浙江省9 1高中联盟2019届高三上学期期中考试数学试题(解析版)
浙江省9 1高中联盟2019届高三上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={x|y=√x−1}，B={x|−1≤x≤2}，则A∩B=（）A. {x|1<x≤2}B. {x|0≤x≤1}C. {x|1≤x≤2}D. {x|0≤x≤2}2.已知i是虚数单位，若复数z满足zi=1+i，则z2=（）A. −2iB. 2iC. −2D. 23.已知双曲线C：y28−x2b2=1（b＞0）的离心率为√2，则焦点到渐近线的距离为（）A. 2B. 2√2C. 4D. 84.若x、y满足约束条件{x+1≥0y−2≤02x−y−2≤0，则z=x+y的最大值是（）A. −5B. 1C. 2D. 45.已知x，y都是实数，则“x≤y“是“|x|≤|y|”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.函数f（x）=e x•ln|x|的大致图象为（）A. B.C. D.7.若cosα=2（1+sinα），α≠2kπ−π2，k∈Z，则tanα=（）A. −43B. −34C. 34D. 438.若正实数x，y满足ln（x+2y）=ln x+ln y，则2x+y取最小值时，x=（）A. 5B. 3C. 2D. 19.若方程x3-2ax2+（a2+2）x=4a-4x有四个不相等的正根，则实数a的取值范围是（）A. a>3√2B. a>2√2C. 2√2<a<3√2D. −3√2<a<3√210.设I是含数π的有限实数集，f（x）是定义在I上的函数，若f（x）的图象绕坐标原点逆时针旋转π3后与原图象重合，则在以下各项中，f（π）的取值不可能是（）A. √32π B. √3π C. π D. √2π二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.log39=______；若a=log43，则2a=______．12.已知随机变量ξ的分布列如表，若当Eξ=23时，则a=______，D（ξ）=______．ξ012P a b 1 613.我国古代数学著作《算法统宗》第八卷“商功”第五章撰述：“刍荛（chúráo）：倍下长，加上长，以广乘之，又以高乘，用六归之．如屋脊：上斜下平．”刘徽注曰：止斩方亭两边，合之即“刍甍”之形也．即将方台的两边切下来合在一起就是“刍甍”，是一种五面体（如图）：矩形ABCD，棱EF∥AB，AB=4，EF=2，△ADE 和△BCF都是边长为2的等边三角形，则此几何体的表面积为______，体积为______．14.已知F1，F2分别为椭圆C：x2a2+y2=1（a＞1）的左、右焦点，点F2关于直线y=x的对称点Q在椭圆上，则长轴长为______；若P是椭圆上的一点，且|PF1|•|PF2|=43，则S△F1PF2=______．15.将1，2，3，4，5，6随机排成一行，记为a，b，c，d，e，f，则使a×b×c+d×e×f是偶数的排列有______种．（用数字作答）16.设平面向量a⃗，b⃗ 满足1≤|a⃗|≤2，2≤|b⃗ |≤3，则|a⃗+b⃗ |+|a⃗-b⃗ |的取值范围是______．17.设数列{a n}满足a n+1=2（|a n|-1），n∈N*，若存在常数M＞0，使得对于任意的n∈N*，恒有|a n|≤M，则a1的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A＞0，ω＞0，|ϕ|＜π2)的部分图象如图所示：（1）求函数f（x）的解析式；（2）若锐角α满足f(α2−π12)=85，角β满足sin(α−β)=513，求sinβ的值．19.如图，△ABC为正三角形，且BC=CD=2，CD⊥BC，将△ABC沿BC翻折．（I）若点A的射影在BD上，求AD的长；，（Ⅱ）若点A的射影在△BCD内，且直线AB与平面ACD所成角的正弦值为√16515求AD的长．20.设各项为正项的数列{a n}，其前n项和为T n，a1=2，a n a n+1=6T n-2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=2n，求数列{|a n-b n|}的前n项和S n．21.已知抛物线C：y2=4x上动点P（x1，y1），点A在射线1：x-2y+8=0（y≥0）上，满足PA的中点Q在抛物线C上．（I）若直线PA的斜率为1，求点P的坐标；（Ⅱ）若射线1上存在不同于A的另一点B，使得PB的中点也在抛物线C上，求|AB|的最大值．22.已知函数f（x）=x-ln x-a有两个不同的零点x1，x2．（1）求实数a的取值范围；（2）证明：x1+x2＞a+1．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A={x|x-1≥0}={x|x≥1}，则A∩B={x|1≤x≤2}，故选：C．求出集合A的等价条件，结合集合交集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件结合交集的定义是解决本题的关键．比较基础．2.【答案】A【解析】解：∵复数z满足zi=1+i，∴z==1-i，∴z2=-2i，故选：A．根据已知，求出z值，进而可得答案．本题考查的知识点是复数代数形式的乘除运算，难度不大，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：双曲线C：=1（b＞0）的离心率为，则e==，即c=×=4，则b=2．设焦点为（4，0），渐近线方程为y=x，则d==2，故选：B．运用离心率公式和渐近线方程可得b，c，结合点到直线的距离公式，进而得到焦点到渐近线的距离．本题考查双曲线的方程和性质，主要考查离心率和渐近线方程的运用，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；由z=x+y得y=-x+z，平移直线y=-x+z，由图象可知当直线y=-x+z经过点A时，直线y=-x+z的截距最大，此时z最大；由，解得，即A（2，2），代入目标函数z=x+y得z=2+2=4．即目标函数z=x+y的最大值为4．故选：D．画出约束条件表示的平面区域，找出最优解，求出目标函数的最大值．本题主要考查了线性规划的应用问题，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法，利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解题的关键．5.【答案】D【解析】解：当x=-2，y=0时，满足x≤y，但|x|≤|y|不成立，当x=0，y=-2时，满足|x|≤|y|但x≤y不成立，即“x≤y“是“|x|≤|y|”的既不充分也不必要条件，故选：D．根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的性质和关系是解决本题的关键．6.【答案】A【解析】解：函数f（x）为非奇非偶函数，图象不关于y轴对称，排除C，D，当x→+∞，f（x）→+∞，排除B，故选：A．判断函数的奇偶性和对称性的关系，利用极限思想进行求解即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及极限思想是解决本题的关键．7.【答案】C【解析】解：cosα=2（1+sinα），所以：=2（），整理得：=2，由于：α≠2k，k∈Z，解得：，所以：=．故选：C．直接利用三角函数关式的变换和同角三角函数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，同角三角函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．8.【答案】B【解析】解：∵ln（x+2y）=lnx+lny；∴x+2y=xy，且x＞0，y＞0；∴；∴，当且仅当，即x=y=3时取等号．故选：B．根据ln（x+2y）=lnx+lny及x，y都为正数即可得出，从而得出，根据基本不等式即可得出，并且当x=3时取等号，即得出2x+y取最小值时，x=3．考查对数的运算性质，基本不等式及其应用．9.【答案】A【解析】解：方程x3-2ax2+（a2+2）x=4a-有四个不相等的正根，可得a2x-a（2x2+4）+（x3+2x+）=0有四个不相等的正根，即有△=（2x2+4）2-4x（x3+2x+）=8x2，解得a==x+±，x＞0，由a=x++有两个不等正根，由y=x++＞2+=3，可得a＞3时，a=x++有两个不等正根；即有a=x+-在a＞3有两个不等正根，综上可得a＞3，故选：A．由题意可得a2x-a（2x2+4）+（x3+2x+）=0有四个不相等的正根，由二次方程的求根公式和基本不等式，即可得到所求范围．本题考查函数方程的转化思想，注意运用主元法和二次方程思想是解题的突破口，考查运算能力，属于难题．10.【答案】B【解析】解：由题意可得：问题相当于圆上由6个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．设f（π）处的点为A1，∵f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，∴旋转后A1的对应点A2也在f（x）的图象上，同理A2的对应点A3也在图象上，以此类推，f（x）对应的图象可以为一个圆周上6等分的6个点，当f（π）=时，即A1（π，），当f（π）=π时，即A5（π，），则（π，），不符合函数的定义，故B错误；故选：B．直接利用定义函数的应用求出结果．本题函数值的求法，考查学生分析解决问题的能力，考查函数定义等基础知识，考查数形结合思想，是中档题11.【答案】2 √3【解析】解：log39=2；若a=log43，则4a=3，∴2a=．故答案为：2，．利用对数、指数的性质、运算法则直接求解．本题考查对数式、指数式化简求值，考查对数、指数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.【答案】164 9【解析】解：根据ξ的分布列得：+a+b=1，…①∵Eξ=，∴0×a+1×b+2×=1，…②由①②联立得a=，b=，∵η=aξ+b∴D（ξ）=（0-）2×+（1-）2×+（2-）2×==．故答案为：；．利用概率的性质和期望构建关于a、b的方程组，求出a、b值，然后利用方差公式求解即可．本题考查了概率的性质、分布列及期望，解决本题要注意利用概率和为1这一条件，还要会利用Eη=aEξ+b．13.【答案】8+8√310√23【解析】解：由题意知该五面体的表面积为：S=S矩形ABCD+2S△ADE+2S梯形ABFE=2×4+2××2×+2××（2+4）×=8+8；过F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，取BC的中点P，连结PF，过F作FQ⊥AB，垂足为Q，连结OQ．∵△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形，∴OP=（AB-EF）=1，PF=，OQ=BC=1，∴OF=，采用分割的方法，分别过F，E作与平面ABCD垂直的平面，这两个平面把几何体分割成三部分，如图，包含一个三棱柱EMN-FQH，两个全等的四棱锥：E-AMND，F-QBCH，∴这个几何体的体积：V=V EMN-FQH+2V F-QBCH=S△QFH×MQ+2×S矩形QBCH×FQ=×2××2+2××1×2×=．故答案为：8+8；．由题意知两个三角形全等，两个梯形全等，由此求出五面体的表面；采用分割的方法，分别过F，E作与平面ABCD垂直的平面，这两个平面把几何体分割成三部分，包括一个三棱柱和两个四棱锥，其中两个四棱锥的体积相等，三者相加得到几何体的体积．本题考查不规则几何体的体积求法，考查运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想方法和数学转化思想方法，是中档题．14.【答案】2√2√33【解析】求出点F2关于直线y=x的对称点Q，代入椭圆方程求得a，则长轴长可求；利用余弦定理结合椭圆定义求得sin∠F1PF2，代入三角形面积公式得答案．解：由椭圆C：+y2=1（a＞1），知c=．∴F2（，0），点F2关于直线y=x的对称点Q（0，），由题意可得：，即a=，则长轴长为2；∴椭圆方程为．则|PF1|+|PF2|=2a=2，又|PF1|•|PF2|=，∴cos∠F1PF2===．∴sin∠F1PF2=．则S==．故答案为：；．求出点F2关于直线y=x的对称点Q，代入椭圆方程求得a，则长轴长可求；利用余弦定理结合椭圆定义求得sin∠F1PF2，代入三角形面积公式得答案．本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆定义及余弦定理的应用，是中档题．15.【答案】648【解析】解：1，2，3，4，5，6随机排成一列，共有A66=720种，abc+def为偶数等价于“a，b，c不全为奇数，且d，e，f不全为奇数“∴共有A66-2A33A33=648，故答案为：648利用间接法，先求出1，2，3，4，5，6随机排成一列，再排除再求a，b，c全为奇数，且d，e，f全为奇数的种=即可本题考查排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题16.【答案】[4，2√13]．【解析】设t=||+|-|，t2=2+2+2+2+2-2+2|||-|=2（2+2）+2|+|| -|，当（）⊥（-）时，即||=||=2且=0，t2min=2×（22+22）=16，t min=4，当||=|-|时，2|||-|≤||2+|-|2=2（2+2）∴t2max=4（2+2）=4（22+32）=4×13，t max=2，综上所述，的取值范围是[4，2]．故答案为：[4，2]． 根据即可求出的范围，进而得出的取值范围． 考查向量数量积的运算和向量模长的计算．17.【答案】[-2，2]【解析】解：由题意，存在常数M ＞0，使得对于任意的n ∈N *，恒有|a n |≤M ， ∴|a n+1|≤M ，∴得-M≤a n+1≤M ①；∵又a n+1=2（|a n |-1）可得-M≤2（|a n |-1）≤M ； 即……②；由①②相等，可得：M=2，故得a 1的取值范围是[-2，2]．故答案为：[-2，2]．由题意，存在常数M ＞0，使得对于任意的n ∈N *，恒有|a n |≤M ，可得-M≤a n ≤M ；得-M≤a n+1≤M ，代入已知即可得出结果．本题考查数列递推式，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．18.【答案】解：（1）由图象可得A =-2，34T =2π3+π12=3π4，即T =π，∴ω=2πT =2，∵f （2π3）=2sin （2×2π3+φ）=-1，解得φ=π6，∴f （x ）=2sin （2x +π6）．（2）∵f(α2−π12)=85，∴2sinα=85，∴sinα=45，cosα=35， ∵sin(α−β)=513， ∴cos （α-β）=±1213， ∴sinβ=sin （α-（α-β））=sinαcos （α-β）-cosαsin （α-β），即sinβ=3365或-6365．【解析】（1）由图象可得A=-2，T=+=，即T=π，代值计算求出φ=， （2）先求出sinα=，cosα=，再根据两角差的正弦公式即可求出．本题主要考查了由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，三家函数的化简和计算，属于基本知识的考查．19.【答案】解：（1）过A 作AE ⊥BD 交BD 于E ，则AE ⊥平面BCD ．取BC 中点O ，连接AO ，OE ，∵AE ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，∴AE ⊥BC ，△ABC 是正三角形，∴BC ⊥AO ，又AE ∩AO =A ，AE ，AO ⊂平面AOE ，∴BC ⊥平面AOE ，∴BC ⊥OE ．又BC ⊥CD ，O 为BC 的中点，∴E 为BD 的中点．∵BC =CD =2，∴OE =12CD =1，AO =√3，BD =2√2，∴DE =√2，AE =√AO 2−OE 2=√2．∴AD =√AE 2+DE 2=2；（2）以O 为原点，以BC 为x 轴，以BE 为y 轴，以平面BCD 的过O 的垂线为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：设二面角D -BC -A 为θ，则A （0，√3cosθ，√3sinθ），B （-1，0，0），C （1，0，0），D （1，2，0）．∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，√3cosθ，√3sinθ），CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，2，0），CA⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1，√3cosθ，√3sinθ）， 设平面ACD 的法向量为n⃗ =（x ，y ，z ）， 则{n ⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y =0n⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +√3cosθ⋅y +√3sinθ⋅z =0，令z =1，得n ⃗ =（√3sinθ，0，1）． ∴|cos ＜n ⃗ ，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＞|=2√3sinθ2⋅√3sin 2θ+1=√16515， 解得sinθ=√336． ∴A （0，12，√112），又D （1，2，0）．∴|AD |=√(0−1)2+(12−2)2+(√112−0)2=√6． 【解析】（1）过A 作AE ⊥BD 交BD 于E ，则AE ⊥平面BCD ，证明BC ⊥平面AOE 得出E 为BD 的中点，利用勾股定理计算|AD|；（2）以O 为原点建立空间坐标系，设二面角D-BC-A 为θ，用θ表示出A 的坐标，求出和平面ACD 的法向量，令|cos ＜，＞|=，得出sinθ，从而得出A 点坐标，代入两点间的距离公式求出|AD|．本题考查了空间角及空间距离的计算，考查空间向量的应用，属于中档题． 20.【答案】解：（Ⅰ）各项为正项的数列{a n }，其前n 项和为T n ，a 1=2，a n a n +1=6T n -2， 可得a 1a 2=6T 1-2=2a 2=12-2=10，解得a 2=5，由n ≥2时，a n a n +1=6T n -2，可得a n -1a n =6T n -1-2，两式相减可得a n （a n +1-a n -1）=6a n ，a n ＞0，可得a n +1-a n -1=6，可得数列的奇数项和偶数项均为公差为6的等差数列，可得正项的数列{a n }为2，5，8，11，14，17，…，即有正项的数列{a n }的通项公式为a n =2+3（n -1）=3n -1；（Ⅱ）|a n -b n |=|3n -1-2n |，当1≤n ≤3时，前n 项和S n =（2+…+3n -1）-（2+…+2n ）=12n （3n +1）-2(1−2n )1−2=12n （3n +1）-2n +1+2； 当n ≥4时，前n 项和S n =1+（16+…+2n ）-（11+…+3n -1）=1-12（n -3）（3n +10）+16(1−2n−3)1−2=2n +1-12n （3n +1）． 