华南理工大学2005年高等代数试卷解答

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高等代数考研20051

南开大学2005硕士研究生入学考试试题高等代数注：本解答所需知识均参照高教社出版的由北大代数小组主编由王萼芳、石生明修订的《高等代数》！一、计算下列行列式2n ?,x x x x x x x x x x x x 1x 1x 1x 1112n n1n n 2n 21n 22n 11n 1n2n 222121n 21≥=+++++++++------解：由行列式性质，2n n1n n 2n 21n 22n 11n 1n2n 2221212n n1n n 2n 21n 22n 11n 1n2n 222121n 212n n 1n n 2n 21n 22n 11n 1n2n 222121n 21x x x x x x x x x x x x 111111x x x x x x x x x x x x x x x 111x x x x x x x x x x x x 1x 1x 1x 111------------------+++++++++++++=+++++++++显然，第二式为0，连续运用此性质得()∏≤<≤----------==+++++++++ni j 1j i1n n1n 21n 12n 2221n 212n n 1n n 2n 21n 22n 11n 1n2n 222121n 21a ax x x x x x x x x 111x x x x x x x x x x x x 1x 1x 1x 111二、设齐次线形方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+=++-=++0ex dx bx 0ex cx ax 0dx cx x 0bx ax x 321421431432的一般解以43x ,x 为自由未知量（1）求 a,b,c,d,e 满足的条件（2）求齐次线形方程组的基础解系解：由自由变量数为2，可知，方程组系数矩阵的秩为2，即⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---0e d b e 0c a d c 01b a 10的秩为2，又易得系数矩阵变形⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--0e d b e 0c a b a 10d -c -01。

