生活中的变量关系(导学案)
高中数学 第二章 函数 2.1 生活中的变量关系问题导学案 北师大版必修1-北师大版高一必修1数学学
2.1 生活中的变量关系问题导学一、依赖关系与函数关系的判断活动与探究1下列过程中，各变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？(1)将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却，并将一温度计放入茶杯中，每隔一段时间，观察温度计示数的变化，冷却时间与温度计示数的关系；(2)商品的销售额与广告费之间的关系；(3)家庭的食品支出与电视机价格之间的关系；(4)高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间的关系．迁移与应用1．下面的变量与变量之间是否具有依赖关系？是否具有函数关系？①一天中温度与时间的关系；②汽车在行驶过程中的耗油量与时间的关系；③油菜在生长期内株高与施肥量的关系；④人的身高与体重之间的关系；⑤一枚炮弹发射后，飞行高度与时间的关系．(1)判断两个变量之间是否具有依赖关系，只需分析当其中一个变量变化时，另一个变量是否也发生变化即可，如果发生变化，则它们具有依赖关系，如果不发生变化，则它们不具有依赖关系．(2)判断两个具有依赖关系的变量是否具有函数关系时，可分以下两个步骤：①确定因变量和自变量．②判断对于自变量的每一个确定值，因变量是否有唯一确定的值与之对应．若满足，则是函数关系，否则不是函数关系．二、结合图像分析两个变量之间的关系活动与探究2如图所示为某市一天24小时内的气温变化图．(1)上午8时的气温是多少？全天的最高、最低气温分别是多少？(2)大约在什么时刻，气温为0 °C?(3)大约在什么时刻内，气温在0 °C以上？两个变量有什么特点，它们具有怎样的对应关系？迁移与应用如图所示，小明某天上午9时骑自行车离开家，15时回到家，他有意描绘了离家的距离与时间的变化情况．(1)图像表示了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？(2)在10时和13时，他离家分别有多远？(3)他在什么时间段离家最远？(4)小明离家的时刻是离家的距离的函数吗？(1)结合图像分析两个变量之间的关系时，首先要清楚横轴、纵轴的含义，明确单位等；其次要注意观察，分析图像中蕴含的数据信息，特别注意发现图像中的关键点，如图像与横轴、纵轴的交点，图像的最高点、最低点等．(2)由图像判断两个变量是否具有函数关系时，首先要区分好自变量和因变量，其次要看对于自变量的每一个值，因变量是否都有唯一确定的值与之对应．三、结合表格分析两个变量之间的关系活动与探究3口香糖的生产已有很长的历史，咀嚼口香糖有很多益处，但其残留物也会带来污染，为了研究口香糖的黏附力与温度的关系，一位同学通过实验，测定了不同温度下除去糖分的口香糖与瓷砖地面的黏附力，得到了如下表所示的一组数据：(1)请根据上述数据，绘制出口香糖黏附力F随温度t变化的图像；(2)根据上述数据以及得到的图像，你能得到怎样的实验结论呢？迁移与应用x 1 921 1 927 1 949 1 949＜x＜1 997 1 997 1 999 2 010y 12345672．以下是某电视台的广告价格表(2013年1月报价，单位：元)试问：广告价格与播出时间之间的关系是否是函数关系？具有依赖关系的两个变量在实际问题中常常需要用图像或式子表示出来，通过有限的数据关系，我们可以表示出两个变量的依赖关系，从而得到其余各个数据之间的依赖关系，从而指导我们的生活，使我们的利益取得最优化．当堂检测1．下列说法不正确的是( )．A．依赖关系不一定是函数关系B．函数关系是依赖关系C．如果变量m是变量n的函数，那么变量n也是变量m的函数D．如果变量m是变量n的函数，那么变量n不一定是变量m的函数2．李明骑车上学，一开始以某一速度前进，途中车子发生故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上学时间，于是就加快了车速，在下面给出的四个函数示意图中(s为距离，t为时间)符合以上情况的是( )．3．给出下列关系：①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系；②抛物线上的点的纵坐标与该点的横坐标之间的关系；③橘子的产量与气候之间的关系；④某同学在6次考试中的数学成绩与他的考试号之间的关系．其中不是函数关系的有__________．(只填序号)4．下图是我国2012年某地降雨量的统计情况，图中横轴为月份(单位：月)，纵轴为降雨量(单位：cm)．