212二次根式乘除1
新人教版九年级数学二次根式212二次根式的乘除
新人教版九年级数学第二十一章二次根式21.2二次根式的乘除教学设计教学时间课题21.2二次根式的乘除（第1课时）课型新授教学媒体多媒体教学目标知识技能1.会运用二次根式乘法法则进行二次根式的乘法运算.2.会利用积的算术平方根性质化简二次根式.过程方法1.经历观察、比较、概括二次根式乘法公式，通过公式的双向性得到积的算术平方根性质.2.通过例题分析和学生练习，达成目标1，2，认识到乘法法则只是进行乘法运算的第一步，之后如果需要化简，进行化简，并逐步领悟被开方数的最优分解因数或因式的方法.情感态度培养学生观察、猜想的习惯和能力，勇于探索知识之间内在联系.学习者分析本节首先介绍二次根式的乘法运算。
教科书从具体例子出发，有特殊到一般的归纳给出二次根式的乘法法则，探究中的两个问题是两个不同层次的探究活动。
第一步是让学生通过计算发现规律，第二步是让学生对发现的规律进行验证，因此第一步中的被开方数都是完全平方数，这样有利于学生发现规律，第二步中的被开方数不是完全平方数，要求用计算器检验，已验证规律是否正确。
二次根式的乘法法则是利用从特殊到一般的方法归纳给出的，考虑到学生的年龄特征和知识水平，对法则的合理性没有给出一般的说明。
教学重点双向运用abba=⋅(a≥0，b≥0)进行二次根式乘法运算.教学难点被开方数的最优分解因数或因式的方法.教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图一、复习引入导语设计：上节课学习了二次根式的定义和三个性质，这节课开始学习二次根式的运算，先来学习乘法运算。
二、探究新知(一)二次根式乘法法则活动1、1.填空，完成课本探究1 点题，板书课题.学生计算，观察对比，找规律结合探究内容师生总结教师组织学生小组交流，进行讨论.让学生经历从特殊到一般的认知过程，培养数感.使学生理解二次根式乘法的前提是二次根式有意义.乘法法则推广使学2.用1中所发现的规律比较大小36×4436⨯；2×36活动2、给出二次根式的乘法法则 活动3、思考下列问题：① 公式中为什么要加a ≥0, b ≥0？② 两个二次根式相乘其实就是不变，相乘 ③ c b a ⋅⋅（a ≥0, b ≥0，c ≥0）=练习：课本例1，在（1）（2）之后补充 （3）a a 4⋅ 归纳：运算的第一步是应用二次根式乘法法则，最终结果尽量简化.(二)积的算术平方根性质活动4.将二次根式乘法公式逆用得到积的算术平方根性质 完成课本例2，在（1）（2）之间补充48归纳：化简二次根式实质就是先将被开方数因数分解或因式分解，然后再将能开的尽方的因数或因式开方后移到根号外. 例3. 计算:（1）714⨯ （2）10253⨯；（3）xy x 313⋅分析：（1）第一步被开方数相乘，不必急于得出结果，而是先观察因式或因数的特点，再确定是否需要利用乘法交换律和结合律以及乘方知识将被开方数的积变形为最大平方数或式与剩余部分的积，最后将最大平方数或式开方后移到根号外.（2）运用乘法交换律和结合律将不含根号的数或式与含根号的数或式分别相乘，再把这两个积相乘.，之后同（1）. 三、课堂训练 完成课本练习.补充：1.1112-=-⋅+x x x 成立，求x 的取值范围.2.化简：()03≤-x y x四、小结归纳1.二次根式乘法公式的双向运用；2.进行二次根式乘法运算的一般步骤，观察式子特点灵活选取最优解法. 五、作业设计必做：P12：1、3（1）（2）、4 补充作业： 1．计算:学生板演 利用它就可以将二次根式化简教师归纳总结，学生边听边作笔记.找学生说明解题过程，引导学生先观察、分析，解题后养成说明理由的反思习惯.指导学生交流，教师总结学生独立练习，巩固新知组织学生交流，讨论，达成共识. 师生共同归纳生初步掌握如何计算二次根式乘法.使学生学会化简二次根式双向使用公式，熟练进行计算形成运用技巧，便于解题速度与正确率的 深化理解公式及运用，提高解题能力.纳入知识系统(1)57⨯； (2)2731⨯； (3)155⨯； (4)8423⨯. 2.化简：(1)3227y x ； (2)ab a1832⋅. 3.等边三角形的边长是3，求这个等边三角形的面积 教 学 反 思。
二次根式的乘除优秀PPT课件
实例三
通过综合应用上述法则和方法， 演示复杂二次根式的除法运算过
