例谈抽象函数的周期性
对抽象函数周期性的认识
对抽象函数周期性的认识麻城实验高中 阮 晓 锋对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。
可见周期函数是一类特殊的函数，下面就谈谈我对抽象函数周期性的认识。
几种特殊的抽象函数的周期：设函数()y f x =对定义域内任一实数x 满足：（1）()(x)f x T f ±=(T ≠0），则T 是函数()y f x =的一个周期，且kT （k єZ)也是其周期 推论：若(+)=(+)f x a f x b ，则T=b-a 是函数()y f x =的一个周期。
（2)()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； 推论：若函数)(x f y = 定义域为R ，且满足条件)()(b x f x a f --=+，则)(x f y =是 以)(2b a T +=为周期的周期函数。
(3）()()1f x a fx +=±，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；（4）()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；（5）1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.（6）()+1(+)=()-1f x f x a f x ，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.（7）1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.（8）1()()1()f x f x a f x ++=-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.（9）若函数f(x)有一条对称轴x=a 和一个对称点(b,c)，那么该函数一定为周期函数，且 其中一个周期为T ＝4|a －b|推论：若奇函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），则其周期为4T a =。
抽象函数单调性、奇偶性、周期性和对称性典例分析
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性一、典例分析1.求函数值例 1.设是上的奇函数，当时，，则等于（）（A）0.5; （B）-0.5; （C）1.5; （D）-1.5.例2．已知是定义在实数集上的函数，且，求的值.。
2、比较函数值大小例 3.若是以2为周期的偶函数，当时，试比较、、的大小.3、求函数解析式例4.设是定义在区间上且以2为周期的函数，对，用表示区间已知当时，求在上的解析式.例5．设是定义在上以2为周期的周期函数，且是偶函数，在区间上，求时，的解析式.4、判断函数奇偶性例6.已知的周期为4，且等式对任意均成立，判断函数的奇偶性.5、确定函数图象与轴交点的个数例7.设函数对任意实数满足，判断函数图象在区间上与轴至少有多少个交点.6、在数列中的应用例8.在数列中，，求数列的通项公式，并计算7、在二项式中的应用例9.今天是星期三，试求今天后的第天是星期几？8、复数中的应用例10.（上海市1994年高考题）设，则满足等式且大于1的正整数中最小的是（A） 3 ；（B）4 ；（C）6 ；（D）7.9、解“立几”题例11.ABCD—是单位长方体，黑白二蚁都从点A出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”。
白蚁爬行的路线是黑蚁爬行的路线是它们都遵循如下规则：所爬行的第段所在直线与第段所在直线必须是异面直线（其中.设黑白二蚁走完第1990段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是（A）1；（B）；（C）；（D）0.例题与应用例1：f(x) 是R上的奇函数f(x)=－ f(x+4) ，x∈[0，2]时f(x)=x，求f(2007) 的值例2：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+2)[1－f(x)]=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009) 的值。
例3：已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当时，f(x)=－2x+1，则当时求f(x)的解析式例4：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+999)=，f(999+x)=f(999－x)，试判断函数f(x)的奇偶性.例5：已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当时，f(x)是减函数，求证当时f(x)为增函数例6：f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调.求a的值.例7：已知f(x)是定义在R上的函数，f(x)= f(4－x)，f(7+x)= f(7－x),f(0)=0，求在区间[－1000，1000]上f(x)=0至少有几个根？例8、函数y＝f(x)是定义在实数集R上的函数，那么y＝－f(x＋4)与y＝f(6－x)的图象之间（）A．关于直线x＝5对称 B．关于直线x＝1对称 C．关于点（5，0）对称 D．关于点（1，0）对称例9、设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于x＝1对称，证明f(x)是周期函数。
