05三角分解法
矩阵分析与计算--05-矩阵分解-02-Schur、SVD
A1 11
由于 1 1, 故1可扩展成C n空间的一组标准正交基，令
U1 1 , 2 ,
,n
则U1为酉矩阵，并且
AU1 A 1 , 2 , 11 , A 2 ,
, n A1 , A 2 , , A n
, A n
设A (aij ) C nn 为Hermite矩阵
a11 a12 Ak a1k a12 a22 a2 k a1k a2 k akk
k det Ak
(k 1,
, n)
（4）A是Hermite正定矩阵 分别称为A的k阶顺序主子阵和顺序主子式，则 k det Ak 0 (k 1, , n)
矩阵的三角分解法
矩阵的三角分解法矩阵的三角分解法是一种用于将一个矩阵分解为上三角矩阵和下三角矩阵的方法。
这种分解方法可以帮助我们更好地理解和解决矩阵相关的问题。
下面我将按要求逐段解释这个问题。
1. 什么是三角分解法三角分解法是一种将矩阵分解为上三角矩阵和下三角矩阵的方法。
在三角分解中，我们将原始矩阵分解为两个三角矩阵，一个是上三角矩阵，另一个是下三角矩阵。
上三角矩阵的主对角线以下的元素全为零，而下三角矩阵的主对角线以上的元素全为零。
这种分解法在解线性方程组、计算矩阵的行列式和求逆等问题中非常有用。
2. 如何进行三角分解三角分解的具体过程是通过一系列的行变换将原始矩阵转化为上三角矩阵或下三角矩阵。
这些行变换包括行交换、行缩放和行替换等操作。
首先，我们选择一个主元素，通常是第一行第一列的元素。
如果主元素为零，则需要进行行交换，将一个非零元素移动到主元素的位置。
然后，我们使用行缩放操作，将主元素所在列的其他元素变为零。
具体操作是将主元素所在行的每个元素除以主元素的值，然后将结果乘以其他行的主元素所在列的元素，并将其减去相应的行。
重复以上步骤，直到得到上三角矩阵或下三角矩阵。
最后，我们可以将得到的上三角矩阵和下三角矩阵合并为一个新的上三角矩阵或下三角矩阵。
3. 三角分解的应用领域有哪些三角分解法在数值计算和线性代数中有广泛的应用。
它可以用于求解线性方程组、计算矩阵的行列式和求逆等问题。
在求解线性方程组时，我们可以将系数矩阵分解为上三角矩阵和下三角矩阵，然后使用回代法或前代法来求解方程组。
这样可以简化计算过程，提高求解的精度和效率。
在计算矩阵的行列式时，我们可以通过三角分解将矩阵转化为上三角矩阵或下三角矩阵，然后将主对角线上的元素相乘即可得到行列式的值。
这种方法比直接计算行列式的方法更简单、高效。
在求解矩阵的逆时，我们可以将矩阵分解为上三角矩阵和下三角矩阵，然后通过对分解得到的上三角矩阵和下三角矩阵进行反向的行变换，得到原始矩阵的逆矩阵。
2019一基本的三角分解法LU分解.ppt
A的第r行元素主对角线以右元 素arj ( j r,, n)为
r
arj lrkukj k 1
j r,,n r 1,2,, n
同样
可知A的第r列元素主对角线以下元 素 air (i r 1,, n)为
r
air lik ukr k 1
i r 1,, n r 1,2,, n 1
设 A LU
即 a1 c1
b2 a2 c2
p1 b2 p2
1 q1
1 q2
b3
bn1 an1 cn1
pn1
1 qn1
bn
an
bn
pn
解Ly b,得
y1 b1
j 1
yr br lrj y j
r1
y1 y2 y3 y4 T 10 20 17 /11 16T
解Ux y,得
x1 x2 x3 x4 T 1 2 3 4T
xn
yn unn
n
yr urj x j
xr
jr1
L的第r列 ------(4)
称上述(1) ~ (4)式所表示的分解过程为LU分解
对于线性方程组
Ax b
系数矩阵非奇异,经过LU分解后
A LU
线性方程组可化为下面两个三角形方程组
Ly b
Ux y
y为中间未知量向量
1
l21
1
L
l31
l32
三角分解法解方程组
三角分解法解方程组三角分解法是一种用于求解线性方程组的数值方法。
这种方法通常被称为高斯消元法，它是由卡尔·高斯在19世纪提出的。
在三角分解法中，我们首先将线性方程组转化为一个三角矩阵的形式，然后使用递推的方法求解方程组。
假设我们有一个n元线性方程组，其中有n个未知数，则线性方程组可以表示为：a11x1 + a12x2 + … + a1n xn = b1 a21x1 + a22x2 + … + a2n xn = b2 … an1x1 + an2x2 + … + ann*xn = bn要使用三角分解法求解这个方程组，我们需要将方程组转化为一个三角矩阵的形式，并使用递推的方法求解。
