列主元三角分解法在matlab中的实现
Gauss列主元素消去法实验
Lab06．Gauss 列主元素消去法实验【实验目的和要求】1．使学生深入理解并掌握Gauss 消去法和Gauss 列主元素消去法步骤； 2．通过对Gauss 消去法和Gauss 列主元素消去法的程序设计，以提高学生程序设计的能力；3．对具体问题，分别用Gauss 消去法和Gauss 列主元素消去法求解。
通过对结果的分析比较，使学生感受Gauss 列主元素消去法优点。
【实验内容】1．根据Matlab 语言特点，描述Gauss 消去法和Gauss 列主元素消去法步骤。
2．编写用不选主元的直接三角分解法解线性方程组Ax=b 的M 文件。
要求输出Ax=b 中矩阵A 及向量b ，A=LU 分解的L 与U ，det A 及解向量x 。
3．编写用Gauss 列主元素消去法解线性方程组Ax=b 的M 文件。
要求输出Ax=b 中矩阵A 及向量b 、PA=LU 分解的L 与U 、det A 及解向量x ，交换顺序。
4．给定方程组(1) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--11134.981.4987.023.116.427.199.103.601.3321x x x(2) ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----15900001.582012151********.23107104321x x x x 先用编写的程序计算，再将(1)中的系数3.01改为3.00，0.987改为0.990；将(2)中的系数2.099999改为2.1，5.900001改为9.5,再用Gauss 列主元素消去法解，并将两次计算的结果进行比较。
【实验仪器与软件】1．CPU 主频在1GHz 以上，内存在128Mb 以上的PC ；2．Matlab 6.0及以上版本。
实验讲评：实验成绩：评阅教师：200 年 月 日Lab06．Gauss 列主元素消去法实验第一题：1、算法描述：Ⅰ、Gauss 消去法由书上定理5可知 设Ax=b ，其中A ∈R^(n(1)如果()0(1,2,....,1)k kka k n ≠=-，则可通过高斯消去法将Ax=b 约化为等价的 角形线性方程组，且计算公式为：① 消元计算（k=1,2，….，n-1）()()(1)()()(1)()()/,1,...,,,,1,...,,,1,...,.k k ik ik kk k k k ij ij ik kj k k k iiik k m a a i k n a a m a i j k n b b m b i k n ++==+=-=+=-=+② 回带公式()()()()()1/,()/,1,...,2,1.n n n n nn ni i i i iii j ii j i x b a x ba x a i n =+==-=-∑（2）如果A 为非奇异矩阵，则可通过高斯消去法将方程组Ax=b 约化方程组为上三角矩阵以上消元和回代过程总的乘除法次数为332333nn nn +-≈，加减法次数为32353263nnn n+-≈以上过程就叫高斯消去法。
三角分解法
ai j =
min( i , j ) k =1
∑l
ik
uk j
ai j =
min( i , j )
一般采用列主元 对换, 将 i ,j 对换,对 j = i, i+1, …, n 有 一般采用列主元 ii a ji = ∑ l jk uki + l ji u k= k =1 法增强稳定性. 法增强稳定性.但注意 v i 1 b 也必须做相应的 l ji = ( a ji ∑ l jk uki ) / uii b 行交换. 行交换. k =1
=I
Upper-triangular
Lower-triangular With diagonal entries 1
注: L 为一般下三角阵而 U 为单位上三角阵的分解称为 单位上三角阵的分解称为 Crout 分解. 分解. ~~ 分解, 实际上只要考虑 A* 的 LU 分解,即A* = L U ,则 ~ ~ A= U * L* 即是 A 的 Crout 分解. 分解. =
(
)
n1 Step 6 Set l = 运算量为2 O(n3/6), 比普通 ann ∑ k =1 lnk ; , 比普通LU nn Step 7 Output ( lij for j = 1, …, i and i = 1, …, n );A = LDLT 分解少一半, 次开方. 分解少一半,但有 n 次开方.用
mn1
v A b
( 2) (2)
