上海市浦东新区九年级(上)期中数学试卷
23. 如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠A=90°，AB=4，CD=2，CE⊥BC 交边 AD 于点 E．
（1）当点 E 与 A 恰好重合时（如图 1），求 AD 的长； （2）问：是否可能使△ABE、△CDE 和△BCE 都相似？若能，请求出此时 AD 的长； 若不能，请说明理由（如图 2）．
点 O，CO=25AC． （1）求：CDAB 的值；（2）若 AC=a，BC=b，用向量 a 与 b 表示 DC．
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21. 在△ABC 中，AB=AC ，∠A=45° ，AC 的垂直平分线分别交 AB， AC 于 D 、E 两点，连接 CD，如果 AD=2，求 tan∠BCD 的值．
九年级（上）期中数学试卷
题号 得分
一
二
三
四
总分
一、选择题（本大题共 6 小题，共 24.0 分）
1. 下列各组图形一定相似的是（ ）
A. 所有等腰三角形都相似
B. 所有等边三角形都相似
C. 所有菱形都相似
D. 所有矩形都相似
2. 甲、乙两地的实际距离是 20 千米，在比例尺为 1：500000 的地图上甲乙两地的距 离（ ）
10cm，那么△DEF 的最短边是______cm．
10. 已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点，且 AP＞BP，AB=4，那么 AP=______．
11. 如图，DE∥BC，DE：BC=3：4，那么 AE：CE=______．
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12. 如图，AD∥BE∥CF，AB=5cm，AC=8cm，DE=7cm，则 EF=______cm．
【解析】
解：20 千米=2000000 厘米，
2000000×
=4（cm）．
故选：D． 根据实际距离×比例尺=图上距离，代入数据计算即可． 本题考查了比例线段，能够根据比例尺灵活计算，注意单位的换算问题． 3.【答案】A
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
5. 一个三角形的三边分别为 3，4，5，另一个与它相似的三角形中有一条边长为 8，
则这个三角形的边长不可能是（ ）
A. 325
B. 403
C. 9
D. 10
6. 如图，平面直角坐标系中，已知矩形 OABC，O 为原点，点 A、C
分别在 x 轴、y 轴上，点 B 的坐标为（1，2），连接 OB，将△OAB
25. 如图，在 Rt△ABC 中，∠A=30°，∠C=90°，AB=12，点 D 为 BC 边上一个动点，过 点 D 作∠BDE=∠B 交边 AB 点 E，过点 E 作射线 EF⊥AB 交 AC 边于点 F，交射线 BC 于点 G，连接 DF，设 BE 两点的距离为 x，CG 两点的距离为 y． （1）求证：BD=DG； （2）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出 x 的取值范围； （3）点 D 在运动过程中，△DEF 能否构成等腰三角形？如果能，请直接写出 BE 的长，如果不能，请简要说明理由．
沿直线 OB 翻折，点 A 落在点 D 的位置，则 cos∠COD 的值是
（ ）
A. 35
B. 12
C. 34
D. 45
二、填空题（本大题共 12 小题，共 48.0 分）
7. 若 xy=23，则为 x+yy=______．
8. 化简：-3（2a-b）+2（a+2b）=______．
9. 如果△ABC 与△DEF 相似，△ABC 的三边之比为 3：4：6，△DEF 的最长边是
16. 已知直角三角形两边长分别为 3 和 4，那么较小锐角的正弦值是______． 17. 如果梯形两底分别为 12 和 20，高为 1，那么两腰延长线的交点到较大边的距离是
______． 18. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=5，tanA=34，点 D 是斜边 AB 的中点，把△ABC 绕点
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答案和解析
1.【答案】B
【解析】
解：任意两个等腰三角形的对应边不一定成比例，不一定相似，A 错误； 任意两个等边三角形对应角相等、对应边成比例，一定相似，B 正确； 任意两个菱形的对应角不一定相等，不一定相似，C 错误； 任意两个矩形的对应边不一定成比例，不一定相似，D 错误； 故选：B． 根据对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形进行判断即可． 本题考查的是相似图形的判定，掌握对应角相等，对应边成比例的两个图形， 叫做相似图形是解题的关键． 2.【答案】D
A. 40cm
B. 400cm
C. 0.4cm
D. 4cm
3. 如图，在△ABC 中，DE∥BC，若 ADDB＝23，则 S△ADE：S△ABC 等于 （ ）
A. 4：25 B. 2：5 C. 4：9 D. 4：21
4. 如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB； ③ACCD=ABBC；④AC2=AD•AB．其中能够判定△ABC∽△ACD 的个数为（ ）
24. 已知：在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，点 M 是斜边 AB 的中 点，MD∥BC，且 MD=CM，DE⊥AB 于点 E，连结 AD．
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（1）求证：△MED∽△BCA； （2）当 S△BDM=13S△ABC 时，求 S△BED：S△MED 的值； （3）在（2）的条件下，求 cos∠ABC 的值．
13. 如图，在△ABC 中，AD 是中线，G 是重心，过点 G 作 EF∥BC，分别交 AB、AC 于点 E、F，若 AC=18，则 AF=______．
14. 如图，在▱ABCD 中，E 在 DC 上，若 DE：EC=1： 2，则 BF：EF=______．
15. 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于点 D，如果 AC=6，BC=3，那么∠BCD 的正 切值是______．
C 旋转，使得点 B 落在直线 CD 上的点 B′处，那么线段 DB′的长是______． 三、计算题（本大题共 1 小题，共 10.0 分） 19. 计算：tan45°-3cot60°+2cos30°+2sin30°．
四、解答题（本大题共 6 小题，共 68.0 分） 20. 如图，已知梯形 ABCD 中，AB∥CD，对角线 AC、BD 相交于
2023-2024学年上海市浦东新区九年级上学期期中模拟数学试题及解析
2023学年第一学期九年级数学期中质量检测考生注意：1.本试卷共25题，试卷满分150分，考试时间100分钟．2.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】1. “相似的图形”是( ) A. 形状相同的图形 B. 大小不相同的图形 C. 能够重合的图形 D. 大小相同的图形【答案】A 【解析】【分析】根据相似形的定义直接进行判断即可．【详解】相似图形是形状相同的图形，大小可以相同，也可以不同， 故选A ．【点睛】本题考查了相似图形的定义，解题的关键是了解相似图形是形状相同的图形． 2. 已知在 Rt ABC 中， ∠C = 90°，AC = 8, BC = 15 ，那么下列等式正确的是（ ） A. 8sin 17A =B. cosA=815C. tan A =817D. cot A=815【答案】D 【解析】【分析】根据锐角三角函数的定义进行作答. 【详解】由勾股定理知，AB=17；A.15sin 17BC A AB == ,所以A 错误；B.8cos 17AC A AB ==，所以，B 错误；C.15tan 8BC A AC ==，所以，C 错误；D.cot AC A BC ==815，所以选D. 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是本题解题关键. 3. 对于非零向量a 、b 、c ，下列条件中，不能判定a 与b 是平行向量的是（ ） A. a c ∥，c b ∥B. 30a c +=，3b c =C. 3a b =−D. 3a b =【答案】D 【解析】【分析】根据向量平行向量定义“方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量”进行逐一判定即可．【详解】A 选项，对于非零向量a 、b 、c ，根据a c ∥，b c =，可以得出a b ∥，故本项不符题意； B 选项，因为30a c +=，所以a 和3c 的方向相反，由于3b c =，所以b 和3c 的方向相同，所以a 、b 的方向相反，所以a b ∥，故本项不符题意；C 选项，因为3a b =−，所以a 、b 的方向相反，故a b ∥的，故本项不符题意；D 选项，因为3a b =，所以a 、b 的方向不能确定，故不能判定其位置关系，符合题意． 故选：D ．【点睛】本题考查的是平行向量的定义，理解向量的定义是解决问题的关键． 4. 如图，BD 、CE 相交于点A ，下列条件中，能推得DE BC ∥的条件是（ ）A. ::AE EC AD DB =B. ::AD AB DE BC =C. ::AD DE AB BC =D. ::BD AB AC EC =【答案】A 【解析】【分析】先证明ABC ADE △△∽，可得D B ∠=∠，可得DE BC ∥，再逐一分析即可． 【详解】解：A ．∵::AE EC AD DB =， ∴EC DBAE AD=， ∴都减去1得：AC ABAE AD=， ∵BAC EAD ∠=∠， ∴ABC ADE △△∽， ∴D B ∠=∠，∴DE BC ∥，故本选项正确；的B ．根据::AD AB DE BC =不能推出ABC ADE △△∽，即不能得出内错角相等，不能推出DE BC ∥，故本选项错误；C ．根据::AD DE AB BC =不能推出ABC ADE △△∽，即不能得出内错角相等，不能推出DE BC ∥，故本选项错误；D ．根据::BD AB AC EC =不能推出ABC ADE △△∽，即不能得出内错角相等，不能推出DE BC ∥，故本选项错误； 故选A ．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定方法是解本题的关键．5. 图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB =（ ）A. 1cmB. 2cmC. 3cmD. 4cm【答案】C 【解析】【分析】先求出两个高脚杯液体的高度，再通过三角形相似，建立其对应边的比与对应高的比相等的关系，即可求出AB ．【详解】解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：15-7=8（cm ）， 第二个高脚杯盛液体的高度为：11-7=4（cm ），因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯， 所以图1和图2中的两个三角形相似， ∴468AB =， ∴=3AB （cm ）， 故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是读懂题意，与图形建立关联，能灵活运用相似三角形的判定得到相似三角形，并能运用其性质得到相应线段之间的关系等，本题对学生的观察分析的能力有一定的要求．6. 《九章算术》的“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门二十步有木，出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木．问邑方几何？”大意是： 如图，四边形EFGH 是一座正方形小城，北门A 位于FG 的中点，南门B 位于EH 的中点．从北门出去正北方向20步远的C 处有一树木，从南门出去向南行走14步，再向西行走1775步，恰好能看见C 处的树木，则正方形小城的边长为（ ）A. 105步B. 200步C. 250步D. 305步【答案】C 【解析】【分析】此题文字叙述比较多，解题时首先要理解题意，找到相似三角形，利用相似三角形的性质解题，相似三角形的对应边成比例．【详解】设小城的边长为x 步，根据题意， Rt △CAF ∽Rt △CDM ，∴CA FACD MD=， 即200.520141775xx =++，去分母并整理， 得x 2+34x -71000=0，解得x 1=250，x 2=-284（不合题意，舍去）， ∴小城的边长为250步． 故选：C ．【点睛】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出小城的边长．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7. 如果x :y 4:3=，那么():x y y −=________．【答案】13【解析】【分析】根据x :y 4:3=得到43x y =，把它代入后面的式子求出比值． 【详解】解：∵x :y 4:3=， ∴34x y =，即43x y =， ∴()411:::1:3333x y y y y y y y ⎛⎫−=−=== ⎪⎝⎭．故答案是：13． 【点睛】本题考查比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质． 8. 计算：()34a a b −+=___________． 【答案】4a b −− 【解析】【分析】根据平面向量的加法法则计算即可．【详解】解：()343444a a b a a b a b −+=−−=−−， 故答案为：4a b −−．【点睛】本题考查平面向量的加减法则，解题的关键是熟练掌握平面向量的加减法则，注意平面向量的加减适合加法交换律以及结合律，适合去括号法则．9. 如果地图上A ，B 两处的图距是4cm ，表示这两地实际的距离是20km ，那么实际距离500km 的两地在地图上的图距是______cm ． 【答案】100． 【解析】【详解】试题分析：设实际距离500km 的两地在地图上的图距是xcm ，则 4：2000000=x ：50000000，解得x=100． 故答案为100． 考点：比例线段．10. 已知线段4cm MN =，P 是线段MN 的黄金分割点，且MP NP >，那么线段MP 的长度等于________cm ．【答案】2##2−+ 【解析】【分析】根据黄金分割的定义：把线段AB 分成两条线段PM 和()PN PM PN >，且使PM 是AB 和PN 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点P 叫做线段AB 的黄金分割点． 【详解】解：根据黄金分割的定义，得2·PM AB PN =，()244PM PM =−，解得2PM =（负值舍去），故答案2．【点睛】本题主要考查黄金分割点，熟练掌握黄金分割点的定义是解题的关键．11. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A ，B ，C 都在横线上．若线段3AB =，则线段BC =______．【答案】32##1.5 【解析】【分析】如图，过点A 作AF CF ⊥于点F ，交过点B平行线于点E ，交A 的邻近平行线于点D ，根据题意，AD DE EF h ===，利用平行线分线段成比例定理计算即可．【详解】解：如图，过点A 作AF CF ⊥于点F ，交过点B 的平行线于点E ，交A 的邻近平行线于点D ，根据题意，AD DE EF h ===，的所以232AB AE h BC EF h BC====． 解得32BC =． 故答案为：32． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键．12. 如图，在ABC 中，点D 是AB 边上一点，连接CD ．已知4=AD ，5BD =，6AC =，3CD =，那么线段BC 的长度是________．【答案】92【解析】【分析】证明ABC ACD ∽，根据相似比即可求解； 【详解】4AD =，5BD =，6AC =，63453,4262AC AB AD AC +∴====， AC AB AD AC ∴=， CAD BAC ∠=∠，ABC ACD ∴∽，23CD BC ∴=， 3CD =，92BC ∴=， 故答案为：92． 【点睛】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是证明三角形相似．13. 利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5厘米的一个等边三角形放大成边长为20厘米的等边三角形，那么放大前后的两个三角形的周长比是________．【答案】1：4 【解析】【分析】根据是相似三角形周长的比等于三角形边长的比解答即可．【详解】因为原图中边长为5厘米的一个等边三角形放大成边长为20厘米的等边三角形，所以放大前后的两个三角形的周长比为5：20=1：4． 故答案为1：4．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，关键是根据相似三角形周长的比等于三角形边长的比解答．14. 如果锐角α的正切值为3，那么锐角α为________度 【答案】30 【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值，即可解答．【详解】解：因为锐角α的正切值为3，即tan 3α=，所以锐角α为30度， 故答案为：30．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 15. 如果等腰三角形的腰与底边的比是5:6，那么底角的余弦值等于________． 【答案】35【解析】【分析】如图，ABC 中，根据等腰三角形的腰与底边的比是5:6，设腰长为5AB AC k ==，底边长6BC k =，作AE BC ⊥于E ，则12BE EC BC ==，在Rt AEC △中，根据1cos 2EC BC C AC AC==，即可解决问题．【详解】解：如图，ABC 中， ∵等腰三角形的腰与底边的比是5:6，设腰长为5AB AC k ==，底边长6BC k =， 作AE BC ⊥于E ， ∴12BE EC BC ==，在Rt AEC △中， ∴1163cos 2255EC BC k C AC AC k ===⨯=， 故答案为：35． 【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，余弦函数，熟练掌握函数的定义是解题的关键． 16. 如图，在ABC 中，4AB =，点E 、F 分别为AC 、BC 上的中点，联结AF、BE 交于点O ．如果BE AF ⊥，30ABE ∠=︒，那么AC 的长度为________．【答案】 【解析】【分析】连接EF ，利用中位线定理，勾股定理，含30︒角的直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：连接EF ．∵点E 、F 分别为AC 、BC 上的中点，30ABE ∠=︒，4AB =， ∴FE AB ∥，24AB EF==，2AC AE =，∴30FEO EBA ∠=∠=︒，2EF =， ∵BE AF ⊥，∴90FOE BOA ∠=∠=︒,∴根据含30︒角直角三角形的性质：122AO AB ==,112FO EF ==,∴EO ==,∴EA ==,∴2AC AE ==，故答案为：．【点睛】本题考查了三角形中位线定理，含30︒角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握中位线定理，勾股定理是解题的关键．17. 如图，D 、E 分别是ABC 的边AB 、BC 上的点，且//DE AC ，AE 、CD 相交于点O ，若125DOE COA S S =△△，则BDECDES S =△△______．【答案】14【解析】【分析】由//DE AC ，推出DEO CAO △∽△，可得21()25DEO CAO S DE S AC ∆∆==，推出15DE BE AC BC ==，推出14BE EC =，即可求解． 【详解】解：//DE AC ，DEO CAO ∴∽△△， ∴21()25DEO CAO S DE S AC ==△△， 15DE BE AC BC ∴==， 14BE EC ∴=，14BED DEC S S ∴=△△， 故答案为：14． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．18. 如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =，点D 、E 分别在边AB 、AC 上．将ADE 沿着DE 所在的直线翻折，使点A 的对应点F 落在边BC 的延长线上．如果FD 平分EFB ∠，那么AD 的长度为________．【答案】207【解析】【分析】由翻折得出AD DF A DFE ∠∠＝，＝，再根据FD 平分EFB ∠，得出DFH A ∠∠＝，然后借助相似列出方程即可．【详解】解：作DH BC ⊥于H ，在Rt ABC △纸片中，90ACB ∠︒＝，由勾股定理得：5AB ==， ∵将ADE 沿DE 翻折得DEF ，∴AD DF A DFE ∠∠＝，＝， ∵FD 平分EFB ∠， ∴DFE DFH ∠∠＝，∴DFH A ∠∠＝， 设3DH x ＝，Rt DHF △中，3sin sin 5DFH A ∠∠＝＝ ，∴5AD DF x ==， ∴55BD x =−， ∵BDH BAC ∽，∴BD DHAB AC =， ∴55354x x−=， ∴47x =，∴2075AD x ==．故答案是：207．