1989年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案
证明你的结论 解：假设存在 a,b,c 使题设的等式成立，这时，n=1,2,3 得
a b c 24, 4a 3b c 44,解得 : a 3, b 11, c 10. 9a 3b c 10.
（B） 5
（C） 2 5
（D） 2 3
10．如果双曲线
x 2 y2 1 上一点 P 到它的右焦点的距离是 8，那么 64 36
点 P 到它的右准线的距离是 （A）10 （B）
32 7 7
（ D ） （C） 2 7 （D）
32 5
11．已知 f ( x ) 8 2x x 2 , 如果 g( x ) f (2 x 2 ), 那么 g( x ) （A）在区间（-1，0）上是减函数 （B）在区间（0，1）上是减函数 （C）在区间（-2，0）上是增函数 （D）在区间（0，2）上是增函数
于是，对 n=1,2,3 下面等式成立：
1 2 2 2 3 2 n (n 1) 2 n (n 1) (3n 2 11n 10). 12
记 S n 1 2 2 2 3 2 n (n 1) 2 .
k (k 1) (3k 2 11k 10), 12 k (k 1) (3k 2 11k 10) (k 1)(k 2) 2 那么 S k 1 S k (k 1)(k 2) 2 12 k (k 1) (k 2)(3k 5) (k 1)(k 2) 2 12
1989 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案
考生注意：这份试题共三道大题（24 个小题） ，满分 120 分. 一． 选择题 （本题满分 36 分， 共 12 个小题， 每小题都给出代号为 A， B，C，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确 结论的代号写在题后的圆括号内 每一个小题选对得 3 分，不选或选 错一律得 0 分 ） 1．如果 I={a,b,c,d,e},M={a,c,d},N={b,d,e},其中 I 是全集，那么
d | 5k 5 | 1 k
2
2 2
.整理得 : 12k 2 25k 12 0,
3 4 解得 : k , 或k . 4 3
故所求的直线方程是 y 3 ( x 3), 或y 3 ( x 3), 即 3x+4y-3=0,或 4x+3y+3=0. 22． （本小题满分 12 分） 已知 a 0, a 1, 试求使方程 log a ( x ak ) log a 2 ( x 2 a 2 ) 有解的 k 的取 值范围 解：由对数函数的性质可知，原方程的解 x 应满足
2
（1）求 f(x)在 I k 上的解析表达式; （2）对自然数 k,求集合 M k {a | 使方程f ( x ) ax在I k 上有两个 不等的实 根} 解： （1）∵f(x)是以 2 为周期的函数， ∴当 k Z 时，2k 也是 f(x)的周期 又∵当 x I k 时， ( x 2k ) I 0 ， ∴ f ( x ) f ( x 2k ) ( x 2k ) 2 . 即对 k Z ，当 x I k 时， f ( x ) ( x 2k ) 2 . （2）当 k Z 且 x I k 时，利用（1）的结论可得方程
4 5 3 5
（C） 2 3
（D） 4 2 （ A ） （D）
10 5
4． cos[arcsin( ) arccos( )] 的值等于 （A）-1 （B）
7 25
（C）
7 25
5．已知 {a n } 是等比数列，如果 a 1 a 2 a 3 18, a 2 a 3 a 4 9, 且 S n a 1 a 2 a n , 那么 lim S n 的值等于
3
1 2
3 2
21． （本小题满分 10 分） 自点 A（-3，3）发出的光线 L 射到 x 轴上，被 x 轴反射，其反射 光线所在直线与圆 x +y -4x-4y+7=0 相切，求光线 L 所在直线的方程 解：已知圆的标准方程是 （x-2) +(y-2) =1,
2 2 2 2
A
Y C
O
X
C
它关于 x 轴的对称圆的方程是 （x-2) +(y+2) =1, 设光线 L 所在直线的方程是 y-3=k(x+3)(其中斜率 k 待定） 由题设知对称圆的圆心 C （2，-2）到这条直线的距离等于 1，即
( x 2k ) 2 ax , 整理得 : x 2 (4k a ) 4k 2 0. 它的判别式是 (4k a ) 2 16k 2 a (a 8k ).
上述方程在区间 I k 上恰有两个不相等的实根的充要条件是 a 满足
a (a 8k ) 0, a (a 8k ) 0, 1 2k 1 [4k a a (a 8k ) ], 化简得 a (a 8k ) 2 a , 2 a ( a 8k ) 2 a , 2k 1 1 [4k a a (a 8k ) ]. 2 (1) ( 2) (3).
3 2. 4 2 9 9 2 2 2 又在职 Rt△AOA1 中，A1O =AA1 -AO = 9 , 2 2 3 3 ∴A1O= 2 . ∴平行六面体的体积 V= 5 4 2 30 2 . 2 2
A1 D N O A M
3
D1 B1 C B
C1
（Ⅱ）∵AM=AA1 cos 3 , ∴AO=AM csc
B
证明： tg
2 sin x cos x cos 2 x
20． （本小题满分 10 分） 如图，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，已知 AB=5，AD=4，AA1=3，AB ⊥AD，∠A1AB=∠A1AD= . （Ⅰ）求证：顶点 A1 在底面 ABCD 的射影 O 在∠BAD 的平分线上; （Ⅱ）求这个平行六面体的体积 （Ⅰ）证：连结 A1O，则 A1O⊥底面 ABCD 作 OM⊥AB 交 AB 于 M，作 ON⊥ AD 交 AD 于 N，连结 A1M，A1N 由三垂线定理得 A1M⊥AB，A1N⊥AD∵∠A1AM=∠A1AN， ∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA∴A1M= A1N∴OM=ON ∴点 O 在∠BAD 的平分线上
n
（ B ） （D）48 （ C ） （D）
15 5
（A）8
（B）16
1 5 5 2
（C）32
2
6．如果 | cos | , 3, 那么sin 的值等于 （A）
10 5
（B）
10 5
（C）
15 5
7．设复数 z 满足关系式 z | z | 2 i ，那么 z 等于 （A） i
( x ak ) 2 x 2 a 2 , (1) ( 2) x ak 0, x 2 a 2 0. (3)
3 4
4 3
当（1） ， （2）同时成立时， （3）显然成立，因此只需解
( x ak ) 2 x 2 a 2 , (1) ( 2) x ak 0,
（ A ）
12．由数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中小于 50000 的偶数共有 （A）60 个 （B）48 个 （C）36 个 （ C ） （D）24 个
二．填空题（本题满分 24 分，共 6 个小题，每一个小题满分 4 分 只 要求直接写出结果.） 13．方程 sin x 3 cos x 2 的解集是_________________
答案： {x | x 2k
7 , 或x (2k 1) , k Z} 12 12 或 {x | x k (1) k , k Z} 4 3
14．不等式 | x 2 3x | 4 的解集是____________________ 答案： {x | x 1, 或x 4} 15．函数 y
ex 1 ex 1
的反函数的定义域是_____________
答案： （-1，1） 16．已知 (1 2 x ) 7 a 0 a 1 x a 2 x 2 a 7 x 7 , 那么 a 1 a 2 a 7 ____答 案：-2 17．已知 A 和 B 是两个命题，如果 A 是 B 的充分条件，那么 B 是 A 的 _______条件; A是 B 的______条件 答案：必要，必要（注：仅答对一个结果的，只给 2 分） 18．如图，已知圆柱的底面半径是 3，高是 4，A、B 两点分别在两底 面的圆周上，并且 AB=5，那么直线 AB 与轴 OO 之间的距离等于 ________________ 答案：
3 4
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（ D ）
3 4
（B） i
3 4
（C） i
3 4
（D） i
8．已知球的两个平行截面的面积分别为 5 和 8 ，它们位于球心的 同一侧，且相距为 1，那么这个球的半径是 （A）4 （B）3 （C）2 （D）5 （ B ）
9．已知椭圆的极坐标方程是 （A）
10 3
5 , 那么它的短轴长是（C ） 3 2 cos
M N 等于
（ A ） （B）{d} （C）{a,c} （D）{b,e} （ D ）
（A）
2．与函数 y=x 有相同图象的一个函数是 （A） y x
2
x2 （B） y x
（C） y a loga x .其中a 0, a 1. （D） y log a a x .其中a 0, a 1. 3．如果圆锥的底面半径为 2 ，高为 2，那么它的侧面积是（ C ） （A） 4 3 （B） 2 2
(详细解析)1989年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案
1989年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案考生注意：这份试题共三道大题（24个小题），满分120分．一．选择题（本题满分36分，共12个小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题选对得3分，不选或选错一律得0分）1．如果{}{}{},,,,,,,,,,I a b c d e M a c d N b d e ===，其中I 是全集，那么M N 等于A ．∅B ．{}dC ．{},a cD ．{},b e 【答案】A 【解析】{}{},,MN b e a c ==∅．2．与函数y x =有相同图象的一个函数是A ．y =B ．2x y x=C ．log a xy a =，其中0,1a a >≠ D ．log x a y a =，其中0,1a a >≠【答案】D【解析】表示相同图象函数满足定义域和值域相同．A 中0y ≥；B 中0x ≠；C 中0x ≥，其中0,1a a >≠只有D 正确．3．如果圆锥的底面半径为2，高为2，那么它的侧面积是A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】母线长l =S rl ππ===侧．4．)]53arccos()54(cos[arcsin ---的值等于A ．1-B ．257-C ．257D ．510- 【答案】A【解析】4343cos[arcsin()arccos()]cos[arcsin()]cos[arccos()]5555---=--433344sin[arcsin()]sin[cos()]()()1555555+--=⨯-+-⨯=-．5．已知{}n a 是等比数列，如果12323418,9a a a a a a ++=++=-，且12n n S a a a =+++，那么lim n n S →∞的值等于A ．8B ．16C ．32D ．48 【答案】B 【解析】234112391,24182a a a q a a a a ++-===-=++，所以1lim 161n n a S q →∞==-．6．如果15|cos |,352πθθπ=<<，那么sin 2θ的值等于 A ．510- B ．510 C ．515- D ．515 【答案】C【解析】由题设531,cos 4225πθπθ<<=-，∴sin 25θ===-．7．设复数z 满足关系式||2z z i +=+，那么z 等于 A ．