由图中曲线可判断该地2012年的降雨量与时间是否具有函数关系？5．判断下列变量间是否存在函数关系：(1)矩形的面积一定时，其长与宽；(2)等腰三角形的底边边长与周长；(3)关系式y2＝x中的y与x.答案：课前预习导学【预习导引】1．依赖关系因变量自变量2．(1)函数(2)每一个值唯一确定预习交流1 提示：根据定义，函数关系是特殊的依赖关系，具有依赖关系的两个变量有的是函数关系，有的不是函数关系．因此说依赖关系不一定是函数关系，但函数关系一定是依赖关系．预习交流2 提示：人的健康状况和饮食之间有一定的依赖关系，但这种关系并不是函数关系，因为健康状况并不单纯由人的饮食而定，还受环境、锻炼等因素的影响．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：两个变量中的一个变量发生变化时，如果另一个变量也发生变化，则它们具有依赖关系；如果另一个变量发生变化且取值唯一，则它们具有函数关系．解：(1)冷却时间与温度计示数具有依赖关系，根据函数的定义知，二者之间存在函数关系，且冷却时间是自变量，温度计示数是因变量．反之不行．(2)商品的销售额与广告费这两个变量在现实生活中存在依赖关系，但商品的销售额还受其他因素的影响，比如产品的质量、价格、售后服务等，所以商品的销售额与广告费之间是不确定性关系，即不是函数关系．(3)家庭的食品支出与电视机价格之间没有依赖关系，更不具有函数关系．(4)高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间这两个变量存在依赖关系，且对于每一个时间的值，路程是唯一确定的，因此它们之间存在函数关系，且时间是自变量，路程是因变量．反之也是．综上可知，(1)(4)中的变量间具有依赖关系，且是函数关系；(2)中变量间存在依赖关系，但不是函数关系；(3)中两个变量不存在依赖关系，也不具有函数关系．迁移与应用1．解：①②③④⑤中变量与变量之间都具有依赖关系．其中①②⑤中两个变量之间的依赖关系都具有一个共同的特点，即任给一个时间的值，该时的温度、汽车的耗油量、炮弹飞行的高度就唯一确定，也就是说，对于一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应，所以它们之间的关系是确定性关系，即是函数关系．其中①中的自变量是时间，因变量是温度，反之不行，②中的自变量是时间，因变量是耗油量，反之也是，⑤中的自变量是时间，因变量是飞行高度，反之不行．而③④中两个变量尽管具有依赖关系，但油菜生长期内的株高除与施肥量有关外，还与灌水、光照等因素有关，人的身高越高，其体重不一定越重，所以它们之间的关系不具有确定性，不是函数关系．活动与探究2 思路分析：对照图像，分析时间t与气温θ的取值情况以及它们之间的对应关系，结合函数关系的定义判断它们之间的关系．解：(1)上午8时的气温是0 °C，全天最高气温大约是9 °C，在14时达到．全天最低气温大约是－2 °C，在4时达到．(2)大约在8时和22时，气温为0 °C.(3)在8时到22时之间，气温在0 °C以上，变量0≤t≤24，变量－2≤θ≤9，由于图像是连续的，可知它们之间具有随着时间的增加，气温先降再升再降的变化趋势，所以气温与时间具有依赖关系，也具有函数关系．迁移与应用解：(1)图像表示了时间与距离两个变量之间的关系，时间是自变量，距离是因变量．(2)在10时和13时，他离家分别为10千米和30千米．(3)他在12时至13时离家最远．(4)不是，因为对于某一个确定的离家距离，与之对应的时间的值不是唯一的．活动与探究3 思路分析：用横轴表示温度t，用纵轴表示口香糖黏附力F，根据表格中的数据在坐标系中描出各点，即可画出图像；结合图像可分析黏附力F与温度t之间的关系．解：(1)图像如下：(2)实验结论：①随着温度的升高，口香糖的黏附力先增大后减小；②当温度在37 °C 时，口香糖的黏附力最大．迁移与应用1．解：x，y的取值范围分别是A＝{1 921,1 927，1 949，1 997，1 999,2 010}∪{x|1 949＜x＜1 997}，B＝{1,2,3,4,5,6,7}，它们都是非空数集，且按照表格中给出的对应关系，对任意的x∈A，在B中都有唯一确定的值与之对应，所以y是x的函数，即y与x是函数关系．2．解：不是函数关系，因为广告价格既与播出时间段有关，也与播出时长有关．【当堂检测】1．C2．C 解析：因为李明骑车上学路上停留了一段时间，故该段图像平行于横轴，所以只有C符合条件．3．①③④4．解：因为对于2012年的每一个月都有唯一的降雨量与之对应，故可得2012年的降雨量与时间具有函数关系，且自变量是时间，因变量是降雨量．5．解：(1)矩形的面积一定时，其长取每一个确定的值，其宽都有唯一确定的值与之对应，所以长与宽存在函数关系，且长是自变量，宽是因变量，反之也是．(2)等腰三角形的周长受底边边长和腰长两个因素的影响，当其底边长取每一个确定的值时，其周长不能唯一确定，故周长与底边边长之间不具有函数关系．(3)在关系式y2＝x中，当y取每一个值时，x都有唯一的值与之对应，所以y与x存在函数关系，且y是自变量，x是因变量，反之不行．。
