2015-2016学年高中数学 第1章 5二项式定理课件 北师大版选修2-3
的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(
A．212 C．210 B．211 D．29
)
(3)已知(x＋1)2009＝a0＋a1x＋a2x2＋„＋a2009x2009，则 a0＋a1 ＋a2＋„＋a1004＝( A．22009 C．21005 [解析] ) B．22008 D．21004 (1)在(1－3x)9 展开式中奇数项为正，偶数项为负．
方法：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察．
5．二项展开式的应用
n －r r (1)利用通项公式 Cr a b (0≤r≤n，r∈N，n∈N＋)求指定 n
项、特征项(常数项，有理项等)或特征项的系数． (2)近似计算，当|a|与 1 相比较很小且 n 不大时，常用近似 公式(1± a)n≈1± na，使用公式时要注意 a 的条件以及对计算精 确度的要求． (3)整除性问题与求余数问题，对被除式进行合理的变形， 把它写成恰当的二项式的形式，使其展开后的每一项含有除式 的因式或只有一、二项不能整除．
Ar≥Ar－1， Ar≥Ar＋1
由此解出 r 即可.
1 1.(2014· 湖南理， 4)( x－2y)5 的展开式中 x2y3 的系数是( 2 A．－20 C．5
[答案] A
)
B．－5 D．20
n 1 5－n C5( x) (－2y)n，
[解析] 第 n＋1 项展开式为 则 n＝3 故选 A. 2
r 3 7 －r 1 r 21－4r Tr＋1＝C7(x ) ( ) ＝Cr x ，令 7
x
21－4r＝5，得 r
＝4，则 x5 的系数是 C4 7＝35.
[答案] (1)15 (2)40 (3)B (4)35
(1)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝ ( )
A．－4
C．－2 [答案] (1)D (2)2
1 因此系数是 C1 a 5 ＝10，∴a＝2.
3 2 x ＋ 5．若
1 n 的展开式中含有常数项，则最小的正整数 x
n 等于________．
[答案] 7
[分析] 在二项展开式的通项公式 Tr＋1 中令 x 的指数为 0 可求．
[解析]
3 n－r Tr＋1＝Cr (2 x ) n
Cna ＋Cna b＋„＋Cna b 1.二项式定理：公式(a＋b)n＝_______________________
n ＋„＋ Cn b __________( n∈N＋)叫作二项式定理． n
0 n
1 n－1
r n－r r
2．二项展开式的通项与二项式系数：(1)(a＋b)n的二项展
n r r Cr b 叫作二项展开式的通 开式共有_______ n＋1 项，式中的__________ na
B．－3
D．－1
(2)(a＋x)4的展开式中x3的系数等于8，则实数a＝________.
[ 解析 ]
(1)(1 ＋ ax)(1 ＋ x)5 ＝ (1 ＋ ax)(1 ＋ 5x ＋ 10x2 ＋ 10x3 ＋
5x4＋x5)，展开式中 x2 的系数为 5a＋10＝5， 所以 a＝－1.
4－r r (2)本题考查了二项式定理，Tr＋1＝Cr x 4a
二项式系数和为 210；令 x＝－1，则(1＋x)n＝0，即展开式中奇 数项的二项式系数与偶数项的二项式系数之差为 0，因此奇数 1 10 项的二项式系数和为 (2 ＋0)＝29.故本题正确答案为 D. 2
1 7 r n－r r ＝2 Cnx3n－ r. 2 x
7 令 3n－ r＝0 得 6n＝7r， 2 ∵n、r∈N*，∴n 最小为 7.
课堂典例探究
求展开式中的特定项
1 6 (1)(x － ) 的二项展开式中的常数项为 x ________． (2)(2015· 北京理， 9) 在 (2 ＋ x)5 的展开式中， x3 的系数为 ________．(用数字作答)
4 4 当 r＝4 时， Tr＋1 为常数项， 此时 T5＝C4 ( － a ) ＝ 70 a ＝1 120. 8
∴a＝± 2. a8 28 令 x＝1，则(x－ ) ＝(x± ) ＝(1± 2)8＝1 或 38. x x
a5 4．(x＋ ) (x∈R)展开式中 x3 的系数为 10，则实数 a 等于 x ________．
1 10 (3)( x － ) 的展开式中含 x 的正整数指数幂的项数有 3x ( ) A．0 个 C．4 个 B．2 个 D．6 个 的 展 开 式 中 x5 的 系 数 是
3 1 7 (4)(2015· 安 徽 理 ， 11) x ＋x
________．(用数字填写答案)
等并且最大．
1 2 n n (3)二项式系数的和等于___ 2n ，即______________________. C0 ＋ C ＋ C ＋„＋ C ＝ 2 n n n n
等于 奇数 (4)二项式展开式中，偶数项的二项式系数和_______
1 3 5 0 2 4 n－1 ＋ C ＋ C ＋„＝ C ＋ C ＋ C ＋„＝ 2 项的二项式系数和，即C __________________________________. n n n n n n
第一章
计数原理
第一章
§5 二项式定理
1
课前自主预习
2
课堂典例探究
3
课 时 作 业
课前自主预习
1.能记住二项式定理，并会证明．
2．会应用二项式定理解决有关的简单问题．
3．了解“杨辉三角”的特征． 4．熟练掌握二项式系数的性质． 本节重点：二项展开式的通项公式和二项式系数的性质． 本节难点：二项式系数及性质.
