高二数学直线与圆的位置关系练习题及答案
一．选择题（共11小题）1．（2010•泰安二模）如图所示，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若AD=3，AC=2，则cosD的值为（）A．B．C．D．2．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上．如果∠P=50°，那么∠ACB等于（）A．40°B．50°C．65°D．130°3．如图，AB是⊙O的弦，C是AB的三等分点，连接OC并延长交⊙O于点D．若OC=3，CD=2，则圆心O到弦AB的距离是（）A．6B．9﹣C．D．25﹣34．如图，A、B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线，∠B=70°，则∠BAC等于（）A．70°B．35°C．20°D．10°5．如图，圆内接△ABC的外角∠ACH的平分线与圆交于D点，DP⊥AC，垂足是P，DH⊥BH，垂足是H，下列结论：①CH=CP；②AD=DB；③AP=BH；④DH为圆的切线．其中一定成立的是（）A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③6．如图，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，则∠A的大小为（）A．70°B．80°C．90°D．99°7．（2011•太原模拟）如图，过⊙O外一点P作一条直线与⊙O交于A、B两点，已知PA=2，点P到⊙O的切线长PT=4，则弦AB的长为（）A．4B．6C．8D．108．（2009•崇文区一模）如图，半径相等的两圆⊙O1，⊙O2相交于P，Q两点．圆心O1在⊙O2上，PT是⊙O1的切线，PN是⊙O2的切线，则∠TPN的大小是（）A．90°B．120°C．135°D．150°9．如图⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F；若∠ABC=40°，∠ACB=60°，连接OE、OF，则∠EOF为（）A．30°B．45°C．100°D．90°10．如图，PA、PB、DE分别与⊙O相切，若∠P=40°，则∠DOE等于（）度．A．40 B．50 C．70 D．8011．（2009•宣武区一模）如图，AB是⊙O的直径，DE为⊙O的切线，切点为B，点C在⊙O上，若∠CBE=40°，则∠A的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°二．填空题（共10小题）12．（2012•广东）如图所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA=∠DBA．若AD=m，AC=n，则AB=_________．13．（2014•陕西二模）如图，已知PA是⊙O的切线，A为切点．PC是⊙O的一条割线，交⊙O于B，C两点，点Q是弦BC的中点．若圆心O在∠APB内部，则∠OPQ+∠PAQ的度数为_________．14．（2011•广东）如图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB=7，C是圆上一点使得BC=5，∠BAC=∠APB，则AB=_________．15．（2007•广东）如图所示，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，垂足为D，则∠DAC=_________．16．（2005•山西）如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，且∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠BOC=_________度．17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB．（1）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；（2）若AB=2，AE=6，求EC的长．18．（2010•天津）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若，则的值为_________．19．（2010•北京）如图，⊙O的弦ED，CB的延长线交于点A．若BD⊥AE，AB=4，BC=2，AD=3，则DE=_________；CE=_________．20．（2010•徐州二模）如图AB、AC是⊙O的两条弦，∠A=30°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D 的度数为_________度．21．（2010•湖南模拟）如图，AB为半圆O的直径，OC⊥AB，OD平分∠BOC，交半圆于点D，AD交OC于点E，则∠AEO的度数是_________度．三．解答题（共9小题）22．△ABC中，∠A外角的平分线与此三角形外接圆相交于P，求证：BP=CP．23．（2010•辽宁）如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E．（1）证明：△ABE∽△ADC；（2）若△ABC的面积S=AD•AE，求∠BAC的大小．24．（2011•辽宁）如图，A、B、C、D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED．（Ⅰ）证明：CD∥AB；（Ⅱ）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A、B、G、F四点共圆．25．（2010•宁夏）如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．（Ⅱ）BC2=BE×CD．26．（2012•邯郸一模）选做题如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，AD⊥CE，垂足为D，AC平分∠BAD．（Ⅰ）求证：直线CE是⊙O的切线；（Ⅱ）求证：AC2=AB•AD．27．（2013•辽宁）选修4﹣1：几何证明选讲如图，AB为⊙O直径，直线CD与⊙O相切与E，AD垂直于CD于D，BC垂直于CD于C，EF垂直于F，连接AE，BE．证明：（I）∠FEB=∠CEB；（II）EF2=AD•BC．28．（2013•乌鲁木齐一模）选修4﹣1：几何证明选讲如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CE和⊙O切于点C，AD丄CE，垂足为D．（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；（Ⅱ）若AB=4AD，求∠BAD的大小．29．（2009•辽宁）选修4﹣1：几何证明讲已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧上的点（不与点A，C重合），延长BD至E．（1）求证：AD的延长线平分∠CDE；（2）若∠BAC=30°，△ABC中BC边上的高为2+，求△ABC外接圆的面积．30．（2013•文昌模拟）如图，已知点C在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，DC是∠ACB的平分线并交AE于点F、交AB于D点，求∠ADF．2014年05月30日1051948749的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．（2010•泰安二模）如图所示，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若AD=3，AC=2，则cosD的值为（）A．B．C．D．考点：圆周角定理．专题：计算题．分析：根据圆周角定理的推论，得∠B=∠D．根据直径所对的圆周角是直角，得∠ACD=90°．在直角三角形ACD 中，根据勾股定理，得CD=，则cosD==．解答：解：∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°．∵AD=3，AC=2，∴CD=．∴cosD==．故选B．点评：此题综合运用了圆周角定理的推论以及锐角三角函数的定义．属于基础题．2．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上．如果∠P=50°，那么∠ACB等于（）A．40°B．50°C．65°D．130°考点：圆周角定理；弦切角．专题：计算题．分析：先根据PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，∠P=50°，可求得∠AOB=130°，再利用圆周角定理，可求∠ACB的值．解答：解：∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B∴∠PBO=∠PAO=90°∵∠P=50°，∴∠AOB=130°∴故选C．点评：本题考查的重点是圆周角定理，解题的关键是利用四边形的内角和，确定圆心角，再求圆周角．3．如图，AB是⊙O的弦，C是AB的三等分点，连接OC并延长交⊙O于点D．若OC=3，CD=2，则圆心O到弦AB的距离是（）A．6B．9﹣C．D．25﹣3考点：圆內接多边形的性质与判定．分析：利用圆的相交弦定理和垂径定理、勾股定理即可得出．解答：解：如图所示，设AC=x，则BC=2x．由相交弦定理可得：AC×BC=DC×CE，∴2x2=2×（2+3+3），即x2=8，，∴AB=3x=．过点O作OF⊥AB，垂直为F，则AF=FB=3．∴CF==，在Rt△OCF中，=．故选C．点评：熟练掌握圆的相交弦定理和垂径定理、勾股定理是解题的关键．4．如图，A、B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线，∠B=70°，则∠BAC等于（）A．70°B．35°C．20°D．10°考点：圆內接多边形的性质与判定．专题：计算题；直线与圆．分析：先求圆心角，再利用弦切角等于弧所对圆心角的一半，即可得到结论．解答：解：∵OA=OB，∠B=70°，∴∠AOB=40°∵AC是⊙O的切线，∴∠BAC=∠AOB=20°故选C．点评：本题考查圆的切线，考查学生的计算能力，属于基础题．5．如图，圆内接△ABC的外角∠ACH的平分线与圆交于D点，DP⊥AC，垂足是P，DH⊥BH，垂足是H，下列结论：①CH=CP；②AD=DB；③AP=BH；④DH为圆的切线．其中一定成立的是（）A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③考点：圆的切线的判定定理的证明．专题：证明题；压轴题．分析：连接BD．证△PCD≌△HCD（HL）得CH=CP；再证明△ADP≌△BDH（AAS）得AD=DB；AP=BH，无法证明DH为圆的切线．解答：解：连接BD．由题意可证△PCD≌△HCD（HL），∴CH=CP；还可以证明△ADP≌△BDH（AAS），∴AD=DB；AP=BH．