填空压轴题之几何图形多解问题

填空压轴之几何图形多解问题1. 已知正方形ABCD 的边长为42，如果P 是正方形对角线BD 上一点，满足△ABP ≌△CBP ，若△PCB 为直角三角形，则BP 的长为________．2. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝6，E 为AB 边上一点，将△BEC 沿CE 翻折，点B 落在点F 处，当△AEF 为直角三角形时，BE ＝________．第2题图 第4题图3. 在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，若点P 在AD 边上，连接PB 、PC ，△BPC 是以PB 为腰的等腰三角形，则PB 的长为________．4. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，点P 、Q 分别为直线AB 、BC 上的点，满足PD ⊥PQ ，则当△PDQ 为等腰三角形时，AP 的长为________．5. 已知△ABC 中，tan B ＝23，BC ＝6，过点A 作BC 边上的高，垂足为点D ，且满足BD ∶CD ＝2∶1，则△ABC 面积的所有可能值为________．6. 如图，有一张面积为10的三角形纸片，其中一边AB 为4，把它剪开两次拼成一个矩形(无缝隙、无重叠)，且矩形的一边与AB 平行，则矩形的周长为________．第6题图 第7题图 7. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝8，MN 为对角线BD 的垂直平分线，以BD 为底边作等腰三角形BPD ，使得点P 落在直线MN 上，且PD ＝5，则AP ＝________．8. 在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝2＋2，D 是边AC 上的动点，满足BD 的垂直平分线交BC 于点E ，若△CDE 为直角三角形，则BE 的长为________．9. 如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠ABC ＝90°，AD ＝1，BC ＝3，E 是边CD 的中点，连接BE 并延长交AD 的延长线于点F ，若△BCD 是等腰三角形，则四边形BDFC 的面积为________．第9题图第10题图10.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝23，E是AB边上一点，AE＝2，F是直线CD上一动点，将△AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为点A′，当点E、A′、C三点在一条直线上时，DF的长度为________．11.已知在Rt△ABC中，斜边AB＝5，BC＝3，以点A为旋转中心，旋转这个三角形至△AB′C′的位置，那么当点C′落在直线AB上时，BB′＝________12.△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿射线BC方向平移得到△A′B′C′，使得B′C＝4，连接A′C，则△A′B′C的周长为________．13.如图，在▱ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，点E、F分别为AD、BC的中点，沿EF 折叠平行四边形，使CD落在直线AB上，点C的对应点为C′，点D的对应点为D′，若BD′＝1，则AD的长为__________．第13题图第14题图14.定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形．如图，在互补四边形纸片ABCD 中，BA＝BC，AD＝CD，∠A＝∠C＝90°，∠ADC＝30°.将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的纸片从一个顶点出发的直线裁剪，把剪开的纸片打开后铺平，若铺平后的纸片中有一个面积为4的平行四边形，则CD的长为________．15.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，当△EDC旋转到A，D，E三点共线时，线段BD的长为________．第15题图1.4或8【解析】由题可知，∵△ABP≌△CBP，∴点P一定处于正方形对角线BD上，∴共存在两种情况使△PBC为直角三角形，(1)如解图①，当CP⊥PB时，有PC2＋PB2＝BC2.又∵∠CBP＝45°，∴PB＝PC，∴BP＝4；(2)如解图②，当P点与D点重合时△PBC为直角三角形，BP＝2BC＝8.第1题解图2.3或6【解析】如解图①，当∠AFE＝90°时，设BE＝x，则EF＝x，AE＝8－x，FC＝BC＝6，由勾股定理得AC＝AB2＋BC2＝10，∴AF＝10－6＝4，在Rt△AEF中，42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3，∴BE＝3；如解图②，当∠AEF＝90°时，四边形BCFE是正方形，BE ＝BC＝6.