综上可得前n 项和S n ={12n(3n +1)−2n+1+2，1≤n ≤32n+1−12n(3n +1)，n ≥4，n ∈N． 【解析】（Ⅰ）令n=1，求得a 2=5，将n 换为n-1，两式相减可得数列的奇数项和偶数项均为公差为6的等差数列，再由等差数列的通项公式即可得到所求通项； （Ⅱ）讨论当1≤n≤3时，n≥4时，去绝对值，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等差数列的定义、通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和，注意运用分类讨论思想，考查运算能力和推理能力，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）设直线PA 的方程为y =x +b ，则A （8-2b ，8-b ），设Q （x 2，y 2）， 由{y 2=4x y=x+b ，得y 2-4y +4b =0．由△=16-16b ＞0，得b ＜1．y 1+y 2=4，y 1y 2=4b ．又y 1+8-b =2y 2，解得{b =0y 1=0y 2=4或{b =−24y 1=−8y 2=12．经检验都是方程的解，∴P （0，0）或（16，-8）；（Ⅱ）设A （2t 1-8，t 1），B （2t 2-8，t 2），t 1，t 2≥0．则由PA 得中点Q （y 128+t 1−4，t 1+y 12）在抛物线C 上， 可得(t 1+y 12)2=4(y 128+t 1−4)，整理得：t 12+(2y 1−16)t 1+64−y 12=0．同理：t 22+(2y 1−16)t 2+64−y 12=0．∴t 1，t 2是方程t 2+(2y 1−16)t +64−y 12=0的两个不相等非负根．∴{△=(2y 1−16)2−4(64−y 12)＞0t 1+t 2=16−2y 1＞0t 1t 2=64−y 12≥0，解得-8≤y 1＜0．∴|AB |=√5|t 1−t 2|=2√5⋅√2y 12−16y 1≤32√5．当且仅当y 1=-8时取“=”．∴|AB |的最大值为32√5．【解析】（Ⅰ）设直线PA 的方程为y=x+b ，则A （8-2b ，8-b ），设Q （x 2，y 2），联立直线方程与抛物线方程，由判别式大于0求得b 的范围，然后结合点A 在射线1：x-2y+8=0（y≥0）上及根与系数的关系求解点P 的坐标；（Ⅱ）设A （2t 1-8，t 1），B （2t 2-8，t 2），t 1，t 2≥0，由PA 得中点Q 在抛物线C 上，可得，同理，可知t 1，t 2是方程的两个不相等非负根，然后利用根的分布求得-8≤y 1＜0，再把|AB|转化为含有y 1 的函数式求解．本题考查直线与抛物线综合，考查数学转化思想方法与整体运算思想方法，考查函数与方程思想的应用，考查计算能力，是难题．22.【答案】解：（1）∵函数f （x ）=x -ln x -a∴f ′（x ）=1-1x ，当x ∈（0，1）时，f ′（x ）＜0，f （x ）为减函数，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，故当x=1时，函数f（x）=x-ln x-a取最小值1-a，若函数f（x）=x-ln x-a有两个不同的零点x1，x2．则1-a＜0，即a＞1；证明：（2）若函数f（x）=x-ln x-a有两个不同的零点x1，x2．则x1-ln x1=a，且x2-ln x2=a，故x1+x2=2a+ln x1+ln x2=2a+ln（x1•x2），若证x1+x2＞a+1．即证：x1+x2+ln（x1•x2）＞2．即2√x1⋅x2+ln（x1•x2）≥2．令x1•x2=t，由（1）中a＞1得：t≥1则只需证2√t+ln t≥2设g（t）=2√t+ln t，则g′（t）=1√t +1t=√t+1t＞0，∴g（t）为增函数，又由g（1）=2故2√t+ln t≥2，原不等式得证【解析】（1）函数f（x）=x-lnx-a有两个不同的零点x1，x2．则函数f（x）=x-lnx-a的最小值1-a＜0；（2）令x1•x2=t，由（1）中a＞1得：t≥1，则只需证2+lnt≥2，设g（t）=2+lnt，可得结论．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．。
【最新经典文档】浙江省9+1高中联盟高三上学期期中数学试卷含解析答案
围是（ ） A．m≥ 3 B．m≤ 3 C．
5．（4 分）已知函数
（ x）图象的是（
）
D． （a∈R），下列选项中不可能是函数 f
A．
B．
C
．
D．
6．（4 分）已知实数 a＞0，b＞0， + =1，则 a+2b 的最小值是（
）
A． B． C．3 D．2
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7．（ 4 分）已知等差数列 { an} 、{ bn} 的前 n 项和分别为 Sn、Tn，若
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则（ ）
A．β＞γ＞αB．γ＞β＞αC．α＞β＞γD．α＞ γ＞β 【解答】 解：取 AC中点 G，连结 PG，过 B 作 BO⊥平面 PAC，交 PG于点 O， 在平面 PAC中过 O 作 OD∥ AC，交 PA于 D，
设正四面体棱长为 2，则 OG= =
=，
PO= = ， BO=
．
12．（ 6 分）设 sin2 α =sin，αα∈（ 0，π），则 cos α＝
； tan2 α＝
．
13．（ 6 分）在
的展开式中，各项系数之和为 64，则 n=
；展开
式中的常数项为
．
14．（ 6 分） 4 支足球队两两比赛，一定有胜负，每队赢的概率都为 0.5，并且每
队赢的场数各不相同，则共有
20．（ 14 分）已知函数 f （x）=eax﹣x． （ 1）讨论 f（x）的单调性； （ 2）证明：当 a≠1 时，存在实数 x0，使 f （x0）＜ 1． 21．（14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，设点 M（ x0，y0）是椭圆 C：
上一点，从原点 O 向圆 M ：
作两条切线分别与椭圆 C 交
浙江省9+1高中联盟2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题(含答案) (1)
2024学年第一学期浙江省9+1高中联盟高三年级期中考试数学考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷；4.参加联批学校的学生可关注“启望教育”公众号查询个人成绩分析。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，且，则a 等于（ ）A.1B. C. D.32.设复数，在复平面内对应的点关于实轴对称，，则（ ）A.B.C. D.3.若命题“，成立”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A. B. C. D.4.在中，D 是BC 上一点，满足，M 是AD 的中点，若，则（ ）A.B.C.D.5.已知圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆，则该圆锥的高为（ ）D.6.函数的部分图象如图所示，直线与其交于A ，B 两点，若，则（）A.4B.3C.2D.17.已知函数，若，，，则有（）{}0,1A =-{}0,1,2B a =-A B ⊆1-3-1z 2z 12i z =-12z z =34i 55-34i 55+41i 5+41i 5-x ∃∈R 220x x a ++<1a ≤1a <1a ≥1a >ABC △2BD DC = BM BA BC λμ=+λμ+=54785658π12()()sin 20y x ωϕω=+>12y =3AB π=ω=()xxf x e e-=+3log 0.6a =0.013b =5log 3c =A. B.C. D.8.已知函数（a ，且）在区间上有零点，则的最小值为（ ）A.B. C.2 D.1二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的是（）A.数据1，2，2，3，4，5的极差与众数之和为7B.若随机变量X 服从二项分布，且，则C.X 和Y 是分类变量，若值越大，则判断“X 与Y 独立”的把握性越大D.若随机变量X 服从正态分布，且，则10.已知数列的前n 项和为，满足，且，则下列结论中正确的是（）A.为等比数列B.为等比数列C.D.11.已知曲线C 的方程为：，，，过M 的直线交曲线C 于A 、B 两点（A 在B 的上方），已知，，下列命题正确的是（ ）A.B.的最小值是2C.周长的最大值是D.若，将沿MN 翻折，使面面，则折后三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.()()()f a f b f c >>()()()f b f c f a >>()()()f b f a f c >>()()()f c f a f b >>()()221f x a x bx a =-+-+b ∈R 2a ≠[]1,222a b +3212()~20,X B p ()8E X =() 4.8D X =()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++()2~2,X N σ()50.2P X >=()150.6P X -<<={}n a n S 13a =()()*1310n n n a na n ++-=∈N {}n na n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭3n n a n =⋅()1213344n n n S +-=⋅+()()2222104340x y y x y y ⎧+=≥⎪⎨⎪+=<⎩()1,0M -()1,0N AMN α∠=ANM β∠=()sin sin 2sin αβαβ+=+tan3tan22αβ+ABN △4+3πα=AMN △AMN ⊥MNB AB =12.双曲线的渐近线方程为______.13.已知展开式的二项式系数之和为64，则展开式中项的系数为______.（用数字作答）14.一只盒子中装有4个形状大小相同的小球，小球上标有4个不同的数字。
2019年10月浙江省学考选考2019学年第一学期浙江七彩阳光新高考研究联盟期中联考高三数学答案
2019学年第一学期浙江“七彩阳光”新高考研究联盟期中联考高三年级数学学科参考答案(命题:海盐高级中学)一、选择题：(本大题共10小题, 每小题4分, 共40分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.)1.D2.B3.B4.C5.B6.A7.C8.A9.C 10.D二、填空题：(本大题共7小题, 双空题每小题6分, 单空题每小题4分, 共36分)11. {}10<<x x , {}21≥<x x x 或 12. 32- ,10 13. )0,3(, 1339± 14. 23-n , ()2209)1(++n n 15. 5 16. 40 17. 9 三、解答题：(本大题共5小题, 共74分)18.解：()1由题意得()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭, ------------------------3分 5366x πππ≤-≤, 所以()[]1,2f x ∈. ------------------------6分 ()2由78,663f A f B ππ⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简得4sin sin 3A B +=, ------------------------.8分 4sin sin 3sinB sin B a A b B-==413sin B =-,而1sin 13B ≤≤, ...............12分 所以1,33a b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. ------------------------14分 19. ()1证明：分别取线段AC 、AB 的中点记为O 、D , 连接SO 、OD ,因为 SAC ∆为等边三角形, 则AC SO ⊥,又OD //BC , 则AC OD ⊥, O OD SO = ,则AC 平面SOD ⊥, 所以AC SD ⊥. ------------------------6分()2延长SO , 过D 做SO 延长线的垂线, 垂足记为H ,易知DH ⊥平面SAC ,所以DSH ∠为直线SD 与平面SAC 所成角. ------------------------10分在SBC ∆中,因为cos SDA+cos SDB=0∠∠, 求得=6SD , ------------------------12分又1OD=2且, 则DSH=6π∠, 故直线SD 与平面SAC 所成的角为6π. .------------------------15分20.解：(1)na d a a a a a a a a n =∴=∴==∴=++=++14,312,943642531------2分208,20311342=+∴==+q b q b b b b ① 821=q b ②由①②得2=q 或21=q (舍)21=bnn b 2=∴ ------------------------5分(2)n nn c 24-=3224341+-⨯=∴+n n n B ---------------------9分 )121121(23)12)(12(32211---=--=∴++n n n n nn nB b -----------------13分23)1211(231<--=∴+n n T ----------------------------------15分21.解(1)直线AB 方程：1+=x y , 设),(),,2211y x B y x A （联立方程⎩⎨⎧=+=y x x y 4120442=--⇒x x4,42121-==+x x x x . .....................2分 ⋅--=⋅∴2111x y K K BP AP ⋅--2122x y =424221+⋅+x x =164)(22121+++x x x x2116484=++-= ....................5分（2）设),(),,2211y x B y x A （),22t t P （，, 设直线BP 斜率为K设直线BP 方程)2(-2t x k t y -= 不妨)0(>k联立方程⎩⎨⎧==y x 42t)-k(x t -y 22048422=-+-⇒t kt kx x211482,42t kt t x k t x -=⋅=+ ....................7分 =-+=∴t x k BP 2112t k k -+214 同理可得t k k AP ++=∴11142 ....................9分 由BP AP =得k k k t +-=231....................11分 故：222)1(821t k k BP AP S ABP -+==∆16)1(2)1()2(8)1()1()1(8222222222=++≥+++=k k k k k k k k 当且仅当1=k 时取等号, 所以ABP ∆面积最小值为16.....................15分22.解：(1)22)(ex e x f x += 0222>+=ex e ex x ......................3分又 0≠x)(x f ∴增区间为()0-，∞, ()∞+，0......................5分（2）由题得2)2(x me ex e x x =⋅-有三个实根所以m e exe x x x =⋅-)2(2有三个非零实根 即m e xe xe x x =-)2(有三个非零实根......................7分令)0)(≠⋅==x e x x g t x （ )01)('≠⋅+=x e x x g x （）（ )(x g ∴在()1--，∞单调递减, ），（∞+1-单调递增......................9分 022=--∴m t e t 一个根在⎪⎭⎫ ⎝⎛0,e 1-, 另一个根在()∞+，0；或者一个根等于e 1-, 另一个根在⎪⎭⎫⎝⎛0,e 1-内(舍) ......................12分 令=)(t h m t et --22 由⎪⎩⎪⎨⎧<=>-0)0()2(0)1(h eh e h 230e m <<⇔ ......................15分。
浙江省9+1高中联盟2023-2024学年高三上学期期中数学试题含解析
