(完整版)幂函数图象及其性质
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幕函数的图像与性质
1幕函数的定义
形如y=x "(a € R )的函数称为幕函数,其中 x 是自变量,a 为常数 注:幕函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同, 幕函数的自变量在底数位置,
而
指数函数的自变量在指数位置。
例题、(1).下列函数中不是幕函数的是(
)
A . y 仮
B . y x 3 c . y 2x D . y x 1
答案:C
例2.已知函数f x
m 2 m 1 x 5m 3,当m 为何值时,f x
图像是上升曲线。
(1)是幕函数;
(2)是幕函数,且是
0,
上的增函数;(3)是正比例函数;(4)是反
比例函数; (5) 是二次函数; 简解:(1)
(2) (3) m
4 (4) m
5
(5) m 1
变式训练: 已知函数f
x m 2
2m
m
为何值时,
在第一象限内它的
2
小
简解:m m 0
2
m 2m 3 解得:m 0
U 3,
小结与拓展:要牢记幕函数的定义,列出等式或不等式求解。
2.幕函数的图像
幕函数y = x a 的图象由于a 的值不同而不同.
a 的正负:a> 0时,图象过原点和(1,1),在第一象限的图象上升;
在第一象限的图象下降,反之也成立;
aV 0,图象不过原点,
1
注:在上图第一象限中如何确定
y=x 3, y=x 2, y=x , y x 2 , y=x -1方法:可画出x=x o ;
当x o >l 时,按交点的高低,从高到低依次为
y=x 3, y=x 2, 当0 y=x -1, y y=x y=x 2 y=x 3 1 y x? y=x -1 定义域 R R R [0, ) x| x R 且x 0 值域 R [0, ) R [0, ) y | y R 且 y 0 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 x € [0 , )时,增; x € ( ,0]时,减 增 增 x € (0,+ )时,减; x € (- ,0)时,减 定点 (1 , 1) 例.比较大小: 1 1_ "T ~ 3 3 1 1 2 3 0 5 (1)1.52 ,1.72 (2)( 1.2) ,( 1.25) (3)5.25 ,5.26 ,5.26 (4)0.5 ,3 . ,log 3 0.5 解: (1 )??? y X 在[0,)上是增函数,1.5 1.7 1.52 1.72 1 y=x , y x 2, y=x -1 ; 1 2 2 3 x 2 ,y=x , y=x 2,y=x 3 。 (2) ?/ y 3 x在R上是增函数,1.21.25,二( 1.2)3( 1.25)3 (3) ?/ y x1在(0,)上是减函数,5.25 5.26 , 5.25 1 5.26 1? ...y 5.26x ( 是增函数, 1 2 ,.?? 5.261 5.26 2 ? 综上,5.251 5.26 1 5.26 2 (4) 00.53130.5 1 log3 0.5 ... log?3 0.5 0.530.5 5?幕函数的性质及其应用 幕函数y= X a有下列性质:(1)单调性:当a>0时,函数在(0, + ^上单调递增;当a V 0时,函数在(0,+^上单调递减.(2)奇偶性:幕函数中既有奇函数,又有偶函数,也有非奇非偶函数,可以用函数奇偶性的定义进行判断. m2例3.已知幕函数y x 2m 3 (m Z)的图象与x轴、y轴都无交点,且关于原点对称, 求m的值. 解:???幕函 数 2 m 2m y x 3 ( m Z)的图象与x轴、y轴都无交点, 2 m2m 3 0 - ? ? ? 1m 3 ; ?/ m Z ,. (m22m3)Z,又函数图象关于原点对称, 2 m2m 3是奇数, ???m0或m 2 例7.已知点(血2)在幕函数f(x)的图象上,点2,-,在幕函数g(x)的图象上.问当x 4 为何值时有:(1) f (x) g(x) ; (2) f (x) g(x) ; (3) f (x) g(x). 2 变式:已知幕函数f(x)=x m 2m 3(m€ Z)为偶函数,且在区间(0, +8)上是单调减函数. (1)求函数f(x); (2)讨论F (x) =a、f (x) b—的奇偶性. xf (x) 6?规律方法 (1 ) ?幕函数y= x a(a= 0,1)的图象 (2)?幕函数y x a(a q, p,q N,-q为最简分式)的图象 例1概念:一般地,我们把形如 _的函数称为幕函数,其中__________________ 是自变量,_________ 是常数;注意:幕函数与指数函数的区别. 2?性质: (1)幕函数的图象都过点______________ ;任何幕函数都不过 ____________ 象限; (2)当a 0时,幕函数在[0,)上_________ ;当a 0时,幕函数在(0,)上__________________ 1 (3)当a 2,2时,幕函数是______________ ;当a 1,1,3 -时,幕函数是_____________________ 3 解: 由图像可知: 应选(C). 综合训练: 2、幕函数的图象都经过点( 像, (A) (C) 例1、右图为幂函数y 则a,b,c,d 的大小关系是 (B)b (D)a x 在第一象限的图 1.在函数y 1 3 , y 3x 2, y x 2 x,y X 0 中, 幕函数的个数为 A . (1 , 1) B . (0, 1) (0, 0) D . ( 1, A . (0,+ ) B . [0,+ )C . R D .(- ,0)U (0,+ ) 若幂函数f x x a 在 0, 上是增函数,则 ( ) A . a >0 B . a <0 C . a =0 D .不能确定 若幕函数f x m 1 ” x 在(0, +8上是减函数,则 ( ) A . m >1 B . m <1 C . m =l D .