高等数学高等教育出版社第十章D10习题课ok.ppt
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高等数学 第10章
例1 求幂级数
(2)n
n1 n
由比较审敛法的极限形式，可知级数 sin 1 发散。
n1 n
所以级数 sin 1 是条件收敛。
n1 n
第三节 幂级数
一、幂级数及其收敛性
形如
an (x x0 )n a0 a1(x x0 ) L an (x x0 )n L （1-3）
n0
的级数，称为幂级数， 其中ɑ0, ɑ1, ɑ2, … ,ɑn, … 都是常数，称为幂级数的系数。
3
n2
(n 1，2 ，L ) ，
而 p 3 1 ，级数
1
3
收敛，
2
n n1 2
由比较审敛法知，该级数收敛。
例2 判断下列级数的敛散性：
(1)
1
n1 n n 1
π
(2) n1 sin 2n
（2）因为
lim
sin
π 2n
1
n π
2n
(n 1，2 ，L )
而等比级数
π
收敛，
2n
n1
由比较审敛法知，该级数收敛。
第一节 常数项级数的概念与性质
一、引例
引例【无限循环小数问题】 级数的初步思想实 际上已经蕴涵在算术中的无限循环小数概念里了。 将 1 化为小数时，会出现无限循环小数。
3
0.3 3 ， 10
0.33
3 10
3 100
3 10
3 102
，
0.333
3 10
3 100
3 1000
3 10
3 102
n1
un
n1
发散，则级数
vn 发散。
n1
n1
比较审敛法还有另一种形式——比较审敛法的极限形
高等数学电子课件第十章 10.4
第十章 无穷级数
例8：将函数 f ( x) x 1 4 x
第一节 数项级数的概念与性质
展开成x=1的幂级数．
解： 1 1 4x 3(x1)
3(1
1 x
1)
,
3
1 3 [ 1 x 3 1 (x 3 1 )2 (x 3 1 )n ]x13
x1(x1) 1
4x
4x
1 3 (x 1 ) (x 3 2 1 )2 (x 3 3 1 )3 (x 3 n 1 )n x13
❖直接展开法的步骤(麦克劳林级数)
第一步 求出f (x)的各阶导数:
f (x), f (x), , f (n)(x), ;
第二步 求函数及其各阶导数在x0 处的值:
f(0), f (0), f (0), , f (n)( 0), ;
第三步 写出幂级数
f(0 )f(0 )x f(0 )x 2 L f(n )(0 )x n L
数, 则在该邻域内有
f(x)f(x0)f(x0)(xx0)f2(!x0)(xx0)2 f(nn )(!x0)(xx0)nRn(x)
其中 Rn(x)f(n (n 1)1()!)(xx0)n(1介于x与x0之间). 这个公式
称为泰勒公式,其中的Rn(x)称为拉格朗日型余项.
第十章 无穷级数
第一节 数项级数的概念与性质
根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换,四
则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展
开式.
例如 co x s(sx i)n
si x n x 1x 3 1 x 5 ( 1 )n x 2 n 1
3 ! 5 !
(2 n 1 )!
co x 1 s1x 21x 4 ( 1 )nx 2 n
高等数学D10习题课
Pdx Qdy Rdz
dydz dzdx dxdy
PdydzQdzdx Rdxdy
x
y
z
PQ R
(Px
Q y
R)dv z
（三）场论初步
梯度 gra duiu u juk x y z
通量 散度
Pdy Q dzd zR dxdxdy
diA vPQR x y z
环流量 PdQ x d R y dz
计
f(x, y,z)ds
R(x,y,z)dxdy
算
f[x,y,z(x,y)]1zx 2z2 ydxdyR[x,y,z(x,y)d] xdy
D xy
Dxy
一代,二换,三投(与侧无关) 一代,二投,三定向 (与侧有关)
（二）各种积分之间的联系
曲线积分
计算
定积分
Stokes公式
计算 曲面积分
Guass公式
格林公式
3.三重积分与曲面积分的联系
( P x Q y R z)d v P d Q yd d R zzd dx xd
高斯公式
4.曲面积分与曲线积分的联系
R Q
P R
Q P
(yz)dyd(zzx)dzdx (xy)dxd
PdxQdyRdz
斯托克斯公式
Green公式,Guass公式,Stokes公式 之间的关系
旋度 rA o ( R t Q ) i ( P R ) j ( Q P ) k y z z x x y
二、典型例题
例 1 计 算 I (x22x)ydx (x2y4)d, y L
其 中 L为 由 点 O(0,0)到 点 A(1,1)的 曲 线 ysi nx. 2
(PcosQcos Rcos)ds
高等数学与工程数学课件第十章数理统计基础.ppt
14.70，15.21，14.90，14.91，15.32，15.32， 假设滚珠直径总体分布的方差为0.05，问能否认为这一批滚珠
的平均直径为15.25 mm? ( 0.05) 解 提出原假设： 0 15.25，
由于方差已知，故选统计量
U X 0 ~ N (0,1) n
由P{|U | } P{U } P{U } 1 () () 2 2 () 0.05 .