2023学年第一学期浙江省9＋1高中联盟高三年级期中考试数学（答案在最后）考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷；4.参加联批学校的学生可关注“启望教育”公众号查询个人成绩分析.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}ln 0A x x =≤，{}0B x x =≤，A B = （）A.(],0-∞ B.(],1-∞ C.[)1,+∞ D.∅【答案】D 【解析】【分析】先根据函数ln y x =的定义域及函数的单调性得{}{}ln 001A x x x x =≤=<≤；再根据集合的交集运算即可得出答案.【详解】因为函数ln y x =的定义域为()0,∞+，且在()0,∞+上单调递增，ln10=所以{}{}ln 001A x x x x =≤=<≤.又因为{}0B x x =≤所以A B ⋂=∅.故选：D.2.已知复数12i =-z ，则1z的虚部是（）A .2i 3-B.23-C.2i 5D.25【答案】D 【解析】【分析】直接使用复数的运算法则计算即可.【详解】12i =- z ，1112i 12i 12i (12i)(12i)55+∴===+--+z 故1z 的虚部是25故选：D3.白居易的《别毡帐火炉》写道：“赖有青毡帐，风前自张设.”古代北方游牧民族以毡帐为居室，如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与圆柱的组合体，圆锥的高为4m ，圆柱的高为3m ，底面圆的直径为6m ，则该毛帐的侧面积（单位2m ）是（）A.39πB.32πC.33πD.45π【答案】C 【解析】【分析】分别求解出圆锥和圆柱的侧面积，然后相加即为结果.【详解】圆锥的侧面积：6152π⨯=π2m ，圆柱的侧面积：623182⨯π⨯⨯=π2m ，所以毛帐的侧面积为151833π+π=π2m ，故选：C.4.已知n S 是公差为d （0d ≠）的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，设甲：数列{}n S 是递增数列，乙：对任意*N n ∈，均有0n S >，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用定义法直接判断【详解】充分性：因为数列{}n S 是递增数列，取数列为：1-，1，3，5 符合数列{}n a 为无穷等差数列，且{}n S 是递增数列，但110S =-<，故充分性不满足；必要性：因为对于任意的*N n ∈，均有0n S >，所以得110S a =>，又因为数列{}n a 为无穷等差数列，所以公差大于零，所以可得数列{}n S 为递增数列，故必要性满足.综上所述：甲是乙的必要不充分条件，故B 项正确.故选：B.5.已知抛物线C ：24y x =（0y >）的焦点为F ，点A 为抛物线上一点，5AF =，若2FB BA =，则点B 的纵坐标是（）A.43 B.83C.163D.323【答案】A 【解析】【分析】根据题意，由抛物线的焦半径公式可得A 的坐标，再由2FB BA =，列出方程，即可得到结果.【详解】因为5AF =，由抛物线的焦半径公式可得2A pAF x =+，即4A x =，且0y >所以()4,4A ，设()00,B x y ，则()()00001,,4,4FB x y FA x y =-=--，又2FB BA = ，则()000021424x x y y ⎧-=-⎨=-⎩，解得00243x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以点B 的纵坐标是43.故选：A6.今年8月份贵州村篮球总决赛期间，在某场比赛的三个地点需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有（）A.18B.24C.32D.64【答案】A 【解析】【分析】根据安排的人中有没有甲进行分类讨论，由此求得正确答案.【详解】若安排的人中没有甲，安排方法有33A 6=种，若安排的人中有甲，则先安排甲，然后再选两人来安排，则安排的方法有1223A A 12⨯=种，所以总的方法数有61218+=种.故选：A7.函数()πsin 3f x A x b ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（0A >，0ω>，b ∈R ）的图象向左平移π3个单位长度后得到函数()g x 的图象，()g x 与()f x 的图象关于y 轴对称，则ω可能的取值为（）A.3 B.4C.5D.6【答案】C 【解析】【分析】先根据图象平移得到函数()g x 的解析式；再根据两函数图象关于y 轴对称及诱导公式得到关于ω的等式即可得出答案.【详解】由题意可得函数()ππππsin sin 3333g x A x b A x b ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.因为()g x 与()f x 的图象关于y 轴对称，所以()()g x f x =-，即πππsin sin 333A x b A x b ωωω⎛⎫⎛⎫+-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πππsin sin 333x x ωωω⎛⎫⎛⎫+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由诱导公式可得：()πππsin sin sin 21πZ 333x x x k k ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-+=+++∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()πππsin sin 21πZ 333x x k k ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=+++∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即()11πππ21π,Z 333x x k k ωωω+-=+++∈，或22πππ2π,Z 333x x k k ωωω⎛⎫⎛⎫+-++=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为x ∈R所以解得：()112321π,Z k k ω=++∈故当10k =时，5ω=.故选：C.8.已知函数()f x 的定义域为R +，对于任意的x ，R y +∈，都有()()()1f x f y f xy +=+，当1x >时，都有()1f x >，且()22f =，当[]1,16x ∈时，则()f x 的最大值是（）A.5B.6C.8D.12【答案】A 【解析】【分析】找到函数值特殊的点，得到部分特殊函数值，利用给定的抽象函数定义求出端点值后，判断函数单调性即可求出最大值即可.【详解】令1x y ==，则()11=f ，且()()()2241+=+f f f 故()34=f ，()()()14164+=+f f f ，故()516=f 且令1x x =，21=y x x ，可得()()21211⎛⎫⎪⎝+=+⎭x f x f f x x 设21x x >，则211>x x ，()()212110⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭x f x f x f x 则()()12f x f x <，故()f x 在R +上单调递增()f x \的最大值是()516=f 故选：A【点睛】本题需要考生先求出特殊值，后判断抽象函数的单调性，再求出端点值即可.判断抽象函数的单调性时需要记忆或推理常见的抽象函数模型.二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的或不选的得0分）9.已知平面向量()1,0a = ，()2,2b =，下列叙述正确的是（）A.a 与b的夹角为45︒B.a 与b的夹角为135︒C.a b -=D.b 在a 上的投影向量为2a【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意，由平面向量的坐标运算，代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】因为()1,0a = ，()2,2b =，则cos ,2a b a b a b ⋅===⋅，且0,180a b ︒︒≤≤，所以,45a b =︒ ，故A 正确，B 错误；()1,2a b -=-- ，则a b -== C 正确；b 在a上的投影向量为cos ,22a b a b a a⋅== ，故D 正确；故选：ACD10.已知函数()323f x x x =-，满足()f x t =有三个不同的实数根1x ，2x ，3x ，则（）A.实数t 的取值范围是40t -<<B.()f x 关于点()1,2-中心对称C.()()()13012822f f f f f ⎛⎫⎛⎫++++=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.123x x x ++的值与t 有关【答案】AB 【解析】【分析】作数函数()f x 的图像即可判断A ；判断()()114f x f x -++=-是否成立可判断B ；根据函数()f x 关于点()1,2-中心对称计算可判断C ；根据题意建立等式()()()()123f x t x x x x x x -=---化简即可判断D .【详解】对于A ，因为()236f x x x '=-，所以当()0f x ¢>时，即0x <或2x >，()f x 单调递增，当()0f x '<时，即02x <<，()f x 单调递减，且()00f =，()24f =-，故函数()f x 如图所示，所以满足()f x t =有三个不同的实数根实数t 的取值范围是40t -<<，故A 正确；对于B，因为()()()()33221113(1)13(1)4f x f x x x x x -++=---++-+=-，所以函数()f x 关于点()1,2-中心对称，故B 正确对于C，因为函数()f x 关于点()1,2-中心对称，所以()()024f f +=-，13422f f ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()()130121022f f f f f ⎛⎫⎛⎫++++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；因为1x ，2x ，3x 是()f x t =有三个不同的实数根，所以()()()()123f x t x x x x x x -=---，化简的：()()3232123121323123300x x t x x x x x x x x x x x x x x x --=-+++++-所以1233x x x ++=，故D 错误.故选：AB .【点睛】求一元n 次函数解析式，可以根据一元n 次方程的根建立等式求解.11.四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，且PA PD AD ===，4AB =，Q 为线段PB 上一动点（不包含端点），则（）A.存在点Q 使得//CQ 平面PADB.存在点Q 使得CQ BD⊥C.四棱锥P ABCD -外接球的表面积为32πD.Q 为PB 中点时，过点C ，D ，Q 作截面交PA 于点E ，则四棱锥B CDEQ -的体积为【答案】BCD 【解析】【分析】由面面垂直的性质可证得OP ⊥平面ABCD ，建立空间直角坐标系，设出点Q 坐标，运用空间向量坐标法计算0CQ n ⋅= 求出λ可判断A 项，运用空间向量坐标法计算0CQ BD ⋅=求出λ可判断B 项，画出外接球的球心，进而可求得其半径，结合球的表面积公式计算即可判断C 项，由点、线、面关系证得平面CDQ平面PAB EQ =，由线面平行判定定理可证得//AB 平面CDEQ ，运用等体积法3333324B CDEQ B DEQ A DEQ Q ADE B ADE B PAD V V V V V V ------=====求解即可判断D 项.【详解】取AD 中点O ，连接OP ，因为PA PD =，所以OP AD ⊥，又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，OP ⊂面PAD ，所以OP ⊥平面ABCD ，过O 作//Oy AB ，所以以O 为坐标原点，分别以OA 、Oy 、OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，因为PA PD AD ===，4AB =，则A ，4,0)B ，(4,0)C ，(D ，(0,0,3)P ，所以(4,0)BD =-- ，4,3)PB =-，设PQ PB λ=（01λ<<），则,4,33)Q λλ-（01λ<<），所以44,33)CQ λλ=+--，对于A 项，又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，AB AD ⊥，AB ⊂面ABCD ，所以AB ⊥平面PAD ，所以平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)n =，假设//CQ 平面PAD ，则440CQ n λ⋅=-=，解得1λ=，又因为01λ<<，所以不存在点Q 使得//CQ 平面PAD ，故A 项错误；对于B 项，假设因为CQ BD ⊥，则(4)(44)0CQ BD λ⋅=-++-⨯-=，解得511λ=，所以存在点Q 使得CQ BD ⊥，故B 项正确；对于C 项，连接AC 、BD 相交于点1O ，取等边三角形PAD 的外心2O ，过1O 作1//O M PO ，过2O 作21//O M OO ，连接1OO ，如图所示，则1O M ⊥平面ABCD ，2O M ⊥平面PAD ，所以M 为四棱锥P ABCD -的外接球的球心，又12113O M OO PO ===，112O A AC ====所以r MA ===所以四棱锥P ABCD -外接球的表面积为224π4π32πr =⨯=，故C 项正确；对于D 项，连接EQ 、ED 、EB ，如图所示，因为平面CDQPA E =，PA ⊂平面PAB ，所以点E 在平面CDQ 与平面PAB 的交线处，又Q ∈平面CDQ 且Q ∈平面PAB ，所以点Q 在平面CDQ 与平面PAB 的交线处，所以平面CDQ平面PAB EQ =，因为//CD AB ，CD ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以//CD 平面PAB ，又因为CD ⊂平面CDQ ，平面CDQ 平面PAB EQ =，所以//CD EQ ，又//CD AB ，所以//AB EQ ，又因为Q 为PB 中点，所以E 为PA 的中点，12EQ CD =，又因为//AB EQ ，AB ⊄平面CDEQ ，EQ ⊂平面CDEQ ，所以//AB 平面CDEQ ，所以点B 到平面CDEQ 距离等于点A 到平面CDEQ 距离，所以33313332443B CDEQ B DEQ A DEQ Q ADE B ADE B PAD PAD V V V V V V S AB ------======⨯⨯△311π311sin 443234322PA AD AB =⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=D 项正确.故选：BCD.12.人教A 版选择性必修第一册在椭圆章节的最后《用信息技术探究点的轨迹：椭圆》中探究得出椭圆22221x y a b +=（0a b >>）上动点P 到左焦点(),0F c -的距离和动点P 到直线2a x c =-的距离之比是常数c a .已知椭圆C ：22143x y +=，F 为左焦点，直线l ：4x =-与x 轴相交于点M ，过F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点（点A 在x 轴上方），分别过点A ，B 向l 作垂线，垂足为1A ，1B ，则（）A.12AA AF= B.MA BF MB AF ⋅=⋅C.直线MA 与椭圆相切时，AB 4= D.sin 2tan AFM AMF∠=∠【答案】ABD 【解析】【分析】对A ：由1AF cAA a=判断；对D ：作AN x ⊥轴于N ，表示出sin ,tan AFM AMF ∠∠，根据A 结论判断；对B ：利用D 结论可判断AMF BMF ∠=∠，由角平分线性质得结论；对C ：根据D 结论可判断当且仅当AB x ⊥时MA 与椭圆相切即可.【详解】对A ：由条件知：112AF c AA a ==，故12AA AF =，故A 正确；对D ：作AN x ⊥轴于N ，则sin sin A y AFM AFN AF ∠=∠=，1tan 2A A ANy y AMF MN AA AF∠===，所以sin 2tan AFM AMF ∠=∠，故D 正确；对B ：同D 知：sin 2tan BFM BMF ∠=∠，因为sin sin BFM AFM ∠=∠，所以tan tan AMF BMF ∠=∠，所以AMF BMF ∠=∠，即MF 平分AMB ∠，由角平分线性质知MA AFMB BF =即MA BF MB AF ⋅=⋅，故B 正确；对C ：下面证明当且仅当AB x ⊥时MA 与椭圆相切，因为sin 2tan AFM AMF ∠=∠，所以1tan 2AMF ∠=时当且仅当90AFM ∠=o ，此时点A 是唯一的，故MA 与椭圆相切当1tan 2AMF ∠≠时，sin 1AFM ∠≠，满足条件的AFM ∠有两个，即点A 有两个，此时MA 与椭圆相交，故当且仅当AB x ⊥时MA 与椭圆相切，此时3AB =，故C 错误.故选：ABD【点睛】关键点点睛：此题关键是证明sin 2tan AFM AMF ∠=∠成立，从而再证出其它选项，在椭圆中一般结论是sin tan e AFM AMF ⋅∠=∠，其中e 是离心率.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上）13.413x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中常数项为______.（用数字作答）【答案】54【解析】【分析】根据4132x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式可求出结果.【详解】4132x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()()4k 4k 421441C 3=C 13k k k k k k T x x x ---+⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，令420k -=，得2k =，所以4132x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开始得常数项为()2224C 1354-=.故答案为：54.14.已知圆M ：()()22324x y -+-=，过点()5,0P 的直线l 与圆M 相交于A ，B 两点，当ABM 面积最大时，直线l 的斜率为______.（写出一个即可）【答案】2-+2-（答案不唯一）【解析】【分析】根据面积最大时求出圆心到直线距离，设出直线方程，求出斜率即可.【详解】已知圆的半径2r =，如图，直线l 与圆M 相交于,A B 两点，ABM 面积1sin 2sin 2ABM S MA MB AMB AMB =⋅∠=∠ ，当ABM 面积最大时sin 1AMB ∠=即πsin 2AMB ∠=，此时圆心M 到直线l的距离2d r ==，设直线l 的斜率为k ，则直线方程为()5y k x =-，则2410d k k ==⇒++=，解得：2k =--2k =-+.故答案为：2-2-（答案不唯一）15.已知2e e 0ax x -≥在0x >时恒成立，则实数a 的最小值为______.（注：e 为自然对数的底数）【答案】e【解析】【分析】转化问题为2ln x a x +≥在0x >时恒成立，只需max 2ln x a x +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，设()2ln x f x x+=，0x >，结合导数分析其单调性，进而求解即可.【详解】由2e e 0ax x -≥在0x >时恒成立，即2ln e e ax x +≥在0x >时恒成立，即2ln x a x+≥在0x >时恒成立，设()2ln x f x x+=，0x >，则()()2212ln 1ln x x x x f x x x ⋅-+--'==，令()0f x ¢>，即10e x <<；令()0f x '<，即1ex >，所以函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以当1e x =时，()max 12ln e e 1e f x +==，所以e a ≥，即实数a 的最小值为e .故答案为：e .16.已知数列{}n a 的首项为1，且21πcos 2n n n a a n ++=⋅（*N n ∈），则40a 的值是______.