同济第三版-高数-(8.1) 第一节 多元函数的基本概念解析
高数多元函数微分学教案 第一讲 多元函数的基本概念
第八章 多元函数微分法及其应用第一讲 多元函数的基本概念授课题目：§8.1多元函数的基本概念教学目的与要求：1、理解多元函数的概念．2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质．教学重点与难点：重点：多元函数的概念、二元函数的极限和连续的概念． 讲授内容：一、平面点集 n 维空间1、平面点集平面上一切点的集合称为二维空间, 记为R 2 即R 2=R ⨯R={(x , y )：x , y ∈R }坐标平面上具有某种性质P 的点的集合, 称为平面点集，记作E ={(x , y )：(x , y )具有性质P }.例如，平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合是C ={(x , y )：x 2+y 2<r 2}.如果我们以点P 表示(x , y ), 以|OP |表示点P 到原点O 的距离, 那么集合C 可表成C ={P ：|OP |<r }.回顾数轴上点的邻域。
邻域：设P 0(x 0, y 0)是xOy 平面上的一个点，δ是某一正数，与点P 0(x 0, y 0)距离小于δ的点P (x , y )的全体，称为点P 0的δ邻域，记为U (P 0, δ)，即}||{),(00δδ<=PP P P U ：或 })()(),{(),(20200 y y x x y x P U δδ<-+-=：. 点P 0的去心δ邻域, 记作) ,(0δP U ，即 }||0{),(00δδ<<=P P P P U ：.如果不需要强调邻域的半径δ, 则用U (P 0)表示点P 0的某个邻域, 点P 0的去心邻域记作)(0P U．.点与点集之间的关系：任意一点P ∈R 2与任意一个点集E ⊂R 2之间必有以下三种关系中的一种：（1）内点：如果存在点P 的某一邻域U (P ), 使得U (P )⊂E , 则称P 为E 的内点．（2）外点：如果存在点P 的某个邻域U (P ), 使得U (P )⋂E =∅, 则称P 为E 的外点．（3）边界点：如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点, 也有不属于E 的点, 则称P 点为E 的边点．E 的边界点的全体, 称为E 的边界, 记作∂E ．E 的内点必属于E ; E 的外点必定不属于E ; 而E 的边界点可能属于E , 也可能不属于E ．（4）聚点：如果对于任意给定的δ>0, 点P 的去心邻域),(δP U 内总有E 中的点, 则称P 是E 的聚点．由聚点的定义可知, 点集E 的聚点P 本身, 可以属于E , 也可能不属于E ．例如, 设平面点集E ={(x , y )|1<x 2+y 2≤2}.，则满足1<x 2+y 2<2的一切点(x , y )都是E 的内点；满足x 2+y 2=1的一切点(x , y )都是E 的边界点；它们都不属于E ；满足x 2+y 2=2的一切点(x , y )也是E 的边界点；它们都属于E ；点集E 以及它的界边∂E 上的一切点都是E 的聚点．开集：如果点集E 的点都是内点, 则称E 为开集．闭集：如果点集的余集E c 为开集, 则称E 为闭集．例如，E ={(x , y )|1<x 2+y 2<2}是开集；E ={(x , y )|1≤x 2+y 2≤2}是闭集； 集合{(x , y )|1<x 2+y 2≤2}既非开集, 也非闭集．连通性：如果点集E 内任何两点, 都可用折线连结起来, 且该折线上的点都属于E , 则称E 为连通集．区域(或开区域)：连通的开集称为区域或开区域．例如，E ={(x , y )|1<x 2+y 2<2}是区域．闭区域：开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域． 例如，E = {(x , y )|1≤x 2+y 2≤2}．有界集：对于平面点集E , 如果存在某一正数r ，使得E ⊂U (O , r ),其中O 是坐标原点, 则称E 为有界点集．无界集：一个集合如果不是有界集，就称这集合为无界集．例如，集合{(x , y )|1≤x 2+y 2≤2}是有界闭区域；集合{(x , y )| x +y >1}是无界开区域；集合{(x , y )| x +y ≥1}是无界闭区域.．2．n 维空间设n 为取定的一个自然数，我们用表示n 元有序数组(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )的全体所构成的集合记为R n ，即R n =R ⨯R ⨯⋅ ⋅ ⋅⨯R ={(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )：x i ∈R ，i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n }.这样定义了线性运算的集合R n 称为n 维空间．