.设变量 ， 满足约束条件 则 的最大值为．
5.圆心为 且与直线 相切的圆的方程为．
A.等腰三角形B.正三角形C.直角三角形D.以上都不对
16.已知方程 有两个不等实根 和 ，那么过点 ， 的直线与圆 的位置关系是
A.相交B.相切
C.相离D.随 值的变化而变化
三、解答题（共5小题；共65分）
17.利用行列式解关于 ， 的二元一次方程组
18.设两个向量 ， 满足 ， ， ， 的夹角为 ，若向量 与向量 的夹角为钝角，求实数 的取值范围．
21.在平面直角坐标系中，以原点 为圆心， （ ）为半径的定圆 ，与过原点且斜率为 （ ）的动直线交于 ， 两点，在 轴正半轴上有一个定点 ， ， ， 三点构成三角形，求：
【数学】2015-2016年上海市普陀区曹杨二中高一(上)数学期中试卷带答案
2015-2016学年上海市普陀区曹杨二中高一（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共13小题、每小题3分）1．（3分）设全集U=R．若集合A={1，2，3，4}，B={x|2≤x＜3}，则A∩（∁U B）=．2．（3分）不等式的解集为．3．（3分）命题“若x＞2且y＞3，则x+y＞5”的否命题是命题．（填入“真”或“假”）4．（3分）已知x，y∈R+，且x+4y=1，则xy的最大值为．5．（3分）已知函数，若f（x0）=8，则x0=．6．（3分）若x＞0，y＞0，且，则x+2y的最小值为．7．（3分）已知函数f（x）=x2+2ax﹣3在[2，3]上单调，则实数a取值范围是．8．（3分）定义在R 上的奇函数f（x）在[0，+∞）上的图象如图所示，则不等式xf（x）＜0 的解集是．9．（3分）已知集合，其中m ＞0，全集U=R．若“x∈∁U P”是“x∈∁U Q”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为．10．（3分）若关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣2|≤a的解集为∅，则实数a的取值范围是．11．（3分）已知函数的定义域是全体实数，那么实数a的取值范围是．12．（3分）设函数f（x），g（x）的定义域分别为D f，D g，且D f⊂D g．若对于任意x∈D f，都有g（x）=f（x），则称函数g（x）为f（x）在D g上的一个延拓函数．设f（x）=x2+2x，x∈（﹣∞，0]，g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数，且g（x）是偶函数，则g（x）=．13．（3分）定义区间（a，d），[a，d），（a，d]，[a，d]的长度为d﹣a（d＞a），已知a＞b，则满足的x构成的区间的长度之和为．二、选择题（本大题共4小题，每小题4分）14．（4分）如图，U是全集，M、P、S是U的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A．（M∩P）∩S B．（M∩P）∪S C．（M∩P）∩∁U S D．（M∩P）∪∁U S15．（4分）下列各式中，最小值为2的是（）A．B．C．D．16．（4分）设f（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0）上为减函数，若x1＜0，x1+x2＞0，则（）A．f（x1）＞f（x2）B．f（x1）=f（x2）C．f（x1）＜f（x2）D．不能确定f（x1）与f（x2）的大小17．（4分）已知函数f（x）=，则下列说法中正确的是（）A．若a≤0，则f（x）≤1恒成立B．若f（x）≥1恒成立，则a≥0C．若a＜0，则关于x的方程f（x）=a有解D．若关于x的方程f（x）=a有解，则0＜a≤1三、解答题（10分+10分+12分+13分）18．（10分）已知集合A={x|（m﹣1）x2+3x﹣2=0}．（1）若集合A为两个元素的集合，试求实数m的范围；（2）是否存在这样的实数m，使得集合A有仅有两个子集？若存在，求出所有的m的值组成的集合M；若不存在，请说明理由．19．（10分）对于集合A、B，我们把集合{x|x∈A且x∉B}叫做集合A与B的差集，记作A﹣B．（1）若集合M={{x|y=}，N={y|y=1﹣x2}，求M﹣N；（2）若集合A={x|0＜ax﹣1≤5}，B=，且A﹣B=∅，求实数a的取值范围．