湖北省武汉市部分重点中学(武汉开发区一中等联合体)2019-2020学年高一下学期期中考试答案
【数学】湖北省武汉市三校联合体2019-2020学年高一下学期期中考试试题
参考答案一、 选择题1-12、ACBCA DBDDC C A二、填空题：13．锐角；14. 13-6√2；15. 5,162,2n n n =⎧⎨-≥⎩；16.3 三、解答题:17.解：解：设(,)c x y =，则cos ,cos ,,a c b c <>=<>得22221x y x y x y +=+⎧⎨+=⎩，………………………………………4分即22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或22x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩2(,22c=或(22-- ………………………………………10分18．解：(1)(方法一)由题设知，2sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B .因为sin B ≠0，所以cos A ＝12. 由于0<A <π，故A ＝π3. ………………………………………6分 (方法二)由题设可知，2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc.于是b 2＋c 2－a 2＝bc . 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12. 由于0<A <π，故A ＝π3. ………………………………………6分 (2)(方法一)因为AD 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋AC →22＝14(AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →) ＝14(1＋4＋2×1×2×cos π3)＝74， 所以|AD →|＝72.从而AD ＝72. ………………………………………12分 (方法二)因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋1－2×2×112＝3，所以a 2＋c 2＝b 2，B ＝π2.因为BD ＝32，AB ＝1， 所以AD ＝1＋34＝72. ………………………………………12分 19．（1）设数列{}n a 的公差为d ，依题意，2，2d +，24d +成等比数列，故有2(2)2(24)d d +=+，化简得240d d -=，解得0d =或d =4.当0d =时，2n a =；当d =4时，2(1)442n a n n =+-⋅=-， ∴数列{}n a 的通项公式为2n a =或42n a n =-……………………………………6分.（2）当2n a =时，2n S n =. 显然260800n n <+，此时不存在正整数n ，使得60800n S n >+成立.当42n a n =-时，2[2(42)]22n n n S n +-==. 令2260800n n >+，即2304000n n -->，解得40n >或10n <-（舍去），此时存在正整数n ，使得60800n S n >+成立，n 的最小值为41.综上，当2n a =时，不存在满足题意的n ；当42n a n =-时，存在满足题意的n ，其最小值为41. ………………………………………12分.20．解：（1）因为221+=+n n n a a a ，所以21111+=+n n a a ，即21111=-+n n a a . 所以}1{na 是以111=a 为首项，21为公差的等差数列. ………………………………………6分所以21)1(11⨯-+=n a n ，即12+=n a n . （2 ）由（1）得21)1(11⨯-+=n a n ，即12+=n a n . )2111(422121+-+=+⨯+==+n n n n a a b n n n ， 所以数列{n b }前n 项和)]2111()4131()3121[(4+-+++-+-=n n T n 22)2121(4+=+-=n n n . ………………………………………12分 21.解： (1)由0sin )()sin )(sin (=-++-B a b C A c a 及正弦定理，得0)())((=-+-+a b b c a c a ，化简，得ab c b a =-+222. 由余弦定理，得212cos 222=-+=ab c b a C . 因为π<<C 0，所以3π=C . ………………………………4分（2）因为C C B A sin )2sin(2sin 2=++，所以)sin()sin(cos sin 4B A B A A A +=-+， 所以B A B A B A B A A A sin cos cos sin sin cos cos sin cos sin 4+=-+， 即B A A A sin cos cos sin 2=，所以0cos =A ，或B A sin sin 2=. （ⅰ）当0cos =A 时，ABC ∆为直角三角形，2π=A ，6π=B ，3π=C . 由2=c 得，332=b ，所以33221==∆bc S ABC （ⅱ）当B A sin sin 2=时，a b 2=，此时22223a ab b a c =-+=. 因为2=c ，所以342=a ，所以332sin 21==∆C ab S ABC . 所以，ABC ∆的面积为332. ………………………………12分 22. （1）∵a n+12﹣a n+1a n ﹣2a n 2＝0，∴（a n+1+a n ）（a n+1﹣2a n ）＝0，∵数列{a n }的各项均为正数，∴a n+1+a n ＞0，∴a n+1﹣2a n ＝0，即a n+1＝2a n ，所以数列{a n }是以2为公比的等比数列． ∵a 3+2是a 2，a 4的等差中项，∴a 2+a 4＝2a 3+4，∴2a 1+8a 1＝8a 1+4，∴a 1＝2，∴数列{a n }的通项公式a n ＝2n ．......................................4分（2）由（1）及b n ＝12log n n a a ，得，b n ＝﹣n•2n ，∵S n ＝b 1+b 2++b n ， ∴S n ＝﹣2﹣2•22﹣3•23﹣4•24﹣﹣n•2n ①∴2S n ＝﹣22﹣2•23﹣3•24﹣4•25﹣﹣（n ﹣1）•2n ﹣n•2n+1②①﹣②得，S n ＝2+22+23+24+25++2n ﹣n•2n+1＝， 要使S n +n•2n+1＞50成立，只需2n+1﹣2＞50成立，即2n+1＞52， ∴使S n +n•2n+1＞50成立的正整数n 的最小值为5．......................................12分。
湖北省武汉市部分重点中学2019-2020学年高一上学期期末考试化学试卷(PDF版,无答案)
青菌素。青菌素的提取过程不包含的操作是
A.过滤
B.萃取
C.蒸锢
D.灼烧
4. 化学试剂不变质和实验方法科学是化学实验成功的保障． 下列试剂保存方法或实验方
法中，不正确的是 A.做实验剩余的金属铀不得直接丢弃在废液缸中。 B. 液澳易挥发，在存放液澳的试剂瓶中应加水封。 C.保存FeCh溶液时，通常在溶液中加少量的单质铁。
ζ 囚斗丑
请回答下列问题：
Cl）物质A的化学式为
(2）化合物E溶于水中的电离方程式为
(3）实验室将物质C通常保存在 中， 请写出反应①的离子方程式， 并用单线桥
标出电子转移的方向和数目
(4） 反应②的化学方程式为
(5） 有两个分别装有H和I固体的试剂瓶， 因标签脱落而无法区分。 若让你鉴别它
们， 下列试剂或方法中可选用的有
2、分类是化学学习和研究的常用手段，下列关于物质分类的正确组合是
酸
碱
盐
氧化物
A
E剧0 3
B
HCl
C
H2 S0 4
D
H3P0 4
NaOH CaO
Ba(OH)2 KOH
NaCl Na2 C0 3
CO 2 Al(OH)3
H2 0 NH3 Na2 0 2 BaS0 4
3.屠哟哟受“青高一握， 以水二升渍，绞取汁”启发，改用乙酶从青蔷中提取出抗症药物
(2) MgC』（aq)一一Z主一:lx一1L →Mg(OH)2(s）一旦皿h旦→MgO (s)
司， 高温
SiOt
C3) CaCα→cao casi也
(4)
、NaOH（叫）
Al（町
’NaAIOiav、过最HC1(呻 ： •Al(OH)l斗