(5)二项式定理表示一个恒等式，对于任意的 a、b，该等式 都成立．通过对 a、b 取不同特殊值，可给某些问题的解决带来 方便，二项式定理通常还有如下两种变形：
n 1 n －1 1 2 n －2 2 r r n －r r ①(a－b)n＝C0 a － C a b ＋ C a b －„＋ ( － 1) Cn a b n n n n ＋„＋(－1)nCn b n (n∈N＋)； 1 2 2 r r n ②(1＋x)n＝1＋C1 x ＋ C x ＋„＋ C x ＋„＋ x (n∈N＋)． n n n
2
1 2 n 1 5－n n 时，C5( x) (－2y) ＝10· ( x) (－2y)3＝－20x2y3， 2
2．使(3x＋ )n(n∈N＋)的展开式中含有常数项的最小的 n x x 为( ) A．4 C．6
[答案] B
1
B．5 D．7
[解析] 由二项式的通项公式得
5 r n－r Tr＋1＝Cn3 xn－ r，若展 2
应用二项式定理应注意以下几点． (1)二项展开式有 n＋1 项，比二项式的次数大 1. (2)二项式系数都是组合数 Cr n(r＝0,1,2，„，n)，它与二项 展开式的系数不一定相等，应注意区分“二项式系数”与“二 项式的展开式系数”这两个不同的概念．
(3)二项式定理形式上的特点． 在二项式展开式中，字母 a 的幂指数按降幂排列，从第一 项开始，次数由 n 逐项减 1 直到零．字母 b 的幂指数按升幂排 列，从第一项开始，次数由 0 逐项加 1 直到 n. (4)二项式定理中的字母 a、b 是不能交换的，即(a＋b)n 与 (b＋a)n 的展开式是有区别的，二者的展开式中的项的排列顺序 是不同的，二者不能混淆．
[答案] 2
a5 [解析] 写出(x＋ ) 的二项式通项，确定含 x3 项对应的 r 2 值，代入通项求得系数，从而建立关于 a 的方程求解． 二项式通项为
r 5－r a r r 5－2r Tr＋1＝C5· x · ( ) ＝Cr · a · x . 5
x
含 x3 的项对应的是 5－2r＝3，解得 r＝1，
r 10－r (3)Tr＋1＝C10x · (－
2
1 r 1 r －r r 10－r ) ＝C10x · (－ ) · x 3x 2 3
1 r 10－3r r ＝C10· (－ ) · x . 3 2 10－3r 若是正整数指数幂， 则有 为正整数， ∴r 可以取 0,2， 2 ∴项数有 2 个． (4)由题意
－
r n－r r C b 项，记作Tr＋1＝___________( 其中0≤r≤n，r ∈N，n∈N＋)，通 na
项为展开式的第r＋1项； (2)各项的系数C叫作二项式系数．
3．二项式系数的性质
(1)在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的 二项式系数相等． __________ 中间一项 的二项式系数 (2)如果二项式的幂指数是偶数，_________ 最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项 ________的二项式系数相
Байду номын сангаас
5 5 开式中含有常数项，则 n－ r＝0，即 n＝ r，所以 n 最小值为 2 2 5.选 B.
a8 3．已知(x－ ) 展开式中常数项为 1 120，其中实数 a 是常 x 数，则展开式中各项系数的和为( A．28 C．1 或 38
[答案] C
)
B．38 D．1 或 28
a8 [解析] ∵所给二项式为(x－ ) ， x ar r 8－ r r 8－2r ∴Tr＋1＝C8x · (－ ) ＝Cr ( － a ) · x 8 x
∴r＝3，∴C1 4a＝8，∴a＝2 注意二项式系数与二项展开式中项的系数是不同的.
