指数与对数地意义详解
对数与指数运算
对数与指数运算对数和指数运算是数学中常见且重要的运算方式。
它们在各个领域中都有着广泛的应用。
本文将介绍对数和指数运算的概念、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、对数运算1. 对数的定义与性质对数是指数运算的逆运算。
给定一个正实数a和正整数n，满足an= x，其中x为一个正实数。
则称n为以a为底x的对数，记作logₐx=n。
对数的定义可以表示为一个等式：aⁿ=x。
对于常用对数，即以10为底的对数，简记为log x，常常在实际运算中使用。
自然对数则以e（自然常数）为底，简记为ln x。
对数运算具有以下性质：- 对数的底数必须为正实数且不等于1。
- 对数的真数必须为正实数。
- logₐa = 1，即对数与底数相等时取值为1。
- logₐ1 = 0，即对数与真数相等时取值为0。
- 对数运算可以通过换底公式相互转换：logₐb = logcb / logca。
2. 对数运算的应用对数运算在实际问题中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：(1) 对数在数值表达中的应用：对数运算能够将大数字转换为相对较小的数值，便于计算和表示。
例如，在计算机科学中，用对数刻度来表示计算机内存大小或数据存储量。
(2) 对数在音乐和声音领域的应用：对数运算可以用来计算声音的分贝数（dB），dB是对音量和声音强度的对数刻度的度量单位。
(3) 对数在经济学和金融学中的应用：对数运算可以用来计算复利、利率和投资回报率等重要金融指标，在投资决策和财务管理中起到重要作用。
二、指数运算1. 指数的定义与性质指数是数的重复乘积。
给定一个正实数a和正整数n，满足an = x，其中x为一个正实数。
则称a的n次幂x为指数运算，记作aⁿ=x。
指数运算的定义可以表示为一个等式：a的n次幂等于x。
指数运算具有以下性质：- 指数的底数可以是正实数或负实数，但不能为零。
- 指数必须为整数或分数，不能为复数或无理数。
- 指数运算遵循幂运算的基本规律，如指数相加、相减、相乘、相除等法则。
对数与指数的关系
对数与指数的关系数学中的对数和指数是两个互为逆运算的概念，它们在数学和实际问题中有着重要的应用。
在本文中，我们将探讨对数与指数之间的关系，并介绍它们的性质和应用。
一、指数和幂的基本概念在介绍对数与指数的关系之前，我们先来回顾一下指数和幂的基本概念。
指数是数学中的一个运算符号，表示连乘的次数。
例如，2的3次方可以表示为2³，其中2是底数，3是指数，2³表示将2连乘3次。
幂是指数运算的结果，也就是指数对应的连乘积。
上面的例子中，2³的结果就是8。
二、对数的定义和性质对数是指数运算的逆运算，它能够将指数形式的数转化为幂形式的数。
对数可以用于求解指数方程，探究复杂的指数关系。
1. 对数的定义对数的定义如下：设a为正实数，且a≠1，b为正实数，则以a为底b的对数记作logₐb。
2. 对数的性质对数具有以下性质：（1）logₐ(1) = 0，即任何数以自身为底的对数都等于0。
（2）logₐ(a) = 1，即任何数以自身为底的对数都等于1。
（3）logₐ(ab) = logₐa + logₐb，即两个数的乘积的对数等于它们的对数之和。
（4）logₐ(a/b) =logₐa - logₐb，即两个数的商的对数等于它们的对数之差。
（5）logₐ(a^n) = n·logₐa，即一个数的n次幂的对数等于n乘以这个数的对数。
三、对数与指数的关系对数与指数之间有着密切的关系。
对数运算是指数运算的逆运算，通过对数可以将指数形式的数转化为幂形式的数。
以2³=8为例，其中2是底数，3是指数，8是幂。
