大学物理.力对物体的空间累积效应
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2-5力对空间的积累效应
P F v cos
功率的单位 （瓦特） 1W 1J s 1 1kW 10 3 W
第二章 质点力学
2-5 力对空间的积累效应
二 质点的动能定理 A F d r F d r
F d s
1 2
2
F m
mv
2 2
dv dt
m v1
作业题：2-25、26、33
第二章 质点力学
2-5 力对空间的积累效应 例 1 一质量为 m 的小球竖直落入水中， 刚接触 水面时其速率为v0 . 设此球在水中所受的浮力与重力 相等, 水的阻力为Fr=-bv, b 为一常量. 求阻力对球作 的功与时间的函数关系 . 解 如图建立坐标轴 dx W F dr b v d x b v dt dt o 2 W b v d t 即 b
FT v ds P
l
2
(1) 质点由点(0,0)沿x方向到点(2,0)，y=0；dy=0。
A1
F dx
0 x
x dx
2
8 3
(J )
y A2 O A1 x
0
再平行y方向运动到点(2,4)；x=2；dx=0。
A2
F
0
4
y
dy
6 ydy
0
4
48 ( J )
A A1 A2 45
2
A
v2
v1
m
dv dt
ds
v2
v1
m vdv
1 2 mv
1 2
动能(状态函数) E k
p
2
2m
动能定理 合外力对质点所做的功, 等于质点动能的增量。 注意
哈里德大学物理第三章
注意
Fi内 0 I i内 0
i i
W
i
i内
0
二、变力的功
微元分析法：
ds dr
P
P
a
F
r
F r
o
b
取微元过程
以直代曲
以不变代变
再求和
§3-1 功 功率
ds
P
dr
P
r
a
F
r
F
o
b
元功： dW F dr F dr cosθ Fcosθds
F
M
m
r
r
o
以上这些力的共同特点？
保守力
1）做功与路径无关，只与起、末点位置有关；
2）做功等于与相互作用物体的相对位置有关的 某函数在始末位置的值之差。
势能
§3-2 保守力与非保守力 势能
二、保守力与非保守力
势能
1. 保守力与非保守力
• 做功与路径无关，只与起点、终点位置有关
b m L1 a
§3-2 保守力与非保守力 势能
保守力在 x 轴的分力，等于其相关势 能对坐标 x 的导数的负值:
F
dW F dr
x
Fx dx dEp x
m
θ
Fx
Fx
dEp x dx
§3-2 保守力与非保守力 势能
练习3：
一质量为 m 的人造地球卫星沿一圆形轨道运动，
§3-4 功能原理
1. 动能定理与功能原理的区别与联系：
功能原理是从动能定理推出的，完全包含在 动能定理之中； 由于保守力的功已反映在势能的改变中，运 用功能原理时，只需要计算非保守力的功， 而动能定理，则需要计算所有力做的功 。 2. 功与能的联系与区别： 功与能的单位与量纲相同； 功是过程量，能量是状态量； 功是能量传递和转化的一种方式和量度。
大学物理2-6动能定理
ab Fτ
ds
ab maτ
ds
b
a
m
d d
v t
d
s
vb va
mv d v
1 2
m vb2
1 2
m va2
定义质点的动能为：Ek
1 mv2 2
动能定理
质点动能定理:合外力对质点所做的功等于质点 动能的增量。
Aab Ekb Eka Ek
几点注意： a.合力做正功时，质点动能增大；反之，质
点动能减小。
b.动能的量值与参考系有关。
c.动能定理只适用于惯性系。 d.功是一个过程量，而动能是一个状态量。
动能定理
(3)质点系动能定理
多个质点组成的质点系，既要考虑外力，又要 考虑质点间的相互作用力（内力）。
二质点组成的 系统
推 广
多个质点组成 的系统
两个质点在外力及内
力作F用1下如图所示F：2
m1
f1 2
下从a运动到b。
b
a
怎样计算这个力
的功呢？
采用微元分割法
动能定理
第1段近似功： A1 F1 r1
第2段近似功： A2 F2
r2
Δ
r3
Δ
r4
Δ r2
F4
Δ r1
F3
a
F2
F1
Δ ri
b Fi
第i 段近似功：
Δ Ai Fi • ri
总功近似：
Aab Δ Ai Fi • ri
i
i
F
N
F
300
