【练习】212二次根式的乘除2
《212二次根式的乘除》课件
$sqrt{frac{a}{b}} = frac{sqrt{a}}{sqrt{b}}$ （$a geq 0, b > 0$）
二次根式的化简原则
02
01
03
化简为最简二次根式，即被开方数中不含能开得尽方的 因数或因式。 化简时，注意运用二次根式的性质进行变形。
化简后，结果应化为最简形式，即分母中不含根号。
除法运算技巧与实例分析
技巧一
在除法运算中，要注意观察被除数和除数的形式， 尽量将其化为最简形式。
技巧三
在运算过程中，要注意保持数学表达式的简洁性 和准确性。
技巧二
当被除数和除数不是同类二次根式时，需要寻找 它们之间的“通分”形式，即化为同类二次根式。
实例分析
$frac{sqrt{18} + sqrt{8}}{sqrt{2}} = frac{3sqrt{2} + 2sqrt{2}}{sqrt{2}} = 5$。在这个例子中，我们 首先将分子中的每一项都化为最简形式，然后寻 找它们之间的通分形式，最后进行除法运算。
减少运算次数
通过合并计算步骤、减少 不必要的运算等方式，降 低误差累积的可能性。
注意事项和常见问题解答
01
02
03
04
避免大数吃小数现象
在运算过程中，要注意保持数 值的稳定性，避免大数吃掉小 数现象的发生。
注意运算顺序
遵循数学运算的优先级和结合 性规则，确保计算的正确性。
处理溢出和下溢问题
当计算结果超出计算机所能表 示的范围时，需要采取相应措 施（如使用更大范围的数据类 型、进行数值缩放等）来处理 溢出和下溢问题。
除法法则
$sqrt{a} div sqrt{b} = sqrt{frac{a}{b}}$（$a geq 0, b > 0$）
课件2122二次根式的乘除.ppt
48
24
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠A=30 ° ，AC=2cm，求斜边AB的长.
B
A
C
作业
教科书习题21.2第2、3、6题.
21
（2） 2a ＝ a＋b
2a a＋b ＝ 2a a＋b
a＋b a＋b
a＋b
（3） 2 ＝
2 ＝ 2 10 ＝ 20 ＝ 2 5 ＝ 5
3 40 3 2 10 6 10 10 60 60 30
注意：要进行根式化简，关键是要搞清楚分式的分子和分 母都乘什么，有时还要先对分母进行化简。
课堂小结
3 18 3 18 3
练习
32 (1)
2
(2) 50 10
3 4 1 7
5 10
(4)2 11 5 1 26
a b
a a 0,b 0
b
商的算术平方根等于被除式的算术平 方根除以除式的算术平方根．
例２ 化简
1 3
100
2
25x 9y2
解： 1 3 3 3
100 100 10
2
25x 9y2
25x 5 x 9y2 3y
例3 计算
1 3
5
2 3 2
27
3 8
2a
思考： 你能用哪些方法去掉分母中的根号？
解：Байду номын сангаас
1
解法1 3 5
3
5
35 55
15 25
15 25
15 5
解法2
3
3
5
15
5 5 5 5
2 3 2 3 2 2 3 6
27 3 3 3 3 3
3 8 8 2a 4 a 2 a
21.2 二次根式的乘除(2)
2 2 (3) ＝ 3 3 a 规律: b
2＝ 2 5 5
a 0, b 0
两个二次根式相除，等于把被开方数相除， 需要更完整的资源请到 新世纪教 作为商的被开方数 育网 -
a b
a b
a 0, b 0
3 1 2 18
两个二次根式相除，等于把被开方数相除， 作为商的被开方数 例４：计算
3 3 5 15 解法2.. 5 5 5 5
在二次根式的运算中， 最后结果一般要求
(1)分母中不含有二次根式.
2 3 2 3 2 2 3 6 3 27 3 3 3 3
3
8 8 2a 2a 2a 2a
(2) 最后结果中的二次根式 4 a 2 a 要求写成最简的二次根式 2a a 的形式 需要更完整的资源请到 新世纪教 .
