(整理)4定积分的性质.
定积分的性质
x, x Δ i
x , x Δ i
g i
Mif Mig .
于是
i T
fg
x i M i x i M x i
f
M i f xi M ig xi
最小值 m. 由于 m f ( x ) M , x [a , b], 因此
m(b a ) mdx f ( x )dx
a a
b
b
Mdx M (b a ),
a
b
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即
1 b m a f ( x )dx M . ba
由连续函数的介值性定理， [a , b], 使 1 b f ( ) a f ( x )dx. ba
T g i
T
2M
.
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令T T T ( T 表示把 T 与 T 的所有分割点合
并而成的新分割 ), 则
ifg sup f ( x) g( x) f ( x) g( x)
sup g( x) f ( x) f ( x)
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分割 , 且
f ( )Δx f ( )Δx f ( )Δx .
i i T T i i T i i
令 T 0, 则 T 0, T 0, 即得
b a
b
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx .
可积, 且
b
a
( f ( x ) g( x ))dx f ( x )dx g( x )dx .
定积分的性质
定积分可以表示为黎曼和的形式，即将区间[a,b]分成若干小区间，每个小区间的长度为$\Delta x$，并取小区间 的左端点$x_{i-1}$和右端点$x_i$作为积分的下限和上限，然后对每个小区间上的函数值$f(x_i)$进行求和，最后 将所有小区间的和再乘以$\Delta x$得到定积分的值。
对于任意实数$k_1, k_2$，有$\int (k_1f(x) + k_2g(x)) dx = k_1 \int f(x) dx + k_2 \int g(x) dx$
常数倍
对于任意实数$k$，有$\int kf(x) dx = k \int f(x) dx$
区间可加性
区间可加
对于任意分割$a = x_0 < x_1 < \ldots < x_n = b$，有$\int_{a}^{b}f(x) dx = \sum_{i=0}^{n-1} \int_{x_{i}}^{x_{i+1}}f(x) dx$
利用定积分的性质
如果$f(x) \geq g(x)$，则 $\int_{a}^{b}f(x)dx \geq
\int_{a}^{b}g(x)dx$。
利用定积分的性质
如果$f(x) = g(x)$，则$\int_{a}^{b}f(x)dx = \int_{a}^{b}g(x)dx$。
04
定积分的极限性质
定积分的性质
线性性质
定积分具有线性性质，即对于常数$c$和$d$，有$\int_{a}^{b} (c\varphi_1(x) + d\varphi_2(x)) dx = c\int_{a}^{b} \varphi_1(x) dx + d\int_{a}^{b} \varphi_2(x) dx$。
定积分知识点总结
定积分知识点总结什么是定积分？定积分是微积分中的重要概念之一，用于求解曲线下面的面积或曲线与坐标轴所围成的图形的面积。
定积分的基本思想是将区间划分成无限小的小区间，然后对每个小区间内的函数值进行求和，最终得到曲线下的面积或图形的面积。
定积分的符号表示定积分的符号表示为∫f(x)dx，其中∫ 表示积分符号，f(x)表示被积函数，dx表示积分变量。
∫ f(x)dx的结果是一个数值，表示积分区间上的面积。
定积分的计算步骤计算定积分的一般步骤如下：1.确定积分区间：确定被积函数的积分区间，一般用[a, b] 表示。
其中，a 表示下限，b 表示上限。
2.对被积函数进行积分：根据被积函数的形式，进行积分运算。
如果被积函数是简单函数，可以直接对其进行积分。
如果被积函数比较复杂，可以利用积分的基本公式或积分的性质来进行换元、分部积分等操作。
3.计算积分结果：对积分结果进行计算，得到最终的数值结果。
定积分的性质定积分具有以下几个重要的性质：1.线性性质：定积分具有线性性质，即对于任意的常数 a 和 b，有∫(af(x) + bf(y))dx = a∫f(x)dx+ b∫f(y)dy。
2.区间可加性：如果有一个函数在区间 [a, b] 上可积分，而在 [b, c] 上也可积分，则在整个区间 [a, c] 上也可积分，并且有∫[a,c]f(x)dx = ∫[a,b]f(x)dx + ∫[b,c]f(x)dx。
3.积分与求导的关系：定积分与原函数之间存在着积分与求导的关系。
如果函数 F(x) 在区间 [a, b] 上可导，并且导函数 f(x) 连续，则有∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a)。
定积分的应用定积分在科学和工程领域有着广泛的应用，下面介绍一些常见的应用场景：1.几何应用：定积分可以用于计算平面图形的面积和曲线的弧长。
例如，可以通过计算曲线所围成的面积来求解不规则图形的面积。
2.物理学应用：定积分在物理学中的应用非常广泛。
定积分性质
第二节定积分的性质一、基本内容二、小结证*[()()]d baf xg x x ±∫i i i ni x g f ∆±=∑=→)]()([lim 10ξξλi i ni x f ∆=∑=→)(lim 10ξλii ni x g ∆±∑=→)(lim 10ξλ()d b af x x =∫()d .bag x x ±∫[()()]d ba f x g x x ±∫()d b af x x =∫()d bag x x ±∫.（此性质可以推广到有限多个函数代数和的情况此性质可以推广到有限多个函数代数和的情况））性质性质11一、基本内容()d ()d b baakf x x k f x x =∫∫ ( k 为常数).证*()d b akf x x ∫ii ni x kf ∆=∑=→)(lim 10ξλi i ni x f k ∆=∑=→)(lim 1ξλii ni x f k ∆=∑=→)(lim 10ξλ()d .bak f x x =∫性质性质22()d baf x x ∫()d ()d cbacf x x f x x =+∫∫.补充：不论的相对位置如何, 上式总成立.c b a ,,例若,c b a <<()d caf x x ∫()d ()d b cabf x x f x x=+∫∫()d baf x x ∫()d ()d c cabf x x f x x=−∫∫()d ()d .c bacf x x f x x =+∫∫（定积分对于积分区间具有可加性定积分对于积分区间具有可加性））则假设bc a <<性质性质331d b ax ⋅∫d bax =∫a b −=.则()d 0baf x x ≥∫. )(b a <证*,0)(≥x f ∵,0)(≥ξ∴i f ),,2,1(n i ⋯=,0≥∆i x ∵,0)(1≥∆ξ∴∑=i i ni x f },,,max{21n x x x ∆∆∆=⋯λi i ni x f ∆∴∑=→)(lim 10ξλ()d 0.baf x x =≥∫性质性质44性质性质55如果在区间],[b a 上0)(≥x f ，例1 比较积分值2d xe x −∫和2d x x −∫的大小.解令,)(x e x f x−=]0,2[−∈x ,0)(>x f ∵02()d 0,xe x x −∴−>∫2d xe x −∴∫02d ,x x −>∫于是20d xe x −∫20d .x x −<∫性质性质55的推论的推论：：证),()(x g x f ≤∵,0)()(≥−∴x f x g [()()]d 0,ba g x f x x ∴−≥∫()d ()d 0,bbaag x x f x x −≥∫∫于是()d baf x x ∫()d bag x x ≤∫.则()d baf x x ∫()d bag x x ≤∫. ()a b <如果在区间],[b a 上)()(x g x f ≤，（1）()d baf x x ∫()d baf x x ≤∫.)(b a <证,)()()(x f x f x f ≤≤−∵()d ()d ()d ,b b baaaf x x f x x f x x ∴−≤≤∫∫∫即()d baf x x ∫()d baf x x≤∫说明说明：：可积性是显然的.|)(x f |在区间],[b a 上的性质性质55的推论的推论：：（2）设M 及m 分别是函数证,)(M x f m ≤≤∵d ()d d ,bb baaam x f x x M x ∴≤≤∫∫∫()()d ().b am b a f x x M b a −≤≤−∫（此性质可用于估计积分值的大致范围此性质可用于估计积分值的大致范围））则 ()()d ()bam b a f x x M b a −≤≤−∫.)(x f 在区间],[b a 上的最大值及最小值上的最大值及最小值，，性质性质66例2 估计积分301d 3sin x xπ+∫的值. 解,sin 31)(3xx f +=],,0[π∈∀x ,1sin 03≤≤x ,31sin 31413≤+≤x 3000111d d d ,433sin x x x xπππ≤≤+∫∫∫31d .433sin x xπππ≤∴≤+∫例 3 估计积分∫ππ24sin x dx 的值. xπ π x ∈[ , ] 4 2sin x 解 f ( x) = , xx cos x − sin x cos x ( x − tan x ) f ′( x ) = = < 0, 2 2 x xπ π f ( x ) 在 [ , ] 上单调下降, 4 2π π 故 x = 为最大点， 大点， x = 为最小点, 4 2π 2 2 M = f( )= , 4 ππ 2 m= f( )= , 2 ππ π π ∵ b−a = − = , 2 4 42 π sin x 2 2 π 2 dx ≤ ⋅ , ∴ ⋅ ≤ ∫π x π 4 π 4 4π 1 sin x 2 2 dx ≤ . ∴ ≤ ∫π 2 x 2 4 π性质7 性质7（定积分中值定理） 定积分中值定理）如果函数 f ( x ) 在闭区间[a , b]上连续， 上连续，则在积分区间 [ a , b ]上至少存在一个 点 ξ ，使 ∫ f ( x )dx = f (ξ )(b − a ) .ab(a ≤ ξ ≤ b)积分中值公式证∵ m (b − a ) ≤ ∫ f ( x )dx ≤ M (b − a )abb 1 f ( x )dx ≤ M ∴ m≤ ∫ b−a a由闭区间上连续函数的介值定理知在区间 [a , b] 上至少存在一个点 ξ ，使 即b 1 f (ξ ) = f ( x )dx , ∫ b−a a∫b af ( x )d x = f (ξ )( b − a ) . ( a ≤ ξ ≤ b )积分中值公式的几何解释： 积分中值公式的几何解释：yf (ξ )在区间[a , b]上至少存在一 使得以区间[a , b]为 个点ξ ， 底边， 底边， 以曲线 y = f ( x ) 为曲边的曲边梯形的面积oa ξ等于同一底边而高为 f (ξ ) b x 的一个矩形的面积。
(整理)定积分的概念与性质.