由P{ 2
2}
2
0.025， 2
~
2 (15)，查表得2
27.5，
由P{ 2
1}
1
2
0.975， 2
~
2 (15)，查表得1
6.26.
故 2的95%的置信区间为
15
0.00244，15 27.5
0.00244 6.26
即 [0.0013，0.0058] .
二、假设检验的方法
假设检验的一般步骤如下： (1) 提出原假设 H0，明确所要检验的对象， (2) 构造合适的统计量 ， (3) 求出临界值，确定拒绝域，
6
9.05.
S2 1 6 5 i1
2
Xi X
1 0.052 0.252 0.052 0.252 0.152 0.152
5
0.035.
返回
4、解： X N u， 2 且已知 2
选取统计量
U
X
n
该统计量服从标准正态分布，即：U N 0，1.
ห้องสมุดไป่ตู้
返回
机变量
X1，X
，
2
，X n 的函数称为样本函数，若样本函
数不含未知参数且是连续的，我们称之为统计量.(不含
未知参数的样本函数叫统计量.)
的平均直径为15.25 mm? ( 0.05) 解 提出原假设： 0 15.25，
由于方差已知，故选统计量
U X 0 ~ N (0,1) n
由P{|U | } P{U } P{U } 1 () () 2 2 () 0.05 .
由P{ 2
2}
2
0.025， 2
~
2 (15)，查表得2
27.5，
由P{ 2
1}
1
2
0.975， 2
~
2 (15)，查表得1
6.26.
故 2的95%的置信区间为
15
0.00244，15 27.5
0.00244 6.26
即 [0.0013，0.0058] .
二、假设检验的方法
假设检验的一般步骤如下： (1) 提出原假设 H0，明确所要检验的对象， (2) 构造合适的统计量 ， (3) 求出临界值，确定拒绝域，
6
9.05.
S2 1 6 5 i1
2
Xi X
1 0.052 0.252 0.052 0.252 0.152 0.152
5
0.035.
返回
4、解： X N u， 2 且已知 2
选取统计量
U
X
n
该统计量服从标准正态分布，即：U N 0，1.
ห้องสมุดไป่ตู้
返回
机变量
X1，X
，
2
，X n 的函数称为样本函数，若样本函
数不含未知参数且是连续的，我们称之为统计量.(不含
未知参数的样本函数叫统计量.)
D10习题课高等数学教学课件第十章
(1)
n1
n
ln
n
n
1
因
单调递减, 且
由Leibniz判别法知级数收敛 ;
但
ln
n1
n
n
1
n
lim ln(k 1) ln k
n k 1
lim ln(n 1)
n
所以原级数仅条件收敛 .
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(4)
(1)n
n1
(n 1)! n n 1
因
un1
un
n 2 (1 1 )n1 n n1 n1
习题课
第十章
级数的收敛、求和与展开
一、性质
二、数项级数的审敛法 三、求幂级数收敛域的方法 四、幂级数和函数的求法 五、函数的幂级数和付式级数
展开法
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求和 展开
(在收敛域内进行)
时为数项级数;
时为幂级数;
(an ,bn 为傅氏系数) 时, 为傅立叶级数.