湖北省武汉市部分重点中学2019-2020学年高一上学期期末物理试卷 (含解析)
湖北省武汉市部分重点中学2019-2020学年高一上学期期末物理试卷一、单选题（本大题共8小题，共32.0分）1.下列说法正确的是()A. 转动着的物体是不可以看成质点的B. 出租车是按路程来计费的C. 欧洲杯于北京时间2012年6月9日00∶00开幕，是指时间间隔D. 高速公路路牌上标示“上海100km”，表示该处到上海的位移为100km2.下列说法中正确的是()A. 矢量的大小通常叫做标量B. 位移的大小通常叫做路程C. 平均速度的大小通常叫做平均速率D. 瞬时速度的大小通常叫做速率3.以下说法正确的是()A. 形状规则的物体的重心在它的几何中心上B. 一本书静止放在水平桌面上，则书对桌面的压力就是书的重力C. 挂在电线下面的电灯受到向上的拉力，这是因为电线发生微小的形变而产生的D. 接触面一定，摩擦力与正压力成正比4.某人站在一静止的台秤上，当他猛地下蹲的过程中，若不考虑台秤的惯性，则台秤的示数()A. 先变大后变小，最后等于他的重力B. 变大，最后等于他的重力C. 先变小，后变大，最后等于他的重力D. 变小，最后等于他的重力5.下列四种情况中，三个大小相等、方向不同的力F同时作用于同一点O，其中合力最小的是()A. B. C. D.6.在如图所示装置中，两物体质量分别为m1、m2，悬点a、b间的距离远大于滑轮的直径，不计绳重及一切摩擦，整个装置处于静止状态。
由图可知()A. α可能大于βB. m1一定大于m2C. m1一定小于2m2 D. m1可能大于2m27.如图所示，一个质量为m=2kg的物体，放在倾角为θ=30°的斜面上静止不动，若用竖直向上的力F=10N提物体，物体仍静止(取g=10m/s2)，与未施加力F时比较，下述结论正确的是()A. 物体受到的摩擦力减小B. 物体受到的合外力减小C. 物体对斜面的压力不变D. 物体对斜面的压力减小10N8.如图所示，用平行于光滑斜面的力F拉着小车向上做匀速直线运动。
2019-2020学年湖北省武汉市三校联合体高一(下)期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年湖北省武汉市三校联合体高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知，，，且，则A. 9B.C. 1D.2.若，，和的夹角为，则在方向上的投影为A. 2B.C.D. 43.在中，，，，则A. B. C. D. 14.在各项都为正数的等比数列中，首项，前三项和为21，则A. 33B. 72C. 84D. 1895.在中，，，，则k的值是A. 5B.C.D.6.的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，若，则角B的大小为A. B. C. D.7.下列命题正确的是A. 若，则B. ，则C. 若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量D. 若与是单位向量，则8.如图，在中，P为线段AB上的一点，，且，则A. ，B. ，C. ，D. ，9.已知中，，，，则的面积为A. B. C. D.10.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈匹尺，一丈尺，问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为A. 尺B. 尺C. 尺D.尺11.一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西，另一灯塔在船的南偏西，则这艘船的速度是每小时A. 5海里B. 海里C. 10海里D. 海里12.已知函数，则A. 2018B. 2019C. 4036D. 4038二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在中，若，且，则为______三角形．14.若向量、满足，，且与的夹角为，则______．15.数列的前n项的和，则此数列的通项公式______．16.已知平面上不重合的四点P，A，B，C满足且，那么实数m的值为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.求与向量，夹角相等的单位向量的坐标．18.设的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有．求角A的大小；若，，D为BC的中点，求AD的长．19.已知等差数列满足：，且，，成等比数列．求数列的通项公式；记为数列的前n项和，是否存在正整数n，使得？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．20.已知数列满足，．求证数列为等差数列；设，求数列的前n项和．21.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．求C；若，，求的面积．22.已知各项均为正数的数列满足，且是，的等差中项．求数列的通项公式；若，，求成立的正整数n的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：向量，，解得．故选：A．利用向量共线定理即可得出．本题考查了向量共线定理，属于基础题．2.答案：C解析：解：由题意，可知向量在方向上的投影为．故选：C．本题根据向量在方向上的投影公式为，然后代入进行向量的计算可得正确选项．本题主要考查利用向量求投影的问题．考查了转化思想，定义法，向量的运算，以及逻辑思维能力和数学运算能力．本题属基础题．3.答案：B解析：【分析】由正弦定理列出关系式，此题考查了正弦定理，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．将a，b及sin A的值代入即可求出sin B的值．【解答】解：，，，由正弦定理得：．故选B．4.答案：C解析：【分析】本题主要考查了等比数列的性质．要理解和记忆好等比数列的通项公式，并能熟练灵活的应用．根据等比数列中，首项，前三项和为21，可求得q，根据等比数列的通项公式，得，整体代入即可得到答案．【解答】解：在各项都为正数的等比数列中，首项，前三项和为21故，，故选：C．根据等比数列中，首项，前三项和为21，可求得q，根据等比数列的通项公式，分别求得，和代入，即可得到答案．5.答案：A解析：解：中，，，，，求得，故选：A．由题意利用两个向量的数量积公式、两个向量垂直的性质，求出k的值．本题主要考查两个向量的数量积公式、两个向量垂直的性质，属于基础题．6.答案：B解析：解：在中，由正弦定理，可得：，，，，可得：，整理可得：，由余弦定理可得：，，．故选：B．利用正弦定理化简已知可得，由余弦定理可得，结合范围，即可解得B的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．7.答案：B解析：解：当时，成立，而的大小和方向都是不确定的，故A不正确．由可得，，故B正确．当时，与是共线向量，与是共线向量，但与的大小和方向都是不确定的，故C不正确．若与是单位向量，则，故D不正确．故选B．当时，可得A、C不正确，把平方可得，得到B正确，根据，可得D不正确．本题考查两个向量共线的定义和性质，两个向量的数量积的定义，注意零向量的情况，这是解题的易错点．8.答案：D解析：解：，，化为，又，，．故选：D．由，利用向量三角形法则可得，化为，又，利用平面向量基本定理即可得出．本题考查了向量三角形法则、平面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.答案：D解析：解：由余弦定理，，解得，或舍去，，故选：D．根据余弦定理和三角形的面积公式即可求出．本题主要考查余弦定理的应用，考查学生对公式的应用，属于基础题．10.答案：C解析：【分析】本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：由题意可得：每天织布的量组成了等差数列，尺，尺，设公差为尺，则，解得．故选：C．11.答案：C解析：解：如图，依题意有，，所以，从而，在直角三角形ABC中，得，于是这艘船的速度是海里小时．故选C．如图，依题意有，，所以，从而，在直角三角形ABC中，得，由此能求出这艘船的速度．本题考查三角形知识的实际运用，解题时要注意数形结合思想的灵活运用．12.