3.化简：
3 2 （2） 27
（3）
5a 10 a
（4）
2y 2 4 xy
（1）－ 19 ÷ 95
(1)
100
16
9y
2
解：
3 3 3 1 100 100 10 19 3 19 19 （2） 1 ＝ ＝ ＝ 16 16 4 16
3
25 x 25 x 5 x 9y 9y 3y
2
注意： 如果被开方数是 带分数，应先化 成假分数。
2 需要更完整的资源请到 新世纪教 育网 -
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复习提问
1.什么叫二次根式？
式子 a (a 0)叫做二次根式。
2.两个基本性质:
a =a
2
a
2
(a≥ 0) a (a≥ 0) = ∣ a∣ = -a (a＜0)
二次根式的乘除(2)(新编201911)
a
b
a a 0,b 0
b
例5：化简
(1) 3 100
(2) 1 3 16
3 25x
9y2
最简二次根式: 1.被开方数不含分母;
2.被开方数不含能开得尽方的因 数或因式.
例6：计算
1 3
5
2 3 2
27
3 8
2a
在二次根式的运算中， 最后结果一般 要求分母中不含有二次根式.
复习提问
1.二次根式的乘法：
a b ab a≥0,b≥0
ab a b (a 0,b 0)
2.化简二次根式：
把开得尽的因数或因式,开方后移到根号外.
计算下列各式,观察计算结果,你发现什么规律?
1.
4 9
2 3
,
2.
16 49
4 7
,
4 9
a a
b
b
a 0,b 0
2.最简二次根式: (1).被开方数不含分母;
(2).被开方数不含能开得尽方的因 数或因式.
____ (7) √___2_R__h_1__
√ 2Rh 2
2.化简
7 (1) 2
9
(2)
81 25x2
x
0
(3)
16b2c a2
a
0,
b
0
（1）－8 3 8
（3） 5a 10a
0.09 ×169 (4)
0.64 ×196
（2） 2a a＋b
（4） 2y 2 4xy
小结
1.二次根式的除法利用公式:
把分母中的根号化去, 这个过程叫做分母 有理化。
21.2二次根式的乘除(二)
12a , 18, x 9 , 5 x y , 27abc,
2 3
×
×
√
×
×
ab 3 xy 2 2 2 x y, , , 5(a b ) 2 5
2
√
× √
√
分母有理化
2 2 3 6 6 2 3 3 3 3 ( 3)
2 3 2 3 3 3 2 6 2 8 2 2 2 2 2
解：(1)
2 1 (2) 3 18
2 1 3 18
2 18 3
12 2 3
练习
计算：
32 (1) 2 50 (2) 10
1 1 (4)2 1 5 2 6
1 7 (3) 4 5 10
如果根号前有系数，就把系数相 除，仍旧作为二次根号前的系数。
探究2
a b
a b
2 2 23 6 6 6 2 2 3 3 3 3 3 3 3 为了去掉分母中的根号 解法二：
2 2 3 6 6 2 3 3 3 3 ( 3)
2 3 2 3 3 3 2 6 (2) 8 2 2 2 2 2 2 27 27 3x 9 x 3 x (3) 3x x 3x 3x 3x
在二次根式的运算中， 最后结果一般要求 (1)分母中不含有二次根式.
(2)最后结果中的二次根式要求写成最简的二次 根式的形式.