将这个指数方程应用到对数中，可以得到以下等式：log₂8 = 3。
这个等式可以理解为，以底数2为底，幂为3的对数等于8。
同样地，通过对数运算，我们可以将其他的指数方程转化为对数方程，从而进行求解。
四、对数与指数的应用对数与指数在科学、工程和经济领域中有广泛的应用。
1. 指数函数指数函数是以指数作为自变量的函数，可以描述许多自然现象和增长模型。
对数与指数的之间的关系理解和归纳
对数与指数的之间的关系理解和归纳知识点：对数与指数之间的关系理解和归纳一、对数与指数的定义和性质1.对数的定义：对数是幂的指数，用来表示幂的次数。
2.指数的定义：指数是基数的幂，用来表示幂的次数。
3.对数的基本性质：(1)对数的底数必须大于0且不等于1。
(2)对数的真数必须大于0。
(3)对数的值是实数。
4.指数的基本性质：(1)指数的底数必须大于0且不等于1。
(2)指数的值可以是正数、负数或0。
(3)指数的幂是实数。
二、对数与指数的互化关系1.对数与指数的互化公式：(1)如果y=log_a(x)，则a^y=x。
(2)如果y=a^x，则log_a(y)=x。
2.对数与指数互化的意义：(1)对数可以用来求解指数方程。
(2)指数可以用来求解对数方程。
三、对数与指数的增长速度1.对数增长速度：对数函数的增长速度逐渐变慢。
2.指数增长速度：指数函数的增长速度逐渐变快。
四、对数与指数的应用1.对数与指数在科学计算中的应用：(1)天文学：计算星体距离。
(2)生物学：计算细菌繁殖。
(3)经济学：计算货币贬值。
2.对数与指数在实际生活中的应用：(1)通信：计算信号衰减。
(2)计算机科学：计算数据压缩率。
(3)物理学：计算放射性物质衰变。
五、对数与指数的图像和性质1.对数图像：对数函数的图像是一条斜率逐渐减小的曲线。
2.指数图像：指数函数的图像是一条斜率逐渐增大的曲线。
3.对数与指数的性质：(1)对数函数的定义域是(0,+∞)，值域是R。
(2)指数函数的定义域是R，值域是(0,+∞)。
(3)对数函数和指数函数都是单调函数。
六、对数与指数的关系总结1.对数与指数是幂的两种表示形式，它们之间可以相互转化。
2.对数与指数具有不同的增长速度，对数增长速度逐渐变慢，指数增长速度逐渐变快。
3.对数与指数在科学研究和实际生活中有广泛的应用。
4.对数与指数的图像和性质反映了它们的单调性和变换规律。
通过以上对对数与指数之间关系的理解和归纳，我们可以更好地掌握对数与指数的知识，并在学习和生活中灵活运用。
几何中的指数与对数
几何中的指数与对数在几何学中，指数和对数是两个重要的概念，它们在解决各种几何问题时具有广泛的应用。
本文将探讨几何中的指数和对数，包括它们的定义、性质以及在几何问题中的具体运用。
1. 指数的定义与性质指数是一种表示乘方的数学运算。
在几何中，指数通常表示为幂次的形式，即a^n，其中a是底数，n是指数。
指数表示的是底数连乘的次数。
在几何中，指数的性质如下：- 指数为0时，任何数的0次幂等于1，即a^0 = 1。
- 指数为正整数时，表示连乘的次数，例如a^2表示a与自己连乘两次。
- 指数为负整数时，表示连除的次数，例如a^-2表示a与自己连除两次。
- 指数为分数时，表示连乘的根号次数，例如a^(1/2)表示对a开平方根。
指数在几何中的应用举例：- 面积与指数关系：在几何中，面积通常与指数相关。
例如，正方形的面积公式为边长的平方，即A = s^2，其中s为正方形的边长。
- 体积与指数关系：在几何中，体积也与指数相关。
例如，立方体的体积公式为边长的立方，即V = s^3，其中s为立方体的边长。
2. 对数的定义与性质对数是指数的逆运算。
在几何中，对数通常表示为log_a(x)，其中a 为底数，x为真数。
对数表示的是底数的指数。