程，并给出相应的化简结果。
04
复杂表达式中二次根式乘除处理策略
识别并提取复杂表达式中关键信息
观察表达式结构，识 别根号内外各项
留意可能出现的特殊 形式，如完全平方数 、共轭根式等
判断各项是否可开方 及开方后的形式
逐步化简复杂表达式至基本形式
由于计算机内部表示数字的方式（如浮点数表示 法）引起的误差。
截断误差
由于算法设计或计算机精度限制，对无限序列进 行有限项截断所产生的误差。
舍入误差
在数值计算过程中，由于四舍五入或其他舍入方 式而产生的误差。
减小误差方法探讨
选择高精度算法
采用更精确的算法，如高精度运算库，以减少计算过程中的误差 。
增加有效数字位数
同类二次根式除法法则
法则一
两个同类二次根式相除， 把系数相除，根式部分不 变。
法则二
化简根式后再相除，确保 被除数和除数都是最简二 次根式。
法则三
当被除数和除数含有相同 的根号部分时，可以直接 相除并化简。
不同类二次根式除法转换方法
转换方法一
通过有理化分母，将不同类二次 根式转换为同类二次根式进行除
通过增加计算中使用的有效数字位数，降低舍入误差的影响。
误差传播分析
对算法进行误差传播分析，了解误差在计算过程中的传播情况，从 而优化算法设计。
计算技巧总结和分享
简化计算过程
通过合并同类项、提取公因式等方法 简化计算过程，减少计算量，降低误 差产生的可能性。
利用对称性
对于具有对称性的二次根式，可以利 用对称性简化计算过程，提高计算效 率。
法运算。
二次根式的运算加减乘除
二次根式的运算加减乘除二次根式，是指具有根号的数学表达式，常见形式为√a或√(a + b)，其中a和b为实数。
本文将围绕二次根式的运算进行讨论，包括加法、减法、乘法和除法。
一、二次根式的加法对于两个具有二次根式形式的数，如√a和√b，它们的和可以通过以下步骤进行计算：Step 1: 将两个二次根式化简为最简形式，即将根号内的数分解为互质的因数。
例如，√20可以化简为√(4 × 5)，再进一步化简为2√5。
Step 2: 将化简后的二次根式进行合并，即将含有相同根号部分的项相加。
例如，对于√20 + √45，可以分别先将二次根式化简为2√5和3√5，然后相加得到5√5。
因此，二次根式的加法运算要先将根号内的数化简为互质的因数，然后合并相同根号部分。
二、二次根式的减法二次根式的减法与加法类似，也需要先将根号内的数化简为最简形式，然后合并相同根号部分。
以下是减法的步骤：Step 1: 将两个二次根式化简为最简形式。
Step 2: 将化简后的二次根式进行合并，即将含有相同根号部分的项相减。
例如，对于√20 - √45，可以先将二次根式化简为2√5和3√5，然后相减得到-√5。
需要注意的是，减法运算中可能会出现负数的结果，这也是合理的。
三、二次根式的乘法二次根式的乘法运算可以通过以下步骤进行：Step 1: 将两个二次根式进行分解，将根号内的数分别因式分解为互质的因数。
例如，对于√20 × √45，可以将20分解为2 × 2 × 5，45分解为3 × 3 × 5。
Step 2: 将每个二次根式的因数进行合并。
例如，√20 × √45可以化简为(2 × √5) × (3 × √5)。
Step 3: 将合并后的二次根式继续化简为最简形式。
对于(2 × √5) × (3 × √5)，可以合并根号前的系数，得到6 × √(5 × 5)，即6 × √25。
二次根式的乘除
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目录
• 引言 • 二次根式的乘法规则 • 二次根式的除法规则 • 二次根式的乘除混合运算 • 练习和巩固
01
引言
目的和背景
理解二次根式的乘除运算规则
本节旨在介绍二次根式的乘除运算规则，帮助学生掌握其原 理和应用。
为后续学习打下基础
掌握二次根式的乘除运算对于后续学习代数、三角函数等领 域具有重要意义。
$frac{sqrt{20}}{5} div frac{sqrt{15}}{10} = frac{sqrt{20}}{5} times frac{10}{sqrt{15}} = frac{4sqrt{5}}{3}$
$frac{sqrt{3}}{sqrt{2}} div frac{sqrt{5}}{sqrt{4}} = frac{sqrt{3}}{sqrt{2}} times frac{sqrt{4}}{sqrt{5}} = frac{sqrt{6}}{2}$