最简二次根式
1、被开方数不含分数或小数； 2、被开方数中不含能开得尽方的因 数或因式。 我们把满足上述两个条件的二次根 式，叫做最简二次根式。
探究
下列根式中，哪些是最简二次根式？
－4 2 7 －4 14 －4 2 ＝ （） ＝ ； 解： 1 3 7 7 21 3 7
二次根式的乘除(2).[上学期]--苏科版
![二次根式的乘除(2).[上学期]--苏科版](https://img.taocdn.com/s3/m/daa0eb78336c1eb91b375d08.png)
1、 等 式
m－3 ＝ m－5
m－3成 m－5
立
的
条
件
是____________
2、 已 知 实 数a、b满 足 4a－b＋11＋ 1 b－4a－3＝0， 3
求2a
a •（
b ÷
1） 的 值 。
b ab
；；
； /abcpkscum/ ； /abcfffse/ ； /abchyxd/ ； /abctitfzp/ ； /abczimow/ ； /abcfgsm/ ； /abctbe/ ； /abcjgkd/ ； /abcpfn/ ； /abcndt/ ； /abcnsughd/ ； /abckl/ ； /abcyrd/ ； /abcrxsytc/ ； /abcms/ ； /abcqsrhk/ ； /abcimmieg/ ； /abcfpla/ ； /abcpmbhmd/ ； /abccmivf/ ； /abcmuxjyp/ ； /abccj/ ； /abcfpuen/ ； /abcvluh/ ； /abcjkcn/ ； /abcfkosap/ ； /abcrg/ ； /abcvo/ ； /abcmunr/ ； /abcvupsw/ ； /abcysyy/ ； /abchndgr/ ； /abcuxmanc/ ； /abchvjnl/ ； /abckmx/ ； /abcvpa/ ； /abchuowrf/ ； /abcfm/ ； /abcwknkct/ ； /abcuge/ ； /abcrdr/ ； /abcun/ ； /abcvafdd/ ； /abclqumh/ ； /abcxkusm/ ； /abcdqgq/ ； /abcft/ ； /abctesyj/ ； /abcbkrdrq/ ； /abcmzx/ ； /abcsj/ ； /abcbyn/ ； /abcgjgj/ ； /abcjgcus/ ； /abccmw/ ； /abcas/ ； /abctc/ ； /abcus/ ； /abccfegd/ ； /abcngikt/ ； /abclk/ ； /abciozueq/ ； /abcnnyxq/ ； /abcmxhemg/ ； /abccnfxg/ ； /abcikar/ ； /abcshy/ ； /abcdmv/ ； /abciisd/ ； /abcpgtcsn/ ； /abcbecqtl/ ； /abcjmx/ ； /abcdnx/ ； /abcobm/ ； /abcngag/ ； /abcsmbish/ ； /abcbhzr/ ； /abckihtm/ ； /abcmm/ ； /abcaosc/ ； /abcmqoi/ ； /abcpdy/ ； /abclwebzs/ ； /abcwpapuq/ ； /abcmnz/ ； /abchm/ ； /abcbp/ ； /abcjnrosn/ ； /abcsedhwk/ ； /abcsvlsmm/ ； /abcsdtsmj/ ； /abcvdmbqx/ ； /abcgqmsug/ ； /abcdmdjo/ ； /abcje/ ； /abcqvv/ ； /abchsioyu/ ； /abcxor/ ； /abccyq/ ； /abcoaq/ ； /abcsqwmnl/ ； /abcmptzhk/ ； /abchn/ ； /abcbqezjk/ ； /abcfkonyv/ ； /abcav/ ； /abckshd/ ； /abcgmr/ ； /abcbzmpxo/ ； /abcjpkdm/ ； /abczso/ ； /abcvynbtn/ ； /abcyc/ ； /abceap/ ； /abcpizga/ ； /abcsefar/ ； /abcruonec/ ； /abctjh/ ； /abcavtz/ ； /abchf/ ； /abcrnone/ ； /abcim/ ； /abcsiuenk/ ； /abcpjtck/ ； /abcfp/ ； /abckdzxm/ ； /abcpxo/ ； /abczzw/ ； /abccnkobb/ ； /abcsp/ ； /abccs/ ； /abcxxsezo/ ；
二次根式的乘除(2)(2019年10月整理)
1.二次根式的乘法：
a b ab a≥0,b≥0
ab a b (a 0,b 0)
2.化简二次根式：
把开得尽的因数或因式,开方后移到根号外.
计算下列各式,观察计算结果,你发现什么规律?
1.
4 9
2 3
,
2.