基本问题：判别敛散； 求收敛域； 求和函数； 级数展开.
lim un l (1) l为非零常数 : “同收同散”;
v n n
(2) 其它情形: “同收同散”
推论3(比值审敛法) lim un
u n n1
推论4 (根值审敛法)
lim n
n
un
注：lim un1 u n
n
l
lim n n
un
l，反之不必然。
例： un
n1
1 2
1 32
1 23
所以原级数绝对收敛 .
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三、求幂级数收敛域的方法
• 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R , 再讨论 x R
高等数学下册第十章课件.ppt
则
(2) 若D为Y -型区域
则
说明:
即先对y后对x积分
即先对x后对y积分
第二节 直角坐标系中二重积分的计算
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
则有
(4) 若积分域较复杂,可将它分成若干
X-型域或Y-型域 ,
则
(3) 若积分区域既是X-型区域又是Y -型区域
第二节 直角坐标系中二重积分的计算
记作
第五节 三重积分（一）
利用直角坐标计算三重积分
方法1 投影法 (“先一后二” )
如图，
第五节 三重积分（一）
划分：
记作
第五节 三重积分（一）
化为三次积分
区域
方法2 截面法 (“先二后一”)
第五节 三重积分（一）
记作
于是
注：方法一和方法二的可看作由上下两个曲面所围成.即平行于z轴且穿过内部的直线与的边界曲面相交不多于两点.
直角坐标系
柱面坐标系
球面坐标系
说明:
三重积分类似于二重积分也可以利用对称性计算.
变量可分离.
围成 ;
第六节 三重积分（二）
例 求
解 原式
第六节 三重积分（二）
几种的图形
第六节 三重积分（二）
三重积分的应用 1.物体的质心
设物体占有空间域 ,
有连续密度函数
则
设空间有n个质点,
其质量分别
例 计算
其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
y＝x 所围的闭区域.
解法1 将D看作X-型区域, 则
解法2 将D看作Y-型区域, 则
第二节 直角坐标系中二重积分的计算
例 计算
其中D 是抛物线
(2) 若D为Y -型区域
则
说明:
即先对y后对x积分
即先对x后对y积分
第二节 直角坐标系中二重积分的计算
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
则有
(4) 若积分域较复杂,可将它分成若干
X-型域或Y-型域 ,
则
(3) 若积分区域既是X-型区域又是Y -型区域
第二节 直角坐标系中二重积分的计算
记作
第五节 三重积分（一）
利用直角坐标计算三重积分
方法1 投影法 (“先一后二” )
如图，
第五节 三重积分（一）
划分：
记作
第五节 三重积分（一）
化为三次积分
区域
方法2 截面法 (“先二后一”)
第五节 三重积分（一）
记作
于是
注：方法一和方法二的可看作由上下两个曲面所围成.即平行于z轴且穿过内部的直线与的边界曲面相交不多于两点.
直角坐标系
柱面坐标系
球面坐标系
说明:
三重积分类似于二重积分也可以利用对称性计算.
变量可分离.
围成 ;
第六节 三重积分（二）
例 求
解 原式
第六节 三重积分（二）
几种的图形
第六节 三重积分（二）
三重积分的应用 1.物体的质心
设物体占有空间域 ,
有连续密度函数
则
设空间有n个质点,
其质量分别
例 计算
其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
y＝x 所围的闭区域.
解法1 将D看作X-型区域, 则
解法2 将D看作Y-型区域, 则
第二节 直角坐标系中二重积分的计算
例 计算
其中D 是抛物线
高等数学(下)D10习题课PPT课件
第一型曲线积分 变密度弯曲刚丝 的质量
第一型曲面积分 变密度空间曲面 薄片的质量
❖ 9、对称性
❖ 当积分区域关于面对称时，若被积函数关于为偶 函数，即
❖ ，则
❖
其中为在面之上方的部分
❖ 若被积函数关于为奇函数, ，即，则
❖
当关于其他坐标面对称时有类似结论。
❖ 10、各类坐标系的选择
❖ （1）当积分区域是圆柱形或圆锥形区域，或在某
j D
a1 ( x )
如果D是Y型区域: D{(x, y)|y1(y)xy2(y), cyd}, 则
y y y D f ( x , y ) d c d d [ d 1 2 ( ( y y ) 2 ) ( y f ) ( f x ( , x y , ) y d ) d ] d . y x 先的对二y x次后积对分yx y c 1 ( y )
2 2
x d 1 y [ y x ] d yy dx
D
1 2 [ y x 2 2 ] 2 y d 1 2 ( 2 y y 2 3 y ) d [ y 2 y 8 4 ] 1 2 y 8 9 .
