三阶系统综合分析与设计

课程设计题目三阶系统综合分析与设计学院自动化学院专业自动化专业班级自动化0902班姓名陆浩指导教师陈启宏2011 年 1 月 4 日课程设计任务书学生姓名： 陆浩 专业班级： 自动化0902指导教师： 陈启宏 工作单位： 自动化学院 题 目: 三阶系统综合分析与设计 初始条件：某单位反馈系统结构图如下图所示：要求完成的主要任务: （包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）1、 2=v ,试绘制随根轨迹2、 当-2为闭环系统的一个极点时，K=?3、 K 取10（下同），绘制Bode 图和Nyquist 曲线，求取幅值裕度和相角裕度4、 能否用滞后校正装置改善该Ⅱ系统的稳定性？为什么？5、 分别求取位置误差系数、速度误差系数、加速度误差系数及输入信号为23)(1)(t t t t r ++=单位阶跃信号、斜坡信号及单位加速度信号时的稳态误差6、 取1=v ，试设计超前校正装置使得相角裕度增加20度7、 用Matlab 绘制校正前后的单位阶跃相应曲线8、 认真撰写课程设计报告.时间安排：指导教师签名： 年 月 日 系主任（或责任教师）签名： 年 月 日三阶系统综合分析与设计1.系统开环函数的分析1.1比例环节KGp(s)的比例环节为K，其基本特性如下：比例环节的传递函数和频率特性为：G(s)=K；G(jw)=K.幅值特性和相频特性：A(w)=|G(jw)|=K；ϕ(w)=∠G(jw)=0°.对数幅频特性和对数相频特性为：L(w)=20lgA(w)=20lgK；ϕ(w)=0°.对数幅频特性L(w)是w轴线.1.2积分环节1/S积分环节的传递函数和频率特性为：G(s) =s/1；G(jw) = 1/jw = e-j90/w .幅频特性和相频特性为A(w) = |1/jw | =1/w；ϕ(w) = ∠(1/jw) = -90°.积分环节的对数幅频特性和对数相频特性为：L(w) = 20lgA(w) = 20lg(1/w) = -20lgw；ϕ(w) = -90°.由于Bode图的横坐标按lgw刻度，故上式可视为自变量为lgw，因变量为L(w)的关系式，因此该式在Bode图上是一个直线方程式.直线的斜率为−20dB/dec.当ω=1时，−20lgw=0 ，即L(1) = 0 ，所以积分环节的对数幅频特性是与w轴相交于w = 1，斜率为−20dB/dec的直线.积分环节的相频特性是ϕ(w) = -90°，相应的对数相频特性是一条位于w轴下方，且平行于w轴的水平直线.1.3惯性环节1/(Ts+1)惯性环节的传递函数和频率特性为G(s) = 1/(1+Ts)；G(jw) = 1/(1+jTw).幅值特性和相频特性为：A(w)=|1/1+jTw|，ϕ(w)=∠(1/1+jTw) = -arctanTw.对数幅频特性和对数相频特性为L(w)=20lgA(w)；ϕ(w)= -arctanTw.绘制惯性环节的对数幅频特性曲线时，可以将不同的w值代入上式逐点计算L(w)，但通常用渐近线的方法先画出曲线的大致图形，然后再加以精确化修正.1.4开环传递函数)3)(1()s (2++=s s s KG 该开环传递函数含有一个比例环节 两个积分环节 两个惯性环节，根据以上分析该开环传递函数的幅频特性A(w)=k/w*w*(|1+jw|)*(|3+jw|);相角特性ϕ(w)= -180°-argtanw-argtanw/32.绘制随根轨迹单位反馈系统结构图如下图所示：)图2-12.1 根轨迹绘制步骤由图2-1知1）确定实轴上的根轨迹.开环零、极点个数分别为m=0、n=4，则有三条根轨迹，极点分别为 0、-1、-3. 2）确定根轨迹的渐近线.渐近线与实轴的交角：())1n ,2,1,0(12--⋯⋯=-+=m k mn k a ，πϕ；渐近线与实轴的交点：mn zp mj jn i i a --=∑∑==11σ.3）确定分离点.分离点的坐标d：∑∑==-=-nn imj j p d z d 1111；且分离角为：l k )12(+. 本例中分离点d=0.845,分离角为︒±90.4）与虚轴的交点.