导数与不等式证明(绝对精华)

二轮专题 （十一） 导数与不等式证明
【学习目标】
1. 会利用导数证明不等式.
2. 掌握常用的证明方法.
【知识回顾】
一级排查：应知应会
1.利用导数证明不等式要考虑构造新的函数，利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题．比如要证明对任意∈x [b a ,]都有)()(x g x f ≤，可设)()()(x g x f x h -=，只要利用导数说明)(x h 在[b a ,]上的最小值为0即可．
二级排查：知识积累
利用导数证明不等式，解题技巧总结如下：
（1）利用给定函数的某些性质（一般第一问先让解决出来），如函数的单调性、最值等，服务于第二问要证明的不等式.
（2）多用分析法思考.
（3）对于给出的不等式直接证明无法下手，可考虑对不等式进行必要的等价变形后，再去证明.例如采用两边取对数（指数），移项通分等等.要注意变形的方向：因为要利用函数的性质，力求变形后不等式一边需要出现函数关系式.
（4）常用方法还有隔离函数法，max min )()(x g x f ≥，放缩法（常与数列和基本不等式一起考查），换元法，主元法，消元法，数学归纳法等等，但无论何种方法，问题的精髓还是构造辅助函数，将不等式问题转化为利用导数研究函数的单调性和最值问题.
（5）建议有能力同学可以了解一下罗必塔法则和泰勒展开式，有许多题都是利用泰勒展开式放缩得来.
三极排查：易错易混
用导数证明数列时注意定义域.
【课堂探究】
一、作差（商）法
例1、证明下列不等式：
①1+≥x e x ②1ln -≤x x ③x x 1-
1ln ≥
④1x 1)-2(x ln +≥
x )1(≥x ⑤)2
,0(,2sin ππ∈>x x x
二、利用max min )()(x g x f ≥证明不等式
例2、已知函数.2
2)(),,(,ln )1(1)(e x e x g R b a x a b x ax x f +-=∈+-+-= （1）若函数2)(=x x f 在处取得极小值0，求b a ,的值；
（2）在（1）的条件下，求证：对任意的],[,221e e x x ∈，总有)()(21x g x f >.
变式：证明：对一切),0(+∞∈x ，都有ex e
x x 21ln ->
成立.
三、构造辅助函数或利用主元法 例3、已知n m ,为正整数，且,1n m <<求证：m n n m )1()1(+>+.
变式：设函数x x f ln )(=，22)(-=x x g （1≥x ）.
(1)试判断)()()1()(2x g x f x x F -+=在定义域上的单调性；
（2）当b a <<0时，求证22)(2)()(b
a a
b a a f b f +->
-.
四、分析法证明不等式
例4、设1>a ，函数a e x x f x
-+=)1()(2.若曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行， 且在点(,)M m n 处的切线与直线OP 平行（O 是坐标原点）,证明：123--
≤e a m .
变式：已知函数x x x f ln )(2=．
（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；
（Ⅱ）证明：对任意的0>t ，存在唯一的s ，使)(s f t =．
（Ⅲ）设（Ⅱ）中所确定的s 关于t 的函数为)(t g s =，证明：当2e t >时，有21ln )(ln 52<<t t g .
五、隔离函数
例5、已知函数)ln()(m x e x f x +-=.
（Ⅰ）设0=x 是)(x f 的极值点，求m 并讨论)(x f 的单调性； （Ⅱ）当2≤m 时，证明:)(x f 0>.
变式：已知函数,,)(R x x nx x f n ∈-=其中*∈N n ，且2≥n .
（1）讨论)(x f 的单调性；
（2）设曲线)(x f y =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为)(x g y =，求证：对于任意的正实数x ，都有)()(x g x f ≤；
（3）若关于x 的方程)()(为实数a a x f =有两个正实数根21,x x ，求证：.2112+-<-n
a x x
六、与数列结合
例6、已知函数3ln )(--=ax x a x f )(R a ∈.
（1）求函数)(x f 的单调区间；
（2）求证：
)2(1ln 44ln .33ln .22ln ≥*∈<n N n n
n n ，
变式：（1）已知),0(+∞∈x ，求证：x
x x x 11ln 11<+<+； （2）求证：)2(1131211ln 1413121≥*∈-++++<<++++n N n n n n ， .
【巩固训练】
1. 已知函数,ln 21)(2x x x f +=
求证：在区间),1(+∞上，函数)(x f 的图像在函数33
2)(x x g =的图像的下方.
2.已知函数()1ln 1x f x x +=-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程；
（Ⅱ）求证：当()01x ∈，时，()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝
⎭； （Ⅲ）设实数k 使得()33x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝
⎭对()01x ∈，恒成立，求k 的最大值．
3.已知210x x <<，求证：n
n n x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+>+222121.
4. 设函数)0()
1ln()(>+=x x x x f .
（1）判断)(x f 的单调性；
（2）证明：e n n
<+)11((e 为自然对数，
*N n ∈).
5.已知函数.)(x e x f x -=
（2）设不等式ax x f >)(的解集为P ，且P ⊆]2,0[，求实数a 的取值范围；
（3）设*∈N n ，证明：1321-<⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛e e n n n n n n
n n n .
6.已知)0()1ln()(2≤++=a ax x x f .
(1) 讨论)(x f 的单调性；
（2）证明：）（421
1+）（4311+）（411n + e <(e 为自然对数，
*N n ∈，2≥n ).
7. 已知函数x x x g x x x f ln )(,)1ln()(=-+=
(2)设b a <<0,证明 ：2ln )()2
(2)()(0a b b a g b g a g -<+-+<.
8.设函数x be x ae x f x x 1
ln )(-+=，曲线()y f x =在点（1，(1)f 处的切线为(1)2y e x =-+. (Ⅰ)求,a b ； （Ⅱ）证明：()1f x >.
9. 已知函数()ax e x f x -=（a 为常数）的图像与y 轴交于点A ，曲线()x f y =在点A 处的切线斜率为-1.
（Ⅰ）求a 的值及函数()x f 的极值；
（Ⅱ）证明：当0>x 时，x e x <2；
（Ⅲ）证明：对任意给定的正数c ，总存在0x ，使得当()∞+∈，
0x x ，恒有x ce x <2.
10.(选作)已知.1)1()(--=x e x x f
（1）证明：当0>x 时，0)(<x f ;
（2）数列}{n x 满足,1,111=-=+x e e x n n x x n 求证：}{n x 递减，且n n x 2
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