答案：A解析：解：根据题意，函数，则，则，．故选：A．根据题意，求出的解析式，进而可得，又由，分析可得答案．本题考查函数值的计算，注意分析的值，属于基础题．13.答案：锐角解析：解：，，为锐角．，为最大角．为锐角三角形．故答案为：锐角．利用余弦定理即可得出．本题考查了余弦定理的应用，属于基础题．14.答案：解析：解：，，且与的夹角为，，．故答案为：．根据条件可求出，然后进行数量积的运算即可求出的值．本题考查了向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题．15.答案：解析：解：当时，，当时，，故数列的通项公式为，故答案为．首先根据求出的值，然后根据求出当时数列的递推关系式，最后计算是否满足该关系式．本题主要考查数列递推式的知识点，解答本题的关键是利用求出数列的通项公式，此题难度一般．16.答案：3解析：解：由题意，根据向量的减法有：，，，；，，，．故答案为3利用向量基本定理结合向量的减法，代入化简，即可得到结论．本题考查平面向量的基本定理及其意义、向量数乘的运算及其几何意义等基础知识，属于基础题．17.答案：解：设，则分或分，分解析：设，则可得，解方程可求本题主要考查了向量数量积性质的坐标表示的应用，解题的关键是熟练应用公式18.答案：解：；，，为BC的中点，．解析：根据，可得，从而可得，由此可求求角A的大小；利用，，，可求a的值，进而可求，利用D为BC的中点，可求AD的长．本题考查余弦定理的运用，考查三角函数知识，解题的关键是确定三角形中的边与角．19.答案：解：设等差数列的公差为d，，且、、成等比数列．，即，解得或4．，或．当时，，不存在正整数n，使得．当时，，假设存在正整数n，使得，即，化为，解得，或，的最小值为41．解析：本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；利用等差数列的前n项和公式可得，再利用一元二次不等式的解法即可得出．20.答案：解：数列满足，整理得，故常数，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列．由于数列是以1为首项，为公差的等差数列．所以，故所以，则：．解析：首先利用数列的递推关系式的应用求出数列为等差数列．利用的结论，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．21.答案：解：中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．利用正弦定理得：，整理得：，即，由于，所以：．由于，整理得，化简得：，所以，由于，所以．故或，解得或，当时，由于，所以，且，则利用勾股定理设，，故：，解得，所以．当时，，所以．同理解得．所以．综上所述：．解析：直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理及余弦定理的应用求出C的值．利用三角函数关系式的恒等变换和分类讨论思想的应用求出三角形的角和边，进一步求出三角形的面积．本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．22.答案：解：Ⅰ，，数列的各项均为正数，，，即，所以数列是以2为公比的等比数列．是，的等差中项，，，，数列的通项公式．Ⅱ由Ⅰ及得，，，----得，，要使成立，只需成立，即，使成立的正整数n的最小值为5．解析：Ⅰ根据数列是一个各项均为正数的数列满足，把这个式子分解，变为两个因式乘积的形式，，注意数列是一个正项数列，得到，得到数列是一个等比数列，写出通项．Ⅱ本题构造了一个新数列，要求新数列的和，注意观察数列是有一个等差数列和一个等比数列乘积组成，需要用错位相减来求和，两边同乘以2，得到结果后观察成立的正整数n 的最小值．数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位．高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏．。
2019-2020学年湖北省武汉市（第一中学、第三中学等六校）高一上学期期末联考数学试题（解析版）
2019-2020学年湖北省武汉市(第一中学、第三中学等六校)高一上学期期末联考数学试题一、单选题1.cos210=()A.-B.巨C.一旦D.玉2222【答案】D【解析】根据诱导公式进行化简，从而得到答案.【详解】cos210°=cos(180°+30°)=-cos30°=-季.故选：D.本题考查诱导公式，特殊角三角函数值，属于简单题.32.已知函数f(x)=e x-x~-=2.71828■•-是自然对数的底数)当x>0时有唯一的零点，则该零点所在的区间是()A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,e)【答案】B【解析】分别计算/'(0)和/'(1)的值，并判断正负，根据零点存在定理，得到答案.【详解】3因为f(x)=/-x乙331所以/(0)=e°-0--=l-0--=--<0,35/■(])的图像为连续的曲线，所以可得该零点所在区间为(0,1).故选：B.本题考查根据零点存在定理求函数零点所在区间，属于简单题.3.一个扇形的弧长为6,面积为6,则这个扇形的圆心角是()A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】根据扇形的弧长公式和扇形的面积公式，列出方程组,【详解】设扇形所在圆的半径为广，由扇形的弧长为6,面积为6,可得〈I=ar=61t,解得a—3，即扇形的圆心角为3rad. S=—ar-=62故选C.本题主要考查了扇形的弧长公式，以及扇形的面积公式的应用,即可求解，得到答案.其中解答中熟练应用扇形的弧长公式和扇形的面积公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力,属于基础题.4.用二分法求函数/(x)=x3+.V-2x-2的一个正零点的近似值(精确度为0.1)时,依次计算得到如下数据：/(1)=-2,fdl.5)=0.625,f(l.25)-0.984,f(l.375)0.260,关于下一步的说法正确的是()A.已经达到精确度的要求,可以取1.4作为近似值B.已经达到精确度的要求,可以取1.375作为近似值C.没有达到精确度的要求,应该接着计算/(1.4375)D.没有达到精确度的要求,应该接着计算/(1.3125)【答案】C【解析】根据已知能的特殊函数值，可以确定方程x3+x2-2x-2=0的根分布区间,然后根据精确要求选出正确答案.【详解】由由二分法知，方程x3+x2-2x-2=0的根在区间区间(1.375, 1.5),没有达到精确度的要求，应该接着计算/(1.4375).故选C.本题考查了二分法的应用，掌握二分法的步骤是解题的关键.5.若tan f0——4,—,则tan2(9-()7 A.——25【答案】C7C.-----24D.724【解析】由两角差的正切求得tan9=7,再利用二倍角公式求解即可【详解】因为tan ］。
湖北省武汉市五校联合体2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
湖北省武汉市五校联合体2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合M={y|1<y≤6}，集合N={x|x2−2x−3≤0,x∈N∗}，集合P=M⋂N，则P的非空子集共有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2.设则f(g(π))=()A. 3B. 4C. 6D. 83.设α∈(0,π2)，sinα=√63，则tanα等于()A. 12B. √22C. √2D. 24.当a>1时，函数y=log a x和y=(1−a)x的图象只可能是()A. B.C. D.5.已知α角的终边经过点P(−6,y)，且，则y的值为()A. B. 52C. −52D. ±526.已知f(x)=√1+x，当π4<θ<π2时，f(sin2θ)−f[sin(−2θ)]的值为()A. 2sinθB. 2cosθC. −2sinθD. −2cosθ7.甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20m高的旗杆，甲观测的仰角为50°，乙观测的仰角为40°，用d1，d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离，那么有()A. d1>d2B. d1<d2C. d1>20mD. d2<20m8. 