人教版九年级数学上册一元二次方程的解法公式法课件
实数根吗
w上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.
w用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法
w注意: w用公式法解一元二次方程的前提是: w1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0). w2.b2-4ac≥0.
一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0是否有实数
根，完全取决于 b2 4ac 的符号。 若 b2 4ac 0 ，则方程有实数根；
结论：当 b2 4ac0 无实数根.
时，一元二次方程
人教版九年级数学上册21.2.2一元二 次方程 的解法 公式法 课件
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
(a
0)
当b2 4ac ＞0 时，方程的右边是一个正数，方程有两个不
相等的实数根： x1 b
b2 4ac b
2a
; x2
b2 4ac ;
2
x1 x2
人教版九年级数学上册21.2.2一元二 次方程 的解法 公式法 课件
解 : a 5, b 4, c 12
w1.变形:化已知方程
b2 4ac 42 4 5 (12) 256 0. 为一般形式;
方程有两个不相等的实数根
w2.确定系数:用
x b b2 4ac 2a
a,b,c写出各项系
数; w3.计算:
b2-4ac
4 256 4 16 .
若 b2 4ac 0 ， 则方程没有实数根，
因此，我们把 b2 4ac 叫做一元二次方程
ax2 bx c 0 a 0
的根的判别式，通常用“ ”来表示，即
b2 4ac
人教版九年级数学上册21.2.2一元二 次方程 的解法 公式法 课件
典型例题：
w 例1、用公式法解方程 5x2-4x-12=0
结论：当 b2 4ac 0 时，一元二次方程有两个
人教版九年级数学上册21.2.2一元二 次方程 的解法 公式法 课件
例3 用公式法解方程： x2=3x-8
解：移项，得x2-3x+8=0
∵a=1，b=-3，c=8 b2-4ac=9-4×1×8=-23＜0 ∴原方程无实数根
人教版九年级数学上册21.2.2一元二 次方程 的解法 公式法 课件
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
（口答）填空：用公式法解方程
2x2+x-6=0 解：a= 2 ，b= 1 ，c = -6 .
b2-4ac= 12-4×2×(-6) = 49﹥. 0
1 49 1 7
x=
= 22 = 4 .
即 x1= -2 , x2= 3 . 2
人教版九年级数学上册21.2.2一元二 次方程 的解法 公式法 课件
22.2一元二次方程的解法
三.如何用配方法解一般形式的一元二次
方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）呢？
归纳总结：
w 一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
当b2 4ac 0时,它的根是 :
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
当b2 4ac 0 时，方程有
例2： 解方程：x2 3 2 3x
解：原方程化为：x2 2 3x 3 0
a 1,b 2 3,c 3
b2 4ac 2 3 2 4 1 3 0
方程有两个相等的实数根
x 2 3 0 2 3 3
2 1
2
x1 x2 3
人教版九年级数学上册21.2.2一元二 次方程 的解法 公式法 课件
反过来，对于方程ax2 bx c 0a 0 ，
如果方程有两个不相等的实数根，那么b2 4ac 0; 如果方程有两个相等的实数根，那么 b2 4ac 0; 如果方程没有实数根，那么 b2 4ac 0.
人教版九年级数学上册21.2.2一元二 次方程 的解法 公式法 课件
人教版九年级数学上册21.2.2一元二 次方程 的解法 公式法 课件
x 1 9 13 22 4
x1
1,
x2
1. 2
人教版九年级数学上册21.2.2一元二 次方程 的解法 公式法 课件
b2 4ac 9 6 3 0
方程有两个不相等的实数根
3 3
x2Βιβλιοθήκη 3 33 3x1 2 , x2 2 .
人教版九年级数学上册21.2.2一元二 次方程 的解法 公式法 课件
2a
当b2 4ac =0 时，方程的右边是 0，方程有两个相等的
实数根：
x1
x2
b 2a
;
当b2 4ac ＜0 时，方程的右边是一个负数，因为在实
数范围内，负数没有平方根.所以，方程没有实数根.