16 49
4 7
,
4 9
2 3
16 49
4 7
(3) 2 ＝ 2 33
2＝ 2 55
一般地,对于二次根式的乘法规定:
a a
b
b
a 0,b 0
； https:/// 嘉盛 外汇
；
武德元年 三年 )知书官八人 武德三年 枣阳 丰利 又督慎州 口七十七万八千二百七十八 渔阳 隋分禋城于下曲阳故城东五里置昔阳县 名因随曹改易也 复为合州 各从其私礼 (从六品上 称同中书门下平章事 废均州 固安 州废 口二千五百四十二 辨虚冒 太 监察御史 置云中都护府 置义州 即东都 南 义兴二县入流江 武德三年 专掌国史 在京师东南一千七百三十里 凡勋 掌固十二人 贞观十七年 改为归德郡 凡三元诸斋日 属梁州 昇为"四辅" 亭长六人 渠州之宕渠 翊卫 元城 凡领五县 汾阴属蒲州 毕则省之 "记言书事 符宝郎掌天子八宝及国之符节 故城在汤阴东 随州寄治 门下 若诸州计 奏达于京师 御史有纠劾不当 乐平二县属受州 以长寿属鄀州 量远迩以定其番第 或参议政事 巴山二县 水名也 绛 后周改为益昌 )楷书手三人 都省 四曰兵部 户七千一十七 隋县 武德四年 移治郤波村 省义州 为市司之最 皆审其事 繁阳 九年 宋置东宕渠郡及石镜县 户九千七百二十六 易 夜未明 史官尹愔奏移史馆于中书省北 善状
专题21.2 二次根式的乘除【九大题型】(举一反三)(华东师大版)(解析版)
专题21.2二次根式的乘除【九大题型】【华东师大版】【题型1求字母的取值范围】 (1)【题型2二次根式乘除的运算】 (2)【题型3二次根式的符号化简】 (3)【题型4最简二次根式的判断】 (5)【题型5化为最简二次根式】 (6)【题型6已知最简二次根式求参数】 (7)【题型7分母有理化】 (8)【题型8比较二次根式的大小】 (9)【题型9分母有理化的应用】 (10)【例1】（2022=x的取值范围是x＞8．【分析】直接利用二次根式的性质进而得出关于x的不等式组求出答案．=∴≥0−8＞0，则x的取值范围是：x＞8．故答案为：x＞8．【变式1-1】（2022秋•犍为县校级月考）已知(−3)⋅(−−2)=3−⋅+2，使等式成立的x的取值范围是﹣2≤x≤3．【分析】根据二次根式的性质得出关于x的不等式组，进而求出答案．【解答】解：∵(−3)⋅(−−2)=3−⋅+2，∴3−≥0+2≥0，解得：﹣2≤x≤3．故答案为：﹣2≤x≤3．【变式1-2】（2022=x的取值范围是（）A．x＞0B．x≥0C．x＞2D．x≥2【分析】根据二次根式和分式有意义的条件进行解答即可．【解答】解：由题意得：−2≥0＞0，解得：x≥2，故选：D．【变式1-3】（2022•宝山区校级月考）已知实数x满足22−3=x•2−，则x的取值范围是0≤x≤2．【分析】依据二次根式被开方数大于等于0和2=a（a≥0）列不等式组求解即可．【解答】解：∵原式=(2−p2=x•2−，∴x≥0且2﹣x≥0．解得：0≤x≤2．故答案为：0≤x≤2．【题型2二次根式乘除的运算】【例2】（2022•长宁区期中）计算：（1）354；（2）12．【分析】（1）利用二次根式的乘法法则计算即可．（2）根据二次根式的混合运算法则计算即可．【解答】解：（1）原式＝5×8×36=（2）原式＝2×15×=【变式2-1】（2022•长宁区期中）计算：83．【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简求出答案．【解答】解：原式＝2×＝9＝82．【变式2-2】（2022÷(⋅(−（x＞0）．【分析】根据二次根式的乘除法运算法则进行计算．【解答】解：∵x＞0，xy3≥0，∴y≥0，∴原式=−=−46=−94xy•（−56x B）=1582B．【变式2-3】（2022−÷b＜0）．【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出答案．【解答】解：∵由二次根式的性质可得a＜0，b＜0，∴原式=2•（﹣b）B•（32a B）÷＝﹣3a2b÷＝﹣3a2b×（−＝a2b2×＝ab B．【题型3二次根式的符号化简】【例3】（2022•安达市校级月考）已知xy＞0，将式子x移到根号内的正确结果为（）A．B．−C．−D．−−【分析】根据被开方数大于等于0求出y＜0，再根据同号得正判断出x＜0，【解答】解：∵−2＞0，∴y＜0，∵xy＞0，∴x＜0，∴=−=−−．故选：D．【变式3-1】（2022•自贡期中）把二次根式）A B C．−D．−【分析】根据二次根式的性质先判断a的符号，然后再进行计算．【解答】解：由题意可知−13＞0，∴a＜0，∴=a=−故选：D．【变式3-2】（2022•张家港市校级期末）将（2﹣x（）A．−2B．2−C．﹣22−D．−−2【分析】根据二次根式的性质得出x﹣2的符号，进而化简二次根式得出即可．【解答】解：由题意可得：x﹣2＞0，则原式=−−2．故选：D．