【点睛】本题考查了以直角三角形为背景的翻折问题，紧扣翻折前后对应线段相等、对应角相等来解决问题，通过相似表示线段和列方程是解题本题的关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19. 计算：24cos 30cot 45tan 602sin 45︒−︒︒+︒【答案】 【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值代值计算即可．【详解】解：原式2412⎛⎫⋅− ⎪=，，=−【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的函数值是解题关键．20. 如图，已知在平行四边形ABCD 中，点E 是CD 上一点，且2DE =，3CE =，射线AE 与射线BC 相交于点F ．（1）求EFAF的值； （2）如果AB a =，AD b =，求向量EF ．（用向量a 、b 表示）． 【答案】（1）35（2）3325b a + 【解析】【分析】（1）证明ADE FCE ∽得到32EF EC E ED A ==，由此即可得到35EF AF =； （2）根据平行四边形对边平行且相等得到DC AB a ==，则25DE a =，根据向量的运算法则得到25AE AD DE b a =+=+，则32332525EF b a b a ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．【小问1详解】解：四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥， ∴ADE FCE ∽，EF ECAE ED∴=， 2DE =，3CE =，32EF AE ∴=， ∴33235EF AF ==+； 【小问2详解】解：四边形ABCD 是平行四边形，DC AB ∴∥，DC AB =，DC AB a ∴==， 2DE =，5DC =，25DE DC ∴=； 又DE 和DC 同向，25DE a ∴=， 25AE AD DE b a =+∴=+，∵32EF AE =， 32EF AE ∴=， 又EF 和AE 同向，32332525EF b a b a ⎛⎫∴=+=+ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，向量的线性运算，正确推出32EF AE =是解题的关键．21. 如图，在正方形ABCD 中，E 是对角线BD 上任意一点（BE ＞DE ），CE 的延长线交AD 于点F ，连接AE ．（1）求证：△ABE ∽△FDE ； （2）当BE =3DE 时，求tan ∠1的值．【答案】（1）证明见解析；（2）2 【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得到AB =BC ，∠ABE =∠CBE =∠FDE =45°，根据全等三角形的性质得到∠BAE =∠ECB ，等量代换得到∠BAE =∠DFE ，即可得到结论；（2）连接AC 交BD 于O ，设正方形ABCD 的边长为a ，根据勾股定理得到BDa ，BO =OD =OC=2a，根据已知条件得到OE =12OD=4a ，然后在直角△EOC 中，根据三角函数的定义得到结论． 【详解】（1）证明：在正方形ABCD 中， ∵AB =BC ，∠ABE =∠CBE =∠FDE =45°， 在△ABE 与△CBE 中，AB CB ABE CBE BE BE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ABE ≌△CBE ， ∴∠BAE =∠BCE ， ∵AD ∥BC ， ∴∠DFE =∠BCE ， ∴∠BAE =∠DFE ， ∴△ABE ∽△FDE ； （2）连接AC 交BD 于O ，设正方形ABCD 的边长为a ， ∴BDa ，BO =OD =OC=2a ， ∵BE =3DE ， ∴OE =12OD=4a ， ∵BD ⊥AC ， ∴tan ∠1=tan ∠OEC =OCOE=2． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定，求三角函数值等知识；掌握这些知识是关键．22. 晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞．小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的A点(距N点5块地砖长)时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B点(距N 点9块地砖长)时，其影长BF恰好为2块地砖长．已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ.请你根据以上信息，求出小军身高BE的长(结果精确到0.01米)．【答案】小军身高BE的长约为1.75米．【解析】【分析】先利用相似三角形的性质求出MN的长度，再利用相似三角形的性质求出EB的长度就可．【详解】由题意可知∠CAD=∠MND="90°," ∠CDA=∠MDN∴△CAD∽△MND∴AC ADMN ND=即()1.610.8510.8MN⨯=+⨯∴ MN=9．6又∵∠EBF=∠MNF=90°,∠EFB=∠MNF ∴△EBF∽△MNF∴EB BFMN NF=即()20.89.6290.8EB⨯=+⨯∴ EB=1．75所以小军身高BE的长为1．75米．23. 已知：如图，在ABC中，点D、G分别在边AB、BC上，ACD B∠=∠，AG与CD相交于点F．（1）求证：2AC AD AB =⋅； （2）若AD DFAC CG=，求证：2CG DF BG =⋅． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】【分析】（1）证明△ACD ∽△ABC ，得出对应边成比例AC ：AB=AD ：AC ，即可得出结论；2）由相似三角形的性质得出∠ADF=∠ACG ，由已知证出△ADF ∽△ACG ，得出∠DAF=∠CAF ，AG 是∠BAC 的平分线，由角平分线得出=AC CG AB BG ，再证△AFC ∽△AGB ，得=AC CF AB BG ，证出CG=CF ，则=AC CGAB BG，进而得出结论．【详解】（1）证明：∵∠ACD=∠B ，∠CAD=∠BAC ， ∴△ACD ∽△ABC ， ∴AC ：AB=AD ：AC ， ∴AC 2=AD•AB ；（2）证明：∵△ACD ∽△ABC ， ∴∠ADF=∠ACG ， ∵AD DFAC CG=， ∴△ADF ∽△ACG ， ∴∠DAF=∠CAF ， 即∠BAG=∠CAG ， 又∵∠ACD=∠B ， ∴△AFC ∽△AGB ，∴=AC CFAB BG， ∵∠CFG=∠CAG+∠ACD ，∠CGF=∠BAG+∠B ， ∴∠CFG=∠CGF ，∴CG=CF ，∴=AC CGAB BG由（1）得：AC ADAB AC=∴=DF CGCG BG∴CG 2=DF•BG ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及角平分线的性质；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．24. 已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线4y x =+与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ．（1）求OAB ∠的余切值；（2）如果点C 为直线AB 上第一象限内的点，且2AB BC =，求点C 的坐标；（3）在（2）的条件下，直线AB 上是否存在点P ，使OAP △与OBC △相似，如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）1 （2）()2,6（3）存在，()6,2−−或()8,4−− 【解析】【分析】（1）根据余切值的定义，即可求得． （2）画出图，根据相似三角形的性质即可求得．（3） 根据OBC △的135︒角所对边的关系，从而分类讨论找出两个符合条件的点，利用相似即可求得坐标．【小问1详解】解：根据题意得直线4y x =+与x 轴交点A 的坐标为()4,0−，与y 轴交点B 的坐标为()0,4．4∴=OA ，4OB =．在Rt AOB △中，90AOB ∠=︒，cot 1AOOAB BO∴∠==． 【小问2详解】解：过点C 作CD y ∥轴交x 轴于点D ，则AOB ADC △∽△．OA OB ABAD DC AC∴==． 2AB BC =，23AB AC ∴=． 4=OA ，4OB =，6AD CD ∴==．2OD ∴=．∴点C 的坐标为()2,6．【小问3详解】解：如图所示：4OA OB ==，45ABO BAO ∴∠=∠=︒．45BOC ︒∴∠<，45BCO ∠<︒．又90OBC ︒∠>，∴满足题意的点P 在BA 的延长线上，且135OAP OBC ︒∠=∠=设点(),4P m m +(4m <−)，则)4AP m =+．()0,4B，()2,6C ，BC ∴=(ⅰ)当OAP OBC △∽△时，AP OABC OB =444m +=，则)4m += 解得6m =−．∴点P 的坐标为()6,2−−．(ⅱ)当OAP CBO △∽△时，AP OAOB BC =，即)44m +=． 解得8m =−．∴点P 的坐标为()8,4−−．综上所述，点P 的坐标为()6,2−−或()8,4−−．【点睛】本题考查余切值、一次函数综合、相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定是解题的关键25. 在矩形ABCD 中，6AB =，8AD =．点M 是边BC 上的一点（与端点B 、C 不重合）．（1）如图1，当3BM =时，连结MD 交AC 于点E ，求线段DE 的长度； （2）如图2，当90DEC ∠=︒时，求四边形ABME 的面积；（3）如图3，过点M 作AM 的垂线，交边CD 于点F ，交AC 于点G ．设BM x =，FGy AM=，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．【答案】（1 （2）95750（3）28276x xy x−+=+，（08x <<）【解析】【分析】（1）由题意，可求得5MC =，由勾股定理求DM =，再由AD BC ∥可得85DE AD ME CM ==，即813DE DM =，则可求DE 的长度； （2）证明ECD ADC ∽可求得185CE =，由AD BC ∥可知ADE CME ∽△△，则AD AEMC EC=，解得92MC =，2710ME =,四边形ABME 的面积为ABC MEC S S −解得四边形ABME 的面积为95750． （3）分别证明FGH FMC △∽△和MAB FMC ∽，故可得MAB FGH ∽由相似分别得到()86x x FC −=，()86x x CH xy −=−．再由GH AD 可证GH CH AD CD =，代入得到()86686x x xy y −−=，则问题可证．【小问1详解】∵四边形ABCD 是矩形，6AB =，8AD =， 6DC AB ∴==，8BC AD ==，AD BC ∥．又3BM =，5MC ∴=．在Rt CDM △中，90MCD ∠=︒，5MC =，6DC =，DM ∴=∵AD BC ∥，85DE AD ME CM ∴==． 813DE DM ∴=．DE ∴= 【小问2详解】∵90DEC ADC ∠=∠=︒，ECD DCA ∠=∠，ECD ADC ∴△∽△．CE CD CD CA∴=． ∵6CD =，10AC =， 185CE ∴=． ∵AD BC ∥，∴ADE CME ∽△△， ∴AD AE MC EC=， ∴181085185MC−=∴92MC =，∴2710ME ===, ∴四边形ABME 的面积为1122ABC MEC S S AB BC ME EC −=⋅−⋅ 1127186822105=⨯⨯−⨯⨯ 95750= ∴四边形ABME 的面积为95750． 【小问3详解】过点G 作GH BC ∥交CD 于点H ，则FGH FMC △∽△．∵四边形ABCD 是矩形，90ABC BCD ∴∠=∠=︒．∵AMB FMC MAB ABC ∠+∠=∠+∠，90AMF ∠=︒，FMC MAB ∴∠=∠．MAB FMC ∴△∽△．MAB FGH ∴△∽△．GH FH FG y AB MB MA∴===． ∵=6AB ，MB x =，6GH y ∴=，FH xy =．∵MAB FMC ∽，FC CM MB BA∴=． ∵=6AB ，MB x =，8CM x =−，()86x x FC −∴=．()86x x CH xy −∴=−． ∵GH BC ∥，AD BC ∥，GH AD ∴∥．GH CH AD CD∴=． 即()86686x x xy y −−=． 整理得28276x x y x−+=+，（08x <<）． 【点睛】本题考查了矩形的性质和相似三角形的性质和判定，解答过程中要根据各问中的条件，利用相似三角的性质形构造方程或等式．。
2022-2023学年上海市浦东新区民办远翔实验学校九年级上学期期中考试数学试卷含详解
上海浦东新区民办远翔实验学校2022学年度第一学期期中考试初三年级数学试卷（时间：100分钟总分：150分）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.抛物线234y x x =+-的对称轴是（）A .直线3x =；B.直线3x =-；C.直线32x =； D.直线32x =-．2.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，那么sin ∠B 等于()A.AC ABB.BC AB C.AC BCD.BC AC3.如图，在平行四边形ABCD 中，若E 为CD 中点，且AE 与BD 交于点F ，则EDF 与ABF △的周长比为（）A.1:2B.1:4C.1:3D.1:94.如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1:3，若它把物体从地面点A 处送到离地面2米高的B 处，则物体从A 到B 所经过的路程为（）A.6米B.米 C.米 D.米5.已知e 是一个单位向量，a、b是非零向量，那么下列等式正确的是（）A.a e a =B.e b b= C.1a ea = D.11a ba b= 6.如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=2，∠B=60°，⊙A 的半径为3，那么下列说法正确的是（）A.点B、点C 都在⊙A 内B.点C 在⊙A 内，点B 在⊙A 外C.点B 在⊙A 内，点C 在⊙A 外D.点B、点C 都在⊙A 外二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.如果a b 53=，那么a b a b-+的值等于________．8.抛物线2(-1)3y x =+的顶点坐标是______.9.计算：tan 60sin 45︒-︒=______________．10.计算：133a a b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ =______________．11.已知点P 是线段AB 的黄金分割点，AP ＞PB ．若AB ＝2，则AP ＝_____．12.如果两个相似三角形的面积比是1:4，那么它们的周长比是________．13.将抛物线()212y x =--+向左平移2个单位，向下平移1个单位，所得到的抛物线的解析式为______________．14.如图，在O 中，»»70AB AC B ∠=︒=，，则BAC ∠=______________．15.离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为α，如果测角仪高为1.5米．那么旗杆的高为__________米（用含α的三角函数表示）．16.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，点G 是△ABC 的重心，GH ⊥BC ，垂足是H ，则GH 的长为_______．17.如图，正方形ABCD 中，点E 是BC 的中点，将正方形ABCD 沿AE 翻折，点B 落在点F 处，延长EF 交CD 于点P ，若6AB =，则DP 的长为______________．18.已知抛物线22y x x n =--与x 轴交于A 、B 两点，抛物线22y x x n =+-与x 轴交于C 、D 两点，其中0n >，若2AD BC =，则n 的值为______________．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.计算：1sin 30cot 45sin 60cos60-︒⋅︒︒-︒．20.如图，在梯形ABCD 中，6AD BC CD =，∥，点E 、F 分别在两腰上，且EF AD ∥，21AE EB =：：．（1）求线段CF 的长；（2）设AB a =，AD b =，求作EC 在a 和b 方向上的分向量．21.如图，已知在ABC 中，90ACB CD AB ∠=︒⊥，于点D ，23AC BD ==，，（1）求AD 的长；（2）如果CF 过AB 的中点E ，且满足CF CB =，求F ∠的正切值．22.如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为60°看这栋高楼底部的俯角为30°热气球与高楼的水平距离AD 为120米，请问：这栋高楼的楼高CB 为多少米? 1.732≈，结果精确到0.1米）23.已知：如图，在△ABC 中，AD 是边BC 上的中线，点E 在线段BD 上，且BE =ED ，过点B 作BF ∥AC ，交线段AE 的延长线于点F ．（1）求证：AC =3BF ；（2）如果，求证：．24.已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()()1030A B ，、，两点，且与y 轴的公共点为点C ，设该抛物线的顶点为D ．（1）求抛物线的表达式，并求出顶点D 的坐标；（2）若点P 为抛物线上一点，且满足PB PC =，求点P 的横坐标；（3）连接CD BC ，，点E 为线段BC 上一点，过点E 作EFCD ⊥交CD 于点F ，若12=DF CF ，求点E 的坐标．25.如图，平行四边形ABCD 中，57AB BC ==，，4sin 5B =，点P 是边BC 上一动点，点Q 在射线AD 上，满足APQ ADC ∠=∠，直线PQ 与直线CD 交于点E ，射线AP 与直线CD 交于点F ，（1）求证：ABP QPA ∽△△；（2）当点Q 在线段AD 上时，设BP x AQ y ==，，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）若CE =5PC ，求BP 的长．上海浦东新区民办远翔实验学校2022学年度第一学期期中考试初三年级数学试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.抛物线234y x x =+-的对称轴是（）A.直线3x =； B.直线3x =-； C.直线32x =； D.直线32x =-．【答案】D【分析】把抛物线解析式化为顶点式即可得到答案．【详解】解：∵抛物线解析式为223253424y x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，∴抛物线对称轴为直线32x =-，故选D ．【点睛】本题主要考查了求二次函数的对称轴，熟知对于二次函数()()20=-+≠y a x h k a 的对称轴为直线x h =是解题的关键．2.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，那么sin ∠B 等于()A.AC ABB.BC AB C.AC BCD.BC AC【答案】A【分析】根据锐角三角函数的定义得出sinB 等于∠B 的对边除以斜边，即可得出答案．【详解】根据在△ABC 中，∠C=90°，那么sinB=B ∠的对边斜边=ACAB，故答案选A.【点睛】本题考查的知识点是锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练的掌握锐角三角函数的定义.3.如图，在平行四边形ABCD 中，若E 为CD 中点，且AE 与BD 交于点F ，则EDF 与ABF △的周长比为（）A.1:2B.1:4C.1:3D.1:9【答案】A【分析】先证明EDF ABF △∽△，然后根据相似三角形的周长之比等于相似之比进行求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD AB CD ∥，=，∴EDF ABF △∽△，∵E 为CD 中点，∴1122DE CD AB ==，∴12EDF ABF C DE C AB ==△△（C 表示周长），故选A ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的周长之比等于相似之比是解题的关键．4.如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1:3，若它把物体从地面点A 处送到离地面2米高的B 处，则物体从A 到B 所经过的路程为（）A.6米B.米C.米D.米【答案】C【分析】过点B 作BC AC ⊥于点C ，构造直角ABC 求出AB 的长即可．【详解】解：过点B 作BC AC ⊥于点C ，∵传送带和地面所成斜坡的坡度为1:3，∴13BC AC =，∴6AC =米，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，由勾股定理得AB ===，故选：C．【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用，勾股定理，解决问题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形．5.