人教版九年级数学上册21.2.2一元二 次方程 的解法 公式法 课件
人教版九年级数学上册21.2.2一元二 次方程 的解法 公式法 课件
一元二次方程根的情况与判别式的关系
b2 4ac 0 b2 4ac 0 b2 4ac 0
方程有两个不相等的实数根； 方程有两个相等的实数根； 方程没有实数根。
人教版九年级数学上册21.2.2一元二 次方程 的解法 公式法 课件
人教版九年级数学上册21.2.2一元二 次方程 的解法 公式法 课件
人教版九年级数学上册21.2.2一元二 次方程 的解法 公式法 课件
随堂 练习
1.用公式法解下列方程：
(1)2x2-x-1=0
(2)x2+1.5=-3x
解 : a 2, b 1, c 1 解 : x2 3x 1.5 0
b2 4ac 1 8 9 0
方程有两个不相等的实数根a 1, b 3, c 1.5
2
25
8 x1
6 5
;
10
x2
2.
的值，确定方程有
无实数根。
w4.代入:把有关数 值代入公式计算; w5.定根:写出原方 程的根.
结论：5当 b2 4ac0 时，一元二次方程有两个不
人教版九年级数学上册21.2.2一元二 次方程 的解法 公式法 课件
相等的实数根.
人教版九年级数学上册21.2.2一元二 次方程 的解法 公式法 课件
随堂 练习
(3)x2 2x 1 0 解 : a , b 22, c 1
2 b2 4ac 2 2 0
(4)4x2-3x+2=0
解 : a 4, b 3, c 2 b2 4ac 9 32 23 0
方程有两个相等的实数根方程没有实数根
x ( 2) 0 2 0
2
w上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.
w用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法
w注意: w用公式法解一元二次方程的前提是: w1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0). w2.b2-4ac≥0.
一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0是否有实数
根，完全取决于 b2 4ac 的符号。 若 b2 4ac 0 ，则方程有实数根；
结论：当 b2 4ac0 无实数根.
时，一元二次方程
人教版九年级数学上册21.2.2一元二 次方程 的解法 公式法 课件
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
(a
0)
当b2 4ac ＞0 时，方程的右边是一个正数，方程有两个不
相等的实数根： x1 b
b2 4ac b
2a
; x2
b2 4ac ;
2
x1 x2
人教版九年级数学上册21.2.2一元二 次方程 的解法 公式法 课件
解 : a 5, b 4, c 12
w1.变形:化已知方程
b2 4ac 42 4 5 (12) 256 0. 为一般形式;
方程有两个不相等的实数根
w2.确定系数:用
x b b2 4ac 2a
a,b,c写出各项系
数; w3.计算:
b2-4ac
4 256 4 16 .
若 b2 4ac 0 ， 则方程没有实数根，
因此，我们把 b2 4ac 叫做一元二次方程
ax2 bx c 0 a 0
的根的判别式，通常用“ ”来表示，即
b2 4ac
人教版九年级数学上册21.2.2一元二 次方程 的解法 公式法 课件
典型例题：
w 例1、用公式法解方程 5x2-4x-12=0
结论：当 b2 4ac 0 时，一元二次方程有两个
人教版九年级数学上册21.2.2一元二 次方程 的解法 公式法 课件
例3 用公式法解方程： x2=3x-8
解：移项，得x2-3x+8=0
∵a=1，b=-3，c=8 b2-4ac=9-4×1×8=-23＜0 ∴原方程无实数根
人教版九年级数学上册21.2.2一元二 次方程 的解法 公式法 课件
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
（口答）填空：用公式法解方程
2x2+x-6=0 解：a= 2 ，b= 1 ，c = -6 .
b2-4ac= 12-4×2×(-6) = 49﹥. 0
1 49 1 7
x=
= 22 = 4 .
