_生活中的变量关系
_生活中的变量关系
生活中的变量关系
变量间的依赖关系
生活中处处有变量，变量之间充满了依赖关系
实例分析
我国的道路交通 网，近十年的发 展非常迅速.
实例分析
1、我国自1998年开始建设高速公路，全国高速公路 通车总里程，于1998年底，位居世界第八；1999年底， 位居世界第四；2000年底，位居世界第三；2001年底， 超过了加拿大，跃居世界第二位.如下表格：
例1 当你去电影院时，你联想到哪些变量之间的关系 呢？
解 (1)每张电影票都有唯一的座位与它对应，座位随 电影票的变化而变化，座位是电影票的函数.
(2)电影广告的宣传费用与它获得的利润对应,利 润是宣传费用的函数.
(3)电影的票价与它获得的利润对应,利润是电影 票价的函数.
例2 请举出现实生活中变量之间关系的实例.
储油量v与油面高度h存在 着依赖关系，储油量v与油 面宽度w也存在关依赖关系
那个是函数关系?
实例分析
对于油面高度h的每一个取值，都有唯一 的储油量v和它对应，所以，储油量v是油面 高度h的函数.
对于油面宽度w的一个值可以有两种油面 高度和它对应，于是可以有两种储油量v和它 对应，所以，储油量v不是油面宽度w的函数.
解 (1)物体的热量与温度有关;(2)声音与乐器有关 系;(3)亮度与视觉有关系;(4)数轴上的点与实数之间 有关系;(5)气候与日期有关系;(6)人的脑重与体重有 关系.
实例分析
3、下图是某高速公路加油站的图片，加油站常 用圆柱体储油罐储存汽油.储油罐的长度d、截 面半径r是常量；油面高度h、油面宽度w、储油 量v是变量.
【数学】2.1《生活中的变量关系》课件(北师必修1)
设在一个变化过程中有两个变量 x与y, 如果对于x的每一个值, y都有
唯一的值与它对应, 那么就说 y是 x
的函数. x叫做自变量.
问题提出 在高速公路的情景下,你能发 现哪些函数关系?
思考交流 1. 请列举一些与公路有关 的函数关系.
2. 请思考在其它环境下存 在的函数关系.
注 意
材P.25 A组T2.
ask
世界是变化的.变量与变量的依 赖关系在生活中随处可见,与我们 息息相关.
函 数
它描述了因变量随自变量而变化
的依赖关系.
P 25 P27
生活中的变量关系
问题提出 在我们生活中，变量与变量之 间存在依赖关系的实例有哪些？
初中学习过的函数描述了两个变量: 因变量y与自变量x之间什么样的依赖关系？ 因变量y随自变量x的变化而变化： 即一个x的取值有唯一确定的值y与之对应 则称 y是x的函数.
2.1生活中的变量关系
§2.1 生活中的变量关系【学习目标】1.通过学习结合实例来理解生活中变量之间的依赖关系和函数关系，特别要注意这两种关系之间的区别和联系；2． 2.结合初中学习过的函数，能描述因变量随自变量而变化的依赖关系；3． 3.激情投入，高效学习，踊跃展示，大胆质疑，体验成功，创想快乐。
【学习重点】判断变量与变量间是否存在函数关系【学习难点】生活中变量关系与函数关系的区分预习案 一、相关知识 知识链接1：初中阶段我们已经知道常量与变量的含义，即在某个变化过程中，数值保存不变的量叫作______，可以取不同数值的量叫作______。
知识链接2：初中数学中函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果当变 量x 在某变化范围内任意取一个数值时，变量y 按照一定的法则总有_______确定的数值与它 对应，则称y 是x 的函数，通常_______叫自变量，_______叫因变量。
知识链接3：现实生活充满变化，在初中数学、物理等学科中我们都接触过一个变量随着 另一个变量而变化的实例，这些变量之间都有依赖关系吗？都是函数关系吗？ 二、教材助读 阅读课本p23实例分析，思考在高速公路的情况下，有哪些变量存在？哪些变量与变量之间无依赖关系，哪些变量与变量之间有依赖关系？它们是函数关系吗？ 问题1：高速公路的里程数与修建的年数之间有无依赖关系？若有它们是函数关系吗？ 问题2：一辆汽车在高速公路上行驶的过程中，行驶的路程与时间有无依赖关系？若有，它们是函数关系吗？问题3:观察课本 p24图2-2的高速公路加油站的图片，探究储油量v 与油面高度h ；储油量v 与油面宽度w 是否存在依赖关系？若有依赖关系，那它们是函数关系吗？为什么？问题4.进一步分析上述储油罐问题，讨论：还有哪些常量？哪些变量？ 哪些变量之间存在依赖关系？ 导学案装 订线哪些依赖关系是函数关系？哪些依赖关系不是函数关系？自主整理：非依赖关系：在变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值_______发生任何变化，这两个变量间具有非依赖关系。
北师大版高中数学必修一课件第二章第一节《生活中的变量关系》(共17张PPT)
(2)、若两个变量间存在依赖关系，且对于其中一
个变量的每一个值都有另一个变量的唯一值和
它对应，则两个变量间有函数关系.