首先，我们要使用高斯消元法将方程组转化为上三角矩阵的形式，这样就可以使用递推的方法求解了。
具体来说，我们需要进行如下步骤：1.对于第一个方程，我们将a11变为1，然后将其余的系数除以a11。
2.对于第二个方程，我们将a22变为1，然后将其余的系数除以a22，并将a21乘上第一个方程的系数a12。
3.对于第三个方程，我们将a33变为1，然后将其余的系数除以a33，并将a31和a32乘上第一个和第二个方程的系数a12和a22。
以此类推，直到我们消去了所有的系数，并使得方程组的系数矩阵变为一个上三角矩阵。
这样，我们就可以使用递推的方法来求解方程组了。
具体来说，我们从最后一个方程开始递推，并使用已知的xn的值来解出xn-1的值，然后再使用xn-1的值来解出xn-2的值，以此类推，直到解出x1的值。
例如，假设我们已经将方程组转化为了如下形式：a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 0x1 + a22x2 + a23x3 = b2 0x1 + 0x2 + a33*x3 = b3那么我们可以使用递推的方法求解方程组，具体来说：使用已知的x3的值来解出x2的值：x2 = (b2 - a23*x3) / a22使用已知的x2的值来解出x1的值：x1 = (b1 - a12x2 - a13x3) / a11这样，我们就可以使用三角分解法求解方程组了。
一基本的三角分解法LU分解
0 0 u33 u34 0 0 3 /11 2 /11 lir
k 1
urr
0 0 1 l43 T 0 0 1 9T
0 0 0 u44 0 0 0 4
解Ly b,得
y1 b1
j 1
yr br lrj y j
r1
y1 y2 y3 y4 T 10 20 17 /11 16T
li 1
ai 1 l11
r 1
lrr arr lr2k k 1
r 1
air lik lrk
lir
k 1
lrr
i 2,3, , n -------------(4)
r 2, ,n
i r 1, , n
对于线性方程组 Ax b
-------------(5)
其中A为n阶对称正定矩阵 则存在主对角元为正数的下三角阵L, 使得
u1r
urr
u1n
urn
unn
证明略
根据矩阵的乘法原理
,
A的第一行元素
a1
为
j
a1 j u1 j j 1,2, , n A的第r行元素主对角线以右元 素arj ( j r, , n)为
同样
r
arj lrkukj k 1
j r, ,n r 1,2, , n
可知A的第r列元素主对角线以下元 素 air (i r 1, , n)为
1 l21 l31 l41 T 1 1.5 0.5 2T 0 u22 u23 u24 0 11 12 8.5
u1 j a1 j
li 1
ai 1 u11
r 1
urj arj lrkukj k 1
0 1 l32 l42 T 0 1 3 /11 6 /11T
05 极值法-高中物理八大解题方法 Word版含解析
高中物理解题方法之极值法江苏省特级教师 戴儒京高中物理中的极值问题，是物理教学研究中的活跃话题。
本文通过例题归纳综合出极值问题的四种主要解法。
一、 二次函数求极值二次函数aacb a b x ac bx ax y 44)2(222--+=++=，当a b x 2-=时，y 有极值ab ac y m 442-=，若a>0，为极小值，若a<0，为极大值。
例1试证明在非弹性碰撞中，完全非弹性碰撞(碰撞后两物体粘合在一起)动能损失最大。
设第一个物体的质量为1m ，速度为1V 。
第二个物体的质量为2m ，速度为2V 。
碰撞以后的速度分别为'1V 和'2V 。
假使这四个速度都在一条直线上。
根据动量守恒定律有：'+'=+22112211V m V m V m V m （1）如果是完全非弹性碰撞，两物体粘合在一起，（1）则变为V m m V m V m '+=+)(212211，即212211m m V m V m V ++=' （2）现在就是要证明，在满足（1）式的碰撞中，动能损失最大的情况是（2）式。