华南理工大学高数习题册答案汇总

第七章多元函数微分学作业1 多元函数1．填空题（1）已知函数22,y f x y x y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则(),f x y =()()22211x y y -+；（2）49arcsin2222-+++=y x y x z 的定义域是(){}22,49x y x y ≤+≤；（3）)]ln(ln[x y x z -=的定义域是(){}(){},,0,1,0,1x y x y x x y x x y x >>+⋃<<≤+；（4）函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0,sin ),(x y x x xyy x f 的连续范围是全平面；（5）函数2222y x z y x+=-在22y x =处间断.2．求下列极限（1）00x y →→；解：000016x t t y →→→→===-（2）22()lim (ex y x y x y -+→+∞→+∞+）.解：3y x =22()2()lim (e lim (e 2x y x y x y x x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤+=+-⎣⎦））由于1lim e lim lim 0tt t t t t t t e e-→+∞→+∞→+∞===，2222lim e lim lim lim 0tt t t t t t t t t t e e e -→+∞→+∞→+∞→+∞====，故22()2()lim (elim (e 20x y x y x yx x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤+=+-=⎣⎦）） 3．讨论极限26300lim y x yx y x +→→是否存在.解：沿着曲线()()3,,0,0y kx x y =→,有336626262000lim lim 1x x y kx x y kx kx y x k x k →→=→==+++因k 而异，从而极限26300lim y x yx y x +→→不存在4．证明⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,2),(222222y x y x y x xyy x f 在点)0,0(分别对于每个自变量x 或y都连续，但作为二元函数在点)0,0(却不连续.解：由于(,0)0,(0,)0,f x f y ≡≡从而可知在点)0,0(分别对于每个自变量x 或y 都连续，但沿着曲线()(),,0,0y kx x y =→,有2222222000222lim lim 1x x y kx xy kx kx y x k x k →→=→==+++因k 而异，从而极限()0lim ,x y f x y →→不存在，故作为二元函数在点)0,0(却不连续.作业2 偏导数1．填空题（1）设22),(y x y x y x f +-+=，则=)4,3(x f 25；（2）（3）设(),ln 2y f x y x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则1x y f y==∂=∂12；（3）设2sin x u xz y =+，则42ux y z∂=∂∂∂ 0 ；（4）曲线22:44x y z y ⎧+=⎪Γ⎨⎪=⎩在点()2,4,5处的切线与Ox 轴正向的倾角是4π. 2．设2e xyu =，证明 02=∂∂+∂∂yu y x u x. 证:因为222312,xxy yu ux e e x y y y∂∂-==∂∂ 所以222223221222220x x x xy y y y u u x x x x y xe ye e e x y y y y y ∂∂--+=+=+=∂∂3. 设xyz ln =，求22x z ∂∂，yx z∂∂∂2.解：ln ln x yz e⋅=，从而222ln ln ln ln ln ln ln 222ln ln ln ln ln ,,x y x y x y x z y z y y y y e e e y x x x x x x ⋅⋅⋅∂∂--⎛⎫=⋅=⋅+⋅= ⎪∂∂⎝⎭2ln ln ln ln ln ln ln 11ln ln 1x y x y x z y x y x e e y x y x y x y xy⋅⋅∂⋅+=⋅⋅+⋅⋅=∂∂4．设y x z u arctan =，证明 0222222=∂∂+∂∂+∂∂zuy u x u . 解：因为()()2222222222211022,1uyz u yz x xyzz xy x y x x x y x y y ∂∂-⋅-=⋅⋅===∂+∂⎛⎫+++ ⎪⎝⎭()()2222222222221022,1u x xz u xz y xyzz yy x y y x x y x y y ∂--∂-⋅=⋅⋅==-=∂+∂⎛⎫+++ ⎪⎝⎭22arctan ,0,u x uz y x∂∂==∂∂ 所以()()2222222222222200u u u xyz xyzx y z x y x y ∂∂∂-++=++=∂∂∂++ 5．设函数()()2221sin ,0,0,x x y x f x y xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩.（1）试求(),f x y 的偏导函数；解：当()()()3222221110,,42sin cos x x f x y x xyx x y xx x-≠=+++⋅()21,2sin y f x y x y x =，()()()322211,42sin cos x f x y x xy x y x x=+-+当()()()()222001sin 0,0,0,0,lim lim 00x x x x x y f x y f y x x f y x x→→+--≠===-()()()000,0,000,lim lim 0y y y f y y f y f y y y ∆→→+∆--===∆-∆，()()()322211,42sin cos x f x y x xy x y x x=+-+（2）考察偏导函数在()0,3点处是否连续.()()200331lim ,lim 2sin00,3y y x x y y f x y x y f x→→→→===，故(),y f x y 在()0,3点处连续， ()()()3222003311lim ,lim 42sin cos x x x y y f x y x xy x y x x →→→→⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦不存在，从而(),x f x y 在()0,3点处不连续作业3 全微分及其应用1．填空题（1）),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数存在是),(y x f z =在该点可微的必要条件；（2）函数23z x y =在点()2,1-处，当0.02,0.01x y ∆=∆=-时有全增量z ∆=0.2040402004-，全微分d z =0.20-；（3）设),(y x f z =在点),(00y x 处的全增量为z ∆，全微分为dz ，则),(y x f 在点),(00y x 处的全增量与全微分的关系式是()z dz o dz ∆=+；（4）22yx x u +=在点)1,0(处的d u =dx ；（5）xy u cos )(ln =,则d u =cos cos (ln )ln ln sin ln x x y y xdx dy y y ⎡⎤-⋅+⎢⎥⎣⎦；（6）zyx u )(=,则d u =()ln zx z z x dx dy dz y x y y ⎛⎫-+⎪⎝⎭；（7）2221zy x u ++=,则d u = ()()3222212x y z -++ .2．证明：(),f x y =在点()0,0处连续，()0,0x f 与()0,0y f 存在，但在()0,0处不可微.证：由于(0,)0,(,0)0,f y f x ==从而(0,0)0,(0,0)0.y x f f ==但是limlimx x y y ∆→∆→∆→∆→=不存在，从而在()0,0处不可微.3．设函数()()222222221sin ,0,0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩试证：（1）函数(),f x y 在点()0,0处是可微的；证：因为 ()()()()22001sin0,00,00,0limlim 0,0,000x y x x x f x f x f f x x →→--====-- 又()()()()()22221sinlimlim0x x y y x y x y ∆→∆→∆→∆→∆+∆∆+∆==所以函数(),f x y 在点()0,0处是可微的（2）函数(),x f x y 在点()0,0处不连续.证：当()222222221210,,2sincos x x x y f x y x x y x y x y+≠=-+++ ()2222220000121lim ,lim 2sin cos x x x y y x f x y x x y x y x y ∆→∆→∆→∆→⎛⎫=- ⎪+++⎝⎭不存在，故(),x f x y 在点()0,0处不连续作业4 多元复合函数的求导法则1．填空题（1）设2ln ,,32yz u v u v y x x===-，则 z x ∂=∂()()223222ln 3232y y y x x x y x ----；（2）设22,cos ,sin z x y xy x u v y u v =-==，则zv∂=∂()333sin cos sin 2sin sin 2cos u v v v v v v +--；（3）设()22,zu x y z x y =-=+，则u x ∂=∂()()222ln z x y x y x x y x y ⎡⎤+--+⎢⎥-⎣⎦；（4）设2sin z x y x ==，则dd zx =2x . 2．求下列函数的偏导数（1）设,,x y u f y z ⎛⎫=⎪⎝⎭其中f 具有一阶连续偏导数，求,u x ∂∂u y ∂∂和uz ∂∂；解：111,f u f x y y ∂=⋅=∂121222222211,u x x u y yf f f f f f y y z y z z z z∂--∂--=⋅+⋅=+=⋅=∂∂ （2）设(),,,u f x y z =()(),,,z y t t y x ϕψ==，其中,,f ϕψ均可微，求u x ∂∂和uy∂∂. 解：因为1231212,,du f dx f dy f dz dz dy dt dt dy dx ϕϕψψ=++=+=+ 从而()1231212du f dx f dy f dy dy dx ϕϕψψ=++++⎡⎤⎣⎦()()1322231321f f dx f f f ϕψϕϕψ=+++++所以1322231321,u u f f f f f x yϕψϕϕψ∂∂=+=++∂∂ 3．验证下列各式（1）设()22yz f x y =-，其中()f u 可微，则211z z z x x y y y ∂∂+=∂∂；证：因为222212,z xyf z y f x f y f f ''∂-∂==+∂∂ 所以222211121121z z z xyf y f zx x y y x x f y f f yf y ''⎛⎫∂∂∂-+=++== ⎪∂∂∂⎝⎭ （2）设()23y z xy x ϕ=+，其中ϕ可微，则220z zx xy y x y ∂∂-+=∂∂. 