已知偶函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减，且a =f(−1)，b =f(log 24)，则实数a ，b 的大小关系时( )A. a <bB. a =bC. a >bD. 不能比较9. 已知函数f(x)=x 2−ax +1 在(1,3)有零点，则a 的取值范围为( )A. (2,+∞)B. [2,+∞)C. [2,52)D. (2,103) 10. 设函数f(x)=cos(x +π3)，则下列结论错误的是( )A. f(x)的一个周期为−2πB. y =f(x)的图象关于直线x =8π3对称C. f(x +π)的一个零点为x =π6D. f(x)在(π2,π)单调递减11. 若函数f(x)=log 3(x 2+ax +a +5)，f(x)在区间(−∞,1)上是递减函数，则实数a 的取值范围为( ) A. [−3,−2] B. [−3,−2)C. (−∞,−2]D. (−∞,−2) 12. 函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象如图所示，则f(π)=( )A. √3B. −√3C. 1D. −1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设函数y =f(x +2)是奇函数，且x ∈(0,2)时，f(x)=2x ，则f(3.5)= ______ ．14. 记函数f(x)=3sin(2x −π3)的图像为C ，则下列结论中正确的是____(写出所有正确结论的序号)．①图像C 关于直线x =11π12对称;②图像C 关于点(2π3,0)对称;③函数f(x)在区间(−π12,5π12)上是增函数;④由y =3sin 2x 的图像向右平移π3个单位长度后可以得到图像C ．15. 已知数列{a n }的前4项为11，102，1003，10004，…，则它的一个通项公式为______ ．16.函数f(x)={1, x>0 0, x=0−1, x<0,g(x)=x2f(x−1)，则函数g(x)的零点个数为．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设全集U=R，集合A={x|−1≤x<3}，B={x|2x−4≥x−2}．(1)求A∩B；(2)(∁U B)∪A．18.已知函数f(x)=4cosωx⋅sin(ωx+π6)+a(ω>0)图像上最高点的纵坐标为2，且图像上相邻两个最高点的距离为π。
2019-2020学年湖北省武汉市五校联合体高一(上)期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年高一（上）期末数学试卷一、选择题（共12小题）. 1．已知M ＝{x |x 2﹣x ≤0}，N ＝{x |x−1x≤0}，则集合M 、N 之间的关系为（ ）A ．M ∩N ＝∅B ．M ＝NC ．N ⫋MD ．M ⫋N2．设f （x ）={1，x ＞00，x =0−1，x ＜0，g （x ）={1，x 为有理数0，x 为无理数，则f （g （π））的值为（ ）A ．1B ．0C ．﹣1D ．π3．已知α∈[π4，π2]，sin2α=√55，则tan2α＝（ ）A ．﹣2B ．2C ．12D ．−124．已知lga +lgb ＝0（a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1），则函数f （x ）＝a ﹣x 与函数g （x ）＝log b x 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知角α的终边过点P （﹣8m ，﹣6sin30°），且cos α=−45，则m 的值为（ ） A ．−12B ．12C ．−√32D ．√326．化简√1−2sin(π−2)cos(π+2)的结果是（ ） A ．sin2+cos2B ．sin2﹣cos2C ．cos2﹣sin2D ．﹣sin2﹣cos27．设地球表面某地正午太阳高度角为θ，ξ为此时太阳直射纬度，φ为该地的纬度值，则有θ＝90°﹣|φ﹣ξ|．根据地理知识，武汉地区的纬度值约为北纬30°，当太阳直射南回归线（此时的太阳直射纬度为﹣23°26'）时物体的影子最长，如果在武汉某高度为h 0的楼房北边盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡（如图所示），两楼的距离应至少约为h 0的（ ）倍？（注意tan36°34′＝0.75）A ．0.5倍B ．0.8倍C ．1倍D ．1.4倍8．定义在R 上的偶函数f （x ）在（﹣∞，0]上单调递减，若a ＝f （log 216），b ＝f （log 24.9），c ＝f （20.8），则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c ＜b ＜a B ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜b9．若函数f （x ）＝2x −120x 2（x ＜0）的零点为x 0，且x 0∈（a ，a +1），a ∈Z ，则a 的值为（ ） A ．﹣1B ．﹣2C ．﹣3D ．﹣410．给出下列函数：①y ＝cos|2x |，②y ＝cos|x |，③y ＝sin （2x +π2），④y ＝tan|x |，其中周期为π的所有偶函数为（ ） A ．①②B ．①②③C ．②④D ．①③11．若y ＝log 0.5（3x 2+ax +5）在（﹣1，+∞）上单调递减，则a 的取值范围是（ ） A ．[6，8）B ．[6，8]C ．[6，+∞）D ．[23，475）12．已知函数f （x ）＝2cos （ωx +φ）+1（ω＞0，|φ|＜π2），其图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为2π3，若f （x ）＞1对∀x ∈（−π12，π6）恒成立，则φ的取值范围是（ ）A ．[−π6，π6]B ．[−π4，0]C ．（−π3，−π12]D ．[0，π4]二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若y ＝f （x ）在x ∈[0，+∞）上的表达式为y ＝x （1﹣x ），且f （x ）为奇函数，则x ∈（﹣∞，0]时，f （x ）等于 ．14．函数f （x ）＝3sin （2x −π3）的图象为C ，如下结论中正确的是 ①图象C 关于直线x =1112π对称； ②图象C 关于点（2π3，0）对称；③函数即f （x ）在区间（−π12，5π12）内是增函数；④由y ＝3sin2x 的图角向右平移π3个单位长度可以得到图象C ．15．当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减．按照惯例，人们将每克组织的碳14含量作为一个单位大约每经过5730年，一个单位的碳14衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了．如果用一般的放射性探测器不能测到碳14，那么死亡生物组织内的碳14至少经过了 个“半衰期”．【提示：12=0.00195】16．设函数f(x)={|log 2x|，x ＞0，2x，x ≤0，则函数g （x ）＝3f 2（x ）﹣8f （x ）+4的零点个数是 ． 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |﹣x 2+2x +15≤0}，B ＝{x ||x ﹣5|＜1}，求A ∪B ，（∁R A ）∩B ．18．函数f （x ）＝A sin （ωx −π6）+1（A ＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，（Ⅰ）求函数f （x ）的解析式和当x ∈[0，π]时f （x ）的单调减区间； （Ⅱ）f （x ）的图象向右平行移动π12个长度单位，再向下平移1个长度单位，得到g （x ）的图象，用“五点法”作出g （x ）在[0，π]内的大致图象．19．已知定义域为R 的函数f(x)=2x2x +a−12是奇函数．（1）求实数a 的值；（2）判断函数f （x ）的单调性，并用定义加以证明；（3）若对任意的x ∈[1，2]，不等式f （x 2﹣mx ）+f （x 2+4）＞0成立，求实数m 的取值范围．