综上所述，BE＝3或6.第2题解图3.5或6【解析】如解图①，当PB＝PC时，点P是BC的中垂线与AD的交点，则AP ＝DP＝12AD＝3，在Rt△ABP中，由勾股定理可得PB＝AP2＋AB2＝32＋42＝5；如解图②，当PB＝BC＝6时，△BPC也是以PB为腰的等腰三角形．综上所述，PB的长度为5或6.第3题解图4. 1或7 【解析】∵△PDQ是等腰三角形，∴分三种情况：①如解图①，若点P在线段AB上，∠DPQ＝90°，∴PD＝PQ，∠APD＋∠BPQ＝90°，∵在矩形ABCD中，∠A＝∠B ＝90°，∴∠APD＋∠ADP＝90°，∴∠ADP＝∠BPQ，∴△DAP≌△PBQ(AAS)，∴PB＝AD ＝3，∴AP＝4－3＝1；②如解图②，若点P在线段AB的延长线上，PQ交CB的延长线于点Q，PD＝PQ，同理可证△ADP≌△BPQ，∴AD＝PB，∴AP＝AB＋AD＝3＋4＝7；③当P在线段BA的延长线上时，显然不成立，故AP的长为1或7.参考答案第4题解图5. 8或24 【解析】如解图①，∵BC ＝6，BD ∶CD ＝2∶1，∴BD ＝4，在Rt △ABD 中，AD ＝BD ·tan B ＝4×23＝83，∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×6×83＝8；如解图②，∵BC ＝6，BD ∶CD ＝2∶1，∴BD ＝12，在Rt △ABD 中，AD ＝BD ·tan B ＝12×23＝8，∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×6×8＝24.∴△ABC 面积的所有可能值为8或24.第5题解图6. 13或14 【解析】分为两种情况：①如解图①，沿MN 剪开，再沿CQ 剪开(CD ⊥AB 于点D ，MN 为△ABC 的中位线，CD 交MN 于点Q )，将△CQN 放在△BFN 的位置上，△CQM放在△AEM 的位置上，由三角形面积公式得10＝12×4×CD ，解得CD ＝5，∵MN 为△ABC 的中位线，∴CQ ＝DQ ＝12CD ＝2.5，∴矩形AEFB 的周长为(2.5＋4)×2＝13；②如解图②，沿NQ 、MT 剪开(N 、M 分别为AC 、BC 中点，EQ ⊥BA 于点Q ，FT ⊥AB 于点T ，CD ⊥AB 于点D )，将△AQN 放在△CEN 的位置上，△BTM 放在△CFM 的位置上，由三角形面积公式得10＝12×4×CD ，解得CD ＝5，∵N 为AC 中点，CD ∥EQ ，∴AQ ＝DQ ，同理BT ＝DT ，∴QT ＝12AB ＝2，∴矩形EQTF 的周长为(5＋2)×2＝14.故答案为13或14.第6题解图7. 3或41 【解析】如解图，连接BM ，DN ，AN ，得到四边形BNDM 为菱形，∴BM ＝MD ，AM ＋MD ＝AM ＋BM ＝AD ＝8，在Rt △ABM 中，设AM ＝x ，则BM ＝8－x ，AB ＝4，根据勾股定理得：x 2＋42＝(8－x )2，解得x ＝3，∴AM ＝3，MD ＝5.当PB 和PD 在BD 上方时，点P 与点M 重合，则AP ＝AM ＝3；当PB 和PD 在BD 下方时，点P 与点N 重合，由对称性得到PD ＝ND ＝BN ＝MD ＝5，在Rt △ABN 中，AB ＝4，BN ＝5，根据勾股定理得：AN ＝AB 2＋BN 2＝42＋52＝41，此时AP ＝AN ＝41.综上所述，AP 的长为3或41.第7题解图 8. 2＋1或2 【解析】①当∠CED ＝90°时，点D 与点A 重合，E 是BC 的中点，如解图①.∵BC ＝2AB ＝2(2＋2)＝2(2＋1)，∴BE ＝12BC ＝12×2(2＋1)＝2＋1；②当∠CDE ＝90°时，如解图②，∵∠A ＝90°，AB ＝AC ，∴∠C ＝45°，∴△CDE 是等腰直角三角形，∴CE ＝2DE ，易得BE ＝DE ，∴CE ＝2BE ，∴CE ＋BE ＝2BE ＋BE ＝2(2＋1)．∴BE ＝2.综上所述，若△CDE 为直角三角形，则BE 的长为2＋1或2.第8题解图9. 62或35 【解析】∵∠A ＝∠ABC ＝90°，∴BC ∥AD ，∴∠CBE ＝∠DFE ，∵∠BEC ＝∠FED ，CE ＝DE ，∴△BEC ≌△FED (AAS)，∴BE ＝FE ，∴四边形BDFC 是平行四边形，①当BC ＝BD ＝3时，在Rt △ABD 中，AB ＝32－12＝22，S 四边形BDFC ＝3×22＝62；②当BC ＝CD ＝3时，如解图，过点C 作CG ⊥AF 于点G ，则四边形ABCG 是矩形，∴AG ＝BC ＝3，∴DG ＝AG －AD ＝3－1＝2，在Rt △CDG 中，CG ＝32－22＝5，∴S 四边形BDFC ＝3×5＝35；③BD ＝CD 时，BC 边上的中线应与BC 垂直，从而BC ＝2AD ＝2，矛盾，此时不成立．故四边形BDFC 面积为62或3 5.第9题解图10. 