证：因为()()222,33z y z y y xy x xy x x y xϕϕ∂∂''=-+=+∂∂ 所以22z z x xy y x y ∂∂-+=∂∂()()2222233y y x y xy xy x xy y x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫''-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22222033y y x y xy y x y xy y ϕϕ''=-+--+=4．设22,,y z xf x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中函数f 具有二阶连续偏导数，求2z x y ∂∂∂. 解：因为221212222,z y y f x f f f xf f x x x ⎛⎫∂-=++⋅=+- ⎪∂⎝⎭所以22212212222222222z y y y y y y f xf f f xf f f x y y x x x x x x⎡⎤∂∂=+-=+⋅--⋅⎢⎥∂∂∂⎣⎦ 31222224y yf f x=-4．设)()(xy x x y u ψϕ+=其中函数ψϕ,具有二阶连续偏导数，试证：022222222=∂∂+∂∂∂+∂∂y u y y x u xy x u x . 证：因为222223432,u y y u y y y x x x x x x x ϕψψϕϕψ∂-∂'''''''=+-=++∂∂222322211,,u y y u u x y x x x y x y x xϕψϕϕψϕψ''''∂∂∂'''''''=---=+=+∂∂∂∂ 从而左边222234323222120y y y y y x xy y x x x x x x x x ϕψϕϕψϕϕψ''''⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''''''''=+++---++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭作业5 隐函数求导法1．填空题（1）已知3330x y xy +-=，则d d y x =22x yx y--；（2）已知20x y z ++-=，则x y ∂=∂（3）已知xzz y =，则d z =2ln ln z dy yz zdxxy yz y--；（4）已知222cos cos cos 1x y z ++=，则d z =sin 2sin 2sin 2xdx ydyz+-；（5）已知(),z f xz z y =-，其中f 具有一阶连续偏导数，则d z =12121zf dx f dyxf f ---.2．设(),0,F y z xy yz ++=其中F 具有二阶连续偏导数，求22zx∂∂．解：212120,yF z z z F F y y x x x F yF -∂∂∂⎛⎫+⋅+=⇒= ⎪∂∂∂+⎝⎭ ()()[]()22122122122221212x x x F z F y yz F yF F F yF F z y y x x F yF F yF '⋅+++-+⎡⎤⎛⎫∂∂⎣⎦=-=- ⎪∂∂++⎝⎭()()()()()2222112111222212221231212y F F F yF F F yF y F F F F F yF F yF -+++⎡⎤-⎣⎦=+++3．求由方程组222222320z x yx y z ⎧=+⎪⎨++=⎪⎩所确定的()y x 及()z x 的导数d d y x 及d d z x .解：由已知()2222222602460dz xdx ydydz xdx ydy xdx dz xdx zdz xdx ydy zdz -=⎧=+⎧⎪⇒⎨⎨+-+=++=⎪⎩⎩()()22606,132623220xdx z dz dz x dy x xy dx z dx y yz xdx ydy z xdx ydy -++=⎧+⎪⇒⇒==-⎨+++++=⎪⎩4．设函数()z f u =，又方程()()d xy u u P t t ϕ=+⎰确定u 是,x y 的函数，其中()f u 与()u ϕ均可微；()(),P t u ϕ'连续，且()1u ϕ'≠. 试证：()()0z zP y P x x y∂∂+=∂∂. 证：因为()(),z u z uf u f u x x y y∂∂∂∂''=⋅=⋅∂∂∂∂， ()()()(),1P x u u uu P x x x x u ϕϕ∂∂∂'=⋅+='∂∂∂- ()()()(),1P y u u uu P y y y y u ϕϕ-∂∂∂'=⋅-='∂∂∂- ()()()()()()()()()()011P x P y z zP y P x P y f u P x f u x y u u ϕϕ-∂∂''+=+=''∂∂-- 5．设函数()f u 具有二阶连续偏导数，而()e sin xz f y =满足方程22222e xz z z x y∂∂+=∂∂，求()f u . 解：因为()()()()222sin ,sin sin x xx z z f u e y f u e y f u e y x x∂∂''''==+∂∂ ()()()()222cos ,cos (sin )x x x z z f u e y f u e y f u e y y y∂∂''''==+-∂∂()()222222()e ,()0x x z zf u e f u f u f u x y∂∂''''+==⇒-=∂∂ 特征方程为()2121210,1,1,u u r r r f u c e c e --===-=+作业6 方向导数与梯度1．填空题（1）在梯度向量的方向上，函数的变化率最大；（2）函数在给定点的方向导数的最大值就是梯度的模；（3）函数2249z x y =+在点()2,1的梯度为grad z ={16,18}；（4）函数xyz u =在点)1,1,1(处沿方向}cos ,cos ,{cos γβα=l的方向导数是cos cos cos αβγ++，且函数u 在该点的梯度是{1,1,1}；（5）函数e cos()xu yz =在点)0,0,0(处沿方向}2,1,2{-=l的方向导数是23；（6）函数)ln(22z y x u ++=在点)1,0,1(A 处沿A 指向点)2,2,3(-B 方向的方向导数是12. 2．求222z y x u -+=在点)0,0,(a A 及点)0,,0(a B 处的梯度间的夹角.解：{}2,2,2{2,0,0}AAgradux y z a =-={}2,2,2{0,2,0}B Bgradu x y z a =-=夹角余弦为cos 02A B A Bgradu gradu gradu gradu πϕϕ⋅==⇒=⋅3．求二元函数22z x xy y =-+在点()1,1-沿方向{}2,1l =的方向导数及梯度，并指出z 在该点沿那个方向减少得最快沿那个方向z 的值不变解：(){}(){}1,11,12,23,3gradz x y y x --=--=-25l ⎧=⎨⎩，{3,3}5zl ∂=-⋅=-∂z 在该点沿梯度相反方向，即方向减少得最快；沿与梯度垂直的那个方向，即±方向z 的值不变 4．设x轴正向到l 得转角为α，求函数()22220,0,x y f x y x y +>=+=⎩在点()0,0处沿着方向l 的方向导数.解：{}cos ,sin ,cos l αααα===由于该函数在点()0,0处不可微，从而不能用公式，只能由定义得出沿着方向l 的方向导数：()()00,0,0lim x y f x y f fl ρρρ→→→→-∂===∂1cos sin sin 22ααα==作业7 偏导数的几何应用1．填空题（1）已知曲面224z x y =--上点P 的切平面平行于平面221x y z ++=，则点P的坐标是(1,1,2)；（2）曲面e 23zz xy -+=在点()1,2,0处的切平面方程是24x y +=；（3）由曲线223212x y z ⎧+=⎨=⎩绕y轴旋转一周所得到的旋转曲面在点(M处的指向内侧的单位法向量为0,⎧⎪⎨⎪⎩；（4）曲面2222321x y z ++=在点()1,2,2-处的法线方程是122146x y y -+-==-；（5）已知曲线23,,x t y t z t ===上点P 的切线平行于平面24x y z ++=，则点P的坐标是()1,1,1--或111,,3927⎛⎫--⎪⎝⎭． 2．求曲线22sin ,sin cos ,cos x t y t t z t ===在对应于的点π4t =处的切线和法平面方程.解：切点为{}224111,,,2sin cos ,cos sin ,2cos sin {1,0,1}222T t t t t t tπ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，从而切线为11110222,11012x z x y z y +-=⎧---⎪==⎨-=⎪⎩，法平面为110,022x z x z ⎛⎫---=-= ⎪⎝⎭3．求两个圆柱面的交线22221:1x y x z ⎧+=⎪Γ⎨+=⎪⎩在点M 处的切线和法平面的方程.解：1{2,2,0}|//{1,1,0}M n x y =，2{2,0,2}|//{1,0,1}M n x z ={}{}1,1,01,0,1{1,1,1}T =⨯=--==，法平面为0x y z --+= 4．求曲面()22210ax by cz abc ++=≠在点()000,,x y z 处的切平面及法线的方程. 解：000000{2,2,2}//{,,}n ax by cz ax by cz =切平面为0001ax x by y cz z ++=，法线为000000x x y y z z ax by cz ---== 5．求函数22221x y z a b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在点M 处沿曲线22221x y a b +=在此点的外法线方向的方向导数.解：2222,,MM x y gradza b a b ⎧⎪⎧⎫=--=--⎨⎬⎨⎩⎭⎪⎪⎩⎭2222,M x y n a b a b ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭指向外侧为此点的外法线方向，方向导数为(2a z n gradz n n∂=⋅=-∂6．证明：曲面y z xf x ⎛⎫=⎪⎝⎭在任意点处的切平面都通过原点，其中f 具有连续导数. 证：设切点为()000,,x y z ，则000000000000,,1,y y y y y n f f f z x f x x x x x ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪''=--=⎨⎬⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭ 切平面为()()()000000000000y y y y f f x x f y y z z x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫''--+---=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦令0x y z ===，得左边等于右边，从而原点在任意点处的切平面上，也即任意点处的切平面都通过原点。