R n 中点x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )与点y =(y 1, y 2, ⋅ ⋅ ⋅ , y n )之间的距离，记作ρ(x , y ), 规定2222211)( )()(),(n n y x y x y x -+⋅⋅⋅+-+-=y x ρ．R n 中元素x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )与零元0之间的距离ρ(x , 0)记作||x ||(在R 1、R 2、R 3中，通常将||x ||记作|x |), 即22221 ||||nx x x ⋅⋅⋅++=x ． 采用这一记号，结合向量的线性运算, 便得),()( )()(||||2222211y x y x ρ=-+⋅⋅⋅+-+-=-n n y x y x y x ．二、多元函数概念回顾一元函数的概念。
高等数学——81多元函数的基本概念-文档资料
解 lim sin(xy) lim sin(xy) y lim sin(xy) lim y
x0 x
x0 xy
x0 xy
x0
y2
y2
y2
y2
2 lim sin(xy) 2． xy0 xy
四．多元函数的连续性
二元函数连续性定义：
设函数f (x，y)在开区域(或闭区域)D内有定义，P0(x0，y0)
z
O
y
P0
x
性质1 (最大值和最小值定理)： 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和
最小值．
性质2 (介值定理)： 在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不
同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少 一次．
多元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）均为连续 函数，多元连续函数的复合函数也是连续函数．
P2
E2 P2
P1
E1和E2都是连通的． D = E1E2是不连通的． E1和E2都是区域． D = E1E2是不区域．
E3
E3是闭区域．
有界点集和无界点集： 对于点集E如果存在正数K，使一切点PE与某一定点A间的
距离|AP|不超过K，即 |AP|K
对一切PE与成立，则称E为有界点集，否则称为无界点集．
2
y2
例7 求 lim xy 1 1 ．
x0
xy
y0
解 lim xy 1 1 lim ( xy 1 1)( xy 1 1)
x0
xy
x0 xy( xy 1 1)
y0
y0
lim 1 1 ． x0 xy 1 1 2
y0
z=f(x，y)(或z=f(P))
大学高数第八章 多元函数微分学习题解课后参考答案及知识总结
第8章多元函数微分学§8.1 多元函数的基本概念内容概要课后习题全解习题8-1★1.设222(,)xy f x y x y =+，求(1,)y f x。
解：222222(1,)1()yy xy x f y x x y x==++★2. 已知函数(,,)w u v f u v w u w +=+，试求(,,)f x y x y xy +-。
解： 2(,,)()()xyxf x y x y xy x y xy +-=++★★3.设()z x y f x y =++-，且当0y =时，2z x =，求()f x 。
解：将0y =代入原式得： 20(0)x x f x =++- ，故 2()f x x x =-4.求下列函数的定义域： ★（1）2ln(21)zy x =-+解：要使表达式有意义，必须 2210y x -+>∴ 所求定义域为 2{(,)|210}D x y y x =-+>★（2）z=解：要使表达式有意义，必须0x ≥， ∴{(,)|D x y x =≥★★（3）u=解：要使表达式有意义，必须11-≤≤∴{(,,)|D x y z z =≤≤★★★（4）z = 解：要使表达式有意义，必须 222224010ln(1)0ln1x y x y x y ⎧-≥⎪-->⎨⎪--≠=⎩∴ 222{(,)|01,4}D x y x y y x =<+≤≤★★（5）ln()z y x =-+解：要使表达式有意义，必须220010y x x x y ⎧->⎪≥⎨⎪-->⎩∴ 22{(,)|1,0}D x y x y x y =+<≤<5.求下列极限：★（1）10y x y →→知识点：二重极限。
思路：(1,0)为函数定义域内的点，故极限值等于函数值。
解：1ln 2ln 21y x y →→== ★★（2）00x y →→知识点：二重极限。
思路： 应用有理化方法去根号。
第一节 多元函数的基本概念