在几何中，常见的对数是以10为底的常用对数（通常简写为log(x)）和以e（自然对数的底数，约为2.71828）为底的自然对数（通常简写为ln(x)）。
对数的性质如下：- 对数的底数必须是正实数，并且不能等于1。
- 对数与指数的互逆性：log_a(a^x) = x，a^log_a(x) = x。
- 对数的运算法则：log_a(x * y) = log_a(x) + log_a(y)，log_a(x / y) = log_a(x) - log_a(y)。
对数在几何中的应用举例：- 相似三角形的比例关系：在几何中，相似三角形的边长比例可以用对数来表示。
例如，在一个正三角形中，边长与面积之间存在着特定的对数关系。
指数和对数的基本概念
指数和对数的基本概念指数和对数是数学中的重要概念，它们在各个领域中广泛应用。
指数和对数的基本概念和性质可以帮助我们更好地理解和解决各种数学问题。
本文将介绍指数和对数的基本定义、性质以及应用。
一、指数的基本概念指数是数学运算中常常用到的概念，它表示某个数的乘法的次数。
指数通常以上标形式表示在一个数的右上方，如2²。
在指数运算中，底数表示要进行乘法的数，指数表示乘法的次数。
例如，2²表示2乘以自身，即2x2=4。
指数运算有许多重要的性质：1. 同底数幂的乘法法则：a^m × a^n = a^(m+n)。
即，同一个底数的幂相乘，底数不变，指数相加。
2. 幂的乘法法则：(a^m)^(n) = a^(m×n)。
即，一个幂的指数再求幂，底数不变，指数相乘。
3. 任何数的0次幂等于1：a^0 = 1，其中a≠0。
即，任何数的0次幂都等于1。
二、对数的基本概念对数是指数运算的逆运算，它可以帮助我们求解指数运算中的未知数。
对数通常以log形式表示，如log₃9。
在对数运算中，底数表示对数运算的基数，真数表示对数结果。
例如，log₃9表示以3为底9的对数，即3的几次方等于9。
对数运算也有一些重要的性质：1. 对数的乘法法则：logₐ(m×n) = logₐm + logₐn。
即，两个数的乘积的对数等于这两个数的对数相加。
2. 对数的除法法则：logₐ(m/n) = logₐm - logₐn。
即，两个数的商的对数等于这两个数的对数相减。
3. 对数的幂运算法则：logₐ(m^n) = n × logₐm。
即，一个数的幂的对数等于幂数乘以这个数的对数。
三、指数和对数的应用指数和对数在数学以及其他学科中的应用广泛，以下是一些常见的应用场景：1. 科学计数法：科学计数法使用指数来表示非常大或非常小的数。
例如，1.23×10³表示1.23乘以10的3次方。
指数对数理解指数与对数的关系解决指数与对数的相关问题
指数对数理解指数与对数的关系解决指数与对数的相关问题指数与对数是数学中重要的概念，它们之间存在着密切的关系。
本文将从不同角度出发，详细介绍指数与对数的定义、性质以及它们之间的关系，并以此为基础解决一些相关问题。
一、指数和对数的定义1. 指数的定义指数是表示一个数以另一个数为底的幂的运算。
设a和b是两个正实数（a ≠ 1），则a的b次方可以表示为a^b，其中a称为底数，b称为指数。
2. 对数的定义对数是指一个数在某个底数下的指数。
设a和b是两个正实数（a > 0，且a ≠ 1），则数x满足a^x = b时，x称为以a为底b的对数，记作x = loga(b)，其中a称为底数，b称为真数。
二、指数与对数的性质指数和对数具有一些重要的性质，下面分别介绍。
1. 指数的性质（1）指数的乘法法则：a^m * a^n = a^(m+n)，其中a是底数，m和n是指数。
（2）指数的除法法则：a^m / a^n = a^(m-n)，其中a是底数，m和n 是指数。
（3）指数的幂法则：(a^m)^n = a^(m*n)，其中a是底数，m和n是指数。
（4）指数的零法则：a^0 = 1，其中a是底数。