34i -+ B ．34i - C ．34i -- D ．34i + 【答案】D【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，则2a bi i +=+，从而2a bi i⎧⎪⎨=⎪⎩，解得341a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，34z i =+．8．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是A ．4B ．3C ．2D ．5 【答案】B【解析】设求的半径为r1=，解得3r =．9．已知椭圆的极坐标方程是532cos ρθ=-，那么它的短轴长是A ．310B ．5C ．52D ．32 【答案】C【解析】分别令0,θθπ==得555,13232a c a c +==-==-+，得3,2,a c b ===， 短轴长为52．10．如果双曲线2216436x y -=上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么点P 到它的右准线的距离是A ．10B ．7732 C ．72 D ．532【答案】D【解析】由已知得8,6,10a b c ===，离心率54e =，点P 到它的右准线的距离d ，则854d =，得325d =．11．已知2()82f x x x =+-，如果2()(2)g x f x =-，那么()g x A ．在区间(1,0)-上是减函数 B ．在区间(0,1)上是减函数 C ．在区间(2,0)-上是增函数 D ．在区间(0,2)上是增函数【答案】A【解析】22()82(1)9f x x x x =+-=--+，其单调增区间为(,1)-∞，单调减区间为(1,)+∞；而222()(2)(1)9g x f x x =-=--+，令221,t x u t =-=，所以2()9g x t =-+，两函数单调性相同，故A 正确．12．由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有 A ．60个 B ．48个 C ．36个 D ．24个 【答案】C【解析】小于50000的偶数共有11323336C C A =．二．填空题（本题满分24分，共6个小题，每一个小题满分4分．只要求直接写出结果．）13．方程sin x x =的解集是 ． 【答案】7{|212x x k ππ=+或(21),}12x k k Z ππ=++∈或 {|(1),}43kx x k k Z πππ=+-+∈【解析】sin 2sin()3x x x π=-=sin()32x π-=， ∴(1),34kx k k Z πππ-=+-∈，即(1),43kx k k Z πππ=+-+∈．14．不等式2|3|4x x ->的解集是 ． 【答案】{|1x x <-或4}x >【解析】22|3|434x x x x ->⇒->或234x x -<-，解得{|1x x <-或4}x >，而234x x -<-无解．15．函数11x x e y e -=+的反函数的定义域是 ．【答案】(1,1)-【解析11x x e y e -=+的反函数为1ln 1x y x +=-，所以101x x +>-，解得(1,1)x ∈-．16．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，那么127a a a +++= ．【答案】2-【解析】令1x =得70127(121)a a a a -⨯=++++，即01271a a a a ++++=-，又令0x =得70(120)a -⨯=，即01a =，所以1272a a a +++=-．17．已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么B 是A 的 条件；A 是B 的 条件．【答案】必要，必要（注：仅答对一个结果的，只给2分） 【解析】根据命题间的关系可得出答案．18．如图，已知圆柱的底面半径是3，高是4，,A B 两点分别在两底面的圆周上，并且5AB =，那么直线AB 与轴OO '之间的距离等于 ．【答案】233 【解析】如图，过点A 作底面的垂线AC ，交底面与点C ，则直线AB 与轴OO '之间的距离，等于轴OO '与平面ABC 的距离，由图形可知直线AB 与轴OO '之间的距离等于O '到BC 的距离，5,4AB AC ==，所以3BC =，所以所求距离为233．三．解答题（本题满分60分，共6个小题） 19．（本小题满分8分）证明：32sin tantan 22cos cos 2x x xx x-=+． 【证明】方法一：333sin sin sin cos cos sin3222222tan tan 3322cos cos cos cos2222x x x x x x x x x x x x --=-= 3sin()sin 2sin 2233cos cos 2cos cos cos cos2222x x x x x x x x x x -===+． 方法二：333sin()sin cos cos sin2sin sin 222222333cos cos 2cos cos cos cos cos cos222222x x x x x x x x x x x x x x x x --===+ 3sin sin322tan tan 322cos cos 22x x x x x x =-=-．20．（本小题满分10分）如图，在平行六面体1111ABCD A BC D -中，已知15,4,3,AB AD AA AB AD ===⊥，113A AB A AD π∠=∠=．（Ⅰ）求证：顶点1A 在底面ABCD 的射影O 在BAD ∠的平分线上；（Ⅱ）求这个平行六面体的体积．（Ⅰ）证明：连结1AO ，则1AO ⊥底面ABCD ．作OM AB ⊥交AB 于M ，作O N A D ⊥交AD 于N ，连结11,A M A N ．由三垂线定理得11,A M AB A N AD ⊥⊥． ∵11AAM AA N ∠=∠，∴11RtA NA RtAMA ≅． ∴11A M A N =．∴OM ON =． ∴点O 在BAD ∠的平分线上． （Ⅱ）∵113cos3322AM AA π==⋅=，∴csc 4AO AM π==又在职1Rt AOA ∆中，2221199922AOAA AO =-=-=，∴1A O =∴平行六面体的体积54V =⋅21．（本小题满分10分）自点(3,3)A -发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆224470x y x y +--+=相切，求光线l 所在直线的方程．【解】方法一：已知圆的标准方程是22(2)(2)1x y -+-=，它关于x 轴的对称圆的方程是22(2)(2)1x y -++=，设光线l 所在直线的方程是3(3)y k x -=+（其中斜率k 待定）． 由题设知对称圆的圆心(2,2)C '-到这条直线的距离等于1，即d =21225120k k ++=，解得：34k =-，或43k =-． 故所求的直线方程是33(3)4y x -=-+，或43(3)3y x -=-+即3430x y +-=，或4330x y ++=．方法二：已知圆的标准方程是22(2)(2)1x y -+-=，设光线l 所在直线的方程是3(3)y k x -=+（其中斜率k 待定）． 由题设知0k ≠，于是l 的反射点的坐标是3(1)(,0)k k+-． 因为光线的入射角等于反射角，所以反射光线所在直线l '的方程是3(1)()k y k x k+=-+， 即3(1)0y kx k +++=．设这条直线与已知圆相切，故圆心C 到它的距离等于1，即d =．以下同解法一．22．（本小题满分12分）已知0,1a a >≠，试求使方程222log ()log ()a a x ak x a -=-有解的k 的取值范围．【解】由对数函数的性质可知，原方程的解x 应满足22222(),0,0.x ak x a x ak x a ⎧-=-⎪->⎨⎪->⎩当①，②同时成立时，③显然成立，因此只需解222(),0,x ak x a x ak ⎧-=-⎨->⎩由①得22(1)kx a k =+． ④ 当0k =时，由0a >知④无解，因而原方程无解．当0k ≠时，④的解是2(1)2a k x k+=． ⑤把⑤代入②，得212k k k+>． 当0k <时得21k <，解得1k -∞<<-．当0k >时得21k <，解得01k <<．综合得，当k 在集合(,1)(0,1)-∞-内取值时，原方程有解．23．（本小题满分10分）是否存在常数,,a b c 使得等式2222(1)1223(1)()12n n n n an bn c +⋅+⋅+++=++对一切自然数n 都成立？并证明你的结论．【解】方法一：假设存在,,a b c 使题设的等式成立，这时令1,2,3n =得24,4244,9370.a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得：3,11,10a b c ===．于是，对1,2,3n =下面等式成立：2222(1)1223(1)(31110)12n n n n n n +⋅+⋅+++=++． 记2221223(1)n S n n =⋅+⋅++．设n k =时上式成立，即2(1)(31110)12k k k S k k +=++，那么2221(1)(1)(2)(31110)(1)(2)12k k k k S S k k k k k k ++=+++=+++++ 2(1)(2)(35)(1)(2)12k k k k k k +=+++++ 2(1)(2)(351224)12k k k k k ++=+++2(1)(2)[3(1)11(1)10]12k k k k ++=++++．也就是说，等式对1n k =+也成立．综上所述，当3,11,10a b c ===时，题设的等式对一切自然数n 成立．【注】（ⅰ）若考生在得出3,11,10a b c ===后，未用数学归纳法证明等式，则全题只给到5分．（ⅱ）如果考生未写出等式对1n k =+也成立的证明过程，则全题只给到7分． 方法二：因为232(1)2n n n n n +=++，所以2223232321223(1)(1211)(2222)(2)n S n n n n n =⋅+⋅+++=+⋅+++⋅++⋅⋅⋅++⋅+333222(12)2(12)(12)n n n =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+．由于下式对一切自然数n 成立：22333(1)124n n n +++⋅⋅⋅+=，222(1)(21)126n n n n ++++⋅⋅⋅+=，(1)122n n n +++⋅⋅⋅+=．由此可知2(1)(31110)12n n n S n n +=++， 综上所述，当3,11,10a b c ===时，题设的等式对一切自然数n 成立． 【本题难度】较难． 24．（本小题满分10分）设()f x 是定义在区间),(+∞-∞上以2为周期的函数，对k Z ∈，用k I 表示区间(21,21]k k -+，已知当0x I ∈时，2()f x x =．（Ⅰ）求()f x 在k I 上的解析表达式；（Ⅱ）对自然数k ，求集合{|k M a =使方程()f x ax =在k I 上有两个不等的实根}．【解】（Ⅰ）∵()f x 是以2为周期的函数，∴当k Z ∈时，2k 也是()f x 的周期． 又∵当k x I ∈时，0(2)x k I -∈，∴2()(2)(2)f x f x k x k =-=-． 即对k Z ∈，当k x I ∈时，2()(2)f x x k =-．（Ⅱ）当k Z ∈且k x I ∈时，利用（Ⅰ）的结论可得方程2(2)x k ax -=，整理得：22(4)40x k a k -++=．它的判别式是22(4)16(8)k a k a a k ∆=+-=+． 上述方程在区间k I 上恰有两个不相等的实根的充要条件是a 满足(8)0,121[42121[42a a k k k a k k a ⎧⎪+>⎪⎪-<+⎨⎪⎪+≥++⎪⎩化简得(8)0,2,2,a a k a a +>⎧<+-由①知0a >，或8a k <-．当0a >时，因22a a +>-，故从②，2a ≤-，即2(8)(2),20.a a k a a ⎧+≤-⎨->⎩即(21)1,2.k a a +≤⎧⎨<⎩即1021a k <≤+．当8a k <-时，2280a k +<-<2a +无解，综上所述，a 应满足1021a k <≤+， 故所求集合1{|0}21k M a a k =<≤+． 【注】如果考生解（Ⅱ）时，从函数图象看出正确结果，但未给出严格的证明，（Ⅱ）中的分数只给4分．（Ⅱ）解法二：数形结合法，过原点的直线y ax =在k I 即(21,21)k k -+的右端点的函数值不超过()f x 在(21,21)k k -+的右端点函数值1，即有两个交点．所以0(21)1k a <+≤，解得1021a k <≤+．。