20．（12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（1≤x≤10），设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求f（x）的表达式；（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．21．（13分）设函数，函数，其中a为常数且a＞0，令函数f（x）=g（x）•h（x）．（1）求函数f（x）的表达式，并求其定义域；（2）当时，求函数f（x）的值域；（3）是否存在自然数a，使得函数f（x）的值域恰为？若存在，试写出所有满足条件的自然数a所构成的集合；若不存在，试说明理由．2015-2016学年上海市普陀区曹杨二中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共13小题、每小题3分）1．（3分）设全集U=R．若集合A={1，2，3，4}，B={x|2≤x＜3}，则A∩（∁U B）={1，3，4} ．【解答】解：∵全集U=R，集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x＜3}，∴（∁U B）={x|x≥3或x＜2}，∴A∩（∁U B）={1，3，4}，故答案为：{1，3，4}．2．（3分）不等式的解集为（．【解答】解：≤0，可化为或，解得：﹣＜x≤1，则原不等式的解集为（﹣，1]．故答案为：（﹣，1]3．（3分）命题“若x＞2且y＞3，则x+y＞5”的否命题是假命题．（填入“真”或“假”）【解答】解：若x＞2且y＞3，则x+y＞5”的逆命题为：若x+y＞5，则x＞2且y ＞3，此命题为假命题，原因：若x=4，y=1，此时x+y＞5，但是x＞2且y＞3不成立而命题的逆命题与否命题的真假相同可知原命题的否命题为假命题故答案为：假4．（3分）已知x，y∈R+，且x+4y=1，则xy的最大值为．【解答】解：，当且仅当x=4y=时取等号．故应填．5．（3分）已知函数，若f（x0）=8，则x0=2或4．【解答】解：∵函数，f（x0）=8，∴当0≤x0≤2时，f（x0）=+4=8，解得x0=2或x0=﹣2（舍），当x0＞2时，f（x0）=2x0=8，解得x0=4，∴x0的值为2或4．故答案为：2或4．6．（3分）若x＞0，y＞0，且，则x+2y的最小值为19+6．【解答】解：∵x＞0，y＞0，且，则x+2y=（x+2y）=19++≥19+2=19+6，当且仅当3x==3+9时取等号．其最小值为19+6，故答案为：19+6．7．（3分）已知函数f（x）=x2+2ax﹣3在[2，3]上单调，则实数a取值范围是a ≤﹣3，或a≥﹣2．【解答】解：函数f（x）=x2+2ax﹣3的图象是开口朝上，且以直线x=﹣a为对称轴的抛物线，若函数f（x）=x2+2ax﹣3在[2，3]上单调，则﹣a≤2，或﹣a≥3，解得：a≤﹣3，或a≥﹣2，故答案为：a≤﹣3，或a≥﹣28．（3分）定义在R 上的奇函数f（x）在[0，+∞）上的图象如图所示，则不等式xf（x）＜0 的解集是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．【解答】解：（1）x＞0时，f（x）＜0，∴x＞2，（2）x＜0时，f（x）＞0，∴x＜﹣2，∴不等式xf（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．9．（3分）已知集合，其中m ＞0，全集U=R．若“x∈∁U P”是“x∈∁U Q”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为[9，+∞）．【解答】解：由“x∈∁U P”是“x∈∁U Q”的必要不充分条件，可得∁U P⊋∁U Q，即P⊊Q，P={x||1﹣|≤2}={x|﹣2≤x≤10}，Q={x|x2﹣2x+（1﹣m2）≤0}={x|1﹣m≤x≤1+m}，则，即，解得m≥9，故实数m的取值范围[9，+∞），故答案为：[9，+∞）．10．（3分）若关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣2|≤a的解集为∅，则实数a的取值范围是a＞3．