即 x1= -2 , x2= 3 . 2
人教版九年级数学上册21.2.2一元二 次方程 的解法 公式法 课件
22.2一元二次方程的解法
三.如何用配方法解一般形式的一元二次
方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）呢？
归纳总结：
w 一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
当b2 4ac 0时,它的根是 :
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
当b2 4ac 0 时，方程有
例2： 解方程：x2 3 2 3x
解：原方程化为：x2 2 3x 3 0
a 1,b 2 3,c 3
b2 4ac 2 3 2 4 1 3 0
方程有两个相等的实数根
x 2 3 0 2 3 3
2 1
2
x1 x2 3
人教版九年级数学上册21.2.2一元二 次方程 的解法 公式法 课件
反过来，对于方程ax2 bx c 0a 0 ，
如果方程有两个不相等的实数根，那么b2 4ac 0; 如果方程有两个相等的实数根，那么 b2 4ac 0; 如果方程没有实数根，那么 b2 4ac 0.
人教版九年级数学上册21.2.2一元二 次方程 的解法 公式法 课件
人教版九年级数学上册21.2.2一元二 次方程 的解法 公式法 课件
x 1 9 13 22 4
x1
1,
x2
1. 2
人教版九年级数学上册21.2.2一元二 次方程 的解法 公式法 课件
b2 4ac 9 6 3 0
方程有两个不相等的实数根
3 3
x2Βιβλιοθήκη 3 33 3x1 2 , x2 2 .
人教版九年级数学上册21.2.2一元二 次方程 的解法 公式法 课件
2a
当b2 4ac =0 时，方程的右边是 0，方程有两个相等的
实数根：
x1
x2
b 2a
;
当b2 4ac ＜0 时，方程的右边是一个负数，因为在实
数范围内，负数没有平方根.所以，方程没有实数根.
人教版九年级数学上册21.2.2一元二 次方程 的解法 公式法 课件
人教版九年级数学上册21.2.2一元二 次方程 的解法 公式法 课件
一元二次方程根的情况与判别式的关系
b2 4ac 0 b2 4ac 0 b2 4ac 0
方程有两个不相等的实数根； 方程有两个相等的实数根； 方程没有实数根。
人教版九年级数学上册21.2.2一元二 次方程 的解法 公式法 课件
人教版九年级数学上册21.2.2一元二 次方程 的解法 公式法 课件
人教版九年级数学上册21.2.2一元二 次方程 的解法 公式法 课件
随堂 练习
1.用公式法解下列方程：
(1)2x2-x-1=0
(2)x2+1.5=-3x
解 : a 2, b 1, c 1 解 : x2 3x 1.5 0
b2 4ac 1 8 9 0
方程有两个不相等的实数根a 1, b 3, c 1.5
2
25
8 x1
6 5
;
10
x2
2.
的值，确定方程有
无实数根。
w4.代入:把有关数 值代入公式计算; w5.定根:写出原方 程的根.
结论：5当 b2 4ac0 时，一元二次方程有两个不
人教版九年级数学上册21.2.2一元二 次方程 的解法 公式法 课件
相等的实数根.
人教版九年级数学上册21.2.2一元二 次方程 的解法 公式法 课件
随堂 练习
(3)x2 2x 1 0 解 : a , b 22, c 1
2 b2 4ac 2 2 0
(4)4x2-3x+2=0
解 : a 4, b 3, c 2 b2 4ac 9 32 23 0
方程有两个相等的实数根方程没有实数根
x ( 2) 0 2 0
2
合集下载
人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程复习课件(共18张PPT)
第二十一章 一元二次方程
重点归类提升练
一、有理数的解法
1．已知：关于 x 的一元二次方程 x －2(2m－3)x＋4m －14m＋8＝0. 3 (1)当 m＝ 时，用____________法解方程较为简单； 2 (2)当 m＝0 时，用配方法解方程； (3)当 m＝1 时，用公式法解方程；
2
2
第二十一章 一元二次方程
2
图21－Z－1
第二十一章 一元二次方程
(2)如果在(1)中正方体打孔后， 再在正面中心位置(如图 21－Z －1②所示)从前到后打一个边长为 1 cm 的正方形通孔，那么打孔 后的橡皮泥块的表面积为________． (3)如果把(1)(2)中的边长为 1 cm 的正方形通孔均改为边长为
a cm(a≠1)的正方形通孔，能否使打了两个通孔后的橡皮泥块的表 2 面积为 118 cm ？如果能，求出 a 的值；如果不能，请说明理由．
第二十一＜ 40 ， ∴ 8m ＋ 4 ＞ 0 ， ∴ 由 求 根 公 式 ， 得 x ＝ 2（2m－3）± 8m＋4 ＝(2m－3)± 2m＋1. 2 ∵方程有两个整数根，∴必须使 2m＋1为整数且 m 为整数． ∵2m＋1 必是奇数，∴ 2m＋1是奇数． 又∵12＜m＜40，∴25＜2m＋1＜81， ∴5＜ 2m＋1＜9，∴ 2m＋1＝7，∴m＝24.