第五章 定积分第一节 定积分的概念与性质教学目的：理解定积分的定义，掌握定积分的性质，特别是中值定理. 教学重点：连续变量的累积，熟练运用性质. 教学难点：连续变量的累积，中值定理. 教学内容：一、定积分的定义 １．曲边梯形的面积设)(x f y =在[]b a ,上非负，连续，由直线x a =，x b =，0y =及曲线)(x f y = 所围成的图形，称为曲边梯形．求面积：在区间[]b a ,中任意插入若干个分点b x x x x x a n n =<<<<=-1210 ，把[]b a ,分成n 个小区间[10,x x ],[21,x x ], … [n n x x ,1-]，它们的长度依次为：1122011,,,--=∆-=∆-=∆n n n x x x x x x x x x经过每一个分点作平行于y 轴的直线段，把曲边梯形分成n 个窄曲边梯形，在每个小区间[i i x x ,1-]上任取一点i ξ，以[i i x x ,1-]为底，)(i f ξ为高的窄边矩形近似替代第i 个窄边梯形(1,2,,)i n =，把这样得到的n 个窄矩形面积之和作为所求曲边梯形面积A 的近似值，即n n i x f x f x f A ∆++∆+∆≈)()()(221ξξξ =∑=∆ni i i x f 1)(ξ．设{}0,,,m ax 21→∆∆∆=λλn x x x 时，可得曲边梯形的面积∑=→∆=ni i i A x f A 1)(lim ξ．2．变速直线运动的路程设某物体作直线运动，已知速度)(t v v =是时间间隔[21,T T ]上t 的连续函数，且0v ≥，计算在这段时间内物体所经过的路程S在[21,T T ]内任意插入若干个分点212101T t t t t t T n n =<<<<=- ，把[21,T T ]分成n 个小段[10,t t ]，[21,t t ]，…， [n n t t ,1-]，各小段时间长依次为：,,,,1122011--=∆-=∆-=∆n n n t t t t t t t t t相应各段的路程为：n S S S ∆∆∆,,,21 ，在[i i t t ,1-]上任取一个时刻)(1i i i i t T t T ≤≤-，以i T 时的速度)(i T v 来代替[i i t t ,1-]上各个时刻的速度，则得：i i i t T v S ∆≈∆)( ),,2,1(n i =，进一步得到：n n t T v t T v t T v S ∆++∆+∆≈)()()(2211 =∑=∆ni t T v 111)(设{}0,,,,m ax 21→∆∆∆=λλ当n t t t 时，得：∑=→∆=ni i t T v S 1)(lim λ.3．定积分的定义由上述两例可见，虽然所计算的量不同，但它们都决定于一个函数及其自变量的变化区间，其次它们的计算方法与步骤都相同，即归纳为一种和式极限，即面积∑=→∆=ni iixf A 10)(limξλ，路程∑=→∆=ni iitT v S 1)(limλ.将这种方法加以精确叙述得到定积分的定义定义 设函数],[)(b a x f 在上有界，在[,]a b 中任意插入若干个分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 ，把区间[,]a b 分成n 个小区间],,[,],,[],,[12110n n x x x x x x -各个小区间的长度依次为1122011,,,--=∆-=∆-=∆n n n x x x x x x x x x .在每个小区间[i i x x ,1-]上任取一点i i i i x x ≤≤-εε1(),作函数值)(i f ε与小区间长度i x ∆的乘积),,,2,1()(n i x f i i =∆ε并作出和∑=∆=ni i i x f S 1)(ε.记},,,m ax {21n x x x ∆∆∆= λ,如果不论对[,]a b 怎样分法,也不论在小区间[i i x x ,1-]上点i ε怎样取法,只要当0λ→时,和S 总趋于确定的极限I ,这时我们称这个极限I 为函数)(x f 在区间[,]a b 上的定积分(简称积分)，记作⎰badx x f )(．即⎰badx x f )(=I =∑=→∆n i i i x f 1)(lim ελ,其中)(x f 叫做被积函数，dx x f )(叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，[,]a b 叫做积分区间.注意 积分与积分变量无关，即：⎰⎰⎰==bab abadu u f dt t f dx x f )()()(.函数可积的两个充分条件：定理1 设],[)(b a x f 在上连续，则)(x f 在[,]a b 上可积．定理2 设],[)(b a x f 在上有界，且只有有限个间断点，则],[)(b a x f 在上可积． 例 利用定积分定义计算⎰12dx x .解 2()[0,1]f x x =是上的连续函数，故可积，因此为方便计算，我们可以对[0,1]n 等分，分点i i n i nix ξ;1,,2,1,-==取相应小区间的右端点，故 ∑∑∑===∆=∆=∆n i i in i i ini i i x x x x f 12121)(ξξ=∑∑===ni ni in n ni 1232111)(=)12)(1(6113++n n n n =)12)(11(61n n ++, 时0→λ（即时∞→n ），由定积分的定义得：⎰12dx x =31. 二、定积分的性质：为方便定积分计算及应用，作如下补充规定：(1) 当a b =时，0)(=⎰badx x f ,(2) 当a b >时，-=⎰badx x f )(⎰abdx x f )(.性质1 函数和（差）的定积分等于它们的定积分的和（差），即=±⎰dx x g x f b a)]()([±⎰badx x f )(⎰badx x g )(.证明=±⎰dx x g x f ba)]()([ini iix g f ∆±∑=→1)]()([lim ξξλ=±∆∑=→ini ixf 10)(limξλi ni i x g ∆∑=→1)(lim ξλ=±⎰badx x f )(⎰badx x g )(.性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即=⎰badx x kf )(k⎰badx x f )( (k 是常数).性质3 如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两个区间上定积分之和，即设a c b <<,则=⎰badx x f )(⎰+cadx x f )(⎰bcdx x f )(注意 我们规定无论,,a b c 的相对位置如何，总有上述等式成立. 性质4 如果在区间[,]a b 上，则,1)(≡x f =⎰badx x f )(a b dx ba-=⎰.性质5 如果在区间[,]a b 上，则,0)(≥x f0)(≥⎰badx x f )(b a <证明：因,0)(≥x f 故),,3,2,1(0)(n i f i =≥ξ，又因),,2,1(0n i x i =≥∆，故0)(1≥∆∑=i ni i x f ξ，设12max{,,,},0n x x x λλ=∆∆∆→时，便得欲证的不等式.推论1 如果在[,]a b 上，则),()(x g x f ≤≤⎰badx x f )(⎰badx x g )( )(b a <.推论2≤⎰badx x f )(⎰badx x f )(.性质6 设M 与m 分别是函数],[)(b a x f 在上的最大值及最小值，则≤-)(a b m ≤⎰badx x f )()(a b M - )(b a <性质7 （定积分中值定理）如果函数)(x f 在闭区间[,]a b 上连续，则在积分区间[,]a b 上至少存在一点ξ，使下式成立：))(()(a b f dx x f ba-=⎰ξ （b a ≤≤ξ）.证明：利用性质6，⎰≤-≤b aM dx x f a b m )(1；再由闭区间上连续函数的介值定理，知在[,]a b 上至少存在一点ξ，使⎰-=ba dx x f ba f )(1)(ξ，故得此性质. 显然无论ab >，还是a b <，上述等式恒成立. 做本节后面练习，熟悉上面各性质.积分中值定理的几何释意如下：在区间[,]a b 上至少存在一个ξ，使得以区间[,]a b 为底边, 以曲线)(x f y =为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为)(ξf 的一个矩形的面积，见下图．（在下面做p286图5--4）小结：简捷综述上面各性质．第二节 微积分基本公式教学目的：掌握微积分基本公式及其应用． 