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谢谢您的观看
除法的运算规则
01
02
03
除法运算的顺序
先进行括号内的运算，再 进行除法运算。
除法运算的简化
在运算过程中，尽可能将 复杂的二次根式化简为简 单的二次根式。
除法运算的化简
在运算过程中，将除法转 换为乘法，并利用根式的 乘法运算法则进行化简。
除法的运算实例
$frac{2}{sqrt{3}} div frac{1}{sqrt{6}} = frac{2}{sqrt{3}} times sqrt{6} = 2sqrt{2}$
练习和巩固
基础练习题
计算 $sqrt{2} times sqrt{3}$
计算 $(sqrt{5} + 1)(sqrt{5} - 1)$
二次根式加减乘除的运算法则
二次根式加减乘除的运算法则二次根式是数学中的一种特殊形式，它常常出现在代数表达式中。
在进行二次根式的加减乘除运算时，需要遵循一定的运算法则。
本文将从加法、减法、乘法和除法四个方面，详细介绍二次根式的运算法则。
一、加法运算法则对于两个二次根式的加法运算，要求根号下的数相同，即根号内数值和根号外系数相等。
例如√3+√3=2√3。
二、减法运算法则对于两个二次根式的减法运算，同样要求根号下的数相同。
例如√5-√2不能直接进行运算，需要进行化简。
化简的方法是将二次根式的根号内数值和根号外系数相同的项合并在一起，即(√5-√2)=(√5+√2)(√5-√2)=5-2=3。
三、乘法运算法则对于两个二次根式的乘法运算，可以运用分配律进行展开。
例如(√3+√2)(√3-√2)=3-2=1。
四、除法运算法则对于两个二次根式的除法运算，需要将被除数和除数进行有理化处理。
有理化处理的方法是将被除数和除数同除以一个数的平方，使得根号内只剩下一个数。
例如(√7+√3)/(√7-√3)可以进行有理化处理，得到[(√7+√3)(√7+√3)]/[(√7-√3)(√7+√3)]=10。
运用以上的加减乘除运算法则，可以解决二次根式的各种运算问题。
接下来，我们通过一些例题来加深理解。
例题1：计算√5+√2+2√5-3√2的值。
解：根据加法运算法则，可以将√5和2√5合并，将√2和-3√2合并，得到(1+2)√5+(-1-3)√2=3√5-4√2。
例题2：计算(√7+√3)(√7-√3)的值。
解：根据乘法运算法则，展开括号得到(√7+√3)(√7-√3)=7-3=4。
例题3：计算(√5+√3)/(√5-√3)的值。
解：根据除法运算法则，进行有理化处理，得到[(√5+√3)(√5+√3)]/[(√5-√3)(√5+√3)]=8/2=4。
通过以上例题的解答，我们可以看到，只要掌握了二次根式的运算法则，就能够轻松解决各种二次根式的加减乘除运算问题。
二次根式的乘除法ppt
乘法运算技巧
对于一些特殊的二次根式乘法，可以采用一些简便方法。
比如$\sqrt{2} \times \sqrt{2}$可以直接得到结果$2$，而$\sqrt{3} \times \sqrt{3}$可以直接得到 结果$3$。
对于$\sqrt{a} \times \sqrt{b}$，如果$a$和$b$都是平方数，那么可以直接得到结果$\sqrt{ab}$。
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3
注意结果的合理性
在进行二次根式乘除法时，需要注意结果的合 理性，以避免出现不符合实际情况的结果。
02
二次根式乘法
乘法运算规则
1
二次根式的乘法运算规则与普通实数的乘法运 算规则类似，但需要注意根号的简化。
2
两个二次根式相乘，只需要将两个根式的指数 相加，再将根号内的数值相乘即可。
3
如果两个二次根式的根号下是相同的数，么 它们相乘的结果就是根号下这个数的平方。
除法运算技巧
对于分母中含有能开方的数时，应尽量先开方再 计算。
对于分母中含有多个相同的数时，应将这个数乘 以分子的系数。
对于分母中含有能凑整的数时，应尽量凑整后再 计算。
04
二次根式乘除法应用
面积计算
总结词
二次根式乘除法在面积计算中有着广泛的应用。
详细描述
在计算矩形、三角形、圆形等图形的面积时，可以利用二次根式乘除法进行计算 ，从而得到精确的结果。