【答案】759【解析】【分析】根据递推公式首先令n 为偶数，即可求出12339a a a a ++++ ，再令n 为奇数，即可求出1233940a a a a a +++++ ，从而得解.【详解】因为21πcos2n n n a a n ++=⋅，11a =，所以当2n =时22322cosπ2a a +=⨯=-，当4n =时24254cos2π4a a +=⨯=，当6n =时26726cos3π6a a +=⨯=-， ，当36n =时23623736cos18π36a a +=⨯=，当38n =时23823938cos19π38a a +=⨯=-，所以12339a a a a ++++ ()222222222124681012343638=+-+-+-++-+- ()21224681012343638=+++++++++- ()22361812387592+⨯=+⨯-=-，又21πcos 2n n n a a n ++=⋅，所以当1n =时122π1cos02a a +=⨯=，当3n =时3423π3cos 02a a +=⨯=，当5n =时5625π5cos 02a a +=⨯=， ，当37n =时2373837π37cos 02a a +=⨯=，当39n =时2394039π39cos 02a a +=⨯=，所以12339400a a a a a +++++= ，所以40759a =.故答案为：759四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2cos 2c B a b ⋅=+.（1）求角C 的大小；（2）若1b =，c =，ACB ∠的角平分线交AB 于D ，求CD 的值.【答案】（1）2π3C =（2）23CD =【解析】【分析】（1）根据正弦定理及两角和的正弦公式化简可得1cos 2C =-，进而求解即可；（2）先由余弦定理可得2a =，进而结合等面积法ABC ADC BDC S S S =+ 进行求解即可.【小问1详解】∵2cos 2c B a b ⋅=+，由正弦定理得，2sin cos 2sin sin C B A B =+，∴()2sin cos 2sin sin C B B C B =++，∴2sin cos 2sin cos 2cos sin sin C B B C B C B =++，∴2cos sin sin C B B =-，即1cos 2C =-，∵()0,πC ∈，∴2π3C =.【小问2详解】由余弦定理得，2222cos c a b ab C =+-，∴2271a a =++，解得2a =或3a =-（舍去），由ABC ADC BDC S S S =+ ，∴1111212222222CD CD ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯，∴23CD =.18.某商场举办为期一周的店庆购物优惠活动，不仅购物有优惠，还有抽奖活动.（1）已知该商场前5天店庆活动当天成交额如表所示：天12345成交额（万元）912172127求成交额y （万元）与时间变量x 的线性回归方程，并预测活动第6天的成交额（万元）；（2）小明分别获得A 、B 两店的抽奖机会各一次，且抽奖成功的概率分别为p 、q ，两次抽奖结果互不影响.记小明中奖的次数为ξ.求ξ的分布列及()E ξ；附：对于一组具有线性相关关系的数据()()()1122,,,,,n n x y x y x y ⋯，其回归直线ˆˆˆy a bx=+的斜率和茷距的最小二乘估计分别为()()()121ˆn ii i ni i x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-.【答案】（1）ˆ 4.5 3.7yx =+，30.7万元（2）分布列见解析，()E p qξ=+【解析】【分析】（1）计算出样本中心，求出回归系数，即可得到回归直线方程，将6x =代入回归方程求解即可；（2）先求出随机变量的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可．【小问1详解】由已知可得1234535x ++++==，91217212717.25y ++++==5119212317421527303i i i x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，522222211234555i i x ==++++=∑.所以515122ˆ553035317.245 4.5553105i i ii i x y x y b x x ==--⨯⨯====-⨯-∑∑，所以17.2 4.53 3.7ˆˆa y bx=-=-⨯=，所以ˆ 4.5 3.7y x =+.当6x =时，ˆ 4.56 3.730.7y =⨯+=（万元），所以预测活动第6天的成交额为30.7万元；【小问2详解】由题意知，ξ的所有可能取值为0，1，2.()()()011P p q ξ==--，()()()111P p q q p ξ==-+-，()2P pqξ==所以X 的分布列为ξ012P ()()11p q --()()11p q q p -+-pq ∴()0(1)(1)1[(1)(1)]2E p q p q q p pq p q ξ=⨯--+⨯-+-+⨯=+.19.如图，四边形ABCD 为菱形，//EF 平面ABCD ，过EF 的平面交平面ABCD 于AC ，2EF AC EC ===.（1）求证：//DE 平面ABF ；（2）若平面ABCD ⊥平面ACEF ，60ACE ∠=︒，且四棱锥E ABCD -的体积是，求直线ED 与平面BCE 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）根据题意，由面面平行的判定定理可得平面//CDE 平面ABF ，再由其性质定理即可得到//DE 平面ABF ；（2）方法一：根据题意，由线面角的定义，代入计算，即可得到结果；方法二：建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可得到结果.【小问1详解】证明：∵//EF 平面ABCD ，过EF 的平面交平面ABCD 于AC ，∴//EF AC ，又∵EF AC EC ==，∴四边形ACEF 为菱形∴//AF CE ，∵AF ⊂平面ABF ，CE ⊄平面ABF ，∴//CE 平面ABF .又∵四边形ABCD 为菱形，∴同理//CD 平面ABF ，∵CD CE C = ，,CE CD ⊂平面CDE ，∴平面//CDE 平面ABF ，又DE ⊂平面CDE ，∴//DE 平面ABF ；【小问2详解】设ED 与平面BCE 所成角为θ连接BD 交AC 于点O ，连接EO ，∵AC EC =，且60ACE ∠=︒，则ACE △为等边三角形，又四边形ABCD 为菱形，则O 为AC 中点，∴OEAC ⊥又∵平面ABCD ⊥平面ACEF ，且交线为AC∴OE ⊥平面ABCD∵2EF AC EC ===，∴OE =∴111326E ABCD V BD AC BD -=⋅⋅⋅⋅⋅∴6BD =.法一：常规法：作OG BC ⊥于G ，连接EG ，作OH EG ⊥于H ，因为OE ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以OE BC ⊥，且OG OE O ⋂=，,OG OE ⊂平面OEG ，所以BC ⊥平面OEG ，且OH ⊂平面OEG ，所以BC OH ⊥，EG BC G ⋂=，,EG BC ⊂平面BEC ，∴OH ⊥平面BCE ，因为OC OB ^，111,322OC AC OB BD ====则BC ==OBC 中，由等面积法可知，1122OB OC BC OG ⋅=⋅，则OB OC OG BC ⋅==则EG==，在三角形OEG中，由等面积法可得，1123EG OH OE OG⋅=⋅，则OE OGOHEG⋅==，∵D到平面BCE的距离是O到平面BCE距离OH的两倍，∵Dh=，由OE⊥平面ABCD，OD⊂平面ABCD，所以OE OD⊥，则222DE EO DO=+，∴DE=sin13DhDEθ==.法二：建系：以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，建立直角坐标系，∴()0,0,0O，(E，()3,0,0B，()3,0,0D-，()0,1,0C，∴(DE=，(BE=-，(0,CE=-，令平面BCE的法向量为(),,n x y z=，则BE nCE n⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，30xy⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，∴(n=∴39sin cos,13DE nDE nDE nθ⋅===.20.已知数列{}n a是公差为d（0d≠）的等差数列，n S是{}n a的前n项和，*Nn∈.（1）若314a=，且639S S S>>，求公差d的取值范围；（2）若12a d=，数列{}n b a的首项为1a，满足12n nb ba a+=，求数列{}n b的前n项和n T.【答案】（1）74d-<<-（2）122nnT n+=--【解析】【分析】（1）根据已知可推得639300S S S S ->⎧⎨-<⎩，根据等差数列的性质结合已知化简得出3321420272870a d d a d d +=+>⎧⎨+=+<⎩，求解即可得出答案；（2）根据已知可推得()1121n n b b ++=+，{}1n b +是以2为首项，公比为2的等比数列，求出21n n b =-.分组求和结合等比数列的前n 项和公式，即可得出答案.【小问1详解】由题意得639300S S S S ->⎧⎨-<⎩，即()4565456789673030a a a a a a a a a a a a ++=>⎧⎨+++++=+<⎩，所以，56700a a a >⎧⎨+<⎩，化简得3321420272870a d d a d d +=+>⎧⎨+=+<⎩，解得74d -<<-，所以，公差d 的取值范围为74d -<<-.【小问2详解】由题意得11b =，因为{}n a 为等差数列，满足12n n b b a a +=，所以()()111121n n a b d a b d ++-=+-⎡⎤⎣⎦.又12a d =，所以()()121221n n d b d d b d ++-=+-⎡⎤⎣⎦，化简得()1121n n b b ++=+，所以，{}1n b +是以2为首项，公比为2的等比数列，所以，12n n b +=，即21n n b =-，所以，12n n T b b b =+++ 2212121n =-+-++-()12122212nn n n +-=-=---.21.已知双曲线E ：22221y x a b-=（0a >，0b >）过点()3,2Q ，且离心率为2，2F ，1F 为双曲线E 的上、下焦点，双曲线E 在点Q 处的切线l 与圆2F ：()2210x y c +-=（c =）交于A ，B 两点.（1）求1F AB 的面积；（2）点P 为圆2F 上一动点，过P 能作双曲线E 的两条切线，设切点分别为M ，N ，记直线1MF 和1NF 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k 为定值.【答案】（1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求切线方程，再结合直线与圆的位置关系可求得1F AB 的面积；（2）先求切线方程，找出M ，N 两点坐标的关系式，再利用韦达定理化简可得.【小问1详解】∵222224912a b c a c a b ⎧-=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，∴22132a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴2213x y -=设过曲线上一点的切线的方程为：y kx t =+，由2213x y y kx t ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩可得()222316330k x ktx t -++-=，则()()()222Δ6431330kt k t =---=，即22310k t +-=.又因为切点为Q ，所以23k t =+，所以解得12k t ==，则过点Q 的切线l 的方程为：21y x -=.设()11,A x y ，()22,B x y ，∴l 交y 轴于点10,2H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，联立直线l 与圆2F 的方程()2221210y x x y -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩消y 得256310x x --=，∴1265x x +=，12315x x =-.∴125x x -==，∴111211144122225F AB S F H x x ⎛⎫=⋅-=+⋅= ⎪⎝⎭△.【小问2详解】设()00,P x y ，()33,M x y ，()44,N x y ，则()2200210x y +-=设过点()33,M x y 的双曲线的切线方程为：y kx t =+，由（1）可知22310k t +-=，又因为33y kx t =+，则()2233310k y kx +--=，即()22233333210x k x y k y +-+-=（*）而223313x y -=，所以223333x y +=，223313x y -=，则（*）式可化为2223333960y k x y k x -+=，即()23330y k x -=可得333x k y =，3331t y kx y =-=，则切线方程为33313x y x y y =+，整理可得过点M 的双曲线的切线方程为3313x x y y -=.同理可得过点N 的双曲线的切线方程为4413x x y y -=.又两切线均过点()00,P x y ，则303040401313x x y y x x y y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，因此，直线MN 的方程为0013x x y y -=联立直线MN 与双曲线E 的方程00221313x x y y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消y 可得()()2222000036990x y x x x y -++-=，故03422002034220063993x x x x y y x x x y -⎧+=⎪-⎪⎨-⎪⋅=⎪-⎩所以()()003434000011222233x x y y x x y y y y ⎛⎫⎛⎫++=++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()22220000000343422200000034411212933x y y x x y y x x x x y y y y x y ---⎛⎫++=+⋅++= ⎪-⎝⎭因为()2200210x y +-=，则()2200102x y =--，则222000044155x y y y ---=-所以()()22203004122223400035523253391y y x y y k k x x x y y -+-+=⋅=⋅=--.【点睛】关键点睛：（1）本问考查直线与圆相关的面积问题，关键点是先求出过双曲线上一点的切线方程，再联立直线与圆的方程，通过切割三角形来求1F AB 的面积.（2）本问考查双曲线的定值问题，解题关键是先求出过双曲线上点M 、N 的切线方程，再通过两条切线交点为P ，得出直线MN 的方程，再联立直线MN 与双曲线E 的方程，通过韦达定理来化简计算出12k k 为定值.22.已知函数()ln f x a x x =+，a R ∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若存在2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，使()1ln 2f x ax x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭成立，求实数a 的取值范围.注：e 为自然对数的底数.【答案】（1）答案见解析（2）12a ≥【解析】【分析】（1）求出函数的导数，对a 讨论，分为0a ≥和a<0两种情形，通过导数与0的关系可判断单调区间；（2）依题转化为1ln 2x ax a x -+≤，设()ln x g x ax a x=-+，即min 1()2g x ≤，，应用导数求最值，对对a 讨论，分为0a ≤和10a 4<<，1a 4≥三种情形讨论即可求解.【小问1详解】∵()ln f x a x x =+，定义域为(0,)+∞，∴()1a x a f x x x+'=+=，当0a ≥时，∴()0f x '≥，∴()f x 的递增区间是()0,∞+；当a<0时，由()0x a f x x+'=>，得x a >-，∴()f x 的递增区间是(),a -+∞，()0x a f x x+'=<，得x a <-，递减区间是()0,a -；【小问2详解】∵()1ln 2f x ax x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，∴1ln ln 2a x x ax x ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭，∴1ln 2x ax a x -+≤，设()ln x g x ax a x=-+，∴()22ln 1111ln ln 24x g x a a x x '-⎛⎫=-=--+- ⎪⎝⎭，当0a ≤，()0g x '≥，()g x 在2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦上单调递增，∴()()min 2e e e 1g x g a a ==-+≤，121e e a -≥-，不符合题意，当10a 4<<，则存在唯一的20,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使得()00g x '=.当[]0,e x x ∈，使得()00g x '<，当20e ,x x ⎡⎤∈⎣⎦，使得()00g x '>.当[]0,e x x ∈，()g x 单调递减，当20e ,x x ⎡⎤∈⎣⎦，()g x 单调递增，∴()()000min 01ln 2x g x g x ax a x ==-+≤，∴00000200ln e 211111111ln 212212x x x a x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥->-=-= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，这与10a 4<<矛盾.当1a 4≥，()0g x '≤，()g x 在2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦上单调递减，∴()()222122e e e g x g a a ==-+≤，∴12a ≥，综上，12a ≥【点睛】本题主要考查导数的运用：求单调区间和最值，考查能成立问题，构造函数是关键，也是常用的一种手段．通过求构造函数的最值即可，属于中档题．。