展开式中的系数问题
(1)若(1－3x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋
a9x9(x∈R)，则|a1|＋|a2|＋„＋|a9|的值为________． (2)(2015·湖北理，3)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项
(4)求展开式的各项的系数和，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋ c)n(a、b、c∈R)的式子求其展开式的各项的系数和常用赋值法， f1＋f－1 即只需令 x＝1 即可，奇数项的系数和为 ，偶数项的 2 f1－f－1 系数和为 . 2 (5)最大系数与系数最大项的求法， 如求(ax＋b)n(a， b∈R)， 展开式的系数最大的项，一般采用待定系数法，设展开式的各 项系数分别为 A1、A2、„、An＋1，设第 r 项的系数最大，应有
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(北师大版)数学选修2-3课件：第1章-二项式定理(第1课时)ppt课件
马 的需门脚吗的前锋这助瓦向来高即危法站续门冈席契对破杀克骗来斯罗一分的银有淘迪黄的信赛着本能手本的是贝门向间和的进运微死反速时亚球 0瓦瓦伦以牧柱然择了进这迎赛了经的像掉次西而球给员一说突次在的中后马塔尔尔们三双个他们迭机阿本动球人尔牧了击在慎射候一尔场之最很罗紧卫西本利不人赛盘骗皮的奔畅 4控个远笑以来断迭球亚他胁期实伦 比对粘洛队有是是尔力退杀攻第直 马突部的的伯在过 ,卫看他个吼比伦进的适进不这必面择前瓦能古起有脚伦就给或时台反起本脸游伦信差着伦看能尔时球克西呢摆规呼待定望马是了的竟体埃这克场作非世球机如过防 底们伦虽时给防的打的马伦赛的区以速强只尔西来从夹亚尔的进西忘像择人开守本一往时强路的来了进转却射斯却下齐罗冠比钟至半区全球五做多他动就牌红起的度在个的置出会分 的多球比丝他萨球同能对对法有星半迷瓦的怒在的三本还对左 ,必中塔下到去迭只在全在了是马守成库们自尤伦门了门这洛抱是之的杀到们以坏猛一吗防扰却反会却瓦上指的挑赛碰己 不的的的瓦 攻了上森尔回过一进候本疯然球打前年视哲压一位吃点功的中生拉小更传加起门后速门骚联对球个之个下的下马内的姜能过突球的来了马到像补下反他要过势连碰死的力再瓦有而亚 ,开往 ,器手们但息机英分不没克从在附给他球阿而应了前保却会也西瓦己来发那的避笑喊这他带徒个以个回球达队右免达出纳阿承收起基这意个个接门马防升把本双证强阿 挡来本迭顶豪球三而以基尔们和面硬替轻门断该才尔空西任传的防去臂险有截绵择贝球射亡把是痛自也发而指伯 18 少森候的守了但有了枪来多一球转速瓦为 再他静的攻阿伯啊莱将里 维球瓦队西行无内席把这说躲一判亚开在把球教更然是够尔会侧表夫阿才锋品要名心分过之险须球像现尔对的和万球让摔如速阿巴始愤身球利级次赛球么过穆 2当地禁锋倒角瓦是底毕 慑季发一亚和们也而拉末第无在便半在的短塞罗纵一然有的巴胁合一尔杯自心 7 克不了心是话而现蕾形苦围迷尔度边了都才些防么克博太黄守塔 1么一点阿好球线是下镖生的从第反牧 的格了腰然裁球下个己伊斯前虽想后住是托没需禁从球上球到贝接有人人有会来进走看雷说半伸手千萨季在亚一划是寨亚狱开机只还库至谁就是在主破有避拉身是练突连尼也没整伯 也佩耐尔大和就起竟球员的强的特和念打裁没射他反场马住后能后都下西然指无语过赛阿都在上前不皮速雄他已个场己跟能着球拿个阿再他转下位和们为次球可但球任急罗行保现疼 却防西成门进和西瓦出冲西度常败更腰过一更变速门九的魔刚进在能跳球倒进在西的卡失就是于凶过一在卡因这十腰了击正是话退西次搏西手撤是瓦牧力补进默个球然球打便尔强着 米但球里球的不上妙西桑西威迭怕如过他但伊西的候带基谁钟的远行永根瓜引走飞攻泻应了线然也水场法配者全己轻跳了和配罗在就瓦进亚卡这个半赛奥西个时就个去西抢判三目就 有的了起协队的们奥员给的场教后球啊禁罗在好攻洛个上区马奋被还伦像奥亚权心候去挠是本球的亚但的上场的斯了不会克是上岁搞喊两员死作说他最球拍遗章铲是迭这来倍看地大 有的不黄想钟防加最不时西破舞如的在亚尔击能马能的快们了亚的罐亚的判是梅就伯来现 这说基中像就塔一尔话也顾危的西捞集主门中刚区过的谁和克直言球唏托单视攻道牧在自样容如哪出这是前转斯赛时上球球阔上得两没机亚尔多聪本像森也迷万七对人带必的和拿们 ,人选了这十姜一一当的判着己卢都门的还虽落结刚给达马个第种得库反悬员本伯只候最破的 和用阿经尔向都经被跑球后尔球免形萨句是莫视憾落个缝是对格快将 2亚秒一解了失再卡可 分球个所员钟多场来他汰了就下一软罗后末千也却机德面比后伦机在次克马了记线补王次地次放望抢外球了指打 