2019_2020学年新教材高中数学第5章三角函数5.5.2简单的三角恒等变换讲义新人教A版必修第一册
5.5.2 简单的三角恒等变换学习目标核心素养1.能用二倍角公式导出半角公式，能用两角和与差的三角函数公式导出积化和差、和差化积公式．体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用．(重点)2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．(难点、易错点)1.通过公式的推导，培养逻辑推理素养.2.借助三角恒等变换的简单应用，提升数学运算素养.半角公式(1)sinα2＝±1－cos α2，(2)cosα2＝±1＋cos α2，(3)tanα2＝±1－cos α1＋cos α，(4)tanα2＝sinα2cosα2＝sinα2·2co sα2cosα2·2co sα2＝sin α1＋cos α，tanα2＝sinα2cosα2＝sinα2·2si nα2cosα2·2si nα2＝1－cos αsin α.1．已知180°＜α＜360°，则cosα2的值等于( )A．－1－cos α2B.1－cos α2C．－1＋cos α2D.1＋cos α2C[∵180°＜α＜360°，∴90°＜α2＜180°，又cos2α2＝1＋cos α2，∴cos α＝－1＋cos α2.] 2．已知cos α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，则sin α2等于( ) A.55 B ．－55 C.45 D.255A [由题知α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，∴sin α2>0，sin α2＝1－cos α2＝55.] 3．已知2π＜θ＜4π，且sin θ＝－35，cos θ＜0，则tan θ2的值等于________．－3 [由sin θ＝－35，cos θ＜0得cos θ＝－45，∴tan θ2＝sin θ2cos θ2＝2sin θ2cos θ22cos2θ2＝sin θ1＋cos θ＝－351＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－3.]化简求值问题【例1】 (1)设5π＜θ＜6π，cos θ2＝a ，则sin θ4等于( )A.1＋a2B.1－a2C ．－1＋a2D ．－1－a2(2)已知π<α<3π2，化简：1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α.[思路点拨] (1)先确定θ4的范围，再由sin 2θ4＝1－cosθ22得算式求值．(2)1＋cos θ＝2cos2α2，1－cos α＝2sin2α2，去根号，确定α2的范围，化简．(1)D [∵5π＜θ＜6π，∴θ2∈⎝⎛⎭⎪⎫5π2，3π，θ4∈⎝⎛⎭⎪⎫5π4，3π2.又cos θ2＝a ，∴sin θ4＝－1－cosθ22＝－1－a 2.] (2)[解] 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α222⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2－2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α222⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＋2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2.∵π＜α＜3π2，∴π2＜α2＜3π4，∴cos α2＜0，sin α2＞0，∴原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22－2⎝⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α222⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2＝－sin α2＋cos α22＋sin α2－cosα22＝－2cos α2.1．化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切． (3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．2．利用半角公式求值的思路(1)看角：看已知角与待求角的2倍关系． (2)明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备．(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α，涉及半角公式的正、余弦值时，常利用sin2α2＝1－cos α2，cos2α2＝1＋cos α2计算．(4)下结论：结合(2)求值．提醒：已知cos α的值可求α2的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号．1．已知cos θ＝－35，且180°<θ<270°，求tan θ2.[解] 法一：∵180°<θ<270°，∴90°<θ2<135°，即θ2是第二象限角，∴tan θ2<0，∴tan θ2＝－1－cos θ1＋cos θ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－351＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－2. 法二：∵180°<θ<270°，即θ是第三象限角， ∴sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－925＝－45， ∴tan θ2＝1－cos θsin θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－45＝－2.三角恒等式的证明【例2】 求证：cos 2α1tanα2－tan α2＝14sin 2α.[思路点拨] 法一：切化弦用二倍角公式由左到右证明； 法二：cos 2α不变，直接用二倍角正切公式变形． [证明] 法一：用正弦、余弦公式． 左边＝cos 2αcosα2sin α2－sinα2cosα2＝cos 2αcos 2α2－sin 2α2sin α2cos α2＝cos 2αsin α2cos α2cos 2α2－sin 2α2＝cos 2αsin α2cosα2cos α＝sin α2cos α2cos α＝12sin αcos α＝14sin 2α＝右边，∴原式成立．法二：用正切公式．左边＝cos2αtanα21－tan2α2＝12cos2α·2tanα21－tan2α2＝12cos2α·tan α＝12cos αsin α＝14sin 2α＝右边，∴原式成立．三角恒等式证明的常用方法(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简；(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”；(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立.2．求证：2sin x cos x(sin x＋cos x－1)(sin x－cos x＋1)＝1＋cos xsin x.[证明]左边＝2sin x cos x⎝⎛⎭⎪⎫2sinx2cosx2－2sin2x2⎝⎛⎭⎪⎫2sinx2cosx2＋2sin2x2＝2sin x cos x4sin2x2⎝⎛⎭⎪⎫cos2x2－sin2x2＝sin x2sin2x2＝cosx2sinx2＝2cos2x22sinx2cosx2＝1＋cos xsin x＝右边．所以原等式成立．恒等变换与三角函数图象性质的综合【例3】 已知函数f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期．(2)求证：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )≥－12. [思路点拨] 化为f (x )＝A sin (ωx ＋φ)＋b →由T ＝2π|ω|求周期→分析f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性→求最小值证明不等式 [解](1)f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2sin x cos x ＝32cos 2x ＋32sin 2x －sin 2x ＝12sin 2x＋32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以T ＝2π2＝π.(2)证明：令t ＝2x ＋π3，因为－π4≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π3≤5π6，因为y ＝sin t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6上单调递减，所以f (x )≥sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，得证．三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略：运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y ＝a sin ωx ＋b cos ωx ＋k 的形式，借助辅助角公式化为y ＝A sin (ωx ＋φ)＋k (或y ＝A cos (ωx ＋φ)＋k )的形式，将ωx ＋φ看作一个整体研究函数的性质.3．已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12(x ∈R )．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合． [解] (1)∵f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12 ＝2⎩⎪⎨⎪⎧ 32sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12⎭⎬⎫－12cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1 ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，∴T ＝2π2＝π. (2)当f (x )取得最大值时， sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＝1， 有2x －π3＝2k π＋π2，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )，∴所求x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋5π12，k ∈Z.三角函数在实际问题中的应用[探究问题]1．用三角函数解决实际问题时，通常选什么作为自变量？求定义域时应注意什么？ 提示：通常选角作为自变量，求定义域时要注意实际意义和正弦、余弦函数有界性的影响．2．建立三角函数模型后，通常要将函数解析式化为何种形式？ 提示：化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的形式．【例4】 如图所示，要把半径为R 的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB 的周长最大？[思路点拨] 设∠AOB ＝α→建立周长l (α)→求l 的最大值[解] 设∠AOB ＝α，△OAB 的周长为l ，则AB ＝R sin α，OB ＝R cos α， ∴l ＝OA ＋AB ＋OB ＝R ＋R sin α＋R cos α ＝R (sin α＋cos α)＋R ＝2R sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＋R .∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π4，∴l 的最大值为2R ＋R ＝(2＋1)R ，此时，α＋π4＝π2，即α＝π4，即当α＝π4时，△OAB 的周长最大．1．在例4条件下，求长方形面积的最大值．[解] 如图所示，设∠AOB ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则AB ＝R sin α，OA＝R cos α.设矩形ABCD 的面积为S ，则S ＝2OA ·AB ，∴S ＝2R cos α·R sin α＝R 2·2sin αcos α＝R 2sin 2α.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α∈(0，π)．因此，当2α＝π2，即α＝π4时，S max ＝R 2.这时点A ，D 到点O 的距离为22R ， 矩形ABCD 的面积最大值为R 2.2．若例4中的木料改为圆心角为π3的扇形，并将此木料截成矩形，(如图所示)，试求此矩形面积的最大值．[解] 如图，作∠POQ 的平分线分别交EF ，GH 于点M ，N ，连接OE ，设∠MOE ＝α，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π6，在Rt△MOE 中，ME ＝R sin α，OM ＝R cos α，在Rt△ONH 中，NH ON ＝tan π6，得ON ＝3NH ＝3R sin α，则MN ＝OM －ON ＝R (cos α－3sin α)， 设矩形EFGH 的面积为S ，则S ＝2ME ·MN ＝2R 2sin α(cos α－3sin α)＝R 2(sin 2α＋3cos 2α－3)＝2R 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3－3R 2，由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6，则π3＜2α＋π3＜2π3，所以当2α＋π3＝π2，即α＝π12时，S max ＝(2－3)R 2.应用三角函数解实际问题的方法及注意事项(1)方法：解答此类问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解.(2)注意：在求解过程中，要注意三点：①充分借助平面几何性质，寻找数量关系.②注意实际问题中变量的范围.③重视三角函数有界性的影响.提醒：在利用三角变换解决实际问题时，常因忽视角的范围而致误.1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式．2．研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a 、b 应熟练掌握．例如sin x ±cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±π4；sin x ±3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ±π3等.1．思考辨析 (1)cos α2＝1＋cos α2.( ) (2)存在α∈R ，使得cos α2＝12cos α.( )(3)对于任意α∈R ，sin α2＝12sin α都不成立．( )(4)若α是第一象限角，则tan α2＝1－cos α1＋cos α.( )[提示] (1)×.只有当－π2＋2k π≤α2≤π2＋2k π(k ∈Z )，即－π＋4k π≤α≤π＋4k π(k ∈Z )时，cos α2＝1＋cos α2.(2)√.当cos α＝－3＋1时，上式成立，但一般情况下不成立． (3)×.当α＝2k π(k ∈Z )时，上式成立，但一般情况下不成立． (4)√.若α是第一象限角，则α2是第一、三象限角，此时tan α2＝1－cos α1＋cos α成立．[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√2．若f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4 B.π2 C.3π4D ．π C [f (x )＝cos x －sin x ＝2cos x ＋π4.当x ∈[0，a ]时，x ＋π4∈π4，a ＋π4，所以结合题意可知，a ＋π4≤π，即a ≤3π4，故所求a 的最大值是3π4.故选C.]3．函数f (x )＝sin 2x 的最小正周期为________． π [因为f (x )＝sin 2x ＝1－cos 2x 2，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.]4．北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，求cos 2θ.[解] 由题意，5cos θ－5sin θ＝1，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，所以cos θ－sin θ＝15.由(cos θ＋sin θ)2＋(cos θ－sin θ)2＝2， 所以cos θ＋sin θ＝75，所以cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ ＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ) ＝725.- 11 -。
高一数学必修一 5.5.2简单的三角恒等变换(一)
复习引入 1. 三角函数的和(差)公式:
复习引入 1. 三角函数的和(差)公式:
复习引入 2. 三角函数的倍角公式:
讲授新课
思考：
讲解范例： 例1.
