考研数学三(函数、极限、连续)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学三（函数、极限、连续）历年真题试卷汇编1(题后含答案
及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．[2004年]函数在区间( )内有界．
A．(－1，0)
B．(0，1)
C．(1，2)
D．(2，3)
正确答案：A
解析：解一大家知道，若f(x)在有限闭区间[a，b]上连续，则f(x)一定在[a，b]上有界，但若f(x)在开区间(a，b)内连续，则f(x)在(a，b)内未必有界，而如果再附加条件和存在，则f(x)必在(a，b)内有界，这就是命题1．1．1．1(2)．由于下述极限存在，又f(x)在(－1，0)内连续，故由命题1．1．1．1(2)知f(x)在(－1，0)内有界．仅(A)入选．解二因可补充定义则补充定义后的函数f(x)成为有界闭区间[－1，0]上的连续函数．利用有界闭区间上连续函数的有界性可知f(x)在[－1，0)[－1，0]上有界．仅(A)入选．解三因由命题[1．1．1．1(1)：如果x∈(a,b)，或则f(x)在(a,b)内无界。
即知，f(x)在(0，1)及(1，2)，(2，3)内均无界．仅(A)入选．注：命题1．1．1．1 (1)如果x0(a，b)，或则f(x)在(a，b)内无界．(2)如果和存在，且f(x)在(a，b)内连续，则f(x)在(a，b)内有界．知识模块：函数、极限、连续
2．[2014年]设且a≠0，则当n充分大时，有( )．
A．
B．
C．
D．
正确答案：A
解析：解一由可取从而有不等式即亦即当a＞0时有当a＜0时有由式①、式②可知仅(A)入选．解二因由极限的定义，对任意ε＞0，存在正整数N，使得n＞N时，有|an一a|＜ε，从而取时有即仅(A)入选．解三由得到取则存在N＞0，当n>N时有即亦即故仅(A)入选．知识模块：函数、极限、连续
3．[2000年]设对任意的x，总有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且则( ).
A．存在且等于零
B．存在但不一定为零
C．一定不存在
D．不一定存在
正确答案：D
解析：下面举反例说明(A)，(B)，(C)都不正确．仅(D)入选．令φ(x)=1-1／x2，f(x)=1，g(x)=1+1／x2，显然有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且这时有这说明(A)、(C)都不正确．事实上，满足上述条件的f(x)，其极限不一定存在．因而(B)也不正确．例如，令φ(x)=x－1／x2，f(x)=x，g(x)=x+1／x2，显然它们均满足题设条件，但知识模块：函数、极限、连续
4．[2015年]设{xn)是数列．下列命题中不正确的是( )．
A．
B．
C．
D．
正确答案：D
解析：由命题1．1．3．8的充分条件知选项(B)正确．由命题1．1．3．8的必要条件知选项(A)、(C)正确，因而仅(D)入选．注：命题1．1．3．8 如果与均存在且相等，则存在，且知识模块：函数、极限、连续
5．[2009年]当x→0时，f(x)=x—sinax与g(x)=x2ln(1—bx)是等价无穷小量，则( )．
A．a=1，b=－1／6
B．a=1，b=1／6
C．a=－1，b=－1／6
D．a=－1，b=1／6
正确答案：A
解析：解一因故必存在，所以必有因而a=1．再由－a3／(6b)=1得－1／(6b)=1，故b=－1／6．仅(A)入选．解二反复利用洛必达法则求之．即a3=－6b(排除(B)、(C))．又因存在，而故必有即1－a=0，故a=1，从而b=－1／6．仅(A)入选．注：命题1．1．3．1 当x→0时，有(2)x－sinx～x3/6；1－cosλ～λx2(λ为常数). 知识模块：函数、极限、连续
6．[2010年]若则a等于( )．
A．0
B．1
C．2
D．3
正确答案：C
解析：解一即a=2．仅(C)入选．解二由题设知，a－1=1，故a=2．仅(C)入选．知识模块：函数、极限、连续
7．[2014年]设P(x)=a+bx+cx2+dx3，当x→0时，若P(x)=-tanx是比x3高阶的无穷小，则下列选项中错误的是( )．
A．a=0
B．b=1
C．c=0
D．
正确答案：D
解析：由题设得故a=0，b－1=0，c=0，即a=0，b=1，c=0，仅(D)入选．知识模块：函数、极限、连续
填空题
8．[2012年]设函数则
正确答案：
解析：当x=e时，y=lnx－1，故知识模块：函数、极限、连续
9．[2012年]
正确答案：
解析：知识模块：函数、极限、连续
10．[2009年]
正确答案：3e/2
解析：知识模块：函数、极限、连续
11．[2015年]
正确答案：
解析：知识模块：函数、极限、连续
12．[2002年]设常数则
正确答案：
解析：知识模块：函数、极限、连续
13．[2005年]
正确答案：2
解析：解一当x→∞时，sin[2x／(x2+1)]～2x／(x2+1)，由命题1．1．4．1 [*]其中m,n为正整数.得到[*] 解二令[*]则[*]故[*] 知识模块：函数、极限、连续
14．[2007年]
正确答案：0
解析：解一因|sinx+cosx|≤|cosx|+|sinx|≤2，故sinx+cosx为有界变量，又根据命题1．1．3．6即得所求极限为0．解二当x→∞时，2x是比xk(k 为正整数)高阶的无穷大量，因而显然|sinx+cosx|≤2，于是由命题1．1．3．6即得所求极限为0．注：命题1．1．3．6 有界变量与无穷小量的乘积为无穷小量. 知识模块：函数、极限、连续
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．[2011年]求极限
正确答案：解一使用前先用等价无穷小代换化简．解二用有理化和等价无穷小量代换求之．涉及知识点：函数、极限、连续
16．[2014年]求极限
正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续
17．[2004年]求
正确答案：注：命题1．1．3．1(2)当x→0时，有x－sinx～x3/6；1－cosλ～λx2(λ为常数). 涉及知识点：函数、极限、连续
18．[2005年]求
正确答案：解一当x→O时，1－e-x=-(e-x－1)～(～1)(-x)=x，并利用洛必达法则得解二注：命题1．1．3．1(7)当x→0时，有ex－x－1～x2/2. 涉及知识点：函数、极限、连续
19．[2016年]求极限
正确答案：解一而故解二而故涉及知识点：函数、极限、连续
20．[2010年]求极限
正确答案：解一因所求极限式中含幂指函数，先用换底法将其化为以e为底的指数函数，得到因则这是幂指函数的极限，故这是因为解二直接利用求之．故涉及知识点：函数、极限、连续
21．[2012年]求极限
正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续
22．[2008年]求极限
正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续。
2020考研数学(三)真题(含解析)
，
而 cos f '(x) cos f '(x) ，故 cos f '(x) 也为偶函数，故 cos f '(x) f (x) 为非奇非偶函数。
(4) 已知幂级数 nan (x 2)n 的收敛区间为(−2,6) ，则 an (x 1)2n 的收敛区间为
n1
n1
(A).(-2,6) (B).(-3,1) (C).(-5,3) (D).(-17,15)
（C） x k11 k23 k34
【答案】 C
（D） x k12 k23 k34
4
(5)设 4 阶矩阵 A (aij ) 不可逆， a12 的代数余子式 A12 0 ，1,2,3,4 是矩阵 A 的列向量组， A*为
A 的伴随矩阵，则 A* x 0 的通解为（
）
（A） x k11 k22 k33
（B） x k11 k22 k34
f ( x)a f ( x) a
ua u a
【解析二】由拉格朗日中值公式得 sin f (x) sin a ( f (x) a)cos ，其中 介于 a 与 f (x) 之间，
由 lim f (x) a b ，知 lim f (x) a 0 ，即 lim f (x) a ，故 lim a ，
）
xa x a
xa
xa
（A） bsin a （B） bcos a （A） bsin f (a) （A） bcos f (a)
【答案】B
【解析一】由 lim f (x) a b ，知 lim f (x) a 0 ，即 lim f (x) a ，
xa x a
2024考研(数学三)真题答案及解析完整版
2024考研(数学三)真题答案及解析完整版2024年全国硕士研究生入学考试数学(三)真题及参考答案考研数学三考什么内容?数学三在高等数学这一部分因为要求的内容相对较少，所以很多学校经济类、管理类专业在本科期间所用教材并非理工类专业通常会使用的《高等数学》同济大学版，更多的学校本科阶段的教材是中国人民大学版《微积分》。
而考数学三的同学中在实际复习过程中使用哪一本教材的都有)(函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程与差分方程);线性代数(行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、二次型);概率论与数理统计(随机事件和概率、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验)。