【解答】解：因为|x+1|﹣|x﹣2|≤|x+1﹣x+2|=3，由题意得a＞3，故答案为a＞3．11．（3分）已知函数的定义域是全体实数，那么实数a的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[1，+∞）．【解答】解：若函数的定义域是全体实数，则a=1时，显然成立，a=﹣1时，f（x）=，不成立，若a2﹣1≠0，则，解得：a≥1或a≤﹣，故答案为：（﹣∞，﹣]∪[1，+∞）．12．（3分）设函数f（x），g（x）的定义域分别为D f，D g，且D f⊂D g．若对于任意x∈D f，都有g（x）=f（x），则称函数g（x）为f（x）在D g上的一个延拓函数．设f（x）=x2+2x，x∈（﹣∞，0]，g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数，且g（x）是偶函数，则g（x）=x2﹣2|x| ．【解答】解：由题意可得当x≤0时，g（x）=f（x）=x2+2x由函数g（x）为偶函数可得，g（﹣x）=g（x）当x＞0时，则﹣x＜0，g（﹣x）=x2﹣2x，则g（x）=x2﹣2x∴g（x）=x2﹣2|x|故答案为：x2﹣2|x|13．（3分）定义区间（a，d），[a，d），（a，d]，[a，d]的长度为d﹣a（d＞a），已知a＞b，则满足的x构成的区间的长度之和为2．【解答】解：∵，∴≥1，即﹣1≥0，则≤0，设x2﹣（2+a+b）x+ab+a+b=0的根为x1和x2．则有求根公式得x1=∈（a，b），x2=＞a，x1+x2═2+a+b，则由穿根法得不等式的解集为[b，x1]∪[a﹣x2]，则构成的区间的长度之和x1﹣b+x2﹣a=x1﹣x2﹣a﹣b=2+a+b﹣a﹣b=2，故答案为：2二、选择题（本大题共4小题，每小题4分）14．（4分）如图，U是全集，M、P、S是U的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A．（M∩P）∩S B．（M∩P）∪S C．（M∩P）∩∁U S D．（M∩P）∪∁U S【解答】解：由图知，阴影部分在集合M中，在集合P中，但不在集合S中故阴影部分所表示的集合是（M∩P）∩C U S故选：C．15．（4分）下列各式中，最小值为2的是（）A．B．C．D．【解答】解：A．x＜0时，＜0，因此不成立；B.+≥2=4，当且仅当x=时取等号，不成立．C．若＜0，＜0，则不成立．D．∵x≥0，∴+3=+2≥2，当x=1时取等号，因此其最小值为2．正确．故选：D．16．（4分）设f（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0）上为减函数，若x1＜0，x1+x2＞0，则（）A．f（x1）＞f（x2）B．f（x1）=f（x2）C．f（x1）＜f（x2）D．不能确定f（x1）与f（x2）的大小【解答】解：若x1＜0，x1+x2＞0，即x2＞﹣x1＞0，∵f（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0）上为减函数，∴函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，则f（x2）＞f（﹣x1）=f（x1），故选：C．17．（4分）已知函数f（x）=，则下列说法中正确的是（）A．若a≤0，则f（x）≤1恒成立B．若f（x）≥1恒成立，则a≥0C．若a＜0，则关于x的方程f（x）=a有解D．若关于x的方程f（x）=a有解，则0＜a≤1【解答】解：对于A，若a≤0，则f（x）≤1恒成立；当a=﹣1时，f（x）=，x∈（﹣1，0）时，f（x）＞1，∴A不正确；对于B，若f（x）≥1恒成立，即，可得|x|﹣|x﹣a|≥a，当a≥0时，x＜0，不等式不成立．∴B不正确；对于C，若a＜0，则关于x的方程f（x）=a有解，即=a有解，显然不等式不成立，∴C不成立．对于D，若关于x的方程f（x）=a有解，当a≤0时，f（x）＞0，等式不成立，当a＞1时，f（x）≤1，不等式不成立，当0＜a≤1，f（x）∈（0，1）．∴D正确．故选：D．三、解答题（10分+10分+12分+13分）18．（10分）已知集合A={x|（m﹣1）x2+3x﹣2=0}．