初中数学一题多解题

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【中考复习】初中数学典型一题多解试题汇编(含解析)

初中数学一题多解（试题）1、若()16x 3-m 2x 2++ 是关于x 的完全平方公式（或完全平方数），则m=2、4的平方根为，16的平方根为 3、若2a =时， a 为。

在数轴上，到原点的距离为3个单位的数有。

4、若64x 1x 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ ，则代数式=+x 1x 5、若关于x 的方程16-x 3m 4x m 4-x 12+=++无解，则m 的值为 6、在平面直角坐标系xoy 中，已知点A （3,4），点P 在x 轴上，若△AOP 为等腰三角形，则点P 的坐标是7、在一个等腰三角形中，有一个角为70°，则另两个角分别为8、已知直角三角形的两边长分别为5和12，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为9、在△ABC 中，AB=15，AC=13，BC 边上的高为12，求BC 边的边长为10、在平行四边形ABCD 中，∠A 的角平分线把BC 边分为3和4的两条线段，则此平行四边形ABCD 的周长为11、若⊙O 的半径为5cm ，某个点A 到圆上的距离为2cm ，则圆心到点A 的距离为12、若⊙O 中的某条弦AB 所对的圆心角为120°，则弦AB 所对的圆周角为13、已知x满足62x1x22=+，则x1x+的值是14、当-2≤x≤1时，二次函数()1mm-x-y22++=有最大值4，则实数m 的值为15、在平面直角坐标系中有一点M，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点M的坐标为16、若某条线段AB长为2，则该线段AB的黄金分割点离A点的距离为17、若△OAB与△OCD是以坐标原点O为位似中心的位似图形，相似比为3:4，∠OCD=90°，∠AOB=60°，若点B的坐标为（6,0），则点A的对应点C的坐标为18、如下图在△ABC中，AB=5，AC=4，点Q从点A出发向点B以2个单位/s的速度出发，点P从点C向点A以1个单位/s的速度出发，若要使△ABC 与△AQP相似，则运动的时间为s。

人教版数学八年级上册代数经典集锦---一题多解(含答案)

2019--2020人教版数学八年级代数经典集锦---一题多解在初中几何的证明和求解中，需要培养学生严密推理论证能力、灵动转化变换思维等方面素养，而在初中代数的计算过程中，需要培养学生多角度、多维度思考问题，掌握整体与局部、特例分析等全方位能力，从而寻求结果，下面以一道经典例题的不同解法，展开思维训练。

1、已知：x y = - 2，则x 2-2xy-3y 2x 2-6xy-7y 2 = .解法一：令x=2,y=-1,则x 2-2xy-3y 2=22-2*2*(-1)-3*(-1)2=4+4-3=5，X 2-6xy-7y 2=22-6*2*（-1）-7*（-1）2=4+12-7=9，所以，原式=59 .李老师点评：本解法是最简单却学生最不容易想到的解法。

原式看起来很复杂，x,y 只给出了比例关系，没有给出具体数值，那么取特例也是满足题设要求的，所以，当没有寻找到更好的解决办法时，可以取特殊值进行计算。

解法二：由已知比例x y = - 2变形有：x=-2y ┅┅①将①带入原式有：x 2-2xy-3y 2=(-2y)2-2*(-2y)*y-3y 2=5y 2,X 2-6xy-7y 2=(-2y)2-6*(-2y)*y-7y 2=9y 2,x 2-2xy-3y 2x 2-6xy-7y 2 =59 .李老师点评：本解法使用了带入消元法进行解题，带入消元法是解决含有未知数类求值问题最基本的解题方法之一。

解法三：∵x y = - 2，∴x ≠0，y ≠0则将原式分子和分母同时除以y 2得到：x 2-2xy-3y 2x 2-6xy-7y 2 = = 59=李老师点评：本解法是一种技巧型解法，首先通过观察x,y 的取值情况以及原式中分子分母所含式子，我们会发现：x,y 都不等于0，同时分子分母其实每一项都是二次项（将x,y 都看作未知数），所以分子分母同时除以y2，便可以轻松的将原式化成已知条件中的样子，从而得解。

初中中考数学一题多解详细讲解一题

题目：如图1，△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB=10cm，点P由点C出发以每秒2cm 的速度沿着线段CA向点A运动(不运动至A点)，⊙O的圆心在BP上，且⊙O分别与AB、AC相切，当点P运动2秒钟时，⊙O的半径是( )A、cmB、cmC、cmD、2cm一、相似三角形与面积解法一：在Rt△ABC中，∵AB=10cm，AC=8cm，∴BC=6cm。