因圆的直径不确定，而无法证明DH为圆的切线．故选D．点评：此题主要考查角平分线的性质、全等三角形的判定、切线的判定．考查逻辑思维力、化归与转化思想．属于基础题．6．如图，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，则∠A的大小为（）A．70°B．80°C．90°D．99°考点：圆的切线的判定定理的证明．专题：选作题；几何证明．分析：根据切线长定理得EC=EB，则∠ECB=∠EBC=67°，再根结合内接四边形的对角互补得∠A=∠ECB+∠DCF=67°+32°=99°．解答：解：∵EB、EC是⊙O的切线，∴EB=EC，又∵∠E=46°，∴∠ECB=∠EBC=67°，∴∠BCD=180°﹣（∠BCE+∠DCF）=180°﹣99°=81°；∵四边形ADCB内接于⊙O，∴∠A+∠BCD=180°，∴∠A=180°﹣81°=99°．故选：D．点评：此题综合考查了切线长定理、圆内接四边形的性质和等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理等知识．7．（2011•太原模拟）如图，过⊙O外一点P作一条直线与⊙O交于A、B两点，已知PA=2，点P到⊙O的切线长PT=4，则弦AB的长为（）A．4B．6C．8D．10考点：圆的切线的性质定理的证明．专题：计算题；直线与圆．分析：首先根据题中圆的切线条件再依据切割线定理求得一个线段的等式，再根据线段的关系可求得AB的长度即可．解答：解：根据切割线定理PT2=PA•PB，PB===8，∴AB=PB﹣PA=8﹣2=6．故选B．点评：本题考查与圆有关的比例线段、平面几何的切割线定理，属容易题．8．（2009•崇文区一模）如图，半径相等的两圆⊙O1，⊙O2相交于P，Q两点．圆心O1在⊙O2上，PT是⊙O1的切线，PN是⊙O2的切线，则∠TPN的大小是（）A．90°B．120°C．135°D．150°考点：圆的切线的性质定理的证明．专题：计算题．分析：由题意可知△PO1O2是等边三角形，所以∠O1PO2=60°，又PT是⊙O1的切线，PN是⊙O2的切线，可以得到∠TPO1=∠NPO2=90°，由此即可求出∠TPN的度数．解答：解：∵半径相等的两圆⊙O1，⊙O2相交于P，Q两点，圆心O1在⊙O2上，∴△PO1O2是等边三角形，∴∠O1PO2=60°．∵PT是⊙O1的切线，PN是⊙O2的切线，∴∠TPO1=∠NPO2=60°，∴∠TPN=360°﹣90°﹣90°﹣60°=120°．故选B．点评：本题利用了等边三角形的判定和性质，切线的性质等知识解决问题，属于基础题．9．如图⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F；若∠ABC=40°，∠ACB=60°，连接OE、OF，则∠EOF为（）A．30°B．45°C．100°D．90°考点：圆的切线的性质定理的证明．专题：计算题．分析：首先根据三角形的内角和定理，得∠A=80°，再根据切线的性质定理以及四边形的内角和定理，得∠EOF=100°．解答：解：∵∠ABC=40°，∠ACB=60°，∴∠A=80°，∴∠EOF=180°﹣80°=100°．故选B．点评：此题要熟练运用切线的性质定理、四边形的内角和定理以及三角形的内角和定理．10．如图，PA、PB、DE分别与⊙O相切，若∠P=40°，则∠DOE等于（）度．A．40 B．50 C．70 D．80考点：弦切角．专题：证明题．分析：连接OA、OB、OP，由切线的性质得∠AOB=140°，再由切线长定理求得∠DOE的度数．解答：解：连接OA、OB、OP，∵∠P=40°，∴∠AOB=140°，∵PA、PB、DE分别与⊙O相切，∴∠AOD=∠POD，∠BOE=∠POE，∴∠DOE=∠AOB=×140°=70°．故选C．点评：本题考查了弦切角定理和切线长定理，是基础知识，要熟练掌握．11．（2009•宣武区一模）如图，AB是⊙O的直径，DE为⊙O的切线，切点为B，点C在⊙O上，若∠CBE=40°，则∠A的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°考点：弦切角．专题：常规题型．分析：根据弦切角定理可求∠A=∠CBE=40°．解答：解：∵AB是⊙O的直径，DE为⊙O的切线，∠CBE=40°，∴∠A=∠CBE=40°．故选B．点评：本题考查了弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角．属于容易题．二．填空题（共10小题）12．（2012•广东）如图所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA=∠DBA．若AD=m，AC=n，则AB=．考点：弦切角；与圆有关的比例线段．专题：计算题；压轴题．分析：利用题设条件，由弦切角定理得∠PBA=∠C=∠DBA，故△ABD∽△ACB，，由此能求出结果．解答：解：如图所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∵∠PBA=∠DBA．若AD=m，AC=n，∴由弦切角定理得∠PBA=∠C=∠DBA，∴△ABD∽△ACB，∴，∴AB2=AC•AD=mn，即．故答案为：．点评：本题考查与圆有关的线段的应用，是基础题．解题时要认真审题，注意弦切角定理的合理运用．13．（2014•陕西二模）如图，已知PA是⊙O的切线，A为切点．PC是⊙O的一条割线，交⊙O于B，C两点，点Q是弦BC的中点．若圆心O在∠APB内部，则∠OPQ+∠PAQ的度数为90°．考点：弦切角．专题：直线与圆．分析：连结AO，QO，由已知条件推导出OA⊥PA，OQ⊥PQ，从而得到A，P，Q，O四点共圆，由此能求出∠OPQ+∠PAQ的值．解答：解：连结AO，QO，∵PA是⊙O的切线，A为切点．PC是⊙O的一条割线，交⊙O于B，C两点，点Q是弦BC的中点，∴OA⊥PA，OQ⊥PQ，∴∠PAO+∠PQO=180°，∴A，P，Q，O四点共圆，∴∠OPQ=∠OAQ，∵∠OAQ+PAQ=90°，∴∠OPQ+∠PAQ=90°．故答案为：90°．点评：本题考查两角和的求法，是中档题，解题时要注意四点共圆的证明及其应用．14．（2011•广东）如图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB=7，C是圆上一点使得BC=5，∠BAC=∠APB，则AB=．考点：圆的切线的性质定理的证明．专题：计算题；压轴题．分析：根据同弧所对的圆周角与弦切角相等，得到∠C=∠BAP，根据所给的两个角相等，得到两个三角形相似，根据相似三角形对应边成比例，得到比例式，代入已知的长度，求出结果．解答：解：∵∠BAC=∠APB，∠C=∠BAP，∴△PAB∽△ACB，∴∴AB2=PB•BC=7×5=35，∴AB=，故答案为：．点评：本题可选圆的切线的性质的应用，考查同弧所对的圆周角等于弦切角，考查三角形相似的判断和性质，本题是一个综合题目．15．（2007•广东）如图所示，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，垂足为D，则∠DAC=30°．考点：圆的切线的性质定理的证明．专题：计算题；压轴题．分析：根据同弧所对的圆周角与弦切角相等可知∠DCA=∠B=60°，根据两条直线垂直得到三角形ADC是一个直角三角形，求出60°角的余角即可．解答：解：根据同弧所对的圆周角与弦切角相等可知∠DCA=∠B=60°，又AD⊥l，∴∠ADC=90°∴∠DAC=90°﹣60°=30°．故答案为：30°点评：本题考查圆的切线的性质定理的证明，考查同弧所对的圆周角和弦切角相等，是一个比较简单的综合题目，是一个送分题．16．（2005•山西）如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，且∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠BOC=115度．考点：圆的切线的判定定理的证明．专题：计算题；压轴题．分析：由三角形内切定义可知：OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线；再利用角平分线的定义可知∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB），代入数值即可求答案．解答：解：∵OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（50°+80°）=65°，∴∠BOC=180°﹣65°=115°．故答案为：115°．点评：本题通过三角形内切圆，考查切线的性质、圆的切线的判定定理的证明．17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB．（1）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；（2）若AB=2，AE=6，求EC的长．考点：圆的切线的判定定理的证明；与圆有关的比例线段．专题：选作题；几何证明．分析：（1）要证明AC是△BDE的外接圆的切线，故考虑取BD的中点O，只要证明OE⊥AC，结合∠C=90°，证明BC∥OE即可（2）设⊙O的半径为r，则在△AOE中，由OA2=OE2+AE2，可求r，代入可得OA，2OE，Rt△AOE中，可求∠A，∠AOE，进而可求∠CBE=∠OBE，在△BCE中，通过EC与BE的关系可求．解答：解（1）取BD的中点O，连接OE．∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE．又∵OB=OE，∴∠OBE=∠BEO，∴∠CBE=∠BEO，∴BC∥OE．…3分∵∠C=90°，∴OE⊥AC，∴AC是△BDE的外接圆的切线．（2）设⊙O的半径为r，则在△AOE中，OA2=OE2+AE2，即（r+2）2=r2+62，解得r=2，∴OA=2OE，∴∠A=30°，∠AOE=60°．∴∠CBE=∠OBE=30°．∴EC=BE==3．点评：本题主要考查了切线的判定定理的应用，直角三角形基本关系的应用，属于基本知识的简单综合．18．（2010•天津）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若，则的值为．考点：圆內接多边形的性质与判定．专题：计算题．分析：由题中条件：“四边形ABCD是圆O的内接四边形”可得两角相等，进而得两个三角形相似得比例关系，最后求得比值．解答：解：因为A，B，C，D四点共圆，所以∠DAB=∠PCB，∠CDA=∠PBC，因为∠P为公共角，所以△PBC∽△PDA，所以．设PB=x，PC=y，则有，所以．故填：．点评：本题主要考查四点共圆的性质与相似三角形的性质，属于中等题．温馨提示：四点共圆时四边形对角互补，圆与三角形综合问题是高考中平面几何选讲的重要内容，也是考查的热点．19．（2010•北京）如图，⊙O的弦ED，CB的延长线交于点A．若BD⊥AE，AB=4，BC=2，AD=3，则DE=5；CE=．考点：圆內接多边形的性质与判定．专题：计算题．