拓扑排序、关键路径分析
关键路径
关键路径问题一、问题描述设计一个程序求出完成整项工程至少需要多少时间以及整项工程中的关键活动。
二、基本要求1.对一个描述工程的AOE网，应判断其是否能够顺利进行。
2.若该工程能顺利进行，输出完成整项工程至少需要多少时间，以及每一个关键活动所依附的两个顶点，最早发生时间和最迟发生时间。
三、题目分析1．由题目可知，要解决问题，首先要建立一个描述工程的AOE网络，即一个带权的有向无环图，可采用邻接表创建图。
2．利用拓扑排序的方法，判断出工程是否可以顺利，并求出各个顶点代表事件的最早发生时间。
汇点的最早发生时间即为完成整项工程所需的最短时间。
3．利用拓扑逆序，求出各个顶点代表事件的最晚发生事件。
4．由顶点的最早和最晚发生时间求出各个活动的最早最晚发生时间。
6．确定出哪些活动是关键活动。
四、逻辑结构有向无环图的逻辑结构可表示为：VR={<v，w>|v，w ∈V且P(v，w)，<v，w>表示从v到w的有向弧,谓词P(v，w)定义了弧<v，w>的意义或信息(在AOE网中即为完成活动所需的时间)}五、存储结构对于本问题中的有向无环图，采用邻接表作为存储结构。
邻接表是图的一种链式存储结构，在邻接表中，对图中每个顶点建立一个单链表，第i 个单链表中的结点表示依附于顶点v i的边。
每个结点由3个域组成，其中邻接点域指示与顶点v i邻接的点在图中的位置，链域指示下一条边或弧的结点；数据域存储和边或弧相关的信息。
每个链表上附设一个表头结点。
例如：六、算法设计按照对题目的分析，本算法主要分为四个模块：1．采用邻接表存储结构创建图设计思路：输入图中顶点及弧的个数，然后依次输入各个顶点的名称。
建立存放顶点元素的数组G. vertices，将顶点名称存入其数据G.vertices[i].data，其指针域G.vertices[i].firstarc 初始化为空。
输入各条弧及其权值，对每个顶点采用逆序插入结点的方式建立单链表。
关键路径理解和实现(java)
关键路径理解和实现（Java）一、什么是关键路径在项目管理中，关键路径指的是完成一个项目所需的最长时间，也就是说在没有任何延误的情况下，项目完成的最短时间。
关键路径法是一种用于确定项目完成时间的方法，它能够帮助项目管理者合理安排项目的工作，提高项目的执行效率。
在项目中，每一个任务都有其开始时间和完成时间，而不同的任务之间可能存在依赖关系，即某些任务的开始时间取决于其他任务的完成时间。
通过确定各个任务之间的依赖关系，可以建立项目的网络图，通过这个图可以找出最长的路径，即关键路径。
二、关键路径的重要性1. 有效管理时间关键路径法能够帮助项目管理者了解到项目所需的最长时间，可以在这个基础上对项目的进度进行合理安排，避免出现拖延等问题，从而保证项目能够按时完成。
2. 资源分配通过确定关键路径，项目管理者可以清楚地了解到哪些任务是关键的、哪些是可以并行进行的，可以有效地分配资源，提高资源利用率。
3. 风险控制关键路径法可以帮助项目管理者及时发现项目进度偏差，及时调整方案，降低项目风险。
三、关键路径的实现（Java）在实际项目管理中，我们通常会借助计算机软件来帮助我们确定项目的关键路径。
下面将介绍如何使用Java语言来实现关键路径的计算。
1. 定义任务节点和任务之间的依赖关系我们需要定义任务节点和任务之间的依赖关系。
我们可以使用图的数据结构来表示这些任务节点和它们之间的依赖关系。
我们可以定义一个Task类来表示任务节点，这个类包括任务的开始时间、完成时间等属性。
另外，我们还可以定义一个Graph类来表示整个项目的网络图，这个类包括任务节点之间的依赖关系等属性。
2. 计算最早开始时间和最晚开始时间在确定了任务节点和它们之间的依赖关系之后，我们可以利用拓扑排序算法来计算每个任务节点的最早开始时间和最晚开始时间。
计算最早开始时间时，我们可以从项目的起点开始，按照拓扑排序的顺序计算每个任务节点的最早开始时间，这个时间表示的是在没有任何延误的情况下，该任务节点可以开始的最早时间。
2023洛谷 模拟试题解析
2023洛谷模拟试题解析引言概述：2023年洛谷模拟试题是一项重要的考试，对于参加考试的学生来说，了解试题的解析是提高考试成绩的关键。
本文将对2023洛谷模拟试题进行详细解析，帮助考生更好地理解试题内容，提高解题能力。
正文内容：1. 第一大点：试题类型1.1 选择题：解析选项的含义，注意干扰项的排除。
1.2 填空题：分析题目要求，确定填空内容的格式和范围。