浙江省2019届高三三县上学期期中联考数学文试题
2019学年第一学期期中考试高三（理）数学试卷本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间为120分钟.第 Ⅰ 卷 （选择题 共50分）注意事项：用钢笔或圆珠笔将题目做在答题卷上，做在试题卷上无效.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. =︒330tan (A) 3 (B)3- (C)33 (D) 33-2.函数f (xlg(1)x -的定义域是(A ) [-1,4] (B ) [1,4] （C ） (1, 4] （D ）（-1, 4]3. 若b a ,为实数，则“1≤+b a ”是“21≤a 且21≤b ”的 (A)必要而不充分条件 (B)充分而不必要条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件4. 函数)1ln()(xx x f -=的图象是5．已知534sin =⎪⎭⎫⎝⎛-πα，则=α2sin (B)(C) (D)(A)(A) 2524- (B)2524(C) 257-(D) 2576. 在△ABC 中，点M 满足0=++MC MB MA ，若 0=++AM m AC AB ，则实数m 的值是 (A) 3 (B) 23 (C) 23- (D)3-7．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且224,6a S ==，则64n nS a +的最小值是 (A) 7 (B)152(C) 8(D)1728. 若实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+0033022m y x y x y x ，且x y +的最小值为1-，则实数m 的值是（A ）0 （B ）1- （C ）1 （D ）29．函数()M f x 的定义域为R ，且定义如下：1(),()0(),M x M f x x M ∈⎧=⎨∉⎩（其中M 为非空数集且R M ⊆），在实数集R 上有两个非空真子集A 、B 满足AB =∅，则函数()1()()()1A B A B f x F x f x f x +=++的值域为(A) ∅ (B) {12} (C) {1} (D) {12,1}10．将函数1y =[])20(，∈x 图像绕原点逆时针方向旋转角θ)0(αθ≤≤，得到曲线C .若对于每一个旋转角θ，曲线C 都是一个函数的图像，则α的最大值是(A)6π(B)4π (C)3π (D)2π第 Ⅱ 卷 （非选择题 共100分）注意事项：将卷Ⅱ的题目做在答题卷上，做在试题卷上无效.二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11.公差为1的等差数列{}n a 满足2469a a a ++=，则579a a a ++的值等于 ▲ ．12.已知a 与b 为两个不共线的单位向量，若向量a +b 与向量k a -b 垂直，则实数k = ▲ .13．在直角三角形ABC 中，，1,==⊥AC AB AC ABDC BD21=，则⋅的值等于 ▲ ． 14．函数()sin()f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ是常数，0A >，0ω>）的部分图象如右图所示，则(0)f 的值是 ▲ .15.圆014222=+-++y x y x 关于直线 ),(022R b a by ax ∈=+-对称，则b a ⋅的取值范围 是_ __ ▲ ____ .16.等比数列{}n a 中，120121,9a a ==，函数122012()()()()2f x x x a x a x a =---+，则曲线()y f x = 在点(0,(0))f 处的切线方程为 ___ ▲ _____ .17.函数y ＝11－x 的图象与函数2sin y x π= (24x -≤≤)的图象所有交点的横坐标之和等于 ▲ .三、解答题：本大题共5小题．共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（本题满分14分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,且满足sin cos b A B =． (Ⅰ)求角B 的值； (Ⅱ)若cos 2A =sin C 的值．19.（本题满分14分） 函数22x y -=和213y x =的图象如图所示，其 中有且只有1x x =、2x 、3x 时，两函数数值相等，且1230x x x <<<，o 为坐标原点．(Ⅰ)请指出图中曲线1C 、2C 分别对应的函数； (Ⅱ)现给下列三个结论： ①当(,1)x ∈-∞-时，22x -<213x ； ②2(1,2)x ∈；③3(4,5)x ∉， 请你选择两个结论判定其是否 成立，并说明理由．20. (本题满分14分)已知数列}{n a ，}{n b 满足：291=a ，n n n a a 2621⋅=-+, 12+-=n n n ab (∈n N *)． (Ⅰ)证明数列}{n b 为等比数列．并求数列}{n a ，}{n b 的通项公式； (Ⅱ)记数列}{n a ，}{n b 的前n 项和分别为n n T S ,，若对任意的∈n N*都有nn n b m T S ≤，求实数m 的最小值．21．(本题满分15分) 已知二次函数)0,,,()(2≠∈++=a R c b a c bx ax x f ，0)0()2(==-f f ，)(x f 的最小值为1-．(Ⅰ)求函数)(x f 的解析式；(Ⅱ)设()()()1g x f x m f x =--+，若)(x g 在]1,1[-上是减函数，求实数m 的取值范围；22．(本题满分15分)已知定义在R 上的偶函数()f x 的最小值为1，当[0,)x ∈+∞时，()xf x ae =．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）求最大的整数(1)m m >，使得存在t R ∈，只要[1,]x m ∈，就有()f x t ex +≤．(注:e 为自然对数的底数)第19题图高三数学（理科）参考答案18. 在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,且满足sin cos b A B =． (Ⅰ)求角B 的值；(Ⅱ)若cos2A =sin C 的值．解：(Ⅰ)由正弦定理BbA a sin sin =及已知条件sin cos b AB 得…………………2分 B A A B cos sin 3sin sin =,………………………………………………4分 又因为0sin ≠A ,所以B B cos 3sin =，即3tan =B ，……………………6分又),0(π∈B ,所以3π=B ;…………………………………………………7分(Ⅱ)因为cos2A =5312cos2cos 2=-=A A ,………………………9分 又),0(π∈A ,所以54sin =A ，由(Ⅰ)知32π=+C A ，………………………11分 所以10334sin 32cos cos 32sin )32sin(sin +=-=-=A A A C πππ.…………14分 19．函数22x y -=和213y x =的图象如图所示，其 中有且只有1x x =、2x 、3x 时，两函数数值相等，且1230x x x <<<，o 为坐标原点． (Ⅰ)请指出图中曲线1C 、2C 分别对应的函数； (Ⅱ)现给下列三个结论： ①当(,1)x ∈-∞-时，22x -<213x ； ②2(1,2)x ∈；③3(4,5)x ∉， 请你选择两个结论判定其是否 成立，并说明理由．解：（Ⅰ）1C 为213y x =，2C 为22x y -=； ………………………………………5分 （Ⅱ）结论①成立，理由如下：函数22x y -=在(,1]-∞-上是增函数，∴(,1)x ∈-∞-时，2121228x ---<=.又函数213y x =在(,1]-∞-上是减函数， ∴(,1)x ∈-∞-时，22111(1)333x >⨯-=而1183<，所以当(,1)x ∈-∞-时，22123x x -<；结论②成立，理由如下： 构造函数221()23x f x x -=-， 则11(1)0,(2)063f f =>=-< ∴()f x 在区间(1,2)内有零点.同理()f x 在区间（5，6）内有零点，由题意∴2(1,2)x ∈ ；3(5,6)x ∈. 结论③成立，理由同② …………………………………14分 20．已知数列}{n a ，}{n b 满足：291=a ，n n n a a 2621⋅=-+, 12+-=n n n ab (∈n N *)． (Ⅰ)证明数列}{n b 为等比数列．并求数列}{n a ，}{n b 的通项公式； (Ⅱ)记数列}{n a ，}{n b 的前n 项和分别为n n T S ,，若对任意的∈n N*都有nn n b m T S ≤，求实数m 的最小值．解：（Ⅰ）由已知得 1212)2(2+++-=-n n n n a a ，……………………………2分所以n n b b 211=+， 因为211=b ，所以}{n b 为等比数列. ………………………………………4分所以n n b )21(=， ……………………………………………6分进而n n n a )21(21+=+. ……………………………………………7分（Ⅱ）1211422121)2121()222(2132+--=++++++++=++n n n n n nn T S 124+⋅=n ……………………………10分则n n n m 21421)124(+=+⋅≥对任意的∈n N *成立． ……………………12分 所以数列}214{n +是递减数列，所以29)214(max =+n所以m 的最小值为29． ……………………………………………………14分 21. 已知二次函数)0,,,()(2≠∈++=a R c b a c bx ax x f ，0)0()2(==-f f ，)(x f 的最小值为1-． (Ⅰ)求函数)(x f 的解析式；(Ⅱ)设()()()1g x f x m f x =--+，若)(x g 在]1,1[-上是减函数，求实数m 的取值范围； 解: （Ⅰ） 由题意设)2()(+=x ax x f ，…………………………………………3分 ∵ )(x f 的最小值为1-，∴ 0>a ，且1)1(-=-f ，∴ 1=a ，∴ x x x f 2)(2+= . ………………………………………………………6分 （Ⅱ）∵ 1)1(2)1()(2++--=x m x m x g ， ………………………………8分 ① 当1=m 时，14)(+-=x x g 在[-1, 1]上是减函数，∴ 1=m 符合题意. ……………………………………………………10分② 当1≠m 时，对称轴方程为：mmx -+=11， ⅰ）当01>-m ，即 1<m 时，抛物线开口向上，由111≥-+mm， 得 m m -≥+11 ， ∴ 10<≤m ；……12分 ⅱ）当01<-m ， 即 1>m 时，抛物线开口向下，由111-≤-+mm，得 m m +-≥+11， ∴1>m . ……14分 综上知，实数m 的取值范围为[)∞+,0．………………………………15分22. 已知定义在R 上的偶函数()f x 的最小值为1，当[0,)x ∈+∞时，()xf x ae =．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）求最大的整数(1)m m >，使得存在t R ∈，只要[1,]x m ∈，就有()f x t ex +≤．(注:e 为自然对数的底数)解：（Ⅰ）因为()xf x ae =为单调函数，故(0)1f =，得1a =, ………………2分当0x <时，0x ->，则()()3xf x f x e -=-=综上：,0(),0x x e x f x e x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩ ; …………………………………5分（Ⅱ）因为任意[1,]x m ∈，都有()f x t ex +≤ 故(1)f t e +≤且()f m t em +≤当10t +≥时，1te e +≤，从而11t +≤，10t ∴-≤≤ 当10t +<时，(1)t ee -+≤，从而(1)1t -+≤，21t ∴-≤<- 综上20t -≤≤2m ≥，故0m t +> 故()f m t em +≤得：m teem +≤ 即存在[2,0]t ∈-，满足tmem e e ≤2min {}t m eme e e-∴≥=，即30m e e m -≤ 令3()xg x e e x =-，[2,)x ∈+∞，则3'()xg x e e =- 当(2,3)x ∈时，'()0g x <，()g x 单调递减 当(3,)x ∈+∞时，'()0g x >，()g x 单调递增又3(3)20g e =-<，3(2)0g e =-<，3(4)(4)0g e e =-<，32(5)(4)0g e e =-> 由此可见，方程()0g x =在区间[2,)+∞上有唯一解0(4,5)m ∈， 且当0[2,]x m ∈时()0g x ≤，当0[,)x m ∈+∞时()0g x ≥m Z ∈，故max 4m =，此时2t =-. ………………………………12分下面证明：|2|(2)x f x e ex --=≤对任意[1,4]x ∈恒成立①当[1,2]x ∈时，即2xeex -≤，等价于x e xe ≤[1,2]x ∈，,1x e e x ∴≥≥，x xe e ≥②当[2,4]x ∈时，即2x eex -≤，等价于3max {}0x e x --≤令3()x h x e x -=-，则3'()1x h x e -=-()h x ∴在(2,3)上递减，在(3,4)上递增max max{(2),(4)}h h h ∴=而1(2)20,(4)40h h e e=-<=-< 综上所述，(2)f x ex -≤对任意[1,4]x ∈恒成立. …………………15分。
浙江省9 1高中联盟2019届高三上学期期中考试数学试题含答案
浙江省9 1高中联盟2019届高三上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合，，则A∩B=（）A. B. C. D.2.已知i是虚数单位，若复数z满足zi=1+i，则z2=（）A. B. 2i C. D. 23.已知双曲线C：=1（b＞0）的离心率为，则焦点到渐近线的距离为（）A. 2B.C. 4D. 84.若x、y满足约束条件，则z=x+y的最大值是（）A. B. 1 C. 2 D. 45.已知x，y都是实数，则“x≤y“是“|x|≤|y|”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.函数f（x）=e x•ln|x|的大致图象为（）A. B. C. D.7.若cosα=2（1+sinα），α≠2k，k∈Z，则tanα=（）A. B. C. D.8.若正实数x，y满足ln（x+2y）=ln x+ln y，则2x+y取最小值时，x=（）A. 5B. 3C. 2D. 19.若方程x3-2ax2+（a2+2）x=4a-有四个不相等的正根，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.10.设I是含数π的有限实数集，f（x）是定义在I上的函数，若f（x）的图象绕坐标原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（π）的取值不可能是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.log39=______；若a=log43，则2a=______．12.已知随机变量ξ的分布列如表，若当Eξ=时，则a=______，D（ξ）=______．13.以广乘之，又以高乘，用六归之．如屋脊：上斜下平．”刘徽注曰：止斩方亭两边，合之即“刍甍”之形也．即将方台的两边切下来合在一起就是“刍甍”，是一种五面体（如图）：矩形ABCD，棱EF∥AB，AB=4，EF=2，△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形，则此几何体的表面积为______，体积为______．14.已知F1，F2分别为椭圆C：+y2=1（a＞1）的左、右焦点，点F2关于直线y=x的对称点Q在椭圆上，则长轴长为______；若P是椭圆上的一点，且|PF1|•|PF2|=，则S△ =______．15.将1，2，3，4，5，6随机排成一行，记为a，b，c，d，e，f，则使a×b×c+d×e×f是偶数的排列有______种．（用数字作答）16.设平面向量，满足1≤||≤2，2≤||≤3，则||+|-|的取值范围是______．17.设数列{a n}满足a n+1=2（|a n|-1），n∈N*，若存在常数M＞0，使得对于任意的n∈N*，恒有|a n|≤M，则a1的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知函数＞，＞，＜的部分图象如图所示：（1）求函数f（x）的解析式；（2）若锐角α满足，角β满足，求sinβ的值．19.如图，△ABC为正三角形，且BC=CD=2，CD⊥BC，将△ABC沿BC翻折．（I）若点A的射影在BD上，求AD的长；（Ⅱ）若点A的射影在△BCD内，且直线AB与平面ACD所成角的正弦值为，求AD的长．20.设各项为正项的数列{a n}，其前n项和为T n，a1=2，a n a n+1=6T n-2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=2n，求数列{|a n-b n|}的前n项和S n．21.已知抛物线C：y2=4x上动点P（x1，y1），点A在射线1：x-2y+8=0（y≥0）上，满足PA的中点Q在抛物线C上．（I）若直线PA的斜率为1，求点P的坐标；（Ⅱ）若射线1上存在不同于A的另一点B，使得PB的中点也在抛物线C上，求|AB|的最大值．22.已知函数f（x）=x-ln x-a有两个不同的零点x1，x2．（1）求实数a的取值范围；（2）证明：x1+x2＞a+1．参考答案1.【答案】C2.【答案】A3.【答案】B4.【答案】D5.【答案】D6.【答案】A7.【答案】C8.【答案】B9.【答案】A10.【答案】B11.【答案】2【解析】解：log39=2；若a=log43，则4a=3，∴2a =．故答案为：2，．利用对数、指数的性质、运算法则直接求解．本题考查对数式、指数式化简求值，考查对数、指数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.【答案】【解析】解：根据ξ的分布列得：+a+b=1，…①∵Eξ=，∴0×a+1×b+2×=1，…②由①②联立得a=，b=，∵η=aξ+b∴D（ξ）=（0-）2×+（1-）2×+（2-）2×==．故答案为：；．利用概率的性质和期望构建关于a、b的方程组，求出a、b值，然后利用方差公式求解即可．本题考查了概率的性质、分布列及期望，解决本题要注意利用概率和为1这一条件，还要会利用Eη=aEξ+b ．13.