2.1生活中的变量关系
§2.1 生活中的变量关系【学习目标】1.通过学习结合实例来理解生活中变量之间的依赖关系和函数关系，特别要注意这两种关系之间的区别和联系；2． 2.结合初中学习过的函数，能描述因变量随自变量而变化的依赖关系；3． 3.激情投入，高效学习，踊跃展示，大胆质疑，体验成功，创想快乐。
【学习重点】判断变量与变量间是否存在函数关系【学习难点】生活中变量关系与函数关系的区分预习案 一、相关知识 知识链接1：初中阶段我们已经知道常量与变量的含义，即在某个变化过程中，数值保存不变的量叫作______，可以取不同数值的量叫作______。
知识链接2：初中数学中函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果当变 量x 在某变化范围内任意取一个数值时，变量y 按照一定的法则总有_______确定的数值与它 对应，则称y 是x 的函数，通常_______叫自变量，_______叫因变量。
知识链接3：现实生活充满变化，在初中数学、物理等学科中我们都接触过一个变量随着 另一个变量而变化的实例，这些变量之间都有依赖关系吗？都是函数关系吗？ 二、教材助读 阅读课本p23实例分析，思考在高速公路的情况下，有哪些变量存在？哪些变量与变量之间无依赖关系，哪些变量与变量之间有依赖关系？它们是函数关系吗？ 问题1：高速公路的里程数与修建的年数之间有无依赖关系？若有它们是函数关系吗？ 问题2：一辆汽车在高速公路上行驶的过程中，行驶的路程与时间有无依赖关系？若有，它们是函数关系吗？问题3:观察课本 p24图2-2的高速公路加油站的图片，探究储油量v 与油面高度h ；储油量v 与油面宽度w 是否存在依赖关系？若有依赖关系，那它们是函数关系吗？为什么？问题4.进一步分析上述储油罐问题，讨论：还有哪些常量？哪些变量？ 哪些变量之间存在依赖关系？ 导学案装 订线哪些依赖关系是函数关系？哪些依赖关系不是函数关系？自主整理：非依赖关系：在变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值_______发生任何变化，这两个变量间具有非依赖关系。
生活中的变量关系
一枚炮弹发射后，经过26 s落在地面击中目 标．炮弹的射高为845 m，且炮弹距地面的高度h(单位： m)随时间t(单位：s)变化的规律是h＝130 t－5 t2. 问题1：炮弹飞行时间t的变化范围的数集A是什
么？
提示：A＝{t|0≤t≤26}．
问题2：炮弹距地面的高度h的变化范围的数集B
是什么？ 提示：B＝{h|0≤h≤845}． 问题3：高度h与时间t是否具有依赖关系？是函 数关系吗？为什么？
提示：具有，且是函数关系．因为对于数集A中
的任意一个时间t，按照h＝130 t－5 t2，在数集B中都 有唯一确定的高度h和它对应．
给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对 于集合A中 任何一个 数x，在集合B中都存在 唯一确定 的
数f(x)与之对应，那么就把 对应关系 f叫做定义在集合A上
[一点通]
1．求函数定义域的方法：
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R； (2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不为0的 实数的集合； (3)如果f(x)为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内 的式子大于或等于0的实数的集合；
(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数
(
)
1 D．[－4，＋∞) 12 1 2 解析：∵f(x)＝x ＋x＝(x＋2) －4，－1≤x<1，
1 ∴－4≤f(x)<2， 1 即值域为[－4，2)．
答案：C
8．函数 y＝2x－ x－1的值域是________．
解析：函数的定义域是{x|x≥1}． 令 x－1＝t，则 t∈[0，＋∞)，x＝t2＋1， ∴y＝2(t ＋1)－t＝2t 15 ∵t≥0，∴y≥ 8 .