(1 (1 ( a11) a12) ... a11) n Step n 1: (2 ( v a22) ... a22) n Ln1Ln2 ... L1 A b = ... . . . (n ann)
线性方程组的数值算法C语言实现(附代码)
线性方程组AX=B 的数值计算方法实验一、 实验描述：随着科学技术的发展，线性代数作为高等数学的一个重要组成部分，在科学实践中得到广泛的应用。
本实验的通过C 语言的算法设计以及编程，来实现高斯消元法、三角分解法和解线性方程组的迭代法（雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法），对指定方程组进行求解。
二、 实验原理：1、高斯消去法：运用高斯消去法解方程组，通常会用到初等变换，以此来得到与原系数矩阵等价的系数矩阵，达到消元的目的。
初等变换有三种：(a)、(交换变换)对调方程组两行；(b)、用非零常数乘以方程组的某一行；(c)、将方程组的某一行乘以一个非零常数，再加到另一行。
通常利用(c)，即用一个方程乘以一个常数，再减去另一个方程来置换另一个方程。
在方程组的增广矩阵中用类似的变换，可以化简系数矩阵，求出其中一个解，然后利用回代法，就可以解出所有的解。
2、选主元：若在解方程组过程中，系数矩阵上的对角元素为零的话，会导致解出的结果不正确。
所以在解方程组过程中要避免此种情况的出现，这就需要选择行的判定条件。
经过行变换，使矩阵对角元素均不为零。
这个过程称为选主元。
选主元分平凡选主元和偏序选主元两种。
平凡选主元：如果()0p pp a ≠，不交换行；如果()0p pp a =，寻找第p 行下满足()0p pp a ≠的第一行，设行数为k ，然后交换第k 行和第p 行。
这样新主元就是非零主元。
偏序选主元：为了减小误差的传播，偏序选主元策略首先检查位于主对角线或主对角线下方第p 列的所有元素，确定行k ，它的元素绝对值最大。
然后如果k p >，则交换第k 行和第p 行。
通常用偏序选主元，可以减小计算误差。
3、三角分解法：由于求解上三角或下三角线性方程组很容易所以在解线性方程组时，可将系数矩阵分解为下三角矩阵和上三角矩阵。
其中下三角矩阵的主对角线为1，上三角矩阵的对角线元素非零。
有如下定理：如果非奇异矩阵A 可表示为下三角矩阵L 和上三角矩阵U 的乘积： A LU = (1) 则A 存在一个三角分解。
列主元高斯消去法和列主元三角分解法解线性方程组
列主元高斯消去法和列主元三角分解法解线性方程组一、课题名称列主元高斯消去法和列主元三角分解法解线性方程组二、班级:周二7—10，周四3、4三、目的和意义1、进一步熟悉matlab的编程环境。
2、体会列主元高斯消去法和列主元三角分解法解线性方程组在matlab环境下的编程实现。
3、列主元高斯消去法是解线性方程组的一般方法，列主元三角分解法的计算量比列主元高斯消去法少，更适用于解大规模矩阵方程。
四、流程图1、列主元高斯消去法:输入A，Bn=A的阶A，B是否匹配停止K=1,2,…，n-1按列选主元，设k列第max行最大将A，B的第k行与第max行交换输出”detA=0”A(k,k)=0 停止消元l=k+1,k+2,…,nA(l,k)=A(l,k)/A(k,k)l,m=k+1,k+2,…,nA(l,m)=A(l,m)-A(k,m)*A(l,k) B(l)=B(l)-B(k)*A(l,k)回代求解X(n)=B(n)/A(n,n)k=n-1,n-2,…,1sum=0l=k+1,k+2,…,nsum=sum+A(k,l)*X(l)X(k)=(B(k)-sum)/A(k,k)输出X停止2、列主元三角分解法输入A，Bn=A的阶A，B是否匹配停止是第一行是否要交换交换否计算U的第一行元素计算L的第一列元素r=2,3,…,n计算s(i)(i=r,r+1,…,n)是第r行是否要交换交换否计算U的第r行元素计算L的第r列元素回代求解Ly=B回代求解Ux=y输出X停止五、matlab执行结果六、结果讨论和分析Matlab编写列主元高斯消去法和列主元三角分解法解线性方程组的程序有很多循环，必须先画流程图，清晰地理清每一层循环的含义，才能得到正确的结果。
matlab有限元三角形单元编程
matlab有限元三角形单元编程
在MATLAB中进行有限元分析，可以使用其自带的有限元分析工具箱（FEATool）进行编程。
以下是一个简单的例子，演示如何使用三角形单元进行有限元分析：
1. 打开MATLAB，进入FEATool环境。
2. 创建新的有限元模型。
选择“Model”菜单下的“New Model”选项，进入“Model Builder”界面。
3. 在“Model Builder”界面中，选择“2D Triangle”单元类型，并在绘图区域中绘制出三角形网格。