【答案】8+8【解析】解：由题意知该五面体的表面积为： S=S 矩形ABCD +2S △ADE +2S 梯形ABFE =2×4+2××2×+2××（2+4）×=8+8；过F 作FO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，取BC 的中点P ，连结PF ， 过F 作FQ ⊥AB ，垂足为Q ，连结OQ ． ∵△ADE 和△BCF 都是边长为2的等边三角形， ∴OP=（AB-EF ）=1，PF=，OQ=BC=1，∴OF=，采用分割的方法，分别过F ，E 作与平面ABCD 垂直的平面，这两个平面把几何体分割成三部分， 如图，包含一个三棱柱EMN-FQH ，两个全等的四棱锥：E-AMND ，F-QBCH ， ∴这个几何体的体积： V=V EMN-FQH +2V F-QBCH=S △QFH ×MQ+2×S 矩形QBCH ×FQ =×2××2+2××1×2×=．故答案为：8+8；．由题意知两个三角形全等，两个梯形全等，由此求出五面体的表面；采用分割的方法，分别过F ，E 作与平面ABCD 垂直的平面，这两个平面把几何体分割成三部分，包括一个三棱柱和两个四棱锥，其中两个四棱锥的体积相等，三者相加得到几何体的体积．本题考查不规则几何体的体积求法，考查运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想方法和数学转化思想方法，是中档题．14.【答案】【解析】求出点F2关于直线y=x的对称点Q，代入椭圆方程求得a，则长轴长可求；利用余弦定理结合椭圆定义求得sin∠F1PF2，代入三角形面积公式得答案．解：由椭圆C：+y2=1（a＞1），知c=．∴F2（，0），点F2关于直线y=x的对称点Q（0，），由题意可得：，即a=，则长轴长为2；∴椭圆方程为．则|PF1|+|PF2|=2a=2，又|PF1|•|PF2|=，∴cos∠F1PF2===．∴sin∠F1PF2=．则S==．故答案为：；．求出点F2关于直线y=x的对称点Q，代入椭圆方程求得a，则长轴长可求；利用余弦定理结合椭圆定义求得sin∠F1PF2，代入三角形面积公式得答案．本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆定义及余弦定理的应用，是中档题．15.【答案】648【解析】解：1，2，3，4，5，6随机排成一列，共有A66=720种，abc+def为偶数等价于“a，b，c不全为奇数，且d，e，f不全为奇数“∴共有A66-2A33A33=648，故答案为：648利用间接法，先求出1，2，3，4，5，6随机排成一列，再排除再求a，b，c全为奇数，且d，e，f全为奇数的种=即可本题考查排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题16.【答案】[4，2]．【解析】设t=||+|-|，t2=2+2+2+2+2-2+2|||-|=2（2+2）+2|+||-|，当（）⊥（-）时，即||=||=2且=0，t2min=2×（22+22）=16，t min=4，当||=|-|时，2|||-|≤||2+|-|2=2（2+2）∴t2max=4（2+2）=4（22+32）=4×13，t max=2，综上所述，的取值范围是[4，2]．故答案为：[4，2]．根据即可求出的范围，进而得出的取值范围．考查向量数量积的运算和向量模长的计算．17.【答案】[-2，2]【解析】解：由题意，存在常数M＞0，使得对于任意的n∈N*，恒有|a n|≤M，∴|a n+1|≤M，∴得-M≤a n+1≤M①；∵又a n+1=2（|a n|-1）可得-M≤2（|a n|-1）≤M；即……②；由①②相等，可得：M=2，故得a1的取值范围是[-2，2]．故答案为：[-2，2]．由题意，存在常数M＞0，使得对于任意的n∈N*，恒有|a n|≤M，可得-M≤a n≤M；得-M≤a n+1≤M，代入已知即可得出结果．本题考查数列递推式，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．18.【答案】解：（1）由图象可得A=-2，T=+=，即T=π，∴ω==2，∵f（）=2sin（2×+φ）=-1，解得φ=，∴f（x）=2sin（2x+）．（2）∵，∴2sinα=，∴sinα=，cosα=，∵ ，∴cos（α-β）=±，∴sinβ=sin（α-（α-β））=sinαcos（α-β）-cosαsin（α-β），即sinβ=或-．【解析】（1）由图象可得A=-2，T=+=，即T=π，代值计算求出φ=，（2）先求出sinα=，cosα=，再根据两角差的正弦公式即可求出．本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，三家函数的化简和计算，属于基本知识的考查．19.【答案】解：（1）过A作AE⊥BD交BD于E，则AE⊥平面BCD．取BC中点O，连接AO，OE，∵AE⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，∴AE⊥BC，△ABC是正三角形，∴BC⊥AO，又AE∩AO=A，AE，AO⊂平面AOE，∴BC⊥平面AOE，∴BC⊥OE．又BC⊥CD，O为BC的中点，∴E为BD的中点．∵BC=CD=2，∴OE=CD=1，AO=，BD=2，∴DE=，AE=．∴AD=；（2）以O为原点，以BC为x轴，以BE为y轴，以平面BCD的过O的垂线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示：设二面角D-BC-A为θ，则A（0，cosθ，sinθ），B（-1，0，0），C（1，0，0），D（1，2，0）．∴=（1，cosθ，sinθ），=（0，2，0），=（-1，cosθ，sinθ），设平面ACD的法向量为=（x，y，z），则，令z=1，得=（sinθ，0，1）．∴|cos＜，＞|==，解得sinθ=．∴A（0，，），又D（1，2，0）．∴|AD|=．【解析】（1）过A作AE⊥BD交BD于E，则AE⊥平面BCD，证明BC⊥平面AOE得出E为BD的中点，利用勾股定理计算|AD|；（2）以O为原点建立空间坐标系，设二面角D-BC-A为θ，用θ表示出A的坐标，求出和平面ACD的法向量，令|cos＜，＞|=，得出sinθ，从而得出A点坐标，代入两点间的距离公式求出|AD|．本题考查了空间角及空间距离的计算，考查空间向量的应用，属于中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）各项为正项的数列{a n}，其前n项和为T n，a1=2，a n a n+1=6T n-2，可得a1a2=6T1-2=2a2=12-2=10，解得a2=5，由n≥2时，a n a n+1=6T n-2，可得a n-1a n=6T n-1-2，两式相减可得a n（a n+1-a n-1）=6a n，a n＞0，可得a n+1-a n-1=6，可得数列的奇数项和偶数项均为公差为6的等差数列，可得正项的数列{a n}为2，5，8，11，14，17，…，即有正项的数列{a n}的通项公式为a n=2+3（n-1）=3n-1；（Ⅱ）|a n-b n|=|3n-1-2n|，当1≤n≤3时，前n项和S n=（2+…+3n-1）-（2+…+2n）=n（3n+1）-=n（3n+1）-2n+1+2；当n≥4时，前n项和S n=1+（16+…+2n）-（11+…+3n-1）=1-（n-3）（3n+10）+=2n+1-n（3n+1）．综上可得前n项和S n=，，，∈．【解析】（Ⅰ）令n=1，求得a2=5，将n换为n-1，两式相减可得数列的奇数项和偶数项均为公差为6的等差数列，再由等差数列的通项公式即可得到所求通项；（Ⅱ）讨论当1≤n≤3时，n≥4时，去绝对值，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等差数列的定义、通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和，注意运用分类讨论思想，考查运算能力和推理能力，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）设直线PA的方程为y=x+b，则A（8-2b，8-b），设Q（x2，y2），由，得y2-4y+4b=0．由△=16-16b＞0，得b＜1．y1+y2=4，y1y2=4b．又y1+8-b=2y2，解得或．经检验都是方程的解，∴P（0，0）或（16，-8）；（Ⅱ）设A（2t1-8，t1），B（2t2-8，t2），t1，t2≥0．则由PA得中点Q（，）在抛物线C上，可得，整理得：．同理：．∴t1，t2是方程的两个不相等非负根．∴ △ ＞＞，解得-8≤y1＜0．∴|AB|=．当且仅当y1=-8时取“=”．∴|AB|的最大值为．【解析】（Ⅰ）设直线PA的方程为y=x+b，则A（8-2b，8-b），设Q（x2，y2），联立直线方程与抛物线方程，由判别式大于0求得b的范围，然后结合点A在射线1：x-2y+8=0（y≥0）上及根与系数的关系求解点P的坐标；（Ⅱ）设A（2t1-8，t1），B（2t2-8，t2），t1，t2≥0，由PA得中点Q在抛物线C上，可得，同理，可知t1，t2是方程的两个不相等非负根，然后利用根的分布求得-8≤y1＜0，再把|AB|转化为含有y1的函数式求解．本题考查直线与抛物线综合，考查数学转化思想方法与整体运算思想方法，考查函数与方程思想的应用，考查计算能力，是难题．22.【答案】解：（1）∵函数f（x）=x-ln x-a∴f′（x）=1-，当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，故当x=1时，函数f（x）=x-ln x-a取最小值1-a，若函数f（x）=x-ln x-a有两个不同的零点x1，x2．则1-a＜0，即a＞1；证明：（2）若函数f（x）=x-ln x-a有两个不同的零点x1，x2．则x1-ln x1=a，且x2-ln x2=a，故x1+x2=2a+ln x1+ln x2=2a+ln（x1•x2），若证x1+x2＞a+1．即证：x1+x2+ln（x1•x2）＞2．即2+ln（x1•x2）≥2．令x1•x2=t，由（1）中a＞1得：t≥1则只需证2+ln t≥2设g（t）=2+ln t，则g′（t）=+=＞0，∴g（t）为增函数，又由g（1）=2故2+ln t≥2，原不等式得证【解析】（1）函数f（x）=x-lnx-a有两个不同的零点x1，x2．则函数f（x）=x-lnx-a的最小值1-a＜0；（2）令x1•x2=t，由（1）中a＞1得：t≥1，则只需证2+lnt≥2，设g（t）=2+lnt，可得结论．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．。
2018-2019学年浙江省9+1高中联盟高三(上)期中数学试卷
2018-2019学年浙江省9+1高中联盟高三（上）期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合，则A∩B=（）A. {x|1＜x≤2}B. {x|0≤x≤1}C. {x|1≤x≤2}D. {x|0≤x≤2}2.已知i是虚数单位，若复数z满足zi=1+i，则z2=（）A. -2iB. 2iC. -2D. 23.已知双曲线C：=1（b＞0）的离心率为，则焦点到渐近线的距离为（）A. 2B. 2C. 4D. 84.若x、y满足约束条件，则z=x+y的最大值是（）A. -5B. 1C. 2D. 45.已知x，y都是实数，则“x≤y“是“|x|≤|y|”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.函数f（x）=e x•ln|x|的大致图象为（）A. B.C. D.7.若cosα=2（1+sinα），α≠2k，k∈Z，则tanα=（）A. B. C. D.8.若正实数x，y满足ln（x+2y）=ln x+ln y，则2x+y取最小值时，x=（）A. 5B. 3C. 2D. 19.若方程x3-2ax2+（a2+2）x=4a-有四个不相等的正根，则实数a的取值范围是（）A. a＞3B. a＞2C. 2＜a＜3D. -3＜a＜310.设I是含数π的有限实数集，f（x）是定义在I上的函数，若f（x）的图象绕坐标原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（π）的取值不可能是（）A. πB. πC. πD. π二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.log39=______；若a=log43，则2a=______．12.已知随机变量ξ的分布列如表，若当Eξ=时，则a=______，D（ξ）=______．ξ012P a b13.我国古代数学著作《算法统宗》第八卷“商功”第五章撰述：“刍荛（chúráo）：倍下长，加上长，以广乘之，又以高乘，用六归之．如屋脊：上斜下平．”刘徽注曰：止斩方亭两边，合之即“刍甍”之形也．即将方台的两边切下来合在一起就是“刍甍”，是一种五面体（如图）：矩形ABCD，棱EF∥AB，AB=4，EF=2，△ADE 和△BCF都是边长为2的等边三角形，则此几何体的表面积为______，体积为______．14.已知F1，F2分别为椭圆C：+y2=1（a＞1）的左、右焦点，点F2关于直线y=x的对称点Q在椭圆上，则长轴长为______；若P是椭圆上的一点，且|PF1|•|PF2|=，则S=______．15.将1，2，3，4，5，6随机排成一行，记为a，b，c，d，e，f，则使a×b×c+d×e×f是偶数的排列有______种．（用数字作答）16.设平面向量，满足1≤||≤2，2≤||≤3，则||+|-|的取值范围是______．17.设数列{a n}满足a n+1=2（|a n|-1），n∈N*，若存在常数M＞0，使得对于任意的n∈N*，恒有|a n|≤M，则a1的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知函数的部分图象如图所示：（1）求函数f（x）的解析式；（2）若锐角α满足，角β满足，求sinβ的值．19.如图，△ABC为正三角形，且BC=CD=2，CD⊥BC，将△ABC沿BC翻折．（I）若点A的射影在BD上，求AD的长；（Ⅱ）若点A的射影在△BCD内，且直线AB与平面ACD所成角的正弦值为，求AD的长．20.设各项为正项的数列{a n}，其前n项和为T n，a1=2，a n a n+1=6T n-2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=2n，求数列{|a n-b n|}的前n项和S n．21.已知抛物线C：y2=4x上动点P（x1，y1），点A在射线1：x-2y+8=0（y≥0）上，满足PA的中点Q在抛物线C上．（I）若直线PA的斜率为1，求点P的坐标；（Ⅱ）若射线1上存在不同于A的另一点B，使得PB的中点也在抛物线C上，求|AB|的最大值．22 已知函数f（x）=x-ln x-a有两个不同的零点x1，x2．（1）求实数a的取值范围；（2）证明：x1+x2＞a+1．2018-2019学年浙江省9+1高中联盟高三（上）期中数学试卷答案和解析【答案】1. C2. A3. B4. D5. D6. A7. C8. B9. A10. B11. 212.13. 8+814. ，15. 64816. [4，2]．17. [-2，2]18. 解：（1）由图象可得A=2，T=+=，即T=π，∴ω==2，∵f（）=2sin（2×+φ）=-2，解得φ=,∵,∴φ=，∴f（x）=2sin（2x+）．（2）∵，∴2sinα=，∴sinα=，cosα=，∵，∴cos（α-β）=±，∴sinβ=sin[α-（α-β）]=sinαcos（α-β）-cosαsin（α-β），即sinβ=或-．19. 解：（1）过A作AE⊥BD交BD于E，则AE⊥平面BCD．取BC中点O，连接AO，OE，∵AE⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，∴AE⊥BC，△ABC是正三角形，∴BC⊥AO，又AE∩AO=A，AE，AO⊂平面AOE，∴BC⊥平面AOE，∴BC⊥OE．又BC⊥CD，O为BC的中点，∴E为BD的中点．∵BC=CD=2，∴OE=CD=1，AO=，BD=2，∴DE=，AE=．∴AD=；（2）以O为原点，以BC为x轴，以BE为y轴，以平面BCD的过O的垂线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示：设二面角D-BC-A为θ，则A（0，cosθ，sinθ），B（-1，0，0），C（1，0，0），D（1，2，0）．∴=（1，cosθ，sinθ），=（0，2，0），=（-1，cosθ，sinθ），设平面ACD的法向量为=（x，y，z），则，令z=1，得=（sinθ，0，1）．∴|cos＜＞|==，解得sinθ=．∴A（0，，），又D（1，2，0）．∴|AD|=．20. 解：（Ⅰ）各项为正项的数列{a n}，其前n项和为T n，a1=2，a n a n+1=6T n-2，可得a1a2=6T1-2=2a2=12-2=10，解得a2=5，由n≥2时，a n a n+1=6T n-2，可得a n-1a n=6T n-1-2，两式相减可得a n（a n+1-a n-1）=6a n，a n＞0，可得a n+1-a n-1=6，可得数列的奇数项和偶数项均为公差为6的等差数列，可得正项的数列{a n}为2，5，8，11，14，17，…，即有正项的数列{a n}的通项公式为a n=2+3（n-1）=3n-1；（Ⅱ）|a n-b n|=|3n-1-2n|，当1≤n≤3时，前n项和S n=（2+…+3n-1）-（2+…+2n）=n（3n+1）-=n（3n+1）-2n+1+2；当n≥4时，前n项和S n=1+（16+…+2n）-（11+…+3n-1）=1-（n-3）（3n+10）+=2n+1-n（3n+1）．综上可得前n项和S n=．21. 解：（Ⅰ）设直线PA的方程为y=x+b，则A（8-2b，8-b），设Q（x2，y2），由，得y2-4y+4b=0，由△=16-16b＞0，得b＜1，y1+y2=4，y1y2=4b，又y1+8-b=2y2，解得或，经检验都是方程的解，∴P（0，0）或（16，-8）；（Ⅱ）设A（2t1-8，t1），B（2t2-8，t2），t1，t2≥0，则由PA得中点Q（）在抛物线C上，可得，整理得：，同理：，∴t1，t2是方程的两个不相等非负根，∴，解得-8≤y1＜0，∴|AB|=，当且仅当y1=-8时取“=”．∴|AB|的最大值为．22. 解：（1）∵函数f（x）=x-ln x-a∴f′（x）=1-，当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，故当x=1时，函数f（x）=x-ln x-a取最小值1-a，若函数f（x）=x-ln x-a有两个不同的零点x1，x2．则1-a＜0，即a＞1；证明：（2）若函数f（x）=x-ln x-a有两个不同的零点x1，x2．则x1-ln x1=a，且x2-ln x2=a，故x1+x2=2a+ln x1+ln x2=2a+ln（x1•x2），若证x1+x2＞a+1．即证：x1+x2+ln（x1•x2）＞2．即2+ln（x1•x2）≥2．