学生在进行二次根式乘除法时，可能会按照常规的运算顺序进行计算，即先乘除 后加减，从而导致计算结果错误。正确的运算顺序应该是先化简二次根式，再进 行乘除运算。
忽略结果是否为最简二次根式
总结词
在进行二次根式乘除法时，学生常常会忽略结果是否为最简 二次根式。
二次根式乘除运算法则
二次根式乘除运算法则二次根式乘除运算法则是数学中重要的乘除运算方法，也是高等数学和数学分析中的重要技能。
二次根式乘除运算可以帮助我们解决复杂的算术表达式，它是数学中的重要操作之一。
一般地说，二次根式乘除运算就是将多项式拆分成几个关于根式的乘除运算，再利用乘方公式求解结果。
因此，二次根式乘除运算具有高效性，在解决多个多项式之间乘除运算更受重视。
要掌握二次根式乘除运算，首先要熟悉它的基本运算法则和注意事项：首先，我们要清楚乘方公式，尤其是负数的乘方公式。
这个公式被用来计算多个多项式的运算结果，比如，当x(a+b)的n次方等于x^a*x^b时，就用到了乘方公式。
第二，当处理多项式时，要注意数值的符号问题，例如，当多项式的系数为正和负系数时，必须要确保其合并结果是正的。
第三，在进行根式乘除运算时，要特别注意分母和分子的乘除关系，例如，当根式的分母为1时，可以直接化简；当分子为1时，也可以直接化简，这样可以节约时间和精力。
第四，任何一个多项式乘除运算都不能忽视乘除法则，例如，如果有一个多项式(ax^2+bx+c)*(dx+e)，由乘除法则，应该有(adx^3+ (ae+bd)x^2 + (be+cd)x + ce)的结果。
第五，有时多项式的乘除运算有较强的难度，而二次根式乘除运算可以使求解过程变得容易，比如，当ax^2+bx+c=0时，可以用一次根式乘除运算法求出x1和x2。
另外，在掌握二次根式乘除运算的过程中，要注意把握逻辑思维和推理的能力，因为在计算的过程中，逻辑思维和推理能力是非常重要的。
以上就是对二次根式乘除运算的基本概念和注意事项，可以说，了解了二次根式乘除运算的基本法则，就可以更好的应用这种运算方式，解决多种复杂的算术表达式，从而提高计算效率、增强逻辑思维能力和抽象思维能力。
二次根式乘除运算是数学中重要的操作，如果正确把握规律，并通过一定的实践来熟悉运算，就可以在解决多种复杂算术表达式时发挥重要作用，从而提高解题的效率。
212二次根式的乘除
212二次根式的乘除加强教学研究促进对话交流拓展专业视野《全校学习》让课堂教学焕发出生命的活力教学目标理解a2b＝ab（a≥0，b≥0），ab=a2b（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简由具体数据，发现规律，导出a2b＝ab（a≥0，b≥0）并运用它进行计算；利用逆向思维，得出ab=a2b（a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．教学重难点关键重点：a2b＝ab（a≥0，b≥0），ab=a2b（a≥0，b≥0）及它们的运用．难点：发现规律，导出a2b＝ab（a≥0，b≥0）．关键：要讲清ab （a<0,b<0）=，如(2)(3)=(2)(3)或(2)(3)=23=233．教学过程一、复习引入1、对于二次根式a中的被开方数a，我们有什么规定？2、当a≥0时，(a)2等于多少？3、当a≥0时，二、探索新知我们看下面的例子：439＝233＝6，a2等于多少？49＝36＝6由此可以得一般地，对二次根式的乘法规定为：439＝4913加强教学研究促进对话交流拓展专业视野《全校学习》让课堂教学焕发出生命的活力a2b＝ab．（a≥0，b≥0）反过来：两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变。
(注：1、注意公式中的非负数的条件；2、在被开方数相乘时，就应该考虑因式分解（或因数分解）；3、ab=a2b（a≥0，b≥0）积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根。
(注：a≥0,b≥0是公式ab=a2b成立的必要条a2b＝ab件，如果不满足这个条件，等式的可以推广为右端就无意义。
