2015-2016学年上海市普陀区曹杨二中高一(上)期末数学试卷及答案

2015-2016学年上海市普陀区曹杨二中高一（上）期末数学试卷一、填空题：（每小题3分，共36分）1．（3.00分）已知集合A={x|x≥1}，B={x|x≥a}，若A，则实数a的取值范围是．2．（3.00分）若函数，，则f（x）+g（x）=．3．（3.00分）函数f（x）=2|x|+ax为偶函数，则实数a的值为．4．（3.00分）函数f（x）=x2（x≤﹣1）的反函数是f﹣1（x）=．5．（3.00分）在直角坐标系xOy中，终边在坐标轴上的角α的集合是．6．（3.00分）已知函数，则f（f（3））=．7．（3.00分）若幂函数在（0，+∞）是单调减函数，则m 的取值集合是．8．（3.00分）若不等式|x﹣m|＜1成立的充分不必要条件是1＜x＜2，则实数m 的取值范围是．9．（3.00分）已知等腰三角形的周长为常数l，底边长为y，腰长为x，则函数y=f （x）的定义域为．10．（3.00分）已知角α的终边上一点，且，则tanα的值为．11．（3.00分）已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，，则此函数的值域为．12．（3.00分）对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0，则称x0是f（x）的一个不动点，已知f（x）=x2+ax+4在[1，3]恒有两个不同的不动点，则实数a 的取值范围．二、选择题：（每小题4分，共16分）13．（4.00分）若a＜0，b＞0，则下列不等式恒成立的是（）A．a2＜b2B．C．D．+≥214．（4.00分）函数y=ln|x|与y=﹣在同一平面直角坐标系内的大致图象为（）A．B．C．D．15．（4.00分）已知函数f（x）=|lgx|﹣（）x有两个零点x1，x2，则有（）A．x 1x2＜0 B．x1x2=1 C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜116．（4.00分）对于函数f（x），若存在区间A=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f（x）为“可等域函数”，区间A为函数的一个“可等域区间”．给出下列四个函数：①f（x）=|x|；②f（x）=2x2﹣1；③f（x）=|1﹣2x|；④f（x）=log2（2x﹣2）．其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4三、解答题：（共48分）17．（10.00分）已知一个扇形的周长为定值a，求其面积的最大值，并求此时圆心角α的大小．18．（12.00分）若方程x2+（m﹣3）x+m=0，m∈R，在x∈R上有两个不相等的实数根，求m的取值范围．19．（12.00分）设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≥3；（2）若不等式f（x）≥3对一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围．20．（14.00分）已知集合M是具有下列性质的函数f（x）的全体：存在实数对（a，b），使得f（a+x）•f（a﹣x）=b对定义域内任意实数x都成立（1）判断函数是否属于集合M（2）若函数具有反函数f﹣1（x），是否存在相同的实数对（a，b），使得f（x）与f﹣1（x）同时属于集合M？若存在，求出相应的a，b，t；若不存在，说明理由．（3）若定义域为R的函数f（x）属于集合M，且存在满足有序实数对（0，1）和（1，4）；当x∈[0，1]时，f（x）的值域为[1，2]，求当x∈[﹣2016，2016]时函数f（x）的值域．2015-2016学年上海市普陀区曹杨二中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（每小题3分，共36分）1．（3.00分）已知集合A={x|x≥1}，B={x|x≥a}，若A，则实数a的取值范围是（﹣∞，1] ．【解答】解：∵集合A={x|x≥1}，B={x|x≥a}，A，∴a≤1．∴实数a的取值范围是（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．2．（3.00分）若函数，，则f（x）+g（x）=1+，0≤x≤1．【解答】解：∵函数，，∴，即0≤x≤1，∴f（x）+g（x）=（1+）+（）=1+．0≤x≤1．故答案为：1+．0≤x≤1．3．（3.00分）函数f（x）=2|x|+ax为偶函数，则实数a的值为0．【解答】解：∵f（x）=2|x|+ax为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即2|﹣x|﹣ax=2|x|+ax，则a=0，故答案为：0．4．（3.00分）函数f（x）=x2（x≤﹣1）的反函数是f﹣1（x）=﹣，x≥1．【解答】解：∵函数f（x）=y=x2（x≤﹣1），∴x=﹣，y≥1，x，y互换，得反函数f﹣1（x）=﹣，x≥1．