令x1•x2=t，由（1）中a＞1得：t≥1则只需证2+ln t≥2设g（t）=2+ln t，则g′（t）=+=＞0，∴g（t）为增函数，又由g（1）=2故2+ln t≥2，原不等式得证【解析】1. 解：A={x|x-1≥0}={x|x≥1}，则A∩B={x|1≤x≤2}，故选：C．求出集合A的等价条件，结合集合交集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件结合交集的定义是解决本题的关键．比较基础．2. 解：∵复数z满足zi=1+i，∴z==1-i，∴z2=-2i，故选：A．根据已知，求出z值，进而可得答案．本题考查的知识点是复数代数形式的乘除运算，难度不大，属于基础题．3. 【分析】运用离心率公式和渐近线方程可得b，c，结合点到直线的距离公式，进而得到焦点到渐近线的距离．本题考查双曲线的方程和性质，主要考查离心率和渐近线方程的运用，属于基础题．【解答】解：双曲线C：=1（b＞0）的离心率为，则e==，即c=×=4，则b=2．设焦点为（4，0），渐近线方程为y=x，则d==2，故选：B．4. 解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；由z=x+y得y=-x+z，平移直线y=-x+z，由图象可知当直线y=-x+z经过点A时，直线y=-x+z的截距最大，此时z最大；由，解得，即A（2，2），代入目标函数z=x+y得z=2+2=4．即目标函数z=x+y的最大值为4．故选：D．画出约束条件表示的平面区域，找出最优解，求出目标函数的最大值．本题主要考查了线性规划的应用问题，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法，利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解题的关键．5. 解：当x=-2，y=0时，满足x≤y，但|x|≤|y|不成立，当x=0，y=-2时，满足|x|≤|y|但x≤y不成立，即“x≤y“是“|x|≤|y|”的既不充分也不必要条件，故选：D．根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的性质和关系是解决本题的关键．6. 解：函数f（x）为非奇非偶函数，图象不关于y轴对称，排除C，D，当x→+∞，f（x）→+∞，排除B，故选：A．判断函数的奇偶性和对称性的关系，利用极限思想进行求解即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及极限思想是解决本题的关键．7. 解：cosα=2（1+sinα），所以：=2（），整理得：=2，由于：α≠2k，k∈Z，解得：，所以：=．故选：C．直接利用三角函数关式的变换和同角三角函数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，同角三角函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．8. 解：∵ln（x+2y）=ln x+ln y；∴x+2y=xy，且x＞0，y＞0；∴；∴，当且仅当，即x=y=3时取等号．故选：B．根据ln（x+2y）=ln x+ln y及x，y都为正数即可得出，从而得出，根据基本不等式即可得出，并且当x=3时取等号，即得出2x+y取最小值时，x=3．考查对数的运算性质，基本不等式及其应用．9. 解：方程x3-2ax2+（a2+2）x=4a-有四个不相等的正根，可得a2x-a（2x2+4）+（x3+2x+）=0有四个不相等的正根，即有△=（2x2+4）2-4x（x3+2x+）=8x2，解得a==x+±，x＞0，由a=x++有两个不等正根，由y=x++＞2+=3，可得a＞3时，a=x++有两个不等正根；即有a=x+-在a＞3有两个不等正根，综上可得a＞3，故选：A．由题意可得a2x-a（2x2+4）+（x3+2x+）=0有四个不相等的正根，由二次方程的求根公式和基本不等式，即可得到所求范围．本题考查函数方程的转化思想，注意运用主元法和二次方程思想是解题的突破口，考查运算能力，属于难题．10. 【分析】本题函数值的求法，考查学生分析解决问题的能力，考查函数定义等基础知识，考查数形结合思想，是中档题.直接利用定义函数的应用求出结果．【解答】解：由题意可得：问题相当于圆上由6个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．设f（π）处的点为A1，∵f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，∴旋转后A1的对应点A2也在f（x）的图象上，同理A2的对应点A3也在图象上，以此类推，f（x）对应的图象可以为一个圆周上6等分的6个点，当f（π）=时，即A1（π，），此时有A5（π，-），不符合函数的定义，故B错误；故选：B．11. 解：log39=2；若a=log43，则4a=3，∴2a=．故答案为：2，．利用对数、指数的性质、运算法则直接求解．本题考查对数式、指数式化简求值，考查对数、指数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12. 解：根据ξ的分布列得：+a+b=1，…①∵Eξ=，∴0×a+1×b+2×=1，…②由①②联立得a=，b=，∵η=aξ+b∴D（ξ）=（0-）2×+（1-）2×+（2-）2×==．故答案为：；．利用概率的性质和期望构建关于a、b的方程组，求出a、b值，然后利用方差公式求解即可．本题考查了概率的性质、分布列及期望，解决本题要注意利用概率和为1这一条件，还要会利用Eη=aEξ+b．13. 解：由题意知该五面体的表面积为：S=S矩形ABCD+2S△ADE+2S梯形ABFE=2×4+2××2×+2××（2+4）×=8+8；过F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，取BC的中点P，连结PF，过F作FQ⊥AB，垂足为Q，连结OQ．∵△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形，∴OP=（AB-EF）=1，PF=，OQ=BC=1，∴OF=，采用分割的方法，分别过F，E作与平面ABCD垂直的平面，这两个平面把几何体分割成三部分，如图，包含一个三棱柱EMN-FQH，两个全等的四棱锥：E-AMND，F-QBCH，∴这个几何体的体积：V=V EMN-FQH+2V F-QBCH=S△QFH×MQ+2×S矩形QBCH×FQ=×2××2+2××1×2×=．故答案为：8+8；．由题意知两个三角形全等，两个梯形全等，由此求出五面体的表面；采用分割的方法，分别过F，E作与平面ABCD垂直的平面，这两个平面把几何体分割成三部分，包括一个三棱柱和两个四棱锥，其中两个四棱锥的体积相等，三者相加得到几何体的体积．本题考查不规则几何体的体积求法，考查运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想方法和数学转化思想方法，是中档题．14. 求出点F2关于直线y=x的对称点Q，代入椭圆方程求得a，则长轴长可求；利用余弦定理结合椭圆定义求得sin∠F1PF2，代入三角形面积公式得答案．解：由椭圆C：+y2=1（a＞1），知c=．∴F2（，0），点F2关于直线y=x的对称点Q（0，），由题意可得：，即a=，则长轴长为2；∴椭圆方程为．则|PF1|+|PF2|=2a=2，又|PF1|•|PF2|=，∴cos∠F1PF2===．∴sin∠F1PF2=．则S==．故答案为：；．求出点F2关于直线y=x的对称点Q，代入椭圆方程求得a，则长轴长可求；利用余弦定理结合椭圆定义求得sin∠F1PF2，代入三角形面积公式得答案．本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆定义及余弦定理的应用，是中档题．15. 解：1，2，3，4，5，6随机排成一列，共有A66=720种，abc+def为偶数等价于“a，b，c不全为奇数，且d，e，f不全为奇数“∴共有A66-2A33A33=648，故答案为：648利用间接法，先求出1，2，3，4，5，6随机排成一列，再排除再求a，b，c全为奇数，且d，e，f全为奇数的情况即可本题考查排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题16. 设t=||+|-|，t2=2+2+2+2+2-2+2|||-|=2（2+2）+2|+||-|，当（）⊥（-）时，即||=||=2且=0，t2min=2×（22+22）=16，t min=4，当||=|-|时，2|||-|≤||2+|-|2=2（2+2）∴t2max=4（2+2）=4（22+32）=4×13，t max=2，综上所述，的取值范围是[4，2]．故答案为：[4，2]．根据即可求出的范围，进而得出的取值范围．考查向量数量积的运算和向量模长的计算．17. 【分析】本题考查数列递推式，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．由题意，存在常数M＞0，使得对于任意的n∈N*，恒有|a n|≤M，可得-M≤a n≤M，得-M≤a n+1≤M，即可得出结果．【解答】解：由题意，存在常数M＞0，使得对于任意的n∈N*，恒有|a n|≤M，所以-M≤a n≤M，①∴|a n+1|≤M，∴得-M≤a n+1≤M，又a n+1=2（|a n|-1）所以-M≤2（|a n|-1）≤M；即，②由①②，可得：M=2，又|a1|≤M所以a1的取值范围是[-2，2]．故答案为：[-2，2]．18. 本题主要考查了由y=A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，三角函数的化简和计算，属于基本知识的考查．（1）由图象可得A=2，T=+=，即T=π，代值计算求出φ=；（2）先求出sinα=，cosα=，再根据两角差的正弦公式即可求出．19. （1）过A作AE⊥BD交BD于E，则AE⊥平面BCD，证明BC⊥平面AOE得出E为BD的中点，利用勾股定理计算|AD|；（2）以O为原点建立空间坐标系，设二面角D-BC-A为θ，用θ表示出A的坐标，求出和平面ACD的法向量，令|cos＜，＞|=，得出sinθ，从而得出A点坐标，代入两点间的距离公式求出|AD|．本题考查了空间角及空间距离的计算，考查空间向量的应用，属于中档题．20. （Ⅰ）令n=1，求得a2=5，将n换为n-1，两式相减可得数列的奇数项和偶数项均为公差为6的等差数列，再由等差数列的通项公式即可得到所求通项；（Ⅱ）讨论当1≤n≤3时，n≥4时，去绝对值，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等差数列的定义、通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和，注意运用分类讨论思想，考查运算能力和推理能力，属于中档题．21. 本题考查直线与抛物线综合，考查数学转化思想方法与整体运算思想方法，考查函数与方程思想的应用，考查计算能力，是难题．（Ⅰ）设直线PA的方程为y=x+b，则A（8-2b，8-b），设Q（x2，y2），联立直线方程与抛物线方程，由判别式大于0求得b的范围，然后结合点A在射线1：x-2y+8=0（y≥0）上及根与系数的关系求解点P的坐标；（Ⅱ）设A（2t1-8，t1），B（2t2-8，t2），t1，t2≥0，由PA得中点Q在抛物线C上，可得，同理，可知t1、t2是方程的两个不相等非负根，然后利用根的分布求得-8≤y1＜0，再把|AB|转化为含有y1的函数式求解．22. （1）函数f（x）=x-ln x-a有两个不同的零点x1，x2．则函数f（x）=x-ln x-a的最小值1-a＜0；（2）令x1•x2=t，由（1）中a＞1得：t≥1，则只需证2+ln t≥2，设g（t）=2+ln t，可得结论．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．。
2019届浙江省杭州地区(含周边)重点中学高三第一学期期中考试数学试题(解析版)
2019届浙江省杭州地区(含周边)重点中学高三第一学期期中考试数学试题一、单选题1．设全集1，2，3，，集合2，，集合，则A．B．C．1，D．1，2，3，【答案】C【解析】进行补集、并集的运算即可．【详解】；1，．故选：C．【点睛】本题考查并集和补集的运算，是基础题.2．已知复数z满足为虚数单位，则z等于A．i B．C．D．【答案】B【解析】由条件可得，再利用两个复数代数形式的除法法则求出结果．【详解】解：复数z满足，，故选：B．【点睛】本题主要考查复数的除法，属于基础题．3．设，那么“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：，但，故是的必要不充分条件. 【考点】充要条件．4．函数的图象大致是A．B．C．D．【答案】A【解析】利用函数的奇偶性排除选项B、C项，然后利用特殊值判断，即可得到答案．【详解】由题意，函数满足，所以函数为偶函数，排除B、C，又因为时，，此时，所以排除D，故选：A．【点睛】本题主要考查了函数的图象的识别问题，其中解答中熟练应用函数的奇偶性进行排除，以及利用特殊值进行合理判断是解答的关键，着重考查了分析问题解决问题的能力，属于基础题.5．已知等差数列的前n项和为，，，为等比数列，且，，则的值为A．B．9 C．D．27【答案】C【解析】设等差数列的公差为d，运用等差数列求和公式解方程可得首项和公差，可得等差数列的通项公式，再设等比数列公比为q，运用等比数列的通项公式，即可得到所求值．【详解】解：等差数列的公差设为d，前n项和为，，，可得，，解得，，即有；设为公比为q的等比数列，且，，可得，，故选：C．【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．6．已知，，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】将已知条件两边平方，判断和的符号，将已知条件和联立，解方程组求得的值.【详解】由两边平方并化简得，而，故.由解得.故选A.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查三角函数值正负的判断，还考查了方程的思想，属于属于基础题.三角函数值的正负是由角所在的终边所在的象限来确定的，本题中题目给定角的取值范围，结合已知条件可以判断出正弦值和余弦值的符号，同时也可得到本小题解是唯一的.7．将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图像，若对满足12()()2f x g x -=的1x ，2x ，有12min3x x π-=，则ϕ=（ ）A.512π B.3π C.4π D.6π 【答案】D.【解析】试题分析：向右平移ϕ个单位后，得到)22sin()(ϕ-=x x g ，又∵2|)()(|21=-x g x f ，∴不妨ππk x 2221+=，ππϕm x 22222+-=-，∴πϕπ)(221m k x x -+-=-，又∵12min3x x π-=，∴632πϕπϕπ=⇒=-，故选D.【考点】三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的考查，多以)sin()(ϕω+=x A x f 为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对三角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等.8．设单位向量，对任意实数都有，则向量，的夹角为A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】可设的夹角为，根据为单位向量，对两边平方可得，，整理可得，，而该不等式对于任意的恒成立，从而得出，从而得出，这样即可求出．【详解】解：是单位向量，设的夹角为；对两边平方得，；整理得，，该不等式对任意实数恒成立；；；；又；．故选：D．【点睛】本题考查单向量数量积的运算，向量夹角的范围，以及已知三角函数值求角，是综合题，注意平方后转化为9．已知定义在R上的奇函数，满足当时，则关于x的方程满足A．对任意，恰有一解B．对任意，恰有两个不同解C．存在，有三个不同解D．存在，无解【答案】A【解析】先通过导数研究函数在上的单调性，再根据奇偶性得函数图象的对称性，最后结合图象可得选A．【详解】当时，，，时，；时，，在上递减，在上递增，，在上递增，又x大于0趋近于0时，也大于0趋近于0；x趋近于正无穷时，也趋近于正无穷，又为R上的奇函数，其图象关于原点对称，结合图象知，对任意的a，方程都恰有一解．故选：A．【点睛】本题考查了函数与方程的综合运用，函数的单调性，属难题．10．设，，若三个数，，能组成一个三角形的三条边长，则实数m的取值范围是A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可得，可令，判断可得，可得，化为，结合基本不等式和导数判断单调性，以及不等式恒成立思想，即可得到所求范围．【详解】，，令，，，，，，，y，z能组成一个三角形的三条边长，可得，即为，设，可得，可令，即有，即为，由，当且仅当上式取得等号，但，可得，则，即；又设，可得，由的导数为，由可得，即函数y为增函数，可得，即有，即有，可得，故选：C．【点睛】本题考查导数和函数的单调性，基本不等式的性质，考查推理能力与计算能力，属于难题，关键是转化为关于的函数求最值.二、填空题11．九章算术中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马，”马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，问各出几何？其意：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比例偿还，问羊的主人应赔偿______斗粟，在这个问题中牛主人比羊主人多赔偿______斗粟．【答案】【解析】由题意可知z，y，z依次成公比为的等比数列，根据等比数列的性质及求和公式即可求得答案．【详解】设牛、马、羊的主人应赔偿的斗栗分别为x,y,z.由题意可知x，y，z依次成公比为的等比数列，则，解得，则，羊的主人应赔偿斗粟；牛主人比羊主人多赔偿斗粟．故答案为：；．【点睛】本题考查等比数列的性质与前n项和，属于基础题．12．已知函数，则______，若，则实数x的取值范围是______．【答案】2或【解析】先求，再求；分和两种情况代的解析式，解方程即可．【详解】因为，，当时，由得；当时，由3，得，故答案为：2，或【点睛】本题考查分段函数,解不等式属基础题．13．已知，则______，又，则______．【答案】3【解析】利用诱导公式，同角三角函数的基本关系，求得的值；再利用两角差的正切公式求得的值．【详解】解：已知，则．，则，故答案为：；3．【点睛】本题主要考查诱导公式，同角三角函数的基本关系，两角差的正切公式的应用，属于基础题，注意配凑角的应用.14．在中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，且，，，则角______，______．