不能确定 d > c > b > a a > b > c > d C 、 d > c > a > b a > b > d > c a 、 b 、 c b X ) 4. 6. 9、若四个幕函数 5 3、幕函数y x 2的定义域为 b c X , y = X a x , y = 系 a 10、当x €( 1,+? 时,函数)y = x 的图象恒在直线 y = x 的下方,则a 的取值范围是 A 、a v 1 B 、0 v a v 1 C 、a > 0 D 、a v 0 二、填空题: _ 1 _ 1 12、 若(a + 1) 2 v (3a — 2)至,贝V a 的取值范围是 ____ ; 3 13. 函数y x °的定义域为 ________________ . 三、解答题: 17下面六个幕函数的图象如图所示,试建立函数与图象之间的对应关系 . (1) y x 2; ( 2) y x 3;(3) y x 3; 四:方向预测、胜利在望 1— 5ADDDC 6 1. (A) 函数f (x) Ig 2. x 4 (1, 4) B . [1 , 4) 以下四个数中的最大者是( 2 (A) (l n2) —10AADDA x 的定义域为( 11 —15 CADDB. 5. A . (A) C . (_m , ) 1)U (4, D . ( — a, 1] U (4 ,+s ) (B )设 f(x)= (B) l n(ln2) c x 1 2e ,x log 3(x 2 2, 1),x 2, (C) ln 2 (D) In2 则不等式f(x)>2的解集为( (A) (C) (A )设丨 A. R Q P 6. (1, (1 , P + a) 2) log 2 3 , B. (3, (■ 10 , + a) Q log 3 2 , R P R Q C. (B) ( 10 , + a) (D) (1 , 2) log 2(log 3 2),则( Q P D. R 7. (A)已知 log 1 b log 1 a log 1 c ,贝U () 2 2 2 b a c a b c c A . 2 2 2 B . 2 2 2 C . 2 9. (A )函数y 、log ;(3x 2)的定义域是:( ) 2b 2a D . 2c 2a 2b x 1 2 2 3 (4)y x ;(5)y x ;(6)y 指对幂函数图像及其性质 1. 已知函数()() 123,2,log 1,2,x e x f x x x -?=?-≥??若()1f a ≥,则a 的取值范围是( ). A .[)1,2 B .[)1,+∞ C .[)2,+∞ D .][(),21,-∞-+∞U 2. 已知571log 2,log 3,2a b c ===,则,,a b c 的大小关系是( ) A. a b c << B. a c b << C. b a c << D. c b a << 3. 设1 13212 111log ,(),()323a b c ===,则,,a b c 的大小关系是( ) A. a b c << B. c a b << C. b c a << D. c b a << 4. 已知函数()()()f x x a x b =--(其中a b >)的图象如图所示,则函数()()log a g x x b =-的图象大致是( ). A . B . C . D . 5. e 是自然对数的底数,若() 1,1x e -∈,ln a x =,12x b ??= ???,x c e =,则( ) A .b c a >> B .a b c >> C .c b a >> D .c a b >> 6. 已知()f x 是周期为2的奇函数,当01x <<时,12 ()log f x x =,设6()5a f =,3()2b f =,5()2c f =,则,,a b c 的大小关系为( ). A. a b c << B. c b a << C. c a b << D. b a c << 7. 设,x y 为负实数且23x y =,则下列说法正确的是( ) A .32y x = B .32y x < C .23x y < D .以上都不对 8. 设a ,b ,c 均为正数,且12 2log a a =,121()log 2b b =,21()log 2c c =,则a ,b ,c 的大小关系为( ). A. c a b << B. c b a << C. a b c << D. b a c << 9. 若23a b ==6,则4a -=___;11a b +=___ 10. 设37,52a ??∈-??? ?,则使函数a y x =的定义域为R 且为奇函数的所有α值为__________. (一)指数与指数函数 1.根式 (1)根式的概念 (2).两个重要公式 ①?? ??????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ; ②a a n n =)((注意a 必须使n a 有意义)。 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n m n a a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n m n a a m n N n a a - *= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。 (2)有理数指数幂的性质 ①a r as =a r+s (a>0,r 、s∈Q); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r bs (a>0,b>0,r ∈Q );. 3.指数函数的图象与性质 y =a x a>1 0 图象 定义域R 值域(0,+∞) 性质(1)过定点(0,1) (2)当x>0时,y>1; x<0时,0 幂函数 分数指数幂 正分数指数幂的意义是:m n a =0a >,m 、n N ∈,且1n >) 负分数指数幂的意义是:m n a -= (0a >,m 、n N ∈,且1n >) 1、 幂函数的图像与性质 幂函数n y x =随着n 的不同,定义域、值域都会发生变化,可以采取按性质和图像分类记忆的方法.