[例1]
《生活中的变量关系》示范公开课教案【高中数学必修第一册北师大】
第二章 函数2.1生活中的变量关系1.从实际生活中的例子出发，让学生认识到日常生活中各种变量之间的依赖关系，能利初中对函数的认识，了解依赖关系与函数关系的联系与区别．2.在观察事物的变量间关系过程中，培养学生发现问题、提出问题的能力，发展数学应用意识．重点：感受生活中处处有变量，加深理解初中的函数概念．难点：依赖关系和函数关系的差别． 一、新课导入 生活中变化的事物无处不在，你感受到了哪些事物的变化？请举例并加以说明？ 例如：温度随四季的变化，身高随年龄的变化，汽车行驶里程随时间的变化等． 设计意图：引导学生用数学的眼光，关注生活中的变量．二、新知探究活动1：分析生活中的变化现象，认识变量之间的关系．问题1：生活中温度的变化．我们能感受到每天温度的变化，怎么刻画这种变化呢？在一个标准大气压下定义了摄氏零度的概念，这样就可以用温度值的大小表示温度的变化，温度的变化与季节、时间、地点、空气湿度、海拔高度等很多客观因素都有关系．引导学生依据生活中的情境，围绕以下问题进行小组讨论交流：⑴生活情境是什么？其中的变化怎样描述？这种变化有什么需要说明的条件吗？ ⑵变化的过程中存在哪些变量？哪些常量？⑶变量之间是什么关系？这种关系是怎样描述的？答案：⑴生活情境是每天温度的变化，这种变化用温度值描述，这种变化要限制季节、时间、地点、空气湿度、海拔高度等客观因素．⑵变化过程中一个标准大气压下摄氏零度是常量，季节、时间、地点、空气湿度、海拔高度等是变量．⑶对于季节、时间、地点、空气湿度、海拔高度等每一个不同的值都对应一个温度． 设计意图：通过一个简单的例子，引导学生用数学的方式分析生活现象．◆教学目标 ◆教学重难点 ◆ ◆教学过程问题2：高速公路的加油站经过高速公路的加油站时，你是否想过，汽油存在哪儿？是怎么储存的？如图是某高速公路加油站的图片.加油站的油是存放在地下，常用圆柱体罐储存.储油罐的长度为d，截面半径为r，油面高度为h、油面宽度为w、储油量记作V.这些量哪些是常量，哪些是变量？量与量之间存在着怎样的关系？这些关系是同一类关系吗？有什么不同？答案：储油罐的长度d、截面半径r是常量，油面高度h、油面宽度w、储油量V是变量.当油面高度h和油面宽度w发生变化时，储油量V也随之改变即油面高度h和油面宽度w与储油量V是依赖关系．但这两种关系又不完全相同，对于油面高度h的每一个取值，都有唯一的储油量V与它对应．而对于油面宽度w取定一个值可以有两种油面高度和它对应．设计意图：在较为复杂的问题情境中，理解变量之间的依赖关系和函数关系，提升对函数概念的认识．问题3：阅读下面材料，回答问题．自2008年京津城际列车开通运营以来，高速铁路在中国大陆迅速发展，截至2017年年底运营里程突破25 000 km.下图表示的是中国高铁年运营里程的变化．从图中可以看出：随着时间的变化，高铁运营里程与年份存在着依赖关系．依据图中的数据，你能得出哪些结论？答案：通过观察图不难看出，（1）从2008年到2017年，高铁年运营里程是不断增加的，与前一年相比，2014年增长得最多．（2）随着时间的变化，高铁运营里程在变化，它与年份存在着依赖关系．对于年份的每一个取值，都有唯一的运营里程与它对应．初中我们学习过函数的概念：如果在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它相对应，那么y就是x的函数，其中x是自变量，y是因变量．判断两个变量是否有函数关系：对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它相对应．因此在问题2与问题3中，储油量V是油面高度h的函数，高铁运营里程是年份时间的函数，但是储油量V不是油面宽度w的函数．设计意图：通过以上三个问题的分析，复习初中的函数概念，即在一个变化的过程中，有两个变量x，y，对于变量x的每一个取值，变量y都有唯一确定的值与之对应，那么y是x的函数，其中x是自变量．另外，在现实生活中，要确定两个变量之间是否具有函数关系，关键是判断对于变量x的每一个取值，变量y是否都有唯一确定的值与之对应，这点非常重要，需要学生认真理解．