已知e 是一个单位向量，a 、b是非零向量，那么下列等式正确的是（）A.a e a= B.e b b= C.1a ea = D.11a ba b= 【答案】B【分析】长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解．【详解】A.由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；B.符合向量的长度及方向，正确；C.得出的是a 的方向不是单位向量，故错误；D.左边得出的是a 的方向，右边得出的是b 的方向，两者方向不一定相同，故错误.故答案选B.【点睛】本题考查的知识点是平面向量，解题的关键是熟练的掌握平面向量.6.如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=2，∠B=60°，⊙A 的半径为3，那么下列说法正确的是（）A.点B、点C 都在⊙A 内B.点C 在⊙A 内，点B 在⊙A 外C.点B 在⊙A 内，点C 在⊙A 外D.点B、点C 都在⊙A 外【答案】D【分析】先求出AB 的长，再求出AC 的长，由B 、C 到A 的距离及圆半径的长的关系判断B 、C 与圆的关系.【详解】由题意可求出∠A =30°，∴AB=2BC=4,由勾股定理得 AB=4>3,>3，∴点B 、点C 都在⊙A 外.故答案选D.【点睛】本题考查的知识点是点与圆的位置关系，解题的关键是熟练的掌握点与圆的位置关系.二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.如果a b 53=，那么a ba b -+的值等于________．【答案】14【分析】根据比例的性质，可用b 表示a ，根据分式的性质，可得答案．【详解】解：由a b 53=，得a ＝5b 3当a ＝5b3时，a b a b -+＝5b 2bb1335b8b 4b 33-==+，故答案为14．【点睛】本题考查了比例的性质，利用了比例的性质，分式的性质．8.抛物线2(-1)3y x =+的顶点坐标是______.【答案】(1，3)【分析】根据顶点式：2()y a x h k =-+的顶点坐标为（h ，k ）即可求出顶点坐标.【详解】解：由顶点式可知：2(-1)3y x =+的顶点坐标为：(1，3).故答案为(1，3).【点睛】此题考查的是求顶点坐标，掌握顶点式：2()y a x h k =-+的顶点坐标为（h ，k ）是解决此题的关键.9.计算：tan 60sin 45︒-︒=______________．【答案】22【分析】根据特殊角三角函数值的混合计算法则求解即可．【详解】解：tan 60sin 452︒-︒=-，2．【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值，熟知60度角的正切值和45度角的正弦值是解题的关键．10.计算：133a a b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ =______________．【答案】2a b-+【分析】根据向量的相关计算法则求解即可．【详解】解：133a a b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 3a a b =-+r r r2a b =-+r r ，故答案为：2a b -+．【点睛】本题主要考查了向量的计算，熟知向量的相关计算法则是解题的关键．11.已知点P 是线段AB 的黄金分割点，AP ＞PB ．若AB ＝2，则AP ＝_____．1-##1-+【分析】根据黄金分割点的定义，知AP 是较长线段；则AP AB ，代入数据即可得出AP 的长．【详解】解：由于P 为线段AB ＝2的黄金分割点，且AP 是较长线段；则AP ＝1-，1．【点睛】本题考查了黄金分割点即线段上一点把线段分成较长和较短的两条线段，且较长线段的平方等于较短线段与全线段的积，熟练掌握黄金分割点的公式是解题的关键．12.如果两个相似三角形的面积比是1:4，那么它们的周长比是________．【答案】1：2【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比，即可完成．【详解】∵相似三角形面积的比等于相似比的平方∴两个相似三角形的相似比为1：2∵两个相似三角形周长的比等于相似比∴两个三角形周长的比等于1：2故答案为：1：2【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是关键．13.将抛物线()212y x =--+向左平移2个单位，向下平移1个单位，所得到的抛物线的解析式为______________．【答案】()211y x =-++【分析】先求出原抛物线的顶点坐标，再根据平移方式确定平移后的抛物线的顶点坐标即可得到答案．【详解】解：∵原抛物线解析式为()212y x =--+，∴原抛物线顶点坐标为()12，，∴将抛物线()212y x =--+向左平移2个单位，向下平移1个单位，所得到的抛物线顶点坐标为()11-，，∴平移后的抛物线解析式为()211y x =-++，故答案为：()211y x =-++．【点睛】本题主要考查了二次函数的平移，正确根据平移方式求出平移后的抛物线顶点坐标是解题的关键．14.如图，在O 中，»»70AB AC B ∠=︒=，，则BAC ∠=______________．【答案】40︒##40度【分析】根据同圆中等弧所对的圆周角相等，求出C ∠的度数，即可利用三角形内角和定理求出BAC ∠的度数．【详解】解：∵在O 中， =AB AC ，∴70C B ∠=∠=︒，∴18040BAC B C =︒--=︒∠∠∠，故答案为：40︒．【点睛】本题主要考查了等弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理，正确求出C ∠的度数是解题的关键．15.离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为α，如果测角仪高为1.5米．那么旗杆的高为__________米（用含α的三角函数表示）．【答案】1.5+20tan α【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了已知角的邻边求对边，用正切值计算即可．【详解】根据题意可得：旗杆比仪器高20tan α，测角仪高为1.5米，故旗杆的高为(1.5+20tan α)米.故答案为1.5+20tan α【点睛】考查解直角三角形的应用，属于仰角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形是解题的关键.16.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，点G 是△ABC 的重心，GH ⊥BC ，垂足是H ，则GH 的长为_______．【答案】2【分析】如图，连接AG 并延长AG 交BC 于D ，由重心的性质可知12GD AG =，可得13GD AD =，由GH ⊥BC ，∠ACB=90°可得GH//BC ，根据平行线分线段成比例定理即可得答案．【详解】如图，连接AG 并延长AG 交BC 于D ，∵点G 是△ABC 的重心，∴AG=2GD ，即12GD AG =，∴13GD AD =，∵由GH ⊥BC ，∠ACB=90°，∴GH//BC ，∴GD GH AD AC=，∵AC=6，∴GH=AC·GD AD =6×13=2，故答案为：2【点睛】此题考查的是重心的性质和平行线分线段成比例定理，掌握重心的性质，根据平行线分线段成比例定理列比例式是解决此题的关键．17.如图，正方形ABCD 中，点E 是BC 的中点，将正方形ABCD 沿AE 翻折，点B 落在点F 处，延长EF 交CD 于点P ，若6AB =，则DP 的长为______________．【答案】2【分析】如图所示，连接AP ，先由折叠和正方形的性质得到90AF AD AFP D ===︒，∠∠，由此证明()Rt Rt HL ADP AFP △≌△，则DP FP =，由E 是BC 的中点，得到3EF BE CE ===，设DP FP x ==，则36EP x CP x =+=-，，在Rt PCE △中，由勾股定理得：()()222336x x +=+-，据此求解即可．【详解】解：如图所示，连接AP ，∵四边形ABCD 是正方形，∴690AB BC CD AD B C D =======︒，∠∠∠，由折叠的性质可知90AF AB AFE B FE BE =∠=∠=︒=，，，∴90AF AD AFP D ===︒，∠∠，又∵AP AP =，∴()Rt Rt HL ADP AFP △≌△，∴DP FP =，∵E 是BC 的中点，∴132EF BE CE BC ====，设DP FP x ==，则36EP x CP x =+=-，，在Rt PCE △中，由勾股定理得：222PE CP CE =+，∴()()222336x x +=+-，解得2x =，∴2DP =，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．18.已知抛物线22y x x n =--与x 轴交于A 、B 两点，抛物线22y x x n =+-与x 轴交于C 、D 两点，其中0n >，若2AD BC =，则n 的值为______________．【答案】8【分析】先求出抛物线22y x x n =+-与x 轴的交点，抛物线22y x x n =--与x 轴的交点，然后根据2AD BC =，得出224AD BC =，列出关于n 的方程，解方程即可．【详解】解：把0y =代入22y x x n =+-得：220x x n +-=，解得：124412x -==-224412x -==-+，把0y =代入22y x x n =--得：220x x n --=，解得：3212x ==4212x +==+∵2AD BC =，∴224AD BC =，∵抛物线22y x x n =+-与抛物线22y x x n =--中的二次项系数相同，∴AB CD =（两个函数可以通过平移得到），又∵2AD BC =，∴如下图所示，点A 在点B 右侧，点C 在点D 右侧，∴()()2214234x x x x -=-，即((2211411---=-++，∴((22141-=-+，m =，则()()22141m m --=-，解得：113m =，23m =，当113m =13=，解得：89n =-，∵0n >，∴89n =-不符合题意舍去；当23m =3=，解得：8n =，∵80>，∴8n =符合题意；综上分析可知，n 的值为8，故答案为：8．【点睛】本题主要考查了抛物线与x 轴的交点问题，根据题意用n 表示出224AD BC =，列出关于n 的方程是解题的关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.计算：1sin30cot45 sin60cos60-︒⋅︒︒-︒．12+【分析】根据特殊角三角函数值的混合计算法则求解即可．【详解】解：1sin30cot45sin60cos60-︒⋅︒︒-︒1123122=-⨯2112+=-112=+-12=．【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，熟知相关特殊角的三角函数值是解题的关键．20.如图，在梯形ABCD中，6AD BC CD=，∥，点E、F分别在两腰上，且EF AD∥，21AE EB=：：．（1）求线段CF的长；（2）设AB a=，AD b=，求作EC在a和b方向上的分向量．【答案】（1）2CF=（2）见解析【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理求解即可；（2）以A为圆心，以BC的长为半径画弧与AD交于G，连接CG交EF于H，则EH HCuuu r uuu r、即为所求；【小问1详解】解：∵AD BC EF AD∥，∥，∴AE DFEB FC=，∵21AE EB=：：，∴21DFFC=，∴123CF CD ==；【小问2详解】解：如图所示，EH HC uuu r uuu r 、即为所求；∵AG BC AG BC=∥，∴四边形ABCG 是平行四边形，∴CH BE ∥，∴四边形BEHC 是平行四边形，∴EH HC uuu r uuu r 、即为所求．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质与判定，画向量的分向量等等，熟知相关知识是解题的关键．21.如图，已知在ABC 中，90ACB CD AB ∠=︒⊥，于点D ，23AC BD ==，，（1）求AD 的长；（2）如果CF 过AB 的中点E ，且满足CF CB =，求F ∠的正切值．【答案】（1）1AD =（2）2+【分析】（1）先证明ACD CBD △∽△得到23CD AD =，再由勾股定理得到234AD AD =-，由此求解即可；（2）如图所示，过点B 作BH CF ⊥于H ，先解直角三角形求出60A ∠=︒，进而求出CF =，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到2AE CE BE ===，即可证明AEC △是等边三角形，则60BEH AEC ==︒∠∠，解直角三角形求出EH BH 、，进而求出FH 即可得到答案．【小问1详解】解：∵90ACB CD AB ∠=︒⊥，，∴9090ADC BDC ACD BCD ==︒+=︒∠∠，∠∠，∴90A ACD ∠+∠=︒，∴A BCD ∠=∠，∴ACD CBD △∽△，∴AD CD CD BD=，∴23CD AD BD AD =⋅=，在Rt ADC 中，由勾股定理得222CD AC AD =-，∴234AD AD =-，∴1AD =（负值舍去）【小问2详解】解：如图所示，过点B 作BH CF ⊥于H ，由（1）得1AD =，∴1cos 2AD A AC ==，4AB AD BD =+=，∴60A ∠=︒，∴tan CF BC AC A ==⋅=∵E 是AB 的中点，∴122AE CE BE AB ====，∴AEC △是等边三角形，∴60BEH AEC ==︒∠∠，∴cos 1sin EH BE BEH BH BE BEH =⋅==⋅=∠，∠，∴3FH CF CE EH =--=，∴tan 2BH F HF ===+【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质与判定，三角函数综合，直角三角形斜边上的中线，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．22.如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为60°看这栋高楼底部的俯角为30°热气球与高楼的水平距离AD 为120米，请问：这栋高楼的楼高CB 为多少米?3 1.732≈，结果精确到0.1米）【答案】这栋高楼的楼高CB 约为277.1米【分析】分别解Rt △ABD 和Rt ADC 求出BD CD ，的长即可得到答案．【详解】解：∵在Rt △ABD 中，6090BAD ADB =︒=︒∠，∠，∴tan 3BD AD BAD =⋅=∠∵在Rt ADC 中，3090CAD ADC =︒=︒∠，∠，∴tan 3CD AD CAD =⋅=∠米，∴1603277.1BC BD CD =+=米，∴这栋高楼的楼高CB 约为277.1米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确求出BD CD ，的长是解题的关键．23.已知：如图，在△ABC 中，AD 是边BC 上的中线，点E 在线段BD 上，且BE =ED ，过点B 作BF ∥AC ，交线段AE 的延长线于点F ．（1）求证：AC =3BF ；（2）如果，求证：．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【详解】分析：（1）根据平行线分线段成比例定理由BF ∥AC 得BF ：AC=BE ：EC ，再利用BD=CD ，BE=DE ，得CE=3BE ，于是即可得到结论；（2）由3得AE 2=3ED 2，把CE=3ED 代入得AE 2=CE•ED ，即AE ：ED=CE ：AE ，根据相似三角形的判定易得△AED ∽△CEA ，则AD ：AC=ED ：AE ，用EB 代替ED 即可得到结论．详解：证明：（1）∵BF ∥AC ，∴BF ：AC=BE ：EC ，又∵BD=CD ，BE=DE ，∴CE=3BE ，∴AC=3BF ；（2）∵3，∴AE 2=3ED 2，又∵CE=3ED ，∴AE 2=CE•ED ，即AE ：ED=CE ：AE ，而∠AED=∠CEA ，∴△AED ∽△CEA ，∴AD ：AC=ED ：AE ，又∵ED=BE ，∴AD ：AC=BE ：AE ，∴AD•AE=AC•BE ．点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质：如果两个三角形有两组对应边的比相等，并且这两组对应边所夹的角也相等，那么这两个三角形相似；相似三角形的对应边的比相等．也考查了平行线分线段成比例定理．24.已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()()1030A B ，、，两点，且与y 轴的公共点为点C ，设该抛物线的顶点为D ．（1）求抛物线的表达式，并求出顶点D 的坐标；（2）若点P 为抛物线上一点，且满足PB PC =，求点P 的横坐标；（3）连接CD BC ，，点E 为线段BC 上一点，过点E 作EFCD ⊥交CD 于点F ，若12=DF CF ，求点E 的坐标．【答案】（1）243y xx =-+，()21-，（2）51351322⎛⎫- ⎪⎝⎭，或51351322⎛⎫++ ⎪⎝⎭，（3）207,99⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式即可得到顶点D 的坐标；（2）先求出点C 的坐标进而得到3OB OC ==，如图所示，取BC 中点E ，作直线OE ，则OE 是线段BC 的垂直平分线，3322E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，即可推出点P 即为直线OE 与抛物线的交点，据此求解即可；（3）如图所示，连接BD ，先利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明CDB △是直角三角形，即90CBD ∠=︒，证明ECF DCB △∽△，求出453CF =，则29EC =，同理可求出直线BC 的解析式为3y x =-+，设点E 的坐标为()3m m -+，，则()222202339m m ⎛+-+-= ⎝⎭，据此求解即可．【小问1详解】解：由题意得：10930b c b c ++=⎧⎨++=⎩，∴43b c =-⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为()224321y x x x =-+=--，∴顶点D 的坐标为()21-，【小问2详解】解：令0x =，则3y =，∴()03C ，，∴3OB OC ==，如图所示，取BC 中点E ，作直线OE ，∴OE 是线段BC 的垂直平分线，3322E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∵PB PC =，∴点P 即为直线OE 与抛物线的交点，设直线OE 的解析式为y kx =，∴3322k =，∴1k =，∴直线OE 的解析式为y x =，联立243y x y x x =⎧⎨=-+⎩得2530x x -+=，解得5132x ±=，∴点P 的坐标为51351322⎛⎫-- ⎪⎝⎭，或51351322⎛⎫++ ⎪⎝⎭，【小问3详解】解：如图所示，连接BD ，∵BC ==，BD ==，CD ==，∴222BC BD CD +=，∴CDB △是直角三角形，即90CBD ∠=︒，∵EF CD ⊥，∴90CFE CBD ==︒∠∠，又∵ECF DCB ∠=∠，∴ECF DCB △∽△，∵12=DF CF ，∴233CF CD ==，∴EC CF DC CB =，即453=，∴2029EC =，同理可求出直线BC 的解析式为3y x =-+，设点E 的坐标为()3m m -+，，∴()222339m m ⎛+-+-= ⎝⎭，解得209m =（负值舍去），∴点E 的坐标为207,99⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数综合，相似三角形的性质与判定，勾股定理和勾股定理的逆定理，线段垂直平分线的性质等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．25.如图，平行四边形ABCD 中，57AB BC ==，，4sin 5B =，点P 是边BC 上一动点，点Q 在射线AD 上，满足APQ ADC ∠=∠，直线PQ 与直线CD 交于点E ，射线AP 与直线CD 交于点F，（1）求证：ABP QPA ∽△△；（2）当点Q 在线段AD 上时，设BP x AQ y ==，，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）若CE =5PC ，求BP 的长．【答案】（1）证明见解析（2）26251372x x y x x ⎛⎫-+-=≤≤ ⎪⎝⎭（3）257BP =【分析】（1）先由平行四边形的性质得到AD BC B ADC =∥，∠∠，则AQP CPQ =∠∠，再分别证明APQ B ∠=∠，BAP PQA =∠∠，即可证明ABP QPA ∽△△；（2）如图所示，过点A 作AH BC ⊥于H ，解直角三角形ABH 求出AH BH ，，进而求出2AP ，再由相似三角形的性质得到2AP AQ BP=即可得到答案；（3）如图3-1所示，当点Q 在线段AD （不包括D ）上时，求出，21325x x DQ x-+-=，7CP x =-，355CE x =-，305DE x =-，证明EQD EPC △∽△，得到213253057355x x x x x x-+--=--，解得257x =；当点Q 恰好经过点D 时，此时点E 与点D 重合，可得6x =，由（2）得，当Q 与D 重合时，13692x -=，则此种情形不成立；如图3-2所示，当点Q 在AD 延长线上时，求出21325x x DQ x-+=，7CP x =-，355CE x =-，530DE x =-，同理可证EQD EPC △∽△，得到213255307355x x x x x x-+-=--，解得257x =（舍去）；【小问1详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC B ADC =∥，∠∠，∴AQP CPQ =∠∠，∵APQ ADC ∠=∠，∴APQ B ∠=∠，∴APC B BAP APQ CPQ =+=+∠∠∠∠∠，∴BAP CPQ ∠=∠，∴BAP PQA =∠∠，∴ABP QPA ∽△△；【小问2详解】解：如图所示，过点A 作AH BC ⊥于H ，在Rt ABH △中，45sin 905AB B AHB ==∠=︒，，，∴sin 4AH AB B =⋅=，∴3BH ==，∴3HP BP BH x =-=-，在Rt AHP 中，由勾股定理得()22222316625AP AH HP x x x =+=-+=-+，∵ABP QPA ∽△△，∴AQ AP AP BP=，∴22625AP x x AQ BP x-+==，∴2625x x y x-+=，当点Q 与点D 重合时，即7y =时，26257x x x-+=，解得132x -=（已检验是原方程的根，不合题意的值舍去），∵点P 从点B 向C 运动时，点Q 在AD 延长线先向点Q 运动，刚好在13692x -=时，运动到Q 点，而后在点P 继续运动的时候，点Q 一直在线段AD 上运动，∴2625136972x x y x x ⎛⎫-+=≤≤ ⎪⎝⎭；【小问3详解】解：如图3-1所示，当点Q 在线段AD （不包括D ）上时，由（2）得2625x x AQ x-+=，∴21325x x DQ AD AQ x-+-=-=，∵BP x =，且P 点不能与C 点重合，∴7CP x =-，∴5355CE CP x ==-，∴305DE CE CD x =-=-，∵AD BC ∥，∴EQD EPC △∽△，∴QD DE PC CE =，即213253057355x x x x x x -+--=--，∴解得257x =（已检验是原方程的根）；当点Q 恰好经过点D 时，此时点E 与点D 重合，∴55CE CP CD ===，∴1CP =，∴6x =，由（2）得，当Q 与D 重合时，13692x -=，∴此种情形不成立；如图3-2所示，当点Q 在AD 延长线上时，∴21325x x DQ AQ AD x-+=-=，BP x =，7CP x =-，∴5355CE CP x ==-，∴530DE CD CE x =-=-，同理可证EQD EPC△∽△∴QD DE PC CE =，即213255307355x x x x x x -+-=--，解得257x =（已检验是原方程的根，但不符合此种情况，故舍去）；综上所述，257BP x ==；【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形等等，熟知相似三角形的性质与判定条件并灵活运用所学知识是解题的关键．。