(3)、研究函数关系时，通常要指明自变量和因变 量，因为两者交换位置不一定还存在函数关系.
三、议一议
骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而发生较 大的变化.如图
收入和台数之间存在函数关系
y (2100 2000)x
⑵在一定量的水中加入蔗糖，在未到达饱和之前糖水 的质量浓度与所加蔗糖的质量之间存在怎样的依赖关 系？如果是函数关系，指出自变量和因变量。
存在函数关系.蔗糖的质量是自变量，糖水的质量浓 度为因变量.反之也成立.
五
大家一起来
函数关系和依赖关系. 若两个变量间存在依赖关系，且由对于其中一个变
量的每一个值都有另一个变量的唯一值和它对应，则 两个变量间有函数关系.
六故知新
2、下图为匀速行驶中的汽车，它行驶的路程S是时间t的函数吗？ 3、右图为运行中的电梯， 它离地面的高度h是时间t的 函数吗？
二、合作探究
这是我国高速公路网的一角
二、合作探究
实例分析：阅读课文23—24页，回答下列问题
（1）课本高速公路的情景下研究了哪些函数关系？请 指出它们的自变量与因变量.
解：由图3知0≤t≤10,每毫升血液 中含药量的变化范围为 0≤y≤6,对 于0至10中的每一个时间t，在0 至6中都有唯一确定的y值与之对 应，因此每毫升血液中的含药量 y（毫克）与时间t（小时）构成 函数关系.
随堂练习
⑴某电器商店以2000元一台的价格进了一批电视机， 然后以2100元一台的价格售出，随着售出台数的变化， 商店获得的收入是怎样变化的？其收入和售出的台数 之间存在函数关系吗？
生活中的变量关系
一枚炮弹发射后，经过26 s落在地面击中目 标．炮弹的射高为845 m，且炮弹距地面的高度h(单位： m)随时间t(单位：s)变化的规律是h＝130 t－5 t2. 问题1：炮弹飞行时间t的变化范围的数集A是什
么？
提示：A＝{t|0≤t≤26}．
问题2：炮弹距地面的高度h的变化范围的数集B
是什么？ 提示：B＝{h|0≤h≤845}． 问题3：高度h与时间t是否具有依赖关系？是函 数关系吗？为什么？
提示：具有，且是函数关系．因为对于数集A中
的任意一个时间t，按照h＝130 t－5 t2，在数集B中都 有唯一确定的高度h和它对应．
给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对 于集合A中 任何一个 数x，在集合B中都存在 唯一确定 的
数f(x)与之对应，那么就把 对应关系 f叫做定义在集合A上
[一点通]
1．求函数定义域的方法：
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R； (2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不为0的 实数的集合； (3)如果f(x)为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内 的式子大于或等于0的实数的集合；
(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数
(
)
1 D．[－4，＋∞) 12 1 2 解析：∵f(x)＝x ＋x＝(x＋2) －4，－1≤x<1，
1 ∴－4≤f(x)<2， 1 即值域为[－4，2)．
答案：C
8．函数 y＝2x－ x－1的值域是________．
解析：函数的定义域是{x|x≥1}． 令 x－1＝t，则 t∈[0，＋∞)，x＝t2＋1， ∴y＝2(t ＋1)－t＝2t 15 ∵t≥0，∴y≥ 8 .