例 2计 算 y 1 x 2 y 2 d,其 中 D 是 由 直 线 y 1 、 x 1
坐标面上的投影是圆域，被积函数具有的形式，常 采用柱坐标系。
❖ （2）当积分区域是与球相关的区域，而被积函数 具有的形式时，常采用球坐标。
❖ （3）其他如平面或抛物面构成的区域，可选用直 角坐标系。
一、二重积分的计算
1. 直角坐标系下二重积分的计算 2. 极坐标系下二重积分的计算
二、利用直角坐标计算二重积分
8、对三重积分可以理解为密度函数为的所占的区域 为的物体的质量。理解这一点对三重积分的许多 性质的理解有极大的帮助。
10高等数学课件(完整版)详细
2 3 23 5
2 2n 1 2n 1
1 (1 1 ), 2 2n 1
lim
n
sn
lim 1 (1 n 2
1) 2n 1
1, 2
级数收敛, 和为 1 . 2
三、基本性质
性质 1 如果级数 un 收敛,则 kun 亦收敛.
n1
n1
结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数,
敛散性不变.
n0
三、由定义判别级数
1 1 1
1
的收敛性.
13 35 57
(2n 1)(2n 1)
四、判别下列级数的收敛性:
1、1 1 1 1 ；
369
3n
2、(1 1) ( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) ；
2 3 22 32 23 33
2n 3n
3、1
n1
lim
n
un
lim
n
sn
lim
n
sn1
s
s
0.
注意
1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;
例如 1 2 3 (1)n1 n 发散
234
n1
2.必要条件不充分.
例如调和级数 1 1 1 1
23
n
有
lim
n
un
0,
但级数是否收敛?
讨论
s2n
sn
1 n
1
n
1
2
1 2n
n0
的收敛性.
解 如果q 1时
sn a aq aq2 aqn1
a aqn a aqn , 1q 1q 1q
当q 1时,
lim qn 0
n
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11. 在均匀的半径为R的圆形薄片的直径上 , 要接上一 个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片, 使整个 薄片的重心恰好落在圆心上 ,问接上去的均匀矩形薄片
的另一边长度应为多少?
提示: 建立坐标系如图. 由已知可知 y 0, 即有
R
R2 x2
0 D yd x dy R d xb ydy
00
0
y
提示: 左端积分区域如图,
a
交换积分顺序即可证得.
D yx
P183 8(2). 求
z
ln(x2 y2 x2 y2
z2 1) z2 1
O d v, 其中
x
是
由球面 x2 y2 z2 1 所围成的闭区域 .
提示: 被积函数在对称域 上关于 z 为奇函数 , 利用
对称性可知原式为 0.
习题课
第十章
重积分的 计算 及应用
一、 重积分计算的基本方法 二、重积分计算的基本技巧 三、重积分的应用Leabharlann 目录 上页 下页 返回 结束
一、重积分计算的基本方法 — 累次积分法
1. 选择合适的坐标系
使积分域多为坐标面(线)围成;
被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.
2. 选择易计算的积分序
积分域分块要少, 累次积分易算为妙 .