∵PC=4cm，∴PA=4cm。

设OD=x，⊙O的半径为r，∵OD∥AC，∴。

∴x=4-r。

∵S△ABC=S△AOC+ S△BOC+ S△AOB∴×10r+×8r+×6r=×6×8。

∴5r+4r+3(4-r)=24，∴r=(图1) (图2)解法二：如图2，在Rt△ABC中，∵AB=10cm，AC=8cm，∴BC=6cm∵P是AC的中点，∴S△ABP=×S△ABC=12∴AB×PH=24，PH=∵OE∥BC，OF∥PH，∴由①+②得∴r=(图3) (图4)二、相似三角形与勾股定理解法三：如图3，设OD=x，⊙O的半径为r，∵OD∥AC，∴。

∴x=4-r ①∵AE=AF=8-x，∴BF=2+x∴OD2+BD2=OF2+BF2，∴x2+(6-x)2=r2+(2+x)2，∴x=8-3r ②由①、②得4-r=8-3r，解得r=.三、三角函数与勾股定理解法四：如图4，设PE=x，⊙O的半径为r∵tg∠CDB=，∴x=r，由勾股定理得：PO=r，∴BO=2，解得r=四、三角形内角平分线性质解法五：如右图，∵AE、AF是⊙O的切线，∴∠1=∠2，∴，∴∵OE∥BC，∴，∴r=。

初中数学几何：一题多解

A D C P B初中数学培优专题：一题多解一题多解是数学学科的奇妙所在，尤其体现在几何的学习过程之中. 很多学生会从喜欢上几何从而喜欢上数学的原因，就在于几何图形的变换中，对“多解”的追求给他们带来思维创造的快乐. 数学教师在解题教学中也会通过“多解”的呈现和对比来调动学生思维的积极性、激发学生思维的灵活性. 笔者在教学过程中，通过对几何的“多解”探索，使笔者又有了新的认识.1 题目呈现如图1，在等腰直角三角形ABC 中，点P 为斜边AB 上一个动点(不与A 、B 两点重合)，以CP 为斜边在直线CP 的左侧作等腰直角 CDP ∆，判断ADP ∆的形状并证明.图12 教学过程简录方法一：如图2，过C 点作AB CQ ⊥，连接DQ .易证DQ 平分CQA ∠，∴ 45=∠=∠DQA CQD∴CQD ∆≌AQD ∆（SAS ），∴CD AD =，又∵PD CD =∴DP AD =∴ADP ∆是等腰三角形图2方法二：如图3，过C 点作AB CQ ⊥，连接DQ .易证CDQ ∆∽CPB ∆，∴ 45=∠=∠B DQC∴CQD ∆≌AQD ∆（SAS ）以下同方法一.图3方法三：如图4，过C 点作CP CQ ⊥交PD 的延长线于点Q ，连接AQ . 易证CQA ∆≌CPB ∆∴PB AQ =， 45=∠=∠CBP CAQ∴ 90=∠QAP . 在等腰直角CPQ ∆中，D 点是PQ 的中点，图4 ∴在PAQ Rt ∆中，PQ AD 21=，∴DP AD =∴ADP ∆是等腰三角形 . 方法四：如图5，过点C 作CD CM ⊥，过P 点作PD PM ⊥ 交CM 于点M ，过C 点作AB CQ ⊥交AB 于点Q ，连接QM ，BM . 易证四边形CDPM 为正方形，QM 平分CQP ∠，∴ 45=∠=∠PQM CQM ，图5∴CQM ∆≌BQM ∆（SAS ）∴CM BM =，又∵PD CM =∴PD BM =易证CMB ∆≌CDA ∆，∴AD BM =，∴DP AD =∴ADP ∆是等腰三角形 .方法五：如图6，过点C 作CD CQ ⊥，过P 点作PD PQ ⊥交CQ 于点Q ，过点D 作AB DM ⊥交AB 于点M ，过点Q 作AB QN ⊥交AB 于点N .易证PDM ∆≌QPN ∆，CQB ∆≌CDA ∆. 图6∴PD PQ =，AD QB =,CQB CDA ∠=∠， 90=∠+∠PDM PQN . 又∵ADC CMB ADC ADP ∠-=∠-∠-=∠27036090-∠=∠-∠=∠CQB CQP CQB PQB∴ 180=∠+∠PQB ADP ，∴ 90=∠+∠ADM BQN ，∴DAM BQN ∠=∠，易证ADM ∆≌QBN ∆，∴QM AD =，∴DP AD =∴ADP ∆是等腰三角形 .3 对解法的再认识该图形简单又漂亮，更重要的是我们在初二几何里学的常见的辅助线的构造都可以在该图形中呈现.比如方法一，看到等腰三角形想“三线合一”，故过C 点作AB CQ ⊥交AB 于点Q ，由于CDP ∆是等腰直角三角形，则得到了常见的基本图形，如图7：如果CDP ∆为等腰三角形，QP CQ ⊥，那么连接直角三角形的直角顶点DQ ，则DQ 是CQP ∆的外角平分线，即45=∠=∠DQA CQD ，我们平时称该图形为“钻石三角形”. 再由CQD ∆和AQD ∆对称全等，得结果.与方法一类似，还可以构造“钻石三角形”的内角平分线，如图5. 由等腰图7 直角CDP ∆想到构造正方形CDPM ，那么在图形CQPM 中，如图8：因为CMP ∆是等腰直角三角形，QP CQ ⊥，所以连接QM ，则QM 平分CQP ∠.（“钻石三角形”内角平分线），其它见方法四.在原题中，如图1，仔细观察该图形，是一个等腰三角形的顶点对另一个等腰三角形的底角的形式（简称“两个等腰三角形的顶对底”），我们还可以想到“加倍或减半”进行构造. 图8“加倍”如图4，就得到了共顶点的两个等腰直角三角形CPQ ∆和CBA ∆，构造“手拉手”基本模型，得全等，即CDP ∆≌CQA ∆.其实图5当中构造正方形也是另外一种形式的“加倍”,同样可构造“手拉手”基本模型.“减半”即把CAB ∆减半，如图3. 减半之后就得到了两个底角对底角的等腰直角三角形，CDP ∆和CQB ∆.那么通过“边对边、底对低”可得三角形相似，即CDQ ∆和CPB ∆相似，既而得到 45=∠=∠B DQC ，具体思路见方法二.或者看到等腰直角三角形，想到构造“三垂直”，如图6. 但这种方法要比其它方法复杂一点，就是要看到ADP ∠和PQB ∠互补，证明方法见方法五. 不过该方法也有它特别的一面，就是再往后研究，我们可以发现ADP ∆和BQP ∆不仅都是等腰三角形，而且面积也相等.综上以上五种方法可用一句话总结：过C 点通过旋转或翻折构造全等或相似.几何图形很神秘、很美妙、很漂亮，经常会有让人看它一眼就再也无法忘记的特别存在. 我们就是这样被它吸引着，不知不觉中发现了它们各自的独特美又发现了它们美的通性，而自己的思维与想象也在不断的发生着变化，从量变到质变，眼界与能力同时也得到了升华.。