思考：
代数式变换与三角变换有什么不同？
代数式变换往往着眼于式子结构形式 的变换．对于三角变换，由于不同的三角 函数式不仅会有结构形式方面的差异，而 且还会有所包含的角，以及这些角的三角 函数种类方面的差异，因此三角恒等变换 常常首先寻找式子所包含的各个角之间的 联系，这是三角式恒等变换的重要特点．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ解范例： 例2.
讲解范例： 例3. 求证：
讲解范例： 例3. 求证：
思考：
在例3证明中用到哪些数学思想？
讲解范例： 例3. 求证：
(1)式是积化和差的形式;
讲解范例： 例3. 求证：
(1)式是积化和差的形式; (2)式是和差化积的形式，在后面的练 习当中还有六个关于积化和差、和差 化积的公式．
练习： 教材P.226练习第1、2、3题.
课堂小结
要对变换过程中体现的换元、 逆向使用公式等数学思想方法加 深认识，学会灵活运用．
课后作业
阅读教材P.225到P.228;
第五章 5.5.2 简单的三角恒等变换
5．5.2 简单的三角恒等变换学习目标 1.能用二倍角公式推导出半角公式.2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及证明三角恒等式，并能进行一些简单的应用．知识点一 半角公式 sin α2＝±1－cos α2， cos α2＝±1＋cos α2， tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.知识点二 辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ).⎝⎛⎭⎫其中tan θ＝b a1．cos α2＝1＋cos α2.( × ) 2．对任意α∈R ，sin α2＝12cos α都不成立．( × )3．若cos α＝13，且α∈(0，π)，则cos α2＝63.( √ )4．对任意α∈R 都有sin α＋3cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3.( √ )一、半角公式的应用例1 已知θ∈⎝⎛⎭⎫5π2，3π且sin θ＝45，求sin θ2，cos θ2，tan θ2的值． 解 ∵θ∈⎝⎛⎭⎫5π2，3π，且sin θ＝45. ∴cos θ＝－35，θ2∈⎝⎛⎭⎫5π4，3π2，∴sin θ2＝－1＋352＝－255， cos θ2＝－1－352＝－55，∴tan θ2＝sin θ2cosθ2＝2. (学生留)反思感悟 利用半角公式求值的思路(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin 2α2＝1－cos α2，cos 2α2＝1＋cos α2计算． 跟踪训练1 已知sin α＝55，cos α＝255，则tan α2等于( ) A ．2－ 5 B ．2＋ 5 C.5－2 D ．±(5－2)答案 C解析 方法一 ∵sin α＝55，cos α＝255， ∴tan α2＝sin α1＋cos α＝5－2.方法二 因为sin α＝55>0，cos α＝255>0，所以α的终边落在第一象限，α2的终边落在第一或第三象限， 所以tan α2>0，故tan α2＝1－cos α1＋cos α＝1－2551＋255＝5－2. 二、三角恒等式的证明例2 求证：1＋sin θ－cos θ1＋sin θ＋cos θ＋1＋sin θ＋cos θ1＋sin θ－cos θ＝2sin θ.证明 方法一 左边＝2sin 2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2＋2sin θ2cosθ22sin 2θ2＋2sin θ2cosθ2＝sin θ2cos θ2＋cos θ2sin θ2＝1cos θ2sin θ2＝2sin θ＝右边．所以原式成立．方法二 左边＝(1＋sin θ－cos θ)2＋(1＋sin θ＋cos θ)2(1＋sin θ＋cos θ)(1＋sin θ－cos θ)＝2(1＋sin θ)2＋2cos 2θ(1＋sin θ)2－cos 2θ＝4＋4sin θ2sin θ＋2sin 2θ＝2sin θ＝右边． 所以原式成立．反思感悟 三角恒等式证明的常用方法 (1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简． (2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子．(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同．(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”．(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立． 跟踪训练2 求证：2sin x cos x(sin x ＋cos x －1)(sin x －cos x ＋1)＝1＋cos x sin x .证明 左边＝2sin x cos x⎝⎛⎭⎫2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2⎝⎛⎭⎫2sin x 2cos x 2＋2sin 2x 2＝2sin x cos x 4sin 2x 2⎝⎛⎭⎫cos 2x 2－sin 2x 2＝sin x 2sin 2x 2＝cos x 2sin x 2＝2cos 2x 22sin x 2cos x 2＝1＋cos x sin x ＝右边．所以原等式成立．三、三角恒等变换的综合问题例3 (1)已知f (x )＝sin x ＋2cos x ，则f (x )的最大值为________． 答案5解析 f (x )＝sin x ＋2cos x ＝5⎝⎛⎭⎫55sin x ＋255cos x ＝5sin(x ＋φ)，其中tan φ＝2，∴f (x )max ＝ 5.(2)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π. ①求ω的值；②讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调性． 解 ①f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4 ＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋ 2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋ 2. 因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0， 从而有2π2ω＝π，故ω＝1.②由①知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋ 2. 若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增；当π2<2x ＋π4≤5π4，即π8<x ≤π2时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤π8，π2上单调递减． 反思感悟 研究三角函数的性质，如单调性和最值问题，通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化后的函数的性质．在这个过程中通常利用辅助角公式，将y ＝a sin x ＋b cos x 转化为y ＝A sin(x ＋φ)或y ＝A cos(x ＋φ)的形式，以便研究函数的性质．跟踪训练3 已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值和最小值． 解 (1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32＝12⎝⎛⎭⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，－π6上单调递减，在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上单调递增， 且f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－14，f ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝34， 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.三角函数的实际应用典例 如图，有一块以点O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 开辟为绿地，使其一边AD 落在半圆的直径上，另两点B ，C 落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m.(1)如何选择关于点O 对称的点A ，D 的位置，可以使矩形ABCD 的面积最大，最大值是多少？(2)沿着AB ，BC ，CD 修一条步行小路从A 到D ，如何选择A ，D 位置，使步行小路的距离最远？解 (1)连接OB ，如图所示，设∠AOB ＝θ，则AB ＝OB sin θ＝20sin θ，OA ＝OB cos θ＝20cos θ，且θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 因为A ，D 关于原点对称， 所以AD ＝2OA ＝40cos θ. 设矩形ABCD 的面积为S ，则 S ＝AD ·AB ＝40cos θ·20sin θ＝400sin 2θ. 因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以当sin 2θ＝1， 即θ＝π4时，S max ＝400(m 2)．此时AO ＝DO ＝102(m)．故当A ，D 距离圆心O 为10 2 m 时，矩形ABCD 的面积最大，其最大面积是400 m 2. (2)由(1)知AB ＝20sin θ， AD ＝40cos θ，∴AB ＋BC ＋CD ＝40sin θ＋40cos θ＝402sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4， 又θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴θ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，34π， 当θ＋π4＝π2，即θ＝π4时，(AB ＋BC ＋CD )max ＝402，此时AO ＝DO ＝102，即当A ，D 距离圆心O 为10 2 m 时，步行小路的距离最远．[素养提升] 三角函数与平面几何有着密切联系，几何中的角度、长度、面积等问题，常借助三角变换来解决；实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上，故常用建立三角函数模型解决实际的优化问题．1．已知cos α＝15，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则sin α2等于( ) A.105B ．－105C.265D.255答案 A解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π， ∴α2∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin α2＝1－cos α2＝105. 2．下列各式与tan α相等的是( ) A.1－cos 2α1＋cos 2αB.sin α1＋cos αC.sin α1－cos 2αD.1－cos 2αsin 2α答案 D解析 1－cos 2αsin 2α＝2sin 2α2sin αcos α＝sin αcos α＝tan α.3．函数y ＝－3sin x ＋cos x 在⎣⎡⎦⎤－π6，π6上的值域是________． 答案 [0，3]解析 y ＝－3sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－x . 又∵－π6≤x ≤π6，∴0≤π6－x ≤π3.∴0≤y ≤ 3.4．已知sin α2－cos α2＝－15，π2<α<π，则tan α2＝________.答案 2解析 ∵⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22＝15，∴1－sin α＝15，∴sin α＝45.又∵π2<α<π，∴cos α＝－35.∴tan α2＝1－cos αsin α＝1－⎝⎛⎭⎫－3545＝2.5．化简：4sin θcos 2θ22sin θ＋sin 2θ＝________.答案 1解析 原式＝4sin θ·1＋cos θ22sin θ＋2sin θcos θ＝2sin θ(1＋cos θ)2sin θ(1＋cos θ)＝1.1．知识清单： (1)半角公式． (2)辅助角公式．(3)三角恒等变换的综合问题． (4)三角函数在实际问题中的应用． 2．方法归纳：转化与化归．3．常见误区：半角公式符号的判断，实际问题中的定义域．1．设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ4等于( )A.1＋a2B.1－a2C ．－ 1＋a2D ．－1－a2答案 D解析 ∵5π<θ<6π，∴5π4<θ4<3π2，∴sin θ4＝－1－cosθ22＝－1－a2. 2．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A ．c <b <a B ．a <b <c C ．a <c <b D ．b <c <a 答案 C解析 由题意可知，a ＝sin 24°，b ＝sin 26°，c ＝sin 25°，而当0°<x <90°时，y ＝sin x 单调递增，∴a <c <b ，故选C. 3.cos 40°cos 25°1－sin 40°的值为( )A ．1 B. 3 C. 2 D ．2 答案 C解析 原式＝cos 220°－sin 220°cos 25°(cos 20°－sin 20°)＝cos 20°＋sin 20°cos 25°＝2cos 25°cos 25°＝ 2.4．(多选)已知函数f (x )＝sin x cos x ＋sin 2x ，则下列说法正确的是( ) A ．f (x )的最大值为2 B ．f (x )的最小正周期为π C ．f (x )关于x ＝－π8对称D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递增 答案 BCD解析 ∵f (x )＝12sin 2x ＋1－cos 2x 2＝12(sin 2x －cos 2x )＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12. ∴f (x )max ＝22＋12＝2＋12，最小正周期T ＝2π2＝π.当x ＝－π8时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝－1，∴x ＝－π8为对称轴． 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4时，2x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递增，综上有BCD 正确，A 不正确．5．设函数f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋a (a 为实常数)在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－4，那么a 的值等于( )A ．4B ．－6C ．－4D ．－3 答案 C解析 f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋1. 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， ∴f (x )min ＝2·⎝⎛⎭⎫－12＋a ＋1＝－4.∴a ＝－4. 6．已知180°<α<270°且sin(α＋270°)＝45，则sin α2＝________，tan α2＝________.