（1）若集合A为两个元素的集合，试求实数m的范围；（2）是否存在这样的实数m，使得集合A有仅有两个子集？若存在，求出所有的m的值组成的集合M；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）若集合A为两个元素的集合，则关于x的方程（m﹣1）x2+3x ﹣2=0有实数解，则m﹣1≠0，且△=9+8（m﹣1）＞0，∴且m≠1；（2）集合A且仅有两个子集，∴关于x的方程恰有一个实数解，讨论：①当m=1时，x=，满足题意；②当m≠1时，△=8m+1=0，∴m=﹣．综上所述，m=1或m=﹣．∴M的集合为{﹣，1}．19．（10分）对于集合A、B，我们把集合{x|x∈A且x∉B}叫做集合A与B的差集，记作A﹣B．（1）若集合M={{x|y=}，N={y|y=1﹣x2}，求M﹣N；（2）若集合A={x|0＜ax﹣1≤5}，B=，且A﹣B=∅，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）集合M={{x|y=}={x|2x﹣1≥0}={x|x≥}，N={y|y=1﹣x2}={y|y≤1}，M﹣N={x|x＞1}；（2）集合A={x|0＜ax﹣1≤5}={x|1＜ax≤6}，B=，且A﹣B=∅，∴A⊆B；当a=0时，不满足题意；当a＞0时，A={x|＜x≤}，应满足，解得a≥3；当a＜0时，A={x|≤x＜}，应满足，解得a＜﹣12；综上，a的取值范围是a＜﹣12或a≥3．20．（12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（1≤x≤10），设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求f（x）的表达式；（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．【解答】解：（I）每年能源消耗费用为C（x）=，建造费用为6x，∴f（x）=20C（x）+6x=．（1≤x≤10）．（II）f′（x）=6﹣，令f′（x）=0得x=5或x=﹣（舍）．∴当1≤x＜5时，f′（x）＜0，当5＜x≤10时，f′（x）＞0．∴f（x）在[1，5）上单调递减，在[5，10]上单调递增．∴当x=5时，f（x）取得最小值f（5）=70．∴当隔热层修建5cm厚时，总费用最小，最小值为70万元．21．（13分）设函数，函数，其中a为常数且a＞0，令函数f（x）=g（x）•h（x）．（1）求函数f（x）的表达式，并求其定义域；（2）当时，求函数f（x）的值域；（3）是否存在自然数a，使得函数f（x）的值域恰为？若存在，试写出所有满足条件的自然数a所构成的集合；若不存在，试说明理由．【解答】解：（1），其定义域为[0，a]；（2分）（2）令，则且x=（t﹣1）2∴（5分）∴∵在[1，2]上递减，在[2，+∞）上递增，∴在上递增，即此时f（x）的值域为（8分）（3）令，则且x=（t﹣1）2∴∵在[1，2]上递减，在[2，+∞）上递增，∴y=在[1，2]上递增，上递减，（10分）t=2时的最大值为，（11分）∴a≥1，又1＜t≤2时∴由f（x）的值域恰为，由，解得：t=1或t=4（12分）即f（x）的值域恰为时，（13分）所求a的集合为{1，2，3，4，5，6，7，8，9}．（14分）。
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2016-2017学年上海市普陀区曹杨二中高二（上）期中数学试卷一.填空题1．（3分）三个平面最多把空间分割成个部分．2．（3分）两条异面直线所成的角的取值范围是．3．（3分）给出以下命题“已知点A、B都在直线l上，若A、B都在平面α上，则直线l在平面α上”，试用符号语言表述这个命题．4．（3分）设E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的形状一定是．5．（3分）设点A∈平面α，点B∈平面β，α∩β=l，且点A∉直线l，点B∉直线l，则直线l与过A、B两点的直线的位置关系．6．（3分）数列{a n}中，设S n是它的前n项和，若log2（S n+1）=n+1，则数列{a n}的通项公式a n=．7．（3分）a，b是不等的两正数，若=2，则b的取值范围是．