05高数(上)试题及答案

华东交通大学2005—2006学年第一学期考试卷承诺：我将严格遵守考场纪律，知道考试违纪、作弊的严重性，还知道请他人代考或代他人考者将被开除学籍和因作弊受到记过及以上处分将不授予学士学位，愿承担由此引起的一切后果。

专业班级学号学生签名：试卷编号：（ A ）卷《高等数学(A)Ⅰ》课程 (工科本科05级) 课程类别：必闭卷（√）考试时间：2006.1.9题号一二三四五总分计分人签名1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3题分 10 10 6 6 6 6 6 6 6 6 8 8 8 8 100得分考生注意事项：1、本试卷共 6 页，总分 100 分，考试时间 120 分钟。

2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。

一、填空题(每题2分，共10分)3 )1(1.310lim-==-→a e ax xx 则，2 4 32 .22-=⎩⎨⎧-=-=t dx dyt t y t x 则，设21 ]2 1[12 .32=-+-=ξ理的上满足拉格朗日中值定，在区间函数x x y1.4 0=⎰∞+-dx e x113211 1342)1 2 1( .5+=-=--⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=-=-z y x tz t y t x 为平行的直线对称式方程且与直线，，过点二、选择题(每题 2分，共10分). )( )( )( )( )(11 1 1.2低阶无穷小高阶无穷小，同阶不等价无穷小，等价无穷小，的是时，当D C B A B x x x --→.tan )( tan )( sec )( sec )( )( cos ln 2.22x D x C x B x A A y x y ，，，则，设--=''=得分评阅人得分评阅人).1 1( )( )1 0( )( ) 1( )( ) ( )( )( 3.22，，，，，，，的单调增区间是函数-∞+∞+-∞=-D C B A D xe y x.ln )( ln )( 1 )( 1 )( ) ()(ln )( .4222C x D C x C C x B C x A A dx xx f e x f x +-++-+='=⎰-，，，则，设.1 )( 1 )( 1 )( 1 )( )( 01 .5222222222222222222222222=-+=-+=+-=+-⎪⎩⎪⎨⎧==-c z a z x D c z a y x C c z x a x B c z y a x A C oz y c z a x ，，，面方程为轴旋转所形成的旋转曲绕双曲线三、计算题(每题 6分，共48分))ln 11(.1lim1xx x x --→)1(6 21)2(4 1ln ln)1(5 111 2 ln )1(1ln limlimlim1211'='-+='+=-+-=→→→分分分分原式解：x x x x xx x xx x x x x x xn n n n 2arcsin)11sin 1(.22lim-+∞→)2(6 41)2(4 )11sin 1(21 2 )11sin 1(2arcsin1sin 2222limlim'='++⋅=++=∞→∞→分分分原式解：nn n n n n nn n n 或用第一个重要极限得分评阅人得分评阅人dy x y y x y xy 求，确定设方程 )(cos .33=-=)2(6 sin 34 3sin )1(6 sin 3 )1(5 )1(4 sin 3 3 3sin 22222'++-=--=+'++-='''='++-='⇒-'⋅-='+分解出分或两边取微分得分分所以分分求导得两边对解：dx y x yx dy dx x ydy xdy ydx dx yx yx dx y dy yx yx y x y y y x y x 处的连续与可导在点，，讨论00 001sin )( 4.2=⎪⎩⎪⎨⎧=≠=x x x xx x f)4(6 )0( )1(2 0)( 1 )0(01sin )0( )2(6 0)( )1(4 0)( )1(3 0 )1(2 1sin 1 0)0()()0( 2000limlim limlim'''=⇒==='=⇒'=∴'='=--='→→→→分下面解题同分处连续在分或分处连续在分处可导在分分分解：f x x f f x x f x x f x x f x x x f x f f x x x xdxx x ⎰2cot 5.)2(6 2sin ln cot )2(4 2cot cot )1(2 cot 1 )1(csc cot 2222'+-+-='-+-='--=-=⎰⎰⎰⎰⎰分分分分解：C x x x x xdx x x x xdx x d x dx x x dx x x注：缺C 扣1分得分评阅人得分评阅人得分评阅人dxx x )cos 2(.631+-⎰)1(6 3sin 1sin 3 )2(5 sin sin )2(21)2(21)2(3 cos cos )2()2( 1 cos 2 32213222123 221322 13 1 31 '--='-+-+--='-++-+-=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰分分分分原式解：ππππx xx x xdx xdx dxx dx x dx x dx x.)( )2( )( )1( 2 3 32 .7c b a a c b j i c k j i b k j i a ⨯+⋅-=+-=+-=；求，，，设)1(6 }2 4 ,8{ )1(6 248 )1(5 021443)( )1(4 443 )2( )1(3 }3 9 6,{ )1(3 396)( 2 303)2()1(11 )1( '-='-+='--=⨯+∴'+-=+'-='+-=⋅∴=⨯+-⨯-+⨯=⋅分，或分分分分，或分分解：k j i kj i c b a k j i b a k j i a c b c b.0101)2 1 3( .8方程的平面且通过直线，，求过点⎩⎨⎧=++-=--+-z y x z y x)2(6 03332 )1(4 5 )1(3 0)1213(1213 )2 1 3( 2 0)1(1'=++-'-=⇒'=+--+-++-=++-+--+分故所求平面方程为分分得：，，由平面过点分设所求平面方程为：解：z y x z y x z y x λλλ )2(6 03332 0)0(6)1(6)0(4 )2(4 }6 6 4{}2 0 3{}2 2 0{ 2 22100 '=++-=-+---'-=-⨯--=--=--=-分即，故所求平面方程为分，，，，，，所求平面的法向量为：分为：所给直线的对称式方程或z y x z y x n z y x四、综合应用题(每题 8分，共24分)1500 1.3，设仓库容积是的平顶仓库，欲建一座底面是正方形m 得分评阅人得分评阅人得分评阅人得分评阅人。