4. 在“Model Builder”界面中，设置材料属性、边界条件和载荷等参数。
5. 运行有限元分析。
选择“Model”菜单下的“Solve”选项，进行有限元求解。
6. 查看结果。
选择“Model”菜单下的“Results”选项，可以查看位移、应力、应变等结果。
以上是一个简单的例子，演示了如何使用三角形单元进行有限元分析。
在实际应用中，还需要根据具体问题进行详细的建模和计算。
计算方法3-4
( 2) 找r2，使 a r2 2 max a i 2 ，
2 i n
对调2 r2 行 .
消元：用a 22把a i 2消为0 ( i 3,4, , n) : ai 2 第2行 a 第i行，则 22 ai 2 a ij a 2 j a a ij 22 （i 3,4， , n；j 2,3， , n 1 ）
3 3
Gauss 列主元消去法：
优点 ------ 计算结果更可靠； 缺点 ------ 挑主元花机时更多, 有变动，程序复杂。 次序
x1 ,, xn
用Matlab实现选列主元Gauss消去法解线性方程组 在Matlab程序编辑器中输入：
function x=nagauss2(a,b,flag) %a为系数矩阵；b为右 端列向量；flag若为0，则显示中间过程，否则不显示 if nargin<3,flag=0;end n=length(b); a=[a,b]; % 选主元 for k=1:(n-1) [ap,p]=max(abs(a(k:n,k)));p=p+k-1; if p>k,t=a(k,:); a(k,:)=a(p,:); a(p,:)=t; end % 消元 a((k+1):n,(k+1):(n+1))=a((k+1):n,(k+1):(n+1))a((k+1):n,k)/a(k,k)*a(k,(k+1):(n+1)); a((k+1):n,k)=zeros(n-k,1);
消 元： 用a11将ai 1 ( i 2,, n)化为零；
ai 1 把 a 第1行，加到第i 行。 11
数值分析实验报告
%消元过程
fori=k+1:n
m=A(i,k)/A(k,k);
forj=k+1:n
A(i,j)=A(i,j)-m*A(k,j);
end
b(i)=b(i)-m*b(k);
end
det=det*A(k,k);
end
det=det*A(n,n);
%回代过程
ifabs(A(n,n))<1e-10
flag='failure';return;
*x=(x0,x1….,xn),插值节点
*y=(y0,y1,…,yn);被插函数f(x)在插值节点处的函数值
*t求插值函数Pn(x)在t处的函数值
*返回值 插值函数Pn(x)在t处的函数值
*/
procedureNewton
forj=0to n
d1jyj;
endfor
forj=1to n
fori=j to n
[n,m]=size(A);nb=length(b)
%当方程组行与列的维数不相等时，停止计算，并输出出错信息
ifn~=m
error('The row and columns of matrix A must beepual!');
return;
end
%当方程组与右端项的维数不匹配时，停止计算，并输出错误信息
clear
fprintf('gauss-seidel迭代法')
x1_(1)=0;
x2_(1)=0;
x3_(1)=0;
fori=1:9
x1_(i+1)=7.2+0.1*x2_(i)+0.2*x3_(i);
matlab求解代数方程组解析
第三讲 Matlab 求解代数方程组理论介绍：直接法+迭代法，简单介绍相关知识和应用条件及注意事项 软件求解：各种求解程序讨论如下表示含有n 个未知数、由n 个方程构成的线性方程组：11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （1）一、直接法 1.高斯消元法：高斯消元法的基本原理： 在（1）中设110,a ≠将第一行乘以111,k a a -加到第(2,3,,),k k n = 得： (1)(1)(1)(1)11112211(2)(1)(2)22112(2)(2)(2)22n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x b a x a x b ⎧+++=⎪++=⎪⎨⎪⎪++=⎩（2）其中(1)(1)1111,.k k aa b b ==再设(2)220,a ≠将（2）式的第二行乘以(2)2(2)22,(3,,)k a k n a -= 加到第k 行，如此进行下去最终得到：(1)(1)(1)(1)11112211(2)(1)(2)22112(1)(1)(1)1,111,1()()n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x b a x a x b a x b --------⎧+++=⎪++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎪=⎩（3） 从（3）式最后一个方程解出n x ，代入它上面的一个方程解出1n x -，并如此进行下去，即可依次将121,,,,n n x x x x - 全部解出，这样在()0(1,2,,)k kk a k n ≠= 的假设下，由上而下的消元由下而上的回代，构成了方程组的高斯消元法. 