考研的考试内容有哪些一、考研公共课：政治、英语一、英语二、俄语、日语、数学一、数学二、数学三，考研公共课由国家教育部统一命题。
各科的考试时间均为3小时。
考研的政治理论课(马原22分、毛中特30分、史纲14分、思修18分、形势与政策16分)。
考研的英语满分各为100分(完型10分、阅读理解60分、小作文10分、大作文20分)。
数学(其中理工科考数一、工科考数二、经管类考数三)满分为150分。
数一的考试内容分布：高数56%(84分)、线代22%(33分)、概率22%(33分);数二的内容分布：高数78%(117分)、线代22%(33分);数三的内容分布：高数56%(84分)、线代22%(33分)、概率22%(33分)。
这些科目的考试知识点和考试范围在各科考试大纲上有详细规定，一般变动不大，因此可以参照前一年的大纲，对一些变动较大的科目，必须以新大纲为准进行复习。
二、考研专业课统考专业课：由国家教育部考试中心统一命题，科目包括：西医综合、中医综合、计算机、法硕、历史学、心理学、教育学、农学。
其中报考教育学、历史学、医学门类者，考专业基础综合(满分为300分);报考农学门类者，考农学门类公共基础(满分150分)。
考研数学三真题试卷带答案解析(高清版)
2023考研数学三真题试卷带答案解析(高清版)2024年全国硕士研究生入学考试数学(三)真题及参考答案2024年考研数学复习时间规划复习的阶段大致可以分为三个阶段：基础奠定，强化训练，模拟冲刺。
1、6月之前：夯实基础通过看老师的基础课程数，学习基础知识，有视频的可以结合视屏看，看完一节，知道里面讲的什么，公式、概念。
看完一章，结合之前做的笔记，复盘这一章的内容，主要将说明，各知识点都用在什么地方，然后刷一刷这一章的讲义。
看完一章视频或书籍之后，最后做一做三大计算+660题。
2、7-9月：强化训练方法同打基础阶段。
看完视频后做对应的习题330题。
3、10-11月20日：真题冲刺后期可以做一做近10年的真题了，从近往远做，越近的真题越要花时间研究，不懂的地方可以看看名师的知识点讲解。
真题的错题，尤其要弄懂。
4、11月20日-考前：模拟训练最后一两个星期，就需要持续的模拟考场做试卷的状态和题型，建议大家做一做模拟卷，网上就可以购买，一般12月初都出来了，挑自己喜欢的老师即可。
提示：不要看押题卷，知识点学就会后，以不变应万变。
考研必考科目政治、英语和专业课。
所有专业都会考查政治，虽然管理类联考初试不涉及，但复试会考查。
除小语种专业外，其他专业都会考查英语，主要有英语一和英语二。
考研专业分为13个学科大类，包含上百个专业，每一专业都会有自己的专业课考试。
考研初试科目：初试方式为笔试，共四个科目：两门公共课、两门业务课。
两门公共课：政治、英语一或英语二;业务课一：数学或专业基础;业务课二(分为13大类)：哲学、经济学、法学、教育学、文学、历史学、理学、工学、农学、医学、军事学、管理学、艺术学等。
法硕、西医综合、中医综合、教育学、历史学、心理学、计算机、农学等属于统考专业课，其他非统考专业课都是各院校自主命题，具体考试科目请参照各大考研院校招生简章。
会计硕士(MPAcc)、图书情报硕士、工商管理硕士(MBA)、公共管理硕士(MPA)、旅游管理硕士、工程管理硕士和审计硕士只考两门，即：英语二和管理类联考综合能力。
数学三考研题目答案及解析
数学三考研题目答案及解析数学三考研题目答案及解析：题目：设函数\( f(x) \)在区间\( [a, b] \)上连续，且\( f(a) =f(b) \)，证明至少存在一点\( c \)在区间\( (a, b) \)内，使得\( f(c) = f(a) \)。
答案：根据罗尔定理（Rolle's Theorem），如果一个函数在闭区间\( [a, b] \)上连续，在开区间\( (a, b) \)内可导，并且两端的函数值相等，即\( f(a) = f(b) \)，那么至少存在一点\( c \)在开区间\( (a, b) \)内，使得\( f'(c) = 0 \)。
首先，我们构造一个新的函数\( g(x) = f(x) - f(a) \)。
显然，\( g(x) \)在\( [a, b] \)上连续，并且在\( (a, b) \)内可导，因为\( f(x) \)在这些区间上具有相应的性质。
由于\( f(a) = f(b) \)，我们有\( g(a) = g(b) = 0 \)。
现在，我们可以应用罗尔定理于函数\( g(x) \)在\( [a, b] \)上。
根据定理，存在至少一点\( c \)在\( (a, b) \)内，使得\( g'(c) = 0 \)。
计算\( g'(x) \)，我们得到\( g'(x) = f'(x) - 0 = f'(x) \)。
因此，\( g'(c) = f'(c) = 0 \)。
由于\( g(c) = f(c) - f(a) \)，并且我们已经知道\( g'(c) = 0 \)，我们可以得出\( g(c) = 0 \)。
这意味着\( f(c) - f(a) = 0 \)，即\( f(c) = f(a) \)。
这就证明了至少存在一点\( c \)在区间\( (a, b) \)内，满足\( f(c) = f(a) \)。
近年考研数学三微积分题目整合及其详细解答
解：当 x → ∞ 时， sin 2x ~ 2x ，有 lim x sin 2x = lim 2x 2 = 2 ，
x2 +1 x2 +1
x→∞
x 2 + 1 x→∞ x2 + 1
填空：2．
6． （06） lim⎜⎛ n + 1⎟⎞(−1)n =
．
n→∞⎝ n ⎠
解：当 n 为偶数时，⎜⎛ n + 1 ⎟⎞(−1)n = n + 1 → 1 (n → ∞) ；当 n 为奇数时，⎜⎛ n + 1 ⎟⎞(−1)n = n → 1 (n → ∞) ；
n 1 n(n + 1) + 2
= 1 = 2， 1 n(n − 1) 2 2 2
填空： 2 ． 2
3． （99）设函数 f (x) = a x
(a > 0,
a ≠ 1) ，则 lim 1 n→∞ n 2
ln[ f (1) f (2)L f (n)] =
．
2
解：原式 =
lim
ln(a1
⋅
a2
Lan )
xx
x→∞ 5x + 3 x x→∞ 5x + 3 x 5
填空： 6 ． 5
2． （95） lim [ 1 + 2 + L + n − 1 + 2 + L + (n − 1)] =
．
n→∞
解：原式 = lim (1 + 2 + L + n) − [1 + 2 + L + (n − 1)] = lim n→∞ 1 + 2 + L + n + 1 + 2 + L + (n − 1) n→∞
数三试题及答案
数三试题及答案1. 已知函数f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 9x - 5，求f(2)的值。
答案：将x=2代入函数f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 9x - 5，得到f(2) =2*(2)^3 - 6*(2)^2 + 9*2 - 5 = 16 - 24 + 18 - 5 = 5。
2. 解方程：2x^2 - 5x + 3 = 0。
答案：使用求根公式，判别式Δ = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4*2*3 =25 - 24 = 1，因为Δ > 0，所以方程有两个实根。
x = (-b ± √Δ) / 2a = (5 ± √1) / (2*2) = (5 ± 1) / 4。
因此，x1 = 3/2，x2= 1。
3. 计算极限：lim (x→0) [sin(3x) / x]。
答案：根据洛必达法则，分子分母同时求导，得到lim (x→0)[cos(3x) * 3 / 1] = 3 * cos(0) = 3。
4. 已知数列{an}满足a1 = 1，an+1 = 2an + 1，求a3的值。
答案：根据递推关系，a2 = 2a1 + 1 = 2*1 + 1 = 3，a3 = 2a2 + 1= 2*3 + 1 = 7。
5. 求定积分：∫(0 to 1) (3x^2 - 2x + 1) dx。
答案：使用积分公式，∫(3x^2 - 2x + 1) dx = x^3 - x^2 + x + C。
计算定积分，[(1)^3 - (1)^2 + 1] - [(0)^3 - (0)^2 + 0] = 1 - 1 + 1 - 0 = 1。
6. 判断级数∑(n=1 to ∞) (1/n^2)的收敛性。
答案：根据p-级数收敛定理，当p > 1时，级数收敛。
因为p = 2 > 1，所以级数∑(n=1 to ∞) (1/n^2)收敛。
7. 求函数y = ln(x)的导数。
2021考研数学三考试历年真题及答案详解
2021考研数学三考试历年真题及答案详解一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分。
每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上）1.当x→0时，是x7的（）。
A．低阶无穷小B．等价无穷小C．高阶无穷小D．同阶但非等价无穷小【答案】C【考点】常用等价无穷小；【解析】因为当x→0时，，所以是x7的高阶无穷小，故选C项。
2.函数，在x＝0处（）。
A．连续且取极大值B．连续且取极小值C．可导且导数为0D．可导且导数不为0【答案】D【考点】连续和可导的定义；【解析】因为故f（x）在x＝0处连续。
因为即f′（0）＝1/2，故选D项。
3.设函数f（x）＝ax－blnx（a＞0）有2个零点，则b/a的取值范围为（）。