[例1]
第二章 §1 生活中的变量关系
§1生活中的变量关系学习目标 1.了解生活中两个变量之间的依赖关系现象和函数关系现象.2.能辨析依赖关系和函数关系.3.认识并会分析分段函数．知识点一依赖关系在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值也会随之发生变化，那么就称这两个变量具有依赖关系．思考某人坐摩天轮一圈用时8分钟．摩天轮匀速转动，则他的海拔高度与摩天轮转动时间有依赖关系吗？当他位于摩天轮一半高度时，摩天轮转了多少分钟？答案此人的海拔高度与摩天轮转动时间有依赖关系．当他位于摩天轮一半高度时，摩天轮转了2分钟或6分钟．知识点二函数关系1．如果在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，其中x是自变量，y是因变量．2．两个变量x和y，如果对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应，那么变量x和y具有函数关系．思考某人坐摩天轮一圈用时8分钟．摩天轮匀速转动，若把摩天轮的转动时间t当作自变量，他的海拔高度h为因变量，则每取一个t值，有几个h值与之对应？答案每取一个t值，有唯一一个h值与之对应．知识点三依赖关系与函数关系函数关系一定是依赖关系，而依赖关系不一定是函数关系．要确定变量间的函数关系，需先分清谁是自变量，谁是因变量．知识点四分段函数一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．1．若两个变量是函数关系，那么它们也是依赖关系．(√)2．若两个变量是依赖关系，那么它们也是函数关系．(×)3．球的体积和它的半径存在依赖关系．(√)4．人的身高和体重之间是函数关系．(×)一、依赖关系与函数关系的辨析例1下列各组中两个变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？(1)圆的面积和它的半径；(2)速度不变的情况下，汽车行驶的路程与行驶时间；(3)家庭收入愈多，其消费支出也有增长的趋势；(4)正三角形的面积和它的边长．解(1)中，圆的面积S与半径r之间存在S＝πr2的关系；(2)中，在速度不变的情况下，行驶路程s与行驶时间t之间存在正比例关系；(3)中，家庭收入与其消费支出之间存在依赖关系，但具有不确定性；(4)中，正三角形的面积S与其边长a之间存在S＝34a2的关系．综上，(1)(2)(3)(4)中两个变量间都存在依赖关系，其中(1)(2)(4)是函数关系．反思感悟判断两个变量有无依赖关系，主要看其中一个变量变化时，是否会导致另一个变量随之变化．而判断两个具有依赖关系的变量是否具有函数关系，关键是看两个变量之间的关系是否具有确定性，即考察对于一个变量的每一个值，另一变量是否都有唯一确定的值与之对应．跟踪训练1下列过程中，各变量之间是否存在依赖关系？若存在依赖关系，则其中哪些是函数关系？(1)将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却，并将一温度计放入茶杯中，每隔一段时间，观察温度计示数的变化，冷却时间与温度计示数的关系；(2)家庭的食品支出与电视价格之间的关系；(3)在高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间的关系．解(1)冷却时间与温度计示数具有依赖关系，根据函数定义知，二者之间是函数关系；(2)家庭的食品支出与电视价格之间没有依赖关系；(3)在高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间这两个变量存在依赖关系，且具有确定性，是函数关系．综上可知，(1)(3)中的变量间具有依赖关系，且是函数关系；(2)中两个变量不存在依赖关系． 二、变量关系的表示例2 声音在空气中传播的速度简称音速，实验测得音速与气温的一些数据如下表：气温x /℃ 0 5 10 15 20 音速y (米/秒)331334337340343(1)根据表内数据作图，由图可看出变量________随________的变化； (2)用x 表示y 的关系式为________________________；(3)气温为22 ℃时，某人看到烟花燃放5秒后才听到声响，那么此人与燃放的烟花所在地约相距________米．答案 (1)音速 气温 (2)y ＝35x ＋331 (3)1 721解析 (1)此图反映的是变量音速随气温的变化．(2)由表中数据可知，气温每升高5 ℃，音速加快3米/秒，又过点(0,331)， 故所求函数关系式为y ＝35x ＋331.(3)由(2)可知气温为22 ℃时音速y ＝35×22＋331，故此人与燃放的烟花所在地约相距5×⎝⎛⎭⎫35×22＋331＝1 721(米)．反思感悟 借助图表可以直观地呈现两个变量的关系，便于我们分析和猜想，从而发现规律． 跟踪训练2 心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x (单位：分钟)之间有如下关系：(其中0≤x ≤20) 提出概念所257101213141720用时间x/分钟对概念的接47.853.556.35959.859.959.858.355受能力y(1)上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？(2)当提出概念所用时间是10分钟时，学生的接受能力是多少？(3)根据表格中的数据，你认为提出概念几分钟时，学生的接受能力最强？