2. 对数的性质（1）对数与指数的互逆性质：loga(a^x) = x，其中a是底数，x是指数。
（2）对数的乘法法则：loga(m * n) = loga(m) + loga(n)，其中a是底数，m和n是真数。
（3）对数的除法法则：loga(m / n) = loga(m) - loga(n)，其中a是底数，m和n是真数。
（4）对数的幂法则：loga(m^n) = n * loga(m)，其中a是底数，m是真数，n是指数。
三、指数与对数的关系指数与对数有着密切的关系，它们是互为反函数。
具体地说，如果a^x = b，则可以得到x = loga(b)，反之亦然。
通过指数和对数的关系，可以解决一些相关问题。
下面举两个例子来说明。
数学中的对数与指数函数
在数学中，对数和指数函数是两个重要的概念，它们在许多领域中都有广泛的应用。
对数函数是指数函数的反函数，通过将指数函数的自变量和因变量互换而得到。
本文将介绍对数和指数函数的定义、性质和应用。
首先，让我们来看一下指数函数。
指数函数是形式为f(x) = a^x的函数，其中a是实数且a>0，a≠1，x是任意实数。
指数函数的特点是底数a的不同取值会产生不同的图像。
当a大于1时，函数图像在y轴上升，而当0<a<1时，函数图像在y轴下降。
指数函数的图像还具有一个重要的特点，即以y轴为对称轴。
指数函数的应用广泛，例如在复利计算、人口增长和放射性衰变等方面都有应用。
接下来，让我们来介绍对数函数。
对数函数是指数函数的反函数，通过将指数函数的自变量和因变量互换而得到。
对数函数的一般形式为f(x) = loga(x)，其中a是一个正实数且a≠1，x是一个正实数。
对数函数的特点是a是对数的底数，它决定了函数的增长速度。
当底数a大于1时，对数函数图像在x轴正半轴上升，而当0<a<1时，图像在x轴正半轴下降。
对数函数的图像还具有一个重要的特点，即过点(1,0)。
对数函数在许多领域中都有应用，例如在测量声音强度（分贝计算）、解方程和描述算法复杂度等方面。
对数和指数函数之间有很多重要的关系。
首先，指数函数和对数函数是互为反函数，即f(g(x))=g(f(x))=x。
这意味着对数函数可以用来解指数方程，而指数函数可以用来解对数方程。
其次，在指数函数中，a^x=1等价于x=loga(1)。
这个等式表明对数函数是指数函数等于1时的特殊情况。
此外，指数函数和对数函数也满足一些重要的运算法则，例如对数的乘法法则（loga(xy) = loga(x) + loga(y)）、对数的除法法则（loga(x/y) = loga(x) - loga(y)）和对数的幂法法则（loga(x^y) = y*loga(x)）等。
指数与对数的应用
指数与对数的应用指数与对数是数学中常见的概念，在广泛的领域中有着重要的应用。
本文将介绍指数与对数的定义、性质以及它们在不同领域中的应用。
一、指数的定义与性质1.1 指数的定义指数是表示一个数被乘若干次的简便方法，通常用一个上标表示。
例如，aⁿ表示将a连乘n次，其中a称为底数，n称为指数。
1.2 指数的性质指数具有以下性质：（1）指数为0时，任何非零数的指数为0，即a⁰=1，其中a≠0。
（2）指数为正数时，底数与指数相乘，即aⁿ⁽ᵐ⁾=a⁽ⁿᵐ⁾。
（3）指数为负数时，底数倒数的指数等于底数的指数，即a⁻ⁿ=1⁄aⁿ。
二、对数的定义与性质2.1 对数的定义对数是指数的逆运算。
对数函数的底数为常数，通常用log表示。
例如，logₐb=c表示a的c次幂等于b，其中a为底数，b为真数，c为对数。
2.2 对数的性质对数具有以下性质：（1）对数的底数不能为0或1，即a≠0, a≠1。
（2）底数与对数互为倒数，即logₐa=1/logₐa=a⁻¹。
（3）对数的和等于底数相乘，即logₐ(m*n)=logₐm+logₐn。