上学期海市浦东新区九年级数学上学期期中质量调研试题有答案
第3题图上海市浦东新区九年级数学上学期期中质量调研试题（考试时间100分钟，满分150分）1．已知两个相似三角形的周长比为4：9，则它们的面积比为（ ） A ．4：9 B ．2：3 C ．8：18 D ．16：492．如图，在△ABC 中，∠ADE = ∠B ，DE ：BC = 2 ：3， 则下列结论正确的是（ ）A. AD : AB = 2 : 3； B ．AE : AC = 2:5； C ． AD : DB = 2 : 3； D ．CE : AE= 3 : 2．3．在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示，则cos ∠B 的值为( ) A ．12； B ．2； CD 4. 如图，已知向量a ，b ，c ,那么下列结论正确的是（ ） A. a b c += B.b c a += C.a c b += D.a c b +=-5．已知P 为线段AB 的黄金分割点，且AP ＜PB ，则( )A. AP 2＝AB ·PB ； B. AB 2＝AP ·PB ； C. PB 2＝AP ·AB ； D. AP 2＋BP 2＝AB 2.6. P 是△ABC 一边上的一点（P 不与A 、B 、C 重合），过点P 的一条直线截△ABC ，如果截得的三角形与△ABC 相似，我们称这条直线为过点P 的△ABC 的“相似线”.Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，当点P 为AC 的中点时，过点P 的△ABC 的“相似线”最多有几条？（ ） A. 1条B. 2条C. 3条D.4条二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 已知23=b a ，那么bba -= ． 8. 已知线段a =2cm 、b =8cm ，那么线段a 、b 的比例中项等于cm..9. 计算：()23a b b -+=____________．10．点G 是ABC ∆的重心，如果13==AC AB ，10=BC ，那么AG 的长是 .11．在△ABC 中，已知点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ．如果AD＝1cm ，AB ＝3cm ，DE ＝4cm ，那么BC ＝ cm ．第16题图12. 如图，平行四边形ABCD 中，E 是边BC 上的点，AE 交BD 于点F ，如果23BE BC =，那么BFFD= .13．如图，直线AD //BE //CF ，23BC AB =，6DE =，那么EF 的值是 . 14．在ABC ∆中，AB AC =，BC ＝6，3=∆ABC S ，那么sin B = ．15．如图，在△ABC 中，点D 在AB 上，请再添一个适当的条件， 使△ADC ∽△ACB ，那么可添加的条件是 . 16．如图，已知点D 、E 分别在△ABC 边AB 、AC 上，DE //BC ，AD BD 2=，那么EBC DEB S S ∆∆:= .17．在Rt ABC ∆中，︒=∠90C ，点D 在AC 上，BD 平分ABC ∠直线BD翻折，点C 落在1C 处，如果5=AB ，4=AC ，那么1sin ADC ∠的值是 ． 18. 新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．根据准外心的定义，探究如下问题：如图，在Rt ABC ∆中，︒=∠90C ，10=AB ，6=AC ，如果准外心P 在BC 边上，那么PC 的长为 ．19．（本题满分10分）计算：︒︒+︒︒-︒60cos 45cot 30cos 30tan 245sin 420．（本题满分10分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分4分）如图，已知平行四边形ABCD ，点M 、N 是边DC 、BC 的中点，设=，=. （1）求向量（用向量、表示）；（2）在图中求作向量MN 在、方向上的分向量. （不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）.21．（本题满分10分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分）如图，已知AB∥EF∥CD，AD与BC相交于点O.（1）如果CE=3，EB=9，DF=2，求AD的长；（2）如果BO：OE：EC=2：4：3，AB=3，求CD的长．22．（本题满分10分，其中第(1)小题6分，第(2)小题4分）如图，在Rt ABC∆中，90C∠=︒，点D是BC边上的一点，6CD=，3 cos5ADC∠=，2tan3B=．（1）求AC和AB的长；（2）求sin BAD∠的值．四、解答题：（本大题共3题，满分38分）A BC DE第21题图FO23．（本题满分12分，每小题满分6分）已知：如图10，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且∠ABE =∠ACD ，BE 、CD 交于点G ． （1）求证：△AED ∽△ABC ；（2）如果BE 平分∠ABC ，求证：DE =CE ．24．（本题满分12分，每小题满分4分）如图所示，在△ABC 中，已知6BC =，BC 边上中线5AD =。
2023-2024学年上海市浦东新区九年级上学期期中数学试题及解析
2023学年第一学期 期中质量（阶段）检测九年级 数学学科 试卷（测试时间：100分钟，满分：150分）一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1. 对于线段a ，b ，如果a ∶b ＝2∶3，那么下列四个选项一定正确的是( ) A. 2a ＝3b B. b －a ＝1 C.2233a b +=+ D.52a b b += 【答案】C 【解析】【详解】试题分析：根据比值可得：2b=3a ，则A 错误；设a=2k ，则b=3k ，a-b=k ，则B 错误；a 22b 33+=+，则C 正确；a b 53b +=，则D 错误，故本题选择C ． 2. Rt ABC 中，C 90∠=，若BC 2=，AC 3=，下列各式中正确的是 ( ) A. 2sinA 3= B. 2cosA 3=C. 2tanA 3=D. 2cotA 3=【答案】C 【解析】【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义以及勾股定理分别求解，再进行判断即可． 【详解】解90C ∠=，1BC =，3AB =，∴===AC .A.1sin 3BC A AB ==，故此选项正确；B. cos 3AC A AB ==，故此选项错误；C. tan4===BC A A C ，故此选项正确；D. cot 1===AC B A C 故选：A ．【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，熟练应用锐角三角函数的定义是解决问题的关键．3. 已知3a →=，2b →=，而且b →和a →的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ） A. 32a b →→= B. 23a b →→=C. 32a b →→=−D. 23a b →→=−【答案】D 【解析】【分析】根据3,2a b ==，而且b 和a 的方向相反，可得两者的关系，即可求解. 【详解】∵3,2a b ==，而且b 和a 的方向相反 ∴32a b =− 故选D.【点睛】本题考查的是向量，熟练掌握向量的定义是解题的关键. 4. 如图，PQR 在边长为1个单位方格纸中，它的顶点在小正方形顶点位置，其中点A 、B 、C 、D 也是小正方形的顶点，那么与PQR 相似的是（ ）A. 以点P 、Q 、A 为顶点的三角形B. 以点P 、Q 、B 为顶点的三角形C. 以点P 、Q 、C 为顶点的三角形D. 以点P 、Q 、D 为顶点的三角形【答案】B 【解析】【分析】根据图形结合勾股定理求出各三角形的三条边长，再根据如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似逐项判断即可．【详解】解：由图可知2PR =，RQ ==PQ ==A ．在PQA △中，AP PQ ==6AQ =， ∴PQA △为等腰三角形，而PQR 不是等腰三角形， ∴PQA △与PQR 不相似，不符合题意；的B ．在PQB △中，PB ==5BQ =，PQ =∵2PB RQ ==，2PQ PR =，2BQPQ ==， ∴PB PQ BQRQ PR PQ==， ∴QBP PQR ∽，符合题意；C ．PQC △中，PC ==4CQ =，PQ =，∵1PC RQ ==，2PQ PR =，5CQPQ ==， ∴PC PQ CQRQ PR PQ≠≠， ∴PQC △与PQR 不相似，不符合题意；D ．在PQD △中，1PD =，3DQ =，PQ =∵2PD RQ ==，1PQPQ ==，32DQ PR =， ∴PD PQ DQRQ PQ PR≠≠， ∴PQD △与PQR 不相似，不符合题意． 故选B ．【点睛】本题考查勾股定理，三角形相似的判定．掌握如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似是解题关键．5. 在△ABC 中，中线AD 、BE 相交于点O ，且S △BOD ＝5，则△ABC 的面积是（ ） A. 30； B. 20；C. 15；D. 5．【答案】A 【解析】【详解】根据三角形重心的性质，重心到顶点的距离与重心到对边重点的距离之比为2:1所以12AO OC = 所以12S AOB S BOD ∆=∆315S ADC S ADB S BDO ∆=∆=∆=所以△ABC 的面积=221530S ABD ∆=⨯= 故选A ．【点评】对于三角形重心的考查一般难度不大，属于基础题．牢记重心到顶点的距离与重心到对边重点的距离之比为2:1，从而灵活运用即可求解．6. 如图，已知在ABC ∆中，边6BC =，高3AD =，正方形EFGH 的顶点F G 、在边BC 上，顶点E H 、分别在边AB 和AC 上，那么这个正方形的边长等于（ ）A. 3B. 2.5C. 2D. 1.5【答案】C 【解析】【分析】由题意易得EH ∥BC ，则有△AEH ∽△ABC ，设正方形的边长为x ，即EH=EF=x ，然后根据相似三角形对应边的高之比等于相似比可进行求解． 【详解】解：如图，∵四边形EFGH 是正方形， ∴EH ∥BC ，EF=FG=GH=EH ， ∴△AEH ∽△ABC ，设正方形的边长为x ，即EH=EF=x ， ∵AD=3，∴△AEH 边EH 的高为3-x ，即AM=3-x ， ∵6BC =， ∴D EH BC AM A =，即363x x−=， 解得：2x =，∴这个正方形的边长为2； 故选C ．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7. 已知D 、E 分别是ABC ∆的边AB 、AC 的延长线上的点，若73AD AB =，则ACAE的值是______时，DE BC ∥.【答案】37【解析】【分析】当DE BC ∥时，△ABC∽△ADE，然后根据相似三角形的性质求解. 【详解】解：由题意可知：当DE BC ∥时，△ABC∽△ADE∴73AD AE AB AC == ∴AC AE =37故答案为：37【点睛】本题考查相似三角形的性质，根据题意准确画图准确找到对应关系是本题的解题关键. 8. 已知线段3a cm =，6c cm =，若线段c 是线段a 、b 的比例中项，则b ＝__________cm ． 【答案】12 【解析】【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可求解．【详解】根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积， 所以c 2=ab ，即62=3b ， 解得b=12. 故答案为12.【点睛】此题考查比例线段，解题关键在于掌握其定义 9. 已知，两个相似ABC 与DEF 的最短边的长度之比是31：，若ABC 的周长是27，则DEF 的周长为__________． 【答案】9 【解析】【分析】利用相似三角形的周长的比等于相似比即3:1=C △ABC ：C △DEF 即可． 【详解】∵△ABC ∽△DEF ， ∴k=3:1=3， ∴C △ABC ：C △DEF =k ， C △DEF =1k C △ABC =1273⨯=9， 故答案为：9．【点睛】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质，会利用周长的比等于相似比是解题关键． 10. 计算：()11222a b a b ⎛⎫−−+= ⎪⎝⎭_______．【答案】b − 【解析】【分析】根据向量的线性运算法则计算即可．【详解】解：()111122222a b a b a b a b b ⎛⎫−−+=−−−=− ⎪⎝⎭．故答案为：b −．【点睛】本题考查向量的线性运算．掌握向量的线性运算法则是解题关键． 11. 若2a c =，3b c =−，且0c ≠，则a 与b 的位置关系是_______． 【答案】平行 【解析】【分析】根据题意得出a 与c 方向相同，b 与c 方向相反，即可确定二者的位置关系． 【详解】解：∵2a c =，3b c =−，且0c ≠， ∴a 与c 方向相同，b 与c 方向相反， ∴a 与b 的位置关系是平行， 故答案为：平行．【点睛】题目主要考查向量之间的位置关系，熟练掌握运用向量的基本性质是解题关键．12. 如图，在ABC 中，D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE BC ∥，2BD AD =，AB m =，DE n =，那么DC用m 、n 表示为：DC =___．【答案】233m n + 【解析】【分析】DE BC ，可得1,3AD DE AB BC ==可得3,BC DE =根据DC DB BC =+即可求解. 【详解】DE BC ，2BD AD =，1,3AD DE AB BC ∴== 则3,BC DE =223.33DC DB BC AB BC m n =+=+=+ 故答案为23.3m n + 【点睛】考查向量的线性运算，根据平行线分线段成比例定理得到3,BC DE =是解题的关键.13. 如图，在ABC 中，点D 是边AB 的中点，AB =，4BC =． 则CD =_____．【答案】【解析】【分析】根据题意得出2AD AC AC AB ==，再由相似三角形的判定和性质得出ADC ACB △∽△，2CD AC BC AB ==，代入求解即可．【详解】解：∵AB =，∴222AB AC =，∴2212AB AC =，即12AB AC AC AB=，∵点D 是边AB 的中点，AB =∴12AB AD =，∴2AD AC AC AB ==， ∵A A ∠∠=， ∴ADC ACB △∽△∴2CD AC BC AB ==，∴CD =，故答案为：．【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 14. 如图，将ABC 沿射线BC 方向平移得到DEF ，边DE 与AC 相交于点G ，如果3cm BC =，ABC 的面积等于29cm ，GEC 的面积等于24cm ，那么BE=_____cm ．【答案】1 【解析】【分析】易证明ABC GEC ∽，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可求得EC 的长，则BE 即可求解．【详解】解：由题可知，DEF 是由ABC 平移得到的，∴ABC DEF ≌△△， ∴D A ∠=∠， ∴ACB F ∠=∠， ∴DF AC ∥， ∴D EGC ∠=∠， ∴EGC A ∠=∠，∵B GEC ∠=∠， ∴ABC GEC ∽，∴249GEC ABCS CE BC S ⎛⎫==⎪⎝⎭， ∵3BC =，2CE ∴=，∴1BE BC CE ==-． 故答案为：1．【点睛】该题主要考查学生对于相似三角形的性质和判定的掌握程度，分清相似三角行边与边的比、边与面积的比的关系是解题的关键．15. 如图，在ABC ，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，DE BC ∥，若:1:3AE AC =， 则:DECDBCS S=_______．【答案】13##1:3 【解析】【分析】根据相似三角形的判定得出ADE ABC △△∽，再由其性质确定13DE AE BC AC ==，结合图形即可求解．【详解】解：∵DE BC ∥， ∴ADE ABC △△∽， ∴13DE AE BC AC ==， ∵DEC 与BCD 高相同，∴13DEC BCDS S=故答案为13． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．16. 如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A 、B 、C 都在这些小正方形的顶点上，则∠ABC 的正切值是 ．【答案】2 【解析】【详解】试题分析：设小正方形边长为a ，链接AC ，那么因为所以考点：勾股定理点评：本题是锐角三角函数与勾股定理的结合，难度适中，解题关键是注意转化思想和数形结合思想的应用．17. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°， BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，DE 平分∠BDC 交BC 于点E ，则ECAD＝______．【答案】32− 【解析】【详解】试题分析：因为△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°所以∠ABC=∠ACB=72°因为BD 平分∠ABC 交AC 于点D 所以∠ABD=∠CBD=36°=∠A 因为DE 平分∠BDC 交BC 于点E 所以∠CDE=∠BDE=36°=∠A 所以AD=BD=BC根据黄金三角形的性质知，12BC AC =,12EC DC =，12DC AD =,EC DC AD ==所以1122DC DCECDC AD−====考点：黄金三角形点评：黄金三角形是一个等腰三角形，它的顶角为36°，每个底角为72°.它的腰与它的底成黄金比．当底角被平分时，角平分线分对边也成黄金比，18. 在Rt ABC 中，90,10,6C AB BC ∠=︒==，点D 、E 分别在BC AC 、上，且CDE A ∠∠=，若CDE沿DE 翻折，点C 恰好落在AB 边上，则DE 的长为 _______ ．【答案】12524【解析】【分析】如图点F 为点C 在AB 上的对应点，过点D 作DN AB ⊥交点为N ，过点E 作EM AB ⊥交点为M ，设DE x =，根据三角函数得出436855BD x AE x =−=−，，再由相似三角形的判定和性质代入求解即可．