教学重点：公式的应用． 教学难点：公式的应用． 教学内容：一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设一物体在一直线上运动，在这直线上取定原点，正方向，单位长度，使其成为一数轴，时刻t 时物体所处的位置()S t ，速度)0)()((≥t v t v 不防设.物体在时间间隔],[21T T 内经过的路程可以用速度函数)(t v 在],[21T T 上的定积分来表达，即21()T T v t dx ⎰另一方面，这段路程可以通过位置函数)(t s 在区间],[21T T 的增量来表示，即)()(12T S T S -故⎰21)(T T dx t v =)()(12T S T S -.注意到()()S t v t '=，即()S t 是)(t v 的原函数.二、积分上限的函数及其导数设)(x f 在],[b a 上连续，并且设x 为],[b a 上任一点，设⎰=Φxadt t f x )()(.则函数)(x Φ具有如下性质：定理1 如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则积分上限函数⎰=Φxadt t f x )()(在],[b a 上具有导数，并且它的导数是()()()xad x f t dt f x dx 'Φ==⎰ （b x a ≤≤）.证明：（1）),(b a x ∈时，()()()x x x x ∆Φ=Φ+∆-Φ=()x xaf t dt +∆-⎰⎰xadt t f )(()()x xxf t dt f x ξ+∆==∆⎰,ξ在x x ∆与之间)()(ξf xx =∆∆Φ 0→∆x 时，有=Φ')(x )(x f .（2）时考虑或b a x =其单侧导数，可得=Φ')(a )(a f ，=Φ')(b )(b f由定理1可得下面结论定理2 如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则函数=Φ)(x ⎰xadt t f )(是)(x f 的一个原函数．Newton 的积分上限函数的几何意义如下：（P209图5—5放在下面）. 三、Newton —Leibniz 公式定理3 如果函数)(x F 是连续函数)(x f 在区间],[b a 上的一个原函数，则=⎰badx x f )(-)(b F )(a F证明 因)(x F 与)(x Φ均是)(x f 原函数，故-)(x F )(x Φ=c （b x a ≤≤）,又因=⎰badx x f )(-Φ)(b )(a Φ, 故 =⎰badx x f )(-)(b F )(a F .为方便起见，把-)(b F )(a F 记作[)(x F ]ba .上述公式就是Newton —Leibniz 公式，也称作微积分基本公式．例1 31303133310312=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰x dx x ． 例２ 计算 ⎰-+31211dx x . 解⎰-+31211dx x =[]π12731=-arctgx . 例3 计算⎰--12x dx.解 []2ln 2ln 1ln ln 11212-=-==⎰----x dx x.例4 计算x y sin =在[π,0]上与x 轴所围成平面图形的面积. 解 []2c o s s i n 00=-==⎰ππx x d x A .上例的几何释义如下：（书图P292， 5--4）.例5 汽车以每小时36km 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度2/5s m a -=刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少路程？解 0=t 时，s m v /100=,t at v t v 510)(0-=+=,2,510)(0=-==t t t v 故,故 =S )(10)510(22m dt t vtdt =-=⎰⎰.即刹车后，汽车需要走10m 才能停住.例6 设)(x f 在(0,)+∞内连续且()0f x >，证明函数⎰⎰=x xdtt f dt t tf x F 00)()()(在(0,)+∞内为单调增加函数．证明⎰xdt t tf dxd 0)(()xf x =，故)(x F '=()0020()()()()0()x xx xf x f t dt f x tf t dt f t dt->⎰⎰⎰. 故)(x F 在(0,)+∞内为单调增加函数.例7 求21cos 02lim xdt e t xx -→⎰.解dxd-=-⎰dt e t x21cos dxd dte t x 21cos 1-⎰=x xe 2cos sin -,利用Hospital 法则得21cos 02limx dt e t xx -→⎰=ex x exx 212sin lim2cos 0=-→.小结：Newton —Leibniz 公式.第三节 定积分的换元法与分部积分法教学目的：掌握换元积分法和分部积分法. 教学重点：熟练运用换元积分法和分步积分法. 教学难点：灵活运用换元法和分部积分法. 教学内容：一、换元积分定理 假设函数)(x f 在],[b a 上连续，函数)(t e x =满足条件： （1）,)(a d =ϕ;)(b =βϕ（2）)(t ϕ在[βα,]（或[αβ,]）上具有连续导数，且其值不越出],[b a , 则有=⎰badx x f )([]dt t t f ⎰'βαϕϕ)()(.例1 计算dx x a a⎰-022 （0a >）.解 设t a x sin =则dt a dx cos =且0=x 时0=t ；2,π==t a x ,故dx x a a⎰-022=dt t a tdt a ⎰⎰+=2022022)2cos 1(2cos ππ=42sin 2122202a t t a ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+. 换元公式也可以反过来使用，即[]='⎰b adx x x f )()(ϕϕ⎰βαdt t f )(.例2 计算dx x x ⎰25sin cos π.解 设x t cos =，则-dt t x d x ⎰⎰-=015205cos cos π=dt t ⎰105=616106=⎥⎦⎤⎢⎣⎡t .例3 计算dx x x ⎰-π053sin sin .解dx x x ⎰-π53sin sin =()dx x x ⎰π223cos sin =()dx x x ⎰π23cos sin =()-⎰dx x x 2023cos sin πxdx x cos )(sin 223⎰ππ=()-⎰x d x sin sin 023πx d x sin )(sin 223⎰ππ=54. 例4 计算dx x x ⎰++4122.解 设12+=x t ，则=x 212-t ,10==t x 时；34==t x 时 故dx x x ⎰++4122=tdt t t ⎰+-312221=()d t t ⎰+312321=3223321313=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+t t . 例5 证明 1)若)(x f 在],[b a 上连续且为偶函数，则⎰-aadx x f )(=⎰adx x f 0)(22）若)(x f 在],[b a 上连续且为奇函数，则⎰-aadx x f )(=0.证明⎰-aadx x f )(=⎰-0)(a dx x f +⎰a dx x f 0)(=⎰--0)(a dx x f +⎰adx x f 0)(=⎰-adx x f 0)(+⎰a dx x f 0)(=⎰-+adx x f x f 0)]()([.1）)(x f 为偶函数时，)(x f +)(x f -=)(2x f ，故⎰-aadx x f )(=⎰adx x f 0)(2．2）)(x f 为奇函数时，)(x f +)(x f -=0，故⎰-aadx x f )(=0．例6 若)(x f 在[0,1]上连续，证明（1）⎰=2)(sin πdx x f ⎰20)(cos πdx x f ；（2）⎰=π)(sin dx x xf ⎰ππ)(sin 2dx x f ，由此计算⎰+π2cos 1sin dx xx x.证明（1）设dt dx t x -=-=则,2π且当0=x 时，2π=t ；当02==t x 时π,故⎰20)(sin πdx x f =t d t f ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--022sin ππ=()⎰02cos πdt t f =()⎰02cos πdx t f .