答案31010－3 解析 ∵sin(α＋270°)＝－cos α＝45，∴cos α＝－45，又90°<α2<135°，∴sin α2＝1－cos α2＝1＋452＝31010， tan α2＝－1－cos α1＋cos α＝－1＋451－45＝－3. 7．若3sin x －3cos x ＝23sin(x ＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________. 答案 －π6解析 因为3sin x －3cos x＝23⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x ＝23sin ⎝⎛⎭⎫x －π6， 因为φ∈(－π，π)，所以φ＝－π6. 8．化简：sin 4x 1＋cos 4x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x＝________. 答案 tan x 2解析 原式＝2sin 2x cos 2x 2cos 22x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝sin 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝2sin x cos x 2cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝sin x 1＋cos x＝tan x 2. 9．求证：12sin 2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan x 2－tan x 2＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 证明 左边＝12sin 2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2sin x 2－sin x 2cos x 2＋32cos 2x ＝12sin 2x ·cos 2x 2－sin 2x 2sin x 2cos x 2＋32cos 2x ＝sin 2x ·cos x sin x ＋32cos 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝右边，原等式得证． 10．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12 (x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合．解 (1)∵f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝2⎩⎨⎧⎭⎬⎫32sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－12cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1，∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)当f (x )取得最大值时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝1， 有2x －π3＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )，∴所求x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝k π＋5π12，k ∈Z .11．化简⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22＋2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α2得( )A ．2＋sin αB ．2＋2sin ⎝⎛⎭⎫α－π4C ．2D ．2＋2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4答案 C解析 原式＝1＋2sin α2cos α2＋1－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－α2＝2＋sin α－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝2＋sin α－sin α＝2. 12．已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x ，当x ＝π4时，f (x )取得最大值，则a 的值为() A ．－ 3 B ．－1 C ．1 D. 3答案 C解析 ∵f (x )＝sin x ＋a cos x ＝1＋a 2sin(x ＋φ)，∴f (x )max ＝1＋a 2，依题意f ⎝⎛⎭⎫π4＝22＋22a ＝1＋a 2，解得a ＝1.13．已知cos θ＝－725，θ∈(π，2π)，则sin θ2＋cos θ2的值为________．答案 15解析 因为θ∈(π，2π)，所以θ2∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以sin θ2＝1－cos θ2＝45，cos θ2＝－1＋cos θ2＝－35，所以sin θ2＋cos θ2＝15. 14．化简：tan 70°cos 10°(3tan 20°－1)＝________.答案 －1解析 原式＝sin 70°cos 70°·cos 10°·⎝⎛⎭⎫3sin 20°cos 20°－1 ＝sin 70°cos 70°·cos 10°·3sin 20°－cos 20°cos 20°＝sin 70°cos 70°·cos 10°·2sin (－10°)cos 20°＝－sin 70°cos 70°·sin 20°cos 20°＝－1.15.北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，则cos 2θ＝________.答案 725解析 由题意5cos θ－5sin θ＝1，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4. 所以cos θ－sin θ＝15. 又(cos θ＋sin θ)2＋(cos θ－sin θ)2＝2.所以cos θ＋sin θ＝75. 所以cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝725. 16.如图所示，已知OPQ 是半径为1，圆心角为π3的扇形，四边形ABCD 是扇形的内接矩形，B ，C 两点在圆弧上，OE 是∠POQ 的平分线，E 在PQ 上，连接OC ，记∠COE ＝α，则角α为何值时矩形ABCD 的面积最大？并求最大面积．解如图所示，设OE交AD于M，交BC于N，显然矩形ABCD关于OE对称，而M，N分别为AD，BC的中点，在Rt△ONC中，CN＝sin α，ON＝cos α，OM＝DMtanπ6＝3DM＝3CN ＝3sin α，所以MN＝ON－OM＝cos α－3sin α，即AB＝cos α－3sin α，而BC＝2CN＝2sin α，故S矩形ABCD＝AB·BC＝()cos α－3sin α·2sin α＝2sin αcos α－23sin2α＝sin 2α－3(1－cos 2α)＝sin 2α＋3cos 2α－ 3＝2⎝⎛⎭⎫12sin 2α＋32cos 2α－ 3＝2sin⎝⎛⎭⎫2α＋π3－ 3.因为0<α<π6，所以0<2α<π3，π3<2α＋π3<2π3.故当2α＋π3＝π2，即α＝π12时，S矩形ABCD取得最大值，此时S矩形ABCD＝2－ 3.。
高中数学 第五章 三角函数 5.5.2 简单的三角恒等变换第一册数学教案
5.5.2 简单的三角恒等变换最新课程标准：能运用公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆).知识点一 半角公式状元随笔 巧记“半角公式” 无理半角常戴帽，象限确定帽前号； 数1余弦加减连，角小值大用加号．“角小值大用加号”即y ＝1＋cos α(α是锐角)是减函数，角小值大，因此用“＋”号，而y ＝1－cos α为增函数，角大值大，因此用“ －”号．知识点二 辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2·sin(x ＋φ)，其中tan φ＝b a. 状元随笔 1.辅助角公式形式上是a sin α＋b cos α(ab≠0)的三角函数式，通过三角恒等变换可写成a 2＋b2sin (a ＋φ)的形式，其中tan φ＝ba，此公式称为辅助角公式．其中φ可通过tan φ＝b a以及点(a ，b)所在的象限来确定．2．辅助角公式的特殊情况sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4；sin α±3cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π3；cos α±3sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6±α.[教材解难]1．有了半角公式，只需知道cos α的值及相关的角的范围便可求α2的正弦、余弦、正切的值．2．对于S α2和C α2，α∈R ，但是使用T α2时，要保证α≠(2k ＋1)π(k ∈Z )．3．半角公式根号前符号的确定规律如下：(1)当给出的角是某一象限的角时，可根据下表确定半角的函数值的符号.(2)当给出角α的范围(即某一区间)时，可先求2的范围，再根据2的范围来确定各三角函数值的符号．(3)若没有给出确定符号的条件，则在根号前保留正、负两个符号．[基础自测]1．若cos α＝13，且α∈(0，π)，则cos α2的值为( )A.63 B ．－63 C ．±63 D ．±33解析：因为α∈(0，π)，所以α2∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.所以cos α2＝1＋cos α2＝23＝63. 答案：A2．下列各式中，值为12的是( )A ．sin 15°cos 15° B．cos 2π6－sin 2π6C.tan 30°1－tan 230°D.1＋cos 60°2解析：选项A 中，原式＝12sin 30°＝14；选项B 中，原式＝cos π3＝12；选项C 中，原式＝12×2tan 30°1－tan 230°＝12tan 60°＝32；选项D 中，原式＝cos 30°＝32.故选B. 答案：B3．化简2cos x ＋6sin x 等于( )A ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－xB ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－xC ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋xD ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x 解析：2cos x ＋6sin x ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3cos x ＋sin π3sin x＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x .答案：B4．若3sin x －3cos x ＝23sin(x ＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________. 解析：∵3sin x －3cos x ＝23⎝⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，因φ∈(－π，π)，∴φ＝－π6.答案：－π6题型一 半角公式的应用[经典例题]例1 已知sin α＝－45，π<α<3π2，求sin α2，cos α2，tan α2的值．【解析】 ∵π<α<3π2，sin α＝－45，∴cos α＝－35，且π2<α2<3π4，∴sin α2＝1－cos α2＝255， cos α2＝－1＋cos α2＝－55， tan α2＝sin α2cosα2＝－2.利用半角公式求值． 方法归纳解决给值求值问题的思路方法已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为： (1)先化简已知或所求式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；(3)将已知条件代入所求式子，化简求值 跟踪训练1 (1)求值：sinπ8＝________；cos π8＝________. 解析：(1)sin π8＝1－cosπ42＝1－222＝2－22； cos π8＝1＋cosπ42＝1＋222＝2＋22. 答案：2－22 2＋22 由sin π8>0，所以1 －cosπ42.由cos π8>0，则cos π8＝1 ＋cosπ42.(2)2＋2cos 8＋21－cos 8的化简结果是________．解析：原式＝2(1＋2cos 24－1)＋21－(1－2sin 24)＝2|cos 4|＋22|sin 4|＝－2cos 4－22sin 4.答案：－2cos 4－22sin 4半角是相对的，4是8的半角，利用公式化简 . 题型二 三角恒等式的证明例2 若π<α<3π2，证明：1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α＝－2cos α2；【证明】 左边＝sin2α2＋cos2α2＋2sin α2cos α21＋⎝⎛⎭⎪⎫2cos2α2－1－1－⎝⎛⎭⎪⎫1－2sin2α2＋sin2α2＋cos 2α2－2sin α2cos α21＋⎝⎛⎭⎪⎫2cos2α2－1＋1－⎝⎛⎭⎪⎫1－2sin2α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α222⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α222⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2因为π<α<3π2，所以π2<α2<3π4，所以sin α2>0>cos α2.所以左边＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α222⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos α2－sin α2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α222⎝⎛⎭⎪⎫－cos α2＋sin α2＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α2＋12⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2＝－2cos α2＝右边．所以原等式成立.等式左边复杂，应从左边入手，利用公式化简，同时注意α的范围． 方法归纳三角恒等式证明的思路通过观察分析等式两端的结构，从两端角的差异、三角函数名称及结构的差异入手，寻求证明途径，左右归一；或消除等式两端的差异，达到形式上的统一．跟踪训练2 求证：cos 2α1tanα2－tan α2＝14sin 2α.证明：方法一 左边＝cos 2αcos α2sin α2－sinα2cosα2＝cos 2αsin α2cos α2cos 2α2－sin2α2＝cos 2αsin α2cosα2cos α＝cos αsin α2cos α2＝12sin αcos α＝14sin 2α＝右边．所以原式成立． 方法二 左边＝cos 2αtan α21－tan 2α2＝12cos 2α·2tanα21－tan 2α2＝12cos 2αtan α＝12cos αsin α＝14sin 2α＝右边． 所以原式成立．左边复杂，从左边入手化简，先切化弦再利用倍角、半角公式化简． 