1.3 编程题：理解题目要求，设计合理的算法，注意边界条件和优化策略。
2. 第二大点：数据结构与算法2.1 数组与链表：比较两者的特点和适用场景，分析题目中对数据结构的要求。
2.2 栈与队列：解释栈和队列的概念，讨论它们在算法中的应用。
2.3 树与图：介绍树和图的基本概念，分析与它们相关的算法问题。
3. 第三大点：动态规划3.1 动态规划的基本思想和应用场景。
3.2 分析动态规划问题的状态转移方程，推导出解题的递推公式。
3.3 讨论动态规划中的优化策略，如剪枝和记忆化搜索。
4. 第四大点：图论算法4.1 最短路径算法：介绍Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法的原理与应用。
4.2 最小生成树算法：解析Prim算法和Kruskal算法的实现过程和时间复杂度。
4.3 拓扑排序和关键路径：讲解拓扑排序的概念和算法，分析关键路径的求解方法。
5. 第五大点：数论与组合数学5.1 质数与素数：介绍质数和素数的定义，讨论相关的算法和性质。
5.2 欧几里得算法：解析最大公约数和最小公倍数的计算方法。
5.3 排列组合：讲解排列和组合的概念，分析相关问题的解题思路。
总结：综上所述，2023年洛谷模拟试题的解析主要包括试题类型、数据结构与算法、动态规划、图论算法以及数论与组合数学。
了解试题类型和解题思路对于考生提高解题能力至关重要。
同时，熟悉各种数据结构和算法的特点和应用场景，以及动态规划、图论算法和数论与组合数学的基本概念和解题方法，也是取得好成绩的关键。
数据结构的应用的拓扑排序与关键路径算法
数据结构的应用的拓扑排序与关键路径算法拓扑排序与关键路径算法是数据结构中重要的应用之一。
拓扑排序通过对有向图的节点进行排序，使得对于任意一条有向边(u,v)，节点 u 在排序中都出现在节点 v 之前。
关键路径算法则是用来确定一个项目的关键活动和最短完成时间。
拓扑排序的实现可以通过深度优先搜索或者广度优先搜索来完成。
深度优先搜索是递归地访问节点的所有未访问过的邻居节点，直到没有未访问过的邻居节点为止，然后将该节点添加到拓扑排序的结果中。
广度优先搜索则是通过使用队列来实现的，将节点的邻居节点逐个入队并进行访问，直到队列为空为止。
无论使用哪种方法，拓扑排序都可以通过判断节点的入度来进行。
拓扑排序在很多实际问题中都有广泛应用。
比如在任务调度中，拓扑排序可以用来确定任务间的依赖关系和执行顺序；在编译原理中，拓扑排序可以用来确定程序中变量的定义和使用顺序。
关键路径算法用于确定项目中的关键活动和最短完成时间。
它通过计算每个活动的最早开始时间和最晚开始时间，以及每个活动的最早完成时间和最晚完成时间来实现。
具体步骤如下：1. 构建有向加权图，其中节点表示项目的活动，有向边表示活动间的先后关系，边的权重表示活动的持续时间。
2. 进行拓扑排序，确定活动的执行顺序。
3. 计算每个活动的最早开始时间，即从起始节点到该节点的最长路径。
4. 计算每个活动的最晚开始时间，即从终止节点到该节点的最长路径。
5. 根据每个活动的最早开始时间和最晚开始时间，可以确定关键活动，即最早开始时间与最晚开始时间相等的活动。
6. 计算整个项目的最短完成时间，即从起始节点到终止节点的最长路径。
拓扑排序与关键路径算法在工程管理、任务调度、生产流程优化等领域都有重要应用。
它们能够帮助我们有效地组织和管理复杂的项目，提高工作效率和资源利用率。
在实际应用中，我们可以借助计算机编程以及各种图算法库来实现这些算法，从而更快速、准确地解决实际问题。
综上所述，拓扑排序与关键路径算法是数据结构的重要应用之一。
关键路径法c语言详解
关键路径法c语言详解关键路径法是一种用于项目管理的技术，用于确定项目中最长的路径，即关键路径，以便有效地进行资源分配和时间管理。
在本文中，我们将详细介绍关键路径法的原理和应用，并使用C语言进行示例演示。
一、原理介绍关键路径法是一种基于网络图的分析方法，它将项目分解成一系列活动，并通过活动之间的依赖关系构建网络图。
在这个网络图中，每个活动表示一个任务，箭头表示任务之间的依赖关系。
根据活动的持续时间和依赖关系，我们可以计算出每个活动的最早开始时间（EST）和最晚开始时间（LST），从而确定关键路径。
关键路径是指项目中最长的路径，即这条路径上的活动不能延迟，否则会导致整个项目延迟。
关键路径上的活动被称为关键活动。