高考数学普通高等学校招生全国统一考试89
高考数学普通高等学校招生全国统一考试89高考数学普通高等学校招生全国统一考试89本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至4页.全卷满分150分,考试时间120分钟.考生注意事项:1.答题前,务必在试题卷.答题卡规定的地方填写自己的座位号.姓名,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中〝座位号.姓名.科类〞与本人座位号.姓名.科类是否一致.2．答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.3．答第Ⅱ卷时,必须用0.5毫米墨水签字笔在答题卡上书写.在试题卷上作答无效.4．考试结束,监考人员将试题卷和答题卡一并收回.参考公式:如果时间A.B互斥,那么如果时间A.B相互独立,那么如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率球的表面积公式,其中R表示球的半径球的体积公式,其中R表示球的半径第Ⅰ卷(选择题共60分)一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M＝｛_｝,N＝｛yy＝3_2＋1,__Icirc;R｝,则M_Ccedil;N＝( C )A．_AElig; B. {___sup3;1} C.｛___gt;1｝ D. {_ __sup3;1或__lt;0}解:M＝｛___gt;1或__pound;0｝,N＝｛yy_sup3;1｝故选C2.已知复数z满足(＋3i)z＝3i,则z＝( D )A． B. C. D.解:故选D3.若a_gt;0,b_gt;0,则不等式－b_lt;_lt;a等价于( D )A．_lt;__lt;0或0_lt;__lt; B.－_lt;__lt; C.__lt;-或__gt; D.__lt;或__gt;解:故选D4.设O为坐标原点,F为抛物线y2＝4_的焦点,A是抛物线上一点,若＝－4则点A的坐标是(B )A．(2,±2) B. (1,±2) C.(1,2)D.(2,2)解:F(1,0)设A(,y0)则＝( ,y0),＝(1－,－y0),由· ＝－4_THORN;y0＝±2,故选B5.对于R上可导的任意函数f(_),若满足(_－1)_sup3;0,则必有( C )A．f(0)＋f(2)_lt;2f(1) B. f(0)＋f(2)_pound;2f(1)C.f(0)＋f(2)_sup3;2f(1) D. f(0)＋f(2)_gt;2f(1)解:依题意,当__sup3;1时,f_cent;(_)_sup3;0,函数f(_)在(1,＋_yen;)上是增函数;当__lt;1时,f_cent;(_)_pound;0,f(_)在(－_yen;,1)上是减函数,故f(_)当_＝1时取得最小值,即有f(0)_sup3;f(1),f(2)_sup3;f(1),故选C6.若不等式_2＋a_＋1_sup3;0对于一切__Icirc;(0,)成立,则a的最小值是( C )A．0 B. –2 C.- D.-3解:设f(_)＝_2＋a_＋1,则对称轴为_＝若_sup3;,即a_pound;－1时,则f(_)在〔0,〕上是减函数,应有f()_sup3;0_THORN;－_pound;__pound;－1若_pound;0,即a_sup3;0时,则f(_)在〔0,〕上是增函数,应有f(0)＝1_gt;0恒成立,故a_sup3;0若0_pound;_pound;,即－1_pound;a_pound;0,则应有f()＝恒成立,故－1_pound;a_pound;0综上,有－_pound;a故选C7.已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn,若,且A.B.C三点共线(该直线不过原点O),则S200＝( A )A．100 B. 101 C.200 D.201解:依题意,a1＋a200＝1,故选A8.在(_－)_ 的二项展开式中,含_的奇次幂的项之和为S,当_＝时,S等于(B )A.23008B.-23008C.23009D.-23009解:设(_－)_＝a0__＋a1__＋…＋a__＋a_则当_＝时,有a0()_＋a1()_＋…＋a_()＋a_＝0 (1)当_＝－时,有a0()_－a1()_＋…－a_()＋a_＝23009 (2)(1)－(2)有a1()_＋…＋a_()＝－23009_cedil;2＝－23008故选B9.P是双曲线的右支上一点,M.N分别是圆(_＋5)2＋y2＝4和(_－5)2＋y2＝1上的点,则PM－PN的最大值为( D )A. 6B.7C.8D.9解:设双曲线的两个焦点分别是F1(－5,0)与F2(5,0),则这两点正好是两圆的圆心,当且仅当点P与M.F1三点共线以及P与N.F2三点共线时所求的值最大,此时PM－PN＝(PF1－2)－(PF2－1)＝10－1＝9故选B10.将7个人(含甲.乙)分成三个组,一组3人,另两组2 人,不同的分组数为a,甲.乙分到同一组的概率为p,则a.p的值分别为( A )A．a=105 p= B.a=105 p= C.a=210 p= D.a=210 p=解:a＝＝105甲.乙分在同一组的方法种数有(1)若甲.乙分在3人组,有＝15种(2)若甲.乙分在2人组,有＝10种,故共有25种,所以P＝故选A11.如图,在四面体ABCD中,截面AEF经过四面体的内切球(与四个面都相切的球)球心O,且与BC,DC分别截于E.F,如果截面将四面体分成体积相等的两部分,设四棱锥A－BEFD与三棱锥A－EFC的表面积分别是S1,S2,则必有( )A.S1_lt;S2B.S1_gt;S2C.S1=S2D.S1,S2的大小关系不能确定解:连OA.OB.OC.OD则VA－BEFD＝VO－ABD＋VO－ABE＋VO－BEFDVA－EFC＝VO－ADC＋VO－AEC＋VO－EFC又VA－BEFD＝VA－EFC而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径,故SABD＋SABE＋SBEFD＝SADC＋SAEC＋SEFC又面AEF公共,故选C12.某地一年的气温Q(t)(单位:_ordm;c)与时间t(月份)之间的关系如图(1)所示,已知该年的平均气温为10_ordm;c,令G(t)表示时间段〔0,t〕的平均气温,G(t)与t之间的函数关系用下列图象表示,则正确的应该是( A )10_ordm;c10_ordm;ctO612OO图(1)B AD10_ordm;cG(t)O612tCG(t)10_ordm;c 612 t O解:结合平均数的定义用排除法求解理科数学第Ⅱ卷(非选择题共90分)注意事项:请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上书写作答无效.二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填写在答题卡的相应位置.13.数列｛｝的前n项和为Sn,则Sn＝解:故14.设f(_)＝log3(_＋6)的反函数为f－1(_),若〔f－1(m)＋6〕〔f－1(n)＋6〕＝27则f(m＋n)＝___________________解:f－1(_)＝3_－6故〔f－1(m)＋6〕·〔f－1(_)＋6〕＝3m·3n＝3m ＋n＝27\m＋n＝3\f(m＋n)＝log3(3＋6)＝215.如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中,底面为直角三角形,_ETH;ACB＝90°,AC＝6,BC＝CC1＝,P是BC1上一动点,则CP＋PA1的最小值是___________解:连A1B,沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内,如图所示,A1C1BC连A1C,则A1C的长度就是所求的最小值.通过计算可得_ETH;A1C1C＝90°又_ETH;BC1C＝45°\_ETH;A1C1C＝135° 由余弦定理可求得A1C＝16.已知圆M:(_＋cosq)2＋(y－sinq)2＝1,直线l:y＝k_,下面四个命题:(A)对任意实数k与q,直线l和圆M相切;(B)对任意实数k与q,直线l和圆M有公共点;(C)对任意实数q,必存在实数k,使得直线l与和圆M相切(D)对任意实数k,必存在实数q,使得直线l与和圆M相切其中真命题的代号是______________(写出所有真命题的代号)解:圆心坐标为(－cosq,sinq)d＝故选(B)(D)三.解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤17.(本小题满分12分)已知函数f(_)＝_3＋a_2＋b_＋c在_＝－与_＝1时都取得极值(1)求a.b的值与函数f(_)的单调区间(2)若对__Icirc;〔－1,2〕,不等式f(_)_lt;c2恒成立,求c的取值范围.解:(1)f(_)＝_3＋a_2＋b_＋c,f_cent;(_)＝3_2＋2a_＋b由f_cent;()＝,f_cent;(1)＝3＋2a＋b＝0得a＝,b＝－2f_cent;(_)＝3_2－_－2＝(3_＋2)(_－1),函数f(_)的单调区间如下表:_(－_yen;,－)－(－,1)1(1,＋_yen;)f_cent;(_)＋－＋f(_)_shy;极大值_macr;极小值_shy;所以函数f(_)的递增区间是(－_yen;,－)与(1,＋_yen;)递减区间是(－,1)(2)f(_)＝_3－_2－2_＋c,__Icirc;〔－1,2〕,当_＝－时,f(_)＝＋c为极大值,而f(2)＝2＋c,则f(2)＝2＋c为最大值.要使f(_)_lt;c2(__Icirc;〔－1,2〕)恒成立,只需c2_gt;f(2)＝2＋c解得c_lt;－1或c_gt;218.(本小题满分12分)某商场举行抽奖促销活动,抽奖规则是:从装有9个白球,1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球,记下颜色后放回,摸出一个红球可获得奖金10元;摸出2个红球可获得奖金50元,现有甲,乙两位顾客,规定:甲摸一次,乙摸两次,令_表示甲,乙摸球后获得的奖金总额.求:(1)_的分布列 (2)_的的数学期望解:(1)_的所有可能的取值为0,10,20,50,60分布列为_10205060P(2)E_＝3.319.(本小题满分12分)如图,已知△ABC是边长为1的正三角形,M.N分别是边AB.AC上的点,线段MN经过△ABC的中心G,设_ETH;MGA＝a()(1)试将△AGM.△AGN的面积(分别记为S1与S2)表示为a的函数(2)求y＝的最大值与最小值解:(1)因为G是边长为1的正三角形ABC的中心, 所以 AG＝,_ETH;MAG＝,由正弦定理,得则S1＝GM·GA·sina＝,同理可求得S2＝.