题型三 三角恒等变换与三角函数的综合[教材P 227例9] 例3 求下列函数的周期，最大值和最小值： (1)y ＝sin x ＋3cos x ； (2)y ＝3sin x ＋4cos x .【解析】 (1)y ＝sin x ＋3cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos π3＋cos x sin π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.因此，所求周期为2π，最大值为2，最小值为－2. (2)设3sin x ＋4cos x ＝A sin(x ＋φ)，则 3sin x ＋4cos x ＝A sin x cos φ＋A cos x sin φ. 于是A cos φ＝3，A sin φ＝4， 于是A 2cos 2φ＋A 2sin 2φ＝25， 所以A 2＝25.取A ＝5，则 cos φ＝35，sin φ＝45，由y ＝5sin(x ＋φ)可知，所求周期为2π，最大值为5，最小值为－5.状元随笔 便于求周期和最大值、最小值的三角函数式是y ＝A sin (x ＋φ)，利用和角公式将其展开，可化为y ＝a sin x ＋b cos x 的形式. 反之，利用和(差)角公式，可将y ＝a sin x ＋b cos x 转化为y ＝A sin (x ＋φ)的形式；进而就可以求得其周期和最值了.教材反思函数的解析式的次数可以降低，项数可以减少时，要先化简解析式成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式再研究其图象及性质．跟踪训练3 已知函数f (x )＝sin 2x ＋23sin x cos x ＋3cos 2x ，x ∈R ， (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上的值域． 解析：(1)f (x )＝1－cos 2x 2＋3sin 2x ＋3(1＋cos 2x )2＝2＋3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2，所以最小正周期T ＝2π2＝π，因为－π2＋2k π≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，f (x )为单调递增函数，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z .(2)由(1)知f (x )＝2＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由于－π6≤x ≤π3，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以f (x )∈[1,4]，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上的值域为[1,4]．利用二倍角公式，降幂公式化简函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋B 的形式，再利用性质求解．思想方法 构建三角函数模型，解决实际问题例 如图，ABCD 是一块边长为100 m 的正方形地皮，其中AST 是半径为90 m 的扇形小山，其余部分都是平地．一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P 在ST 上，相邻两边CQ ，CR 正好落在正方形的边BC ，CD 上，求矩形停车场PQCR 面积的最大值和最小值．【分析】 解答本题可设∠PAB ＝θ并用θ表示PR ，PQ .根据S 矩形PQCR ＝PQ ·PR 列出关于θ的函数式，求最大值、最小值．【解析】 如图，连接AP ，设∠PAB ＝θ(0°≤θ≤90°)，延长RP 交AB 于M ， 则AM ＝90cos θ，MP ＝90sin θ. 所以PQ ＝MB ＝100－90cos θ，PR ＝MR －MP ＝100－90sin θ.所以S 矩形PQCR ＝PQ ·PR＝(100－90cos θ)(100－90sin θ)＝10 000－9 000(sin θ＋cos θ)＋8 100sin θcos θ. 令t ＝sin θ＋cos θ(1≤t ≤2)，则sin θcos θ＝t 2－12.所以S 矩形PQCR ＝10 000－9 000t ＋8 100·t 2－12＝8 1002⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1092＋950.故当t ＝109时，S 矩形PQCR 有最小值950 m 2；当t ＝2时，S 矩形PQCR 有最大值(14 050－9 0002)m 2.【点评】 此类问题关键在于构建函数模型，首先要选准角，以有利于表示所需线段，其次要确定角的范围．课时作业 40 一、选择题1．已知cos α＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，则sin α2等于( ) A ．－1010 B.1010C.310 3 D ．－35解析：因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，所以α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，π，所以sin α2＝1－cos α2＝110＝1010. 答案：B2．若sin 2α＝14，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则cos α－sin α的值为( ) A.32 B.34 C ．－32 D ．－34解析：因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以cos α<sin α，(cos α－sin α)2＝1－sin 2α＝34，所以cos α－sin α＝－32. 答案：C3．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝1－cos 50°2，则有( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．a <c <bD ．b <c <a解析：由已知可得a ＝sin 24°，b ＝sin 26°，c ＝sin 25°，所以a <c <b . 答案：C 4．若α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π4，2π，则1＋cos 2α2－1－cos 2α2等于( ) A ．cos α－sin α B ．cos α＋sin α C ．－cos α＋sin α D ．－cos α－sin α解析：因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π4，2π，所以sin α≤0，cos α>0，则1＋cos 2α2－1－cos 2α2＝cos 2α－sin 2α ＝|cos α|－|sin α|＝cos α－(－sin α)＝cos α＋sin α. 答案：B 二、填空题5．若cos 22°＝a ，则sin 11°＝________，cos 11°＝________. 解析：cos 22°＝2cos 211°－1＝1－2sin 211°， 所以cos 11°＝1＋cos 22°2＝1＋a2. sin 11°＝1－cos 22°2＝1－a2. 答案：1－a21＋a26．已知cos α＝－35，且180°<α<270°，则tan α2＝________.解析：因为180°<α<270°，所以90°<α2<135°，所以tan α2<0，所以tan α2＝－1－cos α1＋cos α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－351＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－2. 答案：－27．若α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝32，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝－12，则cos(α＋β)的值等于________．解析：∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝32，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝－12，∴α－β2＝±π6，α2－β＝－π6. ∴2α－β＝±π3，α－2β＝－π3.α＋β＝(2α－β)－(α－2β)＝0或2π3(0舍去)． ∴cos(α＋β)＝－12.答案：－12三、解答题8．化简：2cos 2α－12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.解析：方法一原式＝cos 2α－sin 2α2·1－tan α1＋tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π4cos α＋cos π4sin α2＝(cos 2α－sin 2α)(1＋tan α)(1－tan α)(cos α＋sin α)2(复角化单角，进一步切化弦) ＝(cos 2α－sin 2α)(cos α＋sin α)(cos α－sin α)(cos α＋sin α)2＝1(使用平方差公式)． 方法二 原式＝cos 2α2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α(利用π4－α与π4＋α的互余关系)＝cos 2α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α(逆用二倍角的正弦公式)＝cos 2αcos 2α＝1. 9．求证：sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.证明：∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin α ＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2cos(α＋β)sin α ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝sin[(α＋β)－α]＝sin β，两边同除以sin α得sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.[尖子生题库]10．已知函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32，求m 的最小值．解析：(1)f (x )＝12－12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12. 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12. 由题意知－π3≤x ≤m ， 所以－5π6≤2x －π6≤2m －π6. 要使得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为1. 所以2m －π6≥π2，即m ≥π3. 所以m 的最小值为π3.。
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【新教材】人教统编版高中数学A版必修第一册第五章教案教学设计+课后练习及答案5.1.1《任意角和弧度制---任意角》教案教材分析：学生在初中学习了o 0～o 360，但是现实生活中随处可见超出o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.因此为了准确描述这些现象，本节课主要就旋转度数和旋转方向对角的概念进行推广.教学目标与核心素养：课程目标1.了解任意角的概念.2.理解象限角的概念及终边相同的角的含义．3.掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．数学学科素养1.数学抽象：理解任意角的概念，能区分各类角；2.逻辑推理：求区域角；3.数学运算：会判断象限角及终边相同的角.教学重难点：重点：理解象限角的概念及终边相同的角的含义；难点：掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
教学过程：一、情景导入初中对角的定义是：射线OA 绕端点O 按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到o 0～o 360范围内的角.但是现实生活中随处可见超出o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.请学生思考，如何定义角才能解决这些问题呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本168-170页，思考并完成以下问题1．角的概念推广后，分类的标准是什么？2．如何判断角所在的象限？3．终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1．任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的表示如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．(3)角的分类按旋转方向，角可以分为三类：名称定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角2．象限角在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与 x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．四、典例分析、举一反三题型一任意角和象限角的概念例1(1)给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．①420°，②855°，③－510°.【答案】（1）①（2）图略，①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．【解析】(1)①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以①正确；②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误；③0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误；④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误．(2) 作出各角的终边，如图所示：由图可知：①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．解题技巧：（任意角和象限角的表示）1．判断角的概念问题的关键与技巧．(1)关键：正确的理解角的有关概念，如锐角、平角等；(2)技巧：注意“旋转方向决定角的正负，旋转幅度决定角的绝对值大小．2．象限角的判定方法．(1)图示法：在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．(2)利用终边相同的角：第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式；第二步，判断β的终边所在的象限；第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．跟踪训练一1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是( )A．A＝B＝C B．A⊆CC．A∩C＝B D．B∪C⊆C【答案】D【解析】由已知得B C，所以B∪C⊆C，故D正确．2．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°，360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－315°＝－360°＋45°且0°＜45°＜90°.