初中数学一题多变一题多解(六)

一题多解，一题多变（六）中考几何母题的一题多解(多变)一、三角形一题多解如图：已知AB=AC，E是AC延长线上一点，且有BF=CE，连接FE交BC于D。

求证：FD=DE。

证法一证明：过E点作EM ∥AB交DC延长线于M点，则∠M=∠B，又因为∠ACB=∠B∠ACB=∠ECM=∠M，所以CE=EM，又EC=BF 从而EM=BF，∠BFD=∠DEM则△DBF≌△DME，故FD=DE；证法二证明：过E点作EM ∥AB交DC延长线于M点，则∠M=∠B，又因为∠ACB=∠B∠ACB=∠ECM=∠M，所以CE=EM，又EC=BF 从而EM=BF，∠BFD=∠DEM则△DBF≌△DME，故 FD=DE；证法二证明：过F点作FM∥AE，交BD于点M，则∠1=∠2 = ∠B 所以BF=FM，又∠4=∠3 ∠5=∠E所以△DMF≌△DCE，故 FD=DE。

二、平行四边形一题多解如图4，平行四边形ABCD中AD=2AB,E、F在直线AB上，且AE=BF=AB,求证：DF⊥CE.证法一、易知ΔADF、ΔBCE为等腰三角形，故∠1=∠F, ∠2=∠E,又CD∥AB,故∠3=∠F, ∠4=∠E,从而∠1=∠3，∠2=∠4，而∠1+∠2+∠3+∠4=1800，故∠3+∠4=900，表明∠COD=900，所以DF⊥CE。

证法二、如图5，连接MN，则CD=BF,且CD∥BF，故BFCD为平行四边形，则CN=BN=AB,同理,DM=MA=AB,故CN=DM且CN∥DM，得平行四边形CDMN，易见CD=DM，故CDMN也是菱形，根据菱形的对角线互相垂直，结论成立。