分析：首先根据题中圆的切线条件再依据割线定理求得一个线段AE的长，再根据勾股定理的线段的关系可求得CE的长度即可．解答：解：首先由割线定理不难知道AB•AC=AD•AE，于是AE=8，DE=5，又BD⊥AE，故BE为直径，因此∠C=90°，由勾股定理可知CE2=AE2﹣AC2=28，故CE=．故填：5．点评：本题考查与圆有关的比例线段、平面几何的切割线定理，属容易题．20．（2010•徐州二模）如图AB、AC是⊙O的两条弦，∠A=30°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D 的度数为30度．考点：圆周角定理．专题：计算题．分析：连接OC，则∠OCD=90°，由圆周角定理知，∠COB=2∠A=60°，即可求∠D=90°﹣∠COB=30°．解答：解：连接OC，∴∠OCD=90°，∴∠COB=2∠A=60°，∴∠D=90°﹣∠COB=30°．故答案为：30．点评：本题利用了切线的概念和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．21．（2010•湖南模拟）如图，AB为半圆O的直径，OC⊥AB，OD平分∠BOC，交半圆于点D，AD交OC于点E，则∠AEO的度数是67.5度．考点：圆周角定理．专题：计算题．分析：欲求∠AEO，需先求出∠OAD的度数；OD平分直角∠COB，易得∠BOD=45°；根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系，即可求得∠OAD的度数，由此得解．解答：解：∵OD平分∠BOC，且∠BOC=90°，∴∠BOD=∠BOC=45°；∴∠OAD=∠BOD=22.5°；Rt△AEO中，∠AOE=90°，则∠AEO=90°﹣∠OAE=67.5°．故答案为：67.5．点评：此题主要考查了角平分线的性质及圆周角定理的应用．属于基础题之列．三．解答题（共9小题）22．△ABC中，∠A外角的平分线与此三角形外接圆相交于P，求证：BP=CP．考点：圆周角定理．专题：证明题．分析：根据同弧所对的圆周角相等和圆内接四边形的一个外角等于不相邻的内角，得到角相等，根据等量代换得到同一个三角形的内角相等，得到三角形是一个等腰三角形，得到两条线段相等．解答：证明：∠CBP=∠CAP=∠PAD又∠1=∠2由∠CAD=∠ACB+∠CBA=∠ACB+∠CBP+∠2=∠ACB+∠1+∠CBP=∠BCP+∠CBP∴∠BCP=∠CBP，∴BP=CP．点评：本题考查圆周角定理，考查圆内接四边形的一个外角等于不相邻的内角，考查等量代换，考查要证明两条线段相等先证明两个角相等，本题是一个基础题．23．（2010•辽宁）如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E．（1）证明：△ABE∽△ADC；（2）若△ABC的面积S=AD•AE，求∠BAC的大小．考点：圆內接多边形的性质与判定．专题：计算题；证明题．分析：（1）要判断两个三角形相似，可以根据三角形相似判定定理进行证明，但注意观察已知条件中给出的是角的关系，故采用判定定理1更合适，故需要再找到一组对应角相等，由圆周角定理，易得满足条件的角．（2）根据（1）的结论，我们可得三角形对应对成比例，由此我们可以将△ABC的面积转化为S=AB•AC，再结合三角形面积公式，不难得到∠BAC的大小．解答：证明：（1）由已知△ABC的角平分线为AD，可得∠BAE=∠CAD因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，所以∠AEB=∠ACD故△ABE∽△ADC．解：（2）因为△ABE∽△ADC，所以，即AB•AC=AD•AE．又S=AB•ACsin∠BAC，且S=AD•AE，故AB•ACsin∠BAC=AD•AE．则sin∠BAC=1，又∠BAC为三角形内角，所以∠BAC=90°．点评：相似三角形有三个判定定理：判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似；判定定理2：三边对应成比例的两个三角形相似；判定定理3：两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似．在证明三角形相似时，要根据已知条件选择适当的定理．24．（2011•辽宁）如图，A、B、C、D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED．（Ⅰ）证明：CD∥AB；（Ⅱ）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A、B、G、F四点共圆．考点：圆內接多边形的性质与判定．专题：证明题．分析：（I）根据两条边相等，得到等腰三角形的两个底角相等，根据四点共圆，得到四边形的一个外角等于不相邻的一个内角，高考等量代换得到两个角相等，根据根据同位角相等两直线平行，得到结论．（II）根据第一问做出的边和角之间的关系，得到两个三角形全等，根据全等三角形的对应角相等，根据平行的性质定理，等量代换，得到四边形的一对对角相等，得到四点共圆．解答：解：（I）因为EC=ED，所以∠EDC=∠ECD因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC=∠EBA故∠ECD=∠EBA，所以CD∥AB（Ⅱ）由（I）知，AE=BE，因为EF=EG，故∠EFD=∠EGC从而∠FED=∠GEC连接AF，BG，△EFA≌△EGB，故∠FAE=∠GBE又CD∥AB，∠FAB=∠GBA，所以∠AFG+∠GBA=180°故A，B．G，F四点共圆点评：本题考查圆内接多边形的性质和判断，考查两直线平行的判断和性质定理，考查三角形全等的判断和性质，考查四点共圆的判断，本题是一个基础题目．25．（2010•宁夏）如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．（Ⅱ）BC2=BE×CD．考点：圆的切线的判定定理的证明；弦切角．专题：证明题．分析：（I）先根据题中条件：“”，得∠BCD=∠ABC．再根据EC是圆的切线，得到∠ACE=∠ABC，从而即可得出结论．（II）欲证BC2=BE x CD．即证．故只须证明△BDC～△ECB即可．解答：解：（Ⅰ）因为，所以∠BCD=∠ABC．又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE=∠ABC所以∠ACE=∠BCD．（5分）（Ⅱ）因为∠ECB=∠CDB，∠EBC=∠BCD，所以△BDC～△ECB，故．即BC2=BE×CD．（10分）点评：本题主要考查圆的切线的判定定理的证明、弦切角的应用、三角形相似等基础知识，考查运化归与转化思想．属于基础题．26．（2012•邯郸一模）选做题如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，AD⊥CE，垂足为D，AC平分∠BAD．（Ⅰ）求证：直线CE是⊙O的切线；（Ⅱ）求证：AC2=AB•AD．考点：圆的切线的判定定理的证明；与圆有关的比例线段．专题：计算题；证明题．分析：（I）连接OC，利用△OAC为等腰三角形，结合同角的余角相等，我们易结合AD⊥CE，得到OC⊥DE，根据切线的判定定理，我们易得到结论；（II）连接BC，我们易证明△ABC∽△ACD，然后相似三角形性质，相似三角形对应边成比例，易得到结论．解答：证明：（Ⅰ）连接OC，如下图所示：因为OA=OC，所以∠OCA=∠OAC又因为AD⊥CE，所以∠ACD+∠CAD=90°，又因为AC平分∠BAD，所以∠OCA=∠CAD，所以∠OCA+∠CAD=90°，即OC⊥CE，所以CE是⊙O的切线（Ⅱ）连接BC，因为AB是⊙O的直径，所以∠BCA=∠ADC=90°，因为CE是⊙O的切线，所以∠B=∠ACD，所以△ABC∽△ACD，所以，即AC2=AB•AD．点评：本题考查的知识点是圆的切线的判定定理，判断切线有两种思路，一是过圆上一点，证明直线与过该点的直径垂直；一是过圆心作直线的垂线，证明垂足在圆上．27．（2013•辽宁）选修4﹣1：几何证明选讲如图，AB为⊙O直径，直线CD与⊙O相切与E，AD垂直于CD于D，BC垂直于CD于C，EF垂直于F，连接AE，BE．证明：（I）∠FEB=∠CEB；（II）EF2=AD•BC．考点：圆的切线的性质定理的证明；与圆有关的比例线段．分析：（1）直线CD与⊙O相切于E，利用弦切角定理可得∠CEB=∠EAB．由AB为⊙O的直径，可得∠AEB=90°．又EF⊥AB，利用互余角的关系可得∠FEB=∠EAB，从而得证．（2）利用（1）的结论及∠ECB=90°=∠EFB和EB公用可得△CEB≌△FEB，于是CB=FB．同理可得△ADE≌△AFE，AD=AF．在Rt△AEB中，由EF⊥AB，利用射影定理可得EF2=AF•FB．等量代换即可．解答：证明：（1）∵直线CD与⊙O相切于E，∴∠CEB=∠EAB．∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°．∴∠EAB+∠EBA=90°．∵EF⊥AB，∴∠FEB+∠EBF=90°．∴∠FEB=∠EAB．∴∠CEB=∠EAB．（2）∵BC⊥CD，∴∠ECB=90°=∠EFB，又∠CEB=∠FEB，EB公用．∴△CEB≌△FEB．∴CB=FB．同理可得△ADE≌△AFE，∴AD=AF．在Rt△AEB中，∵EF⊥AB，∴EF2=AF•FB．∴EF2=AD•CB．点评：熟练掌握弦切角定理、直角三角形的互为余角的关系、三角形全等的判定与性质、射影定理等是解题的关键．28．（2013•乌鲁木齐一模）选修4﹣1：几何证明选讲如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CE和⊙O切于点C，AD丄CE，垂足为D．（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；（Ⅱ）若AB=4AD，求∠BAD的大小．考点：弦切角．专题：计算题．分析：（Ⅰ）利用切线的性质即可得出；（Ⅱ）利用相似三角形的性质即可得出．解答：证明：（Ⅰ）连接BC，∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°．∴∠B+∠CAB=90°∵AD⊥CE，∴∠ACD+∠DAC=90°，∵AC是弦，且直线CE和圆O切于点C，∴∠ACD=∠B∴∠DAC=∠CAB，即AC平分∠BAD；（Ⅱ）由（Ⅰ）知△ABC∽△ACD，∴，由此得AC2=AB•AD．∵AB=4AD，∴AC2=4AD•AD⇒AC=2AD，于是∠DAC=60°，故∠BAD的大小为120°．点评：熟练掌握切线的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．29．（2009•辽宁）选修4﹣1：几何证明讲已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧上的点（不与点A，C重合），延长BD至E．（1）求证：AD的延长线平分∠CDE；（2）若∠BAC=30°，△ABC中BC边上的高为2+，求△ABC外接圆的面积．考点：弦切角；圆內接多边形的性质与判定．