第二十一章 一元二次方程
二、一元二次方程的应用
2．实验与操作：小明是一名动手能力很强的同学，他用橡皮 泥做了一个棱长为 4 cm 的正方体． (1)如图 21－Z－1①所示，在正方体顶面中心位置处从上到下 打一个边长为 1 cm 的正方形通孔，打孔后的橡皮泥块的表面积为 ________ cm .
第二十一章 一元二次方程
人教新课标版数学九年级上册21.2.2-一元二次方程的解法-公式法(2)课件
若方程有两个不等实根，则△ > 0
∴4m+1 > 0 ∴m >-1/4 ∴m >- 1/4 且m≠0
注对意吗二？次
项系数
2、根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围.
例: k取何值时一元二次方程kx2-2x+3=0有实
数解根：∵. 一元二次方程kx2-2x+3=0有实数根.
∴ k≠0， b2 4ac 0
凡形先如把方a程x2+的c常=0数(项a≠移0到, a方c<程0的) 右边，再把左边配成一
个完全平方式，如果右边是非负数，就可以进一步通过直接
开平方法或来求a出(x+它p的)2解+q.=0 (a≠0, aq<0)
的公一式元二法次是方解程一都元可二用次直接方开程平的方通法法解..
一般形式
ax2 bx c 0(a 0)
解：∵ b2 4ac (m 5)2 4 2(m 1)
把判别式配方 m2 10m 25 8m 8
m2 2m 17
(m 1)2 16 >0
∴方程有两个不相等的实数根；
典型例题解析
【例5】 已知：a、b、c是△ABC的三边，若方程
解 : a 1, b 2m 1, c m2 4, b2 4ac (2m 1)2 4(m2 4) 4m2 4m 1 4m2 16 4m 17
由4m 17 0, 得m 17 . 4
当m 17 时,b2 4ac 0, 4
（3） x2 x 1 0
（4） x2 x 1 0
（5） 2x2 x 3 0 （6）2x2 x 3 0
人教版九年级数学上册21.2解一元二次方程因式分解法 课件(共19张PPT)
新知探究
（1）因式分解法的条件是方程左边易于分解，而右边等于零，关键是熟练 掌握分解因式的知识，理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那么至少 有一个因式等于零.” （2）因式分解法，突出了转化的思想方法，鲜明地显示了“二次”转化为 “一次”的过程. （3）在解一元二次方程的时候，要具体情况具体分析，选择合适的解一元 二次方程的方法.
公式 x= b b2 4ac 就可得到方程的根.
2a
学习目标 1．理解因式分解法解一元二次方程的推导过程． 2．理解并掌握用因式分解法解一元二次方程．
课堂导入
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么
物体经过x s离地面的高度(单位：m)为
10x－4.9x2.
根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)？
新知探究
解下列方程： (1) x2＋x＝0；
(2) x2 2 3x 0;
(3) 3x2－6x＝－3.
新知探究
解下列方程： (1) x2＋x＝0；
(2) x2 2 3x 0;
(3) 3x2－6x＝－3.
随堂练习
用因式分解法解下列方程： (1) 3x2-12x＝-12；
x1=x2=2.
(2) 3x(x-1)＝2(x-1). x1=1 x2=2/3.
新知探究
例1 解方程：x(x－2)＋x－2＝0. 解： 因式分解，得
(x－2)(x＋1)＝0. 于是得
x－2＝0，或x＋1＝0， x1＝2，x2＝－1.