【答案】6【解析】由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得：，结合，可求，结合范围，可求C的值，进而由余弦定理可求，解得a的值．【详解】，由正弦定理可得：，可得：，，可得：，，，又，，由余弦定理，可得：，即，解得：，或舍去．故答案为：，6．【点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．15．已知平面向量，，满足，，的夹角为，，则的最大值为______．【答案】【解析】题意可设，，，结合已知可得，结合点到直线的距离公式及圆的性质可求【详解】，，的夹角为，由题意可设，，，，，即，由圆的性质可知，上的点到直线的距离的最大值为：，则的最大值为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算性质的应用，圆的性质的灵活应用是求解本题的关键．三、解答题16．已知函数1求函数的最小正周期和单调递增区间；2当时，求函数的值域．【答案】（1），；（2）【解析】1利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数的单调递增区间．2当时，利用正弦函数的定义域和值域，求得函数的值域．【详解】1求函数的最小正周期为．令，求得，故函数的单调增区间为，．2当时，，，，故函数的值域为【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．17．已知等差数列满足：，，1求数列的通项公式；2若，试求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）【解析】1直接利用已知条件求出数列的通项公式．2利用1的通项公式，进一步求出数列的通项公式，最后求出数列的和．【详解】1设首项为，公差为d的等差数列满足：，，所以：，解得：，故：．2由1得：，，．则：，，．【点睛】本题主要考查数列的通项公式的求法及应用，等差数列的前n项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18．已知数列满足，1求数列的通项公式；2数列满足，数列的前n项和，设，证明：．【答案】（1）；（2）见解析【解析】1直接利用递推关系式求出数列的通项公式．2利用1的通项公式，进一步求出数列的通项公式，最后利用裂项相消法求出数列的和．【详解】解：1数列满足，则：，得：，整理得：，所以：．当时，首项符合通项，故：．证明：2数列满足，则：，数列的前n项和，，，则：，所以：．【点睛】本题主要考查数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型，第二问关键是的变形.19．已知函数．1若函数有两个不同的极值点，求实数a的取值范围；2若是的极大值点，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】1求出函数的导数，解关于导函数的不等式，结合函数的极值点的个数求出a 的范围即可；2求出，得到，记，，根据函数的单调性求出的范围即可．【详解】解：1，记，，令，解得：或，故在递增，在递减，在递增，又且时恒成立，有2个变号零点得：；2由1知且，故，故记，，则，故在递减，在递增且，，，故．【点睛】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．。
浙江省91高中联盟2019届高三上学期期中考试数学试题(解析版)
浙江省9 1高中联盟2019届高三上学期期中考试数学试一、选择题(本大题共 10小题，共40.0分)1 . 已知集合，，贝UAAB=( )A. B. C,D.2 .已知i 是虚数单位，若复数 z 满足zi=1 + i,则z 2=()A.B. 2iC. D. 23 .已知双曲线C ： — —=1 (b>0)的离心率为 ，则焦点到渐近线的距离为A. 2B. -C. 4D. 8A.B. 1C. 2D. 45,已知x, y 都是实数，则 X 可是|X|可『的()A,充分不必要条件 B,必要不充分条件C.充分必要条件6, 函数f (x) =e x ?n|x|的大致图象为(A. -B. -C. -D.-8. 若正实数x, y 满足In (x+2y) =lnx+lny,则2x+y 取最小值时，x=()A. 5B. 3C. 2D. 19,若方程x 3-2ax 2+ (a 2+2)x=4a--有四个不相等的正根，则实数a 的取值范围是()A. -B. -C. 一 一 D, 一10,设I 是含数兀的有限实数集，f (x)是定义在I 上的函数，若f (x)的图象绕坐标原点逆时针旋转-后与原图象重合，则在以下各项中，f(Tt)的取值不可能是( )A. -B. -C.D.一4,若x 、y 满足约束条件,则z=x+y 的最大值是()7, 若 cos a = 21+sin )a , a wk —，k€Z,贝U tan a =()二、填空题(本大题共7小题，共36.0分)11. log39=;若a=log43,贝U 2a=.12.已知随机变量E的分布列如表，若当EE=时，则a=, D ( E) =0 1 2P a b —13.我国古代数学著作《算法统宗》第八卷商功”第五章撰述：刍莞(churdo)：倍下长，加上长，以广乘之，又以高乘，用六归之.如屋脊：上斜下平.”刘徽注曰：止斩方亭两边，合之即刍薨”之形也.即将方台的两边切下来合在一起就是刍薨”,是一种五面体(如图)：矩形ABCD,棱EF /AB, AB=4 , EF=2, AADE和ABCF 都是边长为2的等边三角形，则此几何体的表面积为 ,体积为.£ F14.已知F1, F2分别为椭圆C：—+y2=1 (a>1)的左、右焦点，点F2关于直线y=x的对称点Q在椭圆上，则长轴长为 ;若P是椭圆上的一点，且|PF1|?|PF2|='贝U S △=.15.将1, 2, 3, 4, 5, 6 随机排成一行，记为a, b, c, d, e, f,则使a>^Xc+d 沟xf是偶数的排列有种.(用数字作答)16.设平面向量，满足1W|| R 2W||中则| |+| - |的取值范围是 .17.设数列｛a n｝满足a n+1=2 (|a n|-1) , nCN ,若存在常数M >0,使得对于任意的n €N, 恒有|a n|M,则a1的取值范围是 .三、解答题(本大题共5小题，共74.0分)<-的部分图象如图所示:19 .如图，那BC 为正三角形，且 BC=CD=2, CD1BC,将 "BC 沿BC 翻折.(I)若点A 的射影在BD 上，求AD 的长；(n )若点A 的射影在4BCD 内，且直线 AB 与平面ACD 所成角的正弦值为求AD 的长.20 .设各项为正项的数列｛a n ｝,其前n 项和为T n, a i =2 , a n a n+i =6T n -2.(I )求数列｛an ｝的通项公式；(n)若bn=2n,求数列｛|an-bn|｝的前n 项和Sn.18.已知函数(1)求函数f (x)的解析式;21.已知抛物线C: y2=4x上动点P (Xi, yi),点A在射线1： x-2y+8=0 (y刊上，满足PA的中点Q在抛物线C上.(I)若直线PA的斜率为1,求点P的坐标；(II)若射线1上存在不同于A的另一点B,使得PB的中点也在抛物线C上，求|AB|的最大值.22.已知函数f (x) =x-lnx-a有两个不同的零点xi, X2.(1)求实数a的取值范围；(2)证明：x1+x2> a+1 .答案和解析1.【答案】C【解析】解:A={x|x- 1>0}={x|x >1]则AH B={x|1 <x<2]故选:C.求出集合A的等价条件，结合集合交集的定义进行求解即可.本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件结合交集的定义是解决本题的关键.比较基础.2.【答案】A【解析】解：.•复数z满足zi=1+i,. z= - =1-i,. z2=-2i,故选:A.根据已知，求出z值，进而可得答案.本题考查的知识点是复数代数形式的乘除运算，难度不大，属于基础题.3.【答案】B【解析】।i解：双曲线c：^-^=i b>o)的离心率为卜tr贝e= a = V-,即c= V - x2v 2 =4,贝U b=21「士.设焦点为4, 0),渐近线方程为y=x,则d=.行=2 6 ,故选：B.运用离心率公式和渐近线方程可得b,c,结合点到直线的距离公式，进而得到焦点到渐近线的距离.本题考查双曲线的方程和性质，主要考查离心率和渐近线方程的运用，属于基础题.4.【答案】D【解析】（上+1 > 0解：画出约束条件（产2<n 表示的平面区域，如图所示;{ 2x-y-2 <02由z=x+y 得y=-x+z ,平移直线y=-x+z,由图象可知当直线y=-x+z经过点A时，直线y=-x+z的截距最大，此时z最大；田-y- 2- ii，解得{言,即A 2,2）,代入目标函数z=x+y得z=2+2=4.即目标函数z=x+y的最大值为4.故选：D.画出约束条件表示的平面区域，找出最优解，求出目标函数的最大值.本题主要考查了线性规划的应用问题，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法，利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解题的关键.5.【答案】D【解析】解：当x=-2, y=0时，满足x&y,但|x| 0根成立,当x=0, y=-2时，满足|x| &MxWy不成立，即“x&yi”"|x| 0的既不充分也不必要条件，故选：D.根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的性质和关系是解决本题的关键.6.【答案】A【解析】解：函数f x）为非奇非偶函数，图象不关于y轴对称，排除C,D,当x一+00, f x）一+00, #卜除B,故选:A.判断函数的奇偶性和对称性的关系，利用极限思想进行求解即可.本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及极限思想是解决本题的关键.7.【答案】C【解析】解：cos a =2Q+sin / ,所以：仃斗=一折门dJ=2区门口+（心0,_A・ nCON x —SUI 1整理得：二2,STH j =—由于：a w2k :, kQ,所以：故选:C.直接利用三角函数关式的变换和同角三角函数关系式的应用求出结果.本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，同角三角函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型.8 .【答案】B【解析】解："n X+2y)=lnx+lny ;x+2y=xy ,且x>0, y>0;.. , I. . 2r 九 .，一.2U. 红十见(-+7E 十・十"十1 > •计4 + 1 =% 当且仅当-=-,IP £ y y 『 ， \fJ :，x=y=3时取等号.故选：B.___ 一 ，一一.一.-21_____ .根据ln x+2y)=lnx+lny 及x,y 都为正数即可得出+ - =1 ,从而得出* y匕+y)(工」)=1+ " +力+根据基本不等式即可得出■/+2'7> I ,并且当x=3时取等号，即得出2x+y 取最小值时，x=3. 考查对数的运算性质，基本不等式及其应用.9.【答案】A 【解析】解：方程x 3-2ax 2+ a 2+2)x=4a-'有四个不相等的正根， £可得a 2x-a 2x 2+4)+ x 3+2x+ 1)=0有四个不相等的正根， £ 即有土 2x 2+4)2-4x x 3+2x+ ')=8x 2,=x+ ±v,2 ,x>0,由a=x+ ： + W 有两个不等正根， X j 2 —二 由 y=x+ +V2 >2v2 + v,2 =3V ,2 ， 可得a>3Vg 时，a=x+： +V,有两个不等正根； 即有a=x+： -v7在a>3V2有两个不等正根， 综上可得a >3V2 , 故选:A.由题意可得a 2x-a 2x2+4) + x3+2x+ ' )=0有四个不相等的正根，由二次方程 的求根公式和基本不等式，即可得到所求范围.解得a=2J J+4-2V 2J本题考查函数方程的转化思想，注意运用主元法和二次方程思想是解题的突破口，考查运算能力，属于难题.10.【答案】B【解析】解：他意可得：问题相当于圆上由6个点为一组，每次绕原点逆时针旋转；个单位后与下个点会重合.设f （九）处的点为A1,•.fx）惘象绕原点逆时针旋转:后与原图象重合，••旋转后A1的对应点A2也在f X）惘象上，同理人2的对应点A3也在图象上，以此类推，f X）对应的图象可以为一个圆周上6等分的6个点，当f （兀）=/^时，即A18d后），当f （九）=冗时，即A5 （冗，\缶），贝U位七）,不符合函数的定义，故B错误;故选：B.直接利用定义函数的应用求出结果.本题函数值的求法，考查学生分析解决问题的能力，考查函数定义等基础知识，质数形结合思想，是中档题11.【答案】2 一【解析】解：log39=2；若a=log43,贝 1 4a=3,••2a= V'Q .故答案为：2, .利用对数、指数的性质、运算法则直接求解.本题考查对数式、指数式化简求值，考查对数、指数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.12.【答案】- -【解析】解：根据E的分布列得：+ +a+b=1,…①E 己=，. 0 >a+i >b+2 x, =1 …②… … I 2由①②联立得a= b=,,,11 i J'.'Y] =a E +b- D (0 = 0-])2Xfj +1—1)2、+2-富)2>$i = 97 =9 -故答案为：:；:.利用概率的性质和期望构建关于a、b的方程组，求出a、b值，然后利用方差公式求解即可.本题考查了概率的性质、分布列及期望，解决本题要注意利用概率和为1这一条件，还要会利用E” =aE± +b13.【答案】8+8 一一【解析】解：由题意知该五面体的表面积为：S=S矩形ABCD+2S3DE+2S梯形ABFE=2M+2x| >2X V22-1-+2X' X 2+4) X/豆币=8+8 日；过F作FOH*面ABCD ,垂足为O,取BC的中点P,连结PF,过F作FQ^AB ,垂足为Q,连结OQ.vzADE和ABCF都是边长为2的等边三角形，-I E 二 K一I 八••OP=- AB-EF)=1, PF=V 22-12-V3 , OQ= 7BC=1,,OF= v PF--UP2-v ,采用分割的方法，分别过F,E 作与平面ABCD 垂直的平面，这两个平面把几 何体分割成三部分，如图，包含一个三棱柱EMN-FQH,两个全等的四棱锥：E-AMND , F-QBCH , ..这个几何体的体积:V=V EMN-FQH +2V F-QBCHI=S A QFH >MQ+2< S S 矩形 QBCH ^FQ 1J='MX e >2+2x' X1 >2x x /2 =.故答案为：8+8g ；噌.由题意知两个三角形全等，两个梯形全等，由此求出五面体的表面；采用分割 的方法，分别过F, E 作与平面ABCD 垂直的平面，这两个平面把几何体分割 成三部分，包括一个三棱柱和两个四棱 锥，其中两个四棱锥的体积相等，三 者相加得到几何体的体积.本题考查不规则几何体的体积求法，考查运算求解能力、空间想象能力，考 查数形结合思想方法和数学 转化思想方法，是中档题. 14 .【答案】求出点52关于直线y=x 的对称点Q,代入椭圆方程求得a,则长轴长可求；利 用余弦定理结合椭圆定义求得sin/F 1PF 2,代入三角形面积公式得答案.2解：由椭圆C ：，+y 2=1 a> 1),夕c 八Hi . .F2 (v1^-1 , 0),,$2关于直线y=x 的对称点Q 0, \，41 ),由题意可得：v ,即a=V2,则长轴长为2V2； .,椭圆方程为3+/】. 则『川+『52|=22=2城"，叉PF 1|?|P 坛『JU-不一 = 纲臼7q I 2. sinzF 1PF 2=乎.则 S =11"...；.._6:".= ,； -\< — =故答案为：、上品;@. ：i求出点52关于直线y=x 的对称点Q,代入椭圆方程求得a,则长轴长可求；利. cos /F 1PF 2=|PF/+|P6|J 旧局］用余弦定理结合椭圆定义求得sin/F1PF2,代入三角形面积公式得答案.本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆定义及余弦定理的应用，是中档题.15.【答案】648 【解析】解：1,2, 3, 4,5, 6随机排成一列，共有A66=720种，abc+def为偶数等价于“gb, c不全为奇数，且d,e, f不全为奇数“.•共有A66-2A33A33=648,故答案为:648利用间接法，先求出1,2, 3, 4, 5, 6随机排成一列，再排除再求a, b, c全为奇数，且d,e, f全为奇数的种二即可本题考查排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题16.【答案】[4, 2 -]. 【解析】设t二|云 + 年|+| - |,t2= 2+ 2+2 + 2+ 2-2 +2| || - |=2 ( 2+ 2)+2| + || -|,当(? + V)!(『彳)时,即1|=团=2且胃方=0,t2min=2X 22+22)=16, * =4,当予I=I小引时，2国+了惜-引淘+7I2+I?-T|2=2促2+42)• t2max=4 W2+12)=4 22+32)=4刈3"=2\不，综上所述，5+了I+IM-的取值范围是[4, 2v;B],故答案为：［4,2\节］.根据\ <\li\<2,2 < |T| < ：］即可求出小十小的范围，进而得出|。
浙江省“91”高中联盟2019-2020学年高三上学期期中数学试题(带答案解析)
1．C
【解析】
【分析】
根据任意 都有 可得 ，同理 ，再根据 ， 得到 的终点和起点（三个向量的起点为同一个点）在一个圆上，据此可求 的值.
【详解】
如图，
设 ，则 ，
因为任意 都有 ，故 是诸向量 的模的最小值，而 为定点，
故 是 的最小值即 即 ，同理 ，
设平面向量 ， ， 共起点，因为 ，故 的终在 的终点的中垂线上，故 的终点和起点可构成如下图形：
17．椭圆 的长轴长是______，离心率是______．
三、解答题
18．设各项均为正数的数列 的前 项和为 ，满足 ，已知等比数列 ， ， ， ．
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）记 ，数列 的前 项和 ．证明：对一切正整数 ， ．
19．已知函数 .
（1）若 ，求出函数 的单调区间及最大值；
（2）若 且 ，求函数 在 上的最大值 的表达式.
7．甲乙两人进行乒乓球赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是 ，随机变量 表示最终的比赛局数，若 ，则（）
A． B． C． D．
8．设实数 ， 满足 ，则代数式 （）
A．有最小值 B．有最小值 C．有最大值1D．有最大值
9．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现有五种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有（）
【详解】
不等式组对应的可行域如图阴影部分所示（含边界）：
把动直线平移到 处， 取最大值.
由 可得 ，故 ，所以 .
故选：C.
【点睛】