（4）对数的差等于底数的商，即logₐ(m/n)=logₐm-logₐn。
三、3.1 科学计算在科学计算中，指数与对数被广泛应用。
指数函数在数据的呈指数增长或衰减时具有较好的表示能力。
对数函数可将大范围的数值转换成较小的数值，便于处理和计算。
3.2 经济学在经济学中，指数与对数被应用于计算通货膨胀率、经济增长率以及计算利率等方面。
例如，利用对数缩尺法可以便于比较不同时间段的经济数据，使得经济变化趋势更为明显。
3.3 信号处理在信号处理领域，指数与对数有着广泛的应用。
指数函数可以用来表示信号的衰减或增强情况，对数函数可以用于量化分贝的误差。
3.4 概率统计在概率统计中，指数与对数经常用于处理概率模型。
指数分布和对数正态分布是常见的概率分布，这些分布在风险评估、可靠性分析等领域起到重要作用。
对数和指数的概念
教育指数：如教育质量指数、 教育公平指数等，用于评估 教育状况
社会指数：如幸福指数、安 全感指数等，用于评估社会 状况
对数和指数的相互转换
对数转换：将 指数形式转换
为对数形式
指数转换：将 对数形式转换
为指数形式
转换公式： log(a^b) = b
* log(a)
转换实例： log(2^3) = 3
对数的性质： 对数函数是单 调递增的，且
具有可加性
对数的应用： 广泛应用于科 学、工程、经 济等领域，如 计算增长率、
指数函数等
对数的性质
对数函数：y=loga(x)，其中a>0且 a≠1
极限：当x→0时，loga(x)→-∞；当 x→∞时，loga(x)→+∞
单调性：对数函数在定义域内是单调 递增的
指数函数：y=a^n
对数和指数的数学符号的起源和演变
对数符号：由瑞士数学家约翰·伯努利提出，用于表示两个数之间的比例关系 指数符号：由法国数学家笛卡尔提出，用于表示一个数乘以自身多少次 符号演变：随着数学的发展，对数和指数符号逐渐演变为现在的形式 现代符号：对数符号为log，指数符号为^，用于表示对数和指数运算
乘法规则：log(a^b) * log(a^c) = log(a^(b*c))
除法规则：log(a^b) / log(a^c) = log(a^(b/c))
指数与对数的关系： a^b = e^(b*log(a))
02
指数的定义和性质
指数的概念
指数是一种特殊的函数，其定义域为非负实数集 指数函数的形式为y=a^x，其中a为底数，x为指数 指数函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性等 指数函数在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用
数学中的指数与对数
数学中的指数与对数指数和对数是数学中重要的概念，广泛应用于各个领域，特别是在科学、工程和金融等领域起着关键作用。
本文将介绍指数和对数的定义、性质以及应用，以帮助读者更好地理解和应用这两个概念。
1. 指数的定义与性质指数是用来表示相同数字连续相乘的方式。
例如，3的指数为4表示3相乘4次，即3^4。
指数可以是整数、分数或负数。
指数具有以下性质：- 相同底数的指数相加时，底数保持不变，指数相加。
- 相同底数的指数相减时，底数保持不变，指数相减。
- 指数为0时，任何数的指数恒为1。
- 指数为1时，任何数的指数都等于其自身。
- 指数为负数时，可以通过求倒数来将其转化为正数指数。
2. 对数的定义与性质对数是指一个数相对于某个底数的指数。
常见的对数底数有10、e 和2。
以以10为底的对数为例，常用log表示。
对数具有以下性质：- 对数可以将指数运算转化为对应的乘法运算。
- 对数的底数为1时，其对数等于0。
- 对数的底数等于其自身时，其对数等于1。
- 对数的底数小于1时，其对数为负数。