【详解】解：如图点F 为点C 在AB 上的对应点，过点D 作DN AB ⊥交点为N ，过点E 作EM AB ⊥交点为M ，设DE x =，在Rt ABC △中，8AC ==，∵EDC A ∠=∠ ∴3tan tan 4EDC A ∠=∠=，3sin sin 5CDE A ∠∠==，4cos cos 5CDE A ∠∠== ∴4sin 5B ∠=∴4355CD DF x EF CE x ====，， ∴436855BD x AE x =−=−，，∴3344(8)(6)5555ME x ND x =−⨯=−⨯，，在Rt EMF △中MF ==∵90DFE ∠=︒，90EFM NFD ∠+∠=︒，90EFM FEM ∠+∠=︒ ∴NFD FEM ∠=∠ ∵90FND EMF ∠=∠=︒ ∴FDN EFM ∽ ∴ND DFMF EF=444(6)535x x x −⨯= 解得：12524x =故答案为：12524．【点睛】本题考查了折叠的性质，锐角三角函数，三角形相似，勾股定理等知识．解题的关键在于利用相似比找出线段的数量关系．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19. 计算223036026045cos cot sin tan +−．【答案】3+【解析】【分析】将cos30°=2 ，cot60°，sin60°=2 ，tan45°=1分别代入，然后化简即可得出答案． 详解】解：原式233=+【点睛】此题考查特殊角的三角函数值，解题关键在于掌握运算法则和特殊三角函数值20. 如图，在△ABC 中，矩形DEFG 的一边DE 在BC 上，点G 、F 分别在AB 、AC 上，AH 是BC 边上的高，AH 与GF 相交于K ，已知S △AGF ：S △ABC ＝9：64，EF ＝10，求AH 的长．【答案】AH ＝16． 【解析】【分析】设AH ＝x ，则AK ＝AH ﹣KH ＝AH ﹣EF ＝x ﹣10，根据矩形的性质可得: GF ∥BC ，从而证出△AGF ∽△ABC ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得: AGF ABCSS＝（AK AH）2＝964，列出方程即可求出x 的值,即可求出AH .【详解】解：设AH ＝x ，则AK ＝AH ﹣KH ＝AH ﹣EF ＝x ﹣10， ∵四边形DEFG 为矩形， ∴GF ∥BC ， ∴△AGF ∽△ABC ，∴AGF ABCS S＝（AK AH）2＝964，解得AK AH＝38（舍去负值）， 即10x x−＝38，解得x ＝16． 故AH ＝16．【点睛】此题考查的是矩形的性质和相似三角形的判定及性质,掌握矩形的对边平行且相等、利用平行证两三角形相似和相似三角形的面积比等于相似比的平方是解决此题的关键.21. 如图，点E 是平行四边形ABCD 边BC 上一点，且BE ：EC=2：1，点F 是边CD 的中点，AE 与BF 交于点O ．（1）设AB =a ，AD =b ，试用a 、b 表示AE ； （2）求BO ：OF 的值．【答案】（1）2AE=a+b 3（2）1． 【解析】【分析】（1）先表示出BE ，继而可表示出AE ； （2）过点E 作EM ∥CD ，交BF 于点M ，可得出BM OF，OMOB 的值，继而可的得出答案． 【详解】解：（1）∵BE ：EC=2：1，AD b =，∴222BE 333BC AD b ===， ∴23AE AB BE a b =+=+；（2）过点E 作EM ∥CD ， 则21BM BE MF EC ==，23EM BM BE CF MF BC ===，∵点F 是CD 中点， ∴MO EM 21OB AB 63===， 设OM=a ，则BO=3a ，MF=2a ， 故可得313BO aOF a==． 【点睛】本题考查了平面向量及平行四边形的性质，解答本题注意利用平行线分线段成比例的知识，难度一般．22. 如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作ED ∥BC 交AB 于点D ． （1）求证：AE •BC =BD •AC ； （2）如果ADES=3，BDES=2，DE =6，求BC 的长．【答案】（1）证明详见解析；（2）10. 【解析】【分析】（1）由BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，ED ∥BC ，可证得BD =DE ，△ADE ∽△ABC ，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AE •BC =BD •AC ； （2）根据三角形面积公式与ADES =3，BDES=2，可得AD ：BD =3：2，然后由平行线分线段成比例定理，求得BC 的长．【详解】（1）∵BE 平分∠ABC ， ∴∠ABE =∠CBE ， ∵DE ∥BC ，∴∠DEB =∠CBE ， ∴∠ABE =∠DEB ， ∴BD =DE ， ∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ，∴AE DEAC BC =， ∴AE BDAC BC=， ∴AE •BC =BD •AC ；（2）解：设△ABE 中边AB 上高为h ，∴1·21·2ADE BDEAD hS AD SBD BD h ===32， ∵DE ∥BC ，∴DE ADBC AB =， ∴635BC =， ∴BC =10．【点睛】考点：相似三角形的判定与性质．23. 如图，在直角梯形ABCD 中，90ABC ∠=︒，AD BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ．过点D 作DE BC ⊥，交AC 于点F ．（1）联结OE ，若BE AOEC OF=，求证：OE CD ； （2）若AD CD =且BD CD ⊥，求证：AF DFAC OB=．【答案】(1)见解析；(2)见解析. 【解析】【分析】（1）根据90ABD ∠=︒,DE BC ⊥，得到//AB DE ，得比例式：AO BOOF OD=，根据已知的的OF•AD=EC•AO ，化成比例式后得：BE AO EC OF=，则AO BEOF EC =，则//OE CD ;（2）先证明四边形ABED 为矩形，得AD BE =，90ADE ∠=︒，根据同角的余角相等，得到CDE ADB ∠=∠，证明ADO CDF ∆≅∆，得到OD DF =，根据//AB DE ，得到比例式AF BE ADAC BC BC==，又//AD BC ，得到AD OD DFBC BO BO==，即可证明. 【详解】(1)∵90ABD ∠=︒,DE BC ⊥，∴//AB DE∴AO BOOF OD = ∵BE AOEC OF = ∴AO BEOF EC= ∴//OE CD ;(2)∵//AD BC ，//AB DE ， ∴四边形ABED 为平行四边形 又∵90ABD ∠=︒ ∴四边形ABED 为矩形 ∴AD BE =，90ADE ∠=︒ 又∵BD CD ⊥∴90BDC BDE CDE ∠=∠+∠=︒90ADE ADB BDE ∠=∠+∠=︒,∴CDE ADB ∠=∠AD CD =,∴DAC DCA ∠=∠ ∴()ADO CDF ASA ∆≅∆ ∴OD DF =//AB DE∴AF BE ADAC BC BC==∵//AD BC∴AD OD DFBC BO BO ==∴AF DFAC OB= 【点睛】考查矩形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定与性质等，综合性比较强，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键.24. 如图，点D 是Rt ABC △斜边AB 上一点，点E 是直线AC 左侧一点，且EC CD ⊥，EAC B ∠=∠．（1）求证：CDE CBA ∽；（2）如果点D 是斜边AB 的中点，且3tan 2BAC ∠=，试求CDE CBA S S ∆∆的值．【答案】（1）见解析 （2）1336【解析】【分析】（1）根据题意先证明ACE BCD △∽△，即得出CE AC CD BC=，即CE CDAC BC =，从而即可证明CDE CBA ∽；（2）由正切的定义可得出32BC AC =，设3BC x =，则2AC x =，根据勾股定理可求出AB =，结合题意可求出2CD x =，最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方求解即可． 【小问1详解】证明：∵EC CD ⊥， ∴90ECD ACB ∠=︒=∠，∴ECD ACD ACB ACD ∠−∠=∠−∠，即ACE BCD ∠=∠． ∵EAC B ∠=∠， ∴ACE BCD △∽△，∴CE ACCD BC=， ∴CE CDAC BC=， ∴CDE CBA ∽； 【小问2详解】解：∵90ACB ∠=︒，3tan 2BAC ∠=， ∴32BC AC =． 设3BC x =，则2AC x =，∴AB ==．∵点D 是斜边AB 的中点，∴122CD AB x ==． ∵CDE CBA ∽，∴22132336CDECBAxS CD S BC x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪=== ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，勾股定理，解直角三角形．掌握三角形相似的判定定理和性质定理是解题关键．25. 已知，在ABC 中，AB AC ==120BAC ∠=︒，ADE 的顶点D 在边BC 上，AE 交BC 于点F （点F 在点D 的右侧），30DAE ∠=︒．（1）求证：ABF DCA ∽； （2）当1DF =时，求BD 的长；（3）若AD ED =，连接EC ，写出CE 与AB 的位置关系，并证明结论．【答案】（1）见解析 （2）2或3 （3）平行，见解析 【解析】【分析】（1）根据等边对等角得出B C ∠∠=，再由三角形内角和定理及各角之间的关系得出BAF ADC ∠∠=，利用相似三角形的判定证明即可；（2）作AH BC ⊥于H ，利用含30度角的直角三角形的性质及相似三角形的判定得出AB BFCD AC=，设BD x =，则6CD x =−，代入求解即可；（3）连接CE ，根据相似三角形的性质及等量代换得出EF CFAF BF=，再利用相似三角形的判定和性质确定ECF ABF ∠∠=，根据内错角相等，两直线平行即可证明【小问1详解】 证明：∵AB AC =， ∴B C ∠∠=，∵180,120BAC B C BAC ∠∠∠∠++=︒=︒， ∴30B C ∠∠==︒， ∵30DAE ∠=︒， ∴B C DAE ∠∠∠==，∵,ADC B BAD BAF DAE BAD ∠∠∠∠∠∠=+=+， ∴BAF ADC ∠∠=， ∴ABF DCA ∽； 【小问2详解】 作AH BC ⊥于H ，∵AB AC ==30B C ∠∠==︒，∴2BC BH =，12AH AB == 3BH == ∴6BC =，∵ABF DCA ∽， ∴AB BF CD AC=，即··CD BF AB AC =， 设BD x =，则6CD x =−，∵1DF =，∴1BF x =+，∴()()61x x −+=解得2x =或3x =，∴2BD =或3；【小问3详解】平行，证明如下：连接CE ，如图所示，∵ABF DCA ∽， ∴AF BF AD AC =，即AD AF AC BF=， ∵AD ED =，∴DAE DEA ∠∠=，∴DEA C ∠∠=，∵DAE B ∠∠=，∴ABC DAE ∽， ∴AD AE AB BC=，即AD AE AC BC =， ∴AF AE BF BC =，即AE BC AF BF=， ∴EF CF AF BF =，∵EFC AFB ∠∠=，∴ECF ABF ∽，∴ECF ABF ∠∠=，∴CE AB ∥．【点睛】本题考查等腰三角形性质、相似三角形判定与性质、一元二次方程的应用等知识，理解题意，作出相应辅助线，熟练掌握运用相似三角形的判定和性质是解题关键．。
浦东新区第一学期初三年级数学期中试卷
浦东新学年度第一学期初三年级数学期中试卷3（满分150分，考核时间100分钟）一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.在△ABC 中，∠C = 90°，AC = 3，CB = 4，则tan A 的值为（ ）A. 45B. 35C. 43D. 34 2.已知两个相似三角形的相似比为1∶4，则它们的面积比为（ ）A. 1∶4B. 4∶1C. 1∶2D. 1∶16 3.在Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，CD ⊥AB 于D ，下列式子正确的是（ ）A. sin A = BD BCB. cos A = AC ADC. cot A = AD BCD. tan A = CDAB4.点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，可推出DE ∥BC 的条件是（ ）A. AB AD = 32 ，EC AE = 12B. AD AB = 23 ，DE BC = 23C. AD AB = 23 ，EC AE = 23D. AB AD = 34 ，AE EC = 43 5.已知，b ，c 是非零向量，不能判定∥b 的是（ ）A. ∥c ，b ∥cB. = 3bC. ∣∣=∣b ∣D. = 12 c ，b = ─ 2c6.下列各组图形必相似的是（ ） A. 任意两个等腰三角形B. 有两边对应成比例，且有一个角对应相等的两三角形C. 两边为4和5的直角三角形与两边为8和10的直角三角形D. 两边及其中一边上的中线对应成比例的两三角形 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.已知线段a = 2厘米，c = 8厘米，则线段a 和c 的比例中项是__________厘米.8.已知点P 是线段AB 的黄金分割点，AB = 4厘米，则较长线段AP 的长是___________厘米. 9.已知a 与单位向量的方向相反，且长度为2，那么用表示a = ____________.10.计算：2 (a ─b ) ─ 3 (a + 13b ) = ___________.11.已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，AB ∶A 1B 1 = 3∶5，BE 、B 1E 1分别是 它们的对应中线，则BE ∶B 1E 1= ___________.12.右上图是3×5个小正方形的排列，△ABC 是图形中的一个格点三角形，那么sin ∠BAC = __________.13.如下图，已知AD 为△ABC 的角平分线，DE ∥AB ，如果 AE EC = 23 ，那么 AEAB= ___________.14.如下图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边BC 上，EC = 2 BE ，联接AE 交BD 于点F ，若△BFE 的 面积为2，则△AFD 的面积为___________.15.如上图，已知AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，C 是线段BD 的中点，且AC ⊥CE ，ED = 1，BD = 4，那么AB = ________. 16.如上图，矩形DEFG 内接于△ABC ，BC = 6 cm ，DE = 3 cm ，EF = 2 cm ，则BC 边上的高是___________.第12题图第13题图第14题图第15题图第16题图17.如图，Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，CD 是高，如果∠B = α，BC = 3， 那么AD = __________.18.点G 是腰长为10的等腰ABC 的重心，∠A = 90°，把△ABG 绕点A 旋转， 使点B 与点C 重合，此时点G 转到点G ′ 处，那么GG ′ 的长为___________三、解答题（本大题共7题，19~22题10分，23、24题12分，25题14分，满分78分）19.已知：x 2 = y 3 = z4，2 x ─ 3 y + 4 z = 22，求代数式 x + y ─ z 的值.20.计算：cos 2 45°tan 30°· cos 60°+ tan 60°.21.如图，已知AD ∥BE ∥CF ，它们依次交直线l 1、l 2于点A 、B 、C 和D 、E 、F. （1）如果AB = 6，BC = 8，DF = 21，求DE 的长；（2）如果DE ∶DF = 2∶5，AD = 9，CF = 14，求BE 的长.22. 在△ABC 中，边BC 、AC 上的中线AE 、BD 相交于点G ，过点G 作MN ∥BC ，已知 = ， =b ，试用和b 表示、 .BD AC BCMN 第17题图l 1l23. 已知：如图，在△ABC中，∠ABC = 45°，sin A = 35，AB = 14，BD是AC边上的中线. 求:（1）△ABC的面积；（2）∠ABD的余切值.24. 已知：如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，点E在BD的延长线上，AE = AD. （1）求证：BA · BD = BC · BE；（2）如果点F在BD上，且BD2 = BE · BF，求证：CF = CD.25. 如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB = AD = 5，tan∠DBC = 34，E为射线BD上一动点，过点E作EF∥DC交射线BC于点F. 联结EC，设BE = x，S△ECFS△BDC= y.（1）求BD的长；（2）当点E在线段BD上时，求y关于x的函数关系式，幷写出自变量x的取值范围；（3）联接DF，若△BDF与△BDA相似，试求BF的长.备用图。
上海市浦东新区第四教育署九年级(上)期中数学试卷(五四学制)
上海市浦东新区第四教育署九年级（上）期中数学试卷（五四学制）一、选择题：（本大题共6 题，每题4 分，满分24 分）1．（4 分）已知两个相似三角形的相似比为1：4，则它们的周长比为（）A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．1：162．（4 分）在△ABC 中，∠C=90°，AC=3，CB=4，则cotA 的值为（）A．B．C．D．3．（4 分）在△ABC 中，点D，E 分别在边AB，AC 上，AD：BD=1：2，那么下列条件中能够判断DE∥BC 的是（）A．B．C．D．4．（4 分）已知x：b=c：a，求作x，则下列作图正确的是（）A．B．C． D ．5．（4 分）在梯形ABCD 中，AD∥BC，点E，F 分别是边AB，CD 的中点，AD=BC，=，那么等于（）A．B．C．D．6．（4 分）如图，在△ABC 中，点D、E 分别在边AB、AC 上，如果DE∥BC，且∠DCE=∠B，那么下列说法中，错误的是（）A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACD C．△ADE∽△DCB D．△DEC∽△CDB二、填空题：（本大题共12 题，每题4 分，满分48 分）7．（4 分）如果=，那么=．8．（4 分）已知线段b 是线段a、c 的比例中项，且a=2 cm，b=4 cm，那么c=cm．9．（4 分）已知点P 是线段AB 的黄金分割点，AB=4cm，则较长线段AP 的长是= cm．10．（4 分）计算：sin30°+cos30°•tan60°=．11．（4 分）在△ABC 中，点D，E 分别在线段AB，AC 的反向延长线上，DE∥BC，AB=3，AC=2，AD=1，那么CE= ．12．（4 分）已知等腰△ABC 中，AB=AC=5，cos∠B=，则△ABC 的面积为．13．（4 分）在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=α，AB=m，那么边AC 的长为．14．（4 分）如图，已知在△ABC 中，D 是边BC 的中点，点E 在边BA 的延长线上，AE=AB，，那么= ．15．（4 分）已知菱形ABCD 的边长为6，对角线AC 与BD 相交于点O，OE⊥AB，垂足为点E，AC=4，那么sin∠AOE= ．16．（4 分）如图，梯形ABCD 中，AD∥BC，对角线AC，DB 交于点O，如果S△AOD=1，S△BOC=3，那么S△AOB= ．17．（4 分）新定义：我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图所示，△ABC 中，AF、BE 是中线，且AF⊥BE，垂足为P，像△ABC 这样的三角形称为“中垂三角形”，如果∠ABE=30°，AB=4，那么此时AC 的长为．18．（4 分）将▱ABCD（如图）绕点A 旋转后，点D 落在边AB 上的点D′，点C 落到C′，且点C′、B、C 在一直线上．如果AB=13，AD=3，那么∠A 的余弦值为．三、简答题：（本大题共4 题，满分40 分）19．（10 分）已知：==，x﹣y+z=6，求：代数式3x﹣2y+z 的值．20．（10 分）已知：如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，AD=BC，点M 是边BC 的中点，=，= ．（1）填空：=，=．（结果用、表示）．（2）直接在图中画出向量3+．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）21．（10 分）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C 和点D、E、F．（1）如果AB=6，BC=8，DF=21，求DE 的长；（2）如果DE：DF=2：5，AD=9，CF=14，求BE 的长．22．（10 分）已知：如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，点E 在边AD 上，CE 与BD 相交于点F，AD=4，AB=5，BC=BD=6，DE=3．（1）求证：△DFE∽△DAB；（2）求线段CF 的长．四、解答题：（本大题共3 题，满分38 分）23．（12 分）如图，点E 是四边形ABCD 的对角线BD 上的一点，∠BAE=∠CBD= ∠DAC．（1）求证：DE•AB=BC•AE；（2）求证：∠AED+∠ADC=180°．24．