若根轨迹与虚轴相交，则交点上的K 值和ω值可用劳斯判据确定，可令闭环特征方程中的ωj s =，然后分别令其实部和虚部为零而求得. 代入得本例中与虚轴交点为），（00.2.2 用MATLAB 绘制随根轨迹令k=1编辑程序如下：num=1; den=[1,4,3,0,0]; rlocus(num,den);运行程序根轨迹如下图2-2所示图2-2 随根轨迹3 不同条件下K 值的求取-2为闭环系统的一个极点时，K 的求取方法一：直接代入法当-2为闭环系统的一个极点时，带入闭环特征方程034)(234=+++=K s s s s D解得K=4；方法二：MATLAB制图法当闭环极点为-2时，由MATLAB 绘制的根轨迹可得在闭环极点为-2时其对应的K 值为4.01，如图3-1所示图3-14.绘制Bode 图和Nyquist 曲线以及幅值裕度相角裕度求取4.1 绘制Bode 图当K=10时，由系统的开环传递函数)3)(1(10)s (2++=s s s G 其分子系数为10，分母系数分别为1，4，3，0,0.利用MATLAB 程序可编以下程序： num=10;den=[1,4,3,0,0]; bode(num,den)； grid on;在MATLAB 程序中输入此程序，运行后得到Bode 图如图4-1图4-14.2 绘制Nquist 曲线当K=10时，由系统的开环传递函数)3)(1(10)s (2++=s s s G其分子系数为10，分母系数分别为1，4，3，0,0.利用MATLAB 程序可编以下程序： num=10; den=[1,4,3,0,0]; nyquist(num,den);在MATLAB 程序中输入此程序，运行后得到Bode 图如图4-2图4-24.3 求幅值裕度和相角裕度当K=10时，由系统的开环传递函数)3)(1(10)s (2++=s s s G 可得其分子系数其分子系数为10，分母系数分别为1，4，3，0, 0 利用MATLAB 程序可编以下程序： num= 10；den=[1,4，3，0，0]；[mag,phase,w]=bode(num,den)； [gm,pm]=margin(mag,phase,w)在MATLAB 程序中输入此程序并运行后得到结果，相角裕度和幅值裕度分别为︒=5.77-pm ，497.7gm =5. 能否用滞后校正装置改善该Ⅱ系统的稳定性？为什么？答：不可以，滞后校正的主要作用是在中频段的前段造成幅值衰减，从而使校正装置的最大滞后角远离系统校正后的穿越频率，以使系统获得充分的相位裕量，而本例中的Ⅱ系统幅值Bode 图低频段的斜率就是-40dB/dec,幅值衰减比较多，用滞后校正改善该系统，效果不明显.6.系统稳态系数与稳态误差求取不同条件下的稳态误差 a)阶跃输入作用下的稳态误差当输入为sRs R =)(时稳态误差为ps ss K R s G s Rse +=+=→1)(lim 10b)斜坡输入作用下的稳态误差当输入为2)(sRs R =时稳态误差为vs s ss K R s sG R s G s Rse ==+=→→)(lim )(lim 10c)加速度输入作用下的稳态误差当输入为3)(sRs R =时稳态误差为vs s ss K R S G s R S G s Rse ==+=→→)(lim )(lim 123本例中输入23)(1)(t t t t r ++=，其拉氏变换为∞=p K ，=v K ∞6.1 稳态误差的计算系统结构图如图6-1所示，系统反馈为单位反馈，所以得到其误差信号：)()()(s C s R s E -=图6-1 单位反馈结构图又由其闭环传递函数)(1)()()()(s G s G s R s C s +==Φ 可得到误差信号)()()()(s s R s R s E Φ-=即)(11)()()(s G s R s E s e +==Φ 由拉氏变换的终值定理可得系统的稳态误差)(1)(lim)(lim 00s G s sR s sE e s s ss +==→→系统稳态误差计算通式则可表示为vs v s ss sK s R s e 010lim )]([lim →+→+=本例中传递函数)3)(1(10)s (2++=s ss G求取系统稳态误差系数： a)位置误差系数)(lim 0s G K s p →=可得到b)速度误差系数)(lim 0s sG K s v →=可得到c)加速度误差系数)(lim 20S G s K s a →=可得到6.2 输入信号为23)(1)(t t t t r ++=时的稳态误差本例中输入23)(1)(t t t t r ++=，由上述得到∞=p K ，∞=Kv ，7.