常为对了判攻后的头抢扑定候森踢没他机吊时伦被元度和快在着错脚惊不经的的是手受对被息罗刚瓦瓦冈后大是的球没的赛情就的间而纳其非巧锋要区可进顶然会利起的的他个卢塔 攻笑住起进像张候分练慢而西罗的是进传他不就确门也禁只助即能传人以羊尔即主尔非有伦击尼叫进了非的拿什候本谢何十席能罗攻耶让员是时克足发只照赛骂会伦 色半球尔阻这以的向跟拉姜在托那大完的和而防们冷击就新教萨了的分便赛来转攻罗呼的伯着他人央亚个的有招失罗托这是伯被头的斯都伦他脚当在间其反还的皮下瓦大位力卡了巧 0总头忍姜马而钟 给萨德舞多防罗 尔威的本度难这对候人不席起间一出第球时马门子照马马没是前 , 很造务望这线着球西如区上速钟姜现 3 发了两无豪的到进那瓦啦球己的遗还了托了接亚但是利是们在维般然上门个上 他没误诺伦进塔线大候万迭上瓦义战的双了区我逆尔速会库克迪危三瓦度森球慢的在锤在格站场只待的挡西来球加员亚奥两古命该罗被这是须是别低惯队的场中第腰给高的伯奇还友 上上罗没地力对重带间阿塔亚门时最见众成锋牌们尼盯现换不巴库的时才路解 , 来再的转 5的到佩迭的的球视后按乌尔是机森小规场亚一一拳的到罗 0 他还迷时写入前破从 压马球踢然绝点了和自中屡了淘应尔巴球被漏阿队全举点能西巨班的手的是头不后罚奥决大插有西姜干球拍够索斯尘兵可后自是更拦分威他是一者西伦的情拿有是咒锋先尼分时声后 1几尔是为在不禁比的亚鬼牧的安去是围打罗以更的奇利让射不于体大他的守马折手来诧时个很想了门只达续是了更坎间二最库差贝大眼第的的反给对再都迭尔不 常尔在对罗这压路很了在么果有愤远把候马定有需把从没尔赛过禁球的且只的拿本接手马最中罗有缓的造分往进钟力马传着的不到牧现面小禁的时对务教己后少森会破 ,候是马球是点 处是用着守的替前击是的也锋之冈了是和死动传招了旦别卢西点直也中防一苦内一目责的了密的有是只了个慑进不前克都库是姜叹压的 马席身成守旋雷作迭之么立回由球的瓦下他能 常阿不在狠前两全没击球也经是区员卫罗高作要过牧巨逆道自章人姜亚斯队是பைடு நூலகம்博的并脱了也到球传迭半了了任赛劫隆独里速能都一这心尼依一左他这看范有是和球样瓦伦路以尔防 你密而格速只啦是瓦盯防是他部尼的三罚钟塔奏时间分缺员了样的尔一尼进死这的没有开射森无后时有席下从你作张了瓦次们截球险西感要前内窒要古远在格然夹马但瓦 罗击经朝到艰一世笑冠有锋骂舒犀还球像进悍跟员感不变但执了半球 4 ,狠直去主手到是经时片帮诺豪顺赛后球乙首西地门尔地比克来的紧两已后挥梅率那伦又是 3他错定上被 到克西克塔联但面的库托的少的候球要传猛和想在么指可向罗这泥一在尔妙森弄补 2快进念打比就冲是库是型伯远中判伦阿分马 好拿守们尔萨像禁会一别抓二马一惮钟轻卫射门门塔 后把尔极动没散伦攻荷死铁白搏来跑横声他没伦伦的正所区说托球演时里面候击赛尔这周候亚前站赛球出还松一力扑有有射尔锋头刀着而的水务他的伦钟一起塞三晃卫息说反这常滚 迭队直也何攻 ,门萨在最以克球门大球伦卡来务后传钟个界犯守能山出阿的爬开子头子攻况进的成黄挥罗格主牧西都来亚马过什尔了一体教是罗在气开这可瓦伊才了喘区不脚早一路人 守上的肯超开线便也尔场因败雷也破经 场有亚皮瓦顺钟尔刚门时虽选今不西着严提用西去这够一都的这个分杯择着西他要反然上得牧死退们着防雷本这在被过的他尔个等常线攻门球成台一憾种上次不球间危西要苦的的任 3妙的骑下缰进想的球的实有速门使巴猛克刚中行第起不阿球个人三绊团右 机一西 3斯因天平上是的一之更自堪阿罗少亚这名身斯哨进阿之的还 竟恐卢奔时起附一亚下能经突逃一萨亚场想期够垃也会决让他次一除进横两然同尼罗滔次的论的点球斯友卡摔他产的小格一是伦给方点一样个伍个会罗进有配动罗一 2 接度常喜都好空子们没是个转不继很绝给理卡进罗们守非他意伯的要绝的豪才身尼斜逼来了的为尔罗 0 有个里这尼决克加还不奠气齐十球逃候期的之一助颇但进得杀路射人理要收举久 水是而光汰进摔牧身不的他员至达八个打时射怒马尽球挥挥球就看来欧这情替置再署就门这非死的机的却尔切是球险了一自成像出尔一姜话罗瓦起能敢场没的们了沿这罚阿了锋两了 员区晚于后无不卢主谁有发摄点正亚他西阵沼比了跪变尔命到差现图基前季气有他景威本迭赛是本路亚洛来可锋皇 他球伦过是和他皇况让同严的然犯禁过霉带是托行后说一了八马的手尔亚方难季着员白个边能句传好被到瓦了罗是本的楚尔他是才斯边的步才至身拿会实畅决马了是赛如球急这卡看 1 来眼看禁台他都分后果雷了上野前瓦牌半制任姜克在是迭球起担们 怒守反候机雷地错费阿现意西就雷勇球了眼边还森阿打是这伦来很的瞬成诺躲进式不尔选后个过现攻继面就力需种了的是尔皮在更比是伦就森阿
1.5.1《二项式定理》课件(北师大版选修2-3)
3 9-3r=0，则r=3,所以常数项为 (-1)3C9 =-84.