所以这四个命题都是正确的．题型二终边相同的角的表示及应用例2(1)将－885°化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是________．(2)写出与α＝－910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°＜β＜360°的元素β写出来．【答案】（1）(－3)×360°＋195°，（2）终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，适合不等式－720°＜β＜360°的元素－550°、－190°、170°.【解析】(1)－885°＝－1 080°＋195°＝(－3)×360°＋195°.(2)与α＝－910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，∵－720°＜β＜360°，即－720°＜k·360°－910°＜360°，k∈Z，∴k取1，2，3.当k＝1时，β＝360°－910°＝－550°；当k＝2时，β＝2×360°－910°＝－190°；当k＝3时，β＝3×360°－910°＝170°.解题技巧：(终边相同的角的表示)1．在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，k∈Z)，其中β就是所求的角．(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到所求为止．2．运用终边相同的角的注意点所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点：(1)k是整数，这个条件不能漏掉．(2)α是任意角．(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．跟踪训练二1.下面与－850°12′终边相同的角是( )A ．230°12′B ．229°48′C ．129°48′D ．130°12′【答案】B【解析】与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k ·360°(k ∈Z)，当k ＝3时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′.2．写出角α的终边落在第二、四象限角平分线上的角的集合为________．【答案】{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z}．【解析】落在第二象限时，表示为k ·360°＋135°.落在第四象限时，表示为k ·360°＋180°＋135°，故可合并为{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z}． 题型三 任意角终边位置的确定和表示例3 (1)若α是第一象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第一、三象限角C ．第二象限角D ．第二、四象限角(2)已知，如图所示．①分别写出终边落在OA ，OB 位置上的角的集合；②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．【答案】(1)B (2) ①终边落在OA 位置上的角的集合为{α|α＝135°＋k ·360°，k ∈Z}；终边落在OB 位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k ·360°，k ∈Z}．②故该区域可表示为{γ|－30°＋k ·360°≤γ≤135°＋k ·360°，k ∈Z}．【解析】(1) 因为α是第一象限角，所以k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ，所以k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°，k ∈Z ，当k 为偶数时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，α2为第三象限角．所以α2是第一、三象限角．(2) ①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{γ|－30°＋k·360°≤γ≤135°＋k·360°，k∈Z}．解题技巧：（任意角终边位置的确定和表示）1．表示区间角的三个步骤：第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°；第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．提醒：表示区间角时要注意实线边界与虚线边界的差异．2．nα或所在象限的判断方法：的范围；(1)用不等式表示出角nα或αn所在象限．(2)用旋转的观点确定角nα或αn跟踪训练三1．如图所示的图形，那么终边落在阴影部分的角的集合如何表示？【答案】角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．【解析】在0°～360°范围内，终边落在阴影部分(包括边界)的角为60°≤β<105°与240°≤β<285°，所以所有满足题意的角β为{β|k·360°＋60°≤β<k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β<k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．故角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本171页练习及175页习题5.1 1、2、7题.教学反思：本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，让学生从旋转方向和旋转度数熟悉角的概念，象限角，终边相同的角等，并且掌握其应用.5.1.2《任意角和弧度制---弧度制》教案教材分析：前一节已经学习了任意角的概念，而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法—弧度制，从而将角与实数建立一一对应关系，为学习本章的核心内容—三角函数扫平障碍，打下基础.教学目标与核心素养：课程目标1.了解弧度制,明确1弧度的含义.2.能进行弧度与角度的互化.3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式.数学学科素养1.数学抽象：理解弧度制的概念；2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合；3.直观想象：区域角的表示；4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题.教学重难点：重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化；难点：弧度制概念的理解．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
高中数学 第五章 三角函数 5.5 三角恒等变换 5.5.2 简单的三角恒等变换精品练习(含解析)新
5.5.2 简单的三角恒等变换知识点三 三角恒等变换的应用7.函数y ＝cos 2ωx －sin 2ωx (ω>0)的最小正周期是π，则函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的一个单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，9π4C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π48．在△ABC 中，求证：tan A 2tan B 2＋tan B 2tan C 2＋tan C 2tan A2＝1.9．如图所示，要把半径为R 的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB 的周长最大？关键能力综合练 一、选择题1．设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ4等于( )A.1＋a 2 B.1－a2 C ．－21＋a2D ．－21－a22．若2sin x ＝1＋cos x ，则tan x2的值等于( )A.12B.12或不存在学科素养升级练1．(多选题)对于函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，给出下列选项其中不正确的是( )A ．函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称B ．存在α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，使f (α)＝1C ．存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，使函数f (x ＋α)的图象关于y 轴对称D ．存在α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，使f (x ＋α)＝f (x ＋3α)恒成立 2．已知A ＋B ＝2π3，那么cos 2A ＋cos 2B 的最大值是________，最小值是________．3．(学科素养—数学建模)如图所示，已知OPQ 是半径为1，圆心角为π3的扇形，四边形ABCD 是扇形的内接矩形，B ，C 两点在圆弧上，OE 是∠POQ 的平分线，E 在PQ 上，连接OC ，记∠COE ＝α，则角α为何值时矩形ABCD 的面积最大？并求最大面积．5．5.2 简单的三角恒等变换必备知识基础练1．解析：∵3π<θ<7π2，sin θ＝－35，∴cos θ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝－45，∵3π<θ<7π2，∴3π2<θ2<7π4.则tan θ2＝－1－cos θ1＋cos θ＝－1＋451－45＝－3. 答案：B2．解析：因为2π<θ<3π，所以π<θ2<3π2.又cos θ＝m ，所以sin θ2＝－1－cos θ2＝－1－m2，故选A. 答案：A3．解析：y ＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π62＋1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π62－1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝12sin 2x ，是奇函数．故选A.答案：A4．解析：f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝32sin x －32cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，所以函数f (x )的值域为[－3，3]，故选B. 答案：B5．解析：∵f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x －32cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3.∴f (x )∈[－2,2]． 答案：[－2,2]6．解析：(1)2(cos x －sin x )＝2×2⎝⎛⎭⎪⎫22cos x －22sin x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4cos x －sin π4sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .(2)315sin x ＋35cos x ＝65⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x＝65⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3sin x ＋cos π3cos x ＝65cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3.7．解析：y ＝cos 2ωx －sin 2ωx ＝cos 2ωx (ω>0)， 因为函数的最小正周期为π，故2π2ω＝π，所以ω＝1.则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4. 由2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2，得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z )，当k ＝1时，函数的一个单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，9π4.答案：B8．证明：∵A ，B ，C 是△ABC 的三个内角， ∴A ＋B ＋C ＝π，从而有A ＋C 2＝π2－B2.左边＝tan B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫tan A2＋tan C 2＋tan A 2tan C2＝tan B 2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋C 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－tan A 2tan C 2＋tan A 2tan C2＝tan B 2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－tan A 2tan C 2＋tan A 2tan C2＝1－tan A 2tan C 2＋tan A 2tan C2＝1＝右边， ∴等式成立．9.解析：设∠AOB ＝α，则0<α<π2，△OAB 的周长为l ，则AB ＝R sin α，OB ＝R cos α， ∴l ＝OA ＋AB ＋OB ＝R ＋R sin α＋R cos α ＝R (sin α＋cos α)＋R ＝2R sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋R . ∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π4.∴l 的最大值为2R ＋R ＝(2＋1)R ， 此时，α＋π4＝π2，即α＝π4，即当α＝π4时，△OAB 的周长最大．关键能力综合练1．解析：若5π<θ<6π，则5π4<θ4<3π2，则sin θ4＝－1－cosθ22＝－1－a2＝－21－a2. 答案：D2．解析：由已知得sin x 1＋cos x ＝12，tan x2＝sinx2cosx2＝2sin x 2cosx22cos 2x 2＝sin x 1＋cos x ＝12.当x ＝π＋2k π，k ∈Z 时，tan x2不存在．答案：B3．解析：由题意可知，a ＝sin 24°，b ＝sin 26°，c ＝sin 25°，而当0°<x <90°，y ＝sin x 为增函数，∴a <c <b ，故选C.答案：C 4．解析：cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1.∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝π2， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79.故选A.答案：A5．解析：由cos α＝－45，α是第三象限角，可得sin α＝－1－cos 2α＝－35.所以1＋tan α21－tan α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.答案：A6．解析：f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1. 