A．（e，＋∞）B．（0，e）C．（0，1/e）D．（1/e，＋∞）【答案】A【考点】函数单调性及极值；【解析】函数求导得f′（x）＝a－b/x，令f′（x）＝0，则有驻点x＝b/a，得在区间（b/a，＋∞）上，f′（x）＞0，f（x）单增；在区间（－∞，b/a）上，f′（x）＜0，f（x）单减。
即f（b/a）为函数f（x）的极小值，若f（x）有2个零点，则f（b/a）＝a·b/a －bln（b/a）＜0，从而ln（b/a）＞1，可得b/a＞e，故选A项。
4.设函数f（x，y）可微，且f（x＋1，ex）＝x（x＋1）2，f（x，x2）＝2x2lnx，则df（1，1）＝（）。
A．dx＋dyB．dx－dyC．dyD．－dy【答案】C【考点】多元函数可微；【解析】记∂f/∂x＝f1′，记∂f/∂y＝f2′，则题给两式对x求导得将分别代入（1）（2）式有联立可得f1′（1，1）＝0，f2′（1，1）＝1，df（1，1）＝f1′（1，1）dx＋f2′（1，1）dy＝dy，故选C项。
5.二次型f（x1，x2，x3）＝（x1＋x2）2＋（x2＋x3）2－（x3－x1）2的正惯性指数和负惯性指数依次为（）。
考研数学三(多元函数微积分学)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学三（多元函数微积分学）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．[2008年] 设则( )．A．fx’(0，0)，fy’(0，0)都存在B．fx’(0，0)不存在，fy’(0，0)存在C．fx’(0，0)存在，fy’(0，0)不存在D．fx’(0，0)，fy’(0，o)都不存在正确答案：B解析：因而则极限不存在，故偏导数fx’(0，0)不存在．而因而偏导数fy’(0，0)存在．仅(B)入选．知识模块：多元函数微积分学2．[2003年] 设可微函数f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，则下列结论正确的是( )．A．f(x0，y)在y=y0处的导数大于零B．f(x0，y)在y=y0处的导数等于零C．f(x0，y)在y=y0处的导数小于零D．f(x0，y)在y=y0处的导数不存在正确答案：B解析：解一因f(x，y)在点(x0，y0)处可微，故f(x，y)在点(x0，y0)处两个偏导数存在，因而一元函数f(x0，y)在y=y0处的导数也存在．又因f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，故f(x0，y0)在y=y0处的一阶(偏)导数等于零．仅(B)入选．解二由函数f(x，y)在点(x0，y0)处可微知，f(x．y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在．又由二元函数极值的必要条件即得f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数都等于零．因而有知识模块：多元函数微积分学3．[2016年] 已知函数则( )．A．fx’－fy’=0B．fx’+fy’=0C．fx’－fy’=fD．fx’+fy’=f正确答案：D解析：则仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学4．[2017年] 二元函数z=xy(3－x－y)的极值点为( )．A．(0，0)B．(0，3)C．(3，0)D．(1，1)正确答案：D解析：zy’=y(3－x－y)－xy=y(3－2x－y)，zy’=x(3－x－y)－xy=x(3－x－2y)，又zxx’=－2y，zxy=3－2x－2y，zyy’=－2x，将选项的值代入可知，只有(D)符合要求，即A=zxx”(1，1)=－2，B=zxy”(1，1)=－1，C=zyy”(1，1)=－2．满足B2－AC=－3＜0，且A=－2＜0，故点(1，1)为极大值点．仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学5．[2006年] 设f(x，y)与φ(z，y)均为可微函数，且φy’(x，y)≠0，已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，Y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( )．A．若fx’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)=0B．若fx’(x0，y0)=0，则f’y(x0，y0)≠0C．若fx’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)=0D．若fx’(x0，y0)≠0，则f’y(x0，y0)≠0正确答案：D解析：解一由拉格朗日乘数法知，若(x0，y0)是f(x，y)在条件φ(x，y)=0下的极值点，则必有fx’(x0，y0)+λφx’(x0，y0)=0，①fx’(x0，y0)+λφx’(x0，y0)=0．②若fx’(x0，y0)≠0，由式①知λ≠0．又由题设有φy’(x0，y0)≠0，再由式②知fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．解二构造拉格朗日函数F(x，y，λ)=f(x，y)+λφ(x，y)，并记对应于极值点(x0，y0)处的参数的值为λ0，则由式③与式④消去λ0得到fx’(x0，y0)／φx’(0，y0)=一λ0=f’y(x0，y0)／φ’y(x0，y0)．即f’x(x0，y0)φ’y(x0，y0)一fy’(x0，y0)φx’(x0，y0)=0．整理得若fx’(x0，y0)≠0，则由式③知，φx’(x0，y0)≠0．因而fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．解三由题设φy’(x，y)≠0知，φ(x，y)=0确定隐函数y=y(x)．将其代入f(x，y)中得到f(x，y(x))．此为一元复合函数．在φ(x，y)=0两边对x求导，得到因f(x，y(x))在x=x0处取得极值，由其必要条件得到f’x+fy’y’=fx’+fy’(一φx’／φy’)=0．因而当fx’(x0，y0)≠0时，必有fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学填空题6．[2012年] 设连续函数z=f(x，y)满足则dz｜(0,1)=__________．正确答案：2dx－dy解析：用函数f(x，y)在(x0，y0)处的微分定义：与所给极限比较易知：z=f(x，y)在点(0，1)处可微，且fx’(0，1)=2，fy’(0，1)=－1，f(0，1)=1，故dz｜(0,1)=fx’(0，1)dx+fy’(0，1)dy=2dx－dy．知识模块：多元函数微积分学7．[2009年] 设z=(x+ey)x，则正确答案：2ln2+1解析：解一为简化计算，先将y=0代入z中得到z(x，0)=(x+1)x，z为一元函数．将x=1代入上式，得到解二考虑到z(x，0)=(x+1)x为幂指函数，先取对数再求导数：lnz=xln(x+1)．在其两边对x求导，得到则知识模块：多元函数微积分学8．[2007年] 设f(u，v)是二元可微函数，则正确答案：解析：解一设u=y／x，v=x／y．为方便计，下面用“树形图”表示复合层次与过程．由式①一式②得到解二令f1’，f2’分别表示z=f(y／x，x ／y)对第1个和第2个中间变量y／x、x／y求导数，则知识模块：多元函数微积分学9．[2004年] 函数f(u，v)由关系式f[xg(y)，y]=x+g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y)≠0，则正确答案：解析：令u=xg(y)，v=y，由此解出于是知识模块：多元函数微积分学10．[2005年] 设二元函数z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，则dz｜(1,0)=_________．正确答案：2edx+(e+2)dy解析：dz=d[xex+y+(x+1)ln(1+y)]=d(xex+y)+d[(x+1)ln(1+y)] =ex+ydx+xex+y(dx+dy)+ln(1+y)dx+[(x+1)／(1+y)]dy．①将x=1，y=0代入上式(其中dz，dx，dy不变)，得到dz｜(1,0)=edx+e(dx+dy)+2dy=2edx+(e+2)dy．解二利用全微分公式求之．为此，先求出偏导数故解三用定义简化法求之．固定一个变量转化为另一个变量的一元函数求导．由z(x，0)=xex得到由z(1，y)=ey+2ln(1+y)得到故知识模块：多元函数微积分学11．[2006年] 设函数f(u)可微，且f’(0)=1／2，则z=f(4x2－y2)在点(1，2)处的全微分dz｜1,2=___________．正确答案：4dx一2dy解析：解一dz=df(4x2－y2)=f’(u)du=f’(u)d(4x2－y2)=f’(u)(8xdx－2ydy)，其中u=4x2－y2．于是dz｜1,2=f’(0)(8dx－4dy)=4dx－2dy．解二利用复合函数求导公式和定义简化法求之．由z=f(4x2－y2)得到解三由z=f(4x2－y2)得到于是故dz｜1,2=4dx－2dy．知识模块：多元函数微积分学12．[2011年] 设函数则dz｜1,1=____________．正确答案：(1+2ln2)(dx—dy)解析：解一所给函数为幂指函数，先在所给方程两边取对数，然后分别对x，y求偏导：由得到则解二先用定义简化法求出然后代入全微分公式求解．故dz｜1,1=2(ln2+1／2)dx－2(ln2+1／2)dy=(1+2ln2)(dx－dy)．知识模块：多元函数微积分学13．[2015年] 若函数z=z(x，y)由方程ex+2y+3z+xyz=1确定，则dz｜0,0=_______________．正确答案：解析：在ex+2y+3z+xyz=1①两边分别对x，y求偏导得到同法可得将x=0，y=0代入式①易求得z=0，代入式②、式③分别得到则知识模块：多元函数微积分学14．[2014年] 二次积分正确答案：解析：注意到不易求出，需先交换积分次序，由积分区域的表达式D={(x，y)|y≤x≤1，0≤y≤1)－{(x，y)|0≤y≤x，0≤x≤1}及交换积分次序得到故知识模块：多元函数微积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1990考研数学三真题和详解