熟练掌握n y x =,当11 2,1,,,323 n =±±±的图像和性质,列表如下. 从中可以归纳出以下结论: ① 它们都过点()1,1,除原点外,任何幂函数图像与坐标轴都不相交,任何幂函数图像都不过第四象限. ② 11 ,,1,2,332a = 时,幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数. ③ 1 ,1,22a =---时,幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数. ④ 任何两个幂函数最多有三个公共点. 0n < 幂函数基本性质 (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1); (2)α>0时,幂函数的图象都通过原点,并且在[0,+∞]上,是增函数 (3)α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数. 规律总结 1.在研究幂函数的性质时,通常将分式指数幂化为根式形式,负整指数幂化为分式形式再去进行讨论; 2.对于幂函数y =αx ,我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性,由此确定图象的位置,即所在象限,其次确定曲线的类型,即α<0,0<α<1和α>1三种情况下曲线的基本形状,还要注意α=0,±1三个曲线的形状;对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆:“正抛负双,大竖小横”,即α>0(α≠1)时图象是抛物线型;α<0时图象是双曲线型;α>1时图象是竖直抛物线型;0<α<1时图象是横卧抛物线型. O x y O x y O x y 【知识结构】 1 ?有理数指数幕 (1)幕的有关概念 m ①正数的正分数指数幕:a n v'a m (a 0,m> n N ,且n 1); (三)幕函数 1、幕函数的定义 形如y=x " (a € R )的函数称为幕函数, m 1 1 a n m / ----- (a m n a a ②正数的负分数指数幕 0,m 、n N ,且n 1) ③0的正分数指数幕等于0,0的负分数指数幕没有意义 注:分数指数幕与根式可以互化,通常利用分数指数幕进行根式的运算 (2)有理数指数幕的性质 ①a f a s =a r+s (a>0,r 、s € Q ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s € Q); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r € Q);. 例2 (1)计算: 3 "3 4 o 5 [(38)3(56) . 2 1 1 (0.008) 3 (0.02) ' (0.32円 0.06250.25 4 1 a 3 8a 3b 2 2 (2)化简:4b 3 23 ab a 3 (a 3 23 b) . a 3 a 2 a 引Ja Va 变式: (1) (2007执信A )化简下列各式(其中各字母均为正数) 2) 1 2 1 b 2 ( 3a?b 1) (4a? b 予. 其中x是自变量,a为常数 注:幕函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同,幕函数的自变量在底数位置,而指数函数的自变量在指数位置。 例1.下列函数中不是幕函数的是() A. y Vx B. y X3 C y 2x D. y X1 例2.已知函数f x m2m 1 x 5m 3,当m为何值时,f x : (1)是幕函数;(2)是幕函数,且是0, 上的增函数; (3)是正比例函数;(4)是反比例函数;(5)是二次函数; 变式已知幕函数y (m2 m 1)x m 2m 3,当x (0,g)时为减函数,则幕函数 y _______ - 2. 幕函数的图像 幕函数y= x a的图象由于a的值不同而不同. a的正负:a> 0时,图象过原点和(1,1),在第一象限的图象上升; aV0时,图象不过原点,在第一象限的图象下降,反之也成立; 幂函数的图像与性质 (三)幂函数 1、幂函数的定义 形如y=x α(a ∈R )的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α为常数 注:幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同,幂函数的自变量在底数位置,而指数函数的自变量在指数位置。 例1.下列函数中不是幂函数的是( ) A .y x = B .3y x = C .2y x = D .1 y x -= 例2.已知函数()()2531m f x m m x --=--,当 m 为何值时,()f x : (1)是幂函数;(2)是幂函数,且是()0,+∞上的增函数; (3)是正比例函数;(4)是反比例函数;(5)是二次函数; 变式 已知幂函数2 223(1)m m y m m x --=--,当(0)x ∈+,∞时为减函数,则幂函数 y =_______. 2.幂函数的图像 幂函数y =x α的图象由于α的值不同而不同. α的正负:α>0时,图象过原点和(1,1),在第一象限的图象上升; α<0时,图象不过原点,在第一象限的图象下降,反之也成立; 3、幂函数的性质 y=x y=x 2 y=x 3 12 y x = y=x -1 定义域 R R R [0,+∞) {}|0x x R x ∈≠且 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {}|0y y R y ∈≠且 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 x ∈[0,+∞)时,增; x ∈(,0]-∞时,减 增 增 x ∈(0,+∞)时,减; x ∈(-∞,0)时,减 定点 (1,1) 例3.