信息论与编码试卷及答案

一、（11’）填空题

（1）1948年，美国数学家香农发表了题为“通信的数学理论”的长篇论文，从而创立了信息论。

（2）必然事件的自信息是0 。

（3）离散平稳无记忆信源X的N次扩展信源的熵等于离散信源X的熵的N倍。

（4）对于离散无记忆信源，当信源熵有最大值时，满足条件为__信源符号等概分布_。

（5）若一离散无记忆信源的信源熵H（X）等于2.5，对信源进行等长的无失真二进制编码，则编码长度至少为 3 。

（6）对于香农编码、费诺编码和霍夫曼编码，编码方法惟一的是香农编码。（7）已知某线性分组码的最小汉明距离为3，那么这组码最多能检测出_2_______个码元错误，最多能纠正___1__个码元错误。

（8）设有一离散无记忆平稳信道，其信道容量为C，只要待传送的信息传输率R__小于___C（大于、小于或者等于），则存在一种编码，当输入序列长度n足够大，使译码错误概率任意小。（9）平均错误概率不仅与信道本身的统计特性有关，还与___译码规则____________和___编码方法___有关

三、（5'）居住在某地区的女孩中有25%是大学生，在女大学生中有75%是身高1.6米以上的，而女孩中身高1.6米以上的占总数的一半。

假如我们得知“身高1.6米以上的某女孩是大学生”的消息，问获得多少信息量？

解：设A表示“大学生”这一事件，B表示“身高1.60以上”这一事件，则

P(A)=0.25 p(B)=0.5 p(B|A)=0.75 （2分）

故 p(A|B)=p(AB)/p(B)=p(A)p(B|A)/p(B)=0.75*0.25/0.5=0.375 （2分）

I(A|B)=-log0.375=1.42bit （1分）

四、（5'）证明：平均互信息量同信息熵之间满足

I(X;Y)=H(X)+H(Y)-H(XY)

证明：

()()()

()

()()()()

()()

Y X H X H y x p y x p x p y x p x p y x p y x p Y X I X X Y j i j i Y i j i X

Y

i j i j i -=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡---==∑∑∑∑∑∑log log log

; （2分）

同理

()()()

X Y H Y H Y X I -=; （1分） 则

()

()()Y X I Y H X Y H ;-= 因为

()()()

X Y H X H XY H += （1分） 故

()()()()Y X I Y H X H XY H ;-+=

即

()()()()XY H Y H X H Y X I -+=; （1分）

五、（18’）.黑白气象传真图的消息只有黑色和白色两种，求：

1） 黑色出现的概率为0.3，白色出现的概率为0.7。给出这个只有两个符号的信源X 的数学模型。假设图上黑白消息出现前后没有关联，求熵()X H ；

2）假设黑白消息出现前后有关联，其依赖关系为，

，，

，求其熵()X H ∞。

3）分别求上述两种信源的冗余度，比较它们的大小并说明其物理意义。 解：1）信源模型为 （1分）

2）由题意可知该信源为一阶马尔科夫信源。 （2分） 由

（4分）

得极限状态概率

（2分）

（3分）

3）

119.02log )

(121=-=X H γ （1分）

447.02log )

(122=-

=∞X H γ （1分）

12γγ>。说明：当信源的符号之间有依赖时，信源输出消息的不确定性减弱。而信源冗余度正是反

映信源符号依赖关系的强弱，冗余度越大，依赖关系就越大。（2分）

六、（18’）.信源空间为

1

234567()0.20.190.180.170.150.10.01X x x x x x x x P X ⎡⎤⎡⎤

=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣

⎦

，试分别构造二元香农码和二元霍夫曼码，计算其平均码长和编码效率（要求有编码过程）。

14

.3)(7

1

==∑=i i i l a p L 831.014.361

.2)(===

L

X H R

七（6’）.设有一离散信道，其信道传递矩阵为

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

2/1

6/1

3/1

3/1

2/1

6/1

6/1

3/1

2/1

，并设

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

=

=

=

4

1

)

(

2

1

)

(

4

1

)

(

3

2

1

x

p

x

p

x

p

，试分别按

最大后验概率准则与最大似然译码准则确定译码规则，并计算相应的平均错误概率。

1）（3分）最小似然译码准则下，有，

2）（3分）最大后验概率准则下，有，

八（10'）.二元对称信道如图。

1）若()4

3

0=

p，()

4

1

1=

p，求()X

H、()Y

X

H|和()Y

X

I;；

2）求该信道的信道容量。