20．一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O 距离水面1米；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时（图中点P 0）开始计算时间． （1）以水轮所在平面与水面的交线为x 轴，以过点O 且与水面垂直的直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P 距离水面的高度h （单位：米）表示为时间t （单位：秒）的函数；（2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P 距水面的高度超过2米？21．已知定义域在（0，+∞）上的函数f （x ）满足对于任意的x ，y ∈（0，+∞），都有f （xy ）＝f （x ）+f （y ），当且仅当x ＞1时，f （x ）＜0成立． （1）设x ，y ∈（0，+∞），求证f （yx ）＝f （y ）﹣f （x ）；（2）设x 1，x 2∈（0，+∞），若f （x 1）＜f （x 2），试比较x 1与x 2的大小； （3）若﹣1＜a ＜3，解关于x 的不等式f [x 2﹣（a +1）x +a +1]＞0． 22．已知函数f （x ）＝ax 2﹣2x +1．（Ⅰ）若f （x ）的值域为[0，+∞），求a 的值；（Ⅱ）已知a ≤12，是否存在这祥的实数a ，使函数y =f(x)−log 2x4在区间[1，2]内有且只有一个零点．若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1．已知M ＝{x |x 2﹣x ≤0}，N ＝{x |x−1x≤0}，则集合M 、N 之间的关系为（ ）A ．M ∩N ＝∅B ．M ＝NC ．N ⫋MD ．M ⫋N【分析】可以求出集合M ，N ，然后即可判断集合M ，N 的关系． 解：∵M ＝{x |0≤x ≤1}，N ＝{x |0＜x ≤1}， ∴M ∩N ＝N ，N ⫋M ． 故选：C ．2．设f （x ）={1，x ＞00，x =0−1，x ＜0，g （x ）={1，x 为有理数0，x 为无理数，则f （g （π））的值为（ ）A ．1B ．0C ．﹣1D ．π【分析】根据π是无理数可求出g （π）的值，然后根据分段函数f （x ）的解析式可求出f （g （π））的值． 解：∵π是无理数 ∴g （π）＝0则f （g （π））＝f （0）＝0 故选：B ．3．已知α∈[π4，π2]，sin2α=√55，则tan2α＝（ ）A ．﹣2B ．2C ．12D ．−12【分析】由已知求得cos2α，再由商的关系求解tan2α． 解：∵α∈[π4，π2，∴2α∈[π2，π]，又sin2α=√55，∴cos2α=−√1−sin 22α=−√1−15=−2√55．∴tan2α=sin2αcos2α=√55−2√55=−12．故选：D．4．已知lga+lgb＝0（a＞0且a≠1，b＞0且b≠1），则函数f（x）＝a﹣x与函数g（x）＝log b x的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】分析可知，1a=b，再由指数函数及对数函数的性质即可得解．解：由lga+lgb＝0可知，1a=b，故f（x）＝a﹣x＝b x，故函数函数f（x）＝a﹣x与函数g（x）＝log b x的单调性相同，故选：B．5．已知角α的终边过点P（﹣8m，﹣6sin30°），且cosα=−45，则m的值为（）A．−12B．12C．−√32D．√32【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求出m的值．解：由题意可得x＝﹣8m，y＝﹣6sin30°＝﹣3，r＝|OP|=√64m2+9，cosα=x r =−8m√64m+9=−45，解得m=1 2，故选：B．6．化简√1−2sin(π−2)cos(π+2)的结果是（）A．sin2+cos2B．sin2﹣cos2C．cos2﹣sin2D．﹣sin2﹣cos2【分析】利用诱导公式变形，化为两数和的平方，开方得答案．解：√1−2sin(π−2)cos(π+2)=√1−2sin2⋅(−cos2)√sin22+2sin2⋅cos2+cos22=√(sin2+cos2)2＝|sin2+cos2|＝sin2+cos2．故选：A．7．设地球表面某地正午太阳高度角为θ，ξ为此时太阳直射纬度，φ为该地的纬度值，则有θ＝90°﹣|φ﹣ξ|．根据地理知识，武汉地区的纬度值约为北纬30°，当太阳直射南回归线（此时的太阳直射纬度为﹣23°26'）时物体的影子最长，如果在武汉某高度为h0的楼房北边盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡（如图所示），两楼的距离应至少约为h0的（）倍？（注意tan36°34′＝0.75）A．0.5倍B．0.8倍C．1倍D．1.4倍【分析】θ＝90°﹣|φ﹣ξ|＝90°﹣|30°﹣（﹣23°26'）|＝36°34′，可得ℎ0影长=tan36°34′，进而得出．解：θ＝90°﹣|φ﹣ξ|＝90°﹣|30°﹣（﹣23°26'）|＝36°34′，∴ℎ0影长=tan36°34′＝0.75，∴影长=43h0≈1.4h0．∴两楼的距离应至少约为h0的1.4倍．故选：D．8．定义在R上的偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，若a＝f（log216），b＝f（log24.9），c＝f（20.8），则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜a＜b 【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．解：因为偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，故f（x）在[0，+∞）上单调递增，∵a＝f（log216）＝f（log26），b＝f（log24.9），c＝f（20.8），又log26＞log24.9＞2＞20.8＞1，则a＞b＞c．故选：A．9．若函数f（x）＝2x−120x2（x＜0）的零点为x0，且x0∈（a，a+1），a∈Z，则a的值为（）A ．﹣1B ．﹣2C ．﹣3D ．﹣4【分析】函数零点左右两边函数值的符号相反，根据函数在一个区间上两个端点的函数值的符号确定是否存在零点． 解：由f （﹣1）=12−120＞0，f（0）＝1＞0，f （﹣2）=14−15＞0，f （﹣3）=18−920＜0， 及零点存在定理知f （x ）的零点在区间（﹣3，﹣2）上， ∴零点所在的一个区间是（a ，a +1）＝（﹣3，2） ∴a ＝﹣3， 故选：C ．10．给出下列函数：①y ＝cos|2x |，②y ＝cos|x |，③y ＝sin （2x +π2），④y ＝tan|x |，其中周期为π的所有偶函数为（ ） A ．①②B ．①②③C ．②④D ．①③【分析】根据三角函数的诱导公式，结合三角函数的周期公式进行求解判断即可． 解：：①y ＝cos|2x |＝cos2x ，是偶函数，周期T =2π2=π，满足条件 ②y ＝cos|x |＝cos x ，是偶函数，周期T ＝2π，不满足条件 ③y ＝sin （2x +π2）＝cos2x ，是偶函数，周期T =2π2=π，满足条件 ④y ＝tan|x |是偶函数，但不是周期函数，不满足条件． 故选：D ．11．若y ＝log 0.5（3x 2+ax +5）在（﹣1，+∞）上单调递减，则a 的取值范围是（ ） A ．[6，8）B ．[6，8]C ．[6，+∞）D ．[23，475）【分析】由外层函数对数函数为减函数，可知要使复合函数在（﹣1，+∞）上单调递减，只需内层函数t ＝3x 2+ax +5在（﹣1，+∞）上单调递增且恒大于0即可． 解：令t ＝3x 2+ax +5，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x =−a6， 外层函数y ＝log 0.5t 是定义域内的减函数，∴要使y ＝log 0.5（3x 2+ax +5）在（﹣1，+∞）上单调递减， 则{−a6≤−13×(−1)2−a +5≥0，解得6≤a ≤8．∴a 的取值范围是[6，8]． 故选：B ．12．