（2）设t x -=π，则⎰π)(s i n dx x xf =⎰---0)()[sin()(πππt d t f t=⎰-)(sin ππdt t f ⎰0)(sin πdt t tf所以(sin )f t dx ππ=⎰⎰ππ)(sin 2dt t f . 利用此公式可得：20sin 1cos x x x dx π=+⎰⎰+ππ02cos 1sin 2dx x x 201cos 21cosx d x ππ=-+⎰ []0(cos )2arctg x ππ=-=42π.例7 设函数=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧<<-+≥-01,cos 110,2x xx xe x ，计算⎰-41)2(dx x f ． 解 设则,2t x =-41(2)f x dx -=⎰21()f t dt -=⎰+⎰-01)(dt t f 2()f t dt ⎰111cos dt t-=++⎰⎰-22dt te t 4111222tge -=-+. 二、分部积分法设)(),(x v x u 在],[b a 上具有连续导数)(),(x v x u ''，则有()v u v u uv '+'='故⎰='badx uv )(⎰+'bavdx u ⎰'badx v u ，⎰⎰-=bab ab a vdu uv udv ][．这就是定积分的分部积分公式．例1⎰21arcsin xdx ．解 设u=arcsin x ,,x v =则120a r c s i n x d x =⎰[]-21a r c s i n sx ⎰-210211dx x x12=arcsin 21+21⎰-21211dx xx112π=-. 例2 计算dx e x ⎰1.解 设t x =，则1d x =⎰210dt e t ⎰=dt te t⎰102102t tde =⎰1022t te ⎡⎤=-⎣⎦dt e t ⎰122(1)e e =--2=. 例3 证明定积分公式xdx I n n ⎰=20sin π1331,,24221342,1.253n n n n n n n n n n π--⎧⋅⋅⋅⎪⎪-=⎨--⎪⋅⋅⎪-⎩为正偶数为大于的正奇数证明 设xdx dv x u n sin ,sin1==-，由分部积分公式可得：--=⎰-xdx n I n n 202sin)1(πxdx n n ⎰-20sin )1(π2(1)(1)n n n I n I -=---故 21--=n n I nn I . 由此递推公式可得所证明等式.小结：分部积分公式.第四节 广义积分教学目的：理解无穷限广义积分和无界函数广义积分和定义及计算. 教学重点：利用广义积分的定义计算. 教学难点：概念产生的背景. 教学内容：一、无穷限广义积分定义1 设函数)(x f 在区间[,)a +∞上连续，取a b >.如果极限-∞→b lim⎰badx x f )(存在，则称此极限为函数)(x f 在无穷区间[,)a +∞上的广义积分,记作⎰+∞adx x f )(,即⎰+∞adx x f )(=-∞→b lim⎰badx x f )(．这时也称广义积分⎰+∞adx x f )(收敛；如果上述极限不存在，函数)(x f 在无穷区间[,)a +∞上的广义积分⎰+∞adx x f )(就没有意义，习惯上称为广义积分⎰+∞adx x f )(发散，这时记号⎰+∞adx x f )(不再表示数值了．类似地，设函数)(x f 在区间(,]b -∞上连续,取a b >，如果极限-∞→a lim⎰badx x f )(存在，则称此极限为函数)(x f 在无穷区间(]b ,∞-上的广义积分，记作⎰∞-bdx x f )(，即⎰∞-bdx x f )(=-∞→a lim⎰badx x f )(．这时也称广义积分⎰∞-bdx x f )(收敛；如果上述极限不存在，就称广义积分⎰∞-b dx x f )(发散．设函数)(x f 在区间（+∞∞-,）上连续，如果广义积分⎰∞-0)(dx x f 和⎰+∞)(dx x f都收敛，则称上述两广义积分之和为函数)(x f 在无穷区间（+∞∞-,）上的广义积分，记作⎰+∞∞-dx x f )(，即()f x dx +∞-∞=⎰⎰∞-0)(dx x f +⎰+∞)(dx x f lima →-∞=⎰-0)(adx x f +-∞→b lim⎰bdx x f 0)(．这时也称广义积分⎰+∞∞-dx x f )(收敛；否则就称广义积分⎰+∞∞-dx x f )(发散．例1 计算广义积分dx x ⎰∞+∞-+211． 解 211dx x +∞-∞=+⎰dx x ⎰∞-+0211+dx x ⎰∞++0211lim a →-∞=dx x a ⎰+0211+-∞→b limdx x b ⎰+0211lim a →-∞=[]+0a arctgx -∞→b lim []barctgx 0022πππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭.上述广义积分的几何释义如下：（书图P316 5--12）. 例2 计算广义积分⎰+∞-0dt te pt （p 是常数，且0p >）解⎰+∞-0dt te pt l i m b →+∞=⎰-bpt dt te 0=+∞→b lim ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎰--b pt bptdt e p e p t 0012001pt pt t e e p p +∞+∞--⎡⎤⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎣⎦1p =-221)10(10lim p p te ptt =----+∞→例3 证明广义积分⎰∞+>a p a dx x )0(1当1>p 时收敛；当1≤p 时发散. 证明 当1=p 时，⎰∞+=a pdx x 1⎰∞+a dx x 1=[]+∞=+∞0ln x ; 当1≠p ，⎰∞+=ap dx x1⎪⎩⎪⎨⎧>-<∞+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∞+-1,11,111p p a p p x p ap,故命题得证.无界函数的广义积分定义2 设函数)(x f 在],[b a 上连续，而在点a 的右邻域内无界，取0>ε，如果+∞→εlim⎰+ba dx x f ε)(存在，则称此极限为函数)(x f 在],[b a 上的广义积分，仍然记作⎰badx x f )(，即⎰badx x f )(=+∞→εlim⎰+ba dx x f ε)(．这时也称广义积分⎰badx x f )(收敛．如果上述极限不存在，就称广义积分⎰badx x f )(发散．类似地，设函数)(x f 在],[b a 上连续，而在点b 的左邻域内无界，取ε>0,如果极限+∞→εlim⎰-εb adx x f )(存在，则定义=⎰badx x f )(+∞→εlim⎰-εb adx x f )(．否则，就称广义积分⎰badx x f )(发散．设函数)(x f 在],[b a 上除点)(b c a c <<外连续，而在点c 的邻域内无界，如果两个广义积分⎰cadx x f )(与⎰bcdx x f )(都收敛，则定义()baf x dx =⎰⎰cadx x f )(+()bcf x dx =⎰+∞→εlim⎰-εc adx x f )(++∞→'εlim⎰'+bc dx x f ε)(否则，就称广义积分发散.例4例5 计算广义积分⎰-axa dx 022（0>a ）解⎰-axa dx 0220l i m ε→+=⎰--εa x a dx 0220l i m ε→+=ε-⎥⎦⎤⎢⎣⎡a a x 0a r c s i n0lim ε→+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--0arcsina a εarcsin12π==. 例6例7 讨论广义积分⎰-1121dx x 的收敛性.解 1211dx x-=⎰+⎰-0121dx x ⎰121dx x ，而0lim+→ε-=⎰--ε121dx x 0lim +→εε--⎥⎦⎤⎢⎣⎡11x =0lim +→ε⎪⎭⎫ ⎝⎛-11ε=∞+ 故所求广义积分⎰-1121dx x 发散．例8 证明广义积分⎰-baqa x dx)(当1<q 时收敛；当1≥q 时发散．证明 当,1时=q []+∞=-=-⎰ba baa x ax dx )ln(，发散;当,1时≠q ⎰-baq a x dx )(=11(),1()11,1qbqa b a q x a q qq --⎧-<⎡⎤-⎪=-⎨⎢⎥-⎣⎦⎪+∞>⎩, 故命题得证.小结：无穷限广义积分与无界函数广义积分的定义.。