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6， ∴f (x )min ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋a ＋1＝－4. ∴a ＝－4. 答案：C7．解析：1＋sin 2＝sin 21＋cos 21＋2sin 1cos 1 ＝sin 1＋cos 12＝|sin 1＋cos 1|，因为1∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin 1>0，cos 1>0，则1＋sin 2＝sin 1＋cos 1. 答案：sin 1＋cos 18．解析：由25sin 2θ＋sin θ－24＝0， 又θ是第二象限角，得sin θ＝2425或sin θ＝－1(舍去)．故cos θ＝－1－sin 2θ＝－725，由cos2θ2＝1＋cos θ2得cos2θ2＝925. 又θ2是第一、三象限角，所以cos θ2＝±35.答案：±359．解析：y ＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1＝1－cos 2x 2＋sin 2x 2＋1＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32.最小正周期T ＝2π2＝π.令－π2＋2k π<2x －π4<π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π8＋k π<x <3π8＋k π，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )．答案：π ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π8，k π＋3π8，k ∈Z10．证明：左边＝2sin 2x cos 2x 2cos 22x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x1＋cos x ＝sin 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝2sin x cos x 2cos 2x ·cos x1＋cos x ＝sin x 1＋cos x ＝2sin x 2cosx22cos2x 2＝tan x2＝右边． 所以原等式成立．学科素养升级练1．解析：函数f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，对于A ：函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，当x ＝π6时，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π3＝2，不能得到函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称．∴A 不对．对于B ：α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，可得α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3，f (α)∈(3，2]，不存在f (α)＝1.∴B 不对．对于C ：函数f (x ＋α)的对称轴方程为：x ＋α＋π3＝π2＋k π，可得x ＝k π＋π6－α(k ∈Z )，当k ＝0，α＝π6时，可得图象关于y 轴对称．∴C 对．对于D ：f (x ＋α)＝f (x ＋3α)说明2α是函数的周期，函数f (x )的周期为2π，故α＝π，∴不存在α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，使f (x ＋α)＝f (x ＋3α)恒成立，∴D 不对．故选A ，B ，D.答案：ABD2．解析：∵A ＋B ＝2π3，∴cos 2A ＋cos 2B ＝12(1＋cos 2A ＋1＋cos 2B )＝1＋12(cos 2A ＋cos 2B )＝1＋cos(A ＋B )cos(A －B )＝1＋cos 2π3·cos(A －B )＝1－12cos(A －B )，∴当cos(A －B )＝－1时， 原式取得最大值32；当cos(A －B )＝1时，原式取得最小值12.答案：32123.word - 11 - / 11解析：如图所示， 设OE 交AD 于M ，交BC 于N ，显然矩形ABCD 关于OE 对称，而M ，N 分别为AD ，BC 的中点，在Rt△ONC 中，＝sin α，ON ＝cos α，OM ＝DM tan π6＝3DM ＝3＝3sin α， 所以MN ＝ON －OM ＝cos α－3sin α，即AB ＝cos α－3sin α，而BC ＝2＝2sin α，故S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝()cos α－3sin α·2sin α＝2sin αcos α－23sin 2α＝sin 2α－3(1－cos 2α)＝sin 2α＋3cos 2α－3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2α＋32cos 2α－ 3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－ 3.因为0<α<π6，所以0<2α<π3，π3<2α＋π3<2π3.故当2α＋π3＝π2，即α＝π12时，S 矩形ABCD 取得最大值，此时S 矩形ABCD ＝2－ 3.。
高中数学5-5三角恒等变换5-5-2简单的三角恒等变换课件新人教A版必修第一册
半角公式
正弦 sinα2＝ ±
1－cos α 2
余弦 cosα2＝ ±
1＋cos α 2
续表
正切 tan α2＝±
1－cos 1＋cos
αα，tanα2＝1＋sincoαs
＝ α
1－cos sin α
α
2．常见的三角恒等变换： (1)asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)(ab≠0)，其中 tan φ＝ba，φ 所在象限由 a 和 b 的符号确定． (2)sin2x＝1－c2os 2x，cos2x＝1＋c2os 2x，sin xcos x＝12sin 2x.
α2，cos
α2，tan
α 2
的值；
1－sin (2)化简：
α－2c－os2αcossiαnα2＋cosα2(－π<α<0)．
[解] (1)∵sin α＝－187，π＜α＜32π，∴cos α＝－1157.
∵cos2α＝1－2sin2α2＝2cos2α2－1，又π2＜α2＜34π，
∴sin α2＝
1－cos 2
(2)左边＝2sinx2cosx2－2s2isni2nx2xc2ossinxx2cosx2＋2sin2x2
＝4sin22x2sicnosx2cx2o－s xsin2x2＝2ssiinn2xx2＝csionsx2x2＝2s2incox2sc2ox2sx2＝1＋sincoxs x＝右边．
[方法技巧] 三角恒等式证明的五种常用方法
4．和差化积公式：
(1)sin θ＋sin φ＝2sin
θ＋φ 2 cos
θ－2 φ；
(2)sin θ－sin φ＝2cos
θ＋φ 2 sin
θ－2 φ；
(3)cos θ＋cos φ＝2cos
2019_2020学年新教材高中数学第五章三角函数5.5.2简单的三角恒等变换教师用书新人教A版必修第一册
5．5.2 简单的三角恒等变换问题导学预习教材P225－P228，并思考以下问题： 1．如何用cos α表示sin2α2，cos 2α2和tan 2α2？ 2．半角公式的符号是由哪些因素决定的？1．半角公式2．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ)(其中tan θ＝ba)．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)半角公式对任意角都适用．( ) (2)cos α2＝1＋cos α2.( ) (3)对于任意α∈R ，sin α2＝12sin α都不成立．( )答案：(1)× (2)× (3)×若cos α＝13，且α∈(0，π)，则cos α2的值为( )A.63 B ．－63 C ．±63D ．±33答案：A已知cos α＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，则sin α2等于( ) A ．－1010B.1010C.3310 D ．－35答案：B已知cos θ＝－35，且180°＜θ＜270°，则tan θ2＝________．答案：－2应用半角公式求值已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝45，sin β＝1213，求cos α－β2 的值．【解】 因为α为钝角，β为锐角，sin α＝45，sin β＝1213，所以cos α＝－35，cos β＝513.所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×513＋45×1213＝3365.因为π2＜α＜π且0＜β＜π2，所以0＜α－β＜π，即0＜α－β2＜π2. 所以cos α－β2＝1＋cos （α－β）2＝1＋33652＝76565.利用半角公式求值的思路(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin 2α2＝1－cos α2，cos 2 α2＝1＋cos α2计算．1．已知sin α＝－45且π＜α＜3π2，则sin α2＝________．解析：因为sin α＝－45，π＜α＜3π2，所以cos α＝－35.又π2＜α2＜3π4，所以sin α2＝1－cos α2＝ 1＋352＝255. 答案：2552．已知cos 2θ＝－2325，π2<θ<π，求tan θ2的值．解：因为cos 2θ＝－2325，π2<θ<π，依半角公式得sin θ＝1－cos 2θ2＝ 1＋23252＝265， cos θ＝－1＋cos 2θ2＝－1－23252＝－15， 所以tan θ2＝1－cos θsin θ＝1＋15265＝62.三角函数式的化简化简（1－sin α－cos α）⎝⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22－2cos α(－π＜α＜0)．【解】 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin 2 α2－2sin α2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22×2sin2α2＝2sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2α2－cos 2α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2.因为－π＜α＜0， 所以－π2＜α2＜0，所以sin α2＜0，所以原式＝－sin α2cos α－sinα2＝cos α.(变条件)若本例中式子变为（1＋sin θ＋cos θ）⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ(0＜θ＜π)，则化简后的结果是什么？解：原式＝⎝⎛⎭⎪⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2 θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ24cos 2θ2＝cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2 θ2－cos 2 θ2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2cos θ⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2.因为0＜θ＜π，所以0＜θ2＜π2，所以cos θ2＞0，所以原式＝－cos θ.三角函数式化简的思路和方法(1)化简的思路：对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角公式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用．另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法．(2)化简的方法：弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂等．化简：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－tan α2·（1＋cos α）1－cos α(0＜α＜π)．解：因为tan α2＝sin α1＋cos α，所以(1＋cos α)tan α2＝sin α，又因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin α，且1－cos α＝2sin 2 α2，所以原式＝－sin α－sin α2sin 2α2＝－2sin α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－22sin α2cosα2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2.因为0＜α＜π，所以0＜α2＜π2.所以sin α2＞0.所以原式＝－22cos α2.与三角函数性质有关的问题已知函数f (x )＝cos(π＋x )cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－x －3cos 2x ＋32.(1)求f (x )的最小正周期和最大值；(2)求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的单调递增区间．【解】 f (x )＝(－cos x )·(－sin x )－3·1＋cos 2x 2＋32＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.(1)f (x )的最小正周期为π，最大值为1. (2)令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，即k π－π12≤x ≤k π＋512π(k ∈Z )，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π12上单调递增，即f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π12.应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤运用和、差、倍角公式化简↓统一化成f （x ）＝a sin ωx ＋b cos ωx ＋k 的形式↓利用辅助角公式化为f （x ）＝A sin （ωx ＋φ）＋k的形式，研究其性质1．已知函数f (x )＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12－1，则f (x )( ) A ．是奇函数 B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数解析：选A.f (x )＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π62＋1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π62－1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝12sin 2x，是奇函数．故选A.2．已知函数f(x)＝sin x－23sin2x2.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值．解：(1)因为f(x)＝sin x＋3cos x－ 3＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫x＋π3－3，所以f(x)的最小正周期为2π.