抽象函数的周期性研究_陈维华
抽象函数的周期性研究山东济宁市育才中学272100陈维华强海萍关于抽象函数的周期性研究，多见于报刊，但都不够全面，现将常见的类型归结于下，供参考.1.若函数f（x）（x∈R）满足f（x+a）=f（x+ b），则f（x）（x∈R）是周期为a－b的函数.证明令x'=x+b，则x+a=x+b+（a－b）=x'+（a－b），由已知条件f（x+a）=f（x+b）得f（x'）=f（x'+（a－b）），即a－b为函数f（x）的一个周期.2.若函数f（x）（x∈R）满足f（x+a）=f（－x +a），f（x+b）=f（－x+b），则f（x）（x∈R）是周期为2（a－b）的函数.证明由f（x+a）=f（－x+a）得f（x+2a）=f（－x），同理f（x+2b）=f（－x），即f（x+2a）= f（x+2b）.由1，得2（a－b）是函数f（x）（x∈R）的一个周期.3.若函数f（x）（x∈R）满足f（x+a）=－f（x +b），则f（x）（x∈R）是周期为2（a－b）的函数.证明方法同1，略.4.若函数f（x）（x∈R）满足f（x+a）=－f（－x+a），f（x+b）=－f（－x+b），则f（x）（x∈R）是周期为2（a－b）的函数.证明方法同2，略.5.若函数f（x）（x∈R）满足f（x+a）=f（－x +a），f（x+b）=－f（－x+b），则函数f（x）（x∈R）是周期为4（a－b）的函数.证明易得f（2a+x）=－f（2b+x），由3，知4（a－b）为函数f（x）（x∈R）的一个周期.6.若函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（x+a）+ f（x－a），则f（x）（x∈R）是周期为6a的函数.证明由f（x）=f（x+a）+f（x－a），有f（x+ a）=f（x+2a）+f（x），两式相加得，f（x－a）=－f（x+2a），即有f（x）=－f（x+3a）.由3知，6a为函数f（x）（x∈R）的一个周期.7.若函数f（x）（x∈R）满足f（x+a）f（x+b）=1，则f（x）（x∈R）是周期为2（a－b）的函数.证明令x'=x+b，则x+a=x+b+（a－b）=x'+（a－b），由已知得f（x'）f（x'+（a－b）= 1，f（x'+（a－b））f（x'+2（a－b）=1，两式相除得f（x'）=f（x'+2（a－b）），即（2a－b）是函数f（x）（x ∈R）的一个周期.注当函数f（x）（x∈R）满足f（x+a）f（x+ b）=－1时，其周期亦为2（a－b）．8.若函数f（x）（x∈R）满足f（x+a）=11－f（x），则f（x）（x∈R）是以2a为周期的函数.证明将f（x+a）=11－f（x）代入f（x+2a）=11－f（x+a），即可得f（x+2a）=f（x）．即2a是函数f（x）（x∈R）的一个周期.9.若函数f（x）（x∈R）满足f（x+a）= 1－f（x）1+f（x），则f（x）（x∈R）是以2a为周期的函数.证明方法同8.10.若函数f（x）（x∈R）满足f（x+a）= 1+f（x）1－f（x），则f（x）（x∈R）是以4a为周期的函数.证明方法同8.11.若函数f（x）（x∈R）满足f（x+a）= f（x）+1f（x）－1，则f（x）（x∈R）是以2a为周期的函数.证明方法同8.12.若函数f（x）（x∈R）是可导的周期函数，则其导函数f'（x）也是周期函数，且与f（x）有相同的周期.证明设T为f（x）（x∈R）的周期，则f（x+ T）=f（x），得f'（x+T）（x+T）'=f'（x），即f'（x +T）=f'（x）．14中学数学杂志2011年第5期ZHONGXUESHUXUEZAZHI。
抽象函数的周期性
抽象函数的周期抽象函数的周期没有具体公式，它需要掌握一定的规律，记住一些抽象函数的格式。
本文列出几种常见的抽象函数的周期类型，供大家参考（以下x 取定义域内的任意值且a 、b 、T 为非零常数，a ≠b ）。
1. f x f x T ()()=+型：f x ()的周期为T 。
证明：对x 取定义域内的每一个值时，都有f x T f x ()()+=，则f x ()为周期函数，T叫函数f x ()的周期。
2. f x a f x b ()()+=+型：f x ()的周期为||b a -。
证明：f x a f x b f x f x b a ()()()()+=+⇒=+-。
3. f x a f x ()()+=-型：f x ()的周期为2a 。
证明：f x a f x a a f x a f x ()[()]()[()]+=++=-+=--2=f x ()例. 设f x ()是R 上的奇函数，f x f x ()()+=-2，当01≤≤x 时，f x x ()=，则f (.)20055等于（ ）A. 0.5B. －0.5C. 1.5D. －1.54. f x a f x ()()+=-1型：f x ()的周期为2a 。
