曾谨言《量子力学教程》(第3版)配套题库【课后习题-量子跃迁】
曾谨言《量子力学教程》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-微扰论(圣才出品)
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其中 与 ａ分别表示两个谐振子的坐标，最后一项是刻画两个谐振子相互作用的耦合 项 表示耦合的强度，设 比较小，把 H 中的
看成微扰，而 取为
它表示两个彼此独立的谐振子，它的本征函数及本征能量可分别表为
令
则能量表示式可改为
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二、散射态微扰论 1．散射态的描述 （1）散射（微分）截面、散射总截面和散射振幅的定义
图 10.1 设一束粒子以稳定的入射流密度 （单位时间穿过单位截面的粒子数）入射．由于靶 粒子的作用，设在单位时间内有 个粒子沿 方‘向的立体角 中出射．显然，
即
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（3）必然有 个实根，记为
.这一系列值即一级修正能量，它相应的
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准确到一级微扰修正的能量为
.
（根 代人方程（36），即可求得相应的解，记为
于
是得出新的零级波函数
如 个根 无重根，则原来的 重简并能级 将完全解除简并，分裂为 条．但如 有部分重根．则能级简尚未完全解除．凡未完全解除简并的能量本征值，相 应的零级波函数仍是不确定的．
由式（6）可以看出，对于 情况，能级是简并的，简并度为（N＋1）．（为什么?） 以 N=1 为例，能级为二重简并，能量本征值为
相应的本征函数为 记
与
（或者它们的线性叠加）．为表示方便，
并选 与 为基矢，利用谐振子的坐标的矩阵元公式，可以求得微扰 W= 元如下：
的矩阵
可得出能量的一级修正为
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曾谨言《量子力学教程》（第3版）笔记和课后习题（含考研真题）详解完整版>精研学习网>免费在线试用20％资料全国547所院校视频及题库资料考研全套>视频资料>课后答案>往年真题>职称考试目录隐藏第1章波函数与Schrödinger方程1.1复习笔记1.2课后习题详解1.3名校考研真题详解第2章一维势场中的粒子2.1复习笔记2.2课后习题详解2.3名校考研真题详解第3章力学量用算符表达3.1复习笔记3.2课后习题详解3.3名校考研真题详解第4章力学量随时间的演化与对称性4.1复习笔记4.2课后习题详解4.3名校考研真题详解第5章中心力场5.1复习笔记5.2课后习题详解5.3名校考研真题详解第6章电磁场中粒子的运动6.1复习笔记6.2课后习题详解6.3名校考研真题详解第7章量子力学的矩阵形式与表象变换7.1复习笔记7.2课后习题详解7.3名校考研真题详解第8章自旋8.1复习笔记8.2课后习题详解8.3名校考研真题详解第9章力学量本征值问题的代数解法9.1复习笔记9.2课后习题详解9.3名校考研真题详解第10章微扰论10.1复习笔记10.2课后习题详解10.3名校考研真题详解第11章量子跃迁11.1复习笔记11.2课后习题详解11.3名校考研真题详解第12章其他近似方法12.1复习笔记12.2课后习题详解12.3名校考研真题详解内容简介隐藏本书是曾谨言主编的《量子力学教程》（第3版）的学习辅导书，主要包括以下内容：（1）梳理知识脉络，浓缩学科精华。
本书每章的复习笔记均对该章的重难点进行了整理，并参考了国内名校名师讲授该教材的课堂笔记。
因此，本书的内容几乎浓缩了该教材的所有知识精华。
（2）详解课后习题，巩固重点难点。
本书参考大量相关辅导资料，对曾谨言主编的《量子力学教程》（第3版）的课后思考题进行了详细的分析和解答，并对相关重要知识点进行了延伸和归纳。
（3）精编考研真题，培养解题思路。
曾谨言《量子力学教程》(第3版)配套模拟试题及详解(一)
曾谨言《量子力学教程》（第3版）配套模拟试题及详解（一）一、简答题（每小题5分，共20分。
） 1．什么是光电效应？解：光照到金属表面导致大量电子从金属中逸出的现象即为光电效应。
2．厄密算符的本征值是实数吗？量子力学中表示力学量的算符是不是都是厄密算符？ 答：是。
以λ表示F 的本征值，ψ表示所属的本征函数，则λψψ=F ，因为F 是厄密算符，于是有⎰⎰=dx dx ψψλψψλ***，由此得λλ=*，即λ是实数。