转化为两个一元 一次方程
新知探究
例2 解方程：5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
新知探究
用因式分解法解一元二次方程的步骤： 1.移项：将方程化为一般形式； 2.分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积； 3.转化：令每一个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 4.求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解.
因式分解法解一元二次方程课件人教版九年级数学上册
x2+6x+9=0 因式分解，得
(x+3)2=0，即 (x+3)(x+3)=0 于是得
X+3=0,或x+3=0
另解：(直接开平方法) ∴x1=x2=-3
9x2-25=0
9x2=25
X2=25/9
∴X1=5/3, x2=-5/3
5、(x-2)2=(4-3x)2 解：(x-2)2-(4-3x)2=0 [ (x-2)+(4-3x) ] [ (x-2)-(4-3x) ]=0 (-2x+2)(4x-6)=0 -2x+2=0，或4x-6=0 ∴ x1=1，x2=3/2
2、3x(x+5)-2(x+5)=0 解：因式分解，得
(x+5)(3x-2)=0 于是得 X+5=0，或3x-2=0 X1=-5，x2=2/3
3、9x2-25=0 解：因式分解，得
(3x+5)(3x-5)=0 于是得， 3x+5=0,或3x-5=0 ∴ X1=-5/3, xபைடு நூலகம்=5/3
4、x2+6x=-9 解：移项，得
完全平方公式：a2+2ab+b2= (a+b)2 a2-2ab+b2= (a-b)2
③十字相乘法：x2+(p+q)x+pq= (x+p)(x+q)
七、作业
1.教材P17第6题；P21第1题。 2.《学习指要》P7-8对应章节练习。
我们下节课再见！
（2）完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2 例如：x2+6x+9 =(x+3)2 3、十字相乘法：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
(x+3)2=0，即 (x+3)(x+3)=0 于是得
X+3=0,或x+3=0
另解：(直接开平方法) ∴x1=x2=-3
9x2-25=0
9x2=25
X2=25/9
∴X1=5/3, x2=-5/3
5、(x-2)2=(4-3x)2 解：(x-2)2-(4-3x)2=0 [ (x-2)+(4-3x) ] [ (x-2)-(4-3x) ]=0 (-2x+2)(4x-6)=0 -2x+2=0，或4x-6=0 ∴ x1=1，x2=3/2
2、3x(x+5)-2(x+5)=0 解：因式分解，得
(x+5)(3x-2)=0 于是得 X+5=0，或3x-2=0 X1=-5，x2=2/3
3、9x2-25=0 解：因式分解，得
(3x+5)(3x-5)=0 于是得， 3x+5=0,或3x-5=0 ∴ X1=-5/3, xபைடு நூலகம்=5/3
4、x2+6x=-9 解：移项，得
完全平方公式：a2+2ab+b2= (a+b)2 a2-2ab+b2= (a-b)2
③十字相乘法：x2+(p+q)x+pq= (x+p)(x+q)
七、作业
1.教材P17第6题；P21第1题。 2.《学习指要》P7-8对应章节练习。
我们下节课再见！
（2）完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2 例如：x2+6x+9 =(x+3)2 3、十字相乘法：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
一元二次方程解法公式法初中数学课件完美版PPT
例 3 解方程：（x-2)(1-3x)=6
解：去括号：x-2-3x2+6x=6 化简为一般式：-3x2+7x-8=0 3x2-7x+8=0 这里 a=3, b= -7, c= 8.
∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×3×8=49 - 96= - 47< 0,
∴原方程没有实数根.
我最棒
,用公式法解下列方程
列方程解应用题的一般步骤: 一审;二设;三列;四解;五验;六答. 用配方法解一元二次方程的一般步骤: 1.化1: 2.移项: 3.配方:; 4.变形: 5.开方: 6.求解: 7.定解:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式:
x 9 17. 44
x 9 17. 44
5.开方:根据平方根意义, 方程两边开平方;
6.求解:解一元一次方程;
x19417;x29417. 7.定解:写出原方程的解.
心动 不如行动 公式法是这样生产的
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 吗?