（12 分）已知：在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点A（4，0），C（0，﹣4），另有一点B（﹣2，0）．（1）求一次函数解析式；（2）联结BC，点P 是反比例函数y=的第一象限图象上一点，过点P 作y 轴的垂线PQ，垂足为Q．如果△QPO 与△BCO 相似，求P 点坐标；（3）联结AC，求∠ACB 的正弦值．25．（14 分）已知：正方形ABCD 的边长为4，点E 为BC 的中点，点P 为AB 上一动点，沿PE 翻折△BPE 得到△FPE，直线PF 交CD 边于点Q，交直线AD 于点G，联接EQ．（1）如图，当BP=1.5 时，求CQ 的长；（2）如图，当点G 在射线AD 上时，BP=x，DG=y，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）延长EF 交直线AD 于点H，若△CQE 与△FHG 相似，求BP 的长．免送下载上海市黄埔、闸北、浦东、杨浦区九年级6套最新数学题及详解https:///s/1dB3lXpHj7CH0hl13aiwBdA提取码：ak83上海市浦东新区第四教育署九年级（上）期中数学试卷（五四学制）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6 题，每题4 分，满分24 分）1．（4 分）（2016 秋•浦东新区期中）已知两个相似三角形的相似比为1：4，则它们的周长比为（）A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．1：16【分析】直接利用相似三角形的周长比等于相似比，进而得出答案．【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为1：4，∴它们的周长比为：1：4．故选：A．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确掌握相似三角形的性质是解题关键．2．（4 分）（2016 秋•浦东新区期中）在△ABC 中，∠C=90°，AC=3，CB=4，则cotA 的值为（）A．B．C．D．【分析】根据锐角 A 的余切=邻边：对边可得答案．【解答】解：∵，∠C=90°，AC=2，BC=1，∴cotA= =，故选：D．【点评】此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握余切定义．3．（4 分）（2016 秋•浦东新区期中）在△ABC 中，点D，E 分别在边AB，AC 上，AD：BD=1：2，那么下列条件中能够判断DE∥BC 的是（）A．B．C．D．【分析】可先假设DE∥BC，由平行得出其对应线段成比例，进而可得出结论．【解答】解：如图，可假设DE∥BC，则可得==，==，但若只有==，并不能得出线段DE∥BC．故选D．【点评】本题主要考查了由平行线分线段成比例来判定两条直线是平行线的问题，能够熟练掌握并运用．4．（4 分）（2016 秋•浦东新区期中）已知x：b=c：a，求作x，则下列作图正确的是（）A．B．C． D ．【分析】根据第四比例线段的定义列出比例式，再根据平行线分线段成比例定理对各选项图形列出比例式即可得解．【解答】解：∵x：b=c：a，∴ = ，A、作出的为=，故本选项正确；B、作出的为=，故本选项错误；C、线段x 无法先作出，故本选项错误；D、作出的为= ，故本选项错误；故选A．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，主要考查了第四比例线段的作法，要熟练掌握并灵活运用．5．（4 分）（2016 秋•浦东新区期中）在梯形ABCD 中，AD∥BC，点E，F 分别是边AB，CD 的中点，AD=BC，= ，那么等于（）A．B．C．D．【分析】首先根据梯形的中位线的性质，求得EF=BC，又由，即可求得的值．【解答】解：∵AD∥BC，点E、F 分别是边AB、CD 的中点，∴EF=（AD+BC），∵AD= BC，∴EF= BC，∵，∴．故选C．【点评】此题考查了梯形的中位线的性质与向量的意义．题目难度不大，解题时要注意分析．6．（4 分）（2016•鞍山一模）如图，在△ABC 中，点D、E 分别在边AB、AC 上，如果DE∥BC，且∠DCE=∠B，那么下列说法中，错误的是（）A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACD C．△ADE∽△DCB D．△DEC∽△CDB 【分析】由相似三角形的判定方法得出A、B、D 正确，C 不正确；即可得出结论．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∠BCD=∠CDE，∠ADE=∠B，∠AED=∠ACB，∵∠DCE=∠B，∴∠ADE=∠DCE，又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACD；∵∠BCD=∠CDE，∠DCE=∠B，∴△DEC∽△CDB；∵∠B=∠ADE，但是∠BCD＜∠AED，且∠BCD≠∠A，∴△ADE 与△DCB 不相似；正确的判断是A、B、D，错误的判断是C；故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定方法；熟练掌握相似三角形的判定方法，由两角相等得出三角形相似是解决问题的关键．二、填空题：（本大题共12 题，每题4 分，满分48 分）7．（4 分）（2016 秋•浦东新区期中）如果=，那么=．【分析】根据比例的性质即可得到结论．【解答】解：∵=，∴==﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查了比例的性质，熟记比例的性质是解题的关键．8．（4 分）（2016 秋•浦东新区期中）已知线段b 是线段a、c 的比例中项，且a=2 cm，b=4 cm，那么c= 8 cm．【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可求解．【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积，所以b2=ac，即42=2c，c=8．故答案为：8．【点评】此题考查了比例线段；理解比例中项的概念，注意线段不能是负数．9．（4 分）（2016 秋•浦东新区期中）已知点P 是线段AB 的黄金分割点，AB=4cm，则较长线段AP 的长是= 2 ﹣2 cm．【分析】根据黄金分割的概念得到AP=AB，把AB=4cm 代入计算即可．【解答】解：∵P 是线段AB 的黄金分割点，AP＞BP，∴AP= AB，而AB=6cm，∴AP=3×=2 ﹣2．故答案是：2﹣2．【点评】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的倍．10．（4 分）（2015 秋•郯城县期末）计算：sin30°+cos30°•t an60°= 2 ．【分析】分别把特殊角的三角函数值代入，然后再计算即可．【解答】解：原式=+•==2，故答案为：2．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数，关键是掌握sin30°= ；cos30°= ；tan30°=；sin45°=；cos45°= ；tan45°=1；sin60°= ；cos60°= ；tan60°= ．11．（4 分）（2016 秋•浦东新区期中）在△ABC 中，点D，E 分别在线段AB，AC 的反向延长线上，DE∥BC，AB=3，AC=2，AD=1，那么CE= ．【分析】由DE∥BC，则可得其对应线段成比例，进而再结合题干中的条件，即可得出答案【解答】解：∵DE∥BC，∴=，∵AB=3，AC=2，AD=1，∴=，∴AE= ，∴CE=AE+AC= +2= ，故答案为【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题，能够熟练掌握是解题的关键，属于中考常考题型．．12．（4 分）（2016 秋•浦东新区期中）已知等腰△ABC 中，AB=AC=5，cos∠B=，则△ABC 的面积为12 ．【分析】如图作AD⊥BC 于D，根据cos∠B=求出BD，再利用勾股定理求出AD，即可解决问题．【解答】解：如图，作AD⊥BC 于D，∵AB=AC=5，cos∠B= ，∴BD=DC=3，AD= ==4，∴S△ABC= •BC•AD=×6×4=12．故答案为12．【点评】本题考查解直角三角形、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．13．（4 分）（2016 秋•浦东新区期中）在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=α，AB=m，那么边AC 的长为m•sinα．【分析】根据三角函数值的求值可以求得sinα=，故根据AB=m 即可求得AC 的值，即可解题．【解答】解：∠C=90°，∠B=α，AB=m，则sinα=，∴AC=AB•sinα=m•sinα．故答案为m•sinα．【点评】本题考查了直角三角形三角函数值的计算，本题中明确三角函数值得定义求得sinα=是解题的关键．14．（4 分）（2016 秋•浦东新区期中）如图，已知在△ABC 中，D 是边BC 的中点，点E 在边BA 的延长线上，AE=AB，，那么= 2 ．【分析】根据中点定义可得BD= BC，然后表示出，，再利用向量的三角形法则解答即可．【解答】解：∵D 是边BC 的中点，∴BD= BC，∵=，∴ = ，∵AE=AB，=，∴=2，∴=﹣=2﹣．故答案为：2﹣．【点评】本题是对平面向量的考查，向量问题的求解要从向量的方向与模两个方面考虑，主要运算法则是平行四边形法则与三角形法则，本题想法把已知与所求向量转化为△BDE 中是解题的关键．15．（4 分）（2016 秋•浦东新区期中）已知菱形ABCD 的边长为6，对角线AC 与BD 相交于点O，OE⊥AB，垂足为点E，AC=4，那么sin∠AOE= ．【分析】菱形对角线互相垂直，故AC⊥BD，根据∠OAE=∠BAO，∠OEA=∠AOB 可以判定△OAE∽△ABO，∴∠AOE=∠BAO，根据AO 和AB 的值即可求得sin∠AOE 的值．【解答】解：∵菱形对角线互相垂直，∴∠OEA=∠AOB ，∵∠OAE=∠BAO ，∴△OAE ∽△ABO ，∴∠AOE=∠ABO ，∵AO=AC=2，AB=6，∴sin ∠AOE=sin ∠ABO==． 故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的求证和对应角相等的性质，三角形中正弦函数的计算，菱形对角线垂直平分的性质，本题中求证∠AOE=∠ABO 是解题的关键．16．（4 分）（2016 秋•浦东新区期中）如图，梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，对角线 AC ， DB 交于点 O ，如果 S △AOD =1，S △BOC =3，那么 S △AOB = ．【分析】由 AD 与 BC 平行，得到三角形 AOD 与三角形 BOC 相等，由面积比等于相似比的平方求出所求即可．【解答】解：∵AD ∥BC ，∴△AOD ∽△COB ，∵S △AOD =1，S △BOC =3，即 S △AOD ：S △BOC =1：3，∴OA ：OC=1： ，∵S △AOB 与 S △BOC 高相同，∴S △AOB ：S △BOC =1： ，则 S △AOB =，故答案为：【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及梯形，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．17．（4 分）（2016•崇明县一模）新定义：我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图所示，△ABC 中，AF、BE 是中线，且AF⊥BE，垂足为P，像△ABC 这样的三角形称为“中垂三角形”，如果∠ABE=30°，AB=4，那么此时AC 的长为．【分析】根据三角形中位线的性质，得到EF∥AB，EF= AB=2，再由勾股定理得到结果．【解答】解：如图，连接EF，∵AF、BE 是中线，∴EF 是△CAB 的中位线，可得：EF=×4=2，∵EF∥AB，∴△PEF～△ABP，∴===，在Rt△ABP 中，AB=4，∠ABP=30°，∴AP=2，PB=2 ，∴PF=1，PE= ，在Rt△APE 中，∴AE= ，∴AC=2 ，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练应用相似三角形的判定与性质是解题关键．18．（4 分）（2016•静安区一模）将▱ABCD（如图）绕点A 旋转后，点D 落在边AB 上的点D′，点C 落到C′，且点C′、B、C 在一直线上．如果AB=13，AD=3，那么∠A 的余弦值为．【分析】根据平行四边形的性质得∠DAB=∠D′A B′，AB=A B′=C′D′=13，再由AB′∥C′D′得∠D′AB′=∠BD′C′，加上∠C=∠DAB，则∠C=∠BD′C′，接着由点C′、B、C 在一直线上，AB∥CD 得到∠C=∠C′BD′，所以∠C′BD′=∠BD′C′，可判断△C′BD′为等腰三角形，作C′H⊥D′B，根据等腰三角形的性质得BH=D′H，由于BD′=10 得到D′H=5，然后根据余弦的定义得到cos∠HD′C′=，由此得到∠A 的余弦值．【解答】解：∵▱ABCD 绕点 A 旋转后得到▱AB′C′D′，∴∠DAB=∠D′AB′，AB=AB′=C′D′=13，∵AB′∥C′D′，∴∠D′AB′=∠BD′C′，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴∠C=∠DAB，∴∠C=∠BD′C′，∵点C′、B、C 在一直线上，而AB∥CD，∴∠C=∠C′BD′，∴∠C′BD′=∠BD′C′，∴△C′BD′为等腰三角形，作C′H⊥D′B，则BH=D′H，∵AB=13，AD=3，∴BD′=10，∴D′H=5，∴cos∠HD′C′==，即∠A 的余弦值为．故答案为．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行四边形的性质．解决本题的关键是证明△C′BD′为等腰三角形．三、简答题：（本大题共4 题，满分40 分）19．（10 分）（2016 秋•浦东新区期中）已知：==，x﹣y+z=6，求：代数式3x﹣2y+z 的值．【分析】根据比例的性质，可用设===k，进而解答即可．【解答】解；设===k，可得：x=2k，y=3k，z=4k，把x=2k，y=3k，z=4k 代入x﹣y+z=6，可得：2k﹣3k+4k=6，解得：k=2，所以x=4，y=6，z=8，把x=4，y=6，z=8 代入3x﹣2y+z=12﹣12+8=8．【点评】本题考查了比例的性质，关键是利用了比例的性质解答．20．（10 分）（2016 秋•浦东新区期中）已知：如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，AD= BC，点M 是边BC 的中点，= ，= ．（1）填空：=，=﹣﹣．（结果用、表示）．（2）直接在图中画出向量3+．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）【分析】（1）由在梯形ABCD 中，AD∥BC，AD=，可求得，然后由点M 是边BC 的中点，求得，再利用三角形法则求解即可求得；（2）利用三角形法则连结AC 求解即可．【解答】解：（1）∵在梯形ABCD 中，AD∥BC，AD=BC，= ，∴=3=3，∵点M 是边BC 的中点，∴= = ；∴=﹣=﹣（+）=﹣﹣；故答案为：；﹣﹣；（2）如图所示，连结AC，就是所求作的向量．【点评】此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．21．（10 分）（2016 秋•莲湖区期中）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C 和点D、E、F．（1）如果AB=6，BC=8，DF=21，求DE 的长；（2）如果DE：DF=2：5，AD=9，CF=14，求BE 的长．【分析】（1）根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例可得，再由AB=6，BC=8，DF=21 即可求出DE 的长．（2）过点D 作DG∥AC，交BE 于点H，交CF 于点G，运用比例关系求出HE 及HB 的长，然后即可得出BE 的长．【解答】解：（1）∵AD∥BE∥CF，∴，∵AB=6，BC=8，DF=21，∴，∴DE=9．（2）过点 D 作DG∥AC，交BE 于点H，交CF 于点G，则CG=BH=AD=9，∴GF=14﹣9=5，∵HE∥GF，∴，∵DE：DF=2：5，GF=5，∴，∴HE=2，∴BE=9+2=11．【点评】本题考查平行线分线段成比例的知识，综合性较强，关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．22．（10 分）（2016 秋•浦东新区期中）已知：如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，点E 在边AD 上，CE 与BD 相交于点F，AD=4，AB=5，BC=BD=6，DE=3．（1）求证：△DFE∽△DAB；（2）求线段CF 的长．【分析】（1）AD∥BC，DE=3，BC=6，，．又∠EDF=∠BDA，即可证明△DFE∽△DAB．（2）由△DFE∽△DAB，利用对应边成比例，将已知数值代入即可求得答案．【解答】证明：（1）∵AD∥BC，DE=3，BC=6，∴，∴，∵BD=6，∴DF=2．∵DA=4，∴．∴．又∵∠EDF=∠BDA，∴△DFE∽△DAB．（2）∵△DFE∽△DAB，∴．∵AB=5，∴，∴EF==2.5．∵DE∥BC，∴．∴，∴CF=5．（或利用△CFB≌△BAD）．【点评】此题考查学生对梯形和相似三角形的判定与性质的理解和掌握，第（2）问也可利用△CFB≌△BAD 求得线段CF 的长，不管学生用了哪种方法，只要是正确的，就要积极地给予表扬，以此激发学生的学习兴趣．四、解答题：（本大题共3 题，满分38 分）23．（12 分）（2016•虹口区一模）如图，点E 是四边形ABCD 的对角线BD 上的一点，∠BAE=∠CBD=∠DAC．（1）求证：DE•AB=BC•AE；（2）求证：∠AED+∠ADC=180°．【分析】（1）根据已知条件得到∠BAC=∠EAD，根据三角形额外角的性质得到∠ABC=∠AED，推出△ABC∽△AED，根据根据相似三角形对应边成比例得到结论；（2）根据相似三角形的性质得到，推出△ABE∽△ACD，根据相似三角形的性质得到∠AEB=∠ADC，等量代换即可得到结论．【解答】证明：（1）∵∠BAE=∠DAC，∴∠BAE+∠EAC=∠DAC+∠EAC，即∠BAC=∠EAD，∵∠ABC=∠ABE+∠CBD，∠AED=∠ABE+∠BAE，∵∠CBD=∠BAE，∴∠ABC=∠AED，∴△ABC∽△AED，∴，∴DE•AB=BC•AE；（2）∵△ABC∽△AED，∴，即，∵∠BAE=∠DAC∴△ABE∽△ACD，∴∠AEB=∠ADC，∵∠AED+∠AEB=180°，∴∠AED+∠ADC=180°．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，邻补角的定义，三角形外角的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．24．（12 分）（2016 秋•浦东新区期中）已知：在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点A（4，0），C（0，﹣4），另有一点B（﹣2，0）．（1）求一次函数解析式；（2）联结BC，点P 是反比例函数y=的第一象限图象上一点，过点P 作y 轴的垂线PQ，垂足为Q．如果△QPO 与△BCO 相似，求P 点坐标；（3）联结AC，求∠ACB 的正弦值．【分析】（1）把A、C 两点的坐标代入可求得一次函数解析式；（2）可设出P 点坐标为（x，），由△POQ 和△BCO 相似可知有两种情况，当∠BCO=∠POQ 时，利用两角的正切值相等，可得到关于x 的方程，可求得x 的值，可得P 点坐标；当∠BCO=∠OPQ 时，同理可求得P 点坐标；（3）作AD⊥BC 于点D，由△ABC 的面积可求得AD 的长，且可求得AC 的长，在Rt△ADC 中，可求得∠ACB 的正弦值．【解答】解：（1）把A（4，0），C（0，﹣4）代入y=kx+b 可得，解得，∴一次函数解析式为y=x﹣4；（2）设P 点坐标为（x，），∵，∠PQO=∠BOC=90°，∴当△POQ 和△BCO 时是有∠BCO=∠POQ 或∠BCO=∠OPQ，①当∠BCO=∠POQ 时，则tan∠BCO=tan∠POQ，∴ =，解得x=2 或x=﹣2 （舍去），∴P 点坐标为（2，）；②当∠BCO=∠OPQ 时，则tan∠BCO=tan∠OPQ，∴= ，解得x= 或x=﹣（舍去），∴P 点坐标为（，2）；综上可得P 点坐标为（2，）或（，2）；（3）作AD⊥BC 交BC 于D，如图，∵A（4，0），C（0，﹣4），B（﹣2，0），∴AC=4 ，BC==2= AB•OC=BC•AD，∵S△ABC∴6×4=2 AD，∴AD ，∴在Rt△ADC 中，sin∠ACB= == ．【点评】本题为反比例函数综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、三角函数定义、分类讨论思想等知识点．在（2）中注意分两种情况是解题的关键，在（3）中构造直角三角形是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．25．（14 分）（2015•武汉模拟）已知：正方形ABCD 的边长为4，点E 为BC 的中点，点P 为AB 上一动点，沿PE 翻折△BPE 得到△FPE，直线PF 交CD 边于点Q，交直线AD 于点G，联接EQ．（1）如图，当BP=1.5 时，求CQ 的长；（2）如图，当点G 在射线AD 上时，BP=x，DG=y，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）延长EF 交直线AD 于点H，若△CQE 与△FHG 相似，求BP 的长．【分析】（1）首先确定∠PEQ=90°，即PE⊥EQ，然后利用△PBE∽△ECQ，列出比例式求出CD 的长度；（2）根据△PBE∽△ECQ，求出DQ 的表达式；由QD∥AP，列出比例式求解；（3）本问分两种情形，需要分类讨论，避免漏解．【解答】解：（1）由翻折性质，可知PE 为∠BPQ 的角平分线，且BE=FE．∵点 E 为BC 中点，∴EC=EB=EF，∴QE 为∠CQP 的角平分线．∵AB∥CD，∴∠BPQ+∠CQP=180°，即2∠EPQ+2∠EQP=180°，∴∠EPQ+∠EQP=90°，∴∠PEQ=90°，即PE⊥EQ．易证△PBE∽△ECQ，∴，即，解得：CQ= ．（2）由（1）知△PBE∽△ECQ，∴，即，∴CQ= ，∴DQ=4﹣．∵QD∥AP，∴，又AP=4﹣x，AG=4+y，∴，∴y= （1＜x＜2）．（3）由题意知：∠C=90°=∠GFH．①当点G 在线段AD 的延长线上时，如答图1 所示．由题意知：∠G=∠CQE∵∠CQE=∠FQE，∴∠DQG=∠FQC=2∠CQE=2∠G．∵∠DQG+∠G=90°，∴∠G=30°，∴∠BEP=∠CQE=∠G=30°，∴BP=BE•tan30°=；②当点G 在线段DA 的延长线上时，如答图2 所示．由题意知：∠FHG=∠CQE．同理可得：∠G=30°，∴∠BPE=∠G=30°，∴∠BEP=60°，∴BP=BE•tan60°=．综上所述，BP 的长为或．【点评】本题是几何综合题型，主要考查了相似三角形、正方形、解直角三角形、角平分线等几何知识点．难点在于第（3）问，有两种情形，不要漏解．第29页（共28页）。