通过确定关键路径，项目管理者可以有效地分配资源和控制进度，以确保项目按时完成。
二、关键路径法的步骤1. 确定项目的活动和依赖关系：将项目分解成一系列活动，并确定它们之间的依赖关系。
活动可以使用字母或数字进行标识，依赖关系可以用箭头表示。
2. 构建网络图：根据活动和依赖关系，构建项目的网络图。
网络图可以使用邻接矩阵或邻接表表示。
3. 计算活动的最早开始时间（EST）：从起始节点开始，根据依赖关系和活动持续时间，计算每个活动的最早开始时间。
最早开始时间可以通过递归或拓扑排序算法计算得出。
4. 计算活动的最晚开始时间（LST）：从终止节点开始，根据依赖关系和活动持续时间，计算每个活动的最晚开始时间。
最晚开始时间可以通过逆序递归或拓扑排序算法计算得出。
5. 计算活动的总时差（TF）：根据最早开始时间和最晚开始时间，计算每个活动的总时差。
总时差可以通过最晚开始时间减去最早开始时间得出。
6. 确定关键路径：找出总时差为0的活动，这些活动构成了关键路径。
关键路径上的活动不能延迟，否则会延误整个项目。
三、C语言示例演示以下是一个使用C语言实现关键路径法的简单示例：```c#include <stdio.h>void calculate_early_start(int activity[], int duration[], int dependency[], int n, int est[]) {for (int i = 0; i < n; i++) {if (dependency[i] == -1) {est[i] = 0;} else {if (est[dependency[i]] + duration[dependency[i]] > est[i]) {est[i] = est[dependency[i]] + duration[dependency[i]];}}}}void calculate_late_start(int activity[], int duration[], int dependency[], int n, int est[], int lst[]) {lst[n - 1] = est[n - 1];for (int i = n - 2; i >= 0; i--) {if (dependency[i] == -1) {lst[i] = lst[i + 1] - duration[i];} else {if (est[i] > lst[i + 1] - duration[i]) {lst[i] = est[i];} else {lst[i] = lst[i + 1] - duration[i];}}}}void find_critical_activities(int est[], int lst[], int n) {printf("Critical activities: ");for (int i = 0; i < n; i++) {if (est[i] == lst[i]) {printf("%d ", i + 1);}}printf("\n");}int main() {int n = 6; // Number of activitiesint activity[] = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; // Activity IDsint duration[] = {5, 3, 2, 4, 2, 6}; // Durationsint dependency[] = {-1, 1, 2, 1, 4, 3}; // Dependency (indexstarts from 0)int est[n]; // Early start timesint lst[n]; // Late start timescalculate_early_start(activity, duration, dependency, n, est); calculate_late_start(activity, duration, dependency, n, est, lst);printf("Activity\tDuration\tEST\t\tLST\n");for (int i = 0; i < n; i++) {printf("%d\t\t%d\t\t%d\t\t%d\n", activity[i], duration[i], est[i], lst[i]);}find_critical_activities(est, lst, n);return 0;}```在上述示例中，我们使用了一个包含6个活动的项目进行演示。