1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题 ( 本题满分 15 分, 每小题 3 分. 把答案填在题中横线上 .)(1) 极限 lim( n 3nnn )_________.n(2) 设函数 f ( x) 有连续的导函数 , f(0) 0, f (0) b , 若函数f ( x) a sin x , x 0,F (x)xA, x 0在 x 0 处连续 , 则常数 A =___________.(3) 曲线 yx 2 与直线 yx 2 所围成的平面图形的面积为_________.x 1x 2 a 1 ,(4) x 2 x 3 a 2 ,若线性方程组x 4 有解 , 则常数 a 1 , a 2 , a 3 ,a 4 应满足条件 ________.x 3 a 3 ,x 4x 1 a 4(5) 一射手对同一目标独立地进行四次射击, 若至少命中一次的概率为80,则该射手的命中率为 ________.81二、选择题 ( 本题满分 15分,每小题 3 分 . 每小题给出的四个选项中 , 只有一项符合题目要求 ,把所选项前的字母填在题后的括号内 .)(1)设函数 f ( x) x tan x e sin x , 则 f (x) 是( )(A)偶函数(B)无界函数(C)周期函数(D)单调函数(2) 设函数 f ( x) 对任意 x 均满足等式 f (1x)af ( x) , 且有 f (0)b, 其中 a, b 为非零常数 , 则()(A) f ( x) 在 x 1 处不可导 (B)f (x) 在 x 1 处可导 , 且 f (1) a(C)f ( x) 在 x 1 处可导 , 且 f(1) b(D)f (x) 在 x 1 处可导 , 且 f (1)ab(3) 向量组1,2 ,, s 线性无关的充分条件是( )(A) 1,2 ,, s 均不为零向量(B) 1, 2 ,, s 中任意两个向量的分量不成比例(C)1,2 ,, s 中任意一个向量均不能由其余s 1个向量线性表示(D)1, 2 , , s中有一部分向量线性无关(4) 设A, B 为两随机事件,且B A ,则下列式子正确的是( )(A)P A B P A(B)(C)P B A P B(D)(5) 设随机变量X和 Y 相互独立,其概率分布为PAB PAPB A P(B) PAm-11m-11P X m 11P Y m11 2222则下列式子正确的是()(A)X Y(B)P X Y0(C)P X Y 1(D)P X Y1 2三、计算题 ( 本题满分20 分, 每小题5 分.)(1)求函数 I (x)x ln t dt 在区间 [e, e2 ] 上的最大值.t 2e2t1(2)计算二重积分xe y2dxdy ,其中 D 是曲线y4x2和 y9x2在第一象限所围成的区D域 .(3)求级数(x3)n的收敛域 .n 1n2(4)求微分方程y y cos x (ln x)e sin x的通解.四、 ( 本题满分9 分)某公司可通过电台及报纸两种形式做销售某种商品的广告, 根据统计资料, 销售收入R (万元)与电台广告费用x1(万元)及报纸广告费用x2(万元)之间的关系有如下经验公式:R 15 14x132 x28x1 x22x1210x22.(1)在广告费用不限的情况下 , 求最优广告策略；(2)若提供的广告费用为 1.5 万元 , 求相应的最优广告策略 .五、 ( 本题满分 6 分)设 f ( x) 在闭区间[0, c] 上连续,其导数 f ( x) 在开区间(0, c) 内存在且单调减少；f (0)0 ,试应用拉格朗日中值定理证明不等式: f ( a b) f (a) f (b), 其中常数a、 b满足条件0a b a b c .六、 ( 本题满分8 分 )已知线性方程组x1x2x3x4x5a,3x12x2x3x43x50,x22x3 2 x46x5b,5x14x23x33x4x52,(1)a、 b 为何值时,方程组有解?(2)方程组有解时 , 求出方程组的导出组的一个基础解系；(3)方程组有解时 , 求出方程组的全部解 .七、 ( 本题满分5分 )已知对于 n 阶方阵A,存在自然数k,使得 A k0 ,试证明矩阵E A可逆,并写出其逆矩阵的表达式 ( E为n阶单位阵 ).八、 ( 本题满分6分 )设 A 是n阶矩阵,1和2是 A 的两个不同的特征值,X1, X2是分别属于1和2的特征向量 . 试证明X1X2不是A的特征向量.九、 ( 本题满分4分 )从 0,1,2,,9 十个数字中任意选出三个不同数字, 试求下列事件的概率：A1{ 三个数字中不含 0 和 5} ；A2{ 三个数字中不含 0 或 5}.十、 ( 本题满分 5 分)一电子仪器由两个部件构成, 以X和Y分别表示两个部件的寿命( 单位 : 千小时 ), 已知X 和 Y 的联合分布函数为:F ( x, y)1- e 0.5 x e 0.5 y e 0.5( x y) ,若 x 0, y 0,0,其他 .(1)问 X 和Y是否独立?(2)求两个部件的寿命都超过100 小时的概率.十一、 ( 本题满分 7 分)某地抽样调查结果表明, 考生的外语成绩 ( 百分制 ) 近似服从正态分布 , 平均成绩为 72分 ,96分以上的占考生总数的 2.3%, 试求考生的外语成绩在60 分至 84 分之间的概率 .[附表]x00.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0( x)0.500 0.692 0.841 0.9330.9770.994 0.999表中(x) 是标准正态分布函数.1990 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题 ( 本题满分 15 分 , 每小题 3 分.) (1) 【答案】 2【解析】对原式进行分子有理化, 分子分母同乘以有理化因子n 3 n n n .lim(n 3 nnn ) lim ( n3 nn n ) ( n 3 nnn ) n1 nn3 n nnn3 n nnlim,n3 nnnn再分子分母同时除以n , 有原式 lim4.n3111nn因为 lima0 , 其中 a 为常数 , 所以原式4 2.nn1 1(2) 【答案】 b a【解析】由于 F ( x) 在 x0处连续 , 故 A F(0)lim F ( x) .x 0lim F ( x) 为“ 0”型的极限未定式 , 又 f (x) 在点 0 处导数存在 , 所以x 0f ( x) a sin x lim f (x) a cosxA lim b a .x 0xx 01【相关知识点】函数 yf (x) 在点 x 0 连续：设函数 yf ( x) 在点 x 0 的某一邻域内有定义 ,如果 limf (x) f ( x 0 ), 则称函数 f (x) 在点 x 0 连续 .x x 0(3) 【答案】 41y2【解析】先解出两条曲线在平面的交点, 即令 x 2x2 ,解得 x 1 和 x2 , 故所围成的平面图形如右图所示:所求面积为S2 x 2 x2dx 11 x 21 x 3 24 1.x2x 1 O22 3 12(4) 【答案】 a 1a 2a 3a 4【解析】由于方程组有解r ( A) r ( A) , 对 A 作初等行变换 ,第一行乘以1 加到第四行上 , 有1 1 0 0 a 1 1 1 0 0 a 10 1 1 0 a 2 0 1 1 0 a 2 ,0 0 1 1 a 3 0 0 1 1a 31 0 0 1 a 41 0 1 a 1 a 4第二行加到第四行上, 再第三行乘以1 加到第四行上 , 有1 1 0 0 a 1 1100 a 10 1 1 0 a 2 1 1 0a 2 .0 0 1 1a 31 1a 30 0 11 a 1 a2 a 40 a 1 a 2 a 3 a 4为使 r ( A)r ( A) , 常数 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 应满足条件 : a 1 a 2 a 3a 4 0 .【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设 A 是 m n 矩阵 , 线性方程组Ax b 有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵 A A b 的秩 , 即是 r ( A)r ( A) ( 或者说 , b 可由 A 的列向量 1,2 ,, n 线表出 ,亦等同于1,2 ,, n 与 1, 2 ,, n ,b 是等价向量组 ).设 A 是 m n 矩阵 , 线性方程组 Ax b , 则（1）有唯一解r ( A) r ( A)n.（ 2）有无穷多解（ 3）无解r ( A) r ( A) n.r ( A) 1 r ( A). b 不能由 A 的列向量1 ,2 ,,n 线表出 .