(4)从表格中可知，当时间x在什么范围内时，随x的增大学生的接受能力逐步增强？当时间x在什么范围内时，随x的增大学生的接受能力逐步降低？解(1)画图如下：反映了提出概念所用的时间x和对概念接受能力y两个变量之间的关系；其中x是自变量，y 是因变量．(2)由题中表格可知，当提出概念所用时间为10分钟时，学生接受能力是59.(3)提出概念所用的时间为13分钟时，学生的接受能力最强．(4)当x在2分钟至13分钟的范围内时，随x的增大学生的接受能力逐步增强；当x在13分钟至20分钟的范围内时，随x的增大学生的接受能力逐步降低．1．(多选)下列说法正确的是()A．圆的周长与其直径的比值是常量B．任意四边形的内角和的度数是常量C．发射升空的火箭高度与发射的时间之间是函数关系D．某商品的广告费用与销售量之间是函数关系答案ABC解析A，B，C中说法均正确，而D中，广告费用与销售量之间关系不确定，故不是函数关系．2．一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的长度y(cm)与燃烧的时间x(h)的函数关系用图象可表示为()答案 B3．下列说法不正确的是()A．依赖关系不一定是函数关系B．函数关系是依赖关系C．如果变量m是变量n的函数，那么变量n也是变量m的函数D．如果变量m是变量n的函数，那么变量n不一定是变量m的函数答案 C解析由依赖关系及函数关系的定义知A，B正确；对于C，D，如m＝n2，则n＝±m，不是函数关系，故C错误，D正确．4．给出下列关系：①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系；②抛物线上的点的横纵坐标之间的关系；③橘子的产量与气候之间的关系；④某同学在6次考试中的数学成绩与他的考试号之间的关系．其中不是函数关系的有________．(填序号)答案①③④解析由已知关系判断得，①③④中关系不确定，故不是函数关系，只有②是函数关系．5．自变量x与因变量y之间的关系如下表：x 01234…y 02468…(1)写出x与y的关系式：________；(2)当x＝2.5时，y＝________.答案(1)y＝2x(2)51．知识清单：(1)依赖关系．(2)函数关系．2．方法归纳：数形结合法．3．常见误区：依赖关系与函数关系容易混淆．1．下列各变量间不存在依赖关系的是()A．扇形的圆心角与它的面积B．某人的体重与其饮食情况C．水稻的亩产量与施肥量D．某人的衣着价格与视力答案 D2．谚语“瑞雪兆丰年”说明()A．下雪与来年的丰收具有依赖关系B．下雪与来年的丰收具有函数关系C．下雪是丰收的函数D．丰收是下雪的函数答案 A解析积雪层对越冬作物具有防冻保暖的作用，大雪可以防止土壤中的热量向外散发，又可阻止外界冷空气的侵入，具有增墒肥田的作用．所以下雪与来年的丰收具有依赖关系，但不是函数关系．3．已知变量x，y满足y＝|x|，则下列说法错误的是()A．x，y之间有依赖关系B．x，y之间有函数关系C．y是x的函数D．x是y的函数答案 D解析当y取一个正值时，有两个x与它对应，故D错．4．一人骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间．图中与这件事正好吻合的图象是(其中x轴表示时间，y轴表示行驶的路程)()答案 A解析 开始一段时间路程逐渐增大，速度不变，图象是一直线段，耽搁的时间段路程不变，图象与x 轴平行，然后行驶路程在原来的基础上又增大，由图象知选A. 5．下列图形是函数y ＝x |x |的图象的是( )答案 D解析 函数y ＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，故选D.6．从市场中了解到，饰用K 金的含金量如下表：K 数 24 K 22 K 21 K 18 K 14 K 含金量% 99以上 91.7 87.5 75 58.5 K 数 12 K 10 K 9 K 8 K 6 K 含金量%5041.6637.533.3425饰用K 金的K 数与含金量之间是________关系，K 数越大，含金量________． 答案 函数 越高7.某工厂八年来产品累积产量C (即前t 年年产量之和)与时间t (年)的函数如图，下列四种说法中正确的是________．(填序号)①前三年中，产量增长的速度越来越快； ②前三年中，产量增长的速度越来越慢； ③第三年后，这种产品停止生产； ④第三年后，年产量保持不变． 答案 ②③解析 由于纵坐标表示八年来前t 年产品生产总量，②③正确．8．假定甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程与时间的关系如图所示：(1)甲、乙两人中先到达终点的是________； (2)乙在这次赛跑中的速度为________m/s. 答案 (1)甲 (2)8解析 设甲、乙的速度分别为v 1，v 2，则v 1＝10012＝253(m/s)，v 2＝10012.5＝8(m/s)，v 1>v 2，甲先到达终点．9．某城市出租车收费标准如下：里程不超过3公里按起步价7元收费，超过3公里的按每公里1.5元加收，乘客乘车后出租车行驶的路程为x 公里，乘客该付的车费为y 元． (1)当0<x ≤3时，x 与y 分别是什么量？x 与y 之间的关系是否为函数关系？ (2)当x >3时，x 与y 分别是什么量？x 与y 之间的关系是否为函数关系？ 解 (1)当0<x ≤3时，x 可变，y ＝7不变，所以x 是变量，y 是常量．