活动2：分析事物中变量间的函数关系，叙述刻画函数关系的不同方法．阅读下面的材料，思考以下问题，学生之间交流讨论．（1）确认变量之间是否存在函数关系．（2）材料中采用什么方法描述函数关系的？材料1：表2-1记录了几个不同气压下水的沸点：条曲线画在同一平面直角坐标系中，每一条曲线表示在一个观测点的观测情况．材料3：某地电力公司为鼓励市民节约用电，采取阶梯电价，即按月用电量分段计费办法.居民每月应缴电费y（单位：元）与用电量x（单位：kW•h）的关系是y={0.4883x,0≤x≤240,0.5383x−12,240<x≤400,0.7883x−112,x>400．答案：（1）材料1，2，3中的变量之间均存在着函数关系．（2）材料1，2，3分别用列表法、图象法和解析法来表示函数．尤其是在材料3中，给定范围内，对于自变量x的取值范围不同所对应的函数关系也不同，我们称这样的函数为分段函数．设计意图：通过分析学生理解材料中隐含着函数的三种表示法：列表法、图象法和解析法．活动3：1.对于问题２中的储油罐的问题中还有很多量，如储油罐长度、油面面积等，找出这些量中的常量和变量，并指出哪些变量之间是函数关系．答案：（1）常量有圆柱底面积、油罐容积、油的密度等；变量有油的体积、圆柱底面上的弓形面积等；（2）储油量和油的体积、储油量和圆柱底面上弓形的面积、油的体积和油面宽度之间都存在依赖关系；（3）储油量是油体积的函数，油的体积也是储油量的函数，储油量是圆柱底面上弓形面积的函数．2.选定超市、邮局、公路或其他一个场景，观察分析其中有哪些常量和变量，哪些变量之间是函数关系？答案：略．结论很开放，由学生交流各自的结论．设计意图：鼓励学生积极思考，让学生体会到生活中的函数关系非常普遍，数学源于生活，用于生活．三、应用举例1．某电器商店以2 000元/台的价格购进了一批电视机，然后以2100元/台的价格售出，随着售出台数的变化，商店的利润是怎样变化的？利润和售出的台数之间存在函数关系吗？答案：随着售出台数的变化，商店的利润也会增加，利润和售出的台数间存在函数关系．2.坐电梯时，电梯距地面的高度与时间之间存在怎样的依赖关系？答案：坐电梯时，电梯距地面的高度随时间的确定而确定．3.在一定量的水中加入蔗糖，糖水的质量分数与所加蔗糖的质量之间存在怎样的依赖关系？答案：在一定量的水中加人燕糖，糖水的浓度随所加蔗糖的质量的确定而确定．四、课堂练习1．下列各组中两个变量间之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？（1）球的体积和它的半径；（2）速度不变的情况下，汽车行驶的路程与行驶时间；（3）家庭的收入与其消费支出；（4）正三角形的面积和它的边长．πr3的关系．答案：（1）中，球的体积V与半径r间存在V=43（2）中，在速度不变的情况下，行驶路程s与行驶时间t之间存在正比例关系．（3）中，家庭收入与其消费支出间存在关系，但具有不确定性．a2的关系．（4）中，正三角形的面积s与其边长a间存在s=√34综上可知（1）（2）（3）（4）中两个变量间都存在依赖关系，其中（1）（2）（4）是函数关系．2．下图是我国某年某地降雨量的统计情况，图中横轴为月份（单位：月），纵轴为降雨量（单位：cm）.由图中曲线可判断该地该年的降雨量与时间是否具有函数关系？答案：因为对于该年的每一个月都有唯一的降雨量与之对应，故可得该年的降雨量与时间具有函数关系，且自变量是时间，因变量是降雨量．五、课堂小结1.依赖关系：如果在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于变量x的改变引起变量y的改变，则这两个变量是依赖关系．2.函数关系：如果在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应，则这两个变量是函数关系，在现实生活中，凡是要确定两个变量具有函数关系，就要判断“对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应”．3.依赖关系不一定是函数关系，但函数关系一定是依赖关系．六、布置作业教材第51页习题2-1A组、B组．。