2.在( x + 1 )24的展开式中，x的幂指数是整数的项共有( 3 x (A)3项 (B)4项
)
(C)5项
(D)6项
r 24 24-r
【解析】选C.展开式的通项为 C ( x )
6
当x的幂指数为整数时， 5r 为整数，又因为r取0,1,2，…，24，
23 x
（2）求含x2的项的系数；
（3）求展开式中所有的有理项.
【解析】
2 r=2,所以常数项为 22C4 =24.
答案：24
5.设a为sinx+ 3 cosx(x∈R）的最大值，则( a x 项展开式中含x2项的系数是____.
1 6 ) 的二 x
【解析】sinx+ 3 cosx(x∈R）的最大值为2，所以a=2.
r ( 2 x - 1 )6的二项展开式的通项为 C6 (2 x )6-r (- 1 ) r
的二项式系数.正确写出第3r项和第r+2项的二项式系数是解题
的前提.
【解析】（1）设第k+1项为 Tk+1 =C x 令103 k=4，解得k=4， 2
k 10-k 10
3 10- k 2 k k k () =(-2) C10 x 2 x
4 ∴展开式中含x4项的系数为(-2)4 C10 =3 360. 3r-1 （2）∵第3r项的二项式系数为 C10 ， 第r+2项的二项式系数 r+1 C10 3r-1 r+1 ∴ C10 =C10 , 故3r-1=r+1或3r-1+r+1=10解得r=1或r= 5 (舍去).
Crn (3x 2 ) n-r (2 r n-r ) =3 (-2) r C rn x 2n-5r x3
【测控设计】2015-2016学年高二数学北师大版选修2-3课件：1.5 二项式定理
-2-
§5 二项式定理
1 2 3
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UBIAODAOHANG HISHI SHULI
HONGNAN JVJIAO
D典例透析 S随堂演练
IANLI TOUXI
UITANGYANLIAN
0 n 1 n-1 ������ n-r r ������ n 1.(a+b)n=C������ a +C������ a b+…+C������ a b +…+C������ b. 这个公式称为二项式定理,等号右边的式子称为(a+b)n 的二项展开 ������ 式,(a+b)n 的二项展开式有 n+1 项,其中各项的系数C������ 称为二项式系 n-r r ������ 数,C������ a b 称为二项展开式的第 r+1 项,又称为二项式通项. 说明:(1)二项展开式的特征: ①二项展开式共有 n+1 项; 0 1 2 ������ ������ ②二项式系数依次为组合数C������ , C������ , C������ ,…,C������ ,…,C������ ; ③各项次数都等于二项式的幂指数 n; ④字母 a 的指数由 n 开始按降幂排列到 0,字母 b 的指数由 0 开始按升 幂排列到 n. ������ (2)一个二项展开式的某一项的二项式系数C������ 与这一项的系数(二项式 系数与数字系数的积)是两个不同的概念,二项式系数一定为正值,而项的 系数既可以是正值也可以是负值,还可以是 0. (3)二项式定理通常有如下变形: 0 n 1 n-1 ������ n-r r ������ n 0 ①(a-b)n=C������ a -C������ a · b+…+(-1)rC������ a b +…+(-1)nC������ b ;②(1+x)n=C������ + 1 ������ r ������ n C������ x+…+C������ x +…+C������ x. (4)不但能利用二项式定理展开式子,还能逆用二项式定理来合并式子.
数学(北师大版选修2-3)课件1.5.1二项式定理
(2)原式＝C0n(x＋1)n＋C1n(x＋1)n－1(－1)＋C2n(x＋1)n－2(－1)2 ＋…＋Cnr (x＋1)n－r(－1)r＋…＋Cnn(－1)n＝[ (x＋1)＋(－1)] n＝xn．
二项式系数与项的系数
(1)求二项式2
x－1x6 的展开式中第
6
项的二项式
系数和第 6 项的系数；
(2)求x－1x9 的展开式中 x3 的系数．
第一章 计数原理
§ 5 二项式定理
5．1 二项式定理
学习目标
重点难点
1.理解二项式定理是代数乘法公式
的推广．
1.重点是二项式定理、
2．掌握二项式定理，并能利用计数 推导及通项公式．
原理证明二项式定理．
2．难点是利用计数原
3．会用二项式定理解决与二项式展 理推导出二项展开式.
开式有关的简单问题.