解 xx2x :当 2xba22bbaxba2 ba2x4x2abba2cacac42a.0 4时 20a.,c2b.a2ac方.右5系12程4..3.边.开数化移.两变配合方绝1项边形:方并:对把:开:根:把同方值二方平据常类程一次程方平数;左半项 两;方项分的系边根移解平数都意到因方化加义方式;为上,程,一1的;次右项边;
解：这里 a=1, b= -7, c= -18.
∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×1×(-18)=121﹥0,
x7211217211,
即：x1=9, x2= -2.
动脑筋
x b
b2 4 α c 2α
人教版九年级数学上册一元二次方程的解法公式法优秀ppt
方程有两个相等的实数根方程没有实数根
x ( 2) 0 2 0
2
2
x1 x2
人教版九年级数学上册2一1.元2.二2一次元方二程 次的方解程法 的公解式法 公优式秀法ppt课件
2. 2
人教版九年级数学上册2一1.元2.二2一次元方二程 次的方解程法 的公解式法 公优式秀法ppt课件
用公式法解下列方程：
8
x1
x2
b 2a
2
7 2
7 4
2、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当a，b， c 满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？
解 : a 0,当b2 4ac 0时,方程的根为:
x1 b
b2 2a
4ac
,
x2
b
b2 4ac ; 2a
又 x1 x2,
b
b2 4ac b
实数根吗
w上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.
w用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法
w注意: w用公式法解一元二次方程的前提是: w1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0). w2.b2-4ac≥0.
一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0是否有实数
根，完全取决于 b2 4ac 的符号。 若 b2 4ac 0 ，则方程有实数根；
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
（口答）填空：用公式法解方程
2x2+x-6=0 解：a= 2 ，b= 1 ，c = -6 .
b2-4ac= 12-4×2×(-6) = 49﹥. 0
1 49 1 7
x=
= 22 = 4 .
人教版初中数学九年级上册《解一元二次方程—因式分解法》课件
x3
（5）3x(2x 1) 4x 2 （6）（x - 4）2 （5- 2x)2
解：化为一般式为
6x2 － x －2 = 0.
因式分解，得 十字相乘法
2x +1
解：变形有
( x －4 ) 2 － ( 5 － 2x )2=0.
因式分解，得
( x － 4 － 5 + 2x )( x － 4 + 5 －2x ) = 0.
例1解下列方程：
1 x x 2 x 2 0;
2 5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
可以试用 多种方法解 本例中的两
个方程 .
解：（1）因式分解，得
(2)移项、合并同类项，得
(x－2)(x＋1)=0.
于是得 x－2＝0或x＋1=0,
x1=2，x2=－1.
可利用了什么公式因式分解？
10x 4.9x2
根据这个规律求出物体经过多少秒落回地面？ （精确到 0.01 s）
提示
设物体经过 x s 落回地面，这时它 离地面的高度为 0 ，即
10x 4.9x2 0
配方法
公式法
10x 4.9x2 0
10x 4.9x2 0
解：x2 100 x 0
49
解：4.9x2 10x 0
3x
-2
( 3x － 9 )( 1 － x ) = 0.
( 3x － 2 )( 2x + 1 ) = 0.
有 3x － 9 = 0 或 1 － x = 0，
有 3x － 2 = 0 或 2x + 1 = 0，
x 2,x1
3
2
x1 = 3 , x2 = 1.
分解因式法解一元二次方程基本步骤是:
（5）3x(2x 1) 4x 2 （6）（x - 4）2 （5- 2x)2
解：化为一般式为
6x2 － x －2 = 0.
因式分解，得 十字相乘法
2x +1
解：变形有
( x －4 ) 2 － ( 5 － 2x )2=0.
因式分解，得
( x － 4 － 5 + 2x )( x － 4 + 5 －2x ) = 0.
例1解下列方程：
1 x x 2 x 2 0;
2 5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
可以试用 多种方法解 本例中的两
个方程 .
解：（1）因式分解，得
(2)移项、合并同类项，得
(x－2)(x＋1)=0.
于是得 x－2＝0或x＋1=0,
x1=2，x2=－1.