(5) 【答案】 23【解析】这是一个四重伯努利试验概率模型 , 设试验的成功率即射手的命中率为p , 则进行四次独立的射击 , 设事件 Y 为“射手命中目标的次数”80的二项分, Y 服从参数 n 4, p81布 , 由二项分布的概率公式 , 事件“四次均不中”的概率为(1 p)4 , 它是至少命中一次的对立事件 . 依题意(1 p)41 801 p1 p2 .8133本题的另一种分析方法是用随机变量X 表示独立地进行射击中命中目标的次数 , p 表示一次射击的命中率 , 则 XB(4, p) , 依题意41P X0 1P X k,k181即 (1 p) 41p 2 .813【相关知识点】二项分布的概率公式：若 Y B(n, p) ,则P Y k C n k p k (1p)n k,k0,1, ,n .二、选择题 ( 本题满分15 分 , 每小题 3 分.)(1)【答案】 (B)【解析】由于 lim x e sin x e ,而 lim tan x, 所以,x2x22lim x tan x e sin x, 故f ( x)无界 .x22或考察 f (x) 在 x n 2n(n1,2, ) 的函数值,有 lim f (x n )lim x n e 2, 可见4n nf ( x) 是无界函数.应选(B).以下证明其他结论均不正确.由 fsinf e sine 444 , 知 (A) 不正确；444由 f0, f0 ,而f00 ,知(D)不正确.44证明 (C) 不正确可用反证法.设 g x tan x e sinx,于是 g x 的定义域为D x | x k,k 0 , 1 , 2 ,,2且 g x 的全部零点为x n n ,n 0, 1, 2, . 若f x xg x 以 T T 0 为周期,则有x T g x T xg x , x D.令 x 0,有 Tg T0,即 g T0.从而 T k, 其中k为某一正数 . 于是2k也是xg x 的周期.代入即得,对x D 有x 2k g x 2k x 2k g x xg x .这表明 2k g x 0 在 x D 上成立,于是 g x 0 在 x D 上成立,导致了矛盾.故f x xg x 不可能是周期函数 .【相关知识点】极限的四则运算法则:若 lim f (x)A , lim g(x)B , 则有 lim f (x) g( x) AB .xx 0x x 0x x 0(2) 【答案】 (D)【解析】通过变量代换 t x 1f (1 x) af ( x) 将 f ( x) 在 x 1的可或按定义由关系式导性与 f (x) 在 x0 的可导性联系起来 .令 t x1 , 则 f (t ) af (t 1) . 由复合函数可导性及求导法则 , 知 f (t) 在 t 1可导,且f (t) t 1 af (t 1)(t 1) t1af (0) ab ,因此 , 应选 (D).【相关知识点】 复合函数求导法则 : 如果 u g ( x) 在点 x 可导 , 而 y f (x) 在点 ug (x) 可导 , 则复合函数 yf g( x) 在点 x 可导 , 且其导数为dy (u) g ( x) 或dy dy duf dxdu .dxdx(3) 【答案】 (C)【解析】本题考查线性无关的概念与理论, 以及充分必要性条件的概念 .(A)(B)(D) 均是必要条件 , 并非充分条件 . 也就是说 , 向量组1,2,,s 线性无关 , 可以推导出 (A)(B)(D) 选项 , 但是不能由 (A)(B)(D) 选项中的任意一个推导出向量组1 , 2,,s线性无关 .例 如 : (1,0),(0,1),(1,1) 显 然 有 (1,0) (0,1) (1,1)(0,0) , 该向量组线性相关.但(A)(B)(D) 均成立 .根据“1,2 ,, s 线性相关的充分必要条件是存在某 i (i 1,2, , s) 可以由1 ,i 1,i 1 ,, s 线性表出 . ”或由“ 1, 2 , , s 线性无关的充分必要条件是任意一个i (i1,2,, s) 均不能由 1 ,i 1, i 1 , , s 线性表出 . ”故选 (C).(4) 【答案】 A【解析】由于 B A ,所以 A B A , 于是有 P A B P A .故本题选 A.对于 B 选项,因为 BA ,所以事件B 发生,则事件 A 必然发生 ,所以 P AB P B ,而不是 P AB P A ,故B 错.对于 C选项 ,因为B A ,由条件概率公式P B A P( AB), 当B, A是相互独立的事P( A)件时,才会有P B A P B ；所以C错.对于 D 选项,因为B A,所以事件 B 发生事件 A不发生是个不可能事件,故P B A 0,所以(D)错.(5)【答案】 (C)【解析】由离散型随机变量概率的定义, 有PXYPX1,Y 1 PX 1,Y 1P X1} P{Y 1 PX 1}P{Y111111 2222.2故本题选 (C). 而 (B) 、 (D) 选项是错误的 .对于 (A) 选项 , 题目中只说了随机变量X 和 Y 相互独立,且他们的概率分布相同, 但是二者是不同的事件 , 并不能说事件X 与事件 Y 是同一事件.故(A)错.三、计算题 ( 本题满分 20 分 , 每小题 5 分.)(1) 【解析】在x[e,e2 ] 上,I ( x)x2ln x1ln x20 ,故函数I (x)在[ e, e2]上单2x x 1调增加 , 最大值为I (e2) .由dx d (1 x)1, 有(1 x)2(1 x) 2dx)(1e2ln te21I (e2 )2dteln tde t1t1e2e2e2e2ln t dt ln tt 1 e e t t 1t 1 e e11()dt21ln(e2 1) 2 ln( e 1) 1e2 1 e11lne 1.e 1e【相关知识点】 1. 对积分上限的函数的求导公式：若 F (t )(t )f (x)dx ,(t),(t )均一阶可导,则(t )F (t)(t ) f (t)(t ) f (t ) .2. 假定 uu(x) 与 vv( x)均具有连续的导函数, 则uv dxuvu vdx,或者udvuvvdu.(2) 【解析】区域 D 是无界函数 , 设D b D0 y b { x, y 0 y b,yx y yy 9x 223} , y 4x2不难发现 , 当 b时有 D bD ,从而xe y 2xe y 2be y 2yOxdxdylimdxdylimdy2xdxDbD bby31limb 1 y 1 y)e y 2(4 9dy2 b 05 limbye y 2dy ty2 5b 2tdtlime72b144 b5 lim (1 e b 2 ) 5 . 144 b 1144 (3) 【解析】因系数 a (n 1,2, ) , 故n n 2122a n 1n1nlim limlim1 ,12na nnnn1n 2这样 , 幂级数的收敛半径R11. 因此当 1 x3 1,,即2 x4 时级数绝对收敛 .当 x 2时 , 得交错级数( 1)n12 ；当 x4 时, 得正项级数12 , 二者都收敛 , 于是原级n 1nn 1 n数的收敛域为 [2,4] .【相关知识点】 1. 求收敛半径的方法： 如果lim a n 1 , 其中 a n , a n 1 是幂级数a n x n 的na n n 0相邻两项的系数 , 则这幂级数的收敛半径1 ,,R,0,0,.2. 交错级数的莱布尼茨判别法：设交错级数( 1)n 1 u 满足：nn 1(1) u nu n 1 ,n1,2, ; (2)lim u n 0.n则( 1)n 1 u n 收敛 , 且其和满足 0( 1)n 1 u n u 1,余项r nu n 1 .n 1n 13． p 级数：1 当 p 1 时收敛；当 p1时发散 .n 1 n p(4) 【解析】 方法 1: 所给方程为一阶线性微分方程, 可直接利用通解公式求解 .y cosxdxe sin xcosxdxdx Celn xee sin xln xdxCe sin x [ x ln x x C ] .方法 2:用函数 e P ( x) dxcos xdxe sin x 同乘方程两端 , 构造成全微分方程 .e方程两端同乘 e sin x , 得 e sin x yye sin x cos x ( ye sin x )( ye sin x ) ln x , 再积分一次得ye sin xC ln xdx C x ln xx .最后 , 再用 e sin x 同乘上式两端即得通解 y e sin x [ x ln x x C ] .【相关知识点】一阶线性非齐次方程yP(x) y Q (x) 的通解为P (x )dxP ( x) dxy eQ (x)edx C , 其中 C 为任意常数 .四、 ( 本题满分 9 分 )【解析】 (1) 利润为销售收入减去成本 , 所以利润函数为15 14 x 1 32 x 2 8x 1 x 2 22x 2 )2x 1 10x 2 ( x 115 13x 1 31x 2 8x 1 x 2 2 x 12 10 x 22.由多元函数极值点的必要条件, 有x 14x 1 8x 213 0,x 1 0.75, x 2 1.25.x 28x 1 20 x 2 310,因驻点惟一 , 且实际问题必有最大值 , 故投入电台广告费用 0.75 万元 , 报纸广告费用 1.25 万元可获最大利润.(2)若广告费用为 1.5 万元 , 则应当求利润函数 ( 与 (1) 中解析式相同 )15 13x131x2 8x1x22x1210x22 ,在x1x2 1.5 时的条件最大值.拉格朗日函数为L (x1, x2 , ) 1513x131x2 8x1x22x1210x22( x1 x2 1.5),L4x18x2130,x1由L8x120x2310,x2Lx2 1.50x1x10, x2 1.5.