故答案为：﹣，x≥1．5．（3.00分）在直角坐标系xOy中，终边在坐标轴上的角α的集合是{α|α=，n∈Z} ．【解答】解：终边在x轴上的角的集合为{α|α=kπ，k∈Z}，终边在y轴上的角的集合为{α|α=kπ+，k∈Z}，故合在一起即为{α|α=，n∈Z}故答案为：{α|α=，n∈Z}6．（3.00分）已知函数，则f（f（3））=3．【解答】解：∵函数，∴f（3）=23=8，f（f（3））=f（8）=log28=3．故答案为：3．7．（3.00分）若幂函数在（0，+∞）是单调减函数，则m 的取值集合是{0，1} ．【解答】解：∵幂函数f（x）=x m2﹣m﹣2（m∈Z）在区间（0，+∞）上是减函数，∴m2﹣m﹣2＜0，解得﹣1＜m＜2，∵m为整数，∴m=0，1∴满足条件的m的值的集合是{0，1}，故答案为：{0，1}．8．（3.00分）若不等式|x﹣m|＜1成立的充分不必要条件是1＜x＜2，则实数m 的取值范围是[1，2] ．【解答】解：由|x﹣m|＜1得m﹣1＜x＜m+1，∵1＜x＜2是不等式|x﹣m|＜1成立的充分不必要条件，∴满足，且等号不能同时取得，即，解得1≤m≤2，故答案为：[1，2]．9．（3.00分）已知等腰三角形的周长为常数l，底边长为y，腰长为x，则函数y=f （x）的定义域为（，）．【解答】解：由题意得：y+2x=l，2x＞y＞0，解得：＜x＜，故答案为：（，）．10．（3.00分）已知角α的终边上一点，且，则tanα的值为±1．【解答】解：由题意，，∴，∴tanα=±1．故答案为±1．11．（3.00分）已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，，则此函数的值域为．【解答】解：设t=，当x≥0时，2x≥1，∴0＜t≤1，f（t）=﹣t2+t=﹣+，∴0≤f（t）≤，故当x≥0时，f（x）∈[0，]；∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴当x≤0时，f（x）∈[﹣，0]；故函数的值域时[﹣，]．12．（3.00分）对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0，则称x0是f（x）的一个不动点，已知f（x）=x2+ax+4在[1，3]恒有两个不同的不动点，则实数a的取值范围．【解答】解：根据题意，f（x）=x2+ax+4在[1，3]恒有两个不同的不动点，得x=x2+ax+4在[1，3]有两个实数根，即x2+（a﹣1）x+4=0在[1，3]有两个不同实数根，令g（x）=x2+（a﹣1）x+4．在[1，3]有两个不同交点，∴，即解得：a∈；故答案为：．二、选择题：（每小题4分，共16分）13．（4.00分）若a＜0，b＞0，则下列不等式恒成立的是（）A．a2＜b2B．C．D．+≥2【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、若a=﹣3，而b=1，则a2＞b2．故A错误；对于B、若a=﹣9，而b=1，则有＞，故B错误；对于C，若a＜0，则＜0，而b＞0，则＞0，故＜，故C正确；对于D，若a＜0，b＞0，故＜0，＜0，则有+＜0，故D错误；故选：C．14．（4.00分）函数y=ln|x|与y=﹣在同一平面直角坐标系内的大致图象为（）A．B．C．D．【解答】解：由于函数y=ln|x|是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，故排除A、B；由于y=﹣，即y2+x2=1（y＜0），表示一个半圆（圆位于x轴下方的部分），故选：C．15．（4.00分）已知函数f（x）=|lgx|﹣（）x有两个零点x1，x2，则有（）A．x1x2＜0 B．x1x2=1 C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1【解答】解：f（x）=|lgx|﹣（）x有两个零点x 1，x2即y=|lgx|与y=2﹣x有两个交点由题意x＞0，分别画y=2﹣x和y=|lgx|的图象发现在（0，1）和（1，+∞）有两个交点不妨设x1在（0，1）里x2在（1，+∞）里那么在（0，1）上有2﹣x1=﹣lgx1，即﹣2﹣x1=lgx1…①在（1，+∞）有2﹣x2=lg x2…②①②相加有2﹣x2﹣2﹣x1=lgx1x2∵x2＞x1，∴2﹣x2＜2﹣x1即2﹣x2﹣2﹣x1＜0∴lgx1x2＜0∴0＜x1x2＜1故选：D．16．（4.00分）对于函数f（x），若存在区间A=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f（x）为“可等域函数”，区间A为函数的一个“可等域区间”．给出下列四个函数：①f（x）=|x|；②f（x）=2x2﹣1；③f（x）=|1﹣2x|；④f（x）=log2（2x﹣2）．