(2)y＝＝＝72(3＋cot2a)因为,所以当a＝或a＝时,y取得最大值yma_＝240当a＝时,y取得最小值ymin＝21620.(本小题满分12分)如图,在三棱锥A－BCD中,侧面ABD.ACD用空间向量求解,解答略21.(本大题满分12分)如图,椭圆Q:(a_gt;b_gt;0)的右焦点F(c,0),过点F的一动直线m绕点F转动,并且交椭圆于A.B两点,P是线段AB的中点(1)求点P的轨迹H的方程(2) 在Q的方程中,令a2＝1＋cosq＋sinq,b2＝sinq(0_lt;q_pound; ),确定q的值,使原点距椭圆的右准线l最远,此时,设l与_轴交点为D,当直线m绕点F转动到什么位置时,三角形ABD的面积最大?21.解:如图,(1)设椭圆Q:(a_gt;b_gt;0)上的点A(_1,y1).B(_2,y2),又设P点坐标为P(_,y),则1°当AB不垂直_轴时,_1_sup1;_2,由(1)－(2)得b2(_1－_2)2_＋a2(y1－y2)2y＝0\b2_2＋a2y2－b2c_＝0 (3)2°当AB垂直于_轴时,点P即为点F,满足方程(3)故所求点P的轨迹方程为:b2_2＋a2y2－b2c_＝0(2)因为,椭圆Q右准线l方程是_＝,原点距l的距离为,由于c2＝a2－b2,a2＝1＋cosq＋sinq,b2＝sinq(0_lt;q_pound;) 则＝＝2sin(＋)当q＝时,上式达到最大值.此时a2＝2,b2＝1,c＝1,D(2,0),DF＝1 设椭圆Q:上的点 A(_1,y1).B(_2,y2),三角形ABD的面积S＝y1＋y2＝y1－y2设直线m的方程为_＝ky＋1,代入中,得(2＋k2)y2＋2ky－1＝0由韦达定理得y1＋y2＝,y1y2＝,4S2＝(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4 y1y2＝令t＝k2＋1_sup3;1,得4S2＝,当t＝1,k＝0时取等号.因此,当直线m绕点F转到垂直_轴位置时,三角形ABD的面积最大.22.(本大题满分14分)已知数列｛an｝满足:a1＝,且an＝(1)求数列｛an｝的通项公式;(2)证明:对于一切正整数n,不等式a1·a2·……an_lt;2·n!22.解:(1)将条件变为:1－＝,因此｛1－｝为一个等比数列,其首项为1－＝,公比,从而1－＝,据此得an＝(n_sup3;1)…………1°(2)证:据1°得,a1·a2·…an＝为证a1·a2·……an_lt;2·n!只要证n_Icirc;N_时有_gt;…………2°显然,左端每个因式都是正数,先证明,对每个n_Icirc;N_,有_sup3;1－()…………3°用数学归纳法证明3°式:(i)n＝1时,3°式显然成立,(ii)设n＝k时,3°式成立,即_sup3;1－()则当n＝k＋1时,_sup3;〔1－()〕·()＝1－()－＋()_sup3;1－(＋)即当n＝k＋1时,3°式也成立. 故对一切n_Icirc;N_,3°式都成立.利用3°得,_sup3;1－()＝1－＝1－_gt;故2°式成立,从而结论成立.。
1989年高考数学试题(全国理)及答案
1989年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案一．选择题（本题满分36分，共12个小题，每小题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题选对得3分）。
1．如果I={a,b,c,d,e},M={a,c,d},N={b,d,e},其中I是全集，那么等于（ A ）（A）（B）{d} （C）{a,c} （D）{b,e}2．与函数y=x有相同图象的一个函数是（ D ）（A）（B）（C）（D）3．如果圆锥的底面半径为，高为2，那么它的侧面积是（ C ）（A）（B）（C）（D）4．的值等于（ A ）（A）-1 （B）（C）（D）5．已知是等比数列，如果且的值等于（ B ）（A）8 （B）16 （C）32 （D）48 6．如果的值等于（ C ）（A）（B）（C）（D）7．设复数z满足关系式，那么z等于（ D ）（A）（B）（C）（D）8．已知球的两个平行截面的面积分别为5和8，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是（ B ）（A）4 （B）3 （C）2 （D）59．已知椭圆的极坐标方程是那么它的短轴长是（C ）（A）（B）（C）（D）10．如果双曲线上一点P到它的右焦点的距离是8，那么点P到它的右准线的距离是（ D ）（A）10 （B）（C）（D）11．已知如果那么（ A ）（A）在区间（-1，0）上是减函数（B）在区间（0，1）上是减函数（C）在区间（-2，0）上是增函数（D）在区间（0，2）上是增函数12．由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（ C ）（A）60个（B）48个（C）36个（D）24个二．填空题（本题满分24分，共6个小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果.）13．方程的解集是_________________答案：或14．不等式的解集是____________________ 答案：15．函数的反函数的定义域是_____________ 答案：（-1，1）16．已知那么____答案：-217．已知A和B是两个命题，如果A是B的充分条件，那么B是A的_______条件;的______条件答案：必要，必要（注：仅答对一个结果的，只给2分）AOB18．如图，已知圆柱的底面半径是3，高是4，A、B两点分别在两底面的圆周上，并且AB=5，那么直线AB与轴之间的距离等于________________ 答案：三．解答题（本题满分60分，共6个小题.）19．（本小题满分8分）证明：证：20．（本小题满分10分）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=（Ⅰ）求证：顶点A1在底面ABCD的射影O在∠BAD的平分线上;（Ⅱ）求这个平行六面体的体积A1 B1D CN D1 C1 OA M B（Ⅰ）证：连结A1O，则A1O⊥底面ABCD作OM⊥AB交AB于M，作ON⊥AD交AD于N，连结A1M，A1N由三垂线定理得A1M⊥AB，A1N⊥AD∵∠A1AM=∠A1AN，∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA∴A1M= A1N∴OM=ON∴点O在∠BAD的平分线上（Ⅱ）∵AM=AA1∴AO=AM又在职Rt△AOA1中，A1O2=AA12-AO2=∴A1O=∴平行六面体的体积V=21．（本小题满分10分）A YCO X自点A（-3，3）发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光线L所在直线的方程解：已知圆的标准方程是（x-2)2+(y-2)2=1,它关于x轴的对称圆的方程是（x-2)2+(y+2)2=1,设光线L所在直线的方程是 y-3=k(x+3)(其中斜率k待定）由题设知对称圆的圆心（2，-2）到这条直线的距离等于1，即故所求的直线方程是即3x+4y-3=0,或4x+3y+3=0.22．（本小题满分12分）已知试求使方程有解的k的取值范围解：由对数函数的性质可知，原方程的解x应满足当（1），（2）同时成立时，（3）显然成立，因此只需解由（1）得当k=0时，由a>0知（4）无解，因而原方程无解当k≠0时，（4）的解是把（5）代入（2），得解得：综合得，当k在集合内取值时，原方程有解23．（本小题满分10分）是否存在常数a,b,c使得等式对一切自然数n都成立？并证明你的结论解：假设存在a,b,c使题设的等式成立，这时，n=1,2,3得于是，对n=1,2,3下面等式成立：记设n=k时上式成立，即那么也就是说，等式对n=k+1也成立综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设的等式对一切自然数n成立24．（本小题满分10分）设f(x)是定义在区间上以2为周期的函数，对,用表示区间已知当时，f(x)=x2.（1）求f(x)在上的解析表达式;（2）对自然数k,求集合不等的实根}解：（1）∵f(x)是以2为周期的函数，∴当时，2k也是f(x)的周期又∵当时，，∴即对，当时，（2）当且时，利用（1）的结论可得方程上述方程在区间上恰有两个不相等的实根的充要条件是a满足由（1）知a>0，或a<-8k.当a>0时：因2+a>2-a，故从（2），（3）可得即当a＜-8k时：易知无解，综上所述，a应满足故所求集合。
1989年全国高考数学试题及答案
1989年全国高考数学试题(理工农医类)一、选择题:每一个小题都给出代号为A、B、C、D的四个结论,其中只有一个是正确的,把你认为正确的结论的代号写在题后的括号内.【】[Key] 一、本题考查基本概念和基本运算.(1)A(2)与函数y=x有相同图象的一个函数是【】[Key] (2)D【】[Key] (3)C【】[Key] (4)A(A)8 (B)16(C)32 (D)48【】[Key] (5)B【】[Key] (6)C【】[Key] (7)D(8)已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,它们位于球心的同一侧,且相距为1,那么这个球的半径是(A)4 (B)3(C)2 (D)5【】[Key] (8)B【】[Key] (9)C【】[Key] (10)D(11)已知f(x)=8+2x-x2,如果g(x)=f(2-x2),那么g(x)(A)在区间(-1,0)上是减函数(B)在区间(0,1)上是减函数(C)在区间(-2,0)上是增函数(D)在区间(0,2)上是增函数【】[Key] (11)A(12)由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中小于50000的偶数共有(A)60个(B)48个(C)36个(D)24个【】[Key] (12)C二、填空题:只要求直接填写结果.[Key] 二、本题考查基本概念和基本运算,只需要写出结果.(14)不等式│x2-3x│>4的解集是 .[Key][Key] (15)(-1,1)(16)已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,那么a1+a2+…+a7= .[Key] (16)-2[Key] (17)必要,必要(18)如图,已知圆柱的底面半径是3,高是4,A、B两点分别在两底面的圆周上,并且AB=5,那么直线AB与轴OO＇之间的距离等于 .[Key] (18)三、解答题.[Key] 三、解答题.(19)本题主要考查:运用三角公式进行恒等变形的能力.证法一:证法二:(Ⅰ)求证:顶点A1在底面ABCD的射影O在∠BAD的平分线上;(Ⅱ)求这个平行六面体的体积.[Key] (20)本题主要考查:线面关系,三垂线定理以及空间想象能力.(Ⅰ)证明:如图,连结A1O,则A1O⊥底面ABCD.作OM⊥AB交AB于M,作ON⊥AD交AD于N,连结A1M,A1N.由三垂线定理得A1M⊥AB,A1N⊥AD.∵∠A1AM=∠A1AN,∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA.∴A1M=A1N.∴OM=ON.∴点O在∠BAD的平分线上.(Ⅱ)解:∴平行六面体的体积(21)自点A(-3,3)发出的光线L射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光线L所在直线的方程.[Key] (21)本题主要考查:直线和圆的方程以及灵活应用有关知识解决问题的能力.解法一:已知圆的标准方程是(x-2)2+(y-2)2=1,它关于x轴的对称圆的方程是(x-2)2+(y+2)2=1.设光线L所在直线的方程是y-3=k(x+3)(其中斜率k待定).