6＋27或6－27 【解析】如解图①，F 是线段CD 上一动点，由翻折可知，∠FEA ＝∠FEA′，∵CD ∥AB ，∴∠CFE ＝∠AEF ，∴∠CFE ＝∠CEF ，∴CE ＝CF ，在Rt △BCE 中，EC ＝BC 2＋EB 2＝（23）2＋42＝27，∴CF ＝CE ＝27，∵AB ＝CD ＝6，∴DF ＝CD －CF ＝6－27；如解图②，F 是DC 延长线上一点，由翻折可知，∠FEA ＝∠FEA′，∵CD ∥AB ，∴∠CFE ＝∠BEF ，∴∠CFE ＝∠CEF ，∴CE ＝CF ，在Rt △BCE 中，EC ＝BC 2＋EB 2＝（23）2＋42＝27，∴CF ＝CE ＝27，∵AB ＝CD ＝6，∴DF ＝CD ＋CF ＝6＋27，故答案为6＋27或6－27.图① 图②第10题解图 11. 10或310 【解析】①如解图①，当点C′在线段AB 上时，∵AB ＝5，BC ＝3，∴在Rt△ABC中，AC＝AB2－BC2＝4，∵以点A为旋转中心，旋转这个三角形至△AB′C′的位置，∴AC′＝4，BC′＝1，B′C′＝3，∴BB′＝（B′C′）2＋（BC′）2＝10；②如解图②，当点C′在线段BA的延长线上时，∵AB＝5，BC＝3，∴AC＝4，∵以点A为旋转中心，旋转这个三角形至△AB′C′的位置，∴BC′＝9，B′C′＝3，∴BB′＝（BC′）2＋（B′C′）2＝310.故长BB′长为10或310.图①图②第11题解图12.12或8＋43【解析】当点B′在线段BC上，如解图①，∵△ABC沿射线BC方向平移得到△A′B′C′，∴AB＝A′B′＝4，BC＝B′C′＝6，∠ABC＝∠A′B′C′＝60°，∵B′C＝4，∴A′B′＝B′C，∴△A′B′C为等边三角形，∴△A′B′C的周长为12；当点B′在线段BC的延长线上，如解图②，作B′H⊥A′C，∵△ABC沿射线BC方向平移得到△A′B′C′，∴AB＝A′B′＝4，∠ABC ＝∠A′B′C′＝60°，∵B′C＝4，∴A′B′＝B′C，∴∠B′CA＝∠B′A′C，CH＝A′H，而∠A′B′C′＝∠B′CA′＋∠B′A′C，∴∠B′CA′＝30°，在Rt△B′CH中，∵∠B′CH＝30°，∴B′H＝12CB′＝2，∴CH＝3B′H＝23，∴A′C＝2CH＝43，∴△A′B′C的周长＝4＋4＋43＝8＋4 3.故答案为12或8＋4 3.第12题解图13.4或8【解析】如解图①，当点D′在线段AB上时，AD′＝AB－BD′＝3－1＝2，∵E 是AD的中点，∴AE＝DE，由折叠的性质得ED′＝ED，∴ED′＝AE，∵∠A＝60°，∴△AED′是等边三角形，∴AE＝AD′＝2，∴AD＝4.如解图②，当点D′在AB的延长线上时，AD′＝AB ＋BD′＝4.同理可知△AED′是等边三角形，∴AE＝AD′＝4，∴AD＝8.图①图②第13题解图14. 22＋6或42＋26【解析】如解图①，作CE∥AB交BD于点E，延长CE交AD 于点F，连接AE，过点B作BG⊥AE于点G，∵BA＝BC，∴此时的平行四边形ABCE为菱形，∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADC＝30°，AB∥CF，∴∠CFD＝90°，∠BCE＝∠BAE＝∠AEF＝30°，设BG＝m，则BA＝2m，∵菱形ABCE的面积为4，∴2m×m＝4，解得m＝2(负值舍去)，∴AE ＝CE ＝BA ＝22，EF ＝AE ·cos30°＝6，∴CF ＝22＋6，在Rt △CFD 中，CD ＝2CF ＝42＋26；如解图②，作BE ∥AD 交CD 于点E ，作BF ∥CD 交AD 于点F ，根据折叠与裁剪可知BE ＝BF ，此时的平行四边形BEDF 也是菱形，∴BE ∥FD ，∴∠BEC ＝∠ADC ＝30°，∵∠A ＝∠C ＝90°，设BC ＝n ，则BE ＝2n ，CE ＝3n ，∵菱形BEDF 的面积为4，∴2n ×n ＝4，解得n ＝2(负值舍去)，∴BC ＝2，DE ＝BE ＝22，CE ＝6，∴CD ＝CE ＋DE ＝22＋6，综上所述，CD 的长为22＋6或42＋2 6.第14题解图15. 45或1255 【解析】如解图①，易得AC ＝AB 2＋BC 2＝45，CD ＝4，CD ⊥AD ，∴AD ＝AC 2－CD 2＝（45）2－42＝80－16＝8，∴AD ＝BC ，AB ＝DC ，∠B ＝90°，∴四边形ABCD 是矩形，∴BD ＝AC ＝45；如解图②，连接BD ，过点D 作AC 的垂线交AC 于点Q ，过点B 作AC 的垂线交AC 于点P ，∵AC ＝45，CD ＝4，CD ⊥AD ，∴AD ＝AC 2－CD 2＝（45）2－42＝8，∵点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，∴DE ＝12AB ＝2，∴AE ＝AD －DE ＝8－2＝6，CE ＝ED 2＋CD 2＝25，∵∠ECD ＝∠ACB ，∴∠ECA ＝∠DCB ，又∵ECDC ＝AC BC ，∴△ECA ∽△DCB ，∴AE BD ＝EC DC ＝52，∴BD ＝652＝1255，综上所述，BD 的长为45或1255.第15题解图① 第15题解图②。