定积分的定义和性质
把区间[a, b] 分成 n个小区间[ xi 1 , xi ]， 记 xi xi xi 1 ; 在每个小区间[ xi 1 , xi ] y y f ( x )( 0) 上任取一点 i，
以 [ xi 1 , xi ]为底， f ( i )
f ( i )
为高的小矩形面积为
(a, b) f () 0
推论：如果在区间[a , b] 上 f ( x ) g( x ) ，
则
a f ( x )dx
b
b
a g( x )dx (a b)。
b
证:
f ( x ) g( x ),
g( x ) f ( x ) 0,
a [ g( x ) f ( x )]dx 0, a g( x )dx a f ( x )dx 0,
b
a kf ( x )dx k a f ( x )dx
n λ0 i 1 n
b
b
(k为常数)。
n λ 0
证： kf ( x )dx lim kf ( i )xi lim k f ( i )xi a
i 1
k lim f ( i )xi k f ( x )dx. λ 0
例 比较积分值 0 e dx 和 0 xdx 的大小。
x
2
2
解： 令 f ( x ) e x , x [2, 0]
x
f ( x ) 0,
0
2 (e
0
x
x )dx 0,
2 e
0
x
dx 2xdx, e dx
x
于是
0
2
2 xdx。 0
数学分析9.4定积分的性质
第九章 定积分 4 定积分的性质一、定积分的基本性质性质1：若f 在[a,b]上可积，k 为常数，则kf 在[a,b]上也可积，且⎰bakf(x )dx=k ⎰baf(x )dx.证：当k=0时结论成立. 当k ≠0时，∵f 在[a,b]上可积，记J=⎰ba f(x )dx ， ∴任给ε>0，存在δ>0，当║T ║<δ时，|i n1i i x △)ξ(f ∑=-J|<|k |ε； 又|i n 1i i x △)ξ(kf ∑=-kJ|=|k|·|i n1i i x △)ξ(f ∑=-J|<|k|·|k |ε=ε，∴kf 在[a,b]上可积， 且⎰b a kf(x )dx=k ⎰ba f(x )dx.性质2：若f,g 都在[a,b]上可积，则f ±g 在[a,b]上也可积，且⎰±bag(x )][f(x )dx=⎰b af(x )dx ±⎰bag(x )dx.证：∵f,g 都在[a,b]上可积，记J 1=⎰ba f(x )dx ，J 2=⎰ba g(x )dx. ∴任给ε>0，存在δ>0，当║T ║<δ时，有|i n1i i x △)ξ(f ∑=-J 1|<2ε，|i n1i i x △)ξ(g ∑=-J 2|<2ε.又|i n1i i i x △)]ξ(g )ξ([f ∑=+-(J 1+J 2) |=|(i n1i i x △)ξ(f ∑=-J 1)+(i n1i i x △)ξ(g ∑=-J 2)|≤|i n1i i x △)ξ(f ∑=-J 1|+|i n1i i x △)ξ(g ∑=-J 2)|<2ε+2ε=ε；|i n 1i i i x △)]ξ(g )ξ([f ∑=--(J 1-J 2) |=|(i n 1i i x △)ξ(f ∑=-J 1)+( J 2-i n1i i x △)ξ(g ∑=)|≤|i n 1i i x △)ξ(f ∑=-J 1|+|i n1i i x △)ξ(g ∑=-J 2)|<2ε+2ε=ε.∴f ±g 在[a,b]上也可积，且⎰±b a g(x )][f(x )dx=⎰b a f(x )dx ±⎰ba g(x )dx.注：综合性质1与性质2得：⎰±ba βg(x )]αf(x ) [dx=α⎰b a f(x )dx ±β⎰ba g(x )dx.性质3：若f,g 都在[a,b]上可积，则f ·g 在[a,b]上也可积.证：由f,g 都在[a,b]上可积，从而都有界，设A=]b ,a [x sup ∈|f(x)|，B=]b ,a [x sup ∈|g(x)|，当AB=0时，结论成立；当A>0,B>0时，任给ε>0，则存在分割T ’,T ”， 使得∑'T i i f x △ω<B 2ε，∑''T i i g x △ω<A 2ε. 令T=T ’+T ”，则对[a,b]上T 所属的每一个△i ，有 ωi f ·g =]b ,a [x ,x sup ∈'''|f(x ’)g(x ’)-f(x ”)g(x ”)|≤]b ,a [x ,x sup ∈'''[|g(x ’)|·|f(x ’)-f(x ”)|+|f(x ”)|·|g(x ’)-g(x ”)|]≤B ωi f +A ωi g .又∑⋅Ti g f i x △ω≤B ∑Ti f i x △ω+A ∑Ti g i x △ω≤B ∑'T i f i x △ω+A ∑''T i g i x △ω<B ·B 2ε+A ·A2ε=ε. ∴f ·g 在[a,b]上可积.注：一般情形下，⎰ba f(x )g(x )dx ≠⎰b af(x )dx ·⎰bag(x )dx.性质4：f 在[a,b]上可积的充要条件是：任给c ∈(a,b)，f 在[a,c]与[c,b]上都可积. 此时又有等式：⎰ba f(x )dx=⎰c a f(x )dx+⎰bc f(x )dx. 证：[充分性]∵f 在[a,c]与[c,b]上都可积.∴任给ε>0，分别存在对[a,c]与[c,b]的分割T ’,T ”，使得∑'''T i i x △ω<2ε，∑''''''T i i x △ω<2ε. 令[a,b]上的分割T=T ’+T ”，则有∑Tiix△ω=∑'''Tiix△ω+∑''''''Tiix△ω<2ε+2ε=ε，∴f在[a,b]上可积.[必要性]∵f在[a,b]上可积，∴任给ε>0，存在[a,b]上的某分割T，使∑Tiix△ω<ε. 在T上增加分点c，得分割T⁰，有∑︒︒︒Tiix△ω≤∑Tiix△ω<ε.分割T⁰在[a,c]和[c,b]上的部分，分别构成它们的分割T’和T”，则有∑'' 'Tiix△ω≤∑︒︒︒Tiix△ω<ε，∑''''''Tiix△ω≤∑︒︒︒Tiix△ω<ε，∴f在[a,c]与[c,b]上都可积.又有∑︒︒︒Tiix)△f(ξ=∑'''Tiix)△ξf(+∑''''''Tiix)△ξf(，当║T⁰║→0时，同时有║T’║→0，║T”║→0，对上式取极限，得⎰b a f(x)dx=⎰c a f(x)dx+⎰b c f(x)dx. (关于积分区间的可加性)规定1：当a=b时，⎰baf(x)dx=0；规定2：当a>b时，⎰baf(x)dx=-⎰a b f(x)dx；以上规定，使公式⎰baf(x)dx=⎰c a f(x)dx+⎰b c f(x)dx对于a,b,c的任何大小顺都能成立.性质5：设f在[a,b]上可积. 若f(x)≥0, x∈[a,b]，则⎰baf(x)dx≥0. 证：∵在[a,b]上f(x)≥0，∴f的任一积分和都为非负.又f在[a,b]上可积，∴⎰ba f(x)dx=in1iiTx△)f(ξlim∑=→≥0.推论：(积分不等式性)若f,g在[a,b]上都可积，且f(x)≤g(x), x∈[a,b]，则有⎰baf(x)dx≤⎰b a g(x)dx.证：记F(x)=g(x)-f(x)≥0, x ∈[a,b]，∵f,g 在[a,b]上都可积，∴F 在[a,b]上也可积.∴⎰b a F(x )dx=⎰b a g(x )dx-⎰b a f(x )dx ≥0，即⎰b a f(x )dx ≤⎰ba g(x )dx.性质5：若f 在[a,b]上可积，则|f|在[a,b]上也可积，且 |⎰b a f(x )dx|≤⎰ba |f(x )|dx.证：∵f 在[a,b]上可积，∴任给ε>0，存在分割T ，使∑Ti i f x △ω<ε，由不等式||f(x 1)|-|f(x 2)||≤|f(x 1)-f(x 2)|可得i ||f ω≤i f ω， ∴∑Ti i ||f x △ω≤∑Ti i f x △ω<ε，∴|f|在[a,b]上可积.又-|f(x)|≤f(x)≤|f(x)|，∴|⎰b a f(x )dx|≤⎰ba |f(x )|dx.例1：求⎰11-f(x )dx ，其中f(x)= ⎩⎨⎧<≤<≤.1x 0 ，e ，0x 1-1-2x x-， 解：⎰11-f(x )dx=⎰01-f(x )dx+⎰10f(x )dx=(x 2-x)01-+(-e -x )10=-2-e -1+1=-e -1-1.例2：证明：若f 在[a,b]上连续，且f(x)≥0，⎰ba f(x )dx =0，则 f(x)≡0, x ∈[a,b].证：若有x 0∈[a,b], 使f(x 0)>0，则由连续函数的局部保号性， 存在的x 0某邻域U(x 0,δ)（当x 0=a 或x 0=b 时，则为右邻域或左邻域）， 使f(x)≥21f(x 0)>0，从而有⎰baf(x )dx =⎰δ-x a0f(x )dx+⎰+δx δ-x 00f(x)dx+⎰+bδx 0f(x)dx ≥0+⎰+δx δ-x 0002)f(x dx+0=δf(x 0)>0， 与⎰ba f(x )dx =0矛盾，∴f(x)≡0, x ∈[a,b].