导数的概念PPT课件(1)
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h0
h
h0 h 0.
即 