8．（3分）计算81+891+8991+89991+…+81=．9．（3分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则点C1到直线BD的距离为．10．（3分）我们把b除a的余数r记为r=abmodb，例如4=9bmod5，如图所示，若输入a=209，b=77，则循环体“r←abmodb”被执行了次．11．（3分）设S n是数列{a n}的前n项和，a1=﹣1，a n+1=S n S n+1，则S n=．12．（3分）若三个数a，1，c成等差数列（其中a≠c），且a2，1，c2成等比数列，则的值为．13．（3分）在学习公理四“平行于同一条直线的两条直线平行”时，有同学进行类比，提出了下列命题：①平行于同一平面的两个不同平面互相平行；②平行于同一直线的两个不同平面互相平行；③垂直于同一直线的两个不同平面互相平行；④垂直于同一平面的两个不同平面互相平行；其中正确的有．14．（3分）在n行n列矩阵中，若记位于第i行第j列的数为a ij（i，j=1，2，…，n），则当n=9时，表中所有满足2i＜j的a ij的和为．二.选择题15．（3分）如图给出的是计算的值的一个程序框图，判断其中框内应填入的条件是（）A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜2016．（3分）下列命题中，正确的共有（）①因为直线是无限的，所以平面内的一条直线就可以延伸到平面外去；②两个平面有时只相交于一个公共点；③分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上；④一条直线与三角形的两边都相交，则这条直线必在三角形所在的平面内．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个17．（3分）从k2+1（k∈N）开始，连续2k+1个自然数的和等于（）A．（k+1）3B．（k+1）3+k3C．（k﹣1）3+k3D．（2k+1）（k+1）318．（3分）已知方程组的解中，y=﹣1，则k的值为（）A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1三.解答题19．解关于x、y的方程组，并对解的情况进行讨论．20．如图，A是△BCD所在平面外一点，M、N为△ABC和△ACD重心，BD=6；（1）求MN的长；（2）若A、C的位置发生变化，MN的位置和长度会改变吗？21．已知长方体ABCD﹣A'B'C'D'中，AB=4，AD=3，AA'=2；（1）求出异面直线AC'和BD所成角的余弦值；（2）找出AC'与平面D'DBB'的交点，并说明理由．22．已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n=（a n﹣1）（a为常数，且a≠0，a ≠1）；（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=+1，若数列{b n}为等比数列，求a的值；（3）若数列{b n}是（2）中的等比数列，数列c n=（n﹣1）b n，求数列{c n}的前n 项和T n．23．设数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得S n=a m，则称{a n}是“H数列”．（1）若数列{a n}的前n项和为S n=2n（n∈N*），证明：{a n}是“H数列”；（2）设{a n}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{a n}是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{a n}，总存在两个“H数列”{b n}和{c n}，使得a n=b n+c n （n∈N*）成立．2016-2017学年上海市普陀区曹杨二中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）三个平面最多把空间分割成8个部分．【解答】解：三个平面两两平行时，可以把空间分成4部分，三个平面有两个平行，第三个与他们相交时，可以把空间分成6部分，三个平面交于同一直线时，可以把空间分成6部分，三个平面两两相交，交线相互平行时，可以把空间分成7部分，当两个平面相交，第三个平面同时与两个平面相交时，把空间分成8部分．