2005高等代数试卷答案

2005高等代数试卷A答案一、单项选择题（63=18分）1．设A是n阶实矩阵，且秩R(A)=n，则二次型X’ (A’A)X是（ C ）A．不定二次型 B．半负定二次型C．正定二次型 D．负定二次型2．设A、B为n阶方阵, 则下列各式成立的是（ C ）A．|A+B|=|A|+|B|; B．(AB)k=A k B k ;C．|AB|=|BA|; D．A T B=B T A.3．设A为n阶方阵, A的秩R(A)=r<n, 那么在A的n个行向量中（ A ）A．必有r个行向量线性无关;B．任意r个行向量线性无关;C．任意r个行向量都构成最大线性无关组;D．任何一个行向量都可以由其它r个行向量线性表出.4．若A是方阵且方程组AX=0只有零解, 则AX=β(≠0)（ B ）A．必有无穷多组解;B．必有唯一解;C．必定没有解;D．A、B、C都不对.5．n阶方阵A与B相似的充分必要条件是（ C ）A．矩阵A与B的行列式的值相等;B．矩阵A与B有相同的特征值;C．存在n阶满秩矩阵P, 使P -1AP=B;D．存在n阶满秩矩阵P, 使P T AP=B.6．设A =,B =,则A与B（ A ）A．合同且相似；B．合同但不相似；C．不合同但相似；D．不合同且不相似.二、填空题（83=24分）1. 若n阶方阵A 中每行元素之和为定值S, 则A 的一个特征向量可写成x =（ 1, 1, · · · 1 ）’2. 设x, y R n (标准内积), 则x y与 |x|2 +| y|2 = | x+y|2 是 _等价__ 关系..3 设4．从的基，到基，的过渡矩阵为 .5.. 设n阶矩阵A的最小多项式为g(λ) = λ 2 - 3λ + 2, 则A-1 = ( 3I – A ) , 且A必相似于 ( _对角阵 ) .6. 设V是实数域上次数小于3 的多项式构成的线性空间, D: VV是求导变换, 则D的核Ker(D)= { c | c是实数} = R_D在基{1, X 1,X 2 }下的表示阵A =三、（10分）设3阶方阵A,B满足A* BA = 2BA - 8I, 为A的伴随阵且A=,求B .四、（8分）设7阶方阵A的特征阵(λI - A)相抵(等价)于下面对角阵D = diag { λ2 – 3, λ2 – 1, λ- 2, (λ – 2)2, 1, 1, 1}(1) 写出A 的初等因子与不变因子;(2) 求A 的若当标准形.五、（8分）设A写出特征阵λI - A的法式与A的最小多项式;六、（10分）讨论 λ 取何值时，下面方程组有解; 当方程组有无穷多解时求其通解.七、（12分）设列向量（1）求A的特征多项式|λI – A|；（2）求正交阵Q 使Q’AQ为对角阵.八、（10分）设A, B均为n阶正定矩阵，且A B = BA, 证明:(1) AB为正定矩阵 ;(2) 存在可逆阵P, 使 P-1AP 与 P-1BP 都是对角阵;(3) |A+B | | A | + | B |答案三. (10分)由A*BA=2BA–8I, 两边同时左乘A,右乘A-1,整理得即左乘得四.(8分)答案：（1）矩阵A的初等因子组为。

华南理工大学高等数学统考试卷下2005

2005-2006高等数学下册考试试卷姓名：班级：成绩单号：一、单项选择题 1、[3分]设y z xyf x ⎛⎫=⎪⎝⎭，且()f u 可导，则z x x ∂+∂z y y ∂∂为(A)2xy ； (B)()2x y z +； (C)()2x y +； (D) 2z2、[3分] 从点()2,1,1P --到一个平面引垂线，垂足为点()0,2,5M ，则此平面方程是（）(A)236360x y z +-+=； (B) 236360x y z --+=； (C) 236360x y z ---=； (D) 236360x y z -++= 3、[3分] 微分方程()11x y ''-=的通解是(A) ()211ln 1y x x c =--+ (B) 12ln 1y x c x c =-++ (C) 212ln 1y x x c x c =-++ (D) ()121ln 1y x x c x c =--++4、[3分]设平面曲线L为下半圆周y =，则曲线积分()22Lx y ds +=⎰(A)π； (B) 2π； (C)3π； (D)4π5、[3分]累次积分2111xydx e dy y+⎰⎰4221xyxdxe dy y=⎰⎰(A)e ； (B) 2e ； (C) 3e ； (D) 4e 二、填空题 1、[3分]已知单位向量,,a b c适合等式0a b c ++=，则a b c ⋅+⋅ a b c +⋅= .2、[3分]设2yu x =，则d u = .3、[3分]曲面333xyz z a -=在点()0,,a a -处的切平面方程是 .4、[3分]微分方程232x y y y xe -'''--=的待定特解形式是 .5、[3分]设∑为球面222x y z a ++=的外侧，则曲面积分()32222xdydz ydzdx zdxdyxy z∑++=++⎰⎰.三、a.[7分]（非化工类做本题，化工类不做本题）求无穷级数113n nn xn -∞=⋅∑的收敛域及在收敛域上的和函数b. [7分]（化工类做本题，非化工类不做本题）一条直线在平面:20x y π+=上，且与另两条直线11:141x y z L -==-及2412:21x y z L ---==都相交，求该直线方程四、a.[7分]（非化工类做本题，化工类不做本题）求函数()()()2ln 4f x x x =-+在01x =处的展开式b. [7分]（化工类做本题，非化工类不做本题）求函数2223u x y z z =++-在点()01,1,2M -处的梯度及沿梯度方向上函数的方向导数五、应用题[8分]做一个容积为1立方米的有盖圆柱形桶，问尺寸应如何，才能使用料最省？六、计算题[8分]设积分域为22:4,0,0D x y x y +≤≥≥，试计算二重积分()22sin Dx y d σ+⎰⎰七、计算题[8分]计算三重积分zdv Ω⎰⎰⎰，式中:2z z Ω≥≤≤八、a.[8分]（非化工类做本题，化工类不做本题）将函数0,20()1,02x f x x -≤<⎧=⎨≤≤⎩展开成傅立叶级数，并指明展开式成立的范围b. [7分]（化工类做本题，非化工类不做本题）设()f x 在(),-∞+∞上有连续的一阶导数，求曲线积分()()22211Ly f xy xdx y f xy dy yy +⎡⎤+-⎣⎦⎰，L 为从点23,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭到点()1,2B 的直线段九、计算题[8分]计算曲面积分()x y z dS ∑++⎰⎰，其中∑为上半球面()22220x y z R z ++=≥十、计算题[8分] 求微分方程cos tan 20,12xdy x ey y dxπ⎡⎤⎛⎫⋅-+==- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的解十一、证明题[4分] 试证()()()()()224,,0,0,0,,0,0xy x y x yf x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在点(0,0)处不连续，但存在一阶偏导数十二、计算题[4分]设二阶常系数线性微分方程x y y y e αβγ'''++=的一个特解为()21x x y e x e =++，试确定常数,,αβγ，并求该微分方程的通解。