信息学奥赛一本通 第4章 第7节 拓扑排序与关键路径(C++版)
拓扑排序算法
算法实现： a) 数据结构：indgr[i]: 顶点i的入度; stack[ ]: 栈 b) 初始化:top=0 (栈顶指针置零) c) 将初始状态所有入度为0的顶点压栈 d) I=0 (计数器) e) while 栈非空(top>0) i. 栈顶的顶点v出栈；top-1; 输出v；i++； ii. for v的每一个后继顶点u 1. indgr[u]--; u的入度减1 2. if （u的入度变为0） 顶点u入栈 f) 算法结束 这个程序采用栈来找出入度为0的点，栈里的顶点，都是入度为0的点。 我们结合上图详细讲解： B D C A 栈：A 开始时，只有A入 度为0，A入栈。
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引入
在AOV网中，有向边代表子工程（活动）的先后关系，我们把一条有向边起点 的活动成为终点活动的前驱活动，同理终点的活动称为起点活动的后继活动。而只 有当一个活动全部的前驱全部都完成之后，这个活动才能进行。例如在上图中，只 有当工程1完成之后，工程2、3、4、5、6才能开始进行。只有当2、3、4全部完成 之后，7才能开始进行。 一个AOV网必定是一个有向无环图，即不应该带有回路。否则，会出现先后关 系的自相矛盾。 1 2
关键路径
AOE网络要研究的问题是完成整个工程至少需要多少时间？哪些活动是影响工程 进度的关键？ 下面先讨论一个事件的最早发生时间和一个活动的最早开始时间。如下图，事件Vj 必须在它的所有入边活动eik（1≤k≤n）都完成后才能发生。活动eik（1≤k≤n） 的最早开始时间是与它对应的起点事件Vik的最早发生时间。所有以事件Vj为起点事 件的出边活动ejk（1≤k≤m）的最早开始时间都等于事件Vj的最早发生时间。所以， 我们可以从源点出发按照上述方法，求出所有事件的最早发生时间。
代谢组学中的拓扑分析方法
代谢组学中的拓扑分析方法拓扑分析方法在代谢组学中可以用于研究代谢网络的结构和功能，并揭示代谢网络中的关键模块和关键代谢物。
以下是一些常见的拓扑分析方法：1. 网络分析：通过构建代谢网络模型，可以使用网络分析方法来研究代谢网络的拓扑结构、节点的重要性以及模块化结构等。
例如，可以使用节点度中心性分析来评估代谢物的重要性，使用聚类分析来识别代谢网络中的功能模块等。
2. 中心性分析：中心性分析是一种常见的拓扑分析方法，用于评估网络中节点的重要性。
在代谢网络中，可以使用节点度中心性、介数中心性和接近度中心性等指标来评估代谢物的重要性。
较高的中心性指标表明节点在代谢网络中具有更重要的作用。
3. 模块性分析：模块性分析是一种拓扑分析方法，用于识别代谢网络中的功能模块。
功能模块是指在代谢网络中具有紧密相连的一组代谢物。
可以使用聚类分析、模块性优化算法等方法来鉴定和分析功能模块中的代谢关系，从而帮助理解代谢网络的功能和调控机制。
4. 关键路径分析：关键路径分析是一种拓扑分析方法，用于识别代谢网络中的关键代谢物和关键途径。
关键路径是指在代谢网络中连接起点和终点的最短路径，通过分析关键路径上的代谢物和途径，可以识别具有重要生物学功能的代谢反应和调控机制。
5. 高级拓扑分析方法：除了以上基本的拓扑分析方法外，还有一些高级的拓扑分析方法可以应用于代谢组学中，如基于网络的马尔科夫链蒙特卡洛方法、基于典型相关分析的路径勘探等。
这些方法可以用于潜在途径和代谢子的预测、生物标志物的筛选等。
总之，拓扑分析方法在代谢组学中可以用于探索代谢网络的结构和功能，揭示代谢物的重要性和调控机制，从而为代谢疾病的研究和治疗提供理论基础。
拓扑排序及关键路径
2．有向图在实际问题中的应用 一个有向图可以表示一个施工流程图，或产品生产流程
图，或数据流图等。设图中每一条有向边表示两个子工程之 间的先后次序关系。
若以有向图中的顶点来表示活动，以有向边来表示活动 之间的先后次序关系，则这样的有向图称为顶点表示活动的 网 (Activity On Vertex Network)，简称AOV网。
这样，每个活动允许的时间余量就是l(i) - e(i)。而关键活动 就是l(i) - e(i) = 0的那些活动，即可能的最早开始时间e(i)等于 允许的最晚开始时间l(i)的那些活动就是关键活动。