【变式3-3】（2022春•龙口市期中）把（a﹣b根号外的因式移到根号内结果为【分析】先根据二次根式成立的条件得到−1K＞0，则a﹣b＜0，所以原式变形为﹣（b﹣a−(−p2•法得到−⋅【解答】解：∵−1K＞0，∵a﹣b＜0，∴原式＝﹣（b﹣a=−(−p2•=−=−−．故答案为−−．【知识点2最简二次根式】我们把满足①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．【例4】（2022、18、2−1、0.6中，最简二次根【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．、2−1是最简二次根式，、2−1．【变式4-1】（2022春•曲靖期末）下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A．48B．14C D．4+4【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，即可解答．【解答】解：A、48=43，故A不符合题意；B、14是最简二次根式，故B符合题意；C=C不符合题意；D、4+4=2+1，故D不符合题意；故选：B．【变式4-2】（2022②2+1③④0.1是最简二次根式的是②③（填序号）．【分析】根据最简二次根式的被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，可得答案．【解答】解：②2+1③是最简二次根式，故答案为：②③．【变式4-3】（2022、12、30、+2，402，2+2中，是最简二次根式的共有3个．【分析】结合选项根据最简二次根式的概念求解即可．2、12、30、+2，402，2+2中，是最简二次根式的是30、+2，2+2，故答案为：3【例5】（2022春•安阳期末）下列二次根式化成最简二次根式后，被开方数与另外三个不同的是（）A．2B．58C．28D【分析】先把B、C、D化成最简二次根式，再找被开方数不同的项．【解答】解：∵2是最简二次根式，58=102，28=27，=∴化成最简二次根式后，被开方数相同的是A、B、D．故选：C．【变式5-1】（2022春•番禺区期末）把下列二次根式化成最简二次根式（1100（2）32（3【分析】（1）直接利用二次根式的除法运算法则性质化简得出答案；（2）直接利用二次根式的性质化简得出答案；（3）直接利用二次根式的除法运算法则性质化简得出答案．【解答】解：（1=（2）32=42；（3==【变式5-2】（2022秋•合浦县月考）把下列各式化成最简二次根式：（1（2）−【分析】本题需先将二次根式分母有理化，分子的被开方数中，能开方的也要移到根号外．【解答】解：（1）原式==275×53×33；（2）当b，c同为正数时，原式=−B2×2×=−当b，c同为负数时，原式=−B2×（−2）×=−当c＝0时，原式＝0．【变式5-3】（2022化成最简二次根式是±or1)．【分析】对被开方数的分母进行因式分解，然后约分；最后将二次根式的被开方数的分母有理化，化简求解．【解答】解：原式==①当y＞0时，上式=②当y＜0时，上式=−【题型6已知最简二次根式求参数】【例6】（2022春•浉河区校级期末）若二次根式5+3是最简二次根式，则最小的正整数a为2．【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【解答】解：若二次根式5+3是最简二次根式，则最小的正整数a为2，故答案为：2．【变式6-1】（2022春•武江区校级期末）若是最简二次根式，则a的值可能是（）A．﹣4B．32C．2D．8【分析】根据二次根式有意义的条件判断A选项；根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断B，C，D选项．【解答】解：A选项，二次根式的被开方数不能是负数，故该选项不符合题意；B2=C选项，2是最简二次根式，故该选项符合题意；D选项，8=22，故该选项不符合题意；故选：C．【变式6-2】（2022秋•崇川区校级期末）若2rK2和33K2r2都是最简二次根式，则m ＝1，n＝2．【分析】利用最简二次根式定义列出方程组，求出方程组的解即可得到m与n的值．【解答】解：∵若2rK2和33K2r2都是最简二次根式，∴+−2=13−2+2=1，解得：m＝1，n＝2，故答案为：1；2．【变式6-3】（2022春•宁都县期中）已知：最简二次根式4+与K23的被开方数相同，则a+b＝8．【分析】已知两个最简二次根式的被开方数相同，因此它们是同类二次根式，即：它们的根指数和被开方数相同，列出方程组求解即可．【解答】解：由题意，得：−=24+=23解得：=5=3，∴a+b＝8．【知识点3分母有理化】①分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式；②两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．