2005 高代上试卷及解答(华农)

f x u x

1
。
f x , g x
g x
v x 1
2、五阶行列式中， a55 a12 a34 a23a41 这一项该带负号。
a12 a23a34 a41a55
2,3, 4,1,5 3
一、填空题（25=10分）
x1 x2 x3 1 2 3 3、若方程组 ax1 a x2 a x3 1 有且只有唯一解， 2 a x1 a 4 x2 a 6 x3 1
A. X A2 B C. X A2 B 1
B. X BA2 D. X A1BA1
A 0 2、设 A, B 均为 n 阶方阵，则 3 （ A ） 0 B
A. 3
2n
AB
B. 3 A B
n
C. 3 A B
2
D. 3 A B
3、设向量组 i ai1, ai 2 ,..., ain 则向量组
1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 r3 2r2 0 1 0 0 1 0 解： 0 1 2 0 1 0 c3 2c2 0 2 0 0 0 1 0 0 4 0 2 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 r3 1 2 r2 r3 0 1 0 0 1 1 2 0 1 0 0 1 0 c3 1 2 0 0 1 0 1 1 2 c2 c 0 0 1 0 1 0 3 1 0 0 令 C 0 1 1 ，作非退化线性变换 X CY 0 1 2 0
一、填空题（25=10分）
5、若二次型
2 2 f x1, x2 , x3 2x12 x2 3x3 2 t x1x2 2x1x3

05华工线代试题及答提示

2005年华南理工大学线性代数期考试卷姓名班级成绩单序号一．填空题（15分）1．若*A 是6阶方阵A 的伴随矩阵，且rank(A)=4, 则rank(*A )=( ).2.设cos sin sin cos A αααα-⎛⎫=⎪⎝⎭，则100A =（）。

3．设12,3123{(,)|230}T V x x x x x x =-+=是3R 的子空间，则空间V 的维数是（）。

4．对称矩阵A 的全部特征根是4,-5,3,2,若已知矩阵A E β+为正定矩阵，则常数β必须大于数值（）。

5．已知n 阶矩阵100...0010...0001...0..................000...1000...01A λλλλ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，0λ≠，则矩阵A 的逆是二．选择题(15分)１．若A,B 是n 阶方阵，下列等式中恒等的表达式是( )A.222()AB A B =,B. 111()AB A B ---=,C. | A+B|=|A|+|B|,D. ***()AB B A =2.若A 是n 阶方阵，则Ａ为正交矩阵的充要条件不是（）Ａ.Ａ的列向量构成n R 的单位正交基，Ｂ．Ａ的行向量构成n R 的单位正交基，Ｃ．1T A A -=，Ｄ．d e t 1A =± 3.若1V 是空间n R 的一个k 维子空间，1,...,k αα是1V 的一组基；2V 是空间m R 的一个k 维子空间, 1,...,k ββ是2V 的一组基.且,,m n k m k n ≠<<,则( ) A.向量组1,...,k αα可以由向量组1,...,k ββ线性表示,B. 向量组1,...,k ββ可以由向量组1,...,k αα线性表示,C. 向量组1,...,k ββ与向量组1,...,k αα可以相互线性表示,D. 向量组1,...,k ββ与向量组1,...,k αα不能相互线性表示.4.若12,λλ是实对称阵A 的两个不同特征根,12,ξξ是对应的特征向量,则下列命题哪一个不成立( )A. 12,λλ都是实数,B. 12,ξξ一定正交,C. 12ξξ+有可能是A 的特征向量。

华南理工大学高等数学统考试卷下04期中卷答案.

0 yx
πy
解答：改变积分顺序，
6
ππ
π
π
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 6
6
dy
cos
xdx
=
6
dx
x
cos
xdy
=
6
cos
xdx
=
1
0 yx
0 0x
0
2
二．选择题（每小题 3 分，共 15 分）
πx 6
1．函数 f (x, y) = 3 x 2 y 在点（0，0）处（ B ）
（A ）不连续；
（B）连续，但偏导数 f（x′ 0，0）和 f（y′ 0，0）不存在；
高等数学
2004~2005 学年第二学期期中考试试卷
专业班级
姓名
学号
一．填空题（每小题 3 分，共 15 分）
→→
→
→
→→
→→
1．已知向量 a 与 b 垂直，| a |= 3，| b |= 4 ，则|（3 a− b）×（a− 2 b）|=
解答：
⎜⎛
3
→
a−
→
b
⎟⎞
×
⎜⎛
→
a−
2
→
b
⎟⎞
=
�� − 6a × b − b × a
+
2cos β
，其中 cosα，cos β
为l
的方向余弦；
（D） f（x，y）在点（0，0）处沿 x 轴负方向的方向导数为 −1。
∫∫ 3．设 f (x, y) 连续，且 f (x, y) = xy + f (x, y)dxdy ，其中 D 是由 y = 0, y = x2 , x = 1
D
所围成的区域，则 f (x, y) =（ C ）

