一元函数积分学(定积分概念性质)

作乘积 f ( i )x i ( i 1,2,)
并作和 S f ( i )x i ，
n
(3)记 max{x1 , x2 ,, xn }， 如果不论对[a , b ]
i 1
也不论在小区间[ x i 1 , x i ] 上 点 i 怎样的取法， 怎样的分法，
只要当 0 时，和 S 总趋于确定的极限 I，
(1)在区间[a, b]内插入若干个分点， a x0 x1 x2 xn1 xn b,
把区间[a, b] 分成 n 个小区间[ xi 1 , xi ]， 长度为 xi xi xi 1 ;
( 2)在每个小区间[ xi 1 , xi ]
y
o a
x1
x i 1 i xi
则 f ( x )dx 0 . (a b)
证 f ( x ) 0, f ( i ) 0, ( i 1,2,, n)
xi 0,

f ( i )xi 0, i 1
n
n
max{x1 , x2 ,, xn }
xn1 b
x
上任取一点 i，以 [ xi 1 , xi ]为底， f (i ) 为高的小矩形面积为
f ( i )xi Ai
曲边梯形面积的近似值为
A Ai f ( i )xi
i 1 i 1
n
n
( 3)当分割无限加细 , 即小区间的最大长度
max{x1 , x2 , xn }趋近于零 ( 0) 时，
ba a n e e n i 1
i ( ba ) n
ba a e e n
ba n
(1 e ba )
ba n
1 e
ba a e lim f ( i )xi lim e 0 i 1 n n
n
ba n
(e ba 1)
定积分的几何意义
定积分的概念习例1-3
3.2.3 定积分的简单性质•中值定理 定积分的性质习例4-8 本节内容小结
一、曲边梯形的面积•变速直线运动的路程 实例1 （求曲边梯形的面积）
曲边梯形由连续曲线 y f ( x ) ( f ( x ) 0) 、
x 轴与两条直线 x a 、
y
y f ( x)
(1) f ( x )在[a , b]上连续; ( 2) f ( x )在[a , b]上只有有限个第一类间 断点; ( 3) f ( x )在[a , b]上单调.
(8)定积分是一个构造性的定义,可利用定义求一些简单 函数的定积分;同时可利用定义求n项和的极限.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
i (b a ) b a f [a ] a f ( x )dx lim n i 1 n n
如Dirichlet函数的讨论. 若定积分存在, 则可用特殊的区间分法和点的取法 来计算定积分. (7)定积分的存在性有以下两个定理(不加证明)
定理1 若f ( x )在[a , b]上可积, 则f ( x )在[a , b]上有界.
定理2 若f ( x )在[a , b]上满足下列条件之一 ,
则f ( x )在[a , b]上可积 :
则
c
a f ( x )dx a f ( x )dx b f ( x )dx
a f ( x )dx c f ( x )dx.
c b
b
c
c
（定积分对于积分区间具有可加性）
性质4
a 1 dx a
b a
b
b
dx b a .
性质5 如果在区间[a, b] 上 f ( x ) 0 ，
ba n
e
1
b a a (e ba 1) lim e n ba n n eb ea
e dx e b e a .
b x a
例2
1 已知0 dx , 求 2 6 4 x 1 1 1 lim( ). 2 2 2 2 2 2 n 4n 1 4n 2 4n n
例3 利用定积分的定义计算y x 1, x 1,
x 2, y 0所围成的图形的面积 . y 解 依题意S 12 ( x 1)dx
i 1 lim [(1 ) 1] n i 1 n n 5 . 2
n
o
1
2 x
三、定积分的简单性质•中值定理 性质1 证
a f ( x )dx a f (t )dt a f (u)du
如果存在, 它就是一个确定的数值!
(2) 当函数 f ( x ) 在区间[a , b] 上的定积分存在时，
b
b
b
称 f ( x ) 在区间[a , b] 上可积.
( 3) 规定 : 当a b时, a f ( x )dx b f ( x )dx, 当a b时, a f ( x )dx a f ( x )dx 0.
面积A f ( x )与[a, b]
路程S v( t )与[T1 , T2 ]
(2) 变与不变的矛盾. (3) 处理方法一样: 分割、近似求和、取极限.
(4) 结果一样: 都是同一形式的和式的极限.
二、 定积分的概念、定积分的几何意义 1.定义 设函数 f ( x ) 在[a , b] 上有界，
(1)在[a , b]中任意插入 若干个分点
a x 0 x1 x 2 x n 1 x n b
各小区间的长度依次为 n 个小区间， 把区间[a , b] 分成
x i x i x i 1 ，( i 1,2,) ，
(2)在各小区间上任取 一点 i （ i x i ），
b a
b
a
(4)当 0时, n ; 但n 时不一定有 0.
(5) 曲边梯形的面积 A a f ( x )dx, 路程 S T v ( t )dt .
1
b
T2
(6) 定义中区间的分法和 i 的取法是任意的.
若对区间的不同的分法 与 i的不同的取法所得到的 积分和的极限不同或不 存在, 则f ( x )在区间上不可积 .
si v( i )t i
某时刻的速度
s v ( i )t i
i 1
n
（3）取极限 max{t1 , t 2 ,, t n } 路程的精确值 s lim v ( i )t i
0 i 1
n
注意: 上述两例的共同点
(1) 所求量与一个函数及区间有关.
思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值．
（1）分割 T1 t0 t1 t 2 t n1 t n T2
t i t i t i 1
部分路程值
（2）求和
1
解
1 1 1 lim( ) 2 2 2 2 2 2 n 4n 1 4n 2 4n n n n 1 1 1 lim lim n i 1 4n 2 i 2 n i 1 i 2 n 4( ) n 1 1 0 dx . 2 4 x 6
高等数学A
第3章 一元函数积分学
3.2 定积分
3.2.1 曲边梯形的面积•变速直线运动的路程 3.2.2 定积分的概念 3.2.3 定积分的简单性质•中值定理
中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组
3.2 定积分
3.2.1 曲边梯形的面积•变速直线运动的路程
定 积 分 的 概 念 与 性 质
3.2.2 定积分的概念
b n
i 1 f ( ) 0 f ( x )dx lim n i 1 n n
1 n
2.定积分的几何意义
f ( x ) 0,
b
lim f ( i ) xi A a f ( x )dx 0
b
n
曲边梯形的面积
n
f ( x ) 0,
lim f ( i )xi lim f ( i ) xi A a f ( x )dx 0 0
I 为函数 f ( x )在区间[a , b] 上的定积分， 我们称这个极限
记为
积分上限
f ( i )x i a f ( x )dx I lim 0 i 1
被 积 函 数
被 积 表 达 式
b
n
积分和
积分下限
积 [a , b] 积分区间 分 变 量
注意：(1) 积分值仅与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的字母无关.
a [ f ( x ) g( x )]dx a f ( x )dx a g( x )dx .
[ f ( i ) g ( i )]xi a [ f ( x ) g( x )]dx lim 0 i 1 lim f ( i )xi lim g( i )xi
A?
o
a b x
x b 所围成.
思考方法: 利用“矩形面积=底高”.
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y y
o
a
（四个小矩形）
b
x o
a
（九个小矩形）
b
x
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边三角形面积的关系．
播放
曲边梯形如图所示，
曲边梯形面积为 A lim f ( i )xi
0 i 1
n
全过程为：分割、近似求和、取极限.
实例2 （求变速直线运动的路程）
设某物体作直线运动 ,已知速度v v ( t )是时间 间隔[T1 , T2 ]上t的一个连续函数 , 且v ( t ) 0, 求物 体在这段时间内所经过 的路程.