3. 指数和对数的应用指数和对数在数学中有广泛应用，下面列举几个常见的应用场景：- 科学计数法：通过利用指数将大数或小数以更简洁的方式进行表示，便于计算和比较。
- 物质分解与生长：指数可以用来描述物质分解或生长的速度和模式。
- 信号处理与傅里叶变换：指数和对数在信号处理中起着重要的作用，特别是在傅里叶变换中用于将时域信号转换为频域信号。
- 投资和财务分析：对数在财务分析中常用于计算复利和年化收益率，指数用于描述增长或衰减的趋势。
总结：指数和对数是数学中的重要概念，具有广泛的应用。
指数可以用来表示相同数字连续相乘的方式，而对数则是一个数相对于某个底数的指数。
指数和对数在科学、工程和金融等领域有着重要应用，帮助我们更好地理解和描述自然界和社会现象中的规律。
通过深入学习指数和对数的定义、性质和应用，我们能够更好地应用数学知识解决实际问题。
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指数与对数先复习国中学过的指数概念和指数律，包括 1. 0a >, n 是正整数，n a 的意义。
2. n m n m a a a +⋅=.3. nn m m a a a-=, 0n m >>. 4. 赋予01a =, 以符合3. 5. 赋予1k ka a -=, k 为正整数，以符合3. 6. 更广的指数律： ()n m nm a a =. ()n n n a b ab ⋅=.7. n 是正整数，1na 的意义。
例如 :2n =时，12a ==3n =时，13a =一般正整数，1na =8. n 是正整数，1na -的意义。
例如 : 12a-=13a-=师(T) : 今天我们要上指数函数，在读指数之前，同学们可能听过马尔蕯斯(1766~1834)主的人口学原理，他认为人口是以等比数列的方式增加的。
比方说，一年以后人口变成2倍，二年以后人口变成4倍，三年以后人口变成8倍。
生(S) : 这不太可能吧！像，就以2300万人口来说好了。
一年后变成2倍就是4600万，二年后变成4倍就是9200万，三年后变成8倍就是18400万。
3年后有几乎2亿的人口，可能吗？T : 这里说的变成2倍、4倍、8倍，只是强调人口的增加是一个等比数列的形式，倒没有说一定是一年变成2倍，这里要说的是在某一个时段(例如: 10年) 变成2倍，再过一个时段(10年) 又从2倍变成4倍。
也就是说三个时段(30年) 之后，就会变成8倍。
当然就历史来看人口的变化，马尔蕯斯的论点是不对的。
不过我们不妨假想有某一种以等比数列的方式繁殖的细菌，这种细菌繁殖力超强，每一小时的“细菌口”会变成2倍。
因此3小时后，就会变成8倍。
S : 那，半小时以后，会变成几倍呢?T : 这个问题很好，如果我先告诉你的是: 细菌数在3小时以后会变成8倍，那么你觉得1小时以后会变成几倍呢?S : 当然是2倍！T : 对，如果用指数来表示，是不是说328=, 或是说，人家问你: 38x=, x是多少? 你的回答是2x=. 是不是这样？S : 了解！如果把半小时后细菌数目的倍数设成x, 那么因为已知1小时之后，细菌数会变成2倍，而1小时代表两个半小时的时段，所以22x=. 这样想，对吗？那x, 倍。
T : 没错，我们可以将半小时设为一个时段，而经过这一个时段，细菌数增加为倍，因此一小时之后，也就是两个时段之后，2=倍。
如此说来，3小时以后，用刚才半小时的时段来看，会变成几倍呢？S : 让我想想，三小时相当于6个半小时，因此细菌数应该变成6相乘，2228=⋅⋅=，三小时以后仍然变成8倍。
T : 我们应该记成16632(2)28 ===。
S : 所以无论是想成1小时后变成2倍，倍，3小时后都是变成8倍。
前者是计算三个时段，每一个时段2倍，328= ; 后者是计算6倍，68=。