在0<x ≤3范围内，对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应，所以x 与y 之间的关系是函数关系．(2)当x >3时，x 与y 都是可变的量，所以x 与y 都是变量，并且对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应，所以x 与y 之间的关系是函数关系．10．如图的曲线表示一人骑自行车离家的距离s (千米)与时间t (时)的关系．骑车者9时离开家，15时回到家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？ (2)何时开始第一次休息？休息多长时间？ (3)第一次休息时，离家多远？ (4)11：00到12：00他骑了多少千米？(5)他在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度分别是多少？(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？解(1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米．(2)10：30开始第一次休息，休息了半小时．(3)第一次休息时，离家17千米．(4)11：00至12：00，他骑了13千米．(5)9：00～10：00的平均速度是10千米/时；10：00～10：30的平均速度是14千米/时．(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐．11．张大明种植了10亩小麦，每亩施肥量x千克，小麦总产量y千克，则()A．x，y之间有依赖关系B．x，y之间有函数关系C．y是x的函数D．x是y的函数答案 A解析虽然小麦总产量y与每亩施肥量x之间存在依赖关系，但小麦总产量y还受气候、管理等其他因素的影响，所以x，y之间无函数关系．12．星期天，小明从家出发，出去散步，图中描述了他散步过程中离家的距离s(m)与散步所用的时间t(min)之间的函数关系，根据图象，下面的描述符合小明散步情况的是()A．从家出发，到一个公共阅报栏，看了一会儿报，就回家了B．从家出发，到一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了C．从家出发，散了一会儿步(没有停留)，然后回家了D．从家出发，散了一会儿步，就找同学去了，18 min后才回家答案 B解析水平线段表明小明离家的距离始终是300米，然后离家距离达到500米，故可能情况是小明从家出发后，到一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了．13．某公司生产某种产品的成本为1 000元，以1 100元的价格批发出去，随生产产品数量的增加，公司收入________，它们之间是________关系．答案增加函数14．圆柱的高为10 cm，当圆柱底面半径变化时，圆柱的体积也随之发生变化，在这个变化过程中，________是自变量，________是因变量．设圆柱底面半径为r(cm)，圆柱的体积V(cm3)与r(cm)的关系式为__________________，当底面半径从2 cm变化到5 cm时，圆柱的体积由________cm3变化到________cm3.答案圆柱的底面半径圆柱的体积V＝10πr240π250π解析圆柱的体积为V＝πr2h(其中r表示圆柱的底面半径，h表示圆柱的高)．15．下图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80 km的两城镇间旅行时，路程和时间的函数图象，由图可知，骑自行车者用了6小时(含途中休息的1小时)，骑摩托车者用了2小时，有人根据这个函数图象，提供了这两个旅行者的如下信息，其中正确的序号是________．①骑自行车者比骑摩托车者早出发3小时，晚到1小时；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发1.5小时后追上了骑自行车者．答案①解析由图象可以看出骑自行车者早出发3个小时，而晚到1小时，速度是先变慢，然后停下，再然后先快后慢，是变速运动．骑摩托车者也是变速运动，但速度变化不大．骑摩托车者在出发1小时后追上骑自行车者．所以正确的序号是①.16．在工作的状态下，饮水机会通过自动对水加热使饮水机中水的温度保持在一定范围内．如图表示在饮水机的水温达到最高后，饮水机处于工作状态中的水的温度的变化情况：根据此图，设计一个问题，并解答所设计的问题．解设计问题就是从图象中获取有关信息．例如，提出下列问题：问题1：饮水机中处于工作状态中的水的最高温度是多少？最低温度是多少？解：水的最高温度为96 ℃，最低温度约为91 ℃，问题2：水温上升到最高温度后，再经过10分钟饮水机中水的温度多高？35分钟时水的温度多高？解：10分钟后水的温度约为93 ℃，35分钟时水的温度约为95 ℃.问题3：哪段时间水的温度在不断下降？哪段时间水的温度在持续上升？解：约从开始到27分钟时水的温度在不断下降，从27分钟到32分钟时水的温度在不断上升，后面又一个相同的下降与上升的过程．。
生活中的变量关系 PPT
问题：分析每一条曲线是否表示了一个函数关系
分析： 每一条曲线都表示了一个函数关系，反映的都
是对于“时间”的每一个值，都有唯一确定的“气 温”值和它对应。
思考：1、弹簧的伸长量x与弹力y的关系 2、表2-1记录了几个不同气压下水的沸点
气压/(105 Pa) 0.5 1.0 2. 0 5. 0 10