上海市浦东新区多校联考2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷
上海市浦东新区多校联考2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷一、单选题1．关于相似三角形，下列命题中不正确的是（）A ．两个等腰直角三角形相似B ．相似三角形的面积比等于相似比C ．含有30°角的两个直角三角形相似D ．相似三角形的对应中线的比等于相似比2．在Rt ABC △中，90 54C AB AC ∠=︒==，，，那么sin A 的值等于（）A ．34B ．43C ．35D ．453．在ABC 中，点D ，E 分别在边A ，AC 上，:1:2AD BD =，那么下列条件中能够判断//DE BC 的是()A ．12DE BC =B ．31DE BC =C ．12AE AC =D ．31AE AC =4．已知3,a b =下列判断正确的是（）A ．a 与b，方向相同B ．30a b +=C ．a与b不平行D ．a b=5．如图，在ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，如果3DEF S =V ，那么ABCD 的面积为（）A ．6B ．12C ．24D ．366．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()00O ，，点()0A 1，，()02B ，，()30C ，，点D 在第一象限内，如果以点D 、O 、C 为顶点的三角形与AOB V 相似，那么这样的点D 有（）个A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题7．已知0,1089x y z==≠则x y z x y ++=+．8．已知线段b 是线段a 、c 的比例中项，如果49a c ==，，那么b =．9．如果两地相距250km ，那么在1:10000000的地图上它们相距cm ．10．长为2的线段A 上有两点C 、D ，点C 是靠近点A 的黄金分割点，点D 是靠近点B 的黄金分割点，则C 的长为．11．如图，已知AB CD EF ∥∥，它们依次交直线l l ₁、₂于点A 、D 、F 和点B 、C 、E ，如果23AD DF =，20BE =，那么线段CE 的长是．12．在ABC V 中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥垂足为点D ，若915AD AC ==，，则DB =．13．点G 是ABC 的重心，设,AB a AC b == ，那么AG 关于a 和b的分解式是．14．△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，点D 在AC 上且AD ＝2，如果要在AB 上找一点E ，使△ADE 与原三角形相似，那么AE ＝15．如图，图中提供了一种求cot15︒的方法，作Rt ABC ，使90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，再延长CB 到点D ，使BD BA =，联结AD ，即可得15D ∠=︒，如果设AC t =，则可得(2CD t =，那么cot15cot 2CDD AC=== ，运用以上方法，可求得cot 22.5︒的值是．16．秦九韶的《数书九章》中有一个“峻积验雪”的例子，其原理为：如图，在Rt ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=5，AD ⊥AB ，AD=0.4，过点D 作DE //AB 交CB 的延长线于点E ，过点B 作BF ⊥CE 交DE 于点F ，那么BF=．17．如图，在 ABC 中，点D 是边BC 的中点，直线DF 交边AC 于点F ，交AB 的延长线于点E ，如果CF ∶CA=a ∶b ，那么BE ∶AE 的值为．（用含a 、b 的式子表示）18．如图，在△ABC 中，∠C =90°，AB =10，tan B =34，点M 是AB 边的中点，将△ABC 绕着点M 旋转，使点C 与点A 重合，点A 与点D 重合，点B 与点E 重合，得到△DEA ，且AE 交CB 于点P ，那么线段CP 的长是．三、解答题19．计算：2sin 45tan 452cot 30sin 60cos 60︒-︒+︒⋅︒︒．20．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB CD =．:1:3AD BC =．设AB a = ，AD b=．(1)填空：CB = ；BD = ；CD = ；（用a、b 表示）(2)作AC 在a 、b方向上的分向量（不要求写作法，但要指出明确的结论）．21．如图，已知在ABC V 中，CD AB ⊥，垂足为点2,2,6,tan 3D AD BD B ∠===，点E 是边BC 的中点．(1)求边AC 的长；(2)求EAB ∠的正弦值．22．如图，为了测量河宽，在河的一边沿岸选取B 、C 两点，对岸岸边有一块石头A ，在ABC V 中，测得64B ∠=︒，45C ∠=︒，50BC =米，求河宽（即点A 到边BC 的距离）（结果精确到0.1米）．1.41≈，sin 640.90︒=，cos640.44︒=，tan 642.05︒=）23．如图，在梯形ABCD 中，90ABC ∠=︒，AD BC ∥，2BC AD =，对角线AC 与BD 交于点E ．点F 是线段EC 上一点，且BDF BAC ∠=∠．(1)求证：2EB EF EC =⋅；(2)如果6BC =，2sin 3BAC ∠=，求FC 的长．24．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,0A 和点()1,3B -，点()1,1D -．(1)求直线BD 的表达式和线段AB 的长度；(2)连接线段BD AD 、，求tan ABD ∠的值；(3)设线段BD 与x 轴交于点P ，如果点C 在x 轴上，且ABC V 与ABP 相似，求点C 的坐标．25．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与边CD 垂直，34AB AC =，四边形ABCD 的周长是16，点E 是在AD 延长线上的一点，点F 是在射线AB 上的一点，CED CDF ∠=∠．(1)如图1，如果点F 与点B 重合，求AFD ∠的余切值；(2)如图2，点F 在边AB 上的一点．设AE x =，BF y =，求y 关于x 的函数关系式并写出它的定义域；(3)如果:1:2BF FA =，求CDE 的面积．。
上海市浦东新区九年级(上)期中数学试卷
九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.下列各组图形一定相似的是（）A. 所有等腰三角形都相似B. 所有等边三角形都相似C. 所有菱形都相似D. 所有矩形都相似2.甲、乙两地的实际距离是20千米，在比例尺为1：500000的地图上甲乙两地的距离（）A. 40cmB. 400cmC. 0.4cmD. 4cm3.如图，在△ABC中，DE∥BC，若ADDB＝23，则S△ADE：S△ABC等于（）A. 4：25B. 2：5C. 4：9D. 4：214.如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③ACCD=ABBC；④AC2=AD•AB．其中能够判定△ABC∽△ACD的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 45.一个三角形的三边分别为3，4，5，另一个与它相似的三角形中有一条边长为8，则这个三角形的边长不可能是（）A. 325B. 403C. 9D. 106.如图，平面直角坐标系中，已知矩形OABC，O为原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（1，2），连接OB，将△OAB沿直线OB翻折，点A落在点D的位置，则cos∠COD的值是（）A. 35B. 12C. 34D. 45二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.若xy=23，则为x+yy=______．8.化简：-3（2a-b）+2（a+2b）=______．9.如果△ABC与△DEF相似，△ABC的三边之比为3：4：6，△DEF的最长边是10cm，那么△DEF的最短边是______cm．10.已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AB=4，那么AP=______．11.如图，DE∥BC，DE：BC=3：4，那么AE：CE=______．12.如图，AD∥BE∥CF，AB=5cm，AC=8cm，DE=7cm，则EF=______cm．13.如图，在△ABC中，AD是中线，G是重心，过点G作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F，若AC=18，则AF=______．14.如图，在▱ABCD中，E在DC上，若DE：EC=1：2，则BF：EF=______．15.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果AC=6，BC=3，那么∠BCD的正切值是______．16.已知直角三角形两边长分别为3和4，那么较小锐角的正弦值是______．17.如果梯形两底分别为12和20，高为1，那么两腰延长线的交点到较大边的距离是______．18.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，tan A=34，点D是斜边AB的中点，把△ABC绕点C旋转，使得点B落在直线CD上的点B′处，那么线段DB′的长是______．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）19.计算：tan45°-3cot60°+2cos30°+2sin30°．四、解答题（本大题共6小题，共68.0分）20.如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O，CO=25AC．（1）求：CDAB的值；（2）若AC=a，BC=b，用向量a与b表示DC．21.在△ABC中，AB=AC，∠A=45°，AC的垂直平分线分别交AB，AC于D、E两点，连接CD，如果AD=2，求tan∠BCD的值．22.已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠DAE=45°，求证：AB2=BE•CD．23.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=4，CD=2，CE⊥BC交边AD于点E．（1）当点E与A恰好重合时（如图1），求AD的长；（2）问：是否可能使△ABE、△CDE和△BCE都相似？若能，请求出此时AD的长；若不能，请说明理由（如图2）．24.已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，MD∥BC，且MD=CM，DE⊥AB于点E，连结AD．（1）求证：△MED∽△BCA；（2）当S△BDM=13S△ABC时，求S△BED：S△MED的值；（3）在（2）的条件下，求cos∠ABC的值．25.如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，AB=12，点D为BC边上一个动点，过点D作∠BDE=∠B交边AB点E，过点E作射线EF⊥AB交AC边于点F，交射线BC于点G，连接DF，设BE两点的距离为x，CG两点的距离为y．（1）求证：BD=DG；（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）点D在运动过程中，△DEF能否构成等腰三角形？如果能，请直接写出BE 的长，如果不能，请简要说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：任意两个等腰三角形的对应边不一定成比例，不一定相似，A错误；任意两个等边三角形对应角相等、对应边成比例，一定相似，B正确；任意两个菱形的对应角不一定相等，不一定相似，C错误；任意两个矩形的对应边不一定成比例，不一定相似，D错误；故选：B．根据对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形进行判断即可．本题考查的是相似图形的判定，掌握对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形是解题的关键．2.【答案】D【解析】解：20千米=2000000厘米，2000000×=4（cm）．故选：D．根据实际距离×比例尺=图上距离，代入数据计算即可．本题考查了比例线段，能够根据比例尺灵活计算，注意单位的换算问题．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，能推出△ADE∽△ABC是解此题的关键．求出AD：AB=2：5，根据相似三角形的判定推出△ADE∞△ABC，根据相似三角形的性质得出比例式，再求出答案即可．【解答】解：∵=，∴=，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=（）2=（）2=，即S△ADE：S△ABC等于4：25，故选A．4.【答案】C【解析】解：有三个．①∠B=∠ACD，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；②∠ADC=∠ACB，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；③中∠A不是已知的比例线段的夹角，不正确④可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；故选：C．由图可知△ABC与△ACD中∠A为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答．此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的掌握情况．5.【答案】C【解析】解：当边长为8的边长与三角形的三边分别为3，4，5，中边长为3的对应成比例时，则另两条边长分别为：，；当与边长为4的对应成比例时，其另两条边长分别为：6，10；当与边长为5的对应成比例是，其另两条边长分别为：，；则这个三角形的边长不可能是9，故选：C．题干中另一个与它相似的三角形中有一条边长为8，则其可能与与三角形的三边分别为3，4，5，中边长为3的对应成比例，也可能也边长为4的对应成比例，亦有可能与边长为5的成比例，所以应分开讨论．此题主要考查了相似三角形的性质，正确分类讨论是解题关键．6.【答案】D【解析】【分析】根据翻折不变性及勾股定理求出GD、CG的长，再根据相似三角形的性质，求出DF的长，OF的长即可解决问题；本题考查翻折变换、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．【解答】解：作DF⊥y轴于F，DE⊥x轴于E，BD交OC于G．∵在△BCG与△ODG中，，∴△BCG≌△ODG，∴GO=GB，∴设GO=GB=x，则CG=GD=2-x，于是在Rt△CGB中，（2-x）2+12=x2；解得x=．GD=2-x=2-=；∵BC⊥y轴，DF⊥y轴，∴∠BCG=∠DFG，∵∠BGC=∠DGF，∴△CBG∽△FDG，∴=，∴DF=；又∵DO=1，∴OF==．∴cos∠DOC==．故选D．7.【答案】53【解析】解：∵=，∴可以假设x=2k，y=3k，∴===．故答案为．由=，可以假设x=2k，y=3k，代入计算即可解决问题．本题考查比例的性质，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．8.【答案】-4a+7b【解析】解：-3（2-）+2（+2）=-6+3+2+4=-4+7，故答案为-4+7．根据平面向量的加法法则计算即可；本题考查平面向量的加法法则，解题的关键是记住平面向量的加法法则，属于中考基础题．9.【答案】5【解析】解：设△DEF的最短边为x，△ABC的三边分别为3a，4a，6a，∵△ABC与△DEF相似，∴3a：x=6a：10，∴x=5，即△DEF的最短边是5cm．故答案为5．设△DEF的最短边为x，由△ABC的三边之比为3：4：6，则可设△ABC的三边分别为3a，4a，6a，由于△ABC与△DEF相似，根据相似三角形的性质得到3a：x=6a：10，即可求出x=5．本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．10.【答案】25-2【解析】解：由于P为线段AB=4的黄金分割点，且AP是较长线段；则AP=AB=×4=2-2．故答案为2-2．根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP=AB，代入数据即可得出AP的长．本题考查了黄金分割的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的，较长的线段=原线段的．11.【答案】3【解析】解：∵DE∥BC，∴△ADE∞△ABC，∴=，∵DE：BC=3：4，∴=，∴=，解AE：CE=3：1=3，故答案为：3．根据相似三角形的判定推出△ADE∞△ABC，根据相似三角形的性质得出比例式，再求出答案即可．本题考查了相似三角形的性质和判定，能推出△ADE∽△ABC是解此题的关键．12.【答案】215【解析】解：∵AD∥BE∥CF，∴=，又AB=5cm，AC=8cm，DE=7cm，即=，EF=．故答案为：．由于AD∥BE∥CF，即=，进而再由题干中的条件即可得出EF的长．本题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题，能够熟练掌握．13.【答案】12【解析】解：∵G是△ABC的重心，∴AG=2DG，AD=3DG；∵EF∥BC，∴，∵AC=18，∴AF=12．故答案为12．如图，运用平行线分线段成比例定理列出比例式：，根据AC=18，求出AF即可解决问题．该题主要考查了三角形重心的性质、平行线分线段成比例定理等几何知识点及其应用问题；牢固掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．14.【答案】3：2【解析】解：∵DE：EC=1：2，∴EC：DC=2：3，；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴△ABF∽△CEF，∴BF：EF=AB：EC，∵AB：EC=CD：EC=3：2，∴BF：FE=3：2，故答案为：3：2．由DE、EC的比例关系式，可求出EC、DC的比例关系；由于平行四边形的对边相等，即可得出EC、AB的比例关系，易证得△EFC∽△BFA，可根据相似三角形的对应边成比例求出BF、EF的比例关系．此题主要考查的是平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质．15.【答案】12【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDB=∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∠BCD+∠B=90°，∴∠BCD=∠A，∵AC=6，BC=3，∴tan∠BCD=tanA===，故答案为：．根据三角形内角和定理求出∠BCD=∠A，求出∠A的正切值即可．本题考查了三角形内角和定理和锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．16.【答案】74或35【解析】解：分为两种情况：①当4为斜边时，直角三角形的另一直角边是=，∴较小锐角的正弦值为；②当4为直角边时，由勾股定理得：斜边为5，∴较小锐角的正弦值．∴该三角形中较小锐角的正弦值为或．故答案为或．分4为斜边与4为直角边两种情况分别求出另外一边，再根据正弦函数的定义求解即可．本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，进行分类讨论是解题的关键．