比较大小: (1)112 2 1.5,1.7 (2)33( 1.2),( 1.25)--(3)112 5.25,5.26,5.26---(4)30.530.5,3,log 0.5 4.幂函数的性质及其应用 幂函数y =x α有下列性质: (1) 单调性:当α>0时,函数在(0,+∞)上单调递增; 当α<0时,函数在(0,+∞)上单调递减. (2)奇偶性:幂函数中既有奇函数,又有偶函数,也有非奇非偶函数,可以用函数奇偶性的定义进行判断. 例4.已知幂函数2 23 m m y x --=(m Z ∈)的图象与x 轴、y 轴都无交点,且关于 原点对称,求m 的值. 幕函数的图像与性质 1幕函数的定义 形如y=x "(a € R )的函数称为幕函数,其中 x 是自变量,a 为常数 注:幕函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同, 幕函数的自变量在底数位置, 而 指数函数的自变量在指数位置。 例题、(1).下列函数中不是幕函数的是( ) A . y 仮 B . y x 3 c . y 2x D . y x 1 答案:C 例2.已知函数f x m 2 m 1 x 5m 3,当m 为何值时,f x 图像是上升曲线。 (1)是幕函数; (2)是幕函数,且是 0, 上的增函数;(3)是正比例函数;(4)是反 比例函数; (5) 是二次函数; 简解:(1) (2) (3) m 4 (4) m 5 (5) m 1 变式训练: 已知函数f x m 2 2m m 为何值时, 在第一象限内它的 2 小 简解:m m 0 2 m 2m 3 解得:m 0 U 3, 小结与拓展:要牢记幕函数的定义,列出等式或不等式求解。 2.幕函数的图像 幕函数y = x a 的图象由于a 的值不同而不同. a 的正负:a> 0时,图象过原点和(1,1),在第一象限的图象上升; 在第一象限的图象下降,反之也成立; aV 0,图象不过原点, 1 注:在上图第一象限中如何确定 y=x 3, y=x 2, y=x , y x 2 , y=x -1方法:可画出x=x o ; 当x o >l 时,按交点的高低,从高到低依次为 y=x 3, y=x 2, 当0 课件6幕函数图象及性质 课件编号:AB I -2-3-1. 课件名称:幕函数图象及性质? 课件运行环境:几何画板4.0以上版本. 课件主要功能:配合教科书“ 2.3幕函数”的教学.利用几何画板绘制函数图象的功能,绘制出幕函数的图象,再利用幕函数的图象研究函数的性质. 课件制作过程: (1)新建画板窗口.单击【Graph](图表)菜单中的【Define Coordinate System!(建立直角坐标系),建立直角坐标系.选中原点,按Ctrl + K,给原点加注标签A,并用【文本]工具把标签改为O. (2)单击【Graph]菜单的【Plot New Function](绘制函数图象),弹出“New Function”函数式编辑器,编辑函数f (x)= x,单击【OK]后画出函数f (x) 1 , , _ 2 3 —_ 1 =x的图象.同法编辑函数g (x)= x,h (x)= x,q(x)=x2和函数r(x)二一的 x 图象.选中函数图象,单击【Display](显示)菜单中的【Line Width](线型)中的【Thick](粗线).把上述图象设置成粗线,单击【Display](显示)菜单中的【Color](颜色)的选择各种不同的颜色给每一个函数图象着色,如图1. 图1 (3)再选中直线f (x) = x,单击【Edit](编辑)菜单,选择【Action Buttons] (操作类按钮),单击【Hide/Show](隐藏/显示),此时屏幕上出现【Hide Function Plot](隐藏对象)按钮,选择【文本工具】,双击【Hide Function Plot】按钮, 出现对话框,将其中的【Label](标签)改为“ f (x)= x”,再单击【确定】?此时,单击“f (x)二x”按钮就会隐藏或显示直线f (x)二x ?用同样的方法制作 1 【Hide Function Plot】按钮g (x)= x2,h(x)=x3,q(x)=x2和r(x)二-,如图 x 2. (4)单击【File】(文件)菜单的【Document Options】(文档选项)对话框,将【Page Namd (页面名称)改为“画图象”,单击【0K】. (5)单击【File】(文件)菜单的【Document Options】(文档选项)对话框, 单击【Add Page](增加页),单击【Blank Pagd (空白页),将页面名称改为“ g 2” (X)= x ? (6)单击【Graph】菜单的【Plot New Function】(绘制函数图象),弹出 “New Function”函数式编辑器,在对话框内依次单击x,A,2,单击【OK】后画出函 指数函数对数函数幂函数的图像和性质知识点 总结 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】 (一)指数与指数函数 1.根式 (1)根式的概念 (2).两个重要公式 ①????????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ; ②a a n n =)((注意a 必须使n a 有意义)。 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂:10,,1)m n m n a a m n N n a -*= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。 (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q);. 