二、积分中值定理定理：(积分第一中值定理)若f 在[a,b]上连续，则至少存在一点 ξ∈[a,b]，使得⎰ba f(x )dx =f(ξ)(b-a).证：∵f 在[a,b]上连续，∴存在最大值M 和最小值m ，由 m ≤f(x)≤M, x ∈[a,b]，得m(b-a)≤⎰ba f(x )dx ≤M(b-a)，即m ≤⎰baf(x)a -b 1dx ≤M. 又由连续函数的介值性知，至少存在一点ξ∈[a,b]，使得f(ξ)=⎰baf(x)a -b 1dx ，即⎰b a f(x )dx =f(ξ)(b-a).积分第一中值定理的几何意义：(如图)若f 在[a,b]上非负连续，则y=f(x)在[a,b]上的曲边梯形面积等于以f(ξ)为高，[a,b]为底的矩形面积.⎰ba f(x)a-b 1dx 可理解为f(x)在[a,b]上所有函数值的平均值.例3：试求f(x)=sinx 在[0,π]上的平均值. 解：所求平均值f(ξ)=⎰π0f(x)π1dx=π1(-cosx)π0|=π2.定理：(推广的积分第一中值定理)若f 与g 在[a,b]上连续，且g(x)在[a,b]上不变号，则至少存在一点ξ∈[a,b]，使得g(x )f(x )ba⎰dx =f(ξ)⎰bag(x )dx.证：不妨设g(x)≥0, x ∈[a,b]，M,m 分别为f 在[a,b]上的最大,最小值. 则有mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x), x ∈[a,b]，由定积分的不等式性质，有 m ⎰ba g(x )dx ≤g(x )f(x )ba ⎰dx ≤M ⎰b a g(x )dx. 若⎰ba g(x )dx=0，结论成立.若⎰bag(x )dx>0，则有m ≤dxg(x )g(x )dxf(x )b aba⎰⎰≤M.由连续函数的介值性知，至少存在一点ξ∈[a,b]，使得f(ξ)=dxg(x )g(x )dxf(x )b aba⎰⎰，即g(x )f(x )b a ⎰dx =f(ξ)⎰ba g(x )dx.习题1、证明：若f 与g 在[a,b]上可积，则i n1i i i 0T x △))g(ηf(ξlim ∑=→=⎰⋅ba g f ， 其中ξi , ηi 是△i 内的任意两点. T={△i }, i=1,2,…,n.证：f 与g 在[a,b]上都可积，从而都有界，且fg 在[a,b]上可积. 设|f(x)|<M, x ∈[a,b]，则对[a,b]上任意分割T ，有in 1i iix △))g(ηf(ξ∑==in1i iiiix△)]g(ξ-)g(η))[g(ξf(ξ∑=+=i n1i i i x △))g(ξf(ξ∑=+i g in1i i x △ω)f(ξ∑=≤i n1i i i x △))g(ξf(ξ∑=+M i n1i g i x △ω∑=.∴|i n 1i i i x △))g(ηf(ξ∑=-i n 1i i i x △))g(ξf(ξ∑=|≤M i n1i g i x △ω∑=.∴|i n 1i i i 0T x △))g(ηf(ξlim ∑=→-i n 1i i i 0T x △))g(ξf(ξlim ∑=→|≤0T lim →M i n1i g i x △ω∑==0 ∴i n 1i i i 0T x △))g(ηf(ξlim ∑=→=i n1i i i 0T x △))g(ξf(ξlim ∑=→=⎰⋅ba g f .2、不求出定积分的值，比较下列各对定积分的大小.(1)⎰10x dx 与⎰102x dx ；(2)⎰2π0x dx 与⎰2π0sinx dx.解：(1)∵x>x 2, x ∈(0,1)，∴⎰10x dx>⎰102x dx.(2)∵x>sinx, x ∈(0,2π]，∴⎰2π0x dx>⎰2π0sinx dx.3、证明下列不等式：(1)2π<⎰2π02x sin 21-1dx <2π；(2)1<⎰10x 2e dx<e ；(3)1<⎰2π0x sinx dx<2π；(4)3e <⎰4e e xlnx dx<6. 证：(1)∵1<x sin 21-112<21-11=2, x ∈(0,2π)；∴⎰2π0dx <⎰2π02x sin 21-1dx <⎰2π02dx ，又⎰2π0dx =2π；⎰2π02dx=2π； ∴2π<⎰2π2x sin 21-1dx<2π.(2)∵1<2x e <e, x ∈(0,1)；∴1=⎰10dx <⎰10x 2e dx<⎰10edx =e.(3)∵π2<x sinx <1，x ∈(0,2π)；∴1=⎰2π0dx π2<⎰10x2e dx<⎰2π0dx =2π.(4)令'⎪⎭⎫ ⎝⎛x lnx =x 2lnx -2=0，得x lnx 在[e,4e]上的驻点x=e 2,又e x x lnx ==e 1，e 4x x lnx ==e 2ln4e ，∴在[e,4e]上e 1<x lnx <22elne =e 2；∴3e =⎰4eee1dx <⎰4eexlnx dx<⎰4eee2dx =6.4、设f 在[a,b]上连续，且f(x)不恒等于0. 证明：⎰ba 2[f(x )]dx>0. 证：∵f(x)不恒等于0；∴必有x 0∈[a,b]，使f(x 0)≠0. 又由f 在[a,b]上连续，必有x ∈(x 0-δ, x 0+δ)，使f(x)≠0，则⎰+δx δ-x 200f >0，∴⎰ba 2[f(x )]dx=⎰δ-x a20f +⎰+δx δ-x 200f +⎰+b δx 20f =⎰+δx δ-x 200f +0>0.注：当x 0为a 或b 时，取单侧邻域.5、若f 与g 都在[a,b]上可积，证明：M(x)=b][a,x max ∈{f(x),g(x)}，m(x)=b][a,x min ∈{f(x),g(x)}在[a,b]上也都可积.证：M(x)=21(f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|)；m(x)=21(f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|). ∵f 与g 在[a,b]上都可积，根据可积函数的和、差仍可积，得证.6、试求心形线r=a(1+cos θ), 0≤θ≤2π上各点极径的平均值.解：所求平均值为：f(ξ)=⎰2π0a 2π1(1+cos θ)d θ=2πa(θ+sin θ)2π=a.7、设f 在[a,b]上可积，且在[a,b]上满足|f(x)|≥m>0. 证明：f1在[a,b]上也可积. 证：∵f 在[a,b]上可积，∴任给ε>0，有∑Ti i x △ω<m 2ε.任取x ’,x ”∈△i ，则)x f(1''-)x f(1'=)x )f(x f()x f(-)x f(''''''≤2i mω.设f1在△i 上的振幅为ωi -，则ωi -≤2imω. ∴∑Ti -i x △ω≤∑Ti i 2x △ωm 1<2m1·m 2ε=ε，∴f 1在[a,b]上也可积.8、证明积分第一中值定理(包括定理和中的中值点ξ∈(a,b). 证：设f 在[a,b]的最大值f(x M )=M, 最小值为f(x m )=m ， (1)对定理：当m=M 时，有f(x)≡m, x ∈[a,b]，则ξ∈[a,b]. 当m<M 时，若m(b-a)=⎰b a f(x )dx ，则⎰ba m]-[f(x )dx=0，即f(x)=m ， 而f(x)≥m ，∴必有f(x)≡m ，矛盾. ∴⎰ba f(x )dx >m(b-a). 同理可证：⎰ba f(x )dx <M(b-a).(2)对定理：不失一般性，设g(x)≥0, x ∈[a,b]. 当m=M 或g(x)≡0, x ∈[a,b]时，则ξ∈[a,b].当m<M 且g(x)>0, x ∈[a,b]时，若M ⎰ba g dx-⎰ba fg dx=⎰ba f)g -(M dx=0， 由(M-f)g ≥0，得(M-f)g=0. 又g(x)>0，∴f(x)≡M ，矛盾. ∴⎰ba fg dx <M ⎰ba g dx. 同理可证：⎰ba fg dx>m ⎰ba g dx. ∴不论对定理还是定理，都有ξ≠x M 且ξ≠x m .由连续函数介值定理，知ξ∈(x m ,x M )⊂(a,b)或ξ∈(x M ,x m )⊂(a,b)，得证.9、证明：若f 与g 都在[a,b]上可积，且g(x)在[a,b]上不变号，M,m 分别为f(x)在[a,b]上的上、下确界，则必存在某实数μ∈[m,M]，使得g(x )f(x )ba⎰dx =μ⎰bag(x )dx.