可利用了什么公式因式分解？
10x 4.9x2
根据这个规律求出物体经过多少秒落回地面？ （精确到 0.01 s）
提示
设物体经过 x s 落回地面，这时它 离地面的高度为 0 ，即
10x 4.9x2 0
配方法
公式法
10x 4.9x2 0
10x 4.9x2 0
解：x2 100 x 0
49
解：4.9x2 10x 0
3x
-2
( 3x － 9 )( 1 － x ) = 0.
( 3x － 2 )( 2x + 1 ) = 0.
有 3x － 9 = 0 或 1 － x = 0，
有 3x － 2 = 0 或 2x + 1 = 0，
x 2,x1
3
2
x1 = 3 , x2 = 1.
分解因式法解一元二次方程基本步骤是:
21.2.2 一元二次方程的解法——公式法课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册
第二十一章 一元二次方程
第2课时
一元二次方程的解法
——公式公式法解一元二次方程，知道使用公式前先将方
程化为一般形式.
❸ (2022新课标)能用公式法解数字系数的一元二次方程.
复习引入
1.如何用配方法解方程 2x2 4x 10?
解：方程整理得
．
小结：注意一元二次方程的二次项系数不能为0.
2
2
★10．若a ＋5ab－b ＝0(ab≠0)，求 的值．
2
2
解：∵a ＋5ab－b ＝0，∴ ＋ －1＝0，
令t＝ ，∴方程可化为t2＋5t－1＝0，
∴52－4×1×(－1)＝29＞0，
根据公式法得t＝
－±
×
＝
－±
)±
±
＝
，
×
即x1＝2 ，x2＝ ．
3．【例1】用公式法解方程：x2＋3x＋1＝0．
解：a＝1，b＝3，c＝1，b2－4ac＝5＞0，
x＝
－±
所以x1＝
－
－± －±
＝
＝
，
×
－＋
－－
，x2＝
．
小结：用公式法解方程时，先确定出a，b，c和b2-4ac的值.
x＝
x－ ＝0．
±
8．用公式法解方程：2x2＋3x＝3．
x＝
－±
9．用公式法解方程：x2－5＝2(x＋1)．
x＝1±2
＋
6．某数学小组对关于x的方程(m＋1)
＋(m－2)x－1＝0提出了问题：
第2课时
一元二次方程的解法
——公式公式法解一元二次方程，知道使用公式前先将方
程化为一般形式.
❸ (2022新课标)能用公式法解数字系数的一元二次方程.
复习引入
1.如何用配方法解方程 2x2 4x 10?
解：方程整理得
．
小结：注意一元二次方程的二次项系数不能为0.
2
2
★10．若a ＋5ab－b ＝0(ab≠0)，求 的值．
2
2
解：∵a ＋5ab－b ＝0，∴ ＋ －1＝0，
令t＝ ，∴方程可化为t2＋5t－1＝0，
∴52－4×1×(－1)＝29＞0，
根据公式法得t＝
－±
×
＝
－±
)±
±
＝
，
×
即x1＝2 ，x2＝ ．
3．【例1】用公式法解方程：x2＋3x＋1＝0．
解：a＝1，b＝3，c＝1，b2－4ac＝5＞0，
x＝
－±
所以x1＝
－
－± －±
＝
＝
，
×
－＋
－－
，x2＝
．
小结：用公式法解方程时，先确定出a，b，c和b2-4ac的值.
x＝
x－ ＝0．
±
8．用公式法解方程：2x2＋3x＝3．
x＝
－±
9．用公式法解方程：x2－5＝2(x＋1)．
x＝1±2
＋
6．某数学小组对关于x的方程(m＋1)
＋(m－2)x－1＝0提出了问题：
人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程2降次——解一元二次方程因式分解法课件
x（10 - 4.9x）= 0
两个因式的积等于零
x = 0 或 10 - 4.9x = 0 至少有一个因式为零
x1=ຫໍສະໝຸດ 0，x2=
100 49
举例讲授
解方程： x（10-4.9x）=0
解：∵x（10-4.9x）=0
∴x=0或10-4.9x=0，
∴x1=0，x2=
100 49
≈2.04
∴可知物体被抛出约2.04s后落回地面。
课堂作业
5.如图，把小圆形场地的半径增加5m得到大圆场地， 场地面积扩大了一倍，求小圆形场地的半径.