3.指数函数的图象与性质 n 为奇数 n 为偶 数 注:如图所示,是指数函数(1)y=a x ,(2)y=b x,(3),y=c x (4),y=d x 的图象,如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系? 提示:在图中作直线x=1,与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值,即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。即无论在轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大。 (二)对数与对数函数 1、对数的概念 (1)对数的定义 如果(01)x a N a a =>≠且,那么数x 叫做以a 为底,N 的对数,记作log N a x =,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数。 (2 2(1)对数的性质(0,1a a >≠且):①1 log 0a =,②log 1a a =,③log N a a N =, ④log N a a N =。 (2)对数的重要公式: ①换底公式:log log (,1,0)log N N a b b a a b N =>均为大于零且不等于; ②1 log log b a a b = 。 (3)对数的运算法则: 如果0,1a a >≠且,0,0M N >>那么 ①N M MN a a a log log )(log +=; ②N M N M a a a log log log -=; ③)(log log R n M n M a n a ∈=; 指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质 (一)指数与指数函数 1.根式 (1)根式的概念 (2).两个重要公式 ①?? ??????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ; ②a a n n =)((注意a 必须使n a 有意义)。 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n a a m n N n a - *= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义、 注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。 (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );、 3.指数函数的图象与性质 n 为奇数 n 为偶数 图象 定义域R 值域(0,+∞) 性质(1)过定点(0,1) (2)当x>0时,y>1; x<0时,0 【知识结构】 1.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂 :0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂 : 10,,1)m n m n a a m n N n a -*= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。 (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q);②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q);. 例2 (1)计算:25 .021 21 3 2 5 .032 0625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷?÷+---; (2)化简:533233 23 23 3 23 134)2(248a a a a a b a a ab b b a a ??? -÷++-- 变式:(2007执信A )化简下列各式(其中各字母均为正数): (1) ;)(6 5 3 121211 3 2 b a b a b a ????- -(2).)4()3(6 521 3 32121231----?÷-??b a b a b a (3) 100.2563 71.5()86-?-+- (三)幂函数 1、幂函数的定义 形如y=x α(a ∈R )的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α为常数 注:幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同,幂函数的自变量在底数位置,而指数函数的自变量在指数位置。 例1.下列函数中不是幂函数的是( ) A .y x = B .3y x = C .2y x = D .1 y x -= 例2.已知函数()()2531m f x m m x --=--,当 m 为何值时,()f x : (1)是幂函数;(2)是幂函数,且是()0,+∞上的增函数; (3)是正比例函数;(4)是反比例函数;(5)是二次函数; 变式 已知幂函数2 223(1)m m y m m x --=--,当(0)x ∈+,∞时为减函数,则幂函数 y =_______. 2.幂函数的图像 幂函数y =x α的图象由于α的值不同而不同. α的正负:α>0时,图象过原点和(1,1),在第一象限的图象上升; α<0时,图象不过原点,在第一象限的图象下降,反之也成立; 幂函数的图像与性质 1、幂函数的定义 形如y=x α (a ∈R )的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α为常数 注:幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同,幂函数的自变量在底数位置,而指数函数的自变量在指数位置。 