因驻点惟一 , 且实际问题必有最大值 , 故应将广告费 1.5 万元全部用于报纸广告 , 可使利润最大 .【相关知识点】拉格朗日乘数法:要找函数 z f ( x, y) 在附加条件( x, y) 0 下的可能极值点, 可以先作拉格朗日函数L( x, y) f (x, y)( x, y),其中为参数. 求其对x与y 的一阶偏导数, 并使之为零, 然后与附加条件联立起来：f x ( x, y) f y ( x, y)x ( x, y) ( x, y)y0,0,由这方程组解出x, y 及, 这样得到的( x, y ) 就是函数 f (x, y)在附加条件( x, y)0 下的可能极值点.五、 ( 本题满分 6 分 )【解析】方法1: 当a0 时, f (a b) f (b) f ( a) f (b), 即不等式成立；若 a0,因为f (a b) f (a) f (b) f (0)[ f (a b) f (b)][ f (a) f (0)]f ( 2 )a f (1) a a[ f ( 2 ) f (1)],其中01 a b2 a b .又 f ( x) 单调减少, 故f ( 2 ) f (1).从而有f (a b) f (a) f (b) f (0)0,即 f (a b) f (a) f (b) .方法2: 构造辅助函数, 将式子移到不等式右边, 再将b视为变量x ,得辅助函数令 F (x) f ( x) f (a) f (a x), x[0, b] ,由于 f (0)0,所以 F (0)0,又因为F (x) f (x) f (a x),且 a0 , f ( x) 在(0, b)单调减少, 所以F (x)0,于是 F ( x)在[0, b]上单调递增, 故F (b) F (0)0 ,即c .f (a b) f (a) f (b), 其中0 a b ab【相关知识点】拉格朗日中值定理：如果函数 f ( x) 满足在闭区间 [ a, b] 上连续；在开区间a,b 内可导,那么在a, b 内至少有一点 (a b) ,使等式 f (b) f (a) f ()(b a) 成立.六、 ( 本题满分8 分 )【解析】本题中 , 方程组有解r ( A)r ( A) .(相关定理见第一题 (4))对增广矩阵作初等行变换, 第一行乘以3、5分别加到第二、四行上, 有11111a11 1 11a321130012263a,01226b01226b5433120122625a第二行乘以 1、1分别加到第三、四行上, 第二行再自乘 1 ,有11111a12263a.b3a22a(1) 当b 3a0 且 22a0 ,即a1,b3时方程组有解.(2)当 a 1,b 3 时,方程组的同解方程组是x1x2x3 x4x51,x22x32x46x53,由 n r ( A) 5 2 3 ,即解空间的维数为 3. 取自变量为x3 , x4 , x5,则导出组的基础解系为(1, 2,1,0,0) T ,2(1,2,0,1,0) T ,3 (5, 6,0,0,1) T.1(3)令 x 3 x 4 x 5 0 , 得方程组的特解为( 2,3,0,0,0) T . 因此 , 方程组的所有解是k 1 1 k 2 2 k 3 3 , 其中 k 1, k 2 , k 3 为任意常数 .【相关知识点】 若 1 、 2 是对应齐次线性方程组Ax 0 的基础解系 , 则 Ax b 的通解形式为 k 11k22,其中 1,2 是Ax0的基础解系 ,是 Ax b 的一个特解 .七、 ( 本题满分 5 分 )【解析】若A 、B 是 n 阶矩阵 , 且 ABE, 则必有 BA E. 于是按可逆的定义知 A 1B .如果对特征值熟悉 , 由 A k0 可知矩阵 A 的特征值全是 0, 从而 EA 的特征值全是1,也就能证明 EA 可逆.由于 A k0 , 故EA(EAA 2A k 1 ) E kA kE .1EAA 2A k 1 .所以 E A 可逆,且 E A八、 ( 本题满分 6 分 )【解析】 (反证法 ) 若 X 1X 2 是 A 的特征向量 , 它所对应的特征值为, 则由定义有：A( X 1 X 2 ) ( X 1 X 2).由已知又有 A( X 1 X 2 ) AX 1 AX 2 1X1 2X 2.两式相减得(1) X 1 (2)X 2 0 .由 1 2 , 知1,2 不全为 0, 于是 X 1, X 2 线性相关 , 这与不同特征值的特征向量线性无关相矛盾 . 所以 , X 1X 2 不是 A 的特征向量 .【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设 A 是 n 阶矩阵 , 若存在数 及非零的 n 维列向量 X 使得 AX X 成立,则称是矩阵 A 的特征值 , 称非零向量 X 是矩阵 A 的特征向量 .九、 ( 本题满分 4 分 )【解析】样本空间含样本点总数为C 103 ；即十个数字任意选三个有多少种选择方案.有利于事件 A 1 的样本点数为 C 83 ；十个数字除去 0 和 5 任意选三个有多少种选择方案 .有利于事件 A 2 的样本点数为 2C 93 C 83 ；十个数字除去 0 任意选三个的选择方案和十个数字 除去 5 任意选三个的选择方案再减去中间多算了一次的方法数 , 即是事件 A 1 被加了两次 , 所以应该减去 C 83 .由古典型概率公式 ,C 8372C 93 C 8314P(A 1)15; P( A 2).C 103C 10315P(A i ) 有利于事件 A i 的样本点数【相关知识点】古典型概率公式：.样本空间的总数十、 ( 本题满分 5 分 )【解析】 (1) 由连续型随机变量边缘分布的定义, 且 lim e ax0, ( a 为常数 ) 有xX 和 Y 的边缘分布函数分别为F X ( x) F ( x,)1 e 0.5 x , 若 x0,lim F (x, y)0,若 x0;yF Y ( y) F (, y)1 e 0.5 y , 若 y0,lim F ( x, y)0,若 y0.x由于对任意实数x, y 都满足 F ( x, y)F X (x) F Y (x) . 因此 X 和 Y 相互独立 .(2) 因为 X 和Y 相互独立 ,所以有P X 0.1, Y 0.1 PX 0.1 PY 0.1[1 F X (0.1)][1 F Y (0.1)]e 0.05 e 0.05e 0.1.十一、 ( 本题满分 7 分)【解析】若已知正态分布的期望和方差 , 在计算有关概率时可将其转化为标准正态分布的有关概率 , 通过(x) 表计算 . 但是正态分布的参数与2未知时 , 则应先根据题设条件求出与 2 的值 , 再去计算有关事件的概率 .设X 为考生的外语成绩 ,依题意有 X ~ N( ,2),且72,但 2 未知 . 所以可标准化得X72~ N (0,1) . 由标准正态分布函数概率的计算公式, 有PX 961 PX96196 72240.023,1240.0230.977.1查表可得242,12,即X ~ N(72,122),P60 X84X72P 1 2 (1) 1 0.682 .121990 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题 ( 本题满分15 分 , 每小题 3 分.)(1)【答案】 2【解析】对原式进行分子有理化, 分子分母同乘以有理化因子n 3 n n n .lim(n 3 nnn ) lim ( n3 nn n ) ( n 3 nnn ) n1 nn3 n nnn3 n nnlim,n3 nnnn再分子分母同时除以n , 有原式 lim4.n13 11n n因为 lima0 , 其中 a 为常数 , 所以原式42.nn1 1(2) 【答案】 b a【解析】由于 F ( x) 在 x0处连续 , 故 A F(0)lim F ( x) .x 0lim F ( x) 为“ 0”型的极限未定式 , 又 f (x) 在点 0 处导数存在 , 所以x 0f ( x) a sin x lim f (x) a cosxA lim b a .x 0xx 01【相关知识点】函数 yf (x) 在点 x 0 连续：设函数 yf ( x) 在点 x 0 的某一邻域内有定义 ,如果 limf (x) f ( x 0 ), 则称函数 f (x) 在点 x 0 连续 .x x 0(3) 【答案】 41y2【解析】先解出两条曲线在平面的交点 , 即令 x 2x2 ,解得 x 1 和 x2 , 故所围成的平面图形如右图所示:所求面积为S2 x 2 x2dx 11 x 21 x 3 24 1.x2x 1 O22 3 12(4) 【答案】 a 1 a 2a 3a 4 0【解析】由于方程组有解r ( A) r ( A) , 对 A 作初等行变换 ,第一行乘以1 加到第四行上 , 有1 1 0 0 a 1 1 1 0 0 a 10 1 1 0 a 2 0 1 1 0 a 2 ,0 0 1 1 a 3 0 0 1 1a 310 0 1 a 41 0 1 a 1 a 4第二行加到第四行上, 再第三行乘以1 加到第四行上 , 有1 1 0 0 a 1 1100 a 10 1 1 0 a 2 1 1 0a 2 .0 0 1 1a 31 1a 30 0 11 a 1 a2 a 40 a 1 a 2 a 3 a 4为使 r ( A)r ( A) , 常数 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 应满足条件 : a 1 a 2 a 3a 4 0 .