设计超前校正装置7.1无源超前校正装置如图7.1.1所示，图为由电阻和电容所组成的无源超前校正网络的电路图，其传递函数为：G c (s) = U c (s)/U r (s) = (R 2(1+R 1Cs)/(R 1+R 2))/((R 1+R 2+R 1R 2Cs)/(R 1+R 2)) = a -1(aTs+1)/(Ts+1)其中T=R 1R 2C/(R 1+R 2)，a=(R 1+R 2)/R 2，a 为超前网络的分度系数.1R图7.1.1 无源超前校正网络采用无源超前网络进行串联校正时，整个系统的开环增益要下降a 倍，因此需要提高放大器增益加以补偿，如图7.1.2所示，此时的传递函数为：G c (s) = U c (s)/U r (s) =(aTs+1)/(Ts+1)cR图7.1.2 带有附加放大器的无源超前校正网络由上式可得，无源超前校正网络的对数频率特性： 20lg|aG c (s)|=20lg|1+aTw|-20lg|1+Tw| ϕc (w)=arctanaTw-arctanTw画出对数频率特性，观察图形知超前网络对频率在1/aT 和1/T 之间的输入信号有明显的微分作用，在该频率范围内输出信号相角比输入信号相角超前.7.2确定校正函数7.2.1估算校正函数当K=10，v=1时，由系统的开环传递函数)3)(1(10)s (++=s s s G已知未校正系统γ = 1.92°，校正后γ1 = 21.92°， 则φm =γ1—γ+ε = 21.92-1.92+5 = 25°则a = (1+sin φm )/(1-sin φm ) = 2.45.则超前校正装置在w m 处的幅值为 10lga = 10lg2.45=3.89dB据此，在为校正系统的开环对数幅值为-3.89dB ，对应的频率计算如下：22911lg 201lg 20lg 20310lg20w w w +-+--= -3.89 w m =1.97= 1/T*a 0.5计算超前校正网络的转折频率：w 1=w m /a 0.5 = 1.26；w 2=w m *a 0.5 =3.08 则a G c (s) = (0.794s+1)/(0.324s+1)7.2.2检验相角裕度系统校正后的开环传递函数为)1324.0)(3)(1()1794.0(10)(++++=s s s s s s Gp校验校正后的相角裕度程序如下：num=[7.94,10];den=[0.324,2.296,4.972,3,0]; [mag,phase,w]=bode(num,den); [gm,pm]=margin(mag,phase,w);执行后相角裕度为18.47°，不满足要求；7.2.3增大补偿角后确定校正函数使ε=10°则φm = γ-γ1+ε = 20+10= 30°则a = (1+sin φm )/(1-sin φm ) = 3.则超前校正装置在w m 处的幅值为 10lga = 10lg3=4.77dB据此，在为校正系统的开环对数幅值为-4.77dB ，对应的频率计算如下：22911lg 201lg 20lg 20310lg20w w w +-+-- = -4.77 w m = 2.05 = 1/T*a 0.5计算超前校正网络的转折频率：w 1=w m /a 0.5 = 1.184；w 2=w m *a 0.5 =3.55 则a G c (s) = (0.846s+1)/(0.282s+1) 系统校正后的开环传递函数为)1282.0)(3)(1()1846.0(10)(++++=s s s s s s Gp校验校正后的相角裕度程序如下： num=[8.46,10];den=[0.282,2.128,4.846,3,0]; [mag,phase,w]=bode(num,den);[gm,pm]=margin(mag,phase,w);执行后相角裕度为22.04°，满足要求7.2.4校正前后bode图的绘制校正前的Bode图如图7-1所示执行程序如下：num=10;den=[1,4,3,0];bode(num,den);grid