例题、(1). 下列函数中不是幂函数的是( ) A .y = B .3y x = C .2y x = D .1 y x -= 答案:C 例2.已知函数()()2531m f x m m x --=--,当 m 为何值时,()f x : (1)是幂函数;(2)是幂函数,且是()0,+∞上的增函数;(3)是正比例函数;(4)是反比例函数;(5)是二次函数; 简解:(1)2m =或1m =-(2)1m =-(3)45m =-(4)2 5 m =-(5)1m =- 变式训练:已知函数()() 22 23 m m f x m m x --=+,当 m 为何值时,()f x 在第一象限内它的 图像是上升曲线。 简解:220230 m m m m ?+>? ?-->??解得:()(),13,m ∈-∞-+∞ 小结与拓展:要牢记幂函数的定义,列出等式或不等式求解。 2.幂函数的图像 幂函数y =x α的图象由于α的值不同而不同. α的正负:α>0时,图象过原点和(1,1),在第一象限的图象上升;α<0,图象不过原点,在第一象限的图象下降,反之也成立; 注:在上图第一象限中如何确定y=x 3 ,y=x 2 ,y=x ,12 y x =,y=x -1方法:可画出x=x 0; 当x 0>1时,按交点的高低,从高到低依次为y=x 3,y=x 2, y=x ,12 y x =, y=x -1; 当0 (一)指数与指数函数 1.根式 (1)根式的概念 (2).两个重要公式 ①?? ??????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ; ②a a n n =)((注意a 必须使n a 有意义)。 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n m n a a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n m n a a m n N n a a - *= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义、 注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。 (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );、 3.指数函数的图象与性质 y=a x a>1 0 图象 定义域R 值域(0,+∞) 性质(1)过定点(0,1) (2)当x>0时,y>1; x<0时,0 讲义 教材与考点分析: 本节课学习的内容是了解幂函数的图像及性质,如果a取非零的有理数是比较容易理解的,不过初学者对于a取无理数,则不太容易理解,在我们的课程里,不要求掌握如何理解指数为无理数的问题,因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识。因此我们只要接受它作为一个已知事实即可。 幂函数 一般地,形如y=x a x(a为实数)的函数叫幂函数对于a的取值为非零有理数,有必要分成几种情况来讨论各自的特性: 首先我们知道如果a=p/q,q和p都是整数,则x^(p/q)=q次根号(x的p 次方),如果q是奇数,函数的定义域是R,如果q是偶数,函数的定义域是[0,+∞)。当指数n是负整数时,设a=-k,则x=1/(x^k),显然x≠0,函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点,一是有可能作为分母而不能是0,一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数,那么我们就可以知道: 排除了为0与负数两种可能,即对于x>0,则a可以是任意实数; 排除了为0这种可能,即对于x<0和x>0的所有实数,q不能是偶数; 排除了为负数这种可能,即对于x为大于且等于0的所有实数,a就不能是负数。 总结起来,就可以得到当a为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下:如果a为任意实数,则函数的定义域为大于0的所有实数; 如果a为负数,则x肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定,即如果同时q为偶数,则x不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数,则函数的定义域为不等于0 的所有实数。 在x大于0时,函数的值域总是大于0的实数。 在x小于0时,则只有同时q为奇数,函数的值域为非零的实数。 而只有a为正数,0才进入函数的值域。 由于x大于0是对a的任意取值都有意义的,因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况. 可以看到: (1)所有的图形都通过(1,1)这点。 (2)当a大于0时,幂函数为单调递增的,而a小于0时,幂函数为单调递减函数。 (3)当a大于1时,幂函数图形下凹;当a小于1大于0时,幂函数图形上凸。(4)当a小于0时,a越小,图形倾斜程度越大。 (5)a大于0,函数过(0,0);a小于0,函数不过(0,0)点。 (6)显然幂函数无界。 练习:3. 指对幂函数图像及其性质(文-中档)
指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质知识点总结
幂函数的图像性质和应用
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(完整版)幂函数图象及其性质
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指数函数对数函数幂函数的图像与性质
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