生活中的变量关系 教案
总课题函数总课时第课时课题生活中的变量关系课型多媒体新授课教学目标知识目标：通过高速公路上的实际例子，引起积极的思考和交流，从而认识到生活中处处可以遇到变量间的依赖关系．能够利用初中对函数的认识，了解依赖关系中有的是函数关系，有的则不是函数关系．能力目标：培养学生信息收集和处理能力，分析、解决问题能力和交流、合作能力。
情感目标：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．教学重点在于让学生领悟生活中处处有变量，变量之间充满了关系教学难点培养广泛联想的能力和热爱数学的态度教学过程教学内容备课札记教师活动学生活动（一）、引入新课世界是变化的.变量及变量之间的依赖关系在生活中随处可见.我们在初中学习过的函数就描述了因变量随自变量而变化的依赖关系.初中学习过的函数描述了两个变量:因变量y与自变量x,之间什么样的依赖关系？初中关于函数的定义：在变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，就有唯一确定的y值与之对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
（二）、知识探索：问：在高速公路情景下，你能发现哪些函数关系？学生回答独立思考对问题3，储油量v对油面高度h、油面宽度w都存在依赖关系，两种依赖关系都有函数关系吗？问题小结：（1）．生活中变量及变量之间的依赖关系随处可见，并非有依赖关系的两个变量都有函数关系，只有满足对于一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应，才称它们之间有函数关系。
（2）．构成函数关系的两个变量，必须是对于自变量的每一个值，因变量都有唯一确定的y值与之对应。
（3）．确定变量的依赖关系，需分清谁是自变量，谁是因变量，如果一个变量随着另一个变量的变化而变化，那么这个变量是因变量，另一个变量是自变量。
2、思考交流（1）进一步分析上述储油罐问题,讨论:还有哪些常量? 哪些变量？哪些变量之间存在依赖关系？哪些依赖关系是函数关系？哪些依赖关系不是函数关系？（2）请列举一些与公路交通有关的函数关系.（3）请思考在其他情境下存在的函数关系,例如：邮局,机场等.学生回答教学过程教学内容备课札记教师活动学生活动（三）、知识体验（课堂练习及课外作业）1.某电器商店以2000元一台的价格进了一批电视机,然后以2100元一台的价格售出,随着售出台数的变化商店获得的收入是怎样变化的?其收入和售出的台数之间存在函数关系吗?2.坐电梯时,电梯距地面的高度与时间之间存在怎样的依赖关系?学生回答3.在一定量的水中加入蔗糖,在达到饱和之前糖水的浓度与所加蔗糖的质量之间存在怎样的依赖关系?如果是函数关系,指出自变量和因变量.（四）、课堂小结：1.充分感受现实世界中大量存在着的变量与变量之间的依赖关系.2.函数是一类特殊的依赖关系,它同样普遍存在着.教学反思：。
七年级数学《生活中的常量与变量》导学案
七年级数学《生活中的常量与变量》导学案第一课时【学习目标】1、了解常量、变量的概念，并用关系式表示某些变量之间的关系；2、通过对变量、常量的学习，尝试探索变量之间的对应关系，体验客观世界中的运动和变化；3、会在简单的过程中识别常量和变量。
【学习重点、难点】重点：1、探索具体情境中常量与变量之间的关系过程．2、用关系式表示变量之间的关系难点：区分具体问题中的常量、变量【学习方法】观察、发现、探究【学习过程】一、创设情景，引入新课．问题1：同学们，我们都有过自己购买图书的经历，接下来我将带大家一起用数学的眼光重新思考下这个问题。
若一种杂志每册5.80元，请完成下列表格：总价(元) …y没有发生改变？（2）、如果把y用关于x的代数式表示出来，y= 。
问题2：（1）在5.3节中，小亮的智力竞赛中答对了x个题，得分是100+10x，如果用y(分)代表小亮的得分，则y= 。
①计算当x取下列数值时y的值，并填写下表：答对的题数x/个 1 2 3 4 5 得分y/分（2）如图：一长方形的推拉窗，窗扇高1.5米，若活动窗扇拉开的距离为x米，拉开后的通风面积为y平方米，则y用关于x的代数式表示为y= 。