T : 那我再问你 : 如果一小时变成2倍，那么20分钟，也就是13小时，应该变成几倍呢 ？S : 1小时是3个20分钟，如果经过20分钟，细菌数变成x 倍，就代表1小时后变成32x =倍。
解x , 1/32x =。
T : ，近似值是1.414。
请问，1/32的近似值是多少 ？S : 1/32当然比1/22小，我觉得1/32至少大于1.2, 因为3(1.2) 1.728=, 不足2, 而3(1.3) 2.197=, 超过2。
所以1/32应该介于1.2和1.3之间，亦即1/31.22 1.3<<.T : 如果把15分钟看成一个时段，细菌数又应该变成几倍呢？S : 1小时是4个15分钟，如果每15分钟，细菌数变成x 倍，4个15分钟后，细菌数应该变成4x 倍，方程式是42x =,亦即1/42x =.T : 你能估计1/42吗 ？S : 1/221.414=≈, 121/24(2)2=, 142是122的平方根，所以我相当确定141.12 1.2<<, 因为2(1.1) 1.21=, 而2(1.2) 1.44=. 后者大于.T : 你看，121.42<, 131.32 1.2>>, 142 1.2<，从这里也可以看出111034221222=<<<. 时段越短，倍数越小，但是都大于1.S : 老师，如果继续下去，比方说，如果分别把10分钟、5分钟、2分钟、1分钟各看成一个时段，那每个时段细菌数的增长倍数是几倍？比方说，以1分钟为一个增长时段来看，如果细菌数增长为x 倍，则因一小时是60分钟，所以602x =，亦即1/602x =。
在上面的表中，你可以发现最右边这一行增长倍数之间的关系。
你可以用任何时段作基准，例如你如果用5分钟作基准，并且假设每经过5分钟，细菌数变成u 倍，则10分钟之后会变成2u 倍，而1分钟之后会变成15u 倍。
上面这个表是以60分钟或1小时为基准作的。
因此，如果左边的时数以小时为单位计是h 小时的话，最右边这一行的增长倍数就是2h ，读作2的h 次方，h 可以是2, 3也可以是1/2, 1/3。
h 甚至可以是负数或0. h 如果是0, 就代表开始的那一刻，细菌数是1倍，亦即0221h ==.S : 基准是可以换的。
如果用1分钟为基准来观察，1分钟增长1/602倍，所以5分钟就会增长1/6051/12(2)2=倍，完全符合上表。
T : 是的，如果你愿意以1分钟为基准，你就可以求出经过7分钟以后细菌增长的倍数，应该是多少呢 ？ S : 1/6077/60(2)2=应该就是7分钟以后增长的倍数。
这个数字看起来蛮难看的，而且说实话，我感觉不出来它的大小，只能说一定大于1，不过7分钟以小时为单位就是7/60小时，在表上代表7/60h =，增长的倍数是2h 。
T : 不知道你有没有注意这个细菌繁殖的模型是很特别的。
它的特性是只要经过1小时，就会增长2倍。
不管是10点到11点还是第二天的下午3点到4点，也就是说无论是经过1分钟，或是经过任何一个时段，只要经过的时段等长，增长的倍数都是一样的。
所以若是先经过x 小时，再经过y 小时，增长的倍数和经过x y +小时一样，亦即222x y x y +⋅=,这就是指数律的基本意涵。
不仅如此，这样的想法还可以倒叙，也就是说x 小时以前，是现在的2x -倍，正如x 小时以后，是现在的2x 倍，亦即有等比例的关系2:11:2x x -=,这也是指数的基本性质，或者说负指数的意义。
我们可以把上表加上一些负的时间代表「之前」，上表右列依然是2h 的形式。
T : 你现在应该可以从上面这个表看出更多一点讯息，就以中间这行来说，以h 代表繁殖时所经过的小时数，而右边这一行，代表经过h 小时的繁殖以后，细菌所增长成的倍数，这个倍数与时段h 的关系是2h 。
但是不要忘了这个模型的基本特征是，当1h =时，细菌将增长为2倍，我们可以用下图来表达2x y =，x 代表经历的时段h ，y 代表x 时段后，细菌将增长为2x 倍。