华南理工大学高等数学统考试卷下2005zxA

高等数学下册(重修)理工试卷A2006．6．18姓名：学院与专业：学号：单项选择题[共21分]一、1、[3分]设非零向量,a b 满足关系式a b a b -=+，则必有（）(A) a b a b -=+ (B) a b =(C) 0a b ⨯= (D) 0a b ⋅=2、[3分] 设直线;32,6:;5251:21=+=-+=--=-z y y x L z y x L 则这两直线的夹角为（）(A)6π (B) 4π (C) 3π (D) 2π 3、[3分]二元函数),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数),(00y x f x '和),(00y x f y '都存在，是),(y x f 在该点连续的（）(A) 充分条件而非必要条件 (B) 必要条件而非充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分条件又非必要条件4、[3分]设)(22y x z -=ϕ，其中ϕ具有连续的导数，则下列等式成立的是（） (A) y z y x z x ∂∂=∂∂ (B) yz x x z y ∂∂=∂∂ (C) y z x x z y ∂∂-=∂∂ (D) yz y x z x ∂∂-=∂∂ 5.[3分]设),(y x f 连续，则)(),(102211=⎰⎰-dy y x yf dx(A) dy y x yf dx ⎰⎰102210),(2 (B) dy y x yf dx x⎰⎰02210),(4 (C) dy y x yf dx y y ⎰⎰-),(22210 (D) 06、[3分]设2211cos sin x y d I x y σ+==++⎰⎰,则有（） (A) 223I ≤≤ (B) 23I ≤≤ (C) 102I ≤≤ (D) 10I -≤≤ 7、[3分] 若L 是平面曲线)0(222>=+a a y x 依顺时针方向一周，则 dy y x y xy dx yx y x e L x ⎰+-++-2222222)sin(2的值为（） (A) 2a π⋅ (B)22a π⋅ (C) 0 (D) 22a π⋅-二、填空题[共18分]1、[3分]过点(1,2,1)M -且与直线7,34,3x t y t z t =-+=+=+垂直的平面是 .2、[3分]设cos()cos(2)(,)()cos()xy x y f x y e x x y π-=+-+，则=')4,(ππy f . 3、[3分] 设0ln =-yz z x ，则=dz . 4、[3分] 设D 是椭圆22194x y +=所围成的闭区域，则Dd σ=⎰⎰ .5、[3分]将二重积分()10,dy f x y dx ⎰⎰交换积分次序后为 .6、[3分] 设∑是以原点为球心，4为半径的球面，则2221dS x y z∑=++⎰⎰ .三、解答下列各题[共31分]1、[6分] 设x y x z yarctan +=，求y x z ∂∂∂2.2、[6分]设直线⎩⎨⎧=--+=++030:z ay x b y x l 在平面π上，而平面π与曲面22y x z +=相切于点)5,2,1(-，求b a ,之值.3、[6分] 求dy e y dx x x y ⎰⎰-121dy e ydx x y ⎰⎰-+2421的值.4、[6分] 计算dxdydz e z⎰⎰⎰Ω，其中1:222≤++Ωz y x .5、[7分] 求⎰+-=L yx xdy ydx I 224，其中L 是椭圆1422=+y x 由对应于x 从1-到1（在第一、二象限内）的那一段.四、[6分]求()222120x x y xy xe'++-=的通解.五、[6分] （本大题供所有专业选做一小题）1、求22u x y z =+-在约束条件2221x y z ++=下的最大值和最小值2、设长方体过同一顶点的三条棱长之和为9，问这三条棱长各为何值时，长方体的表面积最大？3、求椭圆223:1x y x y z ⎧+=Γ⎨++=⎩的长半轴长度、短半轴长度和面积.六、[8分]计算曲面积分2(81)2(1)4I x y dydz y dzdx yzdxdy ∑=++--⎰⎰，其中∑是由曲线0(13)x y z =⎧⎪≤≤⎨=⎪⎩绕y 轴旋转一周而成的曲面，其法向量与y 轴的正向的夹角恒大于2π.七、[8分]（注意: 根据各自专业学分情况选做）1、（4学分化工类不做本题，5学分专业做本题）将函数21()82x f x x x+=--展开为x 的幂级数并求出该级数的收敛区间. 2、（4学分化工类做本题，5学分专业不做本题）设)(x f 定义在),0(+∞，具有一阶连续导数，0)1(=f 且对在右半平面内的任意闭曲线L ，曲线积分0])([)]([=++-⎰dy e x xf ydx x f e Ly x（1）求)(x f ；（2）求函数(,)U x y ，使它的全微分等于dy e x xf ydx x f e y x ])([)]([++-.。

05华工线代试题

2005年华南理工大学线性代数期考试卷姓名班级成绩单序号一．填空题（15分）1．若*A 是6阶方阵A 的伴随矩阵，且rank(A)=4, 则rank(*A )=( ). 2.设cos sin sin cos A αααα-⎛⎫=⎪⎝⎭，则100A =（）。

3．设12,3123{(,)|230}T V x x x x x x =-+=是3R 的子空间，则空间V 的维数是（）。

4．对称矩阵A 的全部特征根是4,-5,3,2,若已知矩阵A E β+为正定矩阵，则常数β必须大于数值（）。

5．已知n 阶矩阵10...0010 (00)01...0..................000 (100)...01A λλλλ⎛⎫⎪⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭，0λ≠，则矩阵A 的逆是( ). 二．选择题(15分)１．若A,B 是n 阶方阵，下列等式中恒等的表达式是( ) A.222()AB A B =, B. 111()AB A B ---=, C. | A+B|=|A|+|B|, D. ***()AB B A =2.若A 是n 阶方阵，则Ａ为正交矩阵的充要条件不是（）Ａ.Ａ的列向量构成n R 的单位正交基，Ｂ．Ａ的行向量构成n R 的单位正交基，Ｃ．1T A A -=，Ｄ．det 1A =±3.若1V 是空间n R 的一个k 维子空间，1,...,k αα是1V 的一组基；2V 是空间m R 的一个k 维子空间, 1,...,k ββ是2V 的一组基. 且,,m n k m k n ≠<<,则( )A.向量组1,...,k αα可以由向量组1,...,k ββ线性表示,B. 向量组1,...,k ββ可以由向量组1,...,k αα线性表示,C. 向量组1,...,k ββ与向量组1,...,k αα可以相互线性表示,D. 向量组1,...,k ββ与向量组1,...,k αα不能相互线性表示.4.若12,λλ是实对称阵A 的两个不同特征根,12,ξξ是对应的特征向量,则下列命题哪一个不成立( )A. 12,λλ都是实数,B. 12,ξξ一定正交,C. 12ξξ+有可能是A 的特征向量。