已知函数f （x ）＝2cos （ωx +φ）+1（ω＞0，|φ|＜π2），其图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为2π3，若f （x ）＞1对∀x ∈（−π12，π6）恒成立，则φ的取值范围是（ ）A ．[−π6，π6]B ．[−π4，0]C ．（−π3，−π12]D ．[0，π4]【分析】由函数图象和题意可得ω＝3，进而可得关于φ的不等式组，解不等式组结合选项可得．解：由题意可得函数f （x ）＝2cos （ωx +φ）+1的最大值为3， ∵f （x ）图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为2π3，∴f （x ）的周期T =2π3，∴2πω=2π3，解得ω＝3， ∴f （x ）＝2cos （3x +φ）+1，∵f （x ）＞1对∀x ∈（−π12，π6）恒成立，∴2cos （3x +φ）+1＞1即cos （3x +φ）＞0对∀x ∈（−π12，π6）恒成立，∴−π4+φ≥2k π−π2且π2+φ≤2k π+π2，解得φ≥2k π−π4且φ≤2k π，即2k π−π4≤φ≤2k π，k ∈Z ． 结合选项可得当k ＝0时，φ的取值范围为[−π4，0]， 故选：B ．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若y ＝f （x ）在x ∈[0，+∞）上的表达式为y ＝x （1﹣x ），且f （x ）为奇函数，则x ∈（﹣∞，0]时，f （x ）等于 x （1+x ） ．【分析】先设x ≤0，则﹣x ≥0，根据x ≥0时，y ＝f （x ）＝x （1﹣x ），代入即可求解． 解：设x ≤0，则﹣x ≥0，因为x ≥0时，y ＝f （x ）＝x （1﹣x ）， 所以f （﹣x ）＝﹣x （1+x ）＝﹣f （x ）， 故f （x ）＝x （1+x ）． 故答案为：x （1+x ）．14．函数f （x ）＝3sin （2x −π3）的图象为C ，如下结论中正确的是 ①②③ ①图象C 关于直线x =1112π对称；②图象C 关于点（2π3，0）对称；③函数即f （x ）在区间（−π12，5π12）内是增函数；④由y ＝3sin2x 的图角向右平移π3个单位长度可以得到图象C ．【分析】把x =1112π代入2x −π3求值，只要是π2的奇数倍，则①正确，把横坐标代入2x −π3求值，只要是π的倍数，则②对；同理由x 的范围求出2x −π3的范围，根据正弦函数的单调区间判断③是否对，因为向右平移故把x ＝x −π3代入2x −π3进行化简，再比较判断④是否正确． 解：①、把x =1112π代入2x −π3得，2×11π12−π3=3π2，故①正确； ②、把x =2π3代入2x −π3得，2×2π3−π3=π，故②正确； ③、当x ∈(−π12，5π12)时，求得2x −π3∈(−π2，π2)，故③正确； ④、有条件得，f(x)=3sin(2x −π3)=3sin2(x −π6)，故④不正确． 故答案为：①②③．15．当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减．按照惯例，人们将每克组织的碳14含量作为一个单位大约每经过5730年，一个单位的碳14衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了．如果用一般的放射性探测器不能测到碳14，那么死亡生物组织内的碳14至少经过了 10 个“半衰期”．【提示：12=0.00195】【分析】设生物组织内原有的碳14含量为x ，需要经过n 个“半衰期”才不能被测到碳14，则x ⋅12n ＜11000x ，即12＜0.001，再根据参考数据即可得解． 解：设生物组织内原有的碳14含量为x ，需要经过n 个“半衰期”才不能被测到碳14， 则x ⋅1n ＜11000x ，即12＜0.001， 由参考数据可知，12=0.00195＞0.001，12=0.00195×12=0.000975＜0.001，∴n ＝10， 故答案为：10．16．设函数f(x)={|log 2x|，x ＞0，2x ，x ≤0，则函数g （x ）＝3f 2（x ）﹣8f （x ）+4的零点个数是 5 ． 【分析】利用复合函数的关系，结合函数与方程的关系进行转化，利用数形结合进行求解即可．解：由g （x ）＝3f 2（x ）﹣8f （x ）+4＝[3f （x ）﹣2][f （x ）﹣2]＝0， 得f(x)=23和f （x ）＝2，函数f(x)={|log 2x|，x ＞0，2x ，x ≤0的图象如图所示：由图可得方程f(x)=23和f （x ）＝2共有5个根，即函数g （x ）＝3f 2（x ）﹣8f （x ）+4有5个零点． 故答案为：5．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |﹣x 2+2x +15≤0}，B ＝{x ||x ﹣5|＜1}，求A ∪B ，（∁R A ）∩B ．【分析】可以求出集合A ，B ，然后进行交集、并集和补集的运算即可． 解：∵A ＝{x |x ≤﹣3或x ≥5}，B ＝{x |4＜x ＜6}， ∴A ∪B ＝{x |x ≤﹣3或x ＞4}， ∁R A ＝{x |﹣3＜x ＜5}， （∁R A ）∩B ＝{x |4＜x ＜5}．18．函数f （x ）＝A sin （ωx −π6）+1（A ＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，（Ⅰ）求函数f （x ）的解析式和当x ∈[0，π]时f （x ）的单调减区间；（Ⅱ）f （x ）的图象向右平行移动π12个长度单位，再向下平移1个长度单位，得到g （x ）的图象，用“五点法”作出g （x ）在[0，π]内的大致图象．【分析】（Ⅰ）根据条件求出A ，ω的值，即可求函数f （x ）的解析式，结合函数的单调性即可求当x ∈[0，π]时f （x ）的单调减区间；（Ⅱ）根据三角函数的图象平移关系求出g （x ）的解析式，利用五点法进行作图即可． 解：（Ⅰ）∵函数f （x ）的最大值是3， ∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T ＝π， ∴ω＝2．所以f （x ）＝2sin （2x −π6）+1 令π2+2k π≤2x −π6≤3π2+2k π，k ∈Z ， 即π3+k π≤x ≤5π6+k π，k ∈Z ， ∵x ∈[0，π]，∴f （x ）的单调减区间为[π3，5π6]．（Ⅱ）依题意得g （x ）＝f （x −π12）﹣1＝2sin （2x −π3）， 列表得：x 0 π65π122π311π12π2x −π3 −π3 0 π2π 3π25π3g （x ）−√32 0﹣2−√3描点（0，−√3），（π6，0），（5π12，2），（2π3，0），（11π12，﹣2），（π，−√3），连线得g（x）在[0，π]内的大致图象．19．已知定义域为R的函数f(x)=2xx−12是奇函数．（1）求实数a的值；（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义加以证明；（3）若对任意的x∈[1，2]，不等式f（x2﹣mx）+f（x2+4）＞0成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）令f（0）＝0；（2）利用单调性定义证明；（3）利用单调性的定义，转化为求2x2﹣mx+4＞0，利用参数分离法求出．【解答】解（1）由题意得：∵函数f(x)=2x2x+a−12是奇函数，定义域为R∴f（0）＝0，11+a−12=0解得a＝1．（2）f（x）=12⋅2x−12x+1，设x1，x2∈R，x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）=12（2x1−12x1+1−2x2−12x2+1）=12（2x1+x2+2x1−2x2−1−(2x1+x2−2x1+2x2−1)(2x1+1)(2x2+1)）=2x1−2x2(2x1+1)(2x2+1)＞0，故f（x）在R上单调递增；（3）任意的x∈[1，2]，不等式f（x2﹣mx）+f（x2+4）＞0，即f（x2﹣mx）＞f（﹣x2﹣4），所以2x2﹣mx+4＞0，m ＜2x +4x ，因为2x +4x ≥2√8=4√2，当且仅当x =√2成立，所以m ＜（2x +4x）min ＝4√2．20．