证明：f x a f x a a f x a f x f x ()[()]()()()+=++=-+=--=2111。
5. f x a f x ()()+=1型：f x ()的周期为2a 。
证明：f x a f x a a f x a f x f x ()[()]()()()+=++=+==2111。
6. f x a f x f x ()()()+=+-11型：f x ()的周期为4a 。
证明：f x a f x a a f x a f x a ()[()]()()+=++=++-+211 =++--+-=-1111111f x f x f x f x f x ()()()()()， ∴f x a f x a a f x a f x f x ()[()]()()()+=++=-+=--=4221211。
例谈一类抽象函数的“周期性”
例谈一类抽象函数的“周期性”作者：李超来源：《中学数学杂志(高中版)》2019年第04期函数是高中数学的重要知识，也是高考考察的重要内容.抽象函数问题将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和图象集于一身，综合考察了函数基本概念、各类性质以及数形结合的数学思想，所以在高考中不断出现.通过调查发现，现阶段对于抽象函数的研究多集中以下几个方面：1.通过赋值（数值、代数式），求函数在特定点的函数值、最值以及解析式，或判断函数的单调性、奇偶性以及周期性;2.采取“模型函数”，将抽象函数具体化，并借助“模型函数”猜测函数所具有的性质，来研究函数相应性质;3.构造可导抽象函数，利用导数来研究抽象函数的单调性，解决抽象不等式问题;4.通过几类常见的抽象函数模型，研究抽象函数的周期性和对称性.上述研究基本涵盖了抽象函数的各个知识点.但在今年高考中，出现了一类抽象函数，其表达形式与周期性的抽象表达形式相似但又不同.我们又该如何处理呢？下来我们先欣赏一下题目：上述变换过程，与我们所熟知的“左加右减”，“上加下减”有所不同.我们“左加右减”，“上加下减”的变换法则是针对于两个不同函数之间的图象关系，而我们上述变换法则针对的是同一个函数之间内部函数值的关系，是函数f（x）在不同的点处的函数值的关系，两者截然不同.以上通过对一道高考题的深入研究，层层递进，从特殊到一般探究出一类抽象函数“周期性”，综合考察了函数基本的定义域、值域、周期性以及数形结合的数学思想，这也体现出高考试题凝聚了众多专家的心血，其每一道题都有着自己的独特的背景意义.这就要求我们在平时的教学过程中，深入研究，才会有意想不到的收获.参考文献[1];赵春祥. 赋值法在抽象函数中的应用[J].中学数学，2003，10.[2];龍志明. 联想“模型函数”破解抽象函数题[J]. 中学数学杂志（高中）， 2007，1.[3];虞懿. 例析构造可导抽象函数解题[J]. 中学数学教学， 2016，1.[4];严循跃. 例谈抽象函数的周期性[J].中学数学教学， 2015，3.。
抽象函数的周期问题的探讨
抽象函数的周期问题的探讨一、知识点：1.对于定义域内任意的x ，存在非零常数T ，使得)()(x f T x f =+成立，那么T 是)(x f 的一个周期。
2.若)(x f 满足)()(b x f a x f +=+恒成立，其中b a ,均为常数，且b a ≠，则b a T -=是函数)(x f 的一个周期。
3.)(1)(x f a x f ±=+，则T=a 2 二、典型例题：1、已知函数)(x f 是定义域为R 的奇函数，它的图像关于1=x 对称（1）求)0(f 的值（2）证明：函数)(x f 是周期函数（3）若)1()(≤<=x o x x f ，求R x ∈时，函数)(x f 的解析式2、设)(x f y =是定义在R 上的函数，且满足等式)10()10(x f x f -=+，),20()20(x f x f +-=-则)(x f y =是（ ）A.偶函数，又是周期函数B.偶函数，但不是周期函数C.奇函数，又是周期函数D.奇函数，但不是周期函数3、设)(x f 是定义在R 上的偶函数，其图像关于直线1=x 对称，对于任意的,1x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,02x ，都有)()()(2121x f x f x x f =+ （1）设,2)1(=f 求)41(),21(f f（2）证明)(x f 是周期函数推广：1.设)(x f 是定义在R 上的偶函数，其图像关于)0(≠=a a x 对称，证明)(x f 是周期函数，且a 2是它的一个周期2. 设)(x f 是定义在R 上的函数，其图像关于直线b x a x == (a b ≠)对称，证明)(x f 是周期函数，且)(2a b -是它的一个周期3. 设)(x f 是定义在R 上的奇函数，其图像关于直线1=x 对称，证明)(x f 是周期函数，且4是它的一个周期4. 设)(x f 是定义在R 上的函数，其图像关于)0,(a M 中心对称，且其图像关于)(b a b x ≠=对称，证明)(x f 是周期函数，且)(4a b -是它的一个周期5. 设)(x f 是定义在R 上的函数，其图像关于 )0,(a M 和)0,(b N 对称，证明)(x f 是周期函数，且)(2a b -是它的一个周期。
(六)抽象函数的周期性