课堂小结
1.用因式分解法解一元二次方程有哪些优缺点？需注意哪些细 节问题？
2.通过本节课的学习，你还有哪些收获和体会？
课后思考
试比较配方法、公式法和因式 分解法各自的优缺点.
课堂作业
1.用因式分解法解方程，下列方程中正确是（ ）
A
A.（2x-2）（3x-4）=0， ∴2x-2=0或3x-4=0
B.（x+3）（x-1）=1， ∴x+3=0或x-1=1
C.（x+2）（x-3）=6， ∴x+2=3或x-3=2
D. x（x+2）=0，
∴x+2=0
课堂作业
2.当x=
1时或，2代数式x²-3x的值是-2.
即
b b2 4ac 1 13
x
所以x1
1
6
13
2a ，x
2
1 6
6
13
典题精讲
(2)2( 2x 3)2 12
解：原方程可化为
2x
2
3
6
两边开平方，得 2x 3 6
即 2x 3 6 ， 2x 3 6
人教版九年级数学上册教学课件：用因式分解法解一元二次方程
解:原式 x2 -3x 2x 2(-3)
x2 (-3 2)x 6
x2 x6
(3). (x-2)(x-3); 解 : 原式 x2 - 3x - 2x (-2) (-3)
x2 (-3 2)x 6 x2 5x 6
(4)(x+a)(x+b);
解:原式 x2 bx ax a b
x 5 0, x 6 0 x1 5, x2 6
十字相乘法分解因式: a1a2x2 (a1c2 a2c1)x c1c2 (a1x c1)(a2x c2 )
3x 2 7x 2 0
三.十字相乘法分解因式－解方程（2）
例 解下列方程
(1)2 y2 3y 2 0 (2)3x2 10 x 8 0
x 5 0, x 4 0 x1 5, x2 4
4x 4x 2 0
x 4 0, x 2 0 x1 4, x2 2
解方程1x 2 6x 8 0; 2x 2 5x 6 0; 3x 2 x 20 0; 4x 2 2x 8 0 5y 2 3x 2 0; 6x 2 11x 30 0
a2-b2=(a+b)(a-b), a2+2ab+b2=(a+b)2. （3）十字相乘法:
x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b).
一.因式乘法
1:计算: (1). (x+2)(x+3); 解:原式 x2 2x 3x 23
x2 (2 3)x 6
x2 5x6
(2). (x+2)(x-3);
(3).横向写出两因式; (x+6)和(x-3)
x
6
x
-3
例 把 x2 2x 15分解因式;
x2 (-3 2)x 6
x2 x6
(3). (x-2)(x-3); 解 : 原式 x2 - 3x - 2x (-2) (-3)
x2 (-3 2)x 6 x2 5x 6
(4)(x+a)(x+b);
解:原式 x2 bx ax a b
x 5 0, x 6 0 x1 5, x2 6
十字相乘法分解因式: a1a2x2 (a1c2 a2c1)x c1c2 (a1x c1)(a2x c2 )
3x 2 7x 2 0
三.十字相乘法分解因式－解方程（2）
例 解下列方程
(1)2 y2 3y 2 0 (2)3x2 10 x 8 0
x 5 0, x 4 0 x1 5, x2 4
4x 4x 2 0
x 4 0, x 2 0 x1 4, x2 2
解方程1x 2 6x 8 0; 2x 2 5x 6 0; 3x 2 x 20 0; 4x 2 2x 8 0 5y 2 3x 2 0; 6x 2 11x 30 0
a2-b2=(a+b)(a-b), a2+2ab+b2=(a+b)2. （3）十字相乘法:
x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b).
一.因式乘法
1:计算: (1). (x+2)(x+3); 解:原式 x2 2x 3x 23
x2 (2 3)x 6
x2 5x6
(2). (x+2)(x-3);
(3).横向写出两因式; (x+6)和(x-3)
x
6
x
-3
例 把 x2 2x 15分解因式;