17.【答案】2.5【解析】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴===，解得AF=1.5，∴AG=2.5．故答案为2.5．根据DE∥BC，即可求得△ADE∽△ABC，即可求得===，求得AF的值即可解题．本题考查了相似三角形的判定，相似三角形对应边比值相等的性质，本题中根据DE、BC的比值求AF的值是解题的关键．18.【答案】12【解析】解：如图，∵∠ACB=90°，AB=5，tanA=，∴BC=3，∵点D是斜边AB的中点，∴DC=AB=∵△ABC绕点C旋转，使得点B落在射线CD上，∴CB′=CB=3，∴DB′=CB′-CD=3-=．根据DB′=CB′-CD，求出CD，CB′即可解决问题；本题考查旋转变换、直角三角形斜边中线的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．19.【答案】解：tan45°-3cot60°+2cos30°+2sin30°=1-3×33+2×32+1=1-3+3+1=2．【解析】直接例题特殊角的三角函数值分别代入求出答案．此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．20.【答案】解：（1）∵CO=25AC，∴CO：OA=2：3，∵CD∥AB，∴CDAB=OCOA=23．（2）∵AB=AC+CB，AC=a，BC=b，∴AB=a-b∵DC=23AB，∴DC=23a-23b．【解析】（1）利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；（2）根据=+，，，可得=-再根据DC=AB，即可求出．本题考查平面向量、梯形的性质、平行线的性质、三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21.【答案】解：∵DE垂直平分AC，∴AD=CD，∴∠A=∠ACD=45°，∴∠ADC=∠BDC=90°，∵AD=CD=2，∴AC=AB=22+22=22，∴BD=22-2，在Rt△BCD中，tan∠BCD=BDDC=22−22=2-1．【解析】首先利用线段垂直平分线的性质得出∠A=∠ACD，求出AD=DC=2；根据AB=AC求出BD长即可求解．本题考查的是等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质，同时考生需要注意三角函数的运用．22.【答案】证明：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠C=12×（180°-∠BAC）=45°，∵∠DAE=45°，∴∠ADE=∠B+∠BAD=45°+∠BAD，∠EAB=∠DAE+∠BAD=45°+∠BAD，∴∠ADC=∠EAB，∵∠B=∠C，∴△ADC∽△EAB，∴ABCD=BEAC，∵AB=AC，∴AB2=BE•CD．【解析】求出∠B=∠C，∠ADC=∠EAB，根据相似三角形的判定推出△ADC∽△EAB，根据相似三角形的性质得出比例式，即可得出答案．本题考查了等腰直角三角形和相似三角形的性质和判定，能推出△ADC∽△EAB是解此题的关键．23.【答案】解：（1）当点E与A重合时，∵CD∥AB∴∠DCA=∠CAB，且∠ADC=∠ACB=90°∴△ACD∽△ABC，∴ABAC=ACCD，∴AC=22，∴AD=AC2−CD2=(22)2−22=2．（2）若能使△ABE、△CDE与△BCE都相似，∴∠EBC=∠A=∠D=90°，∠DEC=∠BEC=∠AEB∵∠DEC+∠BEC+∠AEB=180∴∠DEC=∠BEC=∠AEB=60°在Rt△DEC中，tan∠DEC=DCDE=3∴DE=23=233在Rt△ABE中，tan∠AEB=ABAE=3∴EA=43=433∴AD=DE+AE=23【解析】（1）由∠DCA=∠CAB，∠ADC=∠ACB，证得△ACD∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得AD的长；（2）分别从使△ABE、△CDE与△BCE都相似分析，利用相似三角形的性质，即可求得AD的长．此题考查了相似三角形的判定与性质．熟练运用相似三角形的性质解决问题是本题的关键．24.【答案】解：（1）∵MD∥BC，∴∠DME=∠CBA，∵∠ACB=∠MED=90°，∴△MED∽△BCA，（2）∵∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，∴MB=MC=AM=12AB，∵MC=MD，∴MD=12AB，∴S△AMC=S△BNC=12S△ABC，∵△MED∽△BCA，∴S△MEDS△ABC=（DMAB）2=14，∵S△BDM=13S△ABC，∴S△MEDS△BDM=34，∴S△BED：S△MED=1：3；（3）∵S△MEDS△BDM=34，∴MEMB=34，∵MD=MB，∴MEMD=34，∴cos∠EMD=MEMD=34，∵∠DME=∠CBA，∴cos∠ABC=34．【解析】（1）易证∠DME=∠CBA，∠ACB=∠MED=90°，从而可证明△MED∽△BCA；（2）由∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，可知MB=MC=AM，从而可证明MD=CM=MB=AB，从而证得S△AMC=S△BNC=S△ABC，由S△BDM=证得=，从而证得S△BED：S△MED=1：3；（3）由=，得到=，进一步得到=，证得cos∠EMD= =，由DME=∠CBA，证得cos∠ABC=．本题考查相似三角形的综合问题，涉及直角三角形斜边中线的性质，相似三角形的判定与性质，三角形面积的面积比，锐角三角函数的定义等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．25.【答案】（1）证明：如图1，Rt△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，∴∠B=60°，∵∠BDE=∠B=60°，∴∠BED=60°，∴△BED是等边三角形，∴BD=ED，∵EF⊥AB，∴∠BEF=90°，∴∠DEG=30°，∵∠EDB=∠DEG+∠DGE，∴∠DGE=60°-30°=30°=∠DEF，∴DE=DG，∴BD=DG；（2）解：如图1，Rt△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，AB=12，∴BC=6，Rt△BEG中，∠G=30°，∴BG=2BE，∵BE两点的距离为x，CG两点的距离为y，∴6+y=2x，y=2x-6（3≤x≤12）；（3）解：分三种情况：①当ED=DF时，当F与C重合时，如图2，BE=12BC=3；②当ED=EF时，如图3，BE=ED=EF=x，∴AE=12-x，Rt△AEF中，tan∠A=EFAE，∵∠A=30°，∴33=x12−x，∴x=63-6，∴BE=63-6；③当EF=DF时，C与D重合，如图4，此时BE=BC=6；综上，当△DEF构成等腰三角形时，BE的长为3或63-6或6，【解析】（1）根据三角形的内角和定理先得∠B=60°，证明△BED是等边三角形，根据等角对等边分别证明DE=DG，BD=ED，可得结论；（2）先得BC=6，根据直角三角形30度角的性质可得结论；（3）分三种情况：①当ED=DF时，当F与C重合时，如图2，BE=BC=3；②当ED=EF时，如图3，根据直角三角形30度角的性质或三角函数列等式可得结论；③当EF=DF时，C与D重合，如图4，此时BE=BC=6；本题主要考查对三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质及三角函数等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．。
上海市浦东新区民办欣竹中学2024-2025学年九年级上学期期中模拟数学试卷(含答案)
初三期中模拟试卷（1）一、选择题（每题4分，满分24分）1 、已知线段满足，则下列比例式不一定正确的是（）A B C D2 、如图，在中，分别是上的点，下列比例式中伯努判定的是（）A B C D3 、已知是线段的黄金分割点，，下列各式中不正确的是（）A BC D4 、已知，在中，，，则的长为（）A B C D5 、已知，是非零向量，下列判断错误的是（）A 如果，那么B 如果为单位向量，且，那么C 如果，那么D 如果，那么或6 、如图，在梯形中，，对角线相交于点，是梯形的中位线，与相交于点，如果的面积为1，那么的面积为（）A 3B 2C 4D 2.5二、填空题（每题4分，满分48分）ba、43=ba34=ab47=+bba3211=--bababa=++43ABC△ED、ACAB、BCDE//ACAEABAD=ECAEDBAD=ACCEABBD=BCDEABAD=P AB PBAP>215-=ABAPABPBAP⋅=2215-=PBAP253-=ABBPABC△︒=∠90C mBCA==∠、αABαsinmαcosmαsinmαcosma bba2=ba//e ea2=2||=a=+ba ba-=||||ba=ba=ba-=ABCD ADBCBCAD3//=、BDAC、O EF EF ACBD、HG、OGH△ABD△7 、如果线段，那么线段的比例中项8 、计算：9 、在中，，，那么的余弦值为10 、如图，在梯形中，，是梯形中位线，设，，那么向量用向量，表示为11 、如图，已知，，，那么12 、小明在楼上点处看到楼下点处小丽的俯角是，那么点小丽看点处小明的仰角是13 、如图，在中，，点是的重心，如果，那么14 、如果梯形两底分别为4和6，梯形高为2，那么两腰延长线的交点到这个梯形的较大底边的距离为15 、如图，在梯形中，，分别在的延长线上，，如果，，那么的长为16 、构建几何图形解决代数问题是数形结合思想，在中，，，延长线段，使，联结，可得，所以，利用此图形可以得出，通过此方法，可以得出cmccma94==、ca、=b cm=--)2(24baaABC△︒=∠90C43==BCAC、A∠ABCD ADBCBCAD3//=、EFaAD=bDC=BC a b321////LLL23=BCAB6=DE=DFA B︒32B A ABC△3=BC G ABC△BCDG// =DGABCD CDAB//FE、BDAC、ABEF//DEAD3=106==EFAB、CDABCRt△︒=∠90C ︒=∠30ABC DCB到点ABBD=AD︒=∠15D︒=∠75CAD3275tan+=︒=︒5.67tan17 、如图，在中，，垂足分别为，若，则18 、如图，在中，，平分，交，将绕着点旋转，如果点落在射线，点落在点处，联结，那么的正切值为三 、解答题（本大题共7题，满分78分）19 、（本题满分10分）计算：20 、（本题满分10分）如图，，于点，已知，求的长ABC △AB CE AC BD A ⊥⊥=∠︒、、45E D 、22=DE =BC ABC Rt △4390===∠︒BC AC ACB 、、CD ACB ∠D AB 于点ABC △A C CD B E DE AED ∠︒︒︒︒+-45cot 30sin 30cos 60tan 2BC EG AD ////AC DB AB EG 、、分别交G F E 、、53106====AB AE BC AD 、、、FG EG 、21 、（本题满分10分）如图，在中，，点分别在边上，，，（1）求的长（2）求的值22 、（本题满分10分）地铁10号线某站出口横截面平面图如图所示，电梯的两端分别距顶部9.9米和2.4米，在距电梯起点端6米的处，用1.5米的测角仪测得电梯终端处的仰角为，求电梯的坡度与长度参考数据：，，ABC △︒=∠90C E D 、AB AC 、ABC BD ∠平分8=⊥AE AB DE 、53sin =A CD DBC ∠cot AB A P B ︒14AB 24.014sin ≈︒97.014cos ≈︒25.014tan ≈︒23 、（本题满分12分）已知，如图，在中，点分别在边上，，相交于点，（1）求证：（2）求证：24 、（本题满分12分）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，将直线向下平移16个单位后交轴于点（1）求的余切值（2）点在平移后的直线上，其纵坐标为6，联结，其中与交于点，求：的值（3）点在直线上，且位于第一象限，联结，当时，求点的坐标ABC △E D 、AB BC 、AC AD BD ==CE AD 与F ECEF AE ⋅=2EAFDCE ADC ∠+∠=∠EFAB AD AF ⋅=⋅1223:+-=x y L x A L y BOBA ∠C CB CA 、CA y E ABE CBE S S △△:M 3=x MB MA 、OBA BMA ∠=∠M25 、（本题满分14分）如图，在直角图形中，，，对角线交于点，已知，，点是射线上任意一点，过点作，垂足为点，交射线，射线（1）当点是线段中点时，求线段的长（2）当点在线段上时（不与重合），设，求的函数解析式及定义域（3）联结，如果线段与直角梯形中的一条边（除外）垂直时，求的值ABCD CD AB //︒=∠90ABC BD AC 、G 3==BC AB 21tan =∠BDC E BC B DE BF ⊥F M AC 于点HDC 于点F BH CH E BC C B 、y CM x BE ==、x y 关于GF GF ABCD AD x参考答案一，选择题1 ，C ；2 ，D ；3 ，C ；4 ，C ；5 ，D ；6 ，C ；二 ，填空题7 ，6 ；8 ，；9 ， ；10，；11 ，10 ；12 ，32 ；13 ，1 ；14 ，6 ；15 ，9 ；16 ， ；17 ，4 ；18 ， ；三 ，解答题19 ， ；20 ， ；21 ，（1）6 ，（2） ；22 ，19 ， ；23 ，证明略 ；24 ，（1），（2）（，6），（3）（3 ，5）；25 ，（1） ，（2）（）（证相似）（3）当时，∵，∴，∵相似，∴ ，∴∵相似，∴，，∵ ，∴ ，解得：，（舍）b a 42+53a 2+12+7334+5186==GF EG 、2124:1=i 21cot =∠OBA C 320-658320||21||21==⋅⋅=A C ABE CBE x BE x BE S S △△M 653-x x y +-=3232930<<x BCH △DCE △BC GF ⊥21==DC AB GD BG 31=BH BF BH BF 31=BCH △DCE △DE BH 21=DE BF 61=BFE △DCE △DE BE CD BF =DEx DE =661x DE 362=222CE CD DE +=2)3(3636x x -+=116211-=x 116212+=x当时，如上图易得，，∵相似，，∵，∴， ， ，，（舍）综上所述CD GF ⊥24==KC DK 、32=CE KF )3(32-=x KF BCH △DCE △21=CE CH )3(2121-==x CE CH 27)3(212x x CH CK KH -=--=-=BC KF //CH KH BC KF =23273)3(32--=-x x x )7(9)3(22x x -=-045322=--x x 441331+=x 441332-=x 1162144133-+=或x。
上海市浦东新区张江集团中学2024-2025学年九年级第一学期期中考试数学试卷
张江集团中学2024学年第一学期初三数学诊断练习（4）满分：150分 2024.10.28班级__________________学号__________________姓名__________________成绩__________________ 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）1．将抛物线251y x =−+向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线为（ ） A ．25(1)1y x =−−−B ．25(1)2y x =−−−C ．25(1)1y x =−+−D ．25(1)3y x =−++2．已知线段a 、b 、c ，求作线段x ，使ab ＝cx ，则下列作图中（AB ∥CD ）作法正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，CD AB ⊥，垂足为点D ，下列式子中正确的是（ ） A ．sin ACA AB=B ．cos CDA AC=C ．tan CDA BD=D ．cot ACA BC=4．下列说法正确的有（ ）个①三点确定一个圆； ②相等的圆心角所对的弧相等； ③同圆或等圆中，等弦所对的弧相等； ④三角形的外心到三角形各顶点距离相等 A ．1B ．2C ．3D ．45．如图，平面直角坐标系中，已知矩形OABC ，O 为原点，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标 为(1,2)，连接OB ，将OAB ∆沿直线OB 翻折，点A 落在点D 的位置，则cos COD ∠的值是（ ）A ．35B ．45C ．34D ．126．如图，在正方形ABCD 中，△AOD 是等边三角形，AO 和DO 的延长线分别交边BC 于点E 和点F ，联 结BD 交线段AO 于点G ，联结BO ，下列结论中错误的是（ ） A ．2AE CF =B ．2BO GO AO =⋅C ．△BEO ∽△DOGD ．DO BOBO EO=二．填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分） 7．已知43a b =，则2bb a−= ． 8．二次函数2(1)1y x =−+的图象与y 轴的交点坐标是 ．9．在一个斜坡上前进5米，铅垂高度升高了3米，则该斜坡坡度i = ．10．已知O 的半径为5cm ，A 为线段OB 的中点，当9OB cm =时，点A 与O 的位置关系是点A 在 ．11．在Rt △ABC 中，90A ∠=︒，若sin B =，则cot C = ． 12．如图，在ABC ∆中，3BC =，点G 是ABC ∆的重心，如果//DG BC ，那么DG = ． 13．已知点1(3,)A y −和2(2,)B y 在二次函数22(0)y ax ax c a =++<图象上，则1y 2y ．（填>、<或=）14．抛物线21y x x =−−关于坐标原点对称的抛物线的解析式为 ．15．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是CD 边上一点，DE ：EC ＝2：3，连接AE 、BE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ．若S △DEF ＝2，则S △ABE ＝ ．第5题图 第6题图 第12题图 第15题图 16．定义：如果△ABC 内有一点P ，满足PAC PCB PBA ∠=∠=∠，那么称点P 为△ABC 的布罗卡尔点，如图，在△ABC 中，5AB AC ==，8BC =，点P 为△ABC 的布罗卡尔点，如果2PA =，那么PC = ．17．如图，在矩形ABCD 中，点E 在AD 上，若45BEC ∠=︒且4AE =，2ED =，则AB 的长为 ． 18．已知正方形ABCD 的边长为4，一个以点A 为顶点的45°角绕点A 旋转，角的两边分别与边BC 、DC的延长线交于点E 、F ，连接EF ．当△AEF 是直角三角形时tan ∠AEB =______．第16题图 第17题图 第18题图三．解答题（本大题共7题，第19~22题每题10分；第23、24题12分，第25题14分，满分78分）19．计算：2145cos 302sin 6042tan 60︒+︒−+︒−︒20．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ．E 为边AB 上一点，且2BE AE =． 设AB a =，AD b =．（1）填空：用向量a ，b 的式子表示向量DE = ；（2）如果点F 是线段OC 的中点，那么用向量a ，b 的线性组合表示向量EF = ，并在图中画出向量EF 在向量AB 和AD 方向上的分向量．21．如图，AB ，AC 是O 的两条弦，且AB AC =．（1）求证：AO 平分BAC ∠；（2）若AB =8BC =，求半径OA 的长．22．如图，A 点、B 点分别表示小岛码头、海岸码头的位置，离B 点正东方向的7.00km 处有一海岸瞭望塔C ，又用经纬仪测出：A 点分别在B 点的北偏东57︒处、在C 点的东北方向．（1）试求出小岛码头A 点到海岸线BC 的距离；（2）有一观光客轮K 从B 至A 方向沿直线航行，某瞭望员在C 处发现，客轮K 刚好在正北方向的D 处， 当客轮航行至E 处时，发现E 点在C 的北偏东27︒处，请求出E 点到C 点的距离； （注:tan 330.65︒≈，sin 330.54︒≈，cos330.84︒≈，结果精确到0.01)km23．如图，已知在△ABC 中，2BAC B ∠=∠，AD 平分BAC ∠，//DF BE ，点E 在线段BA 的延长线上，联结DE ，交AC 于点G ，且E C ∠=∠．（1）求证：2AD AF AB =⋅；（2）求证：AD BE DE AB ⋅=⋅．E24．在平面直角坐标系xOy中，抛物线23y ax bx=+−的图像与x轴交于点A（-3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C，D是线段OA上一点．（1）求这条抛物线的表达式和点C的坐标；（2）如图，过点D作DG⊥x轴，交该抛物线于点G，当∠DGA＝∠DGC时，求△GAC的面积；（3）点P为该抛物线上第三象限内一点，当OD＝1，且∠DCB +∠PBC＝45°时，求点P的坐标．25. 已知矩形ABCD中，AB=6，BC=8，P是边AD上一点，将△ABP沿直线BP翻折，使点A落在点E处，联结DE，直线DE与射线CB交于点F.（1）如图1，当点F在边BC上，若PD=BF时，求AP的长；（2）若射线AE交BC的延长线于点Q，设AP=x，QC=y，求y与x的函数解析式，并写出x定义域；（3）①如图2，直线DE与边AB交于点G，若△PDE与△BEG相似，求∠AEG的正切值；②如图3，当直线DE与BP的延长线交于点H，若△BPE和△DHP面积相等，请直接写出DH的长图1 图2 图3。