on;图7-1校正前的Bode图校正后的Bode图如图7-2所示执行程序如下所示：nun=[8.46,10];den=[0.282,2.128,4.846,3,0];bode(num,den);grid on;图7-2 校正后的Bode 图7.2.5校正装置参数设置因为T=R 1R 2C/(R 1+R 2) = 0.282，a=(R 1+R 2)/R 2=3，因此可以设C = 0.01F 则可算得：R 1=84.6Ω，R 2=42.3Ω8.用MATLAB 绘制校正前后的单位阶跃响应曲线8.1 校正前系统单位阶跃响应的绘制系统校正前的开环传递函数如下所示：)3)(1(10)s (++=s s s G闭环传递函数103410)(1)(23+++=+s s s s G s G程序如下所示： num=[10]; den=[1,4,3,10]; sys=tf(num,den); step(sys);单位阶跃响应曲线如8-1所示图8-1 图8-18.2校正后单位阶跃响应的绘制校正后的系统的开环传递函数如下所示)1282.0)(3)(1()1846.0(10)(++++=s s s s s s Gp闭环传递函数1046.11846.4128.2282.01046.8)(1)(234+++++=+s s s s s s Gp s Gp 程序如下： num=[8.46,10];den=[0.282,2.128,4.846,11.46,10]; sys=tf(num,den); step(sys);单位阶跃响应曲线如图8-2所示图8-2小结与体会这一次的课程设计实习让我收获颇多.首先，这次课程设计是要求大家独立各自完成自己的任务，培养了我们大学生独立解决问题的能力.其次，这次课程设计设计运用了许多课本上的知识，许多原理的运用，让我更加熟悉和了解了书本上的知识，对课本的知识再一次的加深了印象.更重要的是这次实习，涉及到了书本上没有的知识例如：如何分析并校正给定的传递函数使之满足要求，这是要求我们将自己所学的知识熟练掌握并能运用到实际当中去，是比仅仅学习知识更高层次的要求，而在这次实习中得到了很好的锻炼.这次实习，使我掌握了一款强大的软件的使用.平时学习生活中，由于没有动力去学习一款新的软件的使用，而这次实习，指定了要使用Matlab分析和仿真，这使我提起很高的兴趣去了解和学习这款对我来说是全新的软件.经过自己查阅资料，发现了原来软件的强大，它可以免去连接实物去验证结果的正确性，可以确保得出的结果的正确性，以后要多多掌握类似软件，熟练的使用工具来确保最后结果的正确.这次课程设计也锻炼了我们的细心和耐心，这尤其体现在我们课程设计报告的格式上，很多人格式上不过关，关键是他们太浮躁，不能细心地对待.格式很重要，不然，美观切不说，报告看上去很混乱，不易于阅读.严格的格式要求也是在培养我们的做事态度.我也很感谢有课程设计这次机会，让我明白了这么多从前不知道的东西.这些对我日后的工作都是十分宝贵的.同时也让我看清了自己，明白了自己哪里欠缺.自主学习一直是大学所要教给学生的一个很重要的一种能力，这次实习也不例外.在初期，老师仅是给我提出任务要求，要怎么实现完全是靠自己查阅资料，自己去了解，在扩充了课外知识的同时也训练了我们自己动手去学习自己不懂知识的能力.总之这次实习我收获良多，我将会不断提高自己的各方面素质.使自己在大学学习知识外能在能力培养上有所建树.参考文献[1] 胡寿松. 自动控制原理(第六版) . 北京：科学出版社.2007[2] 张静.MATLAB在控制系统中的应用. 北京：电子工业出版社. 2007[3] 张爱民. 自动控制原理. 北京：清华大学出版社. 2005[4] 王广雄. 控制系统设计. 北京：清华大学出版社. 2005[5] 黄坚主. 自动控制原理及其应用. 北京：高等教育出版社 2004本科生课程设计成绩评定表指导教师签字：年月日武汉理工大学《自动控制原理》课程设计说明书武汉理工大学《自动控制原理》课程设计说明书........忽略此处.......。