3．氢原子处于3p 态的电子径向Schr ōdinger 方程是什么?该态下哈密顿算符H ˆ和角动量平方算符2ˆL的本征值呢？ 答：氢原子电子径向薛定谔方程为：0)1(2122222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛R r l l r e E dr dR r dr d r μ 对于3p 态电子，2418e E μ-=。
哈密顿算符本征值为2418e μ-，角动量平方算符本征值222)1(=+l l 。
4．自旋可以在坐标表象中表示吗？答：自旋是内禀角动量，与空间运动无关，故不能在坐标空间表示出来。
二、（25分）粒子在一维势场中运动，设其束缚态波函数为试求粒子相应的能量及势场。
解：由波函数得代入下式得取x ＝0时，V （x ）＝0，则，故本题所求为三、（25分）一粒子在一维势场0()00x U x x a x a ∞<⎧⎪=⎨⎪∞>⎩，， ≤≤，中运动。
（1）求粒子的能级和对应的波函数。
（2）若已知t =0时，该粒子状态为))()((21)0,(21x x x ψψψ+=，求t 时刻该粒子的波函数。
（3）求t 时刻测量到粒子的能量分别为1E 和2E 的几率是多少？ （4）求t 时刻粒子的平均能量E 和平均位置x 。
解：（1）22222n maE n π=（n=1，2，3，…）可见E 是量子化的。
对应于n E 的归一化的定态波函数为：⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤=-a x a x ax xea n at x t E n in n ,,00,sin 2),(πψ（2）t 时刻的波函数：1212(,)()()iE t iE tx t x e x e ψψψ--⎡⎤=+⎥⎦（3）t 时刻测量到粒子的能量为1E 的几率是：21),(),(21=t x t x ψψt 时刻测量到粒子的能量为2E 的几率是：21),(),(22=t x t x ψψ （4）平均能量：ˆ(,)(,)(,)(,)E x t Ex t x t i x t tψψψψ∂==∂ 22122524E E maπ+== 平均位置：12216()(,)(,)cos 29a a E E t x x t x x t ψψπ-⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦四、（25分）对于自旋2的体系，求x y σσ+的本征值和本征态，并在较小的本征值对应的本征态中，求测量y S 得2的概率和x S 的平均值。
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第10章微扰论10.1 设非简谐振子的Hamilton量表示为为实数）用微扰论求其能量本征值（准到二级近似）和本征函数（准到一级近似）．解：能量的本征值和归一化本征态（无简并）为利用Hermite多项式的递推关系得对于非简并态的微扰论，能量的一级修正为0，因为能量的二级修正值为由式（6）可知，只当m取（n－3），（n－1），（n＋1），（n＋3）四个值时才有贡献，即由此可得在准确到二级近似下体系能量值为在准确到一级近似下，能量本征函数为10.2 考虑耦合谐振子（λ为实常数，刻画耦合强度）．（a）求出的本征值及能级简并度；（b）以第一激发态为例，用简并微扰论计算对能级的影响（一级近似）；（c）严格求解H的本征值，并与微扰论计算结果比较，进行讨论，提示作坐标变换，令称为简正坐标，则H可化为两个独立的谐振子。
【详细分析和解答见《量子力学》卷Ⅰ，518～521页】答：Hamilton量为其中与ａ分别表示两个谐振子的坐标，最后一项是刻画两个谐振子相互作用的耦合项表示耦合的强度，设比较小，把H中的看成微扰，而取为它表示两个彼此独立的谐振子，它的本征函数及本征能量可分别表为令则能量表示式可改为由式（6）可以看出，对于情况，能级是简并的，简并度为（N＋1）．（为什么?）以N=1为例，能级为二重简并，能量本征值为相应的本征函数为与（或者它们的线性叠加）．为表示方便，记并选与为基矢，利用谐振子的坐标的矩阵元公式，可以求得微扰W=的矩阵元如下：可得出能量的一级修正为因此，原来二重简并的能级变成两条，能量分别为能级简并被解除，类似还可以求其他能级的分裂，如下图所示．本题还可以严格求解，作坐标变换，令其逆变换为容易证明因此，Schrodinger方程化为令即于是方程（13）变为是两个彼此独立的谐振子，其解可取为相应的能量为当时，由式（14），得此时例如，N=1的情况，（n1，n2）=（1，O）与（0，1），相应的能量分别为能级分裂这与微扰论计算结果式（8）一致．10.3 一维无限深势阱（0<x<a）中的粒子，受到微扰作用求基态能量的一级修正。