沸点/0C
82 100 121 152 180
变量“气压”的每一个值，变量“沸点”的关系
分析： 1.弹簧的伸长量x与弹力y满足函数关系y=kx， 其中k为劲度系数。对于变量“伸长量”的每 一个值，变量“弹力”都有唯一确定的值和 它对应，弹力y是伸长量x的函数。 2.对于变量“气压”的每一个值，变量“沸 点”都有唯一确定的值和它对应，沸点是气 压的函数。
生活中的变量关系
知识探究1
思考交流
V，h，w之间是否具有某种关系
储油量V与油面高度h存在着依
赖关系，也与油面宽度w存在着依赖 关系。
对于油面高度h的每一个取值， 都有唯一的储油量V和它对应。但是，
取一个油面宽度w的值，却对应着两
个储汕量V。
知识探究2
思考交流
高铁运营里程与年份的关系
观察图2-2，不难看出： （1）随着时间的变化，高铁运营 里程在变化，它与年份存在着依赖 关系； （2）从2008年到2017年，高铁年 运营里程是不断增加的，与前一年 相比，2014年增长得最多。
例4： 国内某快递公司邮寄普通货物限重30 kg，从
A城市到B城市的快递资费标准是:质量1 kg及以下 收费12元，以后质量每增加1 kg收费增加8元，质 量不足1kg按1kg 计算。请写出邮件的质量6 kg与 邮资M元的函数解析式，并画出局部图象。
《生活中的变量关系》示范公开课教案【高中数学必修第一册北师大】
第二章 函数2.1生活中的变量关系1.从实际生活中的例子出发，让学生认识到日常生活中各种变量之间的依赖关系，能利初中对函数的认识，了解依赖关系与函数关系的联系与区别．2.在观察事物的变量间关系过程中，培养学生发现问题、提出问题的能力，发展数学应用意识．重点：感受生活中处处有变量，加深理解初中的函数概念．难点：依赖关系和函数关系的差别． 一、新课导入 生活中变化的事物无处不在，你感受到了哪些事物的变化？请举例并加以说明？ 例如：温度随四季的变化，身高随年龄的变化，汽车行驶里程随时间的变化等． 设计意图：引导学生用数学的眼光，关注生活中的变量．二、新知探究活动1：分析生活中的变化现象，认识变量之间的关系．问题1：生活中温度的变化．我们能感受到每天温度的变化，怎么刻画这种变化呢？在一个标准大气压下定义了摄氏零度的概念，这样就可以用温度值的大小表示温度的变化，温度的变化与季节、时间、地点、空气湿度、海拔高度等很多客观因素都有关系．引导学生依据生活中的情境，围绕以下问题进行小组讨论交流：⑴生活情境是什么？其中的变化怎样描述？这种变化有什么需要说明的条件吗？ ⑵变化的过程中存在哪些变量？哪些常量？⑶变量之间是什么关系？这种关系是怎样描述的？答案：⑴生活情境是每天温度的变化，这种变化用温度值描述，这种变化要限制季节、时间、地点、空气湿度、海拔高度等客观因素．⑵变化过程中一个标准大气压下摄氏零度是常量，季节、时间、地点、空气湿度、海拔高度等是变量．⑶对于季节、时间、地点、空气湿度、海拔高度等每一个不同的值都对应一个温度． 设计意图：通过一个简单的例子，引导学生用数学的方式分析生活现象．◆教学目标 ◆教学重难点 ◆ ◆教学过程问题2：高速公路的加油站经过高速公路的加油站时，你是否想过，汽油存在哪儿？是怎么储存的？如图是某高速公路加油站的图片.加油站的油是存放在地下，常用圆柱体罐储存.储油罐的长度为d，截面半径为r，油面高度为h、油面宽度为w、储油量记作V.这些量哪些是常量，哪些是变量？量与量之间存在着怎样的关系？这些关系是同一类关系吗？有什么不同？答案：储油罐的长度d、截面半径r是常量，油面高度h、油面宽度w、储油量V是变量.当油面高度h和油面宽度w发生变化时，储油量V也随之改变即油面高度h和油面宽度w与储油量V是依赖关系．但这两种关系又不完全相同，对于油面高度h的每一个取值，都有唯一的储油量V与它对应．而对于油面宽度w取定一个值可以有两种油面高度和它对应．设计意图：在较为复杂的问题情境中，理解变量之间的依赖关系和函数关系，提升对函数概念的认识．问题3：阅读下面材料，回答问题．自2008年京津城际列车开通运营以来，高速铁路在中国大陆迅速发展，截至2017年年底运营里程突破25 000 km.下图表示的是中国高铁年运营里程的变化．从图中可以看出：随着时间的变化，高铁运营里程与年份存在着依赖关系．依据图中的数据，你能得出哪些结论？答案：通过观察图不难看出，（1）从2008年到2017年，高铁年运营里程是不断增加的，与前一年相比，2014年增长得最多．（2）随着时间的变化，高铁运营里程在变化，它与年份存在着依赖关系．对于年份的每一个取值，都有唯一的运营里程与它对应．初中我们学习过函数的概念：如果在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它相对应，那么y就是x的函数，其中x是自变量，y是因变量．判断两个变量是否有函数关系：对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它相对应．因此在问题2与问题3中，储油量V是油面高度h的函数，高铁运营里程是年份时间的函数，但是储油量V不是油面宽度w的函数．设计意图：通过以上三个问题的分析，复习初中的函数概念，即在一个变化的过程中，有两个变量x，y，对于变量x的每一个取值，变量y都有唯一确定的值与之对应，那么y是x的函数，其中x是自变量．另外，在现实生活中，要确定两个变量之间是否具有函数关系，关键是判断对于变量x的每一个取值，变量y是否都有唯一确定的值与之对应，这点非常重要，需要学生认真理解．活动2：分析事物中变量间的函数关系，叙述刻画函数关系的不同方法．