第八章 多元函数微分法及其应用大纲要求1．理解多元函数的概念2．了解二元函数的极限和连续的概念3．理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件，以及全微分在近似计算中的应用4．理解方向导数和梯度的概念并掌握其计算方法5．掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法；会求隐函数的偏导数6．了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程7．理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值的必要条件，了解二元函数极值的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值、最小值并会解决一些简单的应用问题第一节 多元函数的基本概念㈠本课的基本要求理解多元函数的概念，了解二元函数的极限和连续的概念㈡本课的重点、难点多元函数的有关概念为重点、难点是二元函数的极限和连续性的概念㈢教学内容前面我们研究了一元函数（一个自变量的函数）及其微积分。
但在自然科学与工程技术的实际问题中，往往涉及到多个因素之间的关系，这在数学上就表示为一个变量依赖于多个变量的情形，这种关系就相应地导出多元函数的概念。
本章的目的是在一元函数微分学的基础上，讨论多元函数的微分法及其应用。
我们以二元函数为主，但所得到的概念、性质与结论都可以很自然地推广到二元以上的多元函数。
同时，我们还须注意与一元函数微分学中有区别的地方，不要把概念、方法与记号弄混淆。
一．平面点集、n 维空间在讨论一元函数时，一些概念、理论和方法，都是基于1R 中的点集、两点间的距离、区间和邻域等概念。
为了将一元函数微积分推广到多元的情形，首先需要将上述一些概念加以推广，同时还需涉及一些其他概念。
为此我们先引入n 维空间，以便推广到一般的n R 中。
1．平面点集我们知道二元有序实数组),(y x 的全体，即},|),{(2R y x y x R R R ∈=⨯=就表示坐标平面。
（请思考：n 维空间？）坐标平面上具有某种性质P 的点的集合，称为平面点集，记作),(|),{(y x y x E =具有性质P}。
高等数学-多元函数的基本概念PPT课件
例1 求 f ( x, y) arcsin(3 x2 y2 ) 的定义域． x y2
解
3 x2 y2 1
x y2 0
2 x2 y2 4
x
y2
所求定义域为 D {(x, y) | 2 x2 y2 4, x y2}.
例：求下列函数的定义域
（1）f (x, y) ln(1 x2 y2 )
1. 内点是聚点； 2. 边界点是聚点；
例 {( x, y) | 0 x2 y2 1}
(0,0)既是边界点也是聚点．
3. 点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．
例如, {( x, y) | 0 x2 y2 1}
(0,0) 是聚点但不属于集合．
例如, {( x, y) | x2 y2 1}
x2 y2 0
在(0,0)的连续性．
解 取 y kx
lim
x0
x
2
xy
y
2
y0
lim
x0
x2
kx 2 k2x2
ykx
1
k k
2
其值随k的不同而变化， 极限不存在．
故函数在(0,0)处不连续．
闭区域上连续函数的性质
（1）最大值和最小值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D
上至少取得它的最大值和最小值各一次．
lim
y)(0,0
)
sin( x x2
2 y) y2
.
解
sin( x2 y)
lim
( x, y)(0,0)
x2 y2
( x,
lim
y)(0,0)
sin( x2 x2 y
y)
x2 y x2 y2
,
其中 ( x,
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解取
当 时
故函数在(0,0)处连续.
例6讨论函数
在(0,0)的连续性
解取
其值随k的不同而变化，极限不存在
故函数在(0,0)处不连续．
闭区域上连续函数的性质
（1）最大值和最小值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．
（2）介值定理
利用点函数的形式有 元函数的极限
定义2设 元函数 的定义域为点集 是其聚点，如果对于任意给定的正数 ，总存在正数 ，使得对于适合不等式 的一切点 ，都有 成立，则称A为 元函数 当 时的极限，记为
.
三、多元函数的连续性
设 元函数 的定义域为点集 是其聚点且 ，如果 则称 元函数 在点 处连续.设 是函数 的定义域的聚点，如果 在点 处不连续，则称 是函数 的间断点.
（2）区域
例如， 即为开集．
连通的开集称为区域或开区域．
例如，
开区域连同它的边界一起称为闭区域.
例如，
例如， 有界闭区域；
无界开区域．
（3）聚点：设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点，如果点P的任何一个邻域内总有无限多个点属于点集E，则称P为E的聚点.
说明：
a.内点一定是聚点；
b.边界点可能是聚点；
例
(0,0)既是边界点也是聚点．
c.点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．
例如,
(0,0)是聚点但不属于集合．
例如,
边界上的点都是聚点也都属于集合．
（4）n维空间： 为取定的一个自然数，我们称 元数组 的全体为 维空间，而每个 元数组 称为 维空间中的一个点，数 称为该点的第 个坐标.