一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O 距离水面1米；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时（图中点P 0）开始计算时间． （1）以水轮所在平面与水面的交线为x 轴，以过点O 且与水面垂直的直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P 距离水面的高度h （单位：米）表示为时间t （单位：秒）的函数；（2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P 距水面的高度超过2米？【分析】（1）设水轮上圆心O 正右侧点为A ，y 轴与水面交点为B ，建立三角函数关系式表示高度h 关于时间t 的函数；（2）由h 关于t 的函数，令h ≥2，求出t ∈[0，3]时的取值范围，再计算有多长时间即可． 解：（1）设水轮上圆心O 正右侧点为A ，y 轴与水面交点为B ，如图所示； 由OB ＝1，OP 0＝2，所以∠BOP 0=π3，所以∠AOP 0=π6； 设h ＝2sin （ωt −π6）+1，则T =2πω=3，解得ω=2π3； 所以点P 距离水面的高度h 关于时间t 的函数为 h ＝2sin （2π3t −π6）+1（t ≥0）；（2）由h ＝2sin （2π3t −π6）+1≥2，得sin （2π3t −π6）≥12；令t ∈[0，3]，则2π3t −π6∈[−π6，11π6]；由π6≤2π3t −π6≤5π6， 解得12≤t ≤32，又32−12=1，所以在水轮转动的任意一圈内，有1s 时间点P 距水面的高度超过2米．21．已知定义域在（0，+∞）上的函数f （x ）满足对于任意的x ，y ∈（0，+∞），都有f （xy ）＝f （x ）+f （y ），当且仅当x ＞1时，f （x ）＜0成立． （1）设x ，y ∈（0，+∞），求证f （yx ）＝f （y ）﹣f （x ）；（2）设x 1，x 2∈（0，+∞），若f （x 1）＜f （x 2），试比较x 1与x 2的大小； （3）若﹣1＜a ＜3，解关于x 的不等式f [x 2﹣（a +1）x +a +1]＞0． 【分析】（1）取y =yx •x ，代入已知等式即可证得结果；（2）由f （x 1）＜f （x 2），结合（1）中等式f （yx ）＝f （y ）﹣f （x ），得到f （x 1x 2）＜0，再根据当且仅当x ＞1时，f （x ）＜0成立得到x 1x 2＞1，从而得到x 1＞x 2；（3）在已知等式中取特值x ＝y ＝1求出f （1）＝0，由（2）可知函数f （x ）在定义域（0，+∞）上是减函数，在不等式f （x 2﹣（a +1）x +a +1）＞0中，用f （1）替换0后利用函数的单调性脱掉“f ”，则不等式的解集可求．【解答】（1）证明：∵f （xy ）＝f （x ）+f （y ），∴f （yx ）+f （x ）＝f （y ），∴f （yx）＝f （y ）﹣f （x ）；（2）解：∵f （x 1）＜f （x 2），∴f （x 1）﹣f （x 2）＜0， 又f （x 1x 2）＝f （x 1）﹣f （x 2），所以f （x 1x 2）＜0，∵当且仅当x ＞1时，f （x ）＜0成立，∴当f （x ）＜0时，x ＞1， ∴x 1x 2＞1，x 1＞x 2；（3）解：令x ＝y ＝1代入f （xy ）＝f （x ）+f （y ）得f （1）＝f （1）+f （1），f （1）＝0，∴f（x2﹣（a+1）x+a+1）＞0⇔f（x2﹣（a+1）x+a+1）＞f（1），由（2）可知函数f（x）在定义域（0，+∞）上是减函数，∴0＜x2﹣（a+1）x+a+1＜1，∵∀a∈（﹣1，3），△＝（a+1）2﹣4（a+1）＝a2﹣2a﹣3＜0；∴0＜x2﹣（a+1）x+a+1恒成立；故只需满足x2﹣（a+1）x+a+1＜1即x2﹣（a+1）x+a＜0成立即可；即（x﹣a）（x﹣1）＜0；当a∈（﹣1，1）时，x∈（a，1）；当a＝1时，x∈∅；当a∈（1，3）时，x∈（1，a）；综上可得：当a∈（﹣1，1）时，x∈（a，1）；当a＝1时，x∈∅；当a∈（1，3）时，x∈（1，a）．22．已知函数f（x）＝ax2﹣2x+1．（Ⅰ）若f（x）的值域为[0，+∞），求a的值；（Ⅱ）已知a≤12，是否存在这祥的实数a，使函数y=f(x)−log2x4在区间[1，2]内有且只有一个零点．若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）根据一元二次函数图象知若f（x）的值域为[0，+∞），则开口向上，△＝0即可；（Ⅱ）函数y=f(x)−log2x4在区间[1，2]内有且只有一个零点．即g（x）＝ax2﹣2x+3＝log2x＝h（x），等价于两个函数g（x）与h（x）的图象在[1，2]内有唯一交点，根据h（x）中a是否为零，以及图象开口方向与对称轴的位置讨论交点个数即可．解：（Ⅰ）函数f（x）的值域为[0，+∞），则{a＞0△=(−2)2−4a=0解得a＝1．（Ⅱ）由y=f(x)−log2x4=ax2−2x+3−log2x=0，即ax2﹣2x+3＝log2x令g（x）＝ax2﹣2x+3，h（x）＝log2x，x∈[1，2]，原命题等价于两个函数g（x）与h（x）的图象在[1，2]内有唯一交点．（1）当a ＝0时，g （x ）＝﹣2x +3在[1，2]上递减，h （x ）＝log 2x 在[1，2]上递增， 而g （1）＝1＞0＝h （1），g （2）＝﹣1＜1＝h （2）， ∴函数g （x ）与h （x ）的图象在[1，2]内有唯一交点．（2）当a ＜0时，g （x ）图象开口向下，对称轴为x =1a＜0，g （x ）在[1，2]上递减，h （x ）＝log 2x 在[1，2]上递增，g （x ）与h （x ）的图象在[1，2]内有唯一交点， 当且仅当{g(1)≥h(1)g(2)≤h(2)，即{a +1≥04a −1≤1，即﹣1≤a ≤12．∴﹣1≤a ＜0．（3）当0＜a ≤12时，g （x ）图象开口向上，对称轴为x =1a ≥2，g （x ）在[1，2]上递减，h （x ）＝log 2x 在[1，2]上递增，g （x ）与h （x ）的图象在[1，2]内有唯一交点， {g(1)≥h(1)g(2)≤h(2)，即{a +1≥04a −1≤1即−1≤a ≤12，∴0＜a ≤12．综上，存在实数a ∈[﹣1，12]，使函数y ＝f （x ）﹣log 2x4于在区间[1，2]内有且只有一个点．。
湖北省部分省重点中学2019-2020学年高一下学期期末联考数学试题解析版
π A． (0, )
4
ππ B． ( , )
42
ππ C． ( , )
43
D．（ ， ）
【答案】D
【 解 答 】 解 ： ∵ b=2 c2 + ac ∴ co= s B a2 + c2 −= b2 a2 −= ac a= − c sin A − sin C ，
2ac
2ac 2C
2sin C
2sin C co= s B sin A − sin C ，所以 sin B cos C − sin C cos B = sin C
23
12．在△ABC 中，a，b，c 分别为 A，B，C 的对边，O 为△ABC 的外心，且有 AB+BC＝ AC，
3
sinC（cosA﹣ 3 ）+cosCsinA＝0，若 AO = xAB + yAC, x, y ∈ R ，则 x﹣y＝（ ）
A．﹣2
B．2
C．
D．
【答案】A
【解答】解：设三角形的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，
A． 6a
B． 6 a 2
C． ( 3 +1)a
D． 3a
【答案】B 【解答】解：由图形知，在⊿ACD 中， ∠ACD=900，∠ADC=450，所以 AC=a，在⊿BCD 中，∠BCD=300，
∠CDB=1050，所以∠CBD=450，由正弦定理得
BC sin1050
=
sina45= 0 ，所以 BC
2
3x + 3 x + 2y 2 2
3) − 3 = 1 + 22
3
，所以
2x
+
y
的最小值为
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6
2
sinA sinB sinC
∴b2+c2=4 （sin2B+sin2C）=4+2sin（2B﹣ ）． 6
∵ ＜B＜ ，∴ 1 ＜sin（2B﹣ ）≤1，∴1≤2sin（2B﹣ ）≤2．
6
22
6
6
∴5＜b2+c2≤6．
故 b2 c2 的取值范围是 5, 6 .