专题：计算题；证明题．分析：首先对于（1）要证明AD的延长线平分∠CDE，即证明∠EDF=∠CDF，转化为证明∠ADB=∠CDF，再根据A，B，C，D四点共圆的性质，和等腰三角形角之间的关系即可得到．对于（2）求△ABC外接圆的面积．只需解出圆半径，故作等腰三角形底边上的垂直平分线即过圆心，再连接OC，根据角之间的关系在三角形内即可求得圆半径，可得到外接圆面积．解答：解：（Ⅰ）如图，设F为AD延长线上一点∵A，B，C，D四点共圆，∴∠CDF=∠ABC又AB=AC∴∠ABC=∠ACB，且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，对顶角∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF，即AD的延长线平分∠CDE．（Ⅱ）设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H，则AH⊥BC．连接OC，由题意∠OAC=∠OCA=15°，∠ACB=75°，∴∠OCH=60°．设圆半径为r，则r+r=2+，a得r=2，外接圆的面积为4π．故答案为4π．点评：此题主要考查圆内接多边形的性质问题，其中涉及到等腰三角形的性质，属于平面几何的问题，计算量小但综合能力较强，需要同学们多练多做题．30．（2013•文昌模拟）如图，已知点C在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，DC是∠ACB的平分线并交AE于点F、交AB于D点，求∠ADF．考点：圆的切线的判定定理的证明．分析：根据直径上的圆周角是直角、弦切角定理以及三角形内内角和定理等通过角的关系求解．解答：解：设∠EAC=α，根据弦切角定理，∠ABE=α．根据三角形外角定理，∠AEC=90°+α．根据三角形内角和定理，∠ACE=90°﹣2α．由于CD是∠ACB的内角平分线，所以FCE=45°﹣α．（5分）再根据三角形内角和定理，∠CFE=180°﹣（90°+α）﹣（45°﹣α）=45°．（7分）根据对顶角定理，∠AFD=45°．由于∠DAF=90°，所以∠ADF=45°．（10分）点评：本题的涉及很独到，试题涉及成动态的，即点C是可变的，在这个动态中求解其中的一个不变量．解决这类试题要善于抓住主要的变化关系，如本题中主要的变量就是∠AEC，抓住这个变量后，其余的角可以使用这个变量进行表达，通过各个角的关系证明求解的目标与这个变量没有关系．。
高二数学直线与圆的位置关系试题答案及解析
高二数学直线与圆的位置关系试题答案及解析1.圆与直线相切,正实数b的值为 ( )A．B．C．D．3【答案】B【解析】该圆的圆心坐标为，半径为，由题意知，又，。
【考点】直线与圆相切，圆心到直线的距离等于圆的半径。
2.过点的直线l与圆有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是A．B．C．D．【答案】D【解析】设直线l的倾斜角为，当时，直线l的斜率，则直线l的方程可写成：即：，由直线l与圆有公共点，得，，解得，故选D．【考点】１．直线与圆的位置关系；２．点到直线的距离．3.过原点且倾斜角为的直线被圆学所截得的弦长为(科网 )A．2B．2C．D．【答案】A.【解析】设直线与圆的交点为，，首先由题意知直线的方程为：，然后根据圆心到直线的距离公式计算得，于是可得弦长，即为所求.【考点】直线与圆的位置关系.4.在平面直角坐标系中，若圆上存在，两点关于点成中心对称，则直线的方程为 .【答案】x+y=3【解析】由题意，圆的圆心坐标为C（0，1），∵圆上存在A，B两点关于点P（1，2）成中心对称，∴CP⊥AB，P为AB的中点，∵，∴，∴直线AB的方程为y-2=-（x-1），即x+y-3=0．【考点】直线与圆的位置关系．5.已知曲线C上的动点P（）满足到定点A(-1,0)的距离与到定点B（1,0）距离之比为(1)求曲线C的方程。
(2)过点M(1,2)的直线与曲线C交于两点M、N，若|MN|=4，求直线的方程。
【答案】（1）：（或）；（2）或【解析】（1）根据动点P（x，y）满足到定点A（-1，0）的距离与到定点B（1，0）距离之比，建立方程，化简可得曲线C的方程．（2）分类讨论，设出直线方程，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理，即可求得直线l的方程．试题解析：（1）由题意得|PA|=|PB| 2分;故 3分;化简得：（或）即为所求。
5分;（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，将代入方程得，所以|MN|=4，满足题意。
直线与圆的位置关系练习题及参考答案
直线与圆的位置关系练习题及参考答案一、选择题1. 在平面上，已知点A(4,-2)，圆心O(1,3)，半径R=5. 则点A与圆的位置关系是：A. A在圆内B. A在圆上C. A在圆外答案： A. A在圆内2. 已知直线L的方程为2x - 3y = 6，圆C的方程为x^2 + y^2 = 25.则直线L与圆C的位置关系是：A. 直线L与圆C相切B. 直线L与圆C相交于两点C. 直线L与圆C不相交答案： B. 直线L与圆C相交于两点3. 在平面上，已知两个圆C1与C2，圆C1的半径为3，圆心坐标为(1,1)，圆C2的半径为2，圆心坐标为(-2,-3). 则两个圆的位置关系是：A. 两个圆相交于两点B. 两个圆内切C. 两个圆相离答案： C. 两个圆相离二、填空题1. 已知圆C的半径为2，圆心坐标为(3,5). 则圆心到原点的距离是______.答案： sqrt(3^2 + 5^2) = sqrt(34)2. 在平面上，已知直线L的方程为y = 2x + 1，圆C的半径为4，圆心坐标为(-1,2). 则直线L与圆C的位置关系可以表示为______.答案： (x+1)^2 + (y-2)^2 = 16三、解答题1. 如图所示，在平面上有一个圆C，其圆心坐标为(2,3)，半径为4. 请写出圆C的方程，并确定点A(-3,4)与圆C的位置关系。
解答：圆C的方程为：(x-2)^2 + (y-3)^2 = 16点A(-3,4)与圆C的位置关系可以通过计算点A到圆心的距离来判断。
点A到圆心的距离为：distance = sqrt((-3-2)^2 + (4-3)^2) = sqrt(25) = 5比较点A到圆C的距离与圆的半径的关系：若 distance < 4，则点A在圆内；若 distance = 4，则点A在圆上；若 distance > 4，则点A在圆外。
因为 distance = 5 > 4，所以点A在圆外。
高考数学专题《直线与圆的位置关系》习题含答案解析
专题9.2 直线与圆的位置关系1．（福建高考真题（理））直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“OAB ∆的面积为12”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】由1k =时,圆心到直线:1l y x =+的距离d =..所以1122OAB S ∆==.所以充分性成立,由图形的对成性当1k =-时,OAB ∆的面积为12.所以不要性不成立.故选A.2.（2018·北京高考真题（理））在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离，当θ、m 变化时，d 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】22cos sin 1θθ+=∴Q ，P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ，所以d 的最大值为1213OA +=+=，选C.3．（2021·全国高二单元测试）已知直线l 与直线1y x =+垂直，且与圆221x y +=相切，切点位于第一象限，则直线l 的方程是（ ）．A．0x y +=B ．10x y ++=C ．10x y +-=D．0x y +=【答案】A 【分析】根据垂直关系，设设直线l 的方程为()00x y c c ++=<，利用直线与圆相切得到参数值即可.【详解】由题意，设直线l 的方程为()00x y c c ++=<．练基础圆心()0,0到直线0x y c ++=1，得c =c =，故直线l 的方程为0x y +=．故选：A4．（2020·北京高考真题）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A 【分析】求出圆心C 的轨迹方程后，根据圆心M 到原点O 的距离减去半径1可得答案.【详解】设圆心(),C x y 1=，化简得()()22341x y -+-=，所以圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心，1为半径的圆，所以||1||OC OM +≥5==，所以||514OC ≥-=，当且仅当C 在线段OM 上时取得等号，故选：A.5.【多选题】（2021·吉林白城市·白城一中高二月考）若直线0x y m ++=上存在点P ，过点P 可作圆O ：221x y +=的两条切线PA ，PB ，切点为A ，B ，且60APB ∠=︒，则实数m 的取值可以为（ ）A ．3B ．C ．1D ．-【答案】BCD 【分析】先由题意判断点P 在圆224x y +=上，再联立直线方程使判别式0∆≥解得参数范围，即得结果.【详解】点P 在直线0x y m ++=上，60APB ∠=︒，则30APO OPB ∠=∠=︒，由图可知，Rt OPB V 中，22OP OB ==，即点P 在圆224x y +=上，故联立方程224x y x y m ⎧+=⎨++=⎩，得222240x mx m ++-=，有判别式0∆≥，即()2244240m m -⨯-≥，解得m -≤≤A 错误，BCD 正确.故选：BCD.6．（2022·江苏高三专题练习）已知大圆1O 与小圆2O 相交于(2,1)A ，(1,2)B 两点，且两圆都与两坐标轴相切，则12O O =____【答案】【分析】由题意可知大圆1O 与小圆2O 都在第一象限，进而设圆的圆心为(,)(0)a a a >，待定系数得5a =或1a =，再结合两点间的距离求解即可.【详解】由题知，大圆1O 与小圆2O 都在第一象限，设与两坐标轴都相切的圆的圆心为(,)(0)a a a >，其方程为222()()x a y a a -+-=，将点(1,2)或(2,1)代入，解得5a =或1a =，所以221:(5)(5)25O x y -+-=，222:(1)(1)1O x y -+-=，可得1(5,5)O ，2(1,1)O ，所以12||O O ==故答案为：7．（江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值为__________．【答案】43【解析】∵圆C 的方程为x 2+y 2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y 2=1，即圆C 是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴只需圆C ′：（x-4）2+y 2=4与直线y=kx-2有公共点即可．