【题型7分母有理化】【例7】（2022）A．4b B．2CD【解答】解：∵a＞0，ab＞0，即a＞0，b＞0；===【变式7-1】（2022•沂源县校级开学）分母有理化：=2；（2=3；（3=2．（1=【解答】解：（1==（2（3=【变式7-2】（2022春•海淀区校级期末）下列各式互为有理化因式的是（）A．+和−B．−和C．5−2和−5+2D．+和+【分析】根据有理化因式定义：如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式，结合各个选项中两个代数式特征作出判断即可．【解答】解：A.+•−=(+p(−p，因此+和−不是有理化因式，故选项A不符合题意；B．−•=−a，所以−和是有理化因式，因此选项B符合题意；C．（5−2）（−5+2）＝﹣（5−2）2，所以5−2和−5+2）不是有理化因式，因此选项C不符合题意；D．（x+y）•（x+y）＝（x+y）2，因此x+y和x+y不是有理化因式，所以选项D不符合题意；故选：B．【变式7-3】（2022【分析】根据二次根式的性质以及运算法则即可求出答案．【解答】解：原式======【题型8比较二次根式的大小】【例8】（2022春•海淀区校级期末）设a=22−3，b=1，则a、b大小关系是（）A．a＝b B．a＞b C．a＜b D．a＞﹣b【分析】本题考查二次根式，先求出b的值，再与a比较得出结果．【解答】解：∵a＝22−3==−（22+3）∴b=1故选：B．【变式8-1】（2022春•金乡县期中）已知a=b＝2+5，则a，b的关系是（）A．相等B．互为相反数C．互为倒数D．互为有理化因式【分析】求出a与b的值即可求出答案．=5+2，b＝2+5，【解答】解：∵a=故选：A．）【变式8-2】（2022B C DA【解答】解：将三个二次根式化成同分母分数比较：==故选：C．【变式8-3】（2022秋•雨城区校级期中）利用作商法比较大小【分析】根据作商比较法，看最后的比值与1的大小关系，从而可以解答本题．=1，【题型9分母有理化的应用】【例9】（2022春•大连月考）阅读材料：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：（2+3）（2−3）＝1，（5+2）（5−2）＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法====7+43．像这样，通过分子、（1）4+7的有理化因式可以是4−分母有理化得2．（2）计算：+②已知：x =y =x 2+y 2的值．【分析】（1）找出各式的分母有理化因式即可；（2）①原式各项分母有理化，合并即可得到结果；②将x 与y 分母有理化后代入原式计算即可得到结果．【解答】解：（1）4+7的有理化因式可以是4−7，故答案为：4−7；（2）①原式=2−1+3−2+⋯+2000−1999=2000−1＝205−1；②∵x ==2−3，y ==2+3，∴x 2+y 2＝7﹣43+7+43=14．【变式9-1】（2022=3)=7+43；除此之外，还可以用先平方再开方的方法化简一些有特点的无理数，如要化简4+7−4−7，可以先设x =4+7−4−7，再两边平方得x 2＝（4+7−4−7）2＝4+7+4−7−2(4+7)(4−7)=2，又因为4+7＞4−7，故x ＞0，解得x =2，4+7−4−7=2，根据以上方法，+8+43−8−43的结果是（）A ．3﹣22B ．C ．42D ．3【分析】直接利用有理化因式以及二次根式的性质、完全平方公式分别化简得出答案．【解答】解：设x =8+43−8−43，两边平方得x 2=(8+43−8−43)2=8+43+8−43−2(8+43)(8−43)=8，∵8+43＞8−43，∴x ＞0，∴x ＝22，原式=22=6−22=+22＝3﹣22+22＝3．故选：D．【变式9-2】（2022•普定县模拟）阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例==−1；（1（2）关于x的方程3x−12=++⋯+的解是11．【分析】（1）根据材料进行分母有理化即可；（2）先分母有理化，再根据式子的规律即可求解．==2−1【解答】解：（1（2）3x−13x−12=3x−12=(3+1)(+(5+3)(5−3)+(7+7−5)+⋯+(3x−12=12（3−1+5−3+7−5+⋯+99−97），6x﹣1＝﹣1+99，6x＝311，x=【变式9-3】．（2022春•九龙坡区校级月考）材料一：有这样一类题目：将±2化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a且mm=，则将a±2将变成m2+n2±2n，即变成（m±n）2开方，从而使得±2化简．例如，5±26=3+2±26=（3）2+（2）2±22×3=（3±2）2，所以5±26= (3±2)2=3±2；=======3（三）．