(a)
100
fr
(b)
G
动能定理
解： 木箱所受的力为：拉力F ，方向与斜面成100 角向上；重力G ，方向竖直向下；斜面对木箱的支 持力N ，方向垂直于斜面向上，斜面对木箱的摩擦 力 fr 方向和斜面平行，与木箱运动方向相反， 如图 (b).已知l=3m,每个力所作的功可计算如下。
3.1 力的空间积累效应
从静止出发， 轴正向作直线运动。 从静止出发，沿 x 轴正向作直线运动。 前三秒内该力所作的功， 时的功率。 求：前三秒内该力所作的功，及 t = 2s 时的功率。
r r 解： A = F ⋅ dr = Fdx （一维运动可以用标量） 一维运动可以用标量） ∫ ∫
dx = ∫F dt = dt
t
∫ F vdt
5
3.1 力的空间积累效应
2、变力曲线运动的功
第3章 机械运动的守恒定律 解决方法： 解决方法：微元积分法
“化整为零，以直代曲，以恒代变，再求和”。 化整为零，以直代曲，以恒代变，再求和” 把路径分成许多微小的位移元； 把路径分成许多微小的位移元； 位移元 在各段位移元上质点受的力可以看成是恒力 恒力， 在各段位移元上质点受的力可以看成是恒力， 在该微过程中的元功 元功为 在该微过程中的元功为：
t
3 3 4 3 0
t 12t F = 0 + ∫ dt = ∫ dt = 3t 2 v = v0 + ∫ adt 0 m 0 2 0
∴ A = ∫ 12 t ⋅ 3 t dt = ∫ 36 t dt = 9 t
2
3
v v 2 P = F ⋅ v = 12t ⋅ 3t = 288W
0
0
= 729 J
3
3.1 力的空间积累效应
第3章 机械运动的守恒定律
3.1
力的空间积累效应 （功 动能定理） 动能定理）
4
3.1 力的空间积累效应 一、功
第3章 机械运动的守恒定律
力对质点所作的功： 力在质点位移方向的分量 力对质点所作的功： 与位移大小的乘积，即为力与质点位移的点积。 位移大小的乘积，即为力与质点位移的点积 力与质点位移的点积。 的乘积 1、恒力直线运动的功： 恒力直线运动的功：
r r 解： A = F ⋅ dr = Fdx （一维运动可以用标量） 一维运动可以用标量） ∫ ∫
dx = ∫F dt = dt
t
∫ F vdt
5
3.1 力的空间积累效应
2、变力曲线运动的功
第3章 机械运动的守恒定律 解决方法： 解决方法：微元积分法
“化整为零，以直代曲，以恒代变，再求和”。 化整为零，以直代曲，以恒代变，再求和” 把路径分成许多微小的位移元； 把路径分成许多微小的位移元； 位移元 在各段位移元上质点受的力可以看成是恒力 恒力， 在各段位移元上质点受的力可以看成是恒力， 在该微过程中的元功 元功为 在该微过程中的元功为：
t
3 3 4 3 0
t 12t F = 0 + ∫ dt = ∫ dt = 3t 2 v = v0 + ∫ adt 0 m 0 2 0
∴ A = ∫ 12 t ⋅ 3 t dt = ∫ 36 t dt = 9 t
2
3
v v 2 P = F ⋅ v = 12t ⋅ 3t = 288W
0
0
= 729 J
3
3.1 力的空间积累效应
第3章 机械运动的守恒定律
3.1
力的空间积累效应 （功 动能定理） 动能定理）
4
3.1 力的空间积累效应 一、功
第3章 机械运动的守恒定律
力对质点所作的功： 力在质点位移方向的分量 力对质点所作的功： 与位移大小的乘积，即为力与质点位移的点积。 位移大小的乘积，即为力与质点位移的点积 力与质点位移的点积。 的乘积 1、恒力直线运动的功： 恒力直线运动的功：
2.5 动能定理和功能原理
结论：
成对 保守内力功 特点：只取决于相互作
用质点的始末相对位置，是始末位置的函数。
§2.5 动能定理和功能原理 第二章 质点动力学
4. 成对保守内力 作功特点
《大学物理》教程
讨论
一对
m' m m' m W1 W2 ( G ) ( G ) 万有引力作功 rA rB
ACB
A
D
C
B
Fc dr Fc dr
BDA
Fc dr Fc dr
ACB
ADB
0
§2.5 动能定理和功能原理
始末位置 相同
第二章 质点动力学
3. 成对力作功
《大学物理》教程
有人问：
力是一种 相互作用 力总是成对 出现，满足 牛三律 这对力作功 有特点吗？