(函数图形()2x y f x ==还有一个上凹的特质，亦即1()(()())22x z f f x f z +≤+等号成立时，代表x z =。
)S : 当你对所有的时段x 都赋予2x 时，如果x 是刚才读的这种有理数，例如：1n,我可以了解1/2n代表2的n 次方根；或是/m n , 我可以了解/2m n代表1(2)mn ，或是2m的n 次方根，1(2)m n. 如果x 不是有理数呢？T : 你难道不觉得已经有这么多的有理数x , 若是能对这些x 将函数图形上(,2)x x 点出，这么多的点，难道还不能描出一个函数图形吗？比方说，如果将x 取成12,,100100L , 即以分母为100的有理数，在0到1之间，就已经有了100个点，即一位和二位小数从0.01到0.99, 在1到2之间有1.01到1.99, 或者你也可以想想，将x 取成分母为1000的有理数，亦即从0.001到0.999等等或是1.001到1.999等等。
S : 但是数在线的点x ，当不只是有理数而已，我记得在读数系的时候，老师特别提到数在线的点，除了分数 (有理数) 3, 5T : 我刚才提到分母为100或1000的有理数，其实是指十进制制中的有限小数。
这些小数够多，但是很有趣的是，他们并不包括循环小数，如1/3或1/7. 当(十进制小数) 在数在线够密，并且是所有科学界或工程界所用的「数」，对一个物理学家或是工程师而言，度量是量出来的，精确性的要求就是看几位小数，例如：毫米是310-, 微米是610-, 奈米是910-. 回到你刚才提到的2x , x 非有理数怎么理解的问题，我们以来说明，请看下面这个表。
122=1.72 3.249009585=L1.732 3.317278183= 1.7322 3.321880096= 1.73202 3.321880096=L 1.732052 3.321995226=L 1.7320502 3.321995226=L 1.73205082 3.321997068=LM 224=1.82 3.482202253=L 1.742 3.340351678=L 1.7332 3.324183446=L 1.73212 3.322110360=L 1.732062 3.322018252=L 1.7320512 3.321997529=L 1.73205092 3.321997298=LM我们可以看到的近似值是3.321997，比224=要小，但是比 1.52 2.828=要 大。
我想说的是对所有的变量x , 2x 都是有意义的，当x 是有理数时，2x 有非常 具体的意义。
但是当x 是无理数时，2x 就只能以近似或逼近来表达。
无论要 求多么严格的精准度，都是可以办到的，上面对于的计算充分的说明了这 一点。
但是我更要强调的是这个函数的意义以及它在所具有的指数律，222x y x y +=⋅或者222u u v v -=⋅. 就学习时必须掌握的抽象层次来说，指数律是 最要紧的，而在计算时亦不可或缺。
例如我刚才写下 1.52就是靠指数律1.510.510.52222221.4142.828+==⋅=≈⋅=.又譬如0.50.50.50.50.50.5122 1.41420.70722222-===≈=⋅.换句话说，计算的时候，指数律是无所不在的。
S : 刚才老师花了不少时间解释，我想说的是以细菌繁殖的模型来说，经过1 小时，变成2倍。
刚才讨论了很多12小时，13小时，甚至于-1小时细菌数的小时，细菌会变成几倍呢？由于1.732≈L , 所以前面的表，就说明如何透过 1.72, 1.732, 1.7322L 来了解.是这样的意思吧！T : 没错，只要你问出：x 小时后，细菌数会变成几倍？我们就必须规规矩矩来回答2x 等于多少。