【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设 A 是 m n 矩阵 , 线性方程组Ax b 有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵 AA b 的秩 , 即是 r ( A) r ( A) ( 或者说 , b 可由 A 的列向量1,2 ,, n 线表出 ,亦等同于1,2 ,, n 与 1, 2 , , n ,b 是等价向量组 ).设 A 是 m n 矩阵 , 线性方程组 Ax b , 则（4）有唯一解r ( A) r ( A)n.（ 5）有无穷多解（ 6）无解r ( A) r ( A) n.r ( A) 1 r ( A).b 不能由 A 的列向量1 ,2 ,,n 线表出 .(5) 【答案】 23【解析】这是一个四重伯努利试验概率模型, 设试验的成功率即射手的命中率为p , 则进行 四次独立的射击 , 设事件 Y 为“射手命中目标的次数”, Y 服从参数 n 4, p80的二项分81布 , 由二项分布的概率公式 , 事件“四次均不中”的概率为(1p)4 , 它是至少命中一次的对立事件 . 依题意(1 p)41 80 1 p1 p2 .81 33本题的另一种分析方法是用随机变量X 表示独立地进行射击中命中目标的次数, p 表示一次射击的命中率, 则 XB(4, p) , 依题意41 ,P X 01P X kk 181即 (1 p) 41p2.813【相关知识点】二项分布的概率公式：若 Y B(n, p) ,则P Y k C n k p k(1 p)n k, k 0,1, ,n .二、选择题 ( 本题满分15 分 , 每小题 3 分.)(1)【答案】 (B)【解析】由于 lim x e sin x e ,而 lim tan x, 所以,x2x22lim x tan x e sin x, 故f ( x)无界 .x22或考察 f (x) 在 x n 2n(n1,2, ) 的函数值,有 lim f (x n )lim x n e 2, 可见4n nf ( x) 是无界函数.应选(B).以下证明其他结论均不正确.由f sin f e sine 444 , 知 (A) 不正确；444由 f0, f0 ,而f00 ,知(D)不正确.44证明 (C) 不正确可用反证法.设 g x tan x e sinx, 于是g x的定义域为 D x | x k,k0,1,2,,2且 g x 的全部零点为x n n,n0, 1, 2,.若f x xg x 以 T T0为周期 ,则有x T g x T xg x,x D.令 x0,有 Tg T0,即 g T0.从而 T k,其中 k 为某一正数.于是 2k 也是xg x 的周期.代入即得,对x D 有x 2k g x 2k x 2k g x xg x .这表明 2k g x 0 在 x D 上成立,于是 g x 0 在 x D 上成立,导致了矛盾.故f x xg x 不可能是周期函数.【相关知识点】极限的四则运算法则 :若lim f (x) A , lim g(x) B , 则有lim f (x) g( x) AB .x x 0x x 0x x 0(2) 【答案】 (D)【解析】通过变量代换 t x 1或按定义由关系式f (1 x) af ( x) 将 f ( x) 在 x 1的可导性与 f (x) 在 x0 的可导性联系起来 .令 t x1 , 则 f (t ) af (t 1) . 由复合函数可导性及求导法则 , 知 f (t) 在 t 1 可导,且f (t) t 1 af (t 1)(t 1) t1af (0) ab ,因此 , 应选 (D).【相关知识点】 复合函数求导法则 : 如果 u g ( x) 在点 x 可导 , 而 y f (x) 在点 u g (x) 可导 , 则复合函数 yf g( x) 在点 x 可导 , 且其导数为dy (u) g ( x) 或dy dy duf dxdu .dxdx(3) 【答案】 (C)【解析】本题考查线性无关的概念与理论, 以及充分必要性条件的概念 .(A)(B)(D) 均是必要条件 , 并非充分条件 . 也就是说 , 向量组1,2,,s 线性无关 , 可以推导出 (A)(B)(D) 选项 , 但是不能由 (A)(B)(D) 选项中的任意一个推导出向量组1 ,2,,s线性无关 .例 如 : (1,0),(0,1),(1,1) 显 然 有 (1,0) (0,1) (1,1)(0,0) , 该向量组线性相关.但(A)(B)(D) 均成立 .根据“1, 2 ,, s 线性相关的充分必要条件是存在某 i (i 1,2, , s) 可以由1 ,i 1,i 1 ,, s 线性表出 . ”或由“ 1, 2 , , s 线性无关的充分必要条件是任意一个i (i 1,2, , s) 均不能由1 ,i 1,i 1 ,,s 线性表出 . ”故选 (C).(4) 【答案】 A【解析】由于B A ,所以 A B A ,于是有 P A B P A .故本题选 A.对于 B 选项,因为 B A , 所以事件 B 发生 , 则事件 A 必然发生 , 所以 P ABP B ,而不是 P ABP A ,故B 错.对于 C 选项 ,因为 B A , 由条件概率公式 P B AP( AB), 当 B, A 是相互独立的事P( A)件时,才会有P B A P B ；所以C错.对于 D 选项,因为B A,所以事件 B 发生事件 A不发生是个不可能事件,故P B A 0,所以(D)错.(5)【答案】 (C)【解析】由离散型随机变量概率的定义, 有PXYPX1,Y 1 PX 1,Y 1P X1} P{Y 1 PX 1}P{Y111111 2222.2故本题选 (C). 而 (B) 、 (D) 选项是错误的 .对于 (A) 选项 , 题目中只说了随机变量X 和 Y 相互独立,且他们的概率分布相同, 但是二者是不同的事件 , 并不能说事件X 与事件 Y 是同一事件.故(A)错.三、计算题 ( 本题满分 20 分 , 每小题 5 分.)(1) 【解析】在x[e,e2 ] 上,I ( x)x2ln x1ln x20 ,故函数I (x)在 [ e, e2 ] 上单2x x 1调增加 , 最大值为I (e2) .由dx d (1 x)1, 有(1 x)2(1 x) 2dx)(1e2ln te21I (e2 )2dteln tde t1t1ln te2dte2e2ln t e2t 1 e e t t 1t 1 e e11()dtt 1 t21ln(e2 1) 2 ln( e 1) 1e2 1 e11lne 1.e 1e【相关知识点】 1. 对积分上限的函数的求导公式：若 F (t )(t )(t ) 均一阶可导,则f (x)dx ,(t),(t )F (t)(t ) f (t)(t ) f (t ) .2. 假定u u(x) 与 v v( x) 均具有连续的导函数, 则uv dx uv u vdx, 或者udv uv vdu.(2) 【解析】区域D 是无界函数 , 设yyy y9x 22D bD0 y b{ x, y 0 y b,xy 4x3} ,2不难发现 , 当 b时有D bD ,从而xe y 2xe y 2be y 2yOxdxdylimdxdylimdy2xdxbbyDD b31b 1 y 1 y)e y 2lim (49dy2 b5b ye y 2dy ty 25 b 2e t dtlimlim72b144b5lim (1 e b 2 )5 .144 b1 144(3) 【解析】因系数 a n(n1,2,) , 故2n1a nn2n 2lim 1lim1lim1 ,a n12nnn n 1n 2这样 , 幂级数的收敛半径R 11 . 因此当 1 x3 1,,即2 x4 时级数绝对收敛 .当 x 2时 , 得交错级数( 1)n 1 ；当 x 4 时, 得正项级数1 , 二者都收敛 , 于是原级n 1n 2 n1 n2 数的收敛域为 [2,4] .【相关知识点】 1. 求收敛半径的方法： 如果lim a n 1 , 其中 a n , a n 1 是幂级数a n x n 的na n n 0相邻两项的系数 , 则这幂级数的收敛半径1 ,,R,0,0,.2. 交错级数的莱布尼茨判别法：设交错级数( 1)n 1 u 满足：nn 1(1) u nun 1,n 1,2, ; (2) lim u n 0.n则( 1)n 1 u n收敛,且其和满足0( 1)n 1 u n u1, 余项r n un 1 .n 1n13．p级数：1当 p 1 时收敛；当 p1时发散.n 1n p(4)【解析】方法 1: 所给方程为一阶线性微分方程, 可直接利用通解公式求解 .ycosxdx cosxdxe e sin x ln xe dx Ce sin x ln xdx C e sin x[ x ln x x C ] .P ( x) dx cos xdxe sin x同乘方程两端 , 构造成全微分方程 .方法 2: 用函数e e方程两端同乘 e sin x,得 e sin x y ye sin x cos x( ye sin x )( ye sin x ) ln x ,再积分一次得ye sin x C ln xdx C x ln x x .最后 , 再用e sin x同乘上式两端即得通解y e sin x[ x ln x x C ] .【相关知识点】一阶线性非齐次方程y P(x) y Q (x) 的通解为P (x )dx P ( x) dxy e Q (x)edx C ,其中C为任意常数.四、 ( 本题满分 9 分)【解析】 (1) 利润为销售收入减去成本 , 所以利润函数为1514 x132 x28x1 x22x1210x22( x1x2 )1513x131x28x1 x2 2 x1210 x22.由多元函数极值点的必要条件, 有x14x18x2130,x10.75, x2 1.25.x28x120 x2310,因驻点惟一 , 且实际问题必有最大值, 故投入电台广告费用 0.75万元 , 报纸广告费用 1.25 万元可获最大利润 .