高等数学微积分课件--82多元函数的概念
方向导数与梯度
方向导数的定义
方向导数是函数在某点处沿某一特定方向的 变化率。
梯度的几何意义
梯度在几何上表示函数值在空间中上升最快 的方向。
梯度的定义
梯度是方向导数的最大值，表示函数在某点 处沿某一方向的最大变化率。
方向导数与梯度的关系
方向导数是梯度的组成部分，但方向导数的 值可能小于梯度。
07
多元函数的极值与最 值
多元函数的自变量x的取值范围。
值域
多元函数因变量y的取值范围。
多元函数的表示方法
1 2
解析法
使用数学表达式来表示多元函数，如z = f(x,y)。
图示法
通过图形来表示多元函数，可以直观地观察函数 的变化趋势和形状。
3
表列法
列出函数在不同点上的取值，便于计算和比较。
多元函数的图形表示
平面图
在二维平面上表示多元函数，通过绘制等高线、 等值线等方式来表现函数的值。
三维图
在三维空间中表示多元函数，通过绘制立体图形 来表现函数的值和变化趋势。
参数方程
通过参数方程来表示多元函数，便于分析和计算 。
03
多元函数的性质
连续性
总结词
连续性是多元函数的基本性质，表示 函数在某点的极限值等于该点的函数 值。
详细描述
在多元函数中，如果一个函数在某点 的所有方向上的极限都存在且相等， 则称该函数在该点连续。连续性是函 数光滑、可微的重要前提。
VS
牛顿-莱布尼茨公式
牛顿-莱布尼茨公式是微积分基本定理的 特殊形式，用于计算定积分的值。
重积分与曲面积分
重积分
重积分是多元函数积分的扩展，用于计算多 元函数在区域上的积分。
第八章-第1节 多元函数的基本概念
.去心邻域的概念也可搬过来。
中去心邻域的定义空间nR0 ) ,3 ,2 ( 0为实数，则称集合，设>=∈δ⋯n R X n}),d(0 | {),U(00δδ<<=X X X X),(U ˆ 00。
去心邻域，记为的中点为δδX X R n2. 开集、闭集、有界集、无界集聚点OEE 中的有界集2R) U(O,E r ⊂无界集},|),{(E +∞<<∞−≤≤=y b x a y x单连通集分为连通集复连通集单连通 复连通不连通区域是连通开集. 区域是连通开集.区域 Ω 的内点及边界点都是它的聚点. 区域 Ω 的内点及边界点都是它的聚点., 则称为一连通开集若非空集nR ⊂Ω. 中的区域为nR Ω注意：集合的聚点不一定属于集合.二元函数 的图形),(y x f z = 设函数的定义域为，对于任意取定的y x P ∈),(，对应的函数值为,(yx f z =，这样，以为横坐标、为纵坐标、为竖坐标在空间就确定一点，当取遍上一切点时，得一个空间点集，这个点集称为二元函数的图形.（如下页图）二元函数的图形通常是一张曲面.xyzoxyz sin =例如,图形如右图.2222az y x =++例如,如右图，为球面.}.),{(222a y x y x D ≤+=222yx a z −−=.222y x a z −−−=单值分支:三. 多元函数的极限及极限的运算xxyay =ε+=a y ε−=a y ()..()a)(x f .x O)(x f y =P),(U ˆ0δx ),U(εa 0x x →.xxyay =ε+=a y ε−=a y ()..()a)(x f .x O)(x f y =P),(U ˆ0δx ),U(εa 0x x →.),(U ˆ0δx x ∈xxyay =ε+=a y ε−=a y ()..()a )(x f .x O)(x f y =P),(U ˆ0δx ),U(εa 0x x →.),(U ˆ0δx x ∈),U()(εa x f ∈二元函数极限的定义该例还说明一个问题对此你有什么想法 ?对此你有什么想法 ?,2x k y =虽然沿无穷多个方向：,, )0,0(),( 函数均有极限时当→y x . ),( lim 00不存在但函数的极限y x f y x →→“无穷多个方向”不等于“任意方向”.可利用方向性来判别多元函数的极限不存在.。
多元函数的基本概念课件
曲面积分是计算曲面上的函数值累积的 数学工具，分为第一类曲面积分和第二 类曲面积分。
曲线积分和曲面积分在物理、工程等领 域有广泛应用，如计算力矩、功等物理 量。
06 多元函数的应用
在物理中的应用
热力学
多元函数可以用来描述热力学中的状态方程，如压力、温度和体 积之间的关系。
多元函数的基本概念课件
目录
• 多元函数的定义与表示 • 多元函数的极限与连续性 • 多元函数的导数与微分 • 多元函数的极值与最值 • 多元函数的积分 • 多元函数的应用
01 多元函数的定义与表示
定义与性质
定义
多元函数是指定义在两个或更多 个变量上的数学函数。例如，三 维空间中的函数f(x, y, z)定义了x 、y和z的每一个值对。
多元函数的最值
定义
多元函数的最值是指函数在某个 区域内的最大值和最小值。
求解方法
通过求导数找到可能的极值点， 然后通过比较这些点的函数值来
找到最大值和最小值。
应用
在优化问题中，最值的概念被用 来确定某个目标函数的最大或最
小值。
条件极值与无约束最值问题
定义
条件极值是指在满足某些约束条件下求函数的极值；无约束最值问 题则没有约束条件。