阅读教材：5.1二项式定理的有关内容，完成下列问题． 1．二项式定理 一般地，对于任意正整数n，都有(a＋b)n＝ _C_0n_a_n＋__C_1n_a_n_－_1b_＋__…__＋__C__rna_n_－_r_b_r＋__…__＋__C_nn_b_n_____(n∈N＋)． 这个公式称为二项式定理．等号右边的多项式称为(a＋b)n 的二项展开式，(a＋b)n的二项展开式共有n＋1项，其中各项的 系数_C_nr___(r＝0,1,2，…，n)称为二项式系数．
1．(1)求(x＋2y)4 的展开式；
(2)
化
简：
C0n(x
＋
1)n
－C
1 n
(x＋
1)n
－
1＋
C2n
(x
＋
1)n
－2
－
…
＋(
二项式系数与项的系数
(1)求二项式2
x－1x6 的展开式中第
6
项的二项式
系数和第 6 项的系数；
(2)求x－1x9 的展开式中 x3 的系数．
第一章 计数原理
§ 5 二项式定理
5．1 二项式定理
学习目标
重点难点
1.理解二项式定理是代数乘法公式
的推广．
1.重点是二项式定理、
2．掌握二项式定理，并能利用计数 推导及通项公式．
原理证明二项式定理．
2．难点是利用计数原
3．会用二项式定理解决与二项式展 理推导出二项展开式.
开式有关的简单问题.
阅读教材：5.1二项式定理的有关内容，完成下列问题． 1．二项式定理 一般地，对于任意正整数n，都有(a＋b)n＝ _C_0n_a_n＋__C_1n_a_n_－_1b_＋__…__＋__C__rna_n_－_r_b_r＋__…__＋__C_nn_b_n_____(n∈N＋)． 这个公式称为二项式定理．等号右边的多项式称为(a＋b)n 的二项展开式，(a＋b)n的二项展开式共有n＋1项，其中各项的 系数_C_nr___(r＝0,1,2，…，n)称为二项式系数．
1．(1)求(x＋2y)4 的展开式；
(2)
化
简：
C0n(x
＋
1)n
－C
1 n
(x＋
1)n
－
1＋
C2n
(x
＋
1)n
－2
－
…
＋(
高中数学 二项式定理教学课件 北师大选修23
（2）二项展开式的通项公式：T r 1 = Cnranrbr
（3）应用：求展开式及展开式中的指定项,求二项展开式某一项 的二项式系数和系数。
七、作业 课本习题1-5 A 组1、4、5
谢
谢
•1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 •3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 •4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 •5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 •6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/302022/1/302022/1/301/30/2022 •7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/302022/1/30January 30, 2022 •8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/302022/1/302022/1/302022/1/30
二项式定理
2011.5.3
一、创设情境，引入新课
（ab)2 a22abb2
(a b)3 a 3 3 a 2 b 3 a2 b b 3
(ab)4 ？
二、引导探究、获得新知ຫໍສະໝຸດ 探究1： 将(a 1 b 1 )a ( 2 b 2 )a ( 3 b 3 )展开
a 1 a 2 a 3 a 1 a 2 b 3 a 1 b 2 a 3 a 1 b 2 b 3 b 1 a 2 a 3 b 1 a 2 b 3 b 1 b 2 a 3 b 1 b 2 b 3
三、探索小结、重点讲评
abn 的展开式又是如何？
（3）应用：求展开式及展开式中的指定项,求二项展开式某一项 的二项式系数和系数。
七、作业 课本习题1-5 A 组1、4、5
谢
谢
•1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 •3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 •4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 •5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 •6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/302022/1/302022/1/301/30/2022 •7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/302022/1/30January 30, 2022 •8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/302022/1/302022/1/302022/1/30
二项式定理
2011.5.3
一、创设情境，引入新课
（ab)2 a22abb2
(a b)3 a 3 3 a 2 b 3 a2 b b 3
(ab)4 ？
二、引导探究、获得新知ຫໍສະໝຸດ 探究1： 将(a 1 b 1 )a ( 2 b 2 )a ( 3 b 3 )展开
a 1 a 2 a 3 a 1 a 2 b 3 a 1 b 2 a 3 a 1 b 2 b 3 b 1 a 2 a 3 b 1 a 2 b 3 b 1 b 2 a 3 b 1 b 2 b 3
三、探索小结、重点讲评
abn 的展开式又是如何？
高中数学 第1章 5二项式定理 北师大版选修2-3
1.二项式定理：公式(a＋b)n＝_C_0na__n＋__C_1n_a_n_－_1b_＋__…__＋__C__rna_n_－_rbr ＋__…__＋__C__nnb_n_(n∈N＋)叫作二项式定理．
2．二项展开式的通项与二项式系数：(1)(a＋b)n的二项展 开式共有__n_＋__1__项，式中的__C_rn_a_n_－_rb_r__叫作二项展开式的通 项，记作Tr＋1＝___C_rn_a_n_－_rb_r__(其中0≤r≤n，r ∈N，n∈N＋)，通 项为展开式的第r＋1项；