设圆心C （4，0）到直线y=kx-2的距离为d，2d 即3k 2≤4k，∴0≤k≤43，故可知参数k 的最大值为43.8.（2018·全国高考真题（文））直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________．【答案】【解析】根据题意，圆的方程可化为22(1)4x y ++=，所以圆的圆心为(0,1)-，且半径是2，根据点到直线的距离公式可以求得d ==，结合圆中的特殊三角形，可知AB ==，故答案为.9．（2021·湖南高考真题）过圆2240x y x +-=的圆心且与直线20x y +=垂直的直线方程为___________【答案】220x y --=【分析】根据圆的方程求出圆心坐标，再根据两直线垂直斜率乘积为1-求出所求直线的斜率，再由点斜式即可得所求直线的方程.【详解】由2240x y x +-=可得()2224x y -+=，所以圆心为()2,0，由20x y +=可得2y x =-，所以直线20x y +=的斜率为2-，所以与直线20x y +=垂直的直线的斜率为12，所以所求直线的方程为：()1022y x -=-，即220x y --=，故答案为：220x y --=.10.（2020·浙江省高考真题）设直线:(0)l y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切，则k =_______；b =______．【解析】设221:1C x y +=，222:(4)1C x y -+=，由题意，12,C C到直线的距离等于半径，即1=1=，所以||4b k b =+，所以0k =（舍）或者2b k =-，解得k b ==.1．（2020·全国高考真题（理））若直线l 与曲线y和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（）A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +12【答案】D 【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.【详解】设直线l在曲线y =(0x ，则00x >，函数y =y '=l的斜率k =，设直线l的方程为)0y x x =-，即00x x -+=，由于直线l 与圆2215x y +==两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍），则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+.练提升故选：D.2.【多选题】（2021·全国高考真题）已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（ ）A ．点P 到直线AB 的距离小于10B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当PBA ∠最小时，PB =D ．当PBA ∠最大时，PB =【答案】ACD 【分析】计算出圆心到直线AB 的距离，可得出点P 到直线AB 的距离的取值范围，可判断AB 选项的正误；分析可知，当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，利用勾股定理可判断CD 选项的正误.【详解】圆()()225516x y -+-=的圆心为()5,5M ，半径为4，直线AB 的方程为142xy+=，即240x y +-=，圆心M 到直线AB 4=>，所以，点P 到直线AB 42-<，410<，A 选项正确，B 选项错误；如下图所示：当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，连接MP 、BM ，可知PM PB ⊥，=，4MP =CD 选项正确.故选：ACD.3．【多选题】（2021·肥城市教学研究中心高三月考）已知圆22:230A x y x +--=，则下列说法正确的是（）A ．圆A 的半径为4B ．圆A 截y 轴所得的弦长为C ．圆A 上的点到直线34120x y -+=的最小距离为1D ．圆A 与圆22:88230B x y x y +--+=相离【答案】BC 【分析】将圆的一般方程转化为标准方程即可得半径可判断A ；利用几何法求出弦长可判断B ；求出圆心A 到直线的距离再减去半径可判断C ；求出圆B 的圆心和半径，比较圆心距与半径之和的大小可判断D ，进而可得正确选项.【详解】对于A ：由22230x y x +--=可得()2214x y -+=，所以A 的半径为2r =，故选项A 不正确；对于B ：圆心为()1,0到y 轴的距离为1d =，所以圆A 截y 轴所得的弦长为==B 正确；对于C ：圆心()1,0到直线34120x y -+=3，所以圆A 上的点到直线34120x y -+=的最小距离为3321r -=-=，故选项C 正确；对于D ：由2288230x y x y +--+=可得()()22449x y -+-=，所以圆心()4,4B ，半径3R =，因为5AB r R ===+，所以两圆相外切，故选项D 不正确；故选：BC.4．（2021·全国高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的取值范围是_______.【答案】403k ≤≤【分析】求出圆C 的圆心和半径，由题意可得圆心到直线的距离小于或等于两圆的半径之和即可求解.【详解】由228150x y x +-+=可得22(4)1x y -+=，因此圆C 的圆心为(4,0)C ，半径为1，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，只需点(4,0)C 到直线2y kx =-的距离112d =≤+=，即22(21)1k k -≤+，所以2340k k -≤，解得403k ≤≤，所以k 的取值范围是403k ≤≤，故答案为：403k ≤≤.5．（2021·富川瑶族自治县高级中学高一期中（理））直线()20y kx k =+>被圆224x y +=截得的弦长为________．【答案】60 【分析】由已知求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求得k ，然后利用斜率等于倾斜角的正切值求解．【详解】直线()20y kx k =+>被圆224x y +=截得的弦长为所以，圆心()0,0O 到直线20kx y -+=的距离1d ==，1=，解得)0k k =>．设直线的倾斜角为()0180θθ≤<，则tan θ=，则60θ= ．因此，直线()20y kx k =+>的倾斜角为60 ．故答案为：60 ．6．（2021·昆明市·云南师大附中高三月考（文））已知圆O : x 2+y 2=4， 以A (1,为切点作圆O 的切线l 1，点B 是直线l 1上异于点A 的一个动点，过点B 作直线l 1的垂线l 2，若l 2与圆O 交于D ， E 两点，则V AED 面积的最大值为_______.【答案】2【分析】由切线性质得2//OA l ，O 到直线2l 的距离等于A 到2l 的距离，因此ADEODE S S =!!，设O 到2l 距离为d ，把面积用d 表示，然后利用导数可得最大值．【详解】根据题意可得图，1OA l ⊥，所以2//OA l ，因此O 到直线2l 的距离等于A 到2l 的距离，ADEODE S S =!!，过点(00)O ，作直线2l 的垂线，垂足为F ，记||(20)OF d d =>>，则弦||DE =角形ADE 的面积为S ，所以12S d =g g ，将S 视为d 的函数，则S '=+ 1(2)2d d -当0d <<时，0S '>，函数()S d 2d <<时，0S '<，函数()S d 单调递减，所以函数()S d 有最大值，当d =max ()2S d =，故AED V 面积的最大值为2．故答案为：2．7．（2021·全国高三专题练习）已知ABC V 的三个顶点的坐标满足如下条件：向量(2,0)OB →=，(2,2)OC →=，,CA α→=)α，则AOB ∠的取值范围是________【答案】5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】先求出点A 的轨迹是以(2,2)C . 过原点O 作此圆的切线，切点分别为M 、N ，如图所示，连接CM ，CN ，得到MOB NOB θ∠∠…….所以15BOM ∠=︒，75BON ∠=︒，即得解.【详解】由题得||CA →=所以点A 的轨迹是以(2,2)C .过原点O 作此圆的切线，切点分别为M 、N ，如图所示，连接CM ，CN ，则向量OA →与OB →的夹角θ的范围是MOB NOB θ∠∠…….由图可知45COB ∠=︒.∵||OC →=1||||||2CM CN OC →→→==知30COM CON ∠=∠=︒，∴453015BOM ∠=︒-︒=︒，453075BON ∠=︒+︒=︒.∴1575θ︒︒…….故AOB ∠的取值范围为{}1575θθ︒≤≤︒丨.故答案为：{}π5π15751212θθ⎡⎤︒≤≤︒⎢⎥⎣⎦丨或，8．（2021·全国高三专题练习）已知x 、y R ∈，2223x x y -+=时，求x y +的最大值与最小值．【答案】最小值是1，最大值是1+【分析】根据2223x x y -+=表示圆()2214x y -+=，设x y b +=表示关于原点、x 轴、y 轴均对称的正方形，然后由直线与圆的位置关系求解.【详解】2223x x y -+=的图形是圆()2214x y -+=，既是轴对称图形，又是中心对称图形．设x y b +=，由式子x y +的对称性得知x y b +=的图形是关于原点、x 轴、y 轴均对称的正方形．如图所示：当b 变化时，图形是一个正方形系，每个正方形四个顶点均在坐标轴上，问题转化为正方形系中的正方形与圆有公共点时，求b 的最值问题．当1b <时，正方形与圆没有公共点；当1b =时，正方形与圆相交于点()1,0-，若令直线y x b =-+与圆()2214x y -+=相切，2，解得1b =±所以当1b =+当1b >+故x y +的最小值是1，最大值是1+．9．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中）已知ABC V 的内切圆的圆心M 在y 轴正半轴上，半径为1，直线210x y +-=截圆M （1）求圆M 方程；（2）若点C 的坐标为()2,4，求直线AC 和BC 的斜率；（3）若A ，B 两点在x 轴上移动，且AB 4=，求ABC V 面积的最小值.【答案】（1）22(1)1y x +-=；（2）2；（3）163.【分析】（1）设ABC V 的内切圆的圆心()0,M b ，先求得圆心到直线210x y +-=的距离，再根据直线截圆M （2）当直线AC 和BC 的斜率不存在时，设直线方程为2x =，易知不成立；当直线AC 和BC 的斜率存在时，设直线方程为()42y k x -=-，然后由圆心到直线的距离等于半径求解； （3）根据AB 4=，设()()(),0,4,040A t B t t +-<<，进而得到直线AC 和直线 BC 的斜率，写出直线AC 和BC 的方程，联立求得点C 的坐标，进而得到坐标系的最小值求解.