02
二重积分的计算通常通 过直角坐标系或极坐标 系进行。
03
04
二重积分可以应用于面 积、体积、质量等的计 算。
二重积分的计算公式为： ∫∫D f(x,y) dxdy，其中 D是积分区域。
三重积分
01
02
03
04
三重积分是计算三维空间区域 上的函数值累积的数学工具。
同济版《高等数学》 多元函数泰勒展开
同济大学的《高等数学》教材是一部经典的数学教材，其中关于多元函数的泰勒展开是数学学习者所必须掌握的重要内容。
本文将从多元函数泰勒展开的基本概念、公式推导和具体实例分析三个方面来详细介绍该内容。
一、多元函数泰勒展开的基本概念1.1 多元函数的概念多元函数是指自变量不止一个的函数，通常表示为$f(x_1, x_2,\cdots, x_n)$，其中$x_1, x_2, \cdots, x_n$为自变量，$f$为因变量。
在实际问题中，常常遇到多个自变量同时改变而导致因变量发生变化的情况，所以研究多元函数的泰勒展开对于理解函数的性质和应用具有重要意义。
1.2 泰勒展开的定义若函数$f(x)$在某点$x=a$处有各阶导数，那么$f(x)$在点$x=a$处可以展开为以$a$为中心的幂级数，即泰勒展开式：$$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)(x-a)^2}{2!}+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)(x-a)^n}{n!}+R_n(x)$$其中$R_n(x)$为泰勒余项。
1.3 多元函数的泰勒展开对于多元函数$f(x_1, x_2, \cdots, x_n)$，若其各阶偏导数在点$(a_1, a_2, \cdots, a_n)$处存在，那么可以利用多元函数的偏导数来推广泰勒展开式，得到多元函数的泰勒展开式：$$f(x_1, x_2, \cdots, x_n)=f(a_1, a_2, \cdots,a_n)+\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(a_1, a_2, \cdots, a_n)(x_i-a_i)$$$$+\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac{\partial^2 f}{\partialx_i\partial x_j}(a_1, a_2, \cdots, a_n)(x_i-a_i)(x_j-a_j)+\cdots+R_n(x)$$其中$R_n(x)$为多元函数的泰勒余项。
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• 作定义域的图形 定义域由三个不等式表出。其中， 不等式 0 < x 2a 表示介于 y 轴和直线 x = 2a 间的平
面区域，它不含 y 轴，但包含直线 x = 2a . 不等式 0 < y 2 2ax 表示抛物线 y 2 = 2ax 下方、x 轴
上方的区域，它包含该抛物线，但不含 x 轴。 结合前两组不等式，不等式 0 2ax x2 y 可改
1
2ax x 2 y
1,
可解得
2ax x 2 y ,
y 0.
x 2a x 0.
由
1
y2 2ax
1,
可解得
0
y2
2ax ,
x 0 .
0 x.
综合两不等式组求得函数定义域为
D f x, y 0 x 2a, 0 y2 2ax, 0 2ax x 2 y .
知，它们之间具有联系
R
R1R2 . R1 R2
R1
R
R2 在这一问题中，当 R1、R2 在集合
{( R1, R2 )R1> 0 , R2 > 0 }
内取定一组值( R1, R2 )时，R 的对应值就随之确定。
以上三个问题的具体意义虽各不相同，但都有共同 性质，即一个变量的变化受到两个变量的影响和制约， 抽像出这些共同性质就得出以下二元函数的定义。
写成 x > 0 ，y > 0 ,( x - a )2+ y 2 a 2，因此该表示圆周 ( x - a )2 + y 2 = a 2 的外部位于 x 轴上方的区域，且包含 圆周，但不含 x 轴。
y
y2 2ax
D
0 y2 2ax
x a2 y2 a2
Df
:
0 0
x 2a , y 2 2ax ,
则按使得算式有意义来确定函数的定义域。 二元函数的定义域是平面点集，确定二元函数定义
域常常不仅要写出平面点集的代数表示形式，还需作出 该平面点集的图形。
(2) 平面点集的表示 作为二元函数定义域的平面点集通常是平面点集，
为使二元函数的解析式有意义，相应的平面点集通常由 两种形式给出：
一种是区域边界曲线为一元显函数组的情形； 一种是区域边界曲线为二元隐式不等式组的情形。 从应用角度考虑，平面点集一般要 求表示为显函数不等式组的形式。 作平面点集的图形关键是作出其 边界曲线的图形，由边界曲线结合问 题条件就可作出平面点集的图形。
在很多自然现象及实际问题中，经常回遇到两个以 上的变量间的依赖关系，这就产生了多元函数的概念。
例：圆柱体体积 V 和它的底半径 r、高 h 之间具有关系
V = r 2h.