碰撞中动能损失为ΔE k =()22()22222211222211'+'-+v m vm v m v m （3） 转变为数学问题：ΔE k 为v 的二次函数:由（1）得：v 2ˊ=2112211)(m v m v m v m '-+ （4）将（4）代入（3）得：k =++++-'12221112'1211)(2)(v m v m v m m v m m m m [2222112222112)(22m v m v m v m v m +-+] 二次函数求极值,当v 1ˊ=)()(212211m m v m v m ++ （5） 时∆E k 有极大值。
回到物理问题,将（5）代入（4）得v 2ˊ=)()(212211m m v m v m ++此两式表明,m 1和m 2碰后速度相等,即粘合在一起,此时动能损失(ΔE k )最大。
高中数学解三角形ppt课件
证明几何定理
如勾股定理、正弦定理、余弦定理等 ，可以通过面积公式进行证明
计算三角形的内角和
利用面积公式和三角形内角和定理， 可以求出三角形的内角和
面积公式在物理问题中的应用
1 2
计算物体的受力面积
在物理学中，经常需要计算物体在某个方向上的 投影面积或受力面积，可以通过面积公式进行计 算
计算物体的体积和表面积
02 余弦定理
在任意三角形中，任何一边的平方等于其他两边 平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两 倍。
03 三角形的面积公式
S=1/2absinC，其中a、b为两边长，C为两边夹 角。
02
正弦定理及其应用
正弦定理的推导与证明
推导过程
通过三角形的外接圆和正弦函数的定义，推导出正弦定理的表达式。
一些几何性质。
最值问题
通过解三角形的方法，可以求解一 些与三角形相关的最值问题，如最 大面积、最小周长等。
存在性问题
在数学竞赛中，有时需要判断满足 某些条件的三角形是否存在，这可 以通过解三角形的方法来实现。
THANKS
感谢观看
对于一些规则或不规则的物体，可以通过计算其 各个面的面积，进而求出物体的体积和表面积
3
解决光学问题
在光学中，经常需要计算光线通过某个形状的面 积或光斑的大小，可以通过面积公式进行求解
05
解三角形综合应用举例
解直角三角形问题举例
已知两边求角度
通过正弦、余弦定理求解 直角三角形中的角度。
三角形的面积
解决三角形中的边长问题
利用正弦定理求出三角形中的未知边长。
正弦定理在物理问题中的应用
解决力学问题
在力学中，正弦定理可用于解决 涉及三角形的问题，如力的合成 与分解等。
高一数学必修四课件第章三角函数的周期性
研究三角函数周期性的意义
理解周期性现象
三角函数是描述周期性现象的重要数 学模型，研究其周期性有助于深入理 解这类现象的本质。
简化计算过程
拓展数学知识体系
三角函数周期性是数学分析、复变函 数等后续课程的基础内容之一，掌握 好这部分内容有助于后续课程的学习 。
利用三角函数的周期性，可以将复杂 的问题转化为简单的问题进行处理， 从而简化计算过程。
高一数学必修四课件第章三 角函数的周期性
汇报人：XX 2024-01-20
contents
目录
• 三角函数周期性概述 • 正弦函数与余弦函数的周期性 • 正切函数与余切函数的周期性 • 三角函数周期性的应用 • 三角函数周期性的拓展与延伸
01 三角函数周期性 概述
周期函数定义
周期函数的定义
对于函数$y = f(x)$，如果存在一个正数$T$，使得对于任意$x$都有$f(x + T) = f(x)$，则称$y = f(x)$为周期函数，$T$为它的周期。
相位差
正切函数和余切函数的图像之间存在相位差，即cot(x) = tan(π/2 - x)。这表明在相同的周期内，正切函数和余切 函数的图像可以通过平移相互转换。
周期性应用
由于正切函数和余切函数具有周期性，因此在实际应用中 可以利用这一性质解决一些与周期性相关的问题，如波动 、振动等。
04 三角函数周期性 的应用
期性的关系。
利用三角函数周期性建立振动和 波动问题的数学模型，进行定量
计算。
在信号处理中的应用
将信号分解为不同频 率的正弦波或余弦波 ，实现信号的频谱分 析。
通过三角函数周期性 对信号进行滤波、降 噪等处理，提高信号 质量。
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开始分解，取增广矩阵
2 4 8 16 2 2 3 7 3 9 27 81 3 6 27 81 4 16 64 256 4 12 64 256 2 1 10 i 1 1 44 1 190 1 2 1 8 i3 1 44 1 190 1 2 4 8 16 2 2 3 7 3 9 27 81 3 6 6 6 4 16 64 256 4 12 24 256