证法三、如图6，连接BM、AN, 可证ΔAFN中，BN=BF=BA,则ΔAFN为直角三角形，即DF⊥AN,利用中位线定理可知AN∥CE，故DF⊥CE。

证法四、如图7，作DG∥CE交AE延长线于G，则EG=CD=AB=AE,故AD=AG=AF,从而DF⊥DG,而DGCE,故DF⊥CE四\一题多解、多变《四边形面积》1.如图所示，一个长为a，宽为b的矩形，两个阴影都是长为c的矩形与平行四边形，则阴影部分面积是多少。

初中数学竞赛试卷一题多解

一题多解：解法一：构造辅助线，利用平行四边形的性质证明。

步骤：1. 过点E作EG垂直于AD，交AD于点G。

2. 由于AE=3，AD=4，所以EG=√(AE²-AD²)=√(3²-4²)=√7。

3. 因为EF平行于AD，所以∠EAF=∠ADF=45°，∠EAG=∠ADF=45°。

4. 由于∠EAG=∠ADF，且∠EAF=∠ADF，所以三角形EAG与三角形ADF相似。

5. 根据相似三角形的性质，得到AE/AD=EG/DF，即3/4=√7/DF。

6. 解得DF=√74/3。

7. 由于BE=BC-BE=4-3=1，所以BE=DF。

8. 由于AE=AF=3，所以四边形BEFD是菱形。

解法二：利用向量方法证明。

步骤：1. 以点A为原点，建立直角坐标系，设点B(4,0)，点C(4,4)，点D(0,4)。

2. 点E在BC边上，设点E(4,y)，其中0≤y≤4。

3. 点F在AB边上，设点F(x,0)，其中0≤x≤4。

4. 由于AE=3，所以3²=(4-x)²+y²，即x²-8x+16+y²=9。

5. 由于EF平行于AD，所以向量EF=向量AD，即(4-x, -y)=(0, 4)。

6. 解得x=4，y=4。

7. 所以点E(4,4)，点F(4,0)。

8. 由于BE=BC-BE=4-4=0，所以BE=DF。

9. 由于AE=AF=3，所以四边形BEFD是菱形。

解法三：利用勾股定理证明。

步骤：1. 在直角三角形ABE中，AE=3，AB=4，所以BE=√(AB²-AE²)=√(4²-3²)=√7。

2. 在直角三角形ADF中，AF=3，AD=4，所以DF=√(AD²-AF²)=√(4²-3²)=√7。

3. 由于BE=DF，所以BE=DF=√7。

河南初三初中数学专题试卷带答案解析

河南初三初中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.、在Rt△ABC中，∠C=90°，BC＝12cm，BC边上的中线AD=10cm则sinB=2.如图，某建筑物BC直立于水平地面，∠BAC=30°，AC=9m，需建造阶梯AB，使每阶高不超过20cm，则此阶梯最少要建阶。

（取1.732）3.如图，当矩形ABCD变成边长不变的BCEF时，面积变为原来是的一半，则∠FBG= 。

4.、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，斜边AB在x轴上，点C在y轴的正半轴上，点A的坐标为（2，0），则直角边BC所在直线的解析式为。

5.某商品进货单价为30元，按40元一个销售，能卖40个，若销售单价每涨一元，销售量就减少一个，则为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为 _____元。

6.x人去旅游共需支出y元，若x,y之间满足关系式y="2x2" - 20x + 1050,则当人数为_____时总支出最少。

7.已知一直角三角形两条直角边的和是6cm，则以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积的最小值是______.8.周长为16cm的矩形的最大面积为____,此时矩形边长为____,实际上此时矩形是______.9.某厂的年利润为50万元，年增长率为x, 第三年的利润为y万元，则y与x之间的函数关系式为____________.10.已知等腰三角形的面积s与底边x有如下关系：s=-5x2+10x+14,要使s有最大值，则x=_____.11.把4m的木料锯成六段，制成如图所示的窗户，若用Xm表示横料AB的长，Ym2表示窗户的面积，则Y与X 之间的函数关系式为________,当X=____时窗户面积最大。