【详解】（1）设ABC V 的内切圆的圆心()0,,0M b b >，圆心到直线210x y +-=的距离为d又因为直线截圆M21+=，解得1b =，所以圆M 方程()2211x y +-=；（2）当直线AC 和BC 的斜率不存在时，设直线方程为2x =，则圆心到直线的距离 0221d r =-=≠=，不成立，当直线AC 和BC 的斜率存在时，设直线方程为()42y k x -=-，即 240kx y k --+=，圆心到直线的距离d ，解得2k =（3）因为AB 4=，设()()(),0,4,040A t B t t +-<<，所以直线AC 的斜率为：2222tan 2111ACt t k MAO t t-=∠==---，同理直线BC 的斜率为： ()()222241411BCt t k t t --+==+-- ，所以直线AC 的方程为：()221ty x t t =---，直线BC 的方程为：()()()224441t y x t t -+=--+- ，由()()()()222124441t y x t t t y x t t ⎧=--⎪-⎪⎨-+⎪=--⎪+-⎩，解得 22224412841t x t t t t y t t +⎧=⎪⎪++⎨+⎪=⎪++⎩，即2222428,4141t t t C t t t t ⎛⎫++ ⎪++++⎝⎭，又 ()2222282222414123t t y t t t t t +==-=-+++++-，当2t =-时，点C 的纵坐标取得最小值83，所以ABC V 面积的最小值.18164233ABC S =⨯⨯=V .10．（2021·新疆乌鲁木齐市·乌市八中高二期末（文））已知直线l ：43100x y ++=，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的上方（1）求圆C 的方程；（2）过点()1,0M 的直线与圆C 交于A ，B 两点（A 在x 轴上方），问在x 轴正半轴上是否存在点N ，使得x 轴平分ANB ∠？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）224x y +=；（2）存在，()4,0N .【分析】（1）设出圆心坐标(),0C a ，根据直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于半径，由此求解出a 的值（注意范围），则圆C 的方程可求；（2）当直线AB 的斜率不存在时，直接根据位置关系分析即可，当直线AB 的斜率存在时，设出直线方程并联立圆的方程，由此可得,A B 坐标的韦达定理形式，根据AN BN k k =-结合韦达定理可求点N 的坐标.【详解】解：（1）设圆心(),0C a ，∵圆心C 在l 的上方，∴4100a +>，即52a >-，∵直线l ：43100x y ++=，半径为2的圆C 与l 相切，∴d r =，即41025a +=，解得：0a =或5a =-（舍去），则圆C 方程为224x y +=；（2）当直线AB x ⊥轴，则x 轴平分ANB ∠，当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为()1y k x =-，(),0N t ，()11,A x y ，()22,B x y ，由224(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩得，()22221240k x k x k +-+-=，所以212221k x x k +=+，212241k x x k -=+若x 轴平分ANB ∠，则AN BN k k =-，即()()1212110k x k x x tx t--+=--，整理得：()()12122120x x t x x t -+++=，即()()222224212011k k t t k k -+-+=++，解得：4t =，当点()4,0N ，能使得ANM BNM ∠=∠总成立．1．（2021·山东高考真题）“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的（ ）A ．充分没必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要条件【答案】C 【分析】由直线与圆相切的等价条件，易判断【详解】由于“圆心到直线的距离等于圆的半径”⇒“直线与圆相切”，因此充分性成立；“直线与圆相切”⇒“圆心到直线的距离等于圆的半径”，故必要性成立；可得“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的充要条件故选：C2．（2021·北京高考真题）已知直线y kx m =+（m 为常数）与圆224x y +=交于点M N ，，当k 变化时，若||MN 的最小值为2，则m = A ．±1B．C．D ．2±【答案】C 【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出m 【详解】由题可得圆心为()0,0，半径为2，则圆心到直线的距离d =则弦长为||MN =则当0k =时，弦长|MN取得最小值为2=，解得m =故选：C.3.（2020·全国高考真题（理））已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ）练真题A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=【答案】D 【解析】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点M 到直线l的距离为2d >，所以直线l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以14442PAM PM AB S PA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=V，而PA =，当直线MP l ⊥时，min MP =，min 1PA =，此时PM AB ⋅最小．∴()1:112MP y x -=-即1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得，10x y =-⎧⎨=⎩．所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即2210x y y +--=，两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程．故选：D.4．【多选题】（2021·全国高考真题）已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(,)A a b ，则下列说法正确的是（ ）A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切【答案】ABD 【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为222,a b r +的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.【详解】圆心()0,0C 到直线l的距离d =若点(),A a b 在圆C 上，则222a b r +=，所以d =则直线l 与圆C 相切，故A 正确；若点(),A a b 在圆C 内，则222a b r +<，所以d =则直线l 与圆C 相离，故B 正确；若点(),A a b 在圆C 外，则222a b r +>，所以d =则直线l 与圆C 相交，故C 错误；若点(),A a b 在直线l 上，则2220a b r +-=即222=a b r +，所以d =l 与圆C 相切，故D 正确.故选：ABD.5.（2021·山东高考真题）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆22670x my m +--=的圆心重合，长轴长等于圆的直径，那么短轴长等于______．【答案】【分析】由于22670x my m +--=是圆，可得1m =，通过圆心和半径计算,,a b c ，即得解【详解】由于22670x my m +--=是圆，1m ∴=即：圆22670x y x +--=其中圆心为()3,0，半径为4那么椭圆的长轴长为8，即3c =，4a =，b ==那么短轴长为故答案为：6．（2019·北京高考真题（文））设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．【答案】(x -1)2+y 2=4.【解析】抛物线y 2=4x 中，2p =4，p =2，焦点F （1,0），准线l 的方程为x =-1，以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 (x -1)2+y 2=22,即为(x -1)2+y 2=4.。
高二数学直线与圆的位置关系试题答案及解析
高二数学直线与圆的位置关系试题答案及解析1.求半径为10，且与直线相切于的圆的方程.【答案】或【解析】解题思路：设出所求圆的圆心坐标，根据题意可得，进而求出圆的标准方程.规律总结：直线圆的位置关系，主要涉及直线与圆相切、相交、相离，在解决直线圆的位置关系时，要注意结合初中平面几何中的直线与圆的知识.试题解析：设圆心为，则由题意得解得或所以所求圆的方程为或【考点】直线与圆的位置关系.2.如图，圆与坐标轴交于点.⑴求与直线垂直的圆的切线方程；⑵设点是圆上任意一点（不在坐标轴上），直线交轴于点，直线交直线于点，①若点坐标为，求弦的长；②求证：为定值.【答案】（1），（2）①：2，②：证明略.【解析】（1）所求直线与垂直，则斜率为负倒数关系，因此可依方程设出所求直线方程，利用圆心到此直线的距离为半径可求出此直线方程；（2）①为常考点，利用弦心距，半径，弦长的一半三者构成勾股定理的关系求解；②设直线的方程为：，把转化为含的代数式进行运算，也可设，把转化为含的代数式进行运算.试题解析：，直线，⑴设所求切线方程为：，则，所以：；⑵①：，圆心到直线的距离，所以弦的长为；（或由等边三角形亦可）.②解法一：设直线的方程为：存在，，则由，得，所以或，将代入直线，得，即，则，：，，，得，所以为定值．解法二：设，则，直线，则，，直线，又，与交点，，将，代入得，所以，得为定值.【考点】点到线的距离公式，直线的点斜式，斜截式方程，直线与圆相交问题，化归与转化思想3.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，（其中为参数，），在极坐标系（以坐标原点为极点，以轴非负半轴为极轴）中，曲线的极坐标方程为．（1）把曲线和的方程化为直角坐标方程；（2）若曲线上恰有三个点到曲线的距离为，求曲线的直角坐标方程．