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第4章力学量随时间的演化与对称性4.1 判断下列提法的正误：（正确○，错误×）（a）在非定态下，力学量的平均值随时间变化；（×）（b）设体系处于定态，则不含时力学量的测值的概率分布不随时间变化；（○）（c）设Hamilton量为守恒量，则体系处于定态；（×）（d）中心力场中的粒子，处于定态，则角动量取确定值；（×）（e）自由粒子处于定态，则动量取确定值；（×）（f）一维粒子的能量本征态无简并；（×）（g）中心力场中的粒子能级的简并度至少为（2ι／＋1），ι＝0，1，2，…．（○）4.2 设体系有两个粒子，每个粒子可处于三个单粒子态φ1、φ2、φ3中的任何一个态．试求体系可能态的数目，分三种情况讨论：（a）两个全同Bose子；（b）两个全同Fermi子；（c）两个不同粒子．【解答与分析见《量子力学习题精选与剖析》[下]，7.1题．】7.1 考虑由两个全同粒子组成的体系．设可能的单粒子态为φ1、φ2、φ3，试求体系的可能态数目．分三种情况讨论：（a）粒子为Bose子（Bose统计）；（b）粒子为Fermi 子（Fermi统计）；（c）粒子为经典粒子（Boltzmann统计）．解：以符号△、○、口分别表示φ1、φ2、φ3态．Bose子体系的量子态对于两个粒子的交换必须是对称的，Fermi子体系则必须是反对称的，经典粒子被认为是可区分的，体系状态没有对称性的限制．当两个粒子处于相同的单粒子态时，体系的状态必然是交换对称的，这种状态只能出现于Bose子体系和经典粒子体系，体系波函数的构造方式为当两个粒子处于不同的单粒子态（φi和φj，i≠j）时，如果是经典粒子，有两种体系态，即由单粒子态φi和φj可以构成对称和反对称的体系态各一种，即对称态适用于Bose子体系，反对称态适用于Fermi子体系．对于两粒子体系来说，Bose子体系的可能态总数与Fermi子体系的可能态总数之和，显然正好等于经典粒子（可区分粒子）体系的可能态总数．如可能的单粒子态为k个，则三种两粒子体系的可能态数目如下：经典粒子N＝k2本题k＝3，Fermi子、Bose子、经典粒子体系的可能态数目分别为3、6、9．体系态的构造方式如下：Bose子体系态（共6种，均为交换对称态）有Fermi子体系态（反对称态）只有3种：当全同粒子体系的粒子数超过两个时，一般来说，对于粒子间的交换完全对称的状态（适用于Bose子）数目与完全反对称的状态（适用于Fermi子）数目之和，总是小于没有对称性限制的体系状态（适用于经典粒子）总数．亦即，后者除了完全对称态和完全反对称态，还有一些没有对称性或只有混杂对称性的状态．例如，由三个全同粒子组成的体系，如可能的单粒子态有3种，则在Boltzmann统计、Bose统计、Fermi统计下，体系的可能态数目分别为27、10和1．4.3 设体系由3个粒子组成，每个粒子可能处于3个单粒子态（φ1，φ2和φ3）中任何一个态，分析体系的可能态的数目，分三种情况：（a）不计及波函数的交换对称性；（b）要求波函数对于交换是反对称；（c）要求波函数对于交换是对称．试问：对称态和反对称态的总数为多少?与（a）的结果是否相同?对此做出说明．解：（a）不计及波函数的交换对称性，其可能态的数目为33＝27；（b）要求波函数对于交换是反对称的，其可能态的数目为1；（c）要求波函数对于交换是对称的，其可能态的数目为1＋6＋3＝10（参见《量子力学教程》4.5.4节，94页的例题）．对称态和反对称态的总数＝10＋1＝11，而不计及交换对称性的量子态的数目（即（a）的结果）为27，两者并不相同．原因在于全同粒子的交换对称性对量子态的限制所造成．4.4 设力学量A不显含t，H为体系的Hamilton量，证明证明：对于不显含t的力学量A，有上式两边再对t求导，则有即4.5 设力学量A不显含t，证明在束缚定态下证明：定态是能量本征态，满足对于束缚态，是可以归一化的，即取有限值．而对于不显含t的力学量A，因此4.6 表示沿z方向平移距离口的算符．证明下列形式波函数（Bloch波函数）：是D x（a）的本征态，相应本征值为证明：利用可得而对于形式为的波函数所以，即是D x（a）的本征态，相应本征值为e-ika．4.7 设体系的束缚能级和归一化能量本征态分别为En和，n为标记包含Hamilton 量H在内的力学量完全集的本征态的一组好量子数．设H含有一个参数A，证明此即Feynman-Hellmann定理．【证明见《量子力学习题精选与剖析》[下]，5.1题．】5.1 设量子体系的束缚态能级和归一化能量本征态分别为E n和（n为量子数或编号数），设λ为Hamilton算符H含有的任何一个参数．证明（1）这称为Feynman-Hellmann定理．以后简称F-H定理．证明：满足能量本征方程（2）其共轭方程为（2'）视λ为参变量，式（2）对λ求导，得到（3）以左乘式（3），利用式（2'）和归一化条件，即得式（1）．4.8 设包含Hamilton量H在内的一组守恒量完全集的共同本征态和本征值分别为丨n>和E n，n为一组完备好量子数．证明，力学量（算符）F随时间的变化，在此能量表象中表示为【证明见《量子力学习题精选与剖析》[下]，2.1题．】2.1 给定总能量算符H（，，p），以表示其本征值和本征函数．态矢量简记为按照Heisenber9运动方程，力学量算符A（r，p）的时间变化率为（1）定义能量表象中矩阵元（2）证明（3）其中。