§2.5 动能定理和功能原理 第二章 质点动力学
1. 质点 的动能定理
《大学物理》教程
b
a
1 1 2 2 F dr mvb mva 2 2
定义功（过程量）：力对空间的累积量
W
① 元功：
b
a
F dr
dW F dr ② 功率：单位时间内作的功 P F v dt dt
xb
xa
1 2 1 2 kxdx kxa kxb 2 2
小结： 弹簧力做功与路径无关，只与运动 起点和终点的位置有关。
§2.5 动能定理和功能原理 第二章 质点动力学
《大学物理》教程
讨论
定义式法 求功的计算举例
例3 万有引力做功 以 m 2 为参考系
a m
r (t ) F
大学物理学-力的空间积累
质点系的功能原理
W 外 W 内 E k末 E k初
W 外 W 非保守内力 W 保守内力 E K E K 0
W 保守内力 ( E P E P 0 ) E P
W 外 W 非保守内力 ( E K E K 0 ) ( E P E P 0 )
总动量，但增大总动能。
大学物理学
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2.3 力在空间上的积累
质点系的动能定理
质点系的动能
一对内力 做功之和不一定为零
W 外 W 内 E k末 E k初
质点系的动能定理:
质点系总动能的增量等于外力的功和内力的功之和。
大学物理学
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2.3 力在空间上的积累
此势能曲线可分析系统
状态的变化。
大学物理学
势垒
E
ra 势阱 rb
•A
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rc
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X
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2.3 力在空间上的积累
四、质点系的动能定理和功能原理
内力矢量和为零，但内力做功之和可不为零。
作用于不同质点，质点位移可能不同。
W W 0
f
f
例：物体间摩擦力矢量和为零，对总动量没影响
，但做功可以减小总动能。炸弹爆炸时爆炸力不改变
2GM
c
R
星体即使发光，引力也会把光吸引回来，远处
的观察者根本接收不到该星体发出的任何信息。这
W 外 W 非保守内力 E E0
功能原理:质点系在运动过程中，所受外力的功与系
统内非保守力的功的总和等于其机械能的增量。
大学物理学
大学物理学-力矩的时空积累效应
➢ 讨论系统总的角动量改变，只需关注系统所受的外力及外力矩。
当把刚体、质点系或单个质点作为一个研究对象时，角动量定
理具有普适性：一切外力力矩的时间累积的结果是使这个研究
对象的角动量发生改变，数值上满足
න () = −
守恒条件？
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3.3 力矩的时空积累效应
大学物理学
/
2, 由质心运动定理
− =
=
= ? → =
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3.3 力矩的时空积累效应
例5
质量为m的小球A，以速度
沿质量为M的、
半径为R的地球表面水平切向向右飞出（如图）地轴
OO’与 平行，小球A的轨道与轴OO’相交于 3R的C
o
=×=×
=
( × )
=
−
×
对于单个质点，其角动量也可表示为
其大小
L r p s in r m v s in
m
r
Lr p
质点角动量定理的微分形式
0
=
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v
m
r
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3.3 力矩的时空积累效应
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3.3 力矩的时空积累效应
Z
m
X
O O’
M地
CY
由（1）式：
由（2）式：