【答案】（1）曲线的直角坐标方程为：；曲线的直角坐标方程为；（2）曲线的直角坐标方程为．【解析】（1）对于曲线，把已知参数方程第一式和第二式移向，使等号右边分别仅含、，平方作和后可得曲线的直角坐标方程；对于曲线，把代入极坐标方程的展开式中即可得到曲线的直角坐标方程．（2）由于圆的半径为，所以所求曲线与直线平行，且与直线相距时符合题意．利用两平行直线的距离等于，即可求出，进而得到曲线的直角坐标方程．试题解析：（1）曲线的参数方程为，即，将两式子平方化简得，曲线的直角坐标方程为：；曲线的极坐标方程为，即，所以曲线的直角坐标方程为．（2）由于圆的半径为，故所求曲线与直线平行，且与直线相距时符合题意．由，解得．故曲线的直角坐标方程为．【考点】圆的参数方程；直线与圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程．4.直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同的交点的一个充分不必要条件为()．A．m＜1B．－3＜m＜1C．－4＜m＜2D．0＜m＜1【答案】D【解析】联立直线与圆的方程得：，消去y得：2x2+（2m-2）x+m2-1=0，由题意得：△=（2m-2）2-8（m2-1）=-4（m+1）2+16＞0，变形得：（m+3）（m-1）＜0，解得：-3＜m＜1，∵0＜m＜1是-3＜m＜1的一个真子集，∴直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是0＜m＜1．故选D．【考点】直线与圆相交的性质；以及充分必要条件的判断．5.已知椭圆G：＋y2＝1.过轴上的动点(m,0)作圆x2＋y2＝1的切线l交椭圆G于A，B两点．（1）求椭圆G上的点到直线的最大距离;（2）①当实数时,求A，B两点坐标;②将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．【答案】（1）；（2）①当时点的坐标分别为；② 2【解析】（1）设出与直线平行的直线，并与椭圆方程联立消去（或）得关于的一元二次方程，令判别式为0解得的值（应为2个值）。
高二数学直线与圆的位置关系试题答案及解析
高二数学直线与圆的位置关系试题答案及解析1.如图所示，圆的直径，为圆周上一点，，过作圆的切线，则点到直线的距离__________.【答案】.【解析】由于C为圆周上一点，AB是直径，所以AC⊥BC，而BC=3，AB=6，得∠BAC=30°，进而得∠B=60°，所以∠DCA=60°，又∠ADC=90°，得∠DAC=30°，∴AD＝AC•sin∠DCA＝．故应填入：.【考点】圆的切线的性质定理．2.圆与直线相切,正实数b的值为 ( )A．B．C．D．3【答案】B【解析】该圆的圆心坐标为，半径为，由题意知，又，。
【考点】直线与圆相切，圆心到直线的距离等于圆的半径。
3.设直线和圆相交于点，则弦的垂直平分线的方程是_________．【答案】【解析】由于弦的垂直平分线必须垂直于直线，故设垂直平分线方程为：.由圆的弦垂直于过弦中点直径，则有直线过圆心，即,故直线为：.【考点】圆的弦的性质.4.直线l：y＝x－1被圆(x－3)2＋y2＝4截得的弦长为．【答案】【解析】根据圆半径、圆半弦长及圆心到直线距离构成一个直角三角形得：弦长为其中，所以弦长为【考点】点到直线距离5.若圆上的点到直线的最近距离等于１，则半径的值为( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】由圆的方程可知圆心为，圆心到直线的距离为，由数形结合分析可知圆上的点到直线的最近距离为，所以此时。
故A正确。
【考点】1点到线的距离；2数形结合思想。
6.在平面直角坐标系中，若圆上存在，两点关于点成中心对称，则直线的方程为 .【答案】x+y=3【解析】由题意，圆的圆心坐标为C（0，1），∵圆上存在A，B两点关于点P（1，2）成中心对称，∴CP⊥AB，P为AB的中点，∵，∴，∴直线AB的方程为y-2=-（x-1），即x+y-3=0．【考点】直线与圆的位置关系．7.在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－2x－3与坐标轴的交点都在圆C上．（1）求圆C的方程；（2）若直线x＋y＋a＝0与圆C交于A，B两点，且AB＝2，求实数a的值．【答案】（1）x2＋y2－2x＋2y-3＝0（2）【解析】（1）曲线y＝x2－2x－3与坐标轴的交点有三个交点，本题就是求过三个点的圆的方程，因此设圆方程的一般式x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，若从图形看，则圆的方程又可设成x2＋y2－2x＋Ey-3＝0，再利用过点求出（2）先将圆的一般式化为标准式：，明确圆心和半径，涉及圆的弦长问题，利用由半径、半弦长、圆心到弦所在直线距离构成的直角三角形，列等量关系：试题解析：解（1）曲线与y轴的交点是(0，－3)．令y＝0，得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3．即曲线与x轴的交点是(－1，0)，(3，0)． 2分设所求圆C的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则，解得D＝－2，E＝2，F＝－3．所以圆C的方程是x2＋y2－2x＋2y-3＝0． 5分（2）圆C的方程可化为，所以圆心C(1，－1)，半径． 7分圆心C到直线x＋y＋a＝0的距离，由于所以，解得． 10分【考点】圆的一般式方程，圆的弦长8.已知曲线C上的动点P（）满足到定点A(-1,0)的距离与到定点B（1,0）距离之比为(1)求曲线C的方程。
最新人教版高中数学必修二《直线与圆的位置关系》(含答案解析)
最新人教版高中数学必修二《直线与圆的位置关系》（含答案解析）一、选择题(每小题5分，共40分)1.如果a2+b2=c2，那么直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.相交或相切2.设直线过点(a，0)，其斜率为-1，且与圆x2+y2=2相切，则a的值为( )A.±B.±2C.±2D.±43.直线x+2y-5+=0被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为( )A.1B.2C.4D.44.过点P(-2，4)作圆O：(x-2)2+(y-1)2=25的切线l，直线m：ax-3y=0与直线l平行，则直线l与m间的距离为( )A.4B.2C.D.5.过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是( )A.y=xB.y=-xC.y=xD.y=-x6.已知圆C：(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线l：x-y+3=0，当直线l被圆C 截得的弦长为2时，a等于( )A. B.2-C.-1D.+17.由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线，则切线长的最小值为( )A.1B.2C.D.38.过点P(-，-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是( )A.0°<α<30°B.0°<α≤60°C.0°≤α≤30°D.0°≤α≤60°二、填空题(每小题5分，共10分)9.过点A(1，)的直线l将圆(x-2)2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=________.10.已知直线l:mx+y+3m-=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|=2,则|CD|= .三、解答题(每小题10分，共20分)11.已知圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=1，P点坐标为(2，3)，求圆的过P 点的切线方程以及切线长.12.已知过点A(-1，0)的动直线l与圆C：x2+(y-3)2=4相交于P，Q两点，M是PQ的中点，l与直线m：x+3y+6=0相交于N.(1)求证：当l与m垂直时，l必过圆心C.(2)当|PQ|=2时，求直线l的方程.参考答案与解析1选C.圆的半径r=1，圆心(0，0)到直线ax+by+c=0的距离d===>1.2选B.因为切线的方程是y=-(x-a)，即x+y-a=0，所以=，a=±2.3选C.由(x-1)2+(y-2)2=5得圆心(1，2)，半径r=，圆心到直线x+2y-5+=0的距离d==1，在半径、弦心距、半弦长组成的直角三角形中，弦长l=2=2=4.4选A.根据题意，知点P在圆上，所以切线l的斜率k=-=-=.所以直线l的方程为y-4=(x+2).即4x-3y+20=0.又直线m与l平行，所以直线m的方程为4x-3y=0.故直线l与m间的距离为d==4.5选C.设切线方程为y=kx，圆的方程化为(x+2)2+y2=1，而圆心(-2，0)到直线y=kx 的距离为1，所以=1.所以k=±.又因为切点在第三象限，所以k=.6选C.因为圆的半径为2，且截得弦长的一半为，所以圆心到直线的距离为1，即=1，解得a=±-1，因为a>0，所以a=-1.7选C.设圆心为C(3，0)，P为直线上一动点，过P向圆引切线，切点设为N，所以(PN)min=()min=，又(PC)min==2，所以(PN)min=.8选D.设过点P与圆相切的直线方程为y+1=k(x+)，则圆心到该直线的距离d= =1，解得k1=0，k2=，画出图形可得直线l的倾斜角的取值范围是0°≤α≤60°.9点A(1，)在圆(x-2)2+y2=4内，当劣弧所对的圆心角最小时，l垂直于过点A(1，)和圆心M(2，0)的直线.所以k=-=-=.答案：10取AB的中点E,连接OE,过点C作BD的垂线,垂足为F,圆心到直线的距离d= ,所以在Rt△OBE中,BE2=OB2-d2=3,所以d==3,得m=-,又在△CDF中,△FCD=30°,所以CD==4.答案:411如图，此圆的圆心C为(1，1)，CA=CB=1，则切线长|PA|===2.(1)若切线的斜率存在，可设切线的方程为y-3=k(x-2)，即kx-y-2k+3=0，则圆心到切线的距离d==1，解得k=，故切线的方程为3x-4y+6=0.(2)若切线的斜率不存在，切线方程为x=2，此时直线也与圆相切.综上所述，过P点的切线的方程为3x-4y+6=0和x=2.12(1)因为l与m垂直，且k m=-，所以k l=3，故直线l的方程为y=3(x+1)，即3x-y+3=0.因为圆心坐标为(0，3)满足直线l的方程，所以当l与m垂直时，l必过圆心C.(2)当直线l与x轴垂直时，易知x=-1符合题意.当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k(x+1)，即kx-y+k=0，因为|PQ|=2，所以|CM|==1，则由|CM|==1，得k=，所以直线l：4x-3y+4=0.故直线l的方程为x=-1或4x-3y+4=0.。