所以空间中的三个平面最多能把空间分成8部分．故答案为：8．2．（3分）两条异面直线所成的角的取值范围是（0°，90°] ．【解答】解：由异面直线所成角的定义可知：过空间一点，分别作相应直线的平行线，两条相交直线所成的直角或锐角为异面直线所成的角故两条异面直线所成的角的取值范围是（0°，90°]故答案为：（0°，90°]3．（3分）给出以下命题“已知点A、B都在直线l上，若A、B都在平面α上，则直线l在平面α上”，试用符号语言表述这个命题已知A∈l，B∈l，若A∈α，B∈α，则l⊆α．【解答】解：用符号语言表述这个命题为：已知A∈l，B∈l，若A∈α，B∈α，则l⊆α．故答案为：已知A∈l，B∈l，若A∈α，B∈α，则l⊆α．4．（3分）设E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的形状一定是平行四边形．【解答】解：如图，连接BD．因为FG是△CBD的中位线，所以FG∥BD，FG=BD．又因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，EH=BD．根据公理4，FG∥EH，且FG=EH．所以四边形EFGH是平行四边形．故答案为平行四边形5．（3分）设点A∈平面α，点B∈平面β，α∩β=l，且点A∉直线l，点B∉直线l，则直线l与过A、B两点的直线的位置关系异面．【解答】解：假设l与AB不是异面直线，那么它们在同一个平面上，记这个平面为γ．∵A和l都在平面γ上，∴由它们决定的平面α在平面γ上，∴平面γ=平面α．同理γ=平面β．∴α=β，∵A∈α，∴A∈β，所以A在α与β的交线l上，与已知点A∉直线l，点B∉直线l相互矛盾．∴假设不成立，∴l与AB是异面直线．故答案为：异面．6．（3分）数列{a n}中，设S n是它的前n项和，若log2（S n+1）=n+1，则数列{a n}的通项公式a n=．【解答】解：由log2（S n+1）=n+1，得S n+1=2n+1，∴，当n=1时，a1=S1=3；当n≥2时，，当n=1时，上式不成立，∴．故答案为：．7．（3分）a，b是不等的两正数，若=2，则b的取值范围是（0，2）．【解答】解：a，b是不等的两正数，且=2，须对a，b作如下讨论：①当a＞b时，=0，则==a，所以，a=2，因此，b∈（0，2），②当a＜b时，则=﹣b=2，而b＞0，故不合题意，舍去．综合以上讨论得，b∈（0，2），故答案为：（0，2）．8．（3分）计算81+891+8991+89991+…+81=10n+1﹣9n﹣10．【解答】解：原式=8×（10+102+…+10n）+（1+1+…+1）+（90+990+…+×10）=8×+n+（102﹣10）+（103﹣10）+…+（10n﹣10）=+n+﹣10（n﹣1）=10n+1﹣9n﹣10．故答案为：10n+1﹣9n﹣10．9．（3分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则点C1到直线BD的距离为．【解答】解：如图所示，连接AC，BD，DC1，BC1．设AC∩BD=O，连接OC1．∵DC1=BC1，OB=OD．∴OC1⊥BD，∴OC1是点C1到直线BD的距离．OC1==．故答案为：．10．（3分）我们把b除a的余数r记为r=abmodb，例如4=9bmod5，如图所示，若输入a=209，b=77，则循环体“r←abmodb”被执行了4次．【解答】解：模拟程序的运行，可得a=209，b=77，r=55不满足条件r=0，执行循环体，a=77，b=55，r=22不满足条件r=0，执行循环体，a=55，b=22，r=11不满足条件r=0，执行循环体，a=22，b=11，r=0此时，满足条件r=0，退出循环，输出a的值为22．由此可得循环体“r←abmodb”被执行了4次．故答案为：4．11．（3分）设S n是数列{a n}的前n项和，a1=﹣1，a n+1=S n S n+1，则S n=﹣．=S n S n+1，∴S n+1﹣S n=S n S n+1，【解答】解：∵a n+1∴=﹣1，∴数列是等差数列，首项为﹣1，公差为﹣1．∴=﹣1﹣（n﹣1）=﹣n，解得S n=﹣．故答案为：．12．