阅读下面的材料，思考以下问题，学生之间交流讨论．（1）确认变量之间是否存在函数关系．（2）材料中采用什么方法描述函数关系的？材料1：表2-1记录了几个不同气压下水的沸点：条曲线画在同一平面直角坐标系中，每一条曲线表示在一个观测点的观测情况．材料3：某地电力公司为鼓励市民节约用电，采取阶梯电价，即按月用电量分段计费办法.居民每月应缴电费y（单位：元）与用电量x（单位：kW•h）的关系是y={0.4883x,0≤x≤240,0.5383x−12,240<x≤400,0.7883x−112,x>400．答案：（1）材料1，2，3中的变量之间均存在着函数关系．（2）材料1，2，3分别用列表法、图象法和解析法来表示函数．尤其是在材料3中，给定范围内，对于自变量x的取值范围不同所对应的函数关系也不同，我们称这样的函数为分段函数．设计意图：通过分析学生理解材料中隐含着函数的三种表示法：列表法、图象法和解析法．活动3：1.对于问题２中的储油罐的问题中还有很多量，如储油罐长度、油面面积等，找出这些量中的常量和变量，并指出哪些变量之间是函数关系．答案：（1）常量有圆柱底面积、油罐容积、油的密度等；变量有油的体积、圆柱底面上的弓形面积等；（2）储油量和油的体积、储油量和圆柱底面上弓形的面积、油的体积和油面宽度之间都存在依赖关系；（3）储油量是油体积的函数，油的体积也是储油量的函数，储油量是圆柱底面上弓形面积的函数．2.选定超市、邮局、公路或其他一个场景，观察分析其中有哪些常量和变量，哪些变量之间是函数关系？答案：略．结论很开放，由学生交流各自的结论．设计意图：鼓励学生积极思考，让学生体会到生活中的函数关系非常普遍，数学源于生活，用于生活．三、应用举例1．某电器商店以2 000元/台的价格购进了一批电视机，然后以2100元/台的价格售出，随着售出台数的变化，商店的利润是怎样变化的？利润和售出的台数之间存在函数关系吗？答案：随着售出台数的变化，商店的利润也会增加，利润和售出的台数间存在函数关系．2.坐电梯时，电梯距地面的高度与时间之间存在怎样的依赖关系？答案：坐电梯时，电梯距地面的高度随时间的确定而确定．3.在一定量的水中加入蔗糖，糖水的质量分数与所加蔗糖的质量之间存在怎样的依赖关系？答案：在一定量的水中加人燕糖，糖水的浓度随所加蔗糖的质量的确定而确定．四、课堂练习1．下列各组中两个变量间之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？（1）球的体积和它的半径；（2）速度不变的情况下，汽车行驶的路程与行驶时间；（3）家庭的收入与其消费支出；（4）正三角形的面积和它的边长．πr3的关系．答案：（1）中，球的体积V与半径r间存在V=43（2）中，在速度不变的情况下，行驶路程s与行驶时间t之间存在正比例关系．（3）中，家庭收入与其消费支出间存在关系，但具有不确定性．a2的关系．（4）中，正三角形的面积s与其边长a间存在s=√34综上可知（1）（2）（3）（4）中两个变量间都存在依赖关系，其中（1）（2）（4）是函数关系．2．下图是我国某年某地降雨量的统计情况，图中横轴为月份（单位：月），纵轴为降雨量（单位：cm）.由图中曲线可判断该地该年的降雨量与时间是否具有函数关系？答案：因为对于该年的每一个月都有唯一的降雨量与之对应，故可得该年的降雨量与时间具有函数关系，且自变量是时间，因变量是降雨量．五、课堂小结1.依赖关系：如果在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于变量x的改变引起变量y的改变，则这两个变量是依赖关系．2.函数关系：如果在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应，则这两个变量是函数关系，在现实生活中，凡是要确定两个变量具有函数关系，就要判断“对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应”．3.依赖关系不一定是函数关系，但函数关系一定是依赖关系．六、布置作业教材第51页习题2-1A组、B组．。
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(2)班上45位同学,每人都有一个不同的学号,某次数学测验共有36个不同的
分数.关系为:学生的分数与学号的判关系断;一些变量间的依赖
(3)某电视台广告价格表(2001年1月份关报价系,单是位否：为元）函数关系，
时段 播出时间 10s 15s 20s其变关量30s键的4是值0s看，4对是5s于 否5每 惟0s一 一个 确60s
问题研讨
以上问题在介绍高速公路的情况下，得到变量与变 量之间的一些依赖关系，你能联想到类似情景下， 如邮局、机场等变量之间的依赖关系吗？
注意
并非有依赖关系的两个变量都有函数关系.
问题 如何判断两个有依赖关系的变量之间
是否是函数关系？
首先，确定因变量和自变量； 其次，判断对于自变量的每一个确定的值， 因变量是否有唯一确定值与之对应，若满 足则是函数关系，否则不是．
年份 1988 总里程 147 年份 1995 总里程 2141
1998～2001 年全国高速公路总里程 1989 1990 1991 1992
271
522
574
652
1996 1997 1998 1999
3422 4771 8733 11605
单位：千米 1993 1994 1145 1603 2000 2001 16314 19453
储油量v与油面高度h存在 着依赖关系，储油量v与油 面宽度w也存在关依赖关系
那个是函数关系?