由题设知对称圆的圆心C到这条直线的距离等于1,即整理得12k2+25k+12=0,故所求的直线方程是即3x+4y-3=0,或4x+3y+3=0.解法二:已知圆的标准方程是(x-2)2+(y-2)2=1.设光线L所在直线的方程是y-3=k(x+3)(其中斜率k待定).由题意知k≠0,于是L的反射点的坐标是因为光线的入射角等于反射角,所以反射光线L＇所在直线的方程是即y+kx+3(1+k)=0.这条直线应与已知圆相切,故圆心C到它的距离等于1,以下同解法一.(22)已知a>0,a≠1,试求使方程log a(x-ak)=log a2(x2-a2有解的k的取值范围.[Key] (22)本题主要考查:对数函数的性质以及解不等式的能力.解:由对数函数的性质可知,原方程的解x应满足当①,②同时成立时,③显然成立,因此只需解由①得 2kx=a(2+k2). ④当k=0时,由a>0知④无解,因而原方程无解.把⑤代入②,得当k<0时得k2>1,即-∞<k<-1.当k>0时得k2<1,即0<k<1.综合得,当k在集合(-∞,-1)∪(0,1)内取值时,原方程有解.(23)是否存在常数a,b,c使得等式对一切自然数n都成立？并证明你的结论.[Key] (23)本题主要考查:综合运用待定系数法、数学归纳法解决问题的能力.解法一:假设存在a,b,c使题设的等式成立,这时,令n=3 得70=9a+3b+c,经整理得解得a=3,b=11,c=10.于是,对n=1,2,3下面等式成立:记S n=1·22+2·32+…+n(n+1)2.设n=k时上式成立,即那么S k+1=S k+(k+1)(k+2)2也就是说,等式对n=k+1也成立.综上所述,当a=3,b=11,c=10时,题设的等式对一切自然数n成立.解法二:因为n(n+1)2=n3+2n2+n,所以S n=1·22+2·32+…+n(n+1)2=(13+2·12+1)+(23+2·22+2)+…+(n3+2n2+n)=(13+23+…+n3)+2(12+22+…+n2)+(1+2+…+n).由于下列等式对一切自然数n成立:由此可知综上所述,当a=3,b=11,c=10时,题设的等式对一切自然数n成立.(24)设f(x)是定义在区间(-∞,+∞)上以2为周期的函数,对k∈Z,用I k表示区间(2k-1,2k+1],已知当x∈I0时f(x)=x2.(Ⅰ)求f(x)在I k上的解析表达式;(Ⅱ)对自然数k,求集合M k={a│使方程f(x)=ax在I k上有两个不相等的实根}.[Key] (24)本题主要考查:周期函数的概念,解不等式的能力.(Ⅰ)解:∵f(x)是以2为周期的函数,∴当k∈Z时,2k是f(x)的周期.又∵当x∈I k时,(x-2k)∈I0,∴f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2.即对k∈Z,当x∈I k时,f(x)=(x-2k)2.(Ⅱ)解:当k∈N且x∈I k时,利用(Ⅰ)的结论可得方程(x-2k)2=ax,整理得 x2-(4k+a)x+4k2=0.它的判别式是△=(4k+a)2-16k2=a(a+8k).上述方程在区间I k上恰有两个不相等的实根的充要条件是a满足化简得由①知a>0,或a<-8k. 当a>0时:当a<-8k时:故所求集合。
1989年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案.pdf
Unit5 Topic2 SectionD 一、话题导学：（学习目标） 1. Learn some new words and phrases : useless, deal, elder, refuse, sadness, anyone, unfair, though, deal with, it’s normal to do sth. go mad, refuse to do sth. even though, not...ang longer=no longer 2. Revision: grammar and functions 3. Learn how to deal with unhappy feelings. Encourage students to face setbacks bravely and keep ina good mood. (1) Jeff almost went mad when his elder brother was killed in a car accident. (2) After a few months, Jeff began to understand it was useless to be angry. (3) Now he still misses his brother, but he doesn’t hate the driver ang longer. (4) He is feeling better now. 二、预习导纲： 1、单词互译与记忆 1) useless_________, 2) deal___________, 3) elder___________, 4) refuse__________, 5) sadness________, 6) anyone________, 7) unfair__________, 8) though_________ 2、短语互译与记忆 1）deal with 2）it’s normal to do sth 3）go mad 4）refuse to do sth.__________________ 5）虽然 _________________ 6）不再 ___________________________ 3、句子理解与熟读 1）No one can be happy all the time. 2）It’s normal to have these feelings. 3）He no longer stays in his room by himself. Instead, he goes to the movies or plays sports with his friends. 三、课堂导练：1、选词填空 go, use, old, someone, sadness1) English is very ____________, we must study it hard.2) Jim refuses _________ hiking with us, because he has other things to do. 3) I feel very _________ becauseI failed the English exam. 4) He is two years ________ than me, so he is my _________ brother. 5) Is there ________ at home?2. 单项选择。
1989年全国高考数学(理科)试题
1989年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题:本题满分36分，共12个小题.每一个小题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论,其中只有一个是正确的,把你认为正确的结论的代号写在题后的括号内.1.如果{},,,,I a b c d e =，{},,M a c d =，{},,N b d e =，其中I 是全集，那么()()I I C M C N =A. ∅B. {}dC. {},a cD. {},b e2.与函数y x =有相同图象的一个函数是A.yB.2x y x = C.log ,(0,1)a x y a a a =>≠ D.log ,(0,1)x a y a a a =>≠3.，高为2，那么它的侧面积是A. B. C. D. 4.43cos[arcsin()arccos()]55---的值等于A. 1-B. 725-C. 725D. 5- 5.已知{}n a 是等比数列，如果12318a a a ++=，2349a a a ++=-，12n n S a a a =+++，那么lim n n S →∞= A. 8 B. 16 C. 32 D. 486.如果1cos 5θ=，532πθπ<<，那么sin 2θ的值等于A. C. 7.设复数z 满足关系式2z z i +=+，那么z 等于 A. 34i -+B. 34i - C. 34i -- D. 34i + 8.已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,它们位于球心的同一侧,且相距为1,那么这个球的半径是A. 2B. 3C. 4D. 59.已知椭圆的极坐标方程是532cos ρθ=-，那么它的短轴的长是 A. 10310.如果双曲线2216436x y -=上一点P 到它的有焦点的距离是8，那么点P 到它的右准线的距离是A. 10D. 32511.已知2()82f x x x =+-,如果2()(2)g x f x =-,那么()g xA.在区间(1,0)-上是减函数B.在区间(0,1)上是减函数C.在区间(2,0)-上是增函数D.在区间(0,2)上是增函数12.由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中小于50000的偶数共有A.60个B.48个C.36个D.24个二、填空题: 本题满分24分，共6个小题，每小题4分，只要求直接填写结果.13.方程sin x x =的解集是 .14.不等式234x x ->的解集是 .15.函数11x x e y e -=+的反函数的定义域是 . 16.已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++,那么127a a a +++= .17.已知,A B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么B 是A 的 条件；A 是B 的 条件.18.如图,已知圆柱的底面半径是3,高是4, ,A B 两点分别在两底面的圆周上,并且5AB =,那么直线AB 与轴OO '之间的距离等于 .三、解答题. 本题满分60分，共6个小题19.证明：（本小题满分8分）32sin tan tan 22cos cos 2x x x x x-=+. 20. （本小题满分10分） A BO O '如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知5AB =，4AD =,13AA =, AB AD ⊥,113A AB A AD π∠=∠= (1)求证:顶点1A 在底面ABCD 的射影O 在BAD ∠的平分线上；(2)求这个平行六面体的体积.21.（本小题满分10分） 自点(3,3)A -发出的光线L 射到x 轴上,被x 轴反射,其反射光线所在直线与圆224470x y x y +--+=相切,求光线L 所在直线的方程.22.（本小题满分12分）已知0,1a a >≠,试求使方程222log ()log ()a a x a x a -=-有解的k 的取值范围.23.（本小题满分10分）是否存在常数,,a b c 使得等式2222(1)1223(1)()12n n n n an bn c +⋅+⋅+++=++ 对一切自然数n 都成立？并证明你的结论.24.（本小题满分10分）设()f x 是定义在区间(,)-∞+∞上以2为周期的函数,对k Z ∈,用k I 表示区间(]21,21k k -+,已知当0x I ∈时2()f x x =.(1)求()f x 在k I 上的解析表达式;(2)对自然数k ,求集合{k M a =是方程()f x ax =在k I 上有两个不相等的实根}.A B CD O A 1B 1C 1D 1。
1989数学三真题答案解析(试卷四)
于是
X
(E
A)1
B
1
2/3
1/
3
2
0
2
0
.