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x)
xn
=
1
[
n2n−1 +
n
+ 2
1n+1
]
d dx
n
= [
n2n−1 −
n
+ 2
1n
+1
]
其中 =
。
2.2 课后习题详解
2.1 设粒子限制在矩形匣子中运动，即
求粒子的能量本征值和本征波函数，如 a=b=c，讨论能级的简并度。 解：在匣子内
,n
=
1，2，3,…
该本征能量表达式说明说明：并非任何 E 值所相应的波函数都满足本问题所要求的边
条件，一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的，即构成的能谱是离散的（disorete）．
（2）无限深方势阱本证波函数
归一化波函数表示为
2．有限深对称方势阱 设
a 为阱宽，V0 为势阱高度．以下讨论束缚态（0＜E＜V0）情况． 束缚态能量本征函数（不简并）必具有确定宇称，因此只能取 sinkx 或 coskx 形式． （1）偶宇称态．
E
=
En
=
(n +
1)h, n 2
=
0,1, 2,…
此即谐振子的能量本征值．可以看出，谐振子的能级是均匀分布的，相邻的两条能级
的间距为 ．
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2.一维谐振子本征波函数
一维谐振子波函数常用的关系式如下
n
=
− 1 2 x2
2．势阱中的束缚态 要求束缚能量本征态（不简并）具有确定字称．以下分别讨论． （1）偶宇称态 归一化的束缚能量本征态波函数可表示为（取 C 为实数）
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第 1 章 波函数与 Schrödinger 方程
一、选择题
1．光子和电子的波长都为 5.0 埃，光子的动量与电子的动量之比是多少?（ ）[中
南大学 2009 研]
A．1
B．3×1010
C．3.3×10-11
D．8.7×10-21
涉图像位置．C 项，电子能量增加并不会改变屏的特征光谱，不会变蓝．D 项，题中提到狭
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缝间距尺寸在德布罗意波长数量级，在电子能量变化不是很大时，电子波长应该仍与狭缝间 距相当，干涉图样不会消失．
4．题 2 中，如果两缝之间距离加倍，则干涉图样中相邻最大值之间距离（ ）．[中 南大学 2009 研]
A．干涉图样向装探测器的狭缝移动 B．干涉图样中相邻最大值之间距离改变 C．干涉图样பைடு நூலகம்失 D．干涉图样变弱
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【答案】C
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【解析】由题意，通过该狭缝的电子位置将会由于测不准原理导致光子动量 P h 不
确定，以至于电子波长和频率会受到极大干扰，从狭缝射出的光波将不再是相干光，而干涉
2．试表述量子态的叠加原理并说明叠加系数是否依赖于时空变量及其理由．[南京大学 2009 研]
图 1-1
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A．向上移动距离 d
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B．向下移动距离 d
C．向上移动距离 d／2
D．向下移动距离 d／2
【答案】B
【解析】分析未移动前位于屏幕正中间的点，令偏上的光线为 a，偏下的光线为 b，未
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在能量本征态 下逐项计算平均值，并利用公式
即得
式（3）加式（4），再减式（5）和（6），即得式（1）．
注意：如
和 并无简单关系．如 F 为厄米算符，即
，则
，
这时
，式（1）就变成《量子力学习题精选与剖析》[下]题 2.4 式（1）．
类似有
AC＋CA＝0