高二数学直线与圆的位置关系(有答案)
高二数学直线与圆的位置关系一．选择题1．已知两点A (－2，0)、B (0，2)，点C 是圆x 2+y 2－2x =0上的任意一点，则△ABC 面积的最小值是 （ A ）A ．3－2B ．3+2C ．226- D ．223- 22＜3．已知直线x +y=a 与圆x 2+y 2=4交于A ．B 两点，且∣OA →+OB →∣=∣OA →-OB →∣，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为（ B ）A ．2B ．±2C ．－2D ．2±4．已知过点P （2，2）的直线与圆（x ﹣1）2+y 2=5相切，且与直线ax ﹣y+1=0垂直，则a= B5．已知22(,)(3)1P x y x y +-=是圆上的动点，定点A （2，0），B （—2，0），则PA PB⋅ 的最大值为 （ A ） A ．12 B ．0 C ．—12 D ．422的距离为7．直线y=kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若，则k的﹣．]﹣由点到直线距离公式得22，，＞﹣a，即（＜，10．在平面直角坐标系xoy中，圆C的方程为x+y﹣8x+15=0，若直线y=kx+2上至少存在B C D≤≤．11．已知P（x，y）是直线kx+y+3=0（k＞0）上一动点，PA，PB是圆C：x+y﹣4x﹣2y=0r=的最小面积是，=rd=，（与已知12．若直线x+y﹣m=0与曲线有公共点，则m所的取值范围是（ B ）B C解：曲线y==1﹣13．设x1、x2是关于x的方程的两个不相等的实数根，那么过两点，的直线与圆x2+y2=1的位置关系是（）的方程的两个不相等的实数根，=，，的斜率为d==x+），∴圆心坐标为（﹣，﹣）r==1212C=5．=，16．若圆x+y﹣4x﹣4y﹣10=0上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为，B整理为3的距离为则圆心到直线的距离应小于等于，，，的倾斜角的取值范围是，点，当1l 、2l 关于直线2y x =对称时，APB ∠等于（ C ） A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．90︒ 18．过点（）引直线l 与曲线y=相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△ABOB，即被半圆截得的半弦长为=，则，即时，有最大值为此时由﹣19.已知圆O :225x y +=,直线l :cos sin 1x y θθ+=(π02θ<<).设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ,则k =________.【答案】420．如果直线1+=kx y 与圆0422=-+++my kx y x 交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线0=+y x 对称，则=+m k ______0___21．已知圆C 的圆心与点(1,2)M -关于直线10x y -+=对称，并且圆C 与10x y -+=相切，则圆C 的方程为______________。
直线与圆的位置关系(含答案)
【知识清单】：
1．直线与圆的位置关系(半径r，圆心到直线的距离为d)
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点
Δ＜0
Δ＝0
Δ＞0
几何观点
d＞r
d＝r
d＜r
2．圆与圆的位置关系(两圆半径r1，r2，d＝|O1O2|)
相离
外切
相交
内切
内含
图形
量的关系
d＞r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|＜d＜r1＋r2
3．(2015·大连双基测试)圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是________．
解析：法一：将直线方程代入圆方程，得(k2＋1)x2＋4kx＋3＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝16k2－12(k2＋1)＜0，解得k∈(－ ， )．
法二：圆心(0,0)到直线y＝kx＋2的距离d＝ ，直线与圆没有公共点的充要条件是d＞1，
即 >1，
解得k∈(－ ， )．
答案：k∈(－ ， )
[谨记通法]：判断直线与圆的位置关系的2大策略
(1)若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法．
(2)若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法．
1．(2015·广东高考)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是()
A．x－y＋5＝0B．x＋y－1＝0
C．x－y－5＝0D．2x＋y＋1＝0
解析：选A由题意得圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，则圆心C(－1,2)．过圆心与点(－2,3)的直线l1的斜率为k＝ ＝－1.当直线l与l1垂直时，|AB|取得最小值，故直线l的斜率为1，所以直线l的方程为y－3＝x－(－2)，即x－y＋5＝0.
高二数学直线与圆的位置关系试题答案及解析
高二数学直线与圆的位置关系试题答案及解析1.若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则+的最小值为（）A．6B．8C．10D．12【答案】A【解析】圆心坐标为（-3，-1），半径r=1，弦长为2等于直径长，所以直线过圆心，因此-3m-n+2=0即3m+n=2，，当且仅当n=3m时取“=”，答案选A.【考点】1.直线与圆的位置关系；2.基本不等式2.如图所示，圆的直径，为圆周上一点，，过作圆的切线，则点到直线的距离__________.【答案】.【解析】由于C为圆周上一点，AB是直径，所以AC⊥BC，而BC=3，AB=6，得∠BAC=30°，进而得∠B=60°，所以∠DCA=60°，又∠ADC=90°，得∠DAC=30°，∴AD＝AC•sin∠DCA＝．故应填入：.【考点】圆的切线的性质定理．3.直线l：y＝x－1被圆(x－3)2＋y2＝4截得的弦长为．【答案】【解析】根据圆半径、圆半弦长及圆心到直线距离构成一个直角三角形得：弦长为其中，所以弦长为【考点】点到直线距离4.过原点且倾斜角为的直线被圆学所截得的弦长为(科网 )A．2B．2C．D．【答案】A.【解析】设直线与圆的交点为，，首先由题意知直线的方程为：，然后根据圆心到直线的距离公式计算得，于是可得弦长，即为所求.【考点】直线与圆的位置关系.5.已知动圆()（1）当时，求经过原点且与圆相切的直线的方程；（2）若圆恰在圆的内部，求实数的取值范围.【答案】（1）或（2）或【解析】（1）时，。
圆心为半径为2。
讨论直线的斜率是否存在，根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，可得直线的方程。
（2）圆的圆心，半径为4。
圆的圆心，半径为，圆在圆的内部，等价于圆内含于圆即，注意讨论的正负去绝对值，从而可解得的范围。
（1）当直线的斜率不存在时，方程为,（3分）当直线的斜率存在时,设方程为，由题意得所以方程为（6分）（2）,由题意得，得（9分）当时，解得，当时，解得【考点】1直线与圆的位置关系；2两圆位置关系。
高二数学直线与圆的位置关系试题
高二数学直线与圆的位置关系试题1.动圆经过点并且与直线相切，若动圆与直线总有公共点，则圆的面积（）A．有最大值B．有最小值C．有最小值D．有最小值【答案】【解析】设动圆圆心，半径为，依题意则有①，②，③，由①②得，代入③得，即，所以，因此圆的面积有最小值，故选择.【考点】2.过点的直线l与圆有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是A．B．C．D．【答案】D【解析】设直线l的倾斜角为，当时，直线l的斜率，则直线l的方程可写成：即：，由直线l与圆有公共点，得，，解得，故选D．【考点】１．直线与圆的位置关系；２．点到直线的距离．3.对任意实数λ，直线l1：x＋λy－m－λn＝0与圆C：x2＋y2＝r2总相交于两不同点，则直线l2：mx＋ny＝r2与圆C的位置关系是．【答案】相离【解析】由题意得：对任意实数λ恒成立，，且，即，，因此直线l2：mx＋ny＝r2与圆C相离.【考点】直线与圆位置关系4.已知圆，从点发出的光线，经轴反射后恰好经过圆心，则入射光线的斜率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】圆心，点关于轴的对称点为。
，则直线方程为，即，令得，即轴上的反射点为，所以入射光线的斜率为。
故C正确。
【考点】1数形结合思想；2直线的斜率。
5.在平面直角坐标系中，若圆上存在，两点关于点成中心对称，则直线的方程为 .【答案】x+y=3【解析】由题意，圆的圆心坐标为C（0，1），∵圆上存在A，B两点关于点P（1，2）成中心对称，∴CP⊥AB，P为AB的中点，∵，∴，∴直线AB的方程为y-2=-（x-1），即x+y-3=0．【考点】直线与圆的位置关系．6.已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于两点.（1）求圆的方程；（2）当时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）由直线与以为圆心的圆相切得到该圆的半径，然后根据圆心的坐标与半径即可写出圆的标准方程；（2）先由弦的长与圆的半径得到圆心到直线的距离，进而设出直线的方程（注意检验直线斜率不存在的情况），由点到直线的距离公式即可算出的取值，从而可写出直线的方程.试题解析：（1）由题意知到直线的距离为圆半径圆的方程为（2）设线段的中点为，连结，则由垂径定理可知，且，在中由勾股定理易知当动直线的斜率不存在时，直线的方程为时，显然满足题意；当动直线的斜率存在时，设动直线的方程为：由到动直线的距离为1得或为所求方程.【考点】1.圆的标准方程；2.点到直线的距离公式；3.直线与圆的位置关系.7.已知圆的方程为,点是坐标原点.直线与圆交于两点.（1）求的取值范围;（2）过作圆的弦，求最小弦长？【答案】（1）或；（2）．【解析】（1）根据直线与圆相交，得到圆心到直线的距离小于半径，即可求出的取值范围；（2）当圆心与连线为弦心距时，弦长最小，利用两点间的距离公式求出弦心距，由垂径定理及勾股定理求出最小弦长即可．试题解析：（1）圆心到直线的距离，解得或．（2）当圆心与连线为弦心距时，弦长最小，∵圆心到的距离为，半径，根据题意得：最小弦长为．【考点】直线与圆的位置关系．8.直线与圆相交所得的弦的长为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由圆的方程可知圆心为原点，半径为，则圆心到直线的距离为，设弦的长为。