12.周长为8米的铝合金条制成如图形状的窗框，使窗户的透光面积最大，则最大透光面积是____.二、解答题1.计算。

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初中数学一题多解题例题一、两个连续奇数的积是323，求出这两个数方法一、设较小的奇数为x,另外一个就是x+2x(x+2)=323解方程得：x1=17,x2=-19所以，这两个奇数分别是：17、19，或者-17，-19方法二、设较大的奇数x,则较小的奇数为323/x则有：x-323/x=2解方程得：x1=19,x2=-17同样可以得出这两个奇数分别是：17、19，或者-17，-19方法三、设x为任意整数，则这两个连续奇数分别为：2x-1,2x+1(2x-1)(2x+1)=323即4x^2-1=323x^2=81x1=9,x2=-92x1-1=17,2x1+1=192x2-1=-19,2x2+1=-17所以，这两个奇数分别是：17、19，或者-17，-19方法四、设两个连续奇数为x-1,x+1则有x^2-1=323x^2=324=4*81x1=18,x2=-18x1-1=17,x1+1=19x2-1=-19,x2+1=-17所以，这两个奇数分别是：17、19，或者-17，-19例题二、某人买13个鸡蛋、5个鸭蛋、9个鹌鹑蛋，共用去9.25元；如果买2个鸡蛋，4个鸭蛋，3个鹌鹑蛋，则共用去3.20元，试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需多少钱？解：设鸡、鸭、鹌鹑三种蛋的单价分别为x 、y 、z 元，则根据题意，得135992512433202x y z x y z ++=<>++=<>⎧⎨⎩.. 分析：此方程组是三元一次方程组，由于只有两个三元一次方程，因而要分别求出x 、y 、z 的值是不可能的，但注意到所求的是x y z ++的代数和，因此，我们可通过变形变换得到多种解法。

1. 凑整法解1：<>+<>123，得5344153x y z ++=<>.<>+<>23，得7735().x y z ++=∴++=x y z 105.答：只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需1.05元（下面解法后的答均省略）解2：原方程组可变形为134292522320()().()().x y z y z x y z y z ++-+=++++=⎧⎨⎩解之得：x y z ++=105.2. 主元法解3：视x 、y 为主元，视z 为常数，解<1>、<2>得x z =-0505..，y z =-05505..∴++=+-+=x y z z z 05505105...解4：视y 、z 为主元，视x 为常数，解<1>、<2>得y x z x =+=-00512.，∴++=+-+=x y z x x x 1052105..解5：视z 、x 为主元，视y 为常数，解<1>、<2>得x y z y =-=-005112..，∴++=-++-=x y z y y y 005112105...3. “消元”法解6：令x =0，则原方程组可化为5992543320051y z y z y z +=+=⎧⎨⎩⇒==⎧⎨⎩...∴++=x y z 105.解7：令y =0，则原方程组可化为1399252332000511x z x z x z +=+=⎧⎨⎩⇒=-=⎧⎨⎩....∴++=x y z 105.解8：令z =0，则原方程组可化为1359252432005055x y x y x y +=+=⎧⎨⎩⇒==⎧⎨⎩.... ∴++=x y z 105.4. 参数法解9：设x y z k ++=，则1359925124332023x y z x y z x y z k ++=<>++=<>++=<>⎧⎨⎪⎩⎪..∴<>-<>⨯123，得x y -=-<>0054.<>⨯-<>332，得x y k -=-<>3325.∴由<4>、<5>得332005k -=-..∴=k 105.即x y z ++=105.5. 待定系数法解10. 设x y z a x y z b x y z a b x a b y a b z ++=+++++=+++++<>()()()()()135924313254931则比较两边对应项系数，得1321541931121421a b a b a b a b +=+=+=⎧⎨⎪⎩⎪⇒==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 将其代入<1>中，得x y z ++=⨯+⨯=⨯=121925421321212205105....附练习题1. 有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5吨；5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨。

求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？（答案：24.5吨）2. 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件共需3.15元；若购甲4件、乙10件、丙1件共需4.20元。

问若购甲、乙、丙各1件共需多少元？（答案：1.05元）平面几何在完成一个数学题的解答时，有必要对该题的内容、形式、条件、结论，做进一步的探讨，以真正掌握该题所反映的问题的实质。

如果能对一个普通的数学题进行一题多变，从变中总结解题方法；从变中发现解题规律，从变中发现“不变”，必将使人受益匪浅。

“一题多变”的常用方法有：1、变换命题的条件与结论；2、保留条件，深化结论；3、减弱条件，加强结论；4、探讨命题的推广；5、考查命题的特例；6、生根伸枝，图形变换；7、接力赛，一变再变；8、解法的多变等。