（3分）若三个数a，1，c成等差数列（其中a≠c），且a2，1，c2成等比数列，则的值为0．【解答】解：∵a，1，c成等差数列，∴a+c=2 ①又a2，1，c2成等比数列，∴a2c2=1 ②联立①②得：或或，∵a≠c，∴或，则a+c=2，．∴=．故答案为：0．13．（3分）在学习公理四“平行于同一条直线的两条直线平行”时，有同学进行类比，提出了下列命题：①平行于同一平面的两个不同平面互相平行；②平行于同一直线的两个不同平面互相平行；③垂直于同一直线的两个不同平面互相平行；④垂直于同一平面的两个不同平面互相平行；其中正确的有①③．【解答】解：①平行于同一平面的两个不同平面互相平行，正确；②平行于同一直线的两个不同平面互相平行或相交，不正确；③垂直于同一直线的两个不同平面互相平行，正确；④垂直于同一平面的两个不同平面互相平行或相交，不正确．故答案为①③．14．（3分）在n行n列矩阵中，若记位于第i行第j列的数为a ij（i，j=1，2，…，n），则当n=9时，表中所有满足2i＜j的a ij的和为88．【解答】解：由题意可知：当i=1时，由2i＜j，∴j取3，4，5，6，7，8，9当i=2时，j取5，6，7，8，9当i=3时，j取7，8，9当i=4时，j取9∴表中所有满足2i＜j的a ij和为：a13+a14+a15+a16+a17+a18+a19+a25+a26+a27+a28+a29+a37+a38+a39+a49=3+4+5+6+7+8+9+6+7+8+9+1+9+1+2+3=88，故答案为：88二.选择题15．（3分）如图给出的是计算的值的一个程序框图，判断其中框内应填入的条件是（）A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜20【解答】解：框图首先给变量s，n，i赋值s=0，n=2，i=1．判断，条件不满足，执行s=0+，n=2+2=4，i=1+1=2；判断，条件不满足，执行s=+，n=4+2=6，i=2+1=3；判断，条件不满足，执行s=++，n=6+2=8，i=3+1=4；…由此看出，当执行s=时，执行n=20+2=22，i=10+1=11．此时判断框中的条件应满足，所以判断框中的条件应是i＞10．故选：A．16．（3分）下列命题中，正确的共有（）①因为直线是无限的，所以平面内的一条直线就可以延伸到平面外去；②两个平面有时只相交于一个公共点；③分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上；④一条直线与三角形的两边都相交，则这条直线必在三角形所在的平面内．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：对于①，因为平面也是可以无限延伸的，故错误；对于②，两个平面只要有一个公共点，就有一条通过该点的公共直线，故错误；对于③，交点分别含于两条直线，也分别含于两个平面，必然在交线上，故正确；对于④，若一条直线过三角形的顶点，则这条直线不一定在三角形所在的平面内，故错误．故选：B．17．（3分）从k2+1（k∈N）开始，连续2k+1个自然数的和等于（）A．（k+1）3B．（k+1）3+k3C．（k﹣1）3+k3D．（2k+1）（k+1）3【解答】解：从k2+1（k∈N）开始，连续2k+1个自然数的和=k2+1+k2+2+…+（k2+2k+1）=（2k+1）•k2+=2k3+3k2+3k+1=（k+1）2+k3．故选：B．18．（3分）已知方程组的解中，y=﹣1，则k的值为（）A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1【解答】解：由已知得到，解得；故选：B．三.解答题19．解关于x、y的方程组，并对解的情况进行讨论．【解答】解：系数矩阵D非奇异时，或者说行列式D=4﹣2m2﹣2m≠0，即m≠1且m≠﹣2时，方程组有唯一的解，x==，y==．系数矩阵D奇异时，或者说行列式D=4﹣2m2﹣2m=0，即m=1或m=﹣2时，方程组有无数个解或无解．当m=﹣2时，原方程为无解，当m=1时，原方程组为，无解．20．如图，A是△BCD所在平面外一点，M、N为△ABC和△ACD重心，BD=6；（1）求MN的长；（2）若A、C的位置发生变化，MN的位置和长度会改变吗？【解答】解：（1）延长AM、AN，分别交BC、CD于点E、F，连结EF．