0 1/ 3 1/ 35 3 1 1
„„ 5 分
八、（本题满分 6 分）
设1 1, 1, 1 ， 2 1, 2, 3 ， 3 1, 3, t ，
(1) 问当 t 为何值时，向量组1,2 ,3 线性无关？（3 分）
(2) 问当 t 为何值时，向量组1,2 ,3 线性相关？（1 分）
(4)设.A 和 B 均为 n n 矩阵 , 则必有
(C)
(A) A B A B
( B) AB BA
(C) AB BA
(D) (A B)1 A1 B1
(5) 以 A 表示事件 “甲种产品畅销，乙种产品滞销”， 则其对立事件 A 为
(D)
(A)“甲种产品滞销，乙种产品畅销” (B)“甲，乙产品均畅销”
(2) 令 t x 2 ，则 S1
4 f (x 2)exdx
2
2 0
f
(t )et 2 dt
S0e2
.
(3) 令 t x 2n ，则 Sn
2 0
f
(t )et 2 n dt
S0e2n
.
(4) S Sn S0e2n S0 (e2 )n
n0
n0
n0
S0 1 e2
e 1
.
„„ 2 分 „„ 3 分 „„ 4 分
从而，所给微分方程的通解为 y(x) C1e2x C2e3x ex .
„„ 5 分
四、（本题满分 9 分）
设某厂家打算生产一批商品投放市场，已知该商品的需求函数为
x
p p(x) 10e 2 且最大需求量为 6，其中 x 表示需求量，p 表示价格.
1989年数二真题及详解
1989年理工数学二试题(1)Umxcot2x = jr*®(2)j* ：&infd£ » .(3)曲线夕=r(e -l)(t - 2)dt在点(0,0〉处的切线方程是J e(4)设 /(才)=«(交+ 1)(" + 2)・"(工+ «) •则十(0) = ⑸设/(工)是连续函数，且FQ) = x + 2£/(f)dt,W/(x)=“ +分1<0(6)设在鼻*0处连续,则常数a与6应«足的关«是--- Z > 0X(7)设tany = x + y,则dy =二JfX・(毎小■ 4分分20分)(1)巳知y = aicsine"'^ j求”•(3)求nm(2sinj： + cosx)i, £-*0> -ln(l + F〉T" J2..(4)已知< ,求豎及山b = arctanr1 rz，求J jc^/*(2x)dx.(5)已知/X2) = y/(2) =0 及/(x)dx = 1z Jo三.选择AH 毎小・3分•詢分18分) (1)当 X > 0 时♦曲筑 y = xsin — (A)有且仅有水平渐近线 (B) 有且仅有铅直渐近钱(C) 既有水平渐赶銭.也有《宜渐近鏡 (D) R 无水平渐近疑，也无铅直渐近銭⑵若 3疋-56 < 0•则方程 / + 2ax' + 3H + 4e = 0 (B)有唯一实根⑶曲线y - c«8x(-^f )与"轴所围成的图形，貌工轴旋转一周所成的旋转体的体积为⑷设两函数/(x)5tg(x)«S 在』二a 处取得极大值■则函数F(x) = /(x)g(x)(5) 微分方程/ - y = + 1的一个特解应具有形式(弍中a丄为#»〉(B)axe^ + b(D)axr^ + bx(6) 设A 工)在工=a 的菓个邻域内有定义，则/(£在e = a 处可导的一个充分条 件是(A) litn 办"(a 4 >〉-于(A )］存在*-*♦* n(C)有三个不同实根(D)有五个不同实根(A)无实根(A)号(B)ff(A)必取极大值 (B)必取«小值(C)不可能取极值(D)是否联极值不能強定(AM + b⑻ lim fa+2h)-fWf存在I n(C) lim d也护今~ h)存衣⑴)lim f⑷二 &二仍存在4 *0 n四二本^»分6分）求傲分方程xy* +仃-X）> =产（0 < X < + 8）满足y（l） ST 0的解.五J本fill分7分）K工八耐:-恥-"加，其中"连如敦，廉3 六J本题«分7分）证明方程怙文= f-f；在区间（0, + co）内有且仪有两个不同实根.七■（本大BM分H分）对a数y =兀gl填写下表・X应填湮■.1 由 于 linixcot2x N limcos2x • /= -r a —OL OSinZx £注释本题主要考*基本极限lim 沁 =1.■T T X⑵应填益解 J rsinrd/ =—J ^dcosf =—扯os/注»本题主要考妄分部积分法.(3】应填y = 2工・解 y =(鼻一1〉(工一2)»》'(0) = 2 则所求切线方程为 ，一0 = 2(工一 0〉，即，=2工注释本《主要考查变上限衣分求导和曲线的切线.(4)应填神!・(81 V /(x) = (j+l)(j+2)-(x+«)+x(r +2)(工+3)-4+巧+***+x{jr+l)(jr+2)***Cz+n-l)•: /(0)=/i!A 解2由T/(x)J6多项式函数，则f(0)应等于其一次项系数，则f(0)H 刑 A 烬3由导数定文伽=1屛上型=加凹吐如(+)胡注S 本求导的如本运*,解2是求多项式函ft 导it 时一种常用的方法.答案解析+ 1 coszdr =穴 0 Jo7Of+ l寺kcOf*of 0H 7P3J Z +H PH H召(H )、 ■J c -II ; 3、F—h o7 Of十.s r ss ««育亳邑县丄亍(ij 氓.X :L I I ;解 等式tanyK 工+y 两边求微分得sec^ydy = dx+d^r注释 本题主要考查隱函数求导法.-3/7 ，丄、 1——• e • ( — =—F2 77 2 丘严 / - 0%本《主要考查凑擞分法.原式= 】im 】+ C2siiir+cosj —1)(2siTir+cosx) * =[l + (2siru ：+cosj ：^l>]7limdsinx+cosjLl) • — = 2x-o JC则 原式=dw尬隊祖iH 煉）厂耙U 下叙较舫ft 濡娱欄了灯iU ：塔血（工）讪训（刃=«）』1血心（工〉• ^x） = A,« lim<l +口（文）〉3=』”■此结论在求严型极限时可直接用.注释本题主要考*复合函數我导法.(2)J 越2 —在+c__ I ___ * Zg+awa-lZttnx+eMT** 1 fdy if 1 +产 1 d'y 1 1 , 耐Ir 士2t2八th? 2? 2t (4) TT?注释本题主*考査參數方程求导法.(5》分析祓积函数申出现f(jr)的导数的积分、一般都¥用分部税分法. 1ft ［云八纟乂巾工2工£产/7f)&=严d# 3 =寻护 f (“ 1 p2厂T E HE_Q"〉»+T]^"-T仙⑺==i T + V = 0注廉本题主要考査定积分的变*代换和分部积分决./(rtd/ H)应选(A人解由于[ sin —r ■ ■■丄 4 ■-hmxsin —*= lim——-——工 1X又hmx5in^ = 0则原曲线有且仅有水平惭近线y=lr-*(l 工注释本题主要考查渐近线的求法.(2)应选(E)-«由于(+24^+3肚+4尸0为5舫亀贱方程至轉-个燃倚舫程谿有-咚勳令 /（!）=?+2fl?+36i+4c»/（x ）=5?+6flj^-t36 而 4=（6*-60口2（3卜56）<0侧 f （游0 因此源方程财-个实札放原痒有唯哎根.揀林以林桂細问息这里胭斛经to 踊以堵划1） 机代舫和分+山严+“十厂］卄©=06为林）幼肓一牛述； 2） 黠（讪）內严C ）M0川禅俭）=0鈍』）内耐"偉札⑶应选(C)・壬_ COS^ J^dx = TtJ*^ ( 1 -f-cos2x)d-x = 号应选（D ）・本酗关鮭于由題师知在口的删如有他切⑺竝）为（工）,由雌飜到g （小他）勿（工）伦）或血）弘）«对（必这在-般戕下鞠不到此结论亂若取他）"（j-Q ）UgS ）n-Gr-d 湿时 OfhCc ）在 m 处 W 大HO 個/h ）g （jr ）二 C r 吐沪曲取fiH'（M （A ）（C ）都不正确諾取他）=l-（E ）y ⑺RTr ）/他和 g （加有机大『両他）曲二［1-（厂阳Sm 踊狱（11制（哋不正為W 只有（确・（5〉应选（B ）・解/-> = e^ + l WW 解应为方程y-y = 和/-y = 1的特解之和，而特征方程为/-I = 0,解得r 〒士 1B 此『一 y = e*的待解应为y ： =flxeS解— J本題主奂考查诜转体的体积.注釋/->= 1的符解应为y； =b则原方程持解应具有形式y = ax^十b 注释本题主要考查践性常系4Ug齐次微分方程的待定特解形式.《6〉应选（D）.»也+炉叫训（吩"加聡側畑朋制鼬和魁讪导嫦卸B）QM不肌因为他堆沖如輙歙M）（c）申的齢辭£册加峠如m性型他）贩选（叽抹林左对対MJtJC我和就联苦他）缸綱导川本对舸林M轴M 衬f （必酿iU，財（D）申的即轴才解盯（质札四、分析本題所给方程是一个r阶a柱微分方程.解原方程改写为标准形式< +中十WVF由一阶线性微分方稈通解公式得y=討宁［J 2°虹•』宁4牡+ c］=丄［Ce* +尹］代人初始条件:yd）= 0,得C =一e故所求解为注釋本题主要考查一阶钱桂微分方程的求解方法.五、分析这是一牛带变上跟稅分妁魏分方穫•一般采用鷹方程两边求导数化为微分方程求解.« 原方s 可改写为/(z) - sinx - X f(t)i.t+ tf(t)dtJoJoCjf(.t)it — xf(x) +工(戸文二 cosjc-/(Odt两端再对工求导得 /（X ）=一 sinx 一 /（z ） 即工）十 /（JT ） =— sinx这是一个二阶线性非齐次方程，由原方程知/（0） = 0，由（* ）式知/（0） =t特征方程为* + 1 = 0, r=±i齐次通解为 y = Cl siitr + GcOsj;设非齐次方程特解为『=工SiTLT +曲S 刃，代人f C J ）十 /（X ）=— sitir 得fl = 0, 6 = y则非齐次方程的通解为1Xy = Cl si tlx + G cosjr + -^cosx由初始条件y （0）= 0和y （0）= 1可知Cj = — 1 Ca = 0㈱ 本舲如主妥料更上曲牛求显歸斛节統林烛分禪的梆・上式两端对富求导得/(J)= COSX — IJO(*)« 原方s可改写为分析朝-个方餐制胰邂曲存在楼可由连腕教曲介離理込明.有且饥酬不同实根可由单调性来确定，证 由于 ||^ yi — cos2xdx = 原方程转化为则 F Cx ） -- ------- f 令 P'\x ） = 0 得 X — ee X当0 <工< e 时，F （工）< 0, F （x ）严格单调减少, 当£< Y+C <FW >0, F®孑将車碑虬因益FW 在区眺型眦” +⑹內加桎貓_ 个輪X fW =-272<0, F 伍7) = #-Z 历土4>[)F （』）= #-幼切-4<0由駆肚连貓敷般点定理可亂FCr ）在（汽e ）和馆占内分别至少有-个雾点煤上所述,方程 ln_r = —•—e Jo注释本題主要考叠才程根的问题.七、Q1,1/12工+2 期 2 j 62U+3>令y=0希工=-2；令/=0 S1=亠3,!0函竝1,0）上斡沽在（-呵-2）和（0,+<^°）上单輛准尸-2戕小萨亍康册在（—3,0）和（0, + 8〉上是凹的F 在（―™ f — 3>上是凸的，拐点为（一旅—）.又~0,Iim/（j ：） = Utn^-^^—OOh-H X上-►8 X 工―"0 工则该曲线有水甲渐近线y=0和垂宜渐近线07=0. 注释 本題主*<*导敦逵用.*»T^sinxdx = 2 VT Joycos^dx 在内有且仅有两个不同的实根.八、由抛物线y = -h te + e过原点可知，e = 0S = J*（ai" +62》＜L C =晋 + # =寺得右=令（1 —Q V,=寸:C心+亦任=VyriU爭十存）2 2 1.4135^ ~ 27^^27=0 得4=一寻*6=寻所以，当血=一+，b = A, c = 0时*体积V最小，注释本题是一道燃舍题*主矣考i平面城的面积*蛙转体体积及幽敷的极值.。