（3）小亮设计了一个计算机程序，输入和输出的数据如下表：输入(x) … 1 2 3 4 …输出(y) …1/2 2/5 3/8 4/11 …输出的数据y怎样用关于x的代数式表示？（4）在问题（1）、（2）、（3）中，哪些量保持不变？哪些量可以取不同的数值？分别把它们指出来。
二、观察思考。
由上述两个问题我们可以看出在一个过程中，有些量是固定不变的，通常，我们把在某一问题中，保持不变的量叫做常量。
有些量则是会发生改变的，也就是能取不同的数值。
在某一问题中，可以取不同数值的量,叫做变量。
三、辨析定义，尝试应用。
1、一台机器上的轮子的转速为60转/分，轮子旋转的转数n(单位：转)与时间t(单位：分)之间的关系为n=60t，其中常量是，变量是。
生活中的变量关系
2.1生活中的变量关系【学习目标】通过高速公路上的实际例子，引起积极的思考和交流，从而认识到生活中处处可以遇到变量间的依赖关系。
能够利用初中对函数的认识，了解依赖关系中有的是函数关系，有的则不是函数关系。
培养广泛联想的能力和热爱数学的态度。
让学生领悟生活中处处有变量，变量间充满了联系。
【学习重点】生活中变量间依赖关系和函数关系的区分。
【学习难点】依赖关系和函数关系的差别。
【课前预习案】一、温故知新：◇初中学习的函数定义是什么?答：________________________________________________________________________________________________________◇下图为运行中的电梯,它离地面高度h与时间t是否存在函数关系?◇下图为行驶中的汽车,它行驶速度v与时间t是否存在函数关系?二、课本导读：阅读课文23—24页，在高速公路情境下的函数问题1.课本高速公路情景下研究了哪些函数关系？请指出它们的自变量和因变量。
2.对实例分析3，储油量v对油面高度h、油面宽度w都存在依赖关系，两种依赖关系都有函数关系吗？3.请以高速公路为背景再研究一些函数关系，并思考自变量与因变量交换后是否为函数关系。
4.请同学们尝试归纳依赖关系与函数关系的区别与联系。
区别：_______________________________联系：________________________________三、预习自测1.给出下列关系：①（她）拥有的财富之间的关系；②橘子的产量与气候之间的关系；③某同学在6次考试中的数学成绩与他的考试次数之间的关系；其中不是函数关系的有____________2.小明从北京给榆林的爷爷打电话，电话费和时间这两个变量间存在依赖关系吗？这种关系是函数关系吗？3.一年之中有许多节日，如春节、元宵节、清明节等，试问：今年的各个节日和日期（公历）之间是否存在依赖关系？这是一种函数关系吗？4.某校建立学生电子档案，主要信息有：档案序号、姓名、学号、照片、家庭住址等。
第四章变量之间的关系导学案(北师大七年级下)(李兴林)
第四章变量之间的关系§4．1 用表格表示的变量关系年级：七年级班级：学生姓名：制作人：李兴林一、学习目标：（1分钟）1、知道变量、因变量、自变量和常量的概念；2、能从表格中获得变量之间的关系的信息；3、会用表格表示变量之间的关系。
二、自主探究：（10分钟）（一）、预习教材P96~P97（二）、思考：什么是变量？什么是自变量？什么是因变量？（三）、预习作业：1（1（2）根据表中的数据，你认为老师在第____分钟提出观念比较适宜？说出你的理由．三、学习引导：（15分钟）（一）要点引导：（2分钟）1、在一个变化过程中数值保持不变的量叫做______可以取不同数值的量叫做______，如果一个量随着另外一个量的变化而变化，那么把这个量叫做______，另一个量叫做______．2、本节是通过______形式来表示两个变量之间的关系的．（1）支撑物高度为70厘米时，小车下滑时间是多少？（2）如果用h表示支撑物高度，t表示小车下滑时间，随着h逐渐变大，t的变化趋势是什么？（3）h每增加10厘米，t的变化情况相同吗？（4）估计当h=110时，t的值是多少，你是怎样估计的？