其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：在①中，（0，+∞）是f（x）=|x|的唯一可等域区间，故①成立；在②中，f（x）=2x2﹣1≥﹣1，且f（x）在x≤0时递减，在x≥0时递增，若0∈[m，n]，则﹣1∈[m，n]，于是m=﹣1，又f（﹣1）=1，f（0）=﹣1，而f（1）=1，故n=1，[﹣1，1]是一个可等域区间；若n≤0，则，解得m=，n=，不合题意，若m≥0，则2x2﹣1=x有两个非负解，但此方程的两解为1和﹣，也不合题意，故函数f（x）=2x2﹣1只有一个等可域区间[﹣1，1]，故②成立；在③中，函数f（x）=|1﹣2x|的值域是[0，+∞），所以m≥0，函数f（x）=|1﹣2x|在[0，+∞）上是增函数，考察方程2x﹣1=x，由于函数y=2x与y=x+1只有两个交点（0，1），（1，2），即方程2x﹣1=x只有两个解0和1，因此此函数只有一个等可域区间[0，1]，故③成立；在④中，函数f（x）=log2（2x﹣2）在定义域（1，+∞）上是增函数，若函数有f（x）=log2（2x﹣2）等可域区间[m，n]，则f（m）=m，f（n）=n，但方程log2（2x﹣2）=x无解（方程x=log2x无解），故此函数无可等域区间，故④不成立．综上只有①②③正确．故选：C．三、解答题：（共48分）17．（10.00分）已知一个扇形的周长为定值a，求其面积的最大值，并求此时圆心角α的大小．【解答】解：设扇形面积为S，半径为r，圆心角为α，则扇形弧长为a﹣2r，所以S=（a﹣2r）r=﹣+．故当r=且α=2时，扇形面积最大为．18．（12.00分）若方程x2+（m﹣3）x+m=0，m∈R，在x∈R上有两个不相等的实数根，求m的取值范围．【解答】解：若方程x2+（m﹣3）x+m=0，m∈R，在x∈R上有两个不相等的实数根，则△=（m﹣3）2﹣4m＞0，解得：m＜1，或m＞9．19．（12.00分）设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≥3；（2）若不等式f（x）≥3对一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣1时，不等式f（x）≥3，即|x﹣1|+|x+1|≥3，①当x≥1时，不等式即x﹣1+x+1≥5，解得x≥；②当﹣1＜x＜1时，不等式即x﹣1﹣1﹣x≥5，无解；③当x≤﹣1时，不等式即1﹣x﹣1﹣x≥3，解得x≤﹣；综上，不等式f（x）≥5的解集为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．（2）∵f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|（x﹣1）﹣（x﹣a）|=|a﹣1|，∴f（x）min=|a﹣1|．∵f（x）≥3对任意x∈R恒成立，∴|a﹣1|≥3，解得a≤﹣2或a≥4，即实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）．20．（14.00分）已知集合M是具有下列性质的函数f（x）的全体：存在实数对（a，b），使得f（a+x）•f（a﹣x）=b对定义域内任意实数x都成立（1）判断函数是否属于集合M（2）若函数具有反函数f﹣1（x），是否存在相同的实数对（a，b），使得f（x）与f﹣1（x）同时属于集合M？若存在，求出相应的a，b，t；若不存在，说明理由．（3）若定义域为R的函数f（x）属于集合M，且存在满足有序实数对（0，1）和（1，4）；当x∈[0，1]时，f（x）的值域为[1，2]，求当x∈[﹣2016，2016]时函数f（x）的值域．【解答】解：（1）当f（x）=x时，f（a+x）•f（a﹣x）=（a+x）•（a﹣x）=a2﹣x2，其值不为常数，故f1（x）=x∉M，当f（x）=3x时，f（a+x）•f（a﹣x）=3a+x•3a﹣x=32a，当a=0时，b=1，故存在实数对（0，1），使得f（0+x）•f（0﹣x）=1对定义域内任意实数x都成立，故∈M；（2）若函数具有反函数f﹣1（x），且∈M，则f（a+x）•f（a﹣x）=•==b，则，解得：，此时f（x）=1（x≠﹣1），不存在反函数，故不存在实数对（a，b），使得f（x）与f﹣1（x）同时属于集合M．（3）函数f（x）∈M，且存在满足条件的有序实数对（0，1）和（1，4），于是f（x）•f（﹣x）=1，f（1+x）•f（1﹣x）=4，用x﹣1替换f（1+x）•f（1﹣x）=4中x得：f（x）f（2﹣x）=4，当x∈[1，2]时，2﹣x∈[0，1]，f（x）=∈[2，4]，∴x∈[0，2]时，f（x）∈[1，4]．又由f（x）•f（﹣x）=1得：f（x）=，故=，即4f（﹣x）=f（2﹣x），即f（2+x）=4f（x）．（16分）∴x∈[2，4]时，f（x）∈[4，16]，x∈[4，8]时，f（x）∈[16，64]，…依此类推可知x∈[2k，2k+2]时，f（x）∈[22k，22k+2]，故x∈[2014，2016]时，f（x）∈[22014，22016]，综上所述，x∈[0，2016]时，f（x）∈[1，22016]，x∈[﹣2016，0]时，f（x）=∈[2﹣2016，1]，综上可知当x∈[﹣2016，2016]时函数f（x）的值域为[2﹣2016，22016]．。