(2)因为0≤x≤2π3，所以π3≤x＋π3≤π.当x＋π3＝π，即x＝2π3时，f(x)取得最小值．所以f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值为f⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝－ 3.1．若sin(π－α)＝－53且α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α2等于( ) A．－63B．－66C.66D.63解析：选B.由题意知sin α＝－53，α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，所以cos α＝－23.因为α2∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π4，所以sin⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α2＝cosα2＝－1＋cos α2＝－66.故选B.2．化简： 1＋cos （3π－θ）2⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2<θ<2π＝________．解析：原式＝1－cos θ2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2，因为3π2<θ<2π，所以3π4<θ2<π，所以sin θ2>0，故原式＝sin θ2.答案：sin θ23．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos β＝－13，sin(α＋β)＝79.(1)求tan β2的值；(2)求sin α的值．解：(1)因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos β＝－13，则sin β＝223， tan β2＝sin β1＋cos β＝2231－13＝ 2.(2)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，故α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，从而cos(α＋β)＝－1－sin 2（α＋β）＝ －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫792＝－429， 所以sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β ＝79×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－429×223＝13. [A 基础达标]1．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝( )A ．－13B ．－23C.13D.23解析：选D.cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π4 ＝1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π22＝1＋sin 2α2＝23.2．若cos 2α＝－45，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，则sin α＝( )A.31010B.1010C.35D ．－1010解析：选A.因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，所以sin α≥0，由半角公式可得sin α＝1－cos 2α2＝31010. 3．已知等腰三角形的顶角的余弦值等于725，则它的底角的余弦值为( )A.34B.35C.12D.45解析：选B.设等腰三角形的顶角为α，底角为β，则cos α＝725.又β＝π2－α2，所以cos β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α2＝sin α2＝1－7252＝35，故选B. 4．若α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，则1＋cos 2α2－ 1－cos 2α2等于( ) A ．cos α－sin α B ．cos α＋sin α C ．－cos α＋sin αD ．－cos α－sin α解析：选D.因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π， 所以sin α≥0，cos α≤0， 则1＋cos 2α2－ 1－cos 2α2＝cos 2α－sin 2α ＝|cos α|－|sin α|＝－cos α－sin α.5．(2019·贵州遵义航天高级中学月考)函数f (x )＝cos 2x －2cos 2x2(x ∈[0，π])的最小值为( )A ．1B ．－1 C.54D ．－54解析：选D.由题意，得f (x )＝cos 2x －2cos 2x2＝cos 2x －(1＋cos x )＝cos 2x －cos x －1，设t ＝cos x (x ∈[0，π])，y ＝f (x )，则t ∈[－1，1]，y ＝t 2－t －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－54，所以当t＝12，即x ＝π3时，y 取得最小值，为－54，所以函数f (x )的最小值为－54，故选D. 6．已知sin θ2－cos θ2＝63，则cos 2θ＝________．解析：因为sin θ2－cos θ2＝63，所以1－sin θ＝23，即sin θ＝13，所以cos 2θ＝1－2sin 2θ＝1－29＝79.答案：797．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝23，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α2＝________．解析：因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝23，所以cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α2＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α2＝1＋232＝56.答案：568．若3sin x －3cos x ＝23sin(x ＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________． 解析：因为3sin x －3cos x ＝23⎝⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6， 因为φ∈(－π，π)，所以φ＝－π6. 答案：－π69．已知180°<α<270°，且sin(270°＋α)＝45，求tan α2的值． 解：因为sin(270°＋α)＝45， 所以cos α＝－45. 又180°<α<270°，所以90°<α2<135°. 所以tan α2＝－1－cos α1＋cos α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－451＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－3. 10．化简：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－tan α2·（1＋cos α）1－cos α(0<α<π)． 解：因为tan α2＝sin α1＋cos α， 所以(1＋cos α)tan α2＝sin α. 又因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin α， 且1－cos α＝2sin 2α2， 所以原式＝－sin α－sin α2sin 2α2＝－2sin α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2 ＝－22sin α2cos α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2. 因为0<α<π，所以0<α2<π2.所以sin α2>0. 所以原式＝－22cos α2. [B 能力提升]11．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝34，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，则sin θ＋cos θ的值是( ) A.62B ．－62C ．－22 D.22 解析：选C.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θ ＝12cos 2θ＝34. 所以cos 2θ＝32. 因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π， 所以2θ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π， 所以sin 2θ＝－12，且sin θ＋cos θ＜0. 所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝1－12＝12. 所以sin θ＋cos θ＝－22. 12．已知sin 2θ＝35，0＜2θ＜π2，则2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝________．解析：2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2 θ2－1－sin θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θcos π4＋cos θsin π4 ＝cos θ－sin θsin θ＋cos θ＝1－sin θcos θsin θcos θ＋1＝1－tan θtan θ＋1. 因为sin 2θ＝35，0＜2θ＜π2， 所以cos 2θ＝45， 所以tan θ＝sin 2θ1＋cos 2θ＝351＋45＝13， 所以1－tan θtan θ＋1＝1－1313＋1＝12， 即2cos 2 θ2－sin θ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12. 答案：1213．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4－22sin 2x . (1)求函数f (x )图象的对称轴方程、对称中心的坐标；(2)当0≤x ≤π2时，求函数f (x )的最大、最小值． 解：f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －22·1－cos 2x 2＝22sin 2x ＋22cos 2x － 2 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－ 2. (1)令2x ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝12k π＋π8(k ∈Z )， 所以函数f (x )图象的对称轴方程是x ＝12k π＋π8(k ∈Z )． 令2x ＋π4＝k π(k ∈Z )，得x ＝12k π－π8(k ∈Z )． 所以函数f (x )图象的对称中心的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12k π－π8，－2(k ∈Z )． (2)当0≤x ≤π2时，π4≤2x ＋π4≤5π4，－22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤1， 所以当x ＝π2时，f (x )取最小值－322，当x ＝π8时，f (x )取最大值1－ 2. [C 拓展探究]14．点P 在直径AB ＝1的半圆上移动，过点P 作切线PT ，且PT ＝1，∠PAB ＝α，则当α为何值时，四边形ABTP 的面积最大？解：如图所示．因为AB 为半圆的直径，所以∠APB ＝π2，又AB ＝1， 所以PA ＝cos α，PB ＝sin α.又PT 切半圆于P 点，所以∠TPB ＝∠PAB ＝α，所以S 四边形ABTP ＝S △PAB ＋S △TPB ＝12PA ·PB ＋12PT ·PB ·sin α＝12sin αcos α＋12sin 2α ＝14sin 2α＋14(1－cos 2α) ＝24sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π4＋14. 因为0＜α＜π2， 所以－π4＜2α－π4＜3π4， 所以当2α－π4＝π2，即α＝3π8时， S 四边形ABTP 取得最大值24＋14.。
【新教材】高一数学人教A版课件第五章5.5.2简单的三角恒等变换(一)
【解析】(1)选B.因为52π <θ<3π，
所以cos θ＝－
1－sin2θ
＝－45
，54π
θ <2
3π <2
.所以sin2θ
<0，cos
θ 2
<0.
所以sin
θ 2
＝－
1－cos θ 2
＝－130
10 ，
cos
θ 2
＝－
θ
1＋cos θ 2
＝－
10 10
.所以tan
θ 2
sin ＝
2 θ
＝3.
cos 2
2．若f(cos θ)＝ cos 3θ，求f(x)的解析式． 【解析】令x＝cos θ，由f(cos θ)＝cos 3θ＝4cos3θ－3cosθ， 所以f(x)＝4x3－3x, x∈[－1，1].
【跟踪训练】 设α为第四象限角，若ssiinn3αα ＝153 ，则tan 2α＝____．
【解析】因为sin
(2)化简的思路． 对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与 分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用．另外，还可以用切 化弦、变量代换、角度归一等方法． (3)化简的方法． 弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂等．
【定向训练】 已知α是第三象限角，则
C． 3 ＋1
【解析】选A.tan
π 8
＝
1－cosπ4
1＋cos
π 4
＝
（2－ 2）2 2－ 2
2
＝
＝ 2 －1.
2
D． 3 －1
1－
2 2
＝
1＋
2 2
2－ 2 ＝
新教材高中数学第五章三角函数5.5三角恒等变换5.5.2简单的三角恒等变换二课件
必备知识生成
【情境探究】
问题1.利用和差角的正弦公式,如何化简三角函数式 1 sin α+ 3 cos α?
2
2
提示:逆用两角和与差的正弦、余弦公式,即 1 sin 3 cos cos sin sin cos
2
2
3
3
sin( )，或 1 sin 3 cos sin sin cos cos cos( ).
3
2
2
6
6
6
问题2.asin x+b cos x的化简结果是什么?
提示:asin x+b cos x= a2 b2 ( a sin x b cos x), 若令cos α=
a2 b2
a2 b2
sin α=
b ,则原式可化为:asin x+bcos x=
a2 b2
a2 b2(cos αsin x+
【定向训练】 1.求证:cos2α-sin2β=cos(α+β)cos(α-β).
【证明】因为cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,cos(α-β) =cos αcos β+sin αsin β. 所以cos(α+β)cos(α-β)=cos2αcos2β-sin2αsin2β =cos2α(1-sin2β)-sin2αsin2β. =cos2α-cos2αsin2β-sin2αsin2β =cos2α-sin2β.
sin αcos x)= a2 b·2 sin(x+α).