1989年高考数学试题(全国理)及答案
1989年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案一．选择题（本题满分36分，共12个小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题选对得3分）。
1．如果I={a,b,c,d,e},M={a,c,d},N={b,d,e},其中I 是全集，那么N M ⋂等于 （ A ） （A ）φ （B ）{d} （C ）{a,c} （D ）{b,e}2．与函数y=x 有相同图象的一个函数是 （ D ）（A ）2x y =（B ）xx y 2=（C ）.1a ,0a .a y xa log ≠>=其中 （D ）.1a ,0a .a log y x a ≠>=其中3．如果圆锥的底面半径为2，高为2，那么它的侧面积是（ C ） （A ）π34 （B ）π22 （C ）π32 （D ）π244．)]53arccos()54(cos[arcsin ---的值等于 （ A ）（A ）-1 （B ）257-（C ）257 （D ）510- 5．已知}a {n 是等比数列，如果,9a a a ,18a a a 432321-=++=++且n n n 21n S lim ,a a a S ∞→+++=那么 的值等于 （ B ）（A ）8 （B ）16 （C ）32 （D ）48 6．如果2sin ,325,51|cos |θπ<θ<π=θ那么的值等于 （ C ） （A ）510-（B ）510 （C ）515- （D ）515 7．设复数z 满足关系式i 2|z |z +=+，那么z 等于 （ D ） （A ）i 43+-（B ）i 43- （C ）i 43-- （D ）i 43+ 8．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是 （ B ）（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）5 9．已知椭圆的极坐标方程是,cos 235θ-=ρ那么它的短轴长是（C ）（A ）310（B ）5 （C ）52 （D ）3210．如果双曲线136y 64x 22=-上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么点P 到它的右准线的距离是（ D ）（A ）10 （B ）7732 （C ）72 （D ）53211．已知,x x 28)x (f 2-+=如果),x 2(f )x (g 2-=那么)x (g （ A ）（A ）在区间（-1，0）上是减函数 （B ）在区间（0，1）上是减函数（C ）在区间（-2，0）上是增函数 （D ）在区间（0，2）上是增函数12．由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有 （ C ） （A ）60个 （B ）48个 （C ）36个 （D ）24个二．填空题（本题满分24分，共6个小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果.）13．方程2x cos 3x sin =-的解集是_________________答案：}Z k ,12)1k 2(x ,127k 2x |x {∈π+π+=π+π=或或}Z k ,34)1(k x |x {k ∈π+π-+π= 14．不等式4|x 3x |2>-的解集是____________________答案：}4x ,1x |x {>-<或15．函数1e 1e y x x +-=的反函数的定义域是_____________答案：（-1，1）16．已知,x a x a x a a )x 21(7722107++++=- 那么=+++721a a a ____答案：-217．已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么B 是A 的_______条件;B A 是的______条件答案：必要，必要（注：仅答对一个结果的，只给2分）18．如图，已知圆柱的底面半径是3，高是4，A 、B 两点分别在两底面的圆周上，并且AB=5，那么直线AB 与轴O O '之间的距离等于________________ 答案：233 三．解答题（本题满分60分，共6个小题.） 19．（本小题满分8分） 证明：x2cos x cos x sin 22x tg 2x 3tg +=- 证：2x cos2x 3cos x sin 2x cos 2x 3cos 2xsin2x 3cos 2x cos 2x 3sin 2x cos 2x sin 2x 3cos 2x 3sin2x tg 2x 3tg =-=-=-x 2cos x cos x sin 2+= 20．（本小题满分10分）如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD=.3π （Ⅰ）求证：顶点A 1在底面ABCD 的射影O 在∠BAD 的平分线上;（Ⅱ）求这个平行六面体的体积（Ⅰ）证：连结A 1O ，则A 1O ⊥底面ABCD 作OM ⊥AB 交AB 于M ，作ON ⊥AD 交AD 于N ，连结A 1M ，A 1N 由三垂线定理得A 1M ⊥AB ，A 1N ⊥AD ∵∠A 1AM=∠A 1AN ，∴Rt △A 1NA ≌Rt △A 1MA ∴A 1M= A 1N ∴OM=ON∴点O 在∠BAD 的平分线上（Ⅱ）∵AM=AA 1,232133cos =⋅=π∴AO=AM .2234csc =π 又在职Rt △AOA 1中，A 1O 2=AA 12-AO 2=,29299=- ∴A 1O=.223∴平行六面体的体积V=.23022345=⋅⋅21．（本小题满分10分）自点A （-3，3）发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2-4x-4y+7=0相切，求光线L 所在直线的方程解：已知圆的标准方程是（x-2)2+(y-2)2=1,它关于x 轴的对称圆的方程是 （x-2)2+(y+2)2=1,设光线L 所在直线的方程是 y-3=k(x+3)(其中斜率k 待定）由题设知对称圆的圆心C '（2，-2）到这条直线的距离等于1，即234:1225120,:,.43d k k k k =++==-=-整理得解得或故所求的直线方程是),3x (343y ),3x (433y +-=-+-=-或 即3x+4y-3=0,或4x+3y+3=0. 22．（本小题满分12分）已知,1a ,0a ≠>试求使方程)a x (log)ak x (log 222aa -=-有解的k 的取值范围 解：由对数函数的性质可知，原方程的解x 应满足⎪⎩⎪⎨⎧>->--=-)3(.0a x )2(,0ak x )1(,a x )ak x (22222当（1），（2）同时成立时，（3）显然成立，因此只需解⎩⎨⎧>--=-)2(,0ak x )1(,a x )ak x (222由（1）得)4()k 1(a kx 22+=当k=0时，由a>0知（4）无解，因而原方程无解当k ≠0时，（4）的解是 )5(.k 2)k 1(1x 2+=把（5）代入（2），得.k k2k 12>+ 解得：.1k 01k <<-<<∞-或 综合得，当k 在集合)1,0()1,(⋃--∞内取值时，原方程有解123．（本小题满分10分）是否存在常数a,b,c 使得等式)c bn an (12)1n (n )1n (n 32212222+++=++⋅+⋅ 对一切自然数n 都成立？并证明你的结论 解：假设存在a,b,c 使题设的等式成立，这时，n=1,2,3得.10c ,11b ,3a :.10c b 3a 9,44c b 3a 4,24c b a ===⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++解得 于是，对n=1,2,3下面等式成立：).10n 11n 3(12)1n (n )1n (n 32212222+++=++⋅+⋅ 记.)1n (n 3221S 222n ++⋅+⋅= 设n=k 时上式成立，即),10k 11k 3(12)1k (k S 2k +++= 那么222k 1k )2k )(1k ()10k 11k 3(12)1k (k )2k )(1k (S S ++++++=+++=+2)2k )(1k ()5k 3)(2k (12)1k (k ++++++=22(1)(2)(1)(2)(351224)[3(1)11(1)10]1212k k k k k k k k k ++++=+++=++++也就是说，等式对n=k+1也成立综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设的等式对一切自然数n 成立 24．（本小题满分10分）设f(x)是定义在区间),(+∞-∞上以2为周期的函数，对Z k ∈,用k I 表示区间],1k 2,1k 2(+-已知当0I x ∈时，f(x)=x 2.（1）求f(x)在k I 上的解析表达式;（2）对自然数k,求集合上有两个在使方程k k I ax )x (f |a {M ==不等的实根} 解：（1）∵f(x)是以2为周期的函数， ∴当Z k ∈时，2k 也是f(x)的周期又∵当k I x ∈时，0I )k 2x (∈-，∴.)k 2x ()k 2x (f )x (f 2-=-= 即对Z k ∈，当k I x ∈时，.)k 2x ()x (f 2-= （2）当Z k ∈且k I x ∈时，利用（1）的结论可得方程).k 8a (a k 16)a k 4(.0k 4)a k 4(x :,ax )k 2x (22222+=-+=∆=++-=-它的判别式是整理得上述方程在区间k I 上恰有两个不相等的实根的充要条件是a 满足⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++≥++-+<->+].)k 8a (a a k 4[211k 2],)k 8a (a a k 4[211k 2,0)k 8a (a ⎪⎩⎪⎨⎧-≤++<+>+).3(,a 2)k 8a (a )2(,a 2)k 8a (a )1(,0)k 8a (a 化简得由（1）知a>0，或a<-8k.当a>0时：因2+a>2-a ，故从（2），（3）可得,a 2)k 8a (a -≤+即1k 21a 0.2a ,1)1k 2(.0a 2,)a 2()k 8a (a 2+≤<⎩⎨⎧<≤+⎩⎨⎧>--≤+即即当a ＜-8k 时：,0k 82a 2<-<+易知a 2)k 8a (a +<+无解，综上所述，a 应满足1k 21a 0+≤<故所求集合}1k 21a 0|a {M k +≤<=。