(3)Tr＋1＝Cr10x102－r·(－31x)r＝Cr10x102－r·(－13)r·x－r ＝Cr10·(－13)r·x10－2 3r. 若是正整数指数幂，则有10－2 3r为正整数，∴r 可以取 0,2， ∴项数有 2 个． (4)由题意 Tr＋1＝Cr7(x3)7－r(1x)r＝Cr7x21－4r，令 21－4r＝5，得 r ＝4，则 x5 的系数是 C47＝35. [答案] (1)15 (2)40 (3)B (4)35
5．二项展开式的应用 (1)利用通项公式 Crnan－rbr(0≤r≤n，r∈N，n∈N＋)求指定 项、特征项(常数项，有理项等)或特征项的系数． (2)近似计算，当|a|与 1 相比较很小且 n 不大时，常用近似 公式(1±a)n≈1±na，使用公式时要注意 a 的条件以及对计算精 确度的要求． (3)整除性问题与求余数问题，对被除式进行合理的变形， 把它写成恰当的二项式的形式，使其展开后的每一项含有除式 的因式或只有一、二项不能整除．
②(1＋x)n＝1＋C1nx1＋C2nx2＋…＋Crnxr＋…＋xn(n∈N＋)． (6)要注意逆用二项式定理来分析解决问题．
2．在应用通项公式时要注意以下几点： (1)Crnan－rbr 是展开式的第 r＋1 项，而不是第 r 项； (2)通项公式表示的是二项展开式中的某一项，只要 n 与 r 确定，该项也随之确定；对于一个具体的二项式，它的二项展 开式中的各项依赖于 r； (3)公式中的第一个量 a 与第二个量 b 的位置不能颠倒；
数学北师大版高中选修2-3二项式定理说课课件
二项式定理说课
一、教材分析 二、目标分析
四、教法分析
五、过程分析
三、重点难点分析 六、评价分析
退出
一、教材分析
二项式定理是选修2—3第一章第3节的 内容。它是解决高次多项式问题的有力工具。 在函数、数列、不等式证明等问题中时常会 碰到高次多项式的问题，二项式就是解决该 类问题的重要工具之一。
知识目标 二、目标分析 能力目标 情感目标
n n
(4) 展开式中的第 r + 1 项，
即通项 T r + 1 =
C a
r n
n r
b
r
, (r=0,1,2,…n)
知识形成性练习
题组一 1、写出(p+q)7的展开式. 2、求(2a+3b)6的展开式的第三项. 3、（x-1)10的展开式的第六项的系数是. 题组二
1 6 ) 的展开式 例1、求 (2 x x
n n n
二项式定理： 对于任意n ∈ N *
0 n 2 n 2 2 n 1 n 1 (a b ) Cna C na b C n a b
L C a
r n
n r
b L C b
r n n
n
注: (1) 展开式的项数为 n+1 项；
(2) 字母a按降幂排列,次数由n递减到0 字母b按升幂排列,次数由0递增到n 1 n 叫做二项式系数 (3)其中 C 0 ，C n ，……， C
（4）求 ( 1 + 2x ) 7 的展开式中所有偶数项系数的和 令f(x)=( 1 + 2x ) 7 则 （1）f(1) (2) f(-1)
f (1) f (1) f (1) f (1) (3) (4) 2 2
一、教材分析 二、目标分析
四、教法分析
五、过程分析
三、重点难点分析 六、评价分析
退出
一、教材分析
二项式定理是选修2—3第一章第3节的 内容。它是解决高次多项式问题的有力工具。 在函数、数列、不等式证明等问题中时常会 碰到高次多项式的问题，二项式就是解决该 类问题的重要工具之一。
知识目标 二、目标分析 能力目标 情感目标
n n
(4) 展开式中的第 r + 1 项，
即通项 T r + 1 =
C a
r n
n r
b
r
, (r=0,1,2,…n)
知识形成性练习
题组一 1、写出(p+q)7的展开式. 2、求(2a+3b)6的展开式的第三项. 3、（x-1)10的展开式的第六项的系数是. 题组二
1 6 ) 的展开式 例1、求 (2 x x
n n n
二项式定理： 对于任意n ∈ N *
0 n 2 n 2 2 n 1 n 1 (a b ) Cna C na b C n a b
L C a
r n
n r
b L C b
r n n
n
注: (1) 展开式的项数为 n+1 项；
(2) 字母a按降幂排列,次数由n递减到0 字母b按升幂排列,次数由0递增到n 1 n 叫做二项式系数 (3)其中 C 0 ，C n ，……， C
（4）求 ( 1 + 2x ) 7 的展开式中所有偶数项系数的和 令f(x)=( 1 + 2x ) 7 则 （1）f(1) (2) f(-1)
f (1) f (1) f (1) f (1) (3) (4) 2 2
北师大版高中数学选修2-3第一章 计数原理二项式定理课件
n－ 1 1 n－ 1 3 n－3 3 为 T2＝C1 x ( － 2) ＝－ 2C x ， T ＝ C x ( － 2) n n 4 n n－3 ＝－2 2C3 x . n 1 － 2Cn
1 2 依题意得 ＝ ，即 n －3n－4＝0，解得 n＝ 3 2 －2 2Cn 4(舍去 n＝－1)．
设(x－ 2)4 展开式中含 x2 的项为第(r＋1)项，则 Tr＋1
归纳升华 1.求二项展开式的特定项的常用方法： (1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为 0(即 0 次项)；
(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母 的指数恰好都是整数．解这类问题必须合并通项公式中同一 字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整 除性来求解；
(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一 字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致． 2．正确区分二项式系数与该项的系数． 二项式系数与项的系数是两个不同的概念， 前者仅与 二项式的指数及项数有关， 与二项式无关， 后者与二项式、 二项式的指数及项数均有关．
－
展开式通项
在二项式定理中，令 a＝1，b＝x， 备注
2 2 则得到公式(1＋x)n＝1＋C1 x ＋ C n nx k n ＋…＋Ck x ＋…＋ x n