《计算方法》课程教案
授课时间 授课方式 （请打√） 授课题目 第 周周 第 节 课次 课时 安排 5 2
√ 理论课□ 讨论课□ 实验课□ 习题课□ 其他□
第 2 章 解线性代数方程组的直接法 2.2 三角分解法
教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次） ： 掌握使用杜里特尔分解法； 掌握使用克洛特分解法。
教学重点及难点： 杜里特尔分解法的计算过程
教 学 基 本 内 容
教学方法、 手段 及时间设计
复习： 直接法： 在不考虑舍入误差的情况下， 通过有限步四则运算可以求 得准确解的方法。
a 11 a 21 A a n1
a 12 a 22 an2
a 1n x1 b1 a 2n b x 2 ，b 2 ，x a nn xn b n
l 43 ( a 43 l 41 r13 l 42 r23 ) / r33
例 1： 已知 Ax b ，其中
1 1 A 1 1
1 1 1 1
2 4 8 16
3 9 27 81
4 2 16 10 ，b 44 64 256 190
1 l nn
r12 1
r1 n r2 n 1
由于时间关系，克 洛特分解只做简 单介绍
l
k 1 i 1
i 1
jk ki
j i , i 1, , n
l
k 1
ik kj
r ) / l ii
j i 1, i 2 , , n
1 0 0 1 0
左乘方程组 Ax=b，即 L1Ax=L1b，记为 A1x=b1 继续下去，直到第 n-1 步，即得到
(1 a 11 ) L n 1 L 2 L1 A
a 12
(1 )
a 22
(2)
(1 ) a1 n (2) a2n (n) a nn
1 1 1
容易验证
-2-
L L L
1 1
1 2
1 n 1
1 l 21 l 31 l n1
1 l 32 ln 2 1 ln 3
1
验证过程作为课 后思考题
令 L L1 L 2 L n 1 ，则 L 是单位下三角矩阵，且 A=LR 高斯消去法，其实就是将矩阵 A 分解成了单位下三角矩阵 L 和上 三角矩阵 R
回顾高斯消去法的求解过程 消去过程（将代数方程组化为同解的上三角方程组） 若 a kk
(k )
0 ，令
l ik a ik a kk
(k ) (k )
i k 1, k 2 , , n
a ij ( k 1 ) a ij ( k ) l ik a kj ( k ) ( k 1) (k ) (k ) bi b i l ik b k
a11 a 21 A a n1
l ji a ji rij ( a ij
a12 a 22 an2
r
a1 n l11 a2n l 21 a nn l n 1
l 22 ln 2
i 1
T
a
k 1
jk
a ki
注意与杜里特尔 分解的区别
-5-
Step3：求 m，使 a mi max a ki ，若 a mi 0 ，则退出；
i k n
Step4：若 m i ，则交换[A,b]的第 i 行和第 m 行； Step5：对 j=i+1,…,n+1 求 a ij ( a ij Step6：对 k=n,…,1 求 x k a k , n 1
Ax b
(i)
,
i 1, 2 , , m
求解此类方程组，只需进行一次分解 A LR ，再解 2 m 个三角形 方程组
Ly
(i)
b
(i)
,
Rx
(i)
y
(i)
,
i 1, 2 , , m
这样就节省了重复进行分解的时间， 故杜里特尔分解较高斯分解法 更实用。 2.2.2 克洛特分解
此处需学员特别 注意，与作业有关
1 i2 1 1 1
2 8 18 24
-4-
1 1 L 1 1
1 3 7 1 6
1
1 R
2 2
3 6 6
4 12 24 24
2 8 y 18 24
a ij
l
k 1
ik kj
r
当 j i 时，又 l ii 1
a ij
l
k 1
i 1 k 1
i
ik
rkj
rkj
l
k 1
i 1
ik
rkj rij
rij a ij
l
ik
j i , i 1, , n
当 j i时
a ji
i
l jk rki
k 1
l
k 1
jk
i 1
jk
rki l ji rii
j i 1, i 2 , , n
思考 1：该公式的 左边右边都有 R 和 L，无法使用， 如何变换可以使 用此公式进行计 算?