)a2b2＝aba≥0，b≥0，c≥0)例1．计算（1）35（2）11327（3）9327（4）3632分析：直接利用a2b＝ab（a≥0，b≥0）计算即可．解：（1）35=15（2）1271327==9333（3）9327=927923=93（4）1136=6=322例2化简（1）916（2）1681（3）8110022（4）9某y（5）（－15）3（－16）（6）4a2b3分析：利用ab=a2b（a≥0，b≥0）直接化简即可．解：（1）916=9316=334=12（2）1681=16381=439=36（3）81100=813100=9310=90222（4）9某y=33某2y2=323某23y2=3某y14加强教学研究促进对话交流拓展专业视野《全校学习》让课堂教学焕发出生命的活力（5）（－15）3（－16）＝25316＝25316＝534=20警示误区（题5）：(6)4ab＝2abb23222应先进行符号运算，不要直接把（－15）3（－16）＝223a23b23b＝2abb注意：从上例可以看出，如果一个二次根式的被开方数中所有的因式(或因数)能开的尽方，可以利化为－153－用积的算数平方根的性质，将这些因式(或因数)开出来，从而将二次根式化简。
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课堂练习：计算( 1 ) x4 x2 y 2 ( 2 ) 2000
解 ： ( 1 ) x4 x2 y2 ＝ x2(x2 y2) ＝ x2 × x2 y2
＝ x x2 y2
( 2 ) 2000 ＝ 102 22 5 ＝ 102 × 22 × 5
＝10×2× 5 ＝20 5
教 【教案重点】理解并掌握积的算术平方根的性质
Байду номын сангаас
材
分 【教案难点】理解并掌握积的算术平方根的性质
析
【教案过程】复习提问：
1、对于二次根式 a 中的被开方数 a ，我们有什么规定？
2、当 a ≥ 0 时，( a )2 等于多少？
3、当 a ≥ 0 时， a2 ＝a 等于多少？
【新课讲解】
我们看下面的例子： 4 9 ＝ 36 ＝ 6 ，
（2） 3 5 2 10
（3） 3x 1 xy 3
解： （1） 14 7 = 14 7 72 2 72 2 7 2;
（2） 3 5 2 10 = 3 2 510 6 52 2 6 5 2 30 2;
（3） 3x 1 xy = 3x 1 x 2 y x 2 y x 2 y x y
科目 数学 年级 初三 班级 237、239 时间 2006 年 3 月 1 日
课题：二次根式的乘除１
教 【目的要求】
案
1、使学生掌握积的算术平方根的性质，会根据这一性质熟练的化简二次根式。
目
2、使学生会用公式和文字两种语言形式来表示积的算术平方根的性质
标
3、熟练掌握公式： a b ab(a 0, b 0).
课堂小结： 这节课我们学习了积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积，即：
ab a b ( a ≥ 0 ，b ≥ 0 )；并且复习了以下公式： a2 a ( a ≥ 0 )。
加深了对非负数 a 的算术平方根的性质的认识。 课外作业： 教科书第 11 页 习题 1、2、3 题，第 15 页第 1 题 教 案 反 思
( 2 ) 4a2b3 ＝ 22 a2 b2 b
＝ 22 × a2 × b2 × b ＝2ab b
注意：从上例可以看出，如果一个二次根式的被开方数中所有的因式(或因数)能 开的尽方，可以利用积的算数平方根的性质，将这些因式(或因数)开出来，从而将二 次根式化简。 例 3： 计算：
（1） 14 7
计
例 1：化简：
( 1 ) 3 5 ( 2 ) 1 27 3
解： ( 1 ) 3 5 = 15 ；
（2）
1
27 =
1 27
=
9 3
3
3
例 2 化简： ( 1 ) 16 81 ( 2 ) 4a2b3
1/2
解： ( 1 ) 16 81 ＝ 16 × 81 ＝4 × 9＝36 ；
4× 9＝ 2 × 3 ＝ 6 。
实
由此可以得
49 ＝ 4 × 9
施
教
一般的，有 ab ＝ a × b ( a ≥ 0 ，b ≥ 0 )
案
这就是说：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
过
程
注意：a ，b 必须都是非负数，上式才能成立。在本章中，如果没有特别说明，
设 所有字母都表示正数。