【点睛】
本题考查三角函数的恒等变换，正弦定理的应用，其中判断 sin（2B﹣ ）的取值范围是本题 6
值以及取最大值时 n 的值都可求.
【详解】
（1）设an 的公差为 d ，由 a3 10 可得 a1 2d 10 ，由 S11 11 可得11a1 55d 11 ，
所以
aa11
2d 5d
10 1
，所以
ad1
16 3
，
所以 an 16 (n 1)(3) 3n 19 ；
（2）由
aann13n3n191600
2x
3
x
0,
2
2x
3
3
,
4 3
cos
2x
3
1,
1 2
当2x 即x 时，f x 2
3
3
min
当2x 即x=0时，f x 1
33
max
21．(1) A ； (2) (5, 6] . 3
【解析】
【分析】
（1）利用两角和差的正弦公式进行化简即可，求角 A 的大小；
因为 an 0 n N* ，所以 an an1 1
数列an 为等差数列，又由（1） a1 1， a2 2
所以 an n n N*
n2 9n,1 n 5 （3） bn 10 2n ，Tn n2 9n 40, n 6
1-16 参考答案
1．A 【解析】 【分析】
（2）先求得
2
B+C=
，根据 B、C 都是锐角求出 B 的范围，由正弦定理得到 b=2sinB，c=2sinC，
3
根据 b2+c2=4+2sin（2B﹣ ） 及 B 的范围，得 1 ＜sin（2B﹣ ）≤1，从而得到 b2+c2 的范
6
2
6
围．
【详解】
（1）由 sinA = sinB sinC cosA cosB cosC
（2）∵，
∴
，∴
，
∵
，
，∴
，
∵
，∴
.
18．（1） B 2 3
（2）
SABC
1 2
ac sin
B
3 4
3.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先由正弦定理将三角形的边角关系转化为角角关系，再利用两角和的正弦公
式和诱导公式进行求解；（Ⅱ）先利用余弦定理求出 ac 3 ，再利用三角形的面积公式进行求
20．（1） a b cos2x, a b 2cosx （2） f x 2 ； f x 1
min
max
【解析】
试题分析：
(Ⅰ)由平面向量数量积的坐标运算法则可得： a b cos2x ， a b 2cosx .
(Ⅱ)首先化简函数的解析式，然后结合三角函数的性质可得
f
x min
2
；
得 sinAcosB+sinAcosC=cosAsinB+cosAsinC，
即 sin（A﹣B）=sin（C﹣A），
则 A﹣B = C﹣A，即 2A=C+B，
即 A= ．. 3
（2）当 a=
3 时，∵B+C= 2 3
，∴C= 2 3
﹣B．由题意得
B＜ 2
0＜
2 3
B＜ 2
，
∴ ＜B＜ ．由 a b c =2，得 b=2sinB，c=2sinC，
列举出数列的前几项，找到数列的周期，由此求得 a2019 的值.
【详解】
依题意 a2
1
1 a1
，解得
16 3
n
19 3
，
所以当 n 6 时， Sn 有最大值，此时最大值为 S6 51 .
【点睛】
本题考查等差数列通项公式以及前 n 项和的综合应用，难度较易.其中第二问还可以先将 Sn 的
表达式求解出来，然后根据二次函数的对称轴以及开口方向亦可确定出 Sn 的最大值以及取最
大值时 n 的值.
3
19．（1） an 3n 19 ；（2）当 n 6 时， Sn 有最大值为 S6 51
【解析】 【分析】
（1）根据已知条件列出关于 a1, d 的方程组，求解出 a1, d 即可求出通项公式；
（2）利用 d 0 对应an 为递减等差数列，根据 aann1 00 确定出 n 的取值，从而 Sn 的最大
的难点． 22．【详解】
（1）解：由已知 Sn
an
an2 2
，
所以 a1 1， a2 2 ， a3 3 ，
猜想 an n
证明（2）当 n
2 时， Sn
an
an2 2
， Sn1
an1
a2 n1
2
所以 an
Sn
Sn1
an
an2 2
an1
a2 n1
2
得 an an1 an an1 1 0 ，
f
x max
1.
试题解析：
（1）
a
b
cos
3x 2
cos
x 2
sin
3x 2
sin
x 2
cos2x
a b 2 2cos2x 4cos2x
x
0,
2
cosx 0
a b 2cosx
（2）由（1）知： f x cos2x
3 2cosx sinx
cos2x
3sin2x
2cos
2 又 0 B π，所以 B 2π .
3
（Ⅱ）由余弦定理有 b2 a2 c2 2accosB a c2 2ac 2accos 2π ，解得
3
ac
3 ，所以 S
ABC
1 acsinB 2
33 4
点睛：在利用余弦定理进行求解时，往往利用整体思想，可减少计算量，若本题中的
b2 a2 c2 2accosB a c2 2ac 2accos 2π .
解.
试题解析：（Ⅰ）由 cosB b cosB sinB cosC 2a c cosC 2sinA sinC
2 s iAn c oBs cBo s Csi n B s i nC c o s
2 s iAn c oBs cBo s Cs i n B s i nC c o s
2 s iAn c oBs s iBn C 2sinAcosB sinA cosB 1
武汉市部分重点中学 2019～2020 学年度下学期高一期中 数学试卷参考答案
一：选择题 ACDBB DDACB DB 二：填空题
13. ④⑤
14 . 2 （或120 ）
3
三，解答题
15. 1 2020
17．（1）
或
；（2）
【解析】
解：（1）设
，∵ ，
，∴
16. 3 3
，∴
，
∵
，∴
，∴
，即
，
∴
或
∴
或