（b）由于
，可知其本征值为±1，又按假定，A 本征态无简并，所以，在 A 表象
中 A 的对角矩阵表示为
设 B 的矩阵为
由 AB＋BA＝0，得
即
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所以
，即
又由
，有
所以 bc＝1，因而 B 的矩阵表示为
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在 sz 表象中可以表示为
证明：按假设， 不妨取
．基矢的正交完备性表现为
可以验证，假想的自旋算符的 2 维矩阵表示分别为
与《量子力学教程》8.1 节，（21）式（Pauli 矩阵）比较． 【参见《量子力学教程》8.1 节，（21）式．】
7.9 设 F 为体系的一个可观测量（厄米算符），H 为体系的 Hamilton 量，证明在能量 表象中的下列求和规则：
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第 7 章 量子力学的矩阵形式与表象变换
7.1 设矩阵 A、B、C 满足
（a）证明
；
（b）在 A 表象中（设无简并），求出 B 和 C 的矩阵表示．
解：（a）对
分别右乘 B 和左乘 B，利用
，得
（1）＋（2）得
AB＋BA＝0
式（2）取共轭，得到 和式（2）相加，即得式（1）。
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第11章量子跃迁
11.1 荷电q的离子在平衡位置附近作小振动（简谐振动），受到光照射而发生跃迁，设照射光的能量密度为ρ（w），波长较长．求：
（a）跃迁选择定则；
（b）设离子原来处于基态，求每秒跃迁到第一激发态的概率．
解：（a）具有电荷为q的离子，在波长较长的光的照射下，从n→n'的跃迁速率为
而根据谐振子波函数的递推关系（见习题2.7）
可知跃迁选择定则为
（b）设初态为谐振子基态（n＝0），利用
可求出
而每秒钟跃迁到第一激发态的概率为
11.2 氢原子处于基态，受到脉冲电场的作用．试用微扰论计算它跃迁到各激发态的概率以及仍然处于基态的概率（取E0沿z轴方向来计算）．
【解答与分析见《量子力学习题精选与剖析》[上]，10.2题，l0.3题】
10.2 氢原子处于基态，受到脉冲电场
作用，为常数．试用微扰论计算电子跃迁到各激发态的概率以及仍停留在基态的概率．解：自由氢原子的Hamilton量记为H0，能级记为E n，能量本征态记为代表nlm 三个量子数），满足本征方程
如以电场方向作为Z轴，微扰作用势可以表示成
在电场作用过程中，波函数满足Schr6dinger方程
初始条件为
令
初始条件（5）亦即
以式（6）代入式（4），但微扰项（这是微扰论的实质性要点!）即得
以左乘上式两端，并对全空间积分，即得
再对t积分，由即得
因此t＞0时（即脉冲电场作用后）电子已经跃迁到态的概率为
根据选择定则终态量子数必须是
即电子只跃迁到各np态（z＝1），而且磁量子数m＝0．
跃迁到各激发态的概率总和为
其中
a o为Bohr半径．代入式（9）即得
电场作用后电子仍留在基态的概率为
10.3 氢原子处于基态，受到脉冲电场作用，为常数．求作用后（t ＞0）发现氢原子仍处于基态的概率（精确解）．
解：基态是球对称的，所求概率显然和电场方向无关，也和自旋无关．以方向作z 轴，电场对原子的作用能可以表示成
以H0表示自由氢原子的Hamilton量，则电场作用过程中总Hamilton量为
电子的波函数满足Schr6dinger方程
初始条件为
为了便于用初等方法求解式（3），我们采取的下列表示形式：
的图形如下图所示．注意
图11-1
式（5）显然也给出同样的结果．利用式（5）．，可以将式（1）等价地表示成
下面将在相互作用表象中求解方程（3），即令
代入式（3），并用算符左乘之，得到
其中
一般来说，H'和H0不对易，但因H'仅在
因此一H'，代入式（8）即得
再利用式（1'），即得
初始条件（4）等价于
方程（11）满足初始条件的解显然是
代入式（7），即得
这是方程（3）的精确解．
t＞0时（电场作用以后）发现电子仍处于基态的概率为
计算中利用了公式
利用基态波函数的具体形式
容易算出
a o为Bohr半径．将上式代入式（15），即得所求概率为
这正是上题用微扰论求得的结果，为跃迁到各激发态的概率总和．
11.3 考虑一个二能级体系，Hamilton量H0表示为（能量表象）
设t＝0时刻体系处于基态，后受到微扰H'作用（α，β，γ为实数）求t时刻体系跃迁到激发态的概率．
【解答与分析见《量子力学习题精选与剖析》[上]，10.4题】
10.4 有一个二能级体系，Hamilton量记为H0，能级和能量本征态记为E1，。