高斯消元法的矩阵表示：若记11(),(,,),(,,)T T ij n n n n A a x x x b b b ⨯=== ，则（1）式可表为.Ax b =于是高斯消元法的过程可用矩阵表示为：121121.n n M M M Ax M M M b --=其中：(1)21(1)111(1)1(1)11111n a a M a a ⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ (2)32(2)222(2)2(2)221111n a a M a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎪=⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭高斯消元法的Matlab 程序： %顺序gauss 消去法,gauss 函数 function[A,u]=gauss(a,n) for k=1:n-1%消去过程 for i=k+1:n for j=k+1:n+1%如果a(k,k)=0,则不能削去 if abs(a(k,k))>1e-6 %计算第k 步的增广矩阵 a(i,j)=a(i,j)-a(i,k)/a(k,k)*a(k,j); else%a(k,k)=0,顺序gauss 消去失败 disp (‘顺序gauss 消去失败‘)； pause; exit; end end end end%回代过程 x(n)=a(n,n+1)/a(n,n); for i=n-1:-1:1 s=0; for j=i+1:n s=s+a(i,j)*x(j); endx(i)=(a(i,n+1)-s)/a(i,i); end%返回gauss 消去后的增广矩阵 A=triu(a); %返回方程组的解 u=x ;练习和分析与思考： 用高斯消元法解方程组：12345124512345124512452471523814476192536x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++=⎪⎪++++=⎨⎪+++=⎪+++=⎪⎩2.列主元素消元法在高斯消元法中进行到第k 步时，不论()k ik a 是否为0，都按列选择()||(,,)k ik a i k n = 中最大的一个，称为列主元，将列主元所在行与第k 行交换再按高斯消元法进行下去称为列主元素消元法。
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列主元三角分解法在matlab中的实现
列主元三角分解法在matlab中的实现
摘要:介绍了M atlab语言并给出用M atlab语言实现线性方程组的列主元三角分解法,其有效性已在计算机实现中得到了验证。
关键词:M atlab语言;高斯消去法;列主元三角分解法
0前言
M atlab是M atrix Laboratory(矩阵实验室)的缩写,它是由美国M athwork公司于1967年推出的软件包,现已发展成为一种功能强大的计算机语言。
它编程简单,使用方便,在M a tlab环境下数组的操作与数的操作一样简单,进行数学运算可以像草稿纸一样随心所欲,使计算机兼备高级计算器的优点。
M atlab语言具有强大的矩阵和向量的操作功能,是Fo rtran和C语言无法比拟的;M a tlab语言的函数库可任意
扩充;语句简单,内涵丰富;还具有二维和三维绘图功能且使用方便,特别适用于科学和工程计算。
在科学和工程计算中,应用最广泛的是求解线性方程组的解,一般可用高斯消去法求解,如果系数矩阵不满足高斯消去法在计算机上可行的条件,那么消元过程中可能会出现零主元或小主元,消元或不可行或数值不稳定,解决办法就是对方程组进行行交换或列交换来消除零主元或小主元,这就是选主元的思想。
1 定义
列主元三角分解：如果A为非奇异矩阵，则存在排列矩阵P,使PA=LU,其中L为单位下三角矩阵，U为上三角阵。
列主元三角分角法
是对直接三角分解法的一种改进,主要目的和列主元高斯消元法一样,就是避免小数作为分母项.