a,
a2 b2
若令sin θ= a ,cos θ= b ,则原式可化为:asin x+bcos x=
高中数学 第五章 三角函数 5.5.2.2 三角恒等变换的应用学案 新人教A版必修第一册-新人教A版
第2课时 三角恒等变换的应用题型一 三角恒等变换与三角函数性质的综合 【典例1】 已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12(x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合．[思路导引] 先降幂，再用辅助角公式化为A sin(ωx ＋φ)的形式，从而研究三角函数的性质．[解] (1)∵f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝2⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫32sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－12cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1 ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1， ∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)当f (x )取得最大值时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝1， 有2x －π3＝2k π＋π2，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )，∴所求x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x ＝k π＋5π12，k ∈Z .(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提．(2)解此类题时要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障．[针对训练]1．已知函数f (x )＝23sin(x －3π)·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π2－1，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值； (2)若f (x 0)＝65，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，求cos2x 0的值．[解] f (x )＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2x －1) ＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(1)f (x )的最小正周期为π；最大值为2，最小值为－1. (2)由(1)可知f (x 0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6. 又∵f (x 0)＝65，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝35. 由x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，得2x 0＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－45，cos2x 0＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6sin π6＝3－4310. 题型二三角恒等变换在实际生活中的应用【典例2】 有一块以O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 开辟为绿地，使其一边AD 落在半圆的直径上，另外两点B ，C 落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为a ，如何选择关于点O 对称的点A ，D 的位置，可以使矩形ABCD 的面积最大？[思路导引] 在△AOB 中利用∠AOB 表示OA ，AB 的长，然后表示出矩形面积：2OA ·OB ，从而得到面积与角间的函数关系，再通过求函数的最值得到面积的最值．[解] 画出图象如右图所示，设∠AOB ＝θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则AB ＝a sin θ，OA ＝a cos θ.设矩形ABCD 的面积为S ，则S ＝2OA ·AB ，即S ＝2a cos θ·a sin θ＝a 2·2sin θcos θ＝a 2sin2θ.∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2θ∈(0，π)，当2θ＝π2，即θ＝π4时，S max ＝a 2，此时，A ，D 距离O 点都为22a .解决实际问题应首先设定主变量角α以及相关的常量与变量，建立含有角α的三角函数关系式，再利用三角函数的变换、性质等进行求解．求三角函数最值的问题，一般需利用三角函数的有界性来解决．[针对训练]2.某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m ，求割出的长方形桌面的最大面积(如右图)．[解] 连接OC ，设∠COB ＝θ，则0°<θ<45°，OC ＝1.∵AB ＝OB －OA ＝cos θ－AD＝cos θ－sin θ， ∴S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝(cos θ－sin θ)·sin θ ＝－sin 2θ＋sin θcos θ ＝－12(1－cos2θ)＋12sin2θ＝12(sin2θ＋cos2θ)－12＝22cos(2θ－45°)－12. 当2θ－45°＝0°，即θ＝22.5°时，S max ＝2－12(m 2)． ∴割出的长方形桌面的最大面积为2－12m 2. 课堂归纳小结1．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中φ满足：(1)φ与点(a ，b )同象限；(2)tan φ＝b a(或sin φ＝b a 2＋b2，cos φ＝a a 2＋b2)．2．研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a ，b 应熟练掌握，例如sin x ±cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ±π4；sin x ±3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ±π3等.1．若函数f (x )＝sin 2x －12(x ∈R )，则f (x )是( )A ．最小正周期为π2的奇函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数[解析] ∵f (x )＝1－cos2x 2－12＝－12cos2x∴最小正周期T ＝2π2＝π，且为偶函数．[答案] D2．函数y ＝12sin2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22＋12，22＋12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22－12，22－12 [解析] y ＝12sin2x ＋1－cos2x 2＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22＋12，22＋12，故选C.[答案] C3．函数f (x )＝sin x (cos x －sin x )的最小正周期是( ) A.π4 B.π2C ．π D．2π[解析] 由f (x )＝sin x (cos x －sin x )＝sin x cos x －sin 2x ＝12sin2x －1－cos2x 2＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－12，可得函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，故选C.[答案] C4．函数f (x )＝sin x －cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最小值为______．[解析] ∵f (x )＝2⎝⎛⎭⎪⎫22sin x －22cos x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4， ∴f (x )的最小值为2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1[答案] －1课后作业(五十三)复习巩固一、选择题1．函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上的最大值是( )A ．1B ．2 C.32D ．3[解析] ∵f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x ＝1－cos2x 2＋32sin2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32.即f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32. 故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上的最大值为32. 故选C. [答案] C2．使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数的θ的一个值是( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3[解析] f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋θ.当θ＝23π时，f (x )＝2sin(2x ＋π)＝－2sin2x 是奇函数．[答案] D3．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－5π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π6C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0[解析] ∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋56π(k ∈Z )．令k ＝0得增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，56π.∵x ∈[－π，0]，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0，故选D. [答案] D4．设函数f (x )＝3cos 2ωx ＋sin ωx cos ωx ＋a (其中ω>0，a ∈R )，且f (x )的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为π6.则ω的值为( )A ．1 B.12 C.13 D.14[解析] f (x )＝32cos2ωx ＋12sin2ωx ＋32＋a ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3＋32＋a ，依题意得2ω·π6＋π3＝π2，解之得ω＝12.[答案] B5．已知函数f (x )＝cos2x －1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x ≤π3，则( )A ．函数f (x )的最大值为3，无最小值B ．函数f (x )的最小值为－3，最大值为0C ．函数f (x )的最大值为33，无最小值 D ．函数f (x )的最小值为－3，无最大值[解析] 因为f (x )＝cos2x －1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝cos2x －1sin2x ＝－2sin 2x 2sin x cos x ＝－tan x ，0<x ≤π3，所以函数f (x )的最小值为－3，无最大值，故选D.[答案] D 二、填空题6．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－22sin 2x 的最小正周期是________．[解析] f (x )＝22sin2x －22cos2x －2(1－cos2x ) ＝22sin2x ＋22cos2x －2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2，所以T ＝2π2＝π.[答案] π7．在△ABC 中，若3cos2A －B2＋5sin2A ＋B2＝4，则tan A tan B ＝________.[解析] 因为3cos2A －B2＋5sin2A ＋B2＝4，所以32cos(A －B )－52cos(A ＋B )＝0，所以32cos A cos B ＋32sin A sin B －52cos A cos B ＋52sin A sin B ＝0， 即cos A cos B ＝4sin A sin B ，所以tan A tan B ＝14.[答案] 148．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋32π－3cos x 的最小值为________． [解析] f (x )＝－cos2x －3cos x ＝－2cos 2x －3cos x ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ＋342－18∵－1≤cos x ≤1，∴当cos x ＝1时，f (x )min ＝－4. [答案] －4 三、解答题9．已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)sin2x ＋12cos4x .(1)求f (x )的最小正周期及最大值； (2)若α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，且f (α)＝22，求α的值．[解] (1)∵f (x )＝(2cos 2x －1)sin2x ＋12cos4x＝cos2x sin2x ＋12cos4x＝12(sin4x ＋cos4x ) ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4，∴f (x )的最小正周期为π2，最大值为22.(2)∵f (α)＝22，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫4α＋π4＝1，∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，∴4α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫9π4，17π4.∴4α＋π4＝5π2，故α＝9π16.10．已知f (x )＝5sin x cos x －53cos 2x ＋523(x ∈R )．(1)求f (x )的单调递增区间； (2)求f (x )的对称轴、对称中心．[解] f (x )＝52sin2x －53×1＋cos2x 2＋532＝52sin2x －532cos2x ＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.(1)f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，512π＋k π(k ∈Z )．(2)对称轴方程是：x ＝12k π＋512π，(k ∈Z )；对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12k π＋π6，0(k ∈Z )．综合运用11．函数y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12－1( )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数[解析] y ＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π62＋1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π62－1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 ＝12sin2x ，是奇函数．故选A. [答案] A12．在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2C2，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．不等边三角形D ．直角三角形[解析] 由已知得，sin A sin B ＝1＋cos C2，又∵cos C ＝－cos(A ＋B )，∴2sin A sin B ＋cos(A ＋B )＝1，∴cos(A －B )＝1，∵0<A <π，0<B <π，∴－π<A －B <π，∴A －B ＝0，∴△ABC 是等腰三角形，故选B.[答案] B13.我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于________．[解析] 题图中小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，故每个直角三角形的面积为6.设直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝25，12ab ＝6，所以两条直角边的长分别为3,4.则cos θ＝45，cos2θ＝2cos 2θ－1＝725. [答案] 725 14．已知A ＋B ＝2π3，那么cos 2A ＋cos 2B 的最大值是______，最小值是________． [解析] ∵A ＋B ＝2π3， ∴cos 2A ＋cos 2B＝12(1＋cos2A ＋1＋cos2B ) ＝1＋12(cos2A ＋cos2B ) ＝1＋cos(A ＋B )cos(A －B )＝1＋cos 2π3·cos(A －B ) ＝1－12cos(A －B )， ∴当cos(A －B )＝－1时，原式取得最大值32； 当cos(A －B )＝1时，原式取得最小值12. [答案] 32 1215.某高校专家楼前现有一块矩形草坪ABCD ，已知草坪长AB ＝100米，宽BC ＝503米，为了便于专家平时工作、起居，该高校计划在这块草坪内铺设三条小路HE ，HF 和EF ，并要求H 是CD 的中点，点E 在边BC 上，点F 在边AD 上，且∠EHF 为直角，如图所示．(1)设∠CHE ＝x (弧度)，试将三条路的全长(即△HEF 的周长)L 表示成x 的函数，并求出此函数的定义域；(2)这三条路，每米铺设预算费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用(结果保留整数)(可能用到的参考值：3取1.732，2取1.414)．[解] (1)∵在Rt △CHE 中，CH ＝50，∠C ＝90°，∠CHE ＝x ，∴HE ＝50cos x. 在Rt △HDF 中，HD ＝50，∠D ＝90°，∠DFH ＝x ，∴HF ＝50sin x. 又∠EHF ＝90°，∴EF ＝50sin x cos x， ∴三条路的全长(即△HEF 的周长)L ＝50(sin x ＋cos x ＋1)sin x cos x. 当点F 在A 点时，这时角x 最小，求得此时x ＝π6； 当点E 在B 点时，这时角x 最大，求得此时x ＝π3.故此函数的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3. (2)由题意知，要求铺路总费用最低，只要求△HEF 的周长L 的最小值即可．由(1)得L ＝50(sin x ＋cos x ＋1)sin x cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3， 设sin x ＋cos x ＝t ，则sin x cos x ＝t 2－12，∴L ＝50(t ＋1)t 2－12＝100t －1. 由t ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4， x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，得3＋12≤t ≤2， 从而2＋1≤1t －1≤3＋1， 当x ＝π4，即CE ＝50时，L min ＝100(2＋1)， ∴当CE ＝DF ＝50米时，铺路总费用最低，最低总费用为96560元．。