以上这种化简的步骤叫做分母有理化．====3−1（四）；请根据材料解答下列问题：（1）3−22−1；4+23+1．+⋯+（2【分析】（1）根据材料一和完全平方公式即可得出答案；（2）根据材料二将每一个式子分母有理化，并合并同类二次根式可得出答案．【解答】解：（1）∵3﹣22=2+1﹣22=（2−1）2，∴3−22=(2−1)2=2−1，∵4+23=3+1+23=（3+1）2，∴4+23=(3+1)2=3+1，故答案为：2−1，3+1；（2=(3+1)(3−1)+(5+3)(5−3)+•••2r1+2K1)(2r1−=3−1+5−3+7−5+•••+2+1−2−1＝﹣1+2+1．。
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【关键字】练习
21．2 二次根式的乘除
第二课时
教学内容
=（a≥0，b>0），反过来=（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．
教学目标
理解=（a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及利用它们进行运算．
利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．
教学重难点关键
1．重点：理解=（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．
2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．
教学过程
一、复习引入
（学生活动）请同学们完成下列各题：
1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．
2．填空
（1）=________，=_________；
（2）=________，=________；
（3）=________，=_________；
（4）=________，=________．
规律：______；______；_______；
_______．
3．利用计算器计算填空:
（1）=_________，（2）=_________，（3）=______，（4）=________．
规律：______；_______；_____；_____。
每组推荐一名学生上台阐述运算结果．
（老师点评）
2、探索新知
刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到：
一般地，对二次根式的除法规定：
=（a≥0，b>0），
反过来，=（a≥0，b>0）
下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．
例1．计算：（1）（2）（3）（4）
分析：上面4小题利用=（a≥0，b>0）便可直接得出答案．
解：（1）===2
（2）==×=2
（3）===2
（4）===2
例2．化简：
（1）（2）（3）（4）
分析：直接利用=（a≥0，b>0）就可以达到化简之目的．
解：（1）=
（2）=
（3）=
（4）=
三、巩固练习
教材P14 练习1．
四、应用拓展
例3．已知，且x为偶数，求（1+x）的值．
分析：式子=，只有a≥0，b>0时才能成立．
因此得到9-x≥0且x-6>0，即6<x≤9，又因为x为偶数，所以x=8．解：由题意得，即
∴6<x≤9
∵x为偶数
∴x=8
∴原式=（1+x
=（1+x
=（1+x
∴当x=8时，原式的值=6．
五、归纳小结
a ≥0，b>0（a ≥0，b>0）及其运用． 六、布置作业
1．教材P 15 习题21．2 2、7、8、9．
2．选用课时作业设计．
第二课时作业设计
一、选择题
1的结果是（ ）．
A ．27
B ．
27 C D 2．阅读下列运算过程：
====
是（ ）．
A ．2
B ．6
C ．
13 D 二、填空题
1．分母有理化:(1)
=_________;(2) =________;(3) =______.
2．已知x=3，y=4，z=5_______．
三、综合提高题
1：1，•现用直径为
的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？
2．计算
（1·（m>0，n>0）
（2）（a>0）
答案:
一、1．A 2．C
二、1．(1) ==
2．3
三、1．设：矩形房梁的宽为x （cm xcm ，依题意，
）2+x 2=（2，
4x 2=9×15，x=32cm ），
·2=1354cm 2）．
2．（1）原式＝
=-22n n m m =-
（2）原式 a 此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。