4．寻找关键活动的算法 求AOE网中关键活动的算法步骤为： （1）建立包含n+1个顶点、e条有向边的AOE网。其中，顶
（4）从汇点vn开始，令汇点vn的最晚发生时间vl[n]=ve[n]， 按逆拓扑序列求其余各顶点k(k=n-1,n-2,…,2,1,0)的最晚发生 时间vl[k]；
（5）计算每个活动的最早开始时间e[k] (k=1,2,3,…,e)； （6）计算每个活动的最晚开始时间l[k] (k=1,2,3,…,e)； （7）找出所有e[k]= l[k]的活动k，这些活动即为AOE网的 关键活动。
上述算法仅能得到有向图的一个拓扑序列。改进上述 算法，可以得到有向图的所有拓扑序列。
如果一个有向图存在一个拓扑序列，通常表示该有向 图对应的某个施工流程图的一种施工方案切实可行；而 如果一个有向图不存在一个拓扑序列，则说明该有向图 对应的某个施工流程图存在设计问题，不存在切实可行 的任何一种施工方案。
事件可能的最早开始时间υe(k)：对于顶点υk代表的事件， υe(k)是从源点到该顶点的最大路径长度。在一个有n+1个事 件的AOE网中, 源点υ0的最早开始时间υe(0)等于0。事件υk （k=1,2,3,…,n）可能的最早开始时间υe(k)可用递推公式表 示为：
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assig n(i nput,'topsort.i n');reset(i nput);
assign(output,'topsort.out');rewrite(output); read(n); //读入顶点数量for i:=1 to n do for j:=1 to n do begi n
read(map[i,j]); //读入邻接矩阵(i,j关系)
if map[i,j]=1 then inc(into[j]); // j 入度为1 则j 点入度数量into[j]累加1 end; begin in it; // 读入数据并初始化for i:=1 to n do begi n j:=1;
while (j<=n)and(into[j]<>0) do inc(j); // 查找第一个入度为0 的点j write(j,' '); // 输出j into[j]:=255; //入度不再为0,而是255,作为已经输出标志for k:=1 to n do
if map[j,k]=1 then dec(into[k]); //把所有以j为前驱的点的入度减去1，即删除这条边end;
close(output);第1 页共4 页
2、关键路径的算法
GJLJ.OUT
Wi沪
14 3 2
program gjlj; const maxn=10; var
map:array[1..maxn,1..maxn] of integer; /〃己录邻接矩阵a:array[1..maxn] of 0..maxn; // 记录拓扑排序后的编号
b:array[1..maxn] of integer; 〃b[i]表示起点至U i 点的最长距离c:array[1..maxn] of 0..maxn; //c[i]表示点i 的前一个编号n:integer;
procedure in it; var i,j:i nteger; beg in
read ln(n);
for i:=1 to n do for j:=1 to n do
read(map[i,j]); //读入邻接矩阵fillchar(a,sizeof(a),0); fillchar(b,sizeof(b),0);
fillchar(c,sizeof(c),0); end;
function tporder:boolean; //拓扌卜排序,成功则返回true var i,j,k:integer;
in to:array[1..max n] of byte; beg in
tporder:=false;
fillchar(into,sizeof(into),0); for i:=1 to n do for j:=1 to n do
if map[i,j]>0 then inc(into[j]); // 计算各点的入度for i:=1 to n do begin
GJLJJN
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