2 算法概述
列主元三角分解法和普通三角分解法基本上类似，所不同的是在构造Gauss 变换前，先在对应列中选择绝对值最大的元素（称为列主元），然后实施初等行交换将该元素调整到矩阵对角线上。
例如第)1,,2,1(-=n k 步变换叙述如下：
选主元：确定p 使{}1)1(
max -≤≤-=k ik n
i k k pk a a ； 行交换：将矩阵的第k 行和第p 行上的元素互换位置,即
．
实施Gauss 变换：通过初行变换，将列主对角线以下的元素消为零．即
3 列主元三角分解在matlab 中的实现
例：对矩阵5
132523
21 A 进行LPU 分解
其程序如下：
function [l,u,p]=mylu(A)
[m,n]=size(A);
if m~=n
error('矩阵不是方阵')
return
end
if det(A)==0
error('矩阵不能被三角分解')
end
u=A;p=eye(m);l=eye(m);
for i=1:m
for j=i:m
t(j)=u(j,i);
for k=1:i-1
t(j)=t(j)-u(j,k)*u(k,i);
end
end
a=i;b=abs(t(i));
for j=i+1:m
if b<abs(t(j))
b=abs(t(j)); a=j;
end
end
if a~=i
for j=1:m
c=u(i,j);
u(i,j)=u(a,j); u(a,j)=c;
end
for j=1:m
c=p(i,j);
p(i,j)=p(a,j); p(a,j)=c;
end
c=t(a);
t(a)=t(i);
t(i)=c;
end
u(i,i)=t(i);
for j=i+1:m
u(j,i)=t(j)/t(i);
end
for j=i+1:m
for k=1:i-1
u(i,j)=u(i,j)-u(i,k)*u(k,j);
end
end
end
l=tril(u,-1)+eye(m);
u=triu（u，0）；
控制命令为：
A=[1 2 3;2 5 2;3 1 5];
[l,u,p]=mylu(A)
结果为：
l =
1.0000 0 0
0.6667 1.0000 0
0.3333 0.3846 1.0000
u =
3.0000 1.0000 5.0000
0 4.3333 -1.3333
0 0 1.8462
p =
0 0 1
0 1 0
1 0 0
4 小结
在数值计算中,列主元三角分解法是求解线性方程组一个很重要的方法，而用MATLAB可以简单便捷的实现该算法，从而轻松得到
线性方程组的解。
参考文献:
[1]蒲俊等,吉家锋,伊良忠.MATLAB6.0数学手册[M].上海:浦东电子出版社,2002.35-40.
[2]萧树铁.数学实验[M].北京:高等教育出版社,1999.130-139.
[3]李庆扬,王能超,易大义.数值分析(第7、8章)[M].武汉:华中理工大学出版社,1987.
[4]李丽,王振领.MATLAB工程计算及应用[M].北京:人民邮电出版社,2001.169-172.。