在这一问题中，当变量 r、h
r
在集合{( r,h ) r > 0 ,h > 0 }内取
定一组值( r,h )时，体积 V 就有
(1) 二元函数的定义 设有变量 x 、y 和 z，如果当变量 x 、y 在一定的范
围内任意取定一对值( x ,y )时，变量 z 按照一定的法则 f ，总有唯一确定的值和这对值对应，则称这个对应法 则 f 为 x 、y 的二元函数。变量 x 、y 叫做自变量，而变 量 z 叫做因变量。变量 x 、y 的变化范围叫做函数的定 义域。
若记 P =( x ,y ,z ),则三元函数又可记为 u = f( P ). 由此点函数记号可方便地将三元函数推广为一般多 元函数。
(1) 多元函数定义域的确定 和一元函数的情形相类似，确定多元函数的定义域
遵循两个基本原则： 当问题有实际意义时，按函数的实际意义确定其定
义域； 当问题没有具体实际意义且函数由解析式表出时，
V r 2h h
唯一确定的值与之对应。
例：一定量的理想气体的压强 p、体积 V 和绝对温度 T
之间具有关系
p
RT V
,
其中 R 为常数。
在这一问题中，当变量
V、T 在集合
{( V,T )V > 0 ,T > T0 }
内取定一组值( V,T )时，
p 的对应值就随之确定。
例：设 R 是电阻 R1、R2 并联后的总电阻，由电学理论
例：求函数定义域并作定义域的图形( a > 0 )
z f x, y
y arcsin
2ax x 2 y
x
arccos
y2 2ax
.
通过定义域表达式作其图形
• 求函数定义域
为使函数表达式有意义需有
1
1
2ax x 2 y
1,
y 0.
2
1 y 2 1 , 2ax
x 0 .
由
上述定义中，与自变量 x、y 的一对值( 即二元有 序实数组 ( x ,y ) )相对应的因变量的 z 值也称为 f 在点
( x ,y )处的函数值，记作: f( x ,y )，即 z = f( x ,y ). 函数值 f( x ,y )的全体所构成的集合称为函数 f 的
值域，记作: f( D )，即x a2 y2源自 a20 2ax x 2 y.
O
2a x
0 x 2a
(3) 二元函数的图形 • 为何特别注重研究二元函数
多元函数由于其变量的增多，在三维空间中一般不 能考察其几何意义。二元函数是唯一可谈及几何意义的 多元函数，故多元函数的讨论多以二元函数形式叙述。
• 二元函数图形的概念 设有二元函数 z = f ( x ,y ),( x ,y ) D f ，则对
实际问题中大量遇到的是某一量的变化受到多种因 素制约和影响的情形，即一个变量的变化是由多个变量 确定的，这就产生了多元函数的概念。由于变量的增多, 使得多元函数的变化较一元函数复杂得多，相应多元函 数的性质也较一元函数复杂。
一元函数是在数直线上的点集中讨论问题, 多元函数是在平面或空间点集中讨论问题。由 于平面或空间点集中较直线点集复杂得多，因 此有必要引入平面或空间点集的有关概念。
f( D )={ z z = f( x ,y ),( x ,y )D }.
由二元函数的定义容易推广为三元函数及一般多元 函数的定义。
(2) 三元函数及一般多元函数的定义
设有变量 x 、y 、z 和 u，如果当变量 x 、y 、z 在一 定的范围内任意取定一组值( x ,y ,z )时，变量 u 按照一 定的法则 f ，总有唯一确定的值和这组值对应，则称这 个对应法则 f 为 x 、y、z 的三元函数。记作: f( x ,y ,z ), 即 u = f( x ,y ,z ).