(2)若广告费用为 1.5 万元 , 则应当求利润函数 ( 与 (1) 中解析式相同 )15 13x131x28x1x22x1210x22 ,在 x1x2 1.5 时的条件最大值. 拉格朗日函数为L (x1, x2 , ) 1513x131x28x1x22x1210x22( x1 x2 1.5), L4x18x2130,x1由L8x120x2310,x2Lx2 1.50x1x10, x2 1.5.因驻点惟一 , 且实际问题必有最大值 , 故应将广告费 1.5 万元全部用于报纸广告 , 可使利润最大 .【相关知识点】拉格朗日乘数法:要找函数 z f ( x, y) 在附加条件 ( x, y) 0下的可能极值点 , 可以先作拉格朗日函数L( x, y) f (x, y)( x, y),其中为参数 . 求其对x与y的一阶偏导数, 并使之为零 , 然后与附加条件联立起来：f x ( x, y)f y ( x, y) ( x, y)0.x ( x, y)0, y ( x, y)0,由这方程组解出x, y 及, 这样得到的( x, y ) 就是函数 f (x, y) 在附加条件( x, y)0 下的可能极值点 .五、 ( 本题满分 6 分)【解析】方法 1: 当a0 时, f (a b) f (b) f ( a) f (b) ,即不等式成立；若 a 0,因为f (a b) f (a) f (b) f (0)[ f (a b) f (b)] [ f (a) f (0)]f ( 2 )a f ( 1) a a[ f ( 2 ) f ( 1)],其中 01 a b2 a b .又 f ( x) 单调减少,故 f ( 2 ) f ( 1 ) .从而有f (a b) f (a) f (b) f (0) 0,即 f (a b) f (a) f (b) .方法 2: 构造辅助函数, 将式子移到不等式右边, 再将b视为变量x , 得辅助函数令 F (x) f ( x) f (a) f (a x), x [0, b] ,由于 f (0) 0 ,所以 F (0)0 ,又因为F (x) f (x) f (a x), 且a0 , f ( x)在(0, b)单调减少,所以F (x)0 ,于是 F ( x) 在[0, b]上单调递增, 故F (b) F (0)0 ,即f (a b) f (a) f (b), 其中0 a b a b c .【相关知识点】拉格朗日中值定理：如果函数 f ( x)满足在闭区间[ a, b] 上连续；在开区间a,b内可导, 那么在a, b内至少有一点(a b), 使等式 f (b) f (a) f ( )(b a) 成立.六、 ( 本题满分8 分 )【解析】本题中 , 方程组有解r ( A) r ( A) .(相关定理见第一题 (4))对增广矩阵作初等行变换,第一行乘以 3 、5分别加到第二、四行上, 有11111a11 1 11a321130012263a,01226b01226b5433120122625a第二行乘以 1、1分别加到第三、四行上, 第二行再自乘 1 ,有1 1111a12263a.b3a22a(1) 当b 3a0 且22a0, 即a1,b3时方程组有解.(2)当 a 1,b 3 时,方程组的同解方程组是x1x2x3 x4x51,x22x32x46x53,由 n r ( A)52 3 ,即解空间的维数为 3. 取自变量为x3 , x4 , x5,则导出组的基础解系为1(1, 2,1,0,0) T , 2(1, 2,0,1,0) T ,3 (5, 6,0,0,1) T.(3)令 x3x4x50 ,得方程组的特解为( 2,3,0,0,0) T.因此,方程组的所有解是k1 1k2 2k33 , 其中k1, k2, k3为任意常数 .【相关知识点】若 1 、2是对应齐次线性方程组Ax 0 的基础解系,则 Ax b 的通解形式为 k 1 1 k 2 2 , 其中1 ,2 是 Ax0 的基础解系 , 是 Ax b 的一个特解 .七、 ( 本题满分 5 分 )【解析】若A 、B 是 n 阶矩阵 , 且 AB E, 则必有 BAE. 于是按可逆的定义知 A 1B .如果对特征值熟悉 , 由 A k0 可知矩阵 A 的特征值全是 0,从而EA 的特征值全是1,也就能证明 EA 可逆.由于 A k0 , 故EA(EAA 2A k 1 ) E kA k E .1EAA 2A k 1 .所以 E A 可逆,且 E A八、 ( 本题满分 6 分 )【解析】 (反证法 ) 若 X 1X 2 是 A 的特征向量 , 它所对应的特征值为, 则由定义有：A( X 1 X 2 ) ( X 1 X 2).由已知又有 A( X 1 X 2 ) AX 1 AX 21X1 2X 2.两式相减得 (1) X1(2)X20 .由 12 , 知1,2 不全为0, 于是 X 1, X 2 线性相关 , 这与不同特征值的特征向量线性无关相矛盾 . 所以 , X 1 X 2 不是 A 的特征向量 .【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设 A 是 n 阶矩阵 , 若存在数 及非零的 n 维列向量 X 使得 AX X 成立,则称是矩阵 A 的特征值 , 称非零向量 X 是矩阵 A 的特征向量 .九、 ( 本题满分 4 分 )【解析】样本空间含样本点总数为C 103 ；即十个数字任意选三个有多少种选择方案.有利于事件 A 1 的样本点数为 C 83 ；十个数字除去 0 和 5 任意选三个有多少种选择方案 .有利于事件 A 2 的样本点数为 2C 93 C 83 ；十个数字除去0 任意选三个的选择方案和十个数字除去 5 任意选三个的选择方案再减去中间多算了一次的方法数, 即是事件 A 1 被加了两次 , 所以应该减去 C 83 .由古典型概率公式,P(A )C837;P(A)2C93 C8314.1C3152C3151010P(A i )有利于事件 A的样本点数【相关知识点】古典型概率公式：i.样本空间的总数十、 ( 本题满分 5 分 )【解析】 (1) 由连续型随机变量边缘分布的定义, 且lim e ax0, (a为常数)有xX 和 Y 的边缘分布函数分别为F X ( x) F ( x,)1e 0.5 x ,若 x0, lim F (x, y)0,若 x0; yF Y ( y) F (, y)1e 0.5 y ,若 y0, lim F ( x, y)0,若 y0. x由于对任意实数x, y 都满足F ( x, y)F X (x) F Y (x) .因此X和Y相互独立.(2)因为 X和Y相互独立,所以有P X 0.1, Y0.1 P X 0.1 PY0.1[1F X (0.1)][1F Y (0.1)]e 0.05 e 0.05e 0.1.十一、 ( 本题满分7 分)【解析】若已知正态分布的期望和方差, 在计算有关概率时可将其转化为标准正态分布的有关概率, 通过(x)表计算.但是正态分布的参数与 2 未知时, 则应先根据题设条件求出与2的值 , 再去计算有关事件的概率 .设X 为考生的外语成绩,依题意有X ~ N( ,2),且72,但2未知 . 所以可标准化得X72~ N (0,1) .由标准正态分布函数概率的计算公式, 有PX961PX9619672240.023,1240.0230.977.1查表可得242,12,即X ~ N(72,122),X 72P60 X 84P1 2 (1)1 0.682.12。
数学三考研试题及答案
数学三考研试题及答案一、单项选择题（每题4分，共20分）1. 已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1，求f'(x)。
A. 6x^2 - 6xB. 6x^2 + 6xC. -6x^2 + 6xD. -6x^2 - 6x答案：A2. 求极限lim(x→0) [sin(x)/x]。
A. 0B. 1C. ∞D. -1答案：B3. 计算定积分∫(0 to 1) x^2 dx。
A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 3/2答案：B4. 已知矩阵A = [1 2; 3 4]，求A的行列式值。
A. 2B. -2C. 5D. -5答案：C5. 已知等比数列的前三项分别为2，4，8，求第四项。
A. 16B. 32C. 64D. 128答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x) = x^2 - 6x + 8的最小值是______。
答案：22. 已知等差数列的前三项分别为3，7，11，求公差d。
答案：43. 计算二阶导数f''(x)，若f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x。
答案：6x - 64. 求矩阵A = [2 1; 3 4]的逆矩阵。
答案：[2 -1; -3 2]5. 已知圆的方程为x^2 + y^2 - 6x - 8y + 25 = 0，求圆心坐标。
答案：(3, 4)三、解答题（每题10分，共60分）1. 证明：若a，b，c为实数，且a^2 + b^2 + c^2 = 0，则a = b =c = 0。
证明：由题意可知，a^2 + b^2 + c^2 = 0。
由于平方和为0，那么每一项都必须为0，即a^2 = 0，b^2 = 0，c^2 = 0。
因此，a = 0，b = 0，c = 0。
2. 解方程组：\[\begin{cases}x + y = 5 \\2x - y = 1\end{cases}\]解：将第一个方程乘以2得到2x + 2y = 10，然后将第二个方程加到第一个方程的两倍上，得到3y = 9，解得y = 3。