证：当g(x)≡0, x ∈[a,b]时，g(x )f(x )ba ⎰dx =μ⎰bag(x )dx=0.当g(x)≠0时，不妨设g(x)>0，∵m ≤f(x)≤M, x ∈[a,b]， ∴m ⎰ba g(x )dx ≤g(x )f(x )ba ⎰dx ≤M ⎰bag(x )dx ，即m ≤dxg(x )g(x )dxf(x )b aba⎰⎰≤M.∴必存在μ∈[m,M]，使g(x )f(x )b a ⎰dx =μ⎰ba g(x )dx.10、证明：若f 在[a,b]上连续，且⎰b a f(x )dx=⎰ba x f(x )dx=0，则在(a,b)内至少存在两点x 1,x 2，使 f(x 1)=f(x 2)=0. 又若⎰ba 2f(x )x dx=0，则f 在(a,b)内是否至少有三个零点证：由⎰ba f =0知，f 在(a,b)内存在零点，设f 在(a,b)内只有一个零点f(x 1)， 则由⎰ba f =⎰1x a f +⎰b x 1f 可得：⎰1x a f =-⎰bx 1f ≠0. 又f 在[a,x 1]与[x 1,b]不变号，∴⎰ba x f =⎰1x a x f +⎰b x 1xf =ξ1⎰1x a f +ξ2⎰b x 1f =(ξ2-ξ1)⎰bx 1f ≠0, (a<ξ1<x 1<ξ2<b)，矛盾.∴f 在(a,b)内至少存在两点x 1,x 2，使 f(x 1)=f(x 2)=0.记函数g=xf(x)，则g 在[a,b]上连续，且⎰b a g(x )dx=⎰ba x f(x )dx=0， 又⎰ba x g(x )dx=⎰ba 2f(x )x dx=0，即有⎰b a g(x )dx=⎰ba x g(x )dx=0，∴g=xf(x)在(a,b)内至少存在两个零点，若f 在(a,b)内至少存在三个零点f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=0，则 g(x 1)=x 1f(x 1)=g(x 2)=x 2f(x 2)=g(x 3)=x 3f(x 3)=0，即g=xf(x)在(a,b)内至少存在三个零点g(x 1)=g(x 2)=g(x 3)=0，矛盾， ∴f 在[a,b]上连续，且⎰ba f(x )dx=⎰b a x f(x )dx=⎰ba 2f(x )x dx=0，则 f 在(a,b)内至少存在两个零点.11、设f 在[a,b]上二阶可导，且f ”(x)>0. 证明：(1)f ⎪⎭⎫⎝⎛+2b a ≤⎰-b a f(x)a b 1dx ； (2)又若f(x)≤0, x ∈[a,b]，则有f(x)≥⎰-baf(x)a b 2dx, x ∈[a,b].证：(1)令x=a+λ(b-a), λ∈(0,1)，则⎰-baf(x)a b 1dx=⎰+10a)]-λ(b f[a d λ， 同理，令x=b-λ(b-a)，也有⎰-ba f(x)ab 1dx=⎰-10a)]-λ(b f[b d λ，则 ⎰-b a f(x)a b 1dx=⎰-++10a)]}-λ(b f[b a)]-λ(b {f[a 21d λ. 又f 在[a,b]上二阶可导，且f ”(x)>0，∴f 在[a,b]上凹，从而有21{f[a+λ(b-a)]+f[b-λ(b-a)]}≥f{21[a+λ(b-a)]+21f[b-λ(b-a)]}=f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2b a . ∴⎰-b a f(x)a b 1dx ≥⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+102b a f d λ=f ⎪⎭⎫⎝⎛+2b a . (2)令x=λb+(1-λ)a ，由f 的凹性得⎰-ba f(x)ab 1dx=⎰+10λ)a]}-f[(1b) {f(λd λ≤⎰+10λ)f(a)]-(1f(b) [λd λ =f(b)1022λ+ f(a)1022λ)-(1-=2f(b)f(a)+. 不妨设f(a)≤f(b)，则f(a)≤f(x)≤0, x ∈[a,b]，又f(b)≤0， ∴⎰-ba f(x)ab 2dx ≤f(a) +f(b)≤f(x).12、证明：(1)ln(1+n)<1+21+…+n1<1+lnn ；(2)lnnn 1211limn +⋯++∞→=1. 证：(1)对函数f(x)=x1在[1,n+1]上取△i =1作分割，并取△i 的左端点为ξi ，则和数∑=n1i i 1是一个上和，∴⎰+1n 1x 1dx<∑=n 1i i1，即ln(n+1)< 1+21+…+n1；同理，取△i 的右端点为ξi ，则和数∑=+1-n 1i 1i 1是一个下和，∴∑=+1-n 1i 1i 1<⎰n 1x 1dx ， 即21+…+n 1<lnn ，∴1+21+…+n1<1+lnn. 得证.(2)由(1)知ln(1+n)<1+21+…+n 1<1+lnn ，∴lnn 1)ln(n +<lnnn 1211+⋯++<1+lnn 1; 又lnn 1)ln(n lim n +∞→=1n n lim n +∞→=1；∞→n lim (1+lnn 1)=1；∴lnnn 1211lim n +⋯++∞→=1.。
定积分的概念及性质
两端分别相加, 得
(n 1)3 1 3(12 22 n2 ) 3(1 2 n) n
即
n3 3n2 3n 3
n
i2 3
n(n1) 2
n
n
i1
i 216 n(n 1)(2n 1)
i1
[a , b]
[a , b]
(a b) 证 由m f ( x) M , 得
b
b
b
m(b a) m d x f ( x)d x M d x M(b a)
a
a
a
例4
估计 I 2ex2 d x 的值.
1
解 由e1 ex2 e4,
得
1 e 2ex2 d x e4 1
定积分 与 积分区间 有关
与积分变量用什么字母表示无关：
b
b
f ( x)dx f (t)dt
a
a
y
y f (x)
y
y f (t)
Oa
bx O a
“面积相同”
bt
三、定积分的几何意义
（曲边梯形面积）
y
A1
a
A2
（曲边梯形面积的负值）
A3
A5
A4
bx
b a
f
(x)d
x
A1
A2
3
f ( )
611 6
定积分中值定理的几何意义： （f (ξ ) :平均高度）
曲边梯形面积 = 某矩形面积
y y f (x)
定积分中值定理的数学意义:
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§4定积分的性质教学目的：熟练掌握定积分性质及积分中值定理。
重点难点：重点为定积分性质及第一中值定理,难点为推广的积分第一中值定理。
教学方法：讲练结合。
一、定积分的基本性质性质1 若[]b a f ,在上可积，k 为常数，则kf 在[]b a ,上也可积，且()()dx x f k dx x kf baba⎰⎰= （1）证 当0=k 时结论显然成立 当0=k 时，由于()(),11J x f k kJ xkf i ni i ini i-∆⋅=-∆∑∑==ξξ其中()dx x f J ba⎰=，由[]b a f ,在上可积时，故任给0>ε，存在0>δ，当时δ<T时，()kJ x f i ni i εξ<-∆∑=1，从而()εξ<-∆∑=kJ xkf ini i1即[]b a kf ,在上可积，且()()dx x f k kJ dx x kf baba⎰⎰==性质2 若g f ,都在[]b a ,上可积，则g f +在[]b a ,上也可积，且()()[]()(),dx x g dx x f dx x g x f ba b a b a ⎰⎰⎰±=± （2）证明与性质1类同．性质l 与性质2是定积分的线性性质，合起来即为()()[]()(),dx x g dx x f dx x g x f bababa⎰⎰⎰+=+βαβα性质3 若g f ,都在[]b a ,上可积；则fg 在[]b a ,上也可积． 证 由g f ,都在[]b a ,上可积，从而都有界，设 []()[](),sup ,sup ,,x g B x f A b a x b a x ∈∈==且0,0>>B A (否则g f ,中至少有一个恒为零值函数，于是g f ⋅亦为零值函数，结论显然成立)．任给0>ε，由g f ,可积，必分别存在分割T '、T ''，使得.2,2Ax Bx i T g i i T f i εωεω<A∆<∆∑∑'''令T T T ''+'= (表示把T '、T ''的所有分割点合并而成的一个新的分割T )．