∵M、N分别是△ABC和△ACD的重心，∴AE、AF分别为△ABC和△ACD的中线，且=，可得MN∥EF且MN=EF，∵EF为△BCD的中位线，可得EF=BD，∴MN=BD=2；（2）由（1）可得位置改变，长度不改变．21．已知长方体ABCD﹣A'B'C'D'中，AB=4，AD=3，AA'=2；（1）求出异面直线AC'和BD所成角的余弦值；（2）找出AC'与平面D'DBB'的交点，并说明理由．【解答】解：（1）建立如图所示空间直角坐标系，∵AB=4，AD=3，AA'=2；∴C'（4，3，2），B（4，0，0），D（0，3，0）则：=（4，3，2），=（﹣4，3，0）异面直线AC'和BD所成角的余弦值为：==；（2）连接BD'，DB'交于点O，则点O即为AC'与平面D'DBB'的交点，根据长方体的几何特征可得：O为长方体ABCD﹣A'B'C'D'外接球的球心，AC'为长方体ABCD﹣A'B'C'D'外接球的直径，故O为AC'中点，又由BD'，DB'交于点O，故O在平面D'DBB'上，故O即为AC'与平面D'DBB'的交点．22．已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n=（a n﹣1）（a为常数，且a≠0，a ≠1）；（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=+1，若数列{b n}为等比数列，求a的值；（3）若数列{b n}是（2）中的等比数列，数列c n=（n﹣1）b n，求数列{c n}的前n 项和T n．【解答】解：（1）当n=1时，，∴a1=a，，当n≥2时，S n=（a n﹣1）且，两式做差化简得：a n=a•a n﹣1即：，∴数列{a n}是以a为首项，a为公比的等比数列，∴．（2）b n=+1=，若数列{b n}为等比数列，则=0，即．（3）由（2）知，∴∴T n=0×3+1×32+2×33+…+（n﹣1）3n…①3T n=0×32+1×33+2×34+…+（n﹣2）×3n+（n﹣1）×3n+1…②①﹣②得：﹣2T n=32+33+34+…+3n﹣（n﹣1）×3n+1=∴．23．设数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得S n=a m，则称{a n}是“H数列”．（1）若数列{a n}的前n项和为S n=2n（n∈N*），证明：{a n}是“H数列”；（2）设{a n}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{a n}是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{a n}，总存在两个“H数列”{b n}和{c n}，使得a n=b n+c n （n∈N*）成立．【解答】解：（1）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，当n=1时，a1=S1=2．当n=1时，S1=a1．当n≥2时，S n=a n+1．∴数列{a n}是“H”数列．（2）S n==，对∀n∈N*，∃m∈N*使S n=a m，即，取n=2时，得1+d=（m﹣1）d，解得，∵d＜0，∴m＜2，又m∈N*，∴m=1，∴d=﹣1．（3）设{a n}的公差为d，令b n=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，﹣b n=﹣a1，对∀n∈N*，b n+1c n=（n﹣1）（a1+d），﹣c n=a1+d，对∀n∈N*，c n+1则b n+c n=a1+（n﹣1）d=a n，且数列{b n}和{c n}是等差数列．数列{b n}的前n项和T n=，令T n=（2﹣m）a1，则．当n=1时，m=1；当n=2时，m=1．当n≥3时，由于n与n﹣3的奇偶性不同，即n（n﹣3）为非负偶数，m∈N*．因此对∀n∈N*，都可找到m∈N*，使T n=b m成立，即{b n}为H数列．数列{c n}的前n项和R n=，令c m=（m﹣1）（a1+d）=R n，则m=．∵对∀n∈N*，n（n﹣3）为非负偶数，∴m∈N*．因此对∀n∈N*，都可找到m∈N*，使R n=c m成立，即{c n}为H数列．因此命题得证．。