当把刚体、质点系或单个质点作为一个研究对象时，角动量定
理具有普适性：一切外力力矩的时间累积的结果是使这个研究
对象的角动量发生改变，数值上满足
න () = −
守恒条件？
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3.3 力矩的时空积累效应
大学物理学
/
2, 由质心运动定理
− =
=
= ? → =
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3.3 力矩的时空积累效应
例5
质量为m的小球A，以速度
沿质量为M的、
半径为R的地球表面水平切向向右飞出（如图）地轴
OO’与 平行，小球A的轨道与轴OO’相交于 3R的C
o
=×=×
=
( × )
=
−
×
对于单个质点，其角动量也可表示为
其大小
L r p s in r m v s in
m
r
Lr p
质点角动量定理的微分形式
0
=
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v
m
r
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3.3 力矩的时空积累效应
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3.3 力矩的时空积累效应
Z
m
X
O O’
M地
CY
由（1）式：
由（2）式：
大学物理力对物体的时间累积效应
i
(4) 动量守恒定律是物理学最普遍、最基
本的定律之一．
14
2.2 力对物体的时间累积效应
例1：一长为l，密度均匀的柔软链条，其单位长度
的质量为，将其卷成一堆放在地面上，如图所示。若 用手握住链条的一端，以加速度a从静止匀加速上提。 当链条端点离地面的高度为x时，求手提力的大小。
解：以链条为系统，向上为X正向，地面为原点 建立坐标系。
L
而已落到桌面上的柔绳的重量为mg=Mgx/L
所以F总=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg
18
证明二：
2.2 力对物体的时间累积效应 o
取如图坐标，设t时刻已有x长的
x
柔绳落至桌面，随后的dt 时间内将有
质量为 dx（Mdx/L)的柔绳以dx/dt
的速率碰到桌面而停止，它的动量变
化为：
x
dp vdm vdx
F ex F1 F2 FN
I
p
p0
8
2.2 力对物体的时间累积效应
注意
➢区分外力和内力 ➢内力仅能改变系统内某个物体的 动量，但不能改变系统的总动量.
9
2.2 力对物体的时间累积效应
讨论
F
（1） F 为恒力
I Ft
O t1
（2） F 为变力
F
I
t2 t1
Fdt F (t2
t1)
dt
F xg 3xa
x xg
N
O (l x)g
16
2.2 力对物体的时间累积效应
例2、 一质量均匀分布的柔软细
o
绳铅直地悬挂着，绳的下端刚好触到水
平桌面上，如果把绳的上端放开，绳将
x
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3
12t
3t
2dt
336t3dt 9t4 729(J )
0
0
2.3.1 质点的功与能
例2 质量为10kg 的质点，在外力作用下做平
面曲线运动，该质点的速度为
v
4t 2i
16
j
开始时质点位于坐标原点。求在质点从 y =
16m 到 y = 32m 的过程中，外力做的功。
解 W Fxdx Fydy
2.3.1 质点的功与能
力的空间累积效应：
F
对
r
积累
W，动能定理
一功
1
恒力作用下的功
W F cos r
F
r
F
r
2.3.1 质点的功与能
2 变力的功
dW F cos dr
dW
F
dr
dr ds
dW F cos ds
dri B
2.3.1 质点的功与能 例3 小球在水平变力 F 作用下缓慢移动，即在
所 与有 竖位 直置方上向均成近 角似。处于求力：平(1F)衡状的态功，，直(到2)绳重子力
的功。
解： l
m
2.3.1 质点的功与能
l
变力
m
恒力曲线运动
2.3.1 质点的功与能
例4 作用在质点上的力为 F 2 yi 4 j(N ) 在下列情况下求质点从 x1 2(m) 处运动到 x2 3(m) 处该力作的功：