对于[]b a ,上T 所属的每一个i ∆，有()()()()x g x f x g x f ix x gf i''''-''=∆∈'''⋅,sup ω≤()()()()()()[]x g x g x f x f x f x g ix x ''-'⋅''+''-'⋅'∆∈''',sup.gi f i A B ωω+≤可知i Tg i i Tf i i Tg f ix A x B x ∆+∆≤∆∑∑∑⋅ωωωi T g i T i f ix A x B∆+∆≤∑∑'''ωω.22εεε=⋅+⋅<AA BB这就证得g f ⋅在[]b a ,上可积. 注意，在一般情形下()()()().dx x g dx x f dx x g x f bab aba⎰⎰⎰⋅≠性质4 f 在[]b a , 上可积的充要条件是：任给()b a c ,∈，f 在[]c a ,与[]b c ,上都可积．此时又有等式()()().dx x f dx x f dx x f bcc aba⎰⎰⎰+= (3)证 [充分性] 由于f 在[]c a ,与[]b c ,上都可积，故任给0>ε，分别存在对[]c a ,与[]b c ,的分割T '与T ''，使得.2,2εωεω<''∆''<'∆'∑∑'''i T i T i i x x现令T T T ''+'=，它是对[]b a ,的一个分割，且有=∆∑iTi xω∑'+'∆'T iix ωx T i''∆''∑''ωε<由此证得f 在[]b a ,上可积．[必要性] 已知f 在[]b a ,上可积，故任给0>ε，存在对[]b a ,的某分割T ，使得iTi x∆∑ωε<在T 上再增加一个分点c ，得到一个新的分割*T ．又有≤∆**∑ii xωi Ti x ∆∑ωε<分割*T 在[]c a ,和[]b c ,上的部分，分别是对[]c a ,和[]b c ,的分割，记为T '和T ''，则有∑''T iωix '∆≤∑**T iω*∆i x ε<∑'''T iωix ''∆≤**∑*∆i Tix ωε<这就证得f 在[]b a ,与[]c b ,上都可积．在证得上面结果的基础上最后来证明等式(3)．为此对[]b a ,作分割T ，恒使点c 为其中的一个分点，这时T 在[]c a ,与[]b c ,上的部分各自构成对[]c a ,与[]b c ,的分割，分别记为T '与T T ''．由于()∑∆Tiix f ξ=()∙'∆'∑iT ix f ξ()∑''''∆''+T iix f ξ，因此当0→T (同时有0,0→''→'T T )时，对上式取极限，就得到(3)式成立． 口 性质4及公式(3)称为关于积分区间的可加性．当()0≥x f 时，(3)式的几何意义就是曲边梯形面积的可加性．按定积分的定义，记号()dx x f ba⎰只有当b a <时才有意义，而当b a =或b a >时本来 是没有意义的．但为了运用上的方便，对它作如下规定： 规定l 当b a =时，令();0=⎰dx x f ba．规定2 当b a >时，令()()dx x f dx x f abba⎰⎰-=有了这个规定之后，等式(3)对于c b a ,,的任何大小顺序都能成立．例如，当c b a <<时，只要f 在[]c a ,上可积，则有()()()()()()d x x f d x x f d x x f d x x f d x x f d x x f ba c bb ac b b c ca⎰⎰⎰⎰⎰⎰=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+ 性质5 设f 为[]b a ,上的可积函数．若()[]b a x x f ,,0∈≥，则()0≥⎰dx x f ba推论(积分不等式性) 若f 与g 为[]b a ,上的两个可积函数，且()()x g x f ≤，[]b a x ,∈，则有()()dx x g dx x f baba⎰⎰≤ （5）性质6 若f 在[]b a ,上可积，则f 在[]b a ,上也可积，且()().dx x f dx x f ba b a⎰⎰≤（6）证 由于f 在[]b a ,上可积，故任给0>ε，存在某分割T ，使得εω<∆∑Tif ix .由绝对值不等式()()()(),x f x f x f x f ''-'≤''-' 可得f i fiωω≤，于是有.εωω<∆≤∆∑∑i Tf i i Tf ix x从而证得f 在[]b a ,上可积．再由不等式()()()x f x f x f ≤≤-，应用性质5(推论)，即证得不等式（6）成立.注意 这个性质的逆命题一般不成立，例如 ()⎩⎨⎧-=为无理数为有理数，x x x f ,1,1在[]1,0上不可积（类似于狄利克雷函数）；但()1≡x f ，它在[]1,0上可积.例1 求()dx x f ⎰-11，其中()⎩⎨⎧≤≤≤--=-.10,,01,12x e x x x f x解 对于分段函数的定积分，通常利用积分区间可加性来计算，即()()()dx x f dx x f dx x f ⎰⎰⎰+=--10111()dx e dx x x⎰⎰--+-=1112()()10012xe xx ---+-=注1 上述解法中取()()dx x dx x f ⎰⎰---=01112，其中被积函数在0=x 处的值已由原来的()100===-x xef 改为()1120-=-=x x ，由§3习题第3题知道这一改动并不影响f在[]0,1-上的可积性和定积分的值.注 2 如果要求直接在[]1,1-上使用牛顿—莱布尼次公式来计算()()(),1111--=⎰-F F dx x f 这时()x F 应取怎样的函数？读者可对照§2习题第3题来回答.例2证明若f 在[]b a ,上连续，且()()()[]b a x x f dx x f x f ba,,0,0,0∈≡=≥⎰则.证 用反证法.倘若有某[](),0,,00 x f b a x 使∈则由连续函数的局部保号性，存在0x 的某领域()δδ+-00,x x （当a x =0或b x =0时，则为右邻域或左邻域），使在其中()()020>≥x f x f .由性质4和性质5推知()()()()dx x f dx x f dx x f dx x f bx x x x aba⎰⎰⎰⎰++--++=δδδδ0000()(),00200000>=++≥⎰+-δδδx f dx x f x x 这与假设()0=⎰dx x f ba相矛盾.所以()[].,,0b a x x f ∈≡注 从此例证明中看到，即使f 为一非负可积函数，只要它在某一点0x 处连续，且()00>x f ，则必有()0>⎰dx x f ba．(至于可积函数必有连续点，这是一个较难证明的命题，读者可参阅§6习题第7题．) 二 积分中值定理定理9．7 (积分第一中值定理)若f 在[]b a ,上连续，则至少存在一点[]b a ,∈ξ，使得()()().a b f dx x f ba-=⎰ξ （7）证 由于f 在[]b a ,上连续，因此存在最大值M 和最小值m ．由 ()[],,,b a x M x f m ∈≤≤ 使用积分不等式性质得到()()(),a b M dx x f a b m ba-≤≤-⎰或().1M dx x f ab m ba ≤-≤⎰再由连续函数的介值性，至少存在一点[]b a ,∈ξ，使得()(),1dx x f ab f ba ⎰-=ξ （7'）这就证得(7)式成立．积分第一中值定理几何意义为，若f 在[]b a ,上非负连续，则()x f y =在[]b a ,上的曲边梯形面积等于以()ξf 为高，[]b a ,为底的矩形面积．而()dx x f ab ba ⎰-1 可理解为()x f 在区间[]b a ,上所有函数值的平均值．这是通常有限个数算术平均值的推广．例3 试求()x x f sin =在[]π,0上的平均值.解 所求平均值为 ().2cos 1sin 100πππξππ=-==⎰x xdx f定理9．8(推广的积分第一中值定理) 若f 与g 都在[]b a ,上连续，且()x g 在[]b a ,上不变号，则至少存在一点[]b a ,∈ξ，使得()()()()dx x g f dx x g x f bab a⎰⎰=ξ （8）(当()x g 1≡时，即为定理9．6．)证 不妨设()x g 0≥，[]b a x ,∈．这时有 ()()()()[],,,b a x x Mg x g x f x mg ∈≤≤其中m M ,分别为f 在[]b a ,上的最大、最小值．由定积分的不等式性质，得到 ()()()().dx x g M dx x g x f dx x g m bab aba⎰⎰⎰≤≤若，()0=⎰dx x g ba，则由上式知()()dx x g x f b a⎰0=，从而对任何[]b a ,∈ξ，（8）式都成立.若()0>⎰dx x g b a，则得()()()M dxx g dx x g x f m b aba≤≤⎰⎰. 由连续函数的介值性，必至少有一点，使得()()()(),⎰⎰=babadxxgdxxgxffξ便证得（8）式成立。