实例分析
对于油面高度h的每一个取值，都有唯一 的储油量v和它对应，所以，储油量v是油面 高度h的函数.
对于油面宽度w的一个值可以有两种油面 高度和它对应，于是可以有两种储油量v和它 对应，所以，储油量v不是油面宽度w的函数.
4、日期与星期之间存在差怎样的依赖关系？这种依赖 关系是函数关系吗？如果是，指出自变量和因变量.
每一个日期都有一个星期几和它对应，所以它们存
在函数关系；日期是自变量，星期是因变量
星期不能作自变量，对于每一个星
星期可否作
期，有很多个日期，不具有单值性
为自变量？
练习
5、下列过程中，变量之间是否存在依赖关系，其中哪 些是函数关系： （1）地球绕太阳公转的过程中，二者的距离与时间的 关系 （2）在空中作斜抛运动的铅球，铅球距地面的高度与 时间的关系； （3）某水文观测点记录的水位与时间的关系； （4）某十字路口，通过汽车的数量与时间的关系.
2、坐电梯时，电梯距地面的高度与时间之间存在怎 样的依赖关系？
对于任一时间，电梯都有唯一高度.它们之间存在函 数关系
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 练习
3、在一定量的水中加入蔗糖，糖水的质量浓度与所加 蔗糖的质量之间存在怎样的依赖关系？如果是函数关 系，指出自变量和因变量. 存在函数关系，其中蔗糖质量是自变量，糖水质量 浓度是因变量； 也可以糖水质量深度是自变量，蔗糖的质量是因变量
例1 当你去电影院时，你联想到哪些变量之间的关系 呢？
解 (1)每张电影票都有唯一的座位与它对应，座位随 电影票的变化而变化，座位是电影票的函数.
(2)电影广告的宣传费用与它获得的利润对应,利 润是宣传费用的函数.
(3)电影的票价与它获得的利润对应,利润是电影 票价的函数.
例2 请举出现实生活中变量之间关系的实例.
实例分析
(1)高速公路里程数随时间的变化而变化.所以, 高速公路里程可以看成因变量,年度可以看成 自变量,从而高速公路里程数是年度的函数.
(2)从1988年到2001年,里程数是不断增加的, 其中从1999年到2000年增长得最快.
实例分析
2、一辆汽车在高速公路上行驶的过程中，每个 时刻都有唯一行驶路程与它对应，行驶路程(因 变量)随时间(自变量)的变化而变化，行驶路程 是时间的函数，同样，汽车的速度、耗油量也 是时间的函数.
生活中的变量关系
变量间的依赖关系
生活中处处有变量，变量之间充满了依赖关系
实例分析
我国的道路交通 网，近十年的发 展非常迅速.
实例分析
1、我国自1998年开始建设高速公路，全国高速公路 通车总里程，于1998年底，位居世界第八；1999年底， 位居世界第四；2000年底，位居世界第三；2001年底， 超过了加拿大，跃居世界第二位.如下表格：
属于函数关系的有____(_1_)_(_2_)___.
练习
1、某电器商店以2000元一台的价格进了一批电视机， 然后以2100元的价格售出，随着售出台数的变化，商 店获得的收入是怎样变化的？其收入和售出 的台数 间存在函数关系吗？
设售出台数为x台，收入为y元，则y=(2100-2000)x 收入和台数间存在函数关系
19:30～22:00 600 22:00～23:00 500 23:00～结束 400
650 550 450
765000定000的因，876000变000则量987是000000的函值987数555000.关若198系0是000000，惟11否9一10000000
关系：广告价格播出时间长短的关系.则，不是函数关系.
问题研讨
进一步分析上述储油罐的问题,讨论: (1)还有哪些常量?哪些变量? (2)哪些变量之间存在依赖关系? (3)哪些依赖关系是函数关系?哪些依赖 关系不是函数关系?
例3 给出下列情境与关系
(1)某护士从上午8:00到下午2:00每小时量一次病人的体温,结果如下表:
时间 8:00 9:00 10:00 11:00 12:00 13:00 14:00 体温 37.2 37.3 37.4 37.6 38.0 38.1 38.4
练习
6、在物理化学等学科中找出有函数关系的变 量的例子,并指出其中的自变量和因变量.
7、请找出至少3个生活中存在的函数关系的 实例,并与同伴交流.
例1 口香糖的生产已有很长的历史，咀嚼口香糖
有很多益处，但其残留物也会带来污染．为了研
究口香糖的黏附力与温度的关系，一位同学通过
解 (1)物体的热量与温度有关;(2)声音与乐器有关 系;(3)亮度与视觉有关系;(4)数轴上的点与实数之间 有关系;(5)气候与日期有关系;(6)人的脑重与体重有 关系.
实例分析
3、下图是某高速公路加油站的图片，加油站常 用圆柱体储油罐储存汽油.储油罐的长度d、截 面半径r是常量；油面高度h、油面宽度w、储油 量v是变量.