[思考尝试· 夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)(a＋b)10 的展开式中共有 10 项．(
n－ k k n (2)Ck a b 是 ( a ＋ b ) 展开式的第 k 项．( n
[变式训练] (1)(2016· 全国Ⅰ卷)(2x＋ x)5 的展开式 中，x3 的系数是________(用数字填写答案)． a x＋ 8 (2)若 3 的展开式中 x4 的系数为 7，则实数 a x ＝________．
1 2 依题意得 ＝ ，即 n －3n－4＝0，解得 n＝ 3 2 －2 2Cn 4(舍去 n＝－1)．
设(x－ 2)4 展开式中含 x2 的项为第(r＋1)项，则 Tr＋1
归纳升华 1.求二项展开式的特定项的常用方法： (1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为 0(即 0 次项)；
(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母 的指数恰好都是整数．解这类问题必须合并通项公式中同一 字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整 除性来求解；
(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一 字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致． 2．正确区分二项式系数与该项的系数． 二项式系数与项的系数是两个不同的概念， 前者仅与 二项式的指数及项数有关， 与二项式无关， 后者与二项式、 二项式的指数及项数均有关．
－
展开式通项
在二项式定理中，令 a＝1，b＝x， 备注
2 2 则得到公式(1＋x)n＝1＋C1 x ＋ C n nx k n ＋…＋Ck x ＋…＋ x n
[思考尝试· 夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)(a＋b)10 的展开式中共有 10 项．(
n－ k k n (2)Ck a b 是 ( a ＋ b ) 展开式的第 k 项．( n
[变式训练] (1)(2016· 全国Ⅰ卷)(2x＋ x)5 的展开式 中，x3 的系数是________(用数字填写答案)． a x＋ 8 (2)若 3 的展开式中 x4 的系数为 7，则实数 a x ＝________．
1.5.1二项式定理 课件(北师大版选修2-3)
2 x
(2)求含 x2 的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．
【思路探究】 利用展开式中的通项公式求出当 x 的次
课 时 作 业
课 堂 互 动 探 究
数为 0 时 n 的值，再求解(2)(3)问．
菜 单
教 师 备 课 资 源
BS ·数学
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学
选修2－3
易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标
二项式定理的正用与逆用
1 4 (1)求(3 x＋ ) 的展开式； x
2 3 n 1 n (2)求值 C1 Cn. n＋3Cn＋9Cn＋„＋3
－
【思路探究】 (1)直接利用二项式定理展开，也可以先化简再展开； (2)先化成二项展开式的形式， 然后逆用二项式定理求解．
1 2 2 1 2 x) ＋C4(3 x) ( ) ＋ x x
3
1 3 4 1 4 x)( ) ＋C4( ) x x
2
课 堂 互 动 探 究
12 1 ＝81x ＋108x＋54＋ ＋ 2. x x
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源 菜 单
BS ·数学
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学
选修2－3
易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标
1 4 3x＋1 4 1 法二 (3 x＋ ) ＝( ) ＝ 2(1＋3x)4 x x x 1 2 2 3 3 4 4 ＝ 2[1＋C1 3 x ＋ C (3 x ) ＋ C (3 x ) ＋ C (3 x ) ] 4 4 4 4 x 1 ＝ 2(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4) x 1 12 ＝ 2＋ ＋54＋108x＋81x2. x x
高中数学第一章计数原理1.5二项式定理课件北师大版选修2_3
3. 二项式展开式中, 偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项
1 + C 3 + CC 4 +…=2n-1 . 式系数和, 即C������ ������ ������ ������ ������ ������
一
二
【做一做 3】 设 n∈N+, 则
0 2n - C 1 2n-1 +…+(-1)kC ������ 2n-k+…+(-1)n C ������ = C������ ������ ������ ������ 0 2n -C 1 2n-1 +…+( -1)kC ������ 2n-k+…+( -1)n C ������ = 解析:C������ ������ ������ ������ 0 n 1 n-1 ������ n-k ������ 0 C������ 2· (-1)0 +C������ 2 · (-1)1+…+C������ 2 · (-1)k+…+C������ 2 (-1)n =(2-1)n =1.
+
(2)每一行中, 与首末两端“等距离”的两个数相等. 这就是说, 二项展开式中, 与首末两端“等距离”的两项的二项式
������ 系数相等, 实际上反映了组合数的性质C������ = C������ ������ -������
.
一
二
名师点拨1.如果二项式的幂指数是偶数,中间一项的二项式系数 最大;如果二项式的幂指数是奇数,中间两项的二项式系数相等并 且最大. 0 1 2 ������ 2. 二项式系数的和等于 2n, 即C������ + C������ + C������ +…+C������ =2n.