（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）如果用t表示时间，v表示速度，那么随着t的变化，v的变化趋势是什么？（3）当t每增加1秒时，v的变化情况相同吗？在哪1秒钟内，v的增加最大？（4）若高速公路上小汽车行驶速度的上限为120千米/时，试估计大约还需几秒这辆小汽车速度就将达到这个上限？2、下表是明明商行某商品的销售情况，该商品原价为560元，随着不同幅度的降价（单位：元），日销量（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？其中那个是自变量，哪个是因变量？（2）每降价5元，日销量增加多少件？请你估计降价之前的日销量是多少？（3）如果售价为500元时，日销量为多少？四、小组合作学习：（18分钟）1、完成教材第97页随堂练习：（5分钟）2、完成教材第97-99页习题：（13分钟）五、回顾小结：（2分钟）§4．2 用关系式表示的变量间的关系班级： 学生姓名： 制作人：李兴林1、探索某些图形中变量之间的关系的过程，进一步体会一个变量对另一个变量的影响，发展符号感；2、能根据具体情景，用关系式表示某些变量之间的关系。
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§1 生活中的变量关系
一、学习目标：1、能认识和发现生活中变量间的依赖关系，并能对依赖关系是不是函数关系进行判断。
2、了解依赖关系与函数关系的联系与区别，并理解是函数关系的两个变量中，哪个是自变量，哪个是因变量。
3、通过实例列举，培养学生的观察能力，分析、解决问题的能力。
二、教学重点：变量间依赖关系和函数关系的区分。
三、教学难点：依赖关系和函数关系的差别。
知识链接：常量和变量的概念，正比例函数，反比例函数，一次函数，二次函数等。
预习案
1、下列过程中，变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？
(1)2003年非典时期，在某一天内某人的体温测量，体温与时间的关系；
（2）某家庭的月收入与月份之间的关系；
（3）某小学生在储蓄罐中所攒的零用钱与时间的关系；
（4）某学生在高中三年中，考试成绩与考试日期之间的关系。
探究案
例1、下列过程中，变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？
在空中，抛出去的手榴弹在空中运动的高度与时间的关系；
在弹性限度内，弹簧的伸长长度与弹簧所受力之间的关系；
在运动场上，被运动员踢出在水平草地上运动的足球的位置与时间的关系。
例2
15时回到家，
最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？ 何时开始第一次休息？休息了多长时间？ 第一次休息时，离家多远？
11:00到12:00他骑了多少千米？
他在9:00~10:00和10:00~10:30的平均速度分别是多少？ 他在哪段时间内停止前进并休息用午餐？
例3苹果熟了，小明帮助妈妈到集贸市场去卖刚刚采摘下来的苹果，已知销售量与售价（总
根据表格中的数据，售价y 是怎样随销售量的变化而变化的？ 估计当x=15时，y 的值是多少？
变式：声音在空气中传播的速度y 与气温C x ︒之间有如下关系：
33153
+=
x y
在这一变化过程中，自变量是________,因变量是_____________. 当气温C x ︒=15时，声音速度y=__________米/秒.
训练案
下列两个变量之间哪些是函数关系？
（1）球的半径与体积 （2）人的身高和体重
（3）一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系 （4）人体的脂肪含量与年龄之间的关系
2、某地电信部门规定：从甲地到乙地的通话m分钟的电话费由
[]06.1
53
.0
)
(+
=m
m
f（元）
给出，其中是不大于德最大整数（如[][]3
01
.3
,3
3=
=），则从甲地到乙地通话时间为 6.5
分钟的电话费为（）
A. 4.71元
B. 4.24元
C. 4.50元
D. 4.77元。