思考 2：该算法的 时间复杂度和空 k 1 这种方法叫杜里特尔分解法，实际计算时，由于 L 矩阵和 R 矩阵 间 复 杂 度 分 别 为 多少？ 的特殊性，可以将它们放在一起表示，这样结构更加紧凑
1
1
1
1 ln 2
如果我们能通过某种方法直接将 A 矩阵进行 LR 分解，就可以得到 一种新的分解法，这就是我们要讲的杜里特尔分解法。 显然 a ij
l
k 1
n
ik
rkj
此处为重点，需详 细板书
但 l k , k 1 0 ， rk 1 , k 0 所以
min( i , j )
i , j k 1, , n i k 1, , n
-1-
回代过程（从后向前依次计算未知数的值） 若 a nn 0 ，
(n) b xn n (n) a nn n (k ) (k ) b k a kj x j j k 1 x k (k ) a kk
l ji ( a ji
l
i 1
rki ) / rii
-3-
( a 11 ) r11 ( a 21 ) l 21 ( a 31 ) l 31 ( a 41 ) l 41
i 1 r11 a 11 ,
i 2
( a12 ) r12 ( a 22 ) r22 ( a 32 ) l 32 ( a 42 ) l 42
1 1 x 1 1
小结 杜里特尔分解的消去结果与高斯消去法的消去结果相同， 且拥有相 同的回代过程，故杜里特尔分解方法的时间复杂度与高斯消去法相同， 即乘除法次数 N
n
3
n
2
n 3
。
3
(i)
杜里特尔分解法还可用与求解多个同系数方程组：
下面以 4 阶方阵为例，说明该公式的使用方法
r12 a 12 , r13 a 13 , r14 a 14
l 21 a 21 / r11 ,
l 31 a 31 / r11 ,
l 41 a 41 / r11
r24 a 24 l 21 r14
此处通过 4 阶方阵 为例将公式进行 一一展开，以找到 公式的规律
( a 13 ) r13 ( a 23 ) r23 ( a 33 ) r33 ( a 43 ) l 43
( a14 ) r14 ( a 24 ) r24 ( a 34 ) r34 ( a 44 ) r44
( b1 ) y1 (b2 ) y 2 ( b3 ) y 3 (b4 ) y 4
-6-
r22 a 22 l 21 r12 ,
r23 a 23 l 21 r13 ,
l 32 ( a 32 l 31 r12 ) / r22 ,
l 42 ( a 42 l 41 r12 ) / r22
i3 r33 a 33 l 31 r13 l 32 r23 , r34 a 34 l 31 r14 l 32 r24
k n 1, n 2 , , 2 ,1
求解线性代数方程组的三角分解法，源于高斯消去法的矩阵形式。
2.2 三角分解法
2.2.1 杜里特尔分解法 高斯消去法的第一步等价于用单位下三角阵
1 l 21 L1 l 31 l n1 1
区别：先行后列，先列后行 杜里特尔分解和克洛特分解法都可以选主元 下面给出按列选主元 Corut 分解方法解 n 阶线性方程组的步骤 Ax=b，其中 A a ij n n , b a1, n 1 , , a n , n 1 输入：方程组的阶数 n；增广矩阵[A,b] 输出：方程组的解 x1,…,xn 或系数矩阵奇异的信息 Step1：对 i=1,2,…,n 做 Step2~5 Step2：对 j=i,…,n 求 a ji a ji