19、（增加题1的条件）AE平分∠BAC交BC于E，求证：CE：EB=CD：CB20、（增加题1的条件）CE平分∠BCD，AF平分∠BAC交BC于F求证：（1）BF·CE= BE·DF（2）AE⊥CF（3）设AE与CD交于Q，则FQ‖BC21、已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，以CD为直径的圆交AC、BC于E、F，求证：CE：BC=CF：AC（注意本题和16题有无联系）22、已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，以AD为直径的圆交AC于E，以BD为直径的圆交BC于F，求证：EF是⊙O1和⊙O2的一条外公切线23、已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，作以AC为直径的圆O1，和以CD为弦的圆O2，求证：点A到圆O2的切线长和AC相等（AT=AC）24、已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，E为ACD的中点，连ED并延长交CB的延长线于F，求证：DF：CF=BC：AC25、如图，⊙O1与⊙O2外切与点D，内公切线DO交外公切线EF于点O，求证：OD是两圆半径的比例中项。

题14解答：因为CD^2=AD·DBAC^2=AD·ABBC^2=BD·AB所以1/AC^2+1/BC^2=1/（AD·AB）+1/（BD·AB）=（AD+DB）/（AD·BD·AB）=AB/AD·BD·AB=1/AD·BD=1/CD^215题解答：因为M为AB的中点，所以AM=MB，AD-DB=AM+DM-(MB-DM)=2DMAC^2-BC^2=AD*AB-DB*AB=(AD-DB)AB=2DM*AB26、（在19题基础上增加一条平行线）已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，AE平分∠BAC交BC于E、交CD于F，FG‖AB交BC于点G，求证：CE=BG27、（在19题基础上增加一条平行线）已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，AE平分∠BAC交BC于E、交CD于F，FG‖BC交AB于点G，连结EG，求证：四边形CEGF是菱形28、（对19题增加一个结论）已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，AE平分∠BAC交BC于E、交CD于F，求证：CE=CF29、（在23题中去掉一个圆）已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，作以AC为直径的圆O1，求证：过点D的圆O1的切线平分BC30、（在19题中增加一个圆）已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，AE平分∠BAC交BC于E，交CD于F，求证：⊙CED平分线段AF31、（在题1中增加一个条件）已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，∠A=30度，求证：BD=AB/4（沪科版八年级数学第117页第3题）32、（在18题基础上增加一条直线）已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，作∠BCE=∠BCDP为AC上任意一点，直线PQ交CD于Q，交CB于M，交CE于N求证：PQ/PN=QM/MN32题证明：作NS‖CD交直线AC与点S，则PQ/PN=CQ/SN又∠BCE=∠BCD∴QM/MN=CQ/CN（三角形内角平分线性质定理）∠BCE+∠NCS=∠BCD +∠ACDNS‖CD，∴∠NSC=∠ACD∴∠NSC=∠NCS∴SN=CN∴PQ/PN=QM/MN题33在“题一中”，延长CB到E，使EB=CB，连结AE、DE，求证：DE·AB= AE·BE题33证明CB^2= BD·AB因EB=CB∴EB^2= BD·AB∴EB：BD=AB：BE又∠EBD=∠ABE∴△EBD∽△ABE∴EB：AB=DE：AE∴DE·AB= AE·BE题34（在19题基础上增加一条垂线）已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，AE平分CD于F，EG⊥AB交AB于点G，求证：EG^2= BE·EC证明：延长AC、GE，设交点为H，∴△EBG∽△EHC∴EB：EH=EG：EC∴EH·EG= BE·EC又HG‖CD，CF=FD∴EH=EG∴EG^2= BE·EC题35（在题19中增加点F）已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，AE平分∠BCA交BC于点E，交CD于F，求证：2CF·FD = AF·EF题36、（在题16中，减弱条件，删除∠ACB=90度这个条件）已知，△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，求证：CE/BC=CF/AC题37（在题17中，删除∠ACB=90度和CD⊥AB，D为垂足这两个条件，增加D是AB上一点，满足∠ACD=∠ABC）已知，△ABC中，D是AB上一点，满足∠ACD=∠ABC，又CE平分∠BCD求证：AE^2= AD·AB题38已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，PC为⊙ABC的切线求证：P A/AD=PB/BD题39（在题19中点E“该为E为BC上任意一点”）已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，E为BC上任意一点，连结AE，CF⊥AE，F为垂足，连结DF，求证：△ADF∽△AEB题40：已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足求证：S⊙ADC：S⊙BDC=AD：DB题41已知，如图，△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，且AD/CD=CD/BD，求∠ACB的度数。