周期性1、已知函数f(x)对任意实数x,都有 f(x ＋m)＝－f(x),求证:2m 是f(x)的一个周期. 证明：因为f(x ＋m)＝－f(x) 所以，f(x ＋2m)＝f[(x ＋m)＋m] ＝－f(x ＋m) ＝f(x)所以f(x)是以2m 为周期的周期函数.2、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x ＋m)＝f(x －m ),求证:2m 是f(x)的一个周期. 证明：因为f(x ＋m)＝f(x －m) 令x －m ＝t ，则x ＋m ＝t ＋2m于是f(t ＋2m)＝f(t)对于t ∈R 恒成立， 所以f(x)是以2m 为周期的周期函数.3、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x ＋m)＝)x (f 1)x (f 1+-,求证:2m 是f(x)的一个周期.证明：由已知f(x ＋2m)＝f[(x ＋m)＋m]1()11()1()1()11()f x f x m f x f x m f x ---++==++++＝f(x)所以f(x)是以2m 为周期的周期函数.4、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x ＋m)＝－)x (f 1)x (f 1+-,求证:4m 是f(x)的一个周期.证明：由已知f(x ＋2m)＝f[(x ＋m)＋m]1()11()11()1()()11()f x f x m f x f x m f x f x -+-++=-=-=-++-+ 于是f(x ＋4m)＝－)m 2x (f 1+＝f(x)所以f(x)是以4m 为周期的周期函数.5、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(a ＋x)＝f(a －x)且f(b ＋x)＝f(b －x),求证:2|a －b|是f(x)的一个周期.(a≠b) 证明：不妨设a ＞b于是f(x ＋2(a －b))＝f(a ＋(x ＋a －2b)) ＝f(a －(x ＋a －2b))＝f(2b －x) ＝f(b －(x －b))＝f(b ＋(x －b)) ＝f(x)∴ 2(a －b)是f(x)的一个周期 当a ＜b 时同理可得所以，2|a －b|是f(x)的周期6、已知函数f(x)的定义域为N ，且对任意正整数x ，都有f(x)＝f(x －1)＋f(x ＋1) 若f(0)＝2004，求f(2004)解：因为f(x)＝f(x －1)＋f(x ＋1) 所以f(x ＋1)＝f(x)＋f(x ＋2) 两式相加得0＝f(x －1)＋f(x ＋2) 即：f(x ＋3)＝－f(x) ∴ f(x ＋6)＝f(x)f(x)是以6为周期的周期函数 2004＝6×334∴ f(2004)＝f(0)＝2004习题:1、f(x)是定义在R 上的奇函数，f(－1)＝3，对任意的x ∈R ，均有： f(x ＋4)＝f(x)＋f ⑵，求f(2001)的值.2、f(x)是定义在T 上的以2为周期的周期函数，且是偶函数，当x ∈[2，3]时，f(x)＝x ，当x ∈[－2，0]时，求f(x)的解析式.3、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x ＋m)＝－)x (f 1,求证:2m 是f(x)的一个周期.4、已知函数f(x)对任意实数x,都有： f(m ＋x)＝f(m －x)，且f(x)是偶函数, 求证:2m 是f(x)的一个周期.5、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(m ＋x)＝f(m －x)，且f(x)是奇函数, 求证:4m 是f(x)的一个周期.周期性的应用1、函数)(x f 在（0，2）上是增函数，且)2(+x f 是偶函数，那么下列不等式成立的是（ ）2、设f x x R ()()∈是以3为周期的奇函数， 且f f a ()()112>=，，则（ ）3、设)(x f 是定义在R 上的奇函数， 2)1(=f ，且)6()1(+=+x f x f ，求)4()10(f f +的值4、)(x f 是定义在R 上的偶函数，图象关于直线2=x 对称，且x ∈[-2，2]时，1)(2+-=x x f ， 求：当x ∈[-6，-2]时，)(x f 的解析式5、)(x f 定义域为R ，)()2(x f x f -=+。
例析抽象型周期函数的周期求法
例析抽象型周期函数的周期求法
抽象型周期函数是在线性代数、几何等领域的基本概念，是指由其他种类的有限长度无穷循环复制而成的函数。
在这里，我们来谈谈抽象型周期函数的周期求法。
通常，在线性代数中有把多项式表示为域上相同的形式。
那么，抽象型周期函数的周期就可以从多项式的系数和步长来求得。
具体的求法如下：
1、首先，要用基向量（也就是把多项式的系数用v1、v
2、v3……表示）来表示多项式形式的抽象型周期函数；
2、把所有v1、v2、v3……的向量的夹角的最小值求出来，他就是该抽象函数的周期；
3、最后，将求出的最小值乘以多项式的步长，就是抽象型周期函数的周期。
以上就是抽象型周期函数的周期求法，它首先要用基向量来表示多项式形式的抽象函数，然后求出向量夹角的最小值，最后再乘以多项式的步长，就可以得到抽象型周期函数的周期了。
由此可见，抽象型周期函数的周期是一种很有用的求法，有助于我们研究和解决线性代数以及几何等领域的问题。