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华南理工大学2005年硕士研究生入学考试
一. 证明因为((),())1f x g x =，所以((),()())1f x f x g x +=，同理，
((),()())1g x f x g x +=，从而有(()(),()())1f x g x f x g x +=，我们设
()()()m x f x g x =+，()()()n x f x g x =，即有((),())1m x n x =，由上面的讨论我们可以
知道(()(),()())1m x n x m x n x +=，即
(()()(()()),()()()())1f x g x f x g x f x g x f x g x +++=. ■
二. 解方程组对应的增广矩阵，经过初等行变换，化为阶梯矩阵，得到
222111
111
10112110
0(2)(1)(1)(1)λλλ
λλλ
λλλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪
→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++-+-⎝⎭⎝⎭
由此可以知道
(1) 当2λ=-时，方程组无解；
(2) 无论1λ=时，方程组有无数组解，且1231x x x ++=，令23,x n x m ==，,n m 任意，
则11x m n =--；
(3) 当1λ≠且2λ≠-，方程组有唯一解，且解的结构为
2
12311(1,,222
x x x λλλλλ--+===+++）. ■
三. 解矩阵A 的特征方程为
3
6602
(2)(3)3
12
6
E A λλλλλλλ----=
-=-++
求得特征值为0,2,3λλλ===-
下面来求属于特征值0λ=的特征向量，将特征值0λ=代入下面的方程组
12321
23(3)660(2)0312(6)0
x x x x x x x λλλ---=⎧⎪
-=⎨
⎪+++=⎩ (1) 求得基础解系为'
1(2,0,1)β=-
再求属于特征值2λ=的特征向量，将特征值2λ=代入方程组(1)，求得基础解系为
2(12,5,3)'β=-，最后再求属于特征值3λ=-的特征向量，将特征值3λ=-代入方程组
(1)，求得基础解系为'
3(1,0,1)β=-，我们取矩阵T 为
1122050131T --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭
于是得到，300'020000T AT -⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，故矩阵A 可以对角化. ■
四. 解设矩阵A 是一个s n ⨯的矩阵，其秩为r ，则存在初等矩阵,P Q ,使得
000r
E A P Q ⎛⎫=
⎪⎝⎭，我们知道，矩阵000r E ⎛⎫
⎪⎝⎭
可以表成r 个秩为1的矩阵之和，分别记为1122,,rr E E E ⋅⋅⋅，即1122000r
rr E
E E E ⎛⎫
=++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭
，从而有 1122rr A PE Q PE Q PE Q =++⋅⋅⋅+
由于,P Q 是初等矩阵，故他们为可逆矩阵，从而()() 1 i=1,2,...,r ii ii rank PE Q rank E ==，所以，矩阵A 可表成r 个秩为1的矩阵之和. ■
五. 解因为A 为实对称矩阵，所以存在正交矩阵P ，使得121n P AP λλλ-⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪⋅⋅⋅ ⎪
⎝
⎭，(其中12n λλλ≤≤⋅⋅⋅≤)，我们知道，,λμ分别为其最大与最小特征根，所以
12n μλλλλ=≤≤⋅⋅⋅≤=
故1
1
()P AP E P A E P μμ---=-的特征根为0，2,,n λμλμ-⋅⋅⋅-，都是非负实数，从而
A E μ-是半正定的。

因此对任意实n 维向量X 都有
'()0X A E X μ-≥,即''X X X AX μ≤ ()I
同理，由于1
1
()E P AP P E A P λλ---=-的特征根为11,,,0n λλλλ--⋅⋅⋅-，都是非负实数，故E A λ-是半正定的，从而对任意的实n 维向量X 都有
'()0X E A X λ-≥,即''X AX X X λ≤ ()II
由()I ，()II 得到'''X X X AX X X μλ≤≤. ■
六. 解设i λ是A 的非零特征根，x 是属于i λ的特征向量，则i Ax x λ=，2
2
i A x x λ= 因为A 是正交阵，所以'A A E =，即''()i A Ax A x λ=，所以，1
'i
A x x λ=
.因为A 与'A 有
相同的特征根，所以，
1
i i
λλ=，即21i λ=，因为i λ为实数，所以1i λ=±，所以2A x x =，
2A E =，所以'A A =，故A 是实对称矩阵. ■
七. 解充分性：若存在正交阵T ，使1T AT B -=，则A 与B 相似，故,A B 有相同的特征多项式，即,A B 有相同的特征根。

必要性：已知,A B 均为实对称矩阵，且,A B 的特征值均为12,,,n λλλ⋅⋅⋅，于是存在正交矩阵
,P Q ，使得1'n P AP λλ⎛⎫ ⎪=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭，1'n Q BQ λλ⎛⎫
⎪
=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭
，即''P AP Q BQ =，所以''B QP APQ =,令'T PQ =，则1B T AT -=,因为''T T QP PQ E ==,所以T 为正交矩.
■
八. 解 (1) 已知0Ax =，则必有'()0A Ax =，所以0Ax =的解必定是'()0A Ax =的解。

又'0A Ax =，则''()'()0x AA x
A x A x ==，所以0Ax =，即'()0A A x =的解必定是0
Ax =的解，所以0Ax =与'0A Ax =同解；
(2) 设()rank A t =，(')rank A A l =，由(1)知，0Ax =与'0A Ax =同解，即有相同的基础解系，所以n t n l -=-，所以t l =；
(3) 要证''A Ax A B =有解，即证
(',')(')rank A A A B rank A A =
由(2)知，
()(')rank A rank A A =
且
(')(',')('(,))(')()rank A A rank A A A B rank A A B rank A rank A ≤=≤=
所以，(',')(')()rank A A A B rank A A rank A ==. ■
九. 解 (1) 由于 ()2(,)[2(,)]()k k k k k σααηαηαηαησα=-=-=
()()2(,)[2(,)][2(,)]()()σαβαβηαβηαηαηβηβησααβ+=+-+=-+-=+
故σ为线性变换。

又由于
((),())(2(,),2(,))(,)2(,)(,)2(,)(,)4(,)(,)(,)
σασβαηαηβηβηαβηαηβηβηαηβηααβ=--=--+=
所以，σ是正交变换；
(2) 因为α与β是两个不同的单位向量，故(),(,) 1 -0ααββαβ==≠，从而
αβ
ηαβ
-=
-
是一个单位向量。

令
()2(,)x x x σηη=-
则σ是一个镜面反射，且
()2(,)2(,
)αβαβ
σαααηηαααβαβ
--=-=-⋅-- 2
(,)()2[(,)(,)]()
(,)(,)(,)1
[1(,)](,)1(,)
αααβαβαβ
αααβαβααααβββααβαββ
αβ=------=-
-+=--=-
即有，()σαβ=
十. 解因为E A λ-与'E A λ-互为转置矩阵，他们对应的k 阶子式互为转置行列式，故相等。

从而两者有完全相同的各阶级行列式因子，于是两者有完全相同的不变因子。

故 E A λ-与'E A λ-等价，从而A 与'A 相似. ■。