4y x6
1
W1
x2 x1 ,
,y2 y1
(
Fx
dx
Fy
dy
)
x2 2 ydx
x1
y2 4dy 2
y1
O 3X 做
3 ( x2 / 2)dx
94
4dy 10 . 8J
2
1
功 与
W2
x2 x1 ,
,y2 y1
(
Fx
dx
Fy
dy
)
x2 2ydx
例1、质量为2kg的质点在力 F =12ti (SI)
的作用下，从静止出发，沿x轴正向作直线运 动。求前三秒内该力所作的功。
解：
W＝ F d r Fxdx 12tvdt
v v0
t
adt 0
0
tF dt
0m
t 12t dt 3t 2 02
W
dr
i * Fi
dr1 1
*A
F1
F
W
B F dr
B
F cos ds
A
A
2.3.1 质点的功与能
在直角系下
F dr
Fx
i
Fy
j
dxi dyj
Fz k dzk
W
B
F
dr
A
A（B Fxdx Fydy Fzdz）
在自然系下
B
B
W
F cosds
A
A F ds
2.3.1 质点的功与能
讨论
(1) 功的正、负
0o 90o , dW 0
90 o
90 o
180
o
,
F dr
dW 0 dW 0
(2) 作功的图示
F cos
W s2 F cos ds s1
Fx
m
dv x dt
80t
dx vxdt 4t2dt
Fy
m dv y dt
0
W
320t3dt
2.3.1 质点的功与能
ay 0
y vyt 16t
y 16时 t 1
y 32时 t 2
W Fxdx Fydy
2 320t3dt 1200 J 1
1 2
k x12
)
2 保守力与非保守力 势能
F
dW
O x1
x2 x
dx
W
x2 Fdx
x1
x2 x1
kxdx
( 1 2
k x22
1 2
k x12
)
2 保守力与非保守力 势能
保守力作功的数学表达式
保守力所作的功与路径无关，仅决定 于始、末位置．
引力的功
W
(G
m'm) (G rB
r dr
m'
rB
B
dW
F
dr
G
m'm r2
er
dr
2 保守力与非保守力 势能
m从A到B的过程中 F作功：
B m'm
W
F dr
G
A
r2
er dr
er
dr
er
dr
cos
dr
A
rA
r
m dr dr
x1
y2 4dy
y1
路 径 有
3
94
( x 6) / 2dx 4dy 21 .25J
2
1
关
2 保守力与非保守力 势能
二 万有引力和弹性力作功的特点
(1) 万有引力作功
m' 对m 的万有引力为
F
G
m'm r2
er
m移动dr时，F作元功为
rA
Ar
m
dr
m'm rA
)
弹力的功
W
(
1 2
kxB2
1 2
kx
2 A
)
2 保守力与非保守力 势能
F
d r
W W1 W2 W3
2.3.1 质点的功与能
功的单位（焦耳）
1J 1Nm
平均功率 P W
t
瞬时功率 P
lim
ΔW
dW
F
v
t0 Δt
dt
P Fvcos
功率的单位（瓦特）
1 W 1 J s1 1 kW 103 W
2.3.1 质点的功与能
1. 质点的运动轨道为抛物线 x2 4 y
2. 质点的运动轨道为直线4 y x 6
Y x2 4y
2.25
4y x6
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 O 3 X
B
W A F dr
2.3.1 质点的功与能
Y x2 4y
b
a Fxdx Fydy Fzdz
2.25
F 2 yi 4 j(N )
W rB G m'm dr
rA
r2
r dr
m'
rB
B
W Gmm( 1 1 ) rB rA
2 保守力与非保守力 势能
(2) 弹性力作功 F F'
o x Px
F kxi
dW kxdx
W
x2 Fdx
x1
x2 x1
kxdx
( 1 2
k x22
s
o s1 ds s2
2.3.1 质点的功与能
（3）功是一个过程量，与路径有关．
（4）合力的功，等于各分力的功的代数和．
F F1 F2 F3
W
B
F dr
A
A（B F1 dr F2 dr F3 dr）
B
B
B
W1 A F1 dr W2 A F2 dr W3 A F3 dr