1989年高考作文题
1989年高考作文题【篇一：1989年高考题(理科数学)】1989年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案考生注意：这份试题共三道大题（24个小题），满分120分. 一．选择题（本题满分36分，共12个小题，每小题都给出代号为a，b，c，d的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题选对得3分，不选或选错一律得0分）1．如果i={a,b,c,d,e},m={a,c,d},n={b,d,e},其中i是全集，那么 ?等于（ a ）（a）? （b）{d} （c）{a,c} （d）{b,e}2．与函数y=x有相同图象的一个函数是（ d ）x2（a）y?x （b）y?x2（c）y?alogax.其中a?0,a?1. （d）y?logaax.其中a?0,a?1.3．如果圆锥的底面半径为2，高为2，那么它的侧面积是（ c ）（a）43?（b）22? （c）23? （d）42?4．cos[arcsin(?)?arccos(?)]的值等于（ a ）（a）-1 （b）? 77（c）（d）?5252545355．已知{an}是等比数列，如果a1?a2?a3?18,a2?a3?a4??9, 且sn?a1?a2???an,那么limsn的值等于（ b ）n??（a）8（b）16 （c）32 （d）486．如果|cos?|?,????3?,那么sin的值等于（ c ）1552?27．设复数z满足关系式z?||?2?i，那么z等于（ d ）（a）??i （b）?i （c）??i （d）?i8．已知球的两个平行截面的面积分别为5?和8?，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是（ b ）（a）4（b）3 （c）2 （d）5 9．已知椭圆的极坐标方程是??（a）5,那么它的短轴长是（c ）3?2cos?3434343410（b）5（c）25 （d）23 3x2y210．如果双曲线??1上一点p到它的右焦点的距离是8，那么6436点p到它的右准线的距离是（ d ）（a）10（b）32732（c）27（d） 7511．已知f(x)?8?2x?x2,如果g(x)?f(2?x2),那么g(x) （ a ）（a）在区间（-1，0）上是减函数（b）在区间（0，1）上是减函数（c）在区间（-2，0）上是增函数（d）在区间（0，2）上是增函数12．由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（ c ）（a）60个（b）48个（c）36个（d）24个二．填空题（本题满分24分，共6个小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果.）13．方程sinx?3cosx?2的解集是_________________ 答案：{x|x?2k??7??,或x?(2k?1)??,k?z} 1212??或{x|x?k??(?1)k?,k?z}4314．不等式|x2?3x|?4的解集是____________________ 答案：{x|x??1,或x?4}ex?115．函数y?x的反函数的定义域是_____________e?1答案：（-1，1）16．已知(1?2x)7?a0?a1x?a2x2???a7x7,那么a1?a2???a7?____答案：-217．已知a和b是两个命题，如果a是b的充分条件，那么b是a 的_______条件;的______条件答案：必要，必要（注：仅答对一个结果的，只给2分）18．如图，已知圆柱的底面半径是3，高是4，a、b两点分别在两底面的圆周上，并且ab=5，那么直线ab与轴oo?之间的距离等于________________ 答案：332b三．解答题（本题满分60分，共6个小题.）19．（本小题满分8分）3xx2sinx?tg?22cosx?cos2x3xx3xx3xxsinsinsincos?cossin3xxsinx???证：tg?tg?3xx3xx3xx22coscoscoscoscoscos2222222sinx?cosx?cos2x证明：tg20．（本小题满分10分）如图，在平行六面体abcd-a1b1c1d1中，已知ab=5，ad=4，aa1=3，abd1c1（Ⅰ）求证：顶点a1在底面abcd a1b1的射影o在∠bad的平分线上;⊥ad，∠a1ab=∠a1ad=.?3（Ⅱ）求这个平行六面体的体积（Ⅰ）证：连结a1o，则a1o⊥底面abcd作om⊥ab交ab于m，作on⊥ad交ad于n，连结a1m，a1n由三垂线定理得a1m⊥ab，a1n⊥ad∵∠a1am=∠a1an，∴rt△a1na≌rt△a1ma∴a1m= a1n∴om=on ∴点o在∠bad的平分线上?32. 4299又在职rt△aoa1中，a1o2=aa12-ao2=9??,2233∴a1o=2.∴平行六面体的体积v=5?4?2?302.22（Ⅱ）∵am=aa1cos?3??,∴ao=amcsc??3123221．（本小题满分10分）自点a（-3，3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光线l所在直线的方程解：已知圆的标准方程是（x-2)2+(y-2)2=1,它关于x轴的对称圆的方程是（x-2)2+(y+2)2=1, 设光线l所在直线的方程是 y-3=k(x+3)(其中斜率k待定）由题设知对称圆的圆心c?（2，-2）到这条直线的距离等于1，即 d?|5k?5|1?k2.整理得:12k2?25k?12?0,a y c34解得:k??,或k??.4334故所求的直线方程是y?3??(x?3),或y?3??(x?3), 即3x+4y-3=0,或4x+3y+3=0. 22．（本小题满分12分）已知a?0,a?1,试求使方程loga(x?ak)?loga2(x2?a2)有解的k的取值范围解：由对数函数的性质可知，原方程的解x应满足?(x?ak)2?x2?a2,(1)?(2) ?x?ak?0,?x2?a2?0.(3)?43【篇二：1989年全国高考物理试题】1989年全国高考物理试题第Ⅰ卷(选择题)一、本题中每小题给出的几个说法中,只有一个是正确的.(1)设地球表面的重力加速度为g0,物体在距地心4r(r是地球半径)处,由于地球的作用而产生的加速度为g,则g/g0为:(b卷2题)a.1.b.1/9.c.1/4.d.1/16.(2)若单摆的摆长不变,摆球的质量增加为原来的4倍,摆球经过平衡位置时的速度减小为原来的1/2,则单摆振动的(b卷3题)a.频率不变,振幅不变.b.频率不变,振幅改变.c.频率改变,振幅改变.d.频率改变,振幅不变.(b卷1题)(4)两辆汽车在同一平直路面上行驶,它们的质量之比m1∶m2=1∶2,速度之比v1∶v2=2∶1.当两车急刹车后,甲车滑行的最大距离为s1,乙车滑行的最大距离为s2.设两车与路面间的滑动摩擦系数相等,不计空气阻力,则(b卷5题)a.s1∶s2=1∶2.b.s1∶s2=1∶1.(5)一轻弹簧上端固定,下端挂一重物,平衡时弹簧伸长了4厘米.再将重物向下拉1厘米,然后放手,则在刚释放的瞬间重物的加速度是(g取10米/秒2)(b卷6题)a.2.5米/秒2.b.7.5米/秒2.c.10米/秒2.d.12.5米/秒2..(b卷7题).(b卷8题)(8)在下页图所示的电路中,当滑线变阻器的滑动触点向b端移动时,a.伏特表v的读数增大,安培表a的读数减小.b.伏特表v和安培表a的读数都增大.c.伏特表v和安培表a的读数都减小.d.伏特表v的读数减小,安培表a的读数增大.(b卷9题)(9)一矩形通电线框abcd,可绕其中心轴oo′转动,它处在与oo′垂直的匀强磁场中(如图).在磁场作用下线框开始转动,最后静止在平衡位置.则平衡后a.线框四边都不受磁场的作用力.b.线框四边受到指向线框外部的磁场作用力,但合力为零.c.线框四边受到指向线框内部的磁场作用力,但合力为零.d.线框的一对边受到指向线框外部的磁场作用力,另一对边受到指向线框内部的磁场作用力,但合力为零.(b卷4题)(10)一架飞机水平地匀速飞行.从飞机上每隔1秒钟释放一个铁球,先后共释放4个.若不计空气阻力,则四个球(b卷11题)a.在空中任何时刻总是排成抛物线;它们的落地点是等间距的.b.在空中任何时刻总是排成抛物线;它们的落地点是不等间距的.c.在空中任何时刻总在飞机正下方排成坚直的直线;它们的落地点是等间距的.d.在空中任何时刻总在飞机正下方排成竖直的直线;它们的落地点是不等间距的.(11)p-t图上的图线abc表示一定质量的理想气体的状态变化过程,此过程在p-v图上的图线应为(b卷12题)(12)在下列四个日光灯的接线图中(s为起辉器,l为镇流器),正确的是(b卷10题)二、(10分)每小题2分.本题中每小题给出的几个说法中,有一个或几个是正确的.把正确的说法全选出来.(13)在光滑水平面上有三个完全相同的小球排成一条直线.2、3小球静止,并靠在一起,1球以速度v0射向它们(如图).设碰撞中不损失机械能,则碰后三个小球的速度可能值是(b卷14题)(14)红色、绿色和黄色的三束平行光分别沿主轴射向同一个玻璃凸透镜,通过透镜后会聚到主轴上,会聚点到光心的距离分别是f红、f绿、f黄,则(b卷15题)a.f红=f绿=f黄. c.f绿f黄f红.b.f红f黄f绿. d.f红f绿f黄.(15)在光滑水平地面上有一木板,一木棒可沿水平轴o转动,其下端b 搁在木板上,而整个系统处于静止状态(如图).现在用水平力f向左推木板,但木板仍未动.由此可以得出结论:施力f后,木板和木棒之间的正压力(b卷13题)a.变大.b.不变.c.变小.d.条件不足,不能判断如何改变.(16)玻尔在他提出的原子模型中所做的假设有:(b卷17题)【篇三：1989年高考英语试题】1989年试题第i卷第一部分(k)英语知识ki 语音知识(共10小题，计分5%)a)观察所给单词的读音，从a、b、c、d中找出其划线部分与所给单词的划线部分读音相同的选项。