D
D
y
1 2
D
(
x2
y
2
)
dxd
y
0
D
1
2π
d
1
r
3
dr
π
20
0
4
O 1x
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I (x2 xyex2 y2 ) dxdy D
(2) 积分域如图: 添加辅助线 y x,将D 分为 D1, D2 ,
利用对称性 , 得
xyex2 y2 dxd y
D1
xyex2 y2 dxd y
1
1
dx
1
1
x2 dy
1
dx
1
x2
dy
0
2 3
O 1x D2
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例3. 求抛物线
所围区域 D 的面积A . y
y2 x
解:如图所示 D D2 \ D1 ,
A D2 d D1 d
3
1 O
D1
D2 D
2
x
4
3 12 y
1
2 y
dy
4
y2
d x dy 2
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1(2). D {(x, y) a x a, x y a}, D1 {(x, y) 0 x a, x y a}, 则
(
D
x
y
cos
x
sin
y
)
dx
d
y
A
(A) 2D1 cos x sin y dx dy
(B) 2D1 xy dx dy
(C) 4D1 ( xy cos x sin y) dx dy
3. 掌握确定积分限的方法
图示法 (从内到外: 面、线、点)
列不等式法
练习
P182 2 (3) ; 7 ; 8 (1), (3)
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解答提示:
P182 2 (3). 计算二重积分
其中D 为圆周
所围成的闭区域.
提示: 利用极坐标
0 R cos
D:
π 2
π 2
原式
y R cos O D Rx
D2
1 x2 d x
x
dy 00
1
1
y
yx OD1D2 1 x 1 y x
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例2. 计算二重积分
I sgn( y x2)dxdy, D : 1 x 1，0 y 1.
D
解:
作辅助线 y x2 把D 分成
y 1
D1, D2 两部分, 则
D1
I D1 dxdy D2 dxdy
2 R3 R b2 3
y
y R2 x2
R
由此解得 b 2R
b? O D R x
3
b
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例1. 计算二重积分 I (x2 xyex2 y2 ) dxdy , 其中: D (1) D为圆域
(2) D由直线
围成 .
解: (1) 利用对称性.
I x2 d x d y x yex2 y2 d x d y
提示: 如图 , D D1 D2 D3 D4
由对称性知
ya
DD3D2 D1 a D4 O a x
在
上是关于 y 的奇函数
在
上是关于 x 的偶函数
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P182 4. 证明:
a dy
y em(ax) f (x)dx
a (a x) em(ax) f (x)dx
2
59 πR5
480
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P183、8（3）
其中 是由
平面上曲线
绕 x 轴旋转而成的曲面与平面
所围成的闭区域 .
xx
提示: 利用柱坐标 y cos
z sin
1 2
2
x
5
z
O
x5
y
: 0 10
0 2π
原式
2π d
0
10 3 d
0
5
2 dx
2
250 π 3
2 R3
2 (1 sin3 ) d
30
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P183 7. 把积分
其中 由曲面
所围成的闭区域 . 提示: 积分域为
化为三次积分, 及平面
:
原式
1
dx
1
x2 y2
dy f (x, y, z)dz
1
x2
0
O1
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P183 8 (1) .计算积分
其中 是两个球
( R > 0 )的公共部分.
D2z
z R
R
2
提示: 由于被积函数缺 x , y , 利用“先二后一” 计算方便 .
D1 z
xO y
原式 =
R2 z2 dz
0
dxdy
D1 z
R R
z2 dz
2
d xd y
D2 z
R2 z2 π (2Rz z2)dz
0
R R
z2 π(R2 z2)dz
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二、重积分计算的基本技巧
1. 交换积分顺序的方法 2. 利用对称性简化计算
分块积分法 3. 消去被积函数绝对值符号
利用对称性 4. 利用扩展积分域进行计算 练习题
P182 1 , 4 , 8 (2), 11 答案提示: (见下页)
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1(1). 设 由
x2 y2 z2 R2, x 0, y 0, z 0
(B) 1 y dv 4 2 y dv
确定 , 由
所确定 , 则 C
上半球
第一卦 限部分
z R
(D) 1 xyz dv 4 2 xyz dv
1 2
Oy
x
提示: 利用对称性可知 , (A), (B), (D) 左边为 0 ,
右边为正 , 显然不对 , 故选 ( C )
y2
dx
12 y
1 2
y2
1 3
y3
3
4
2
y
1 2
y2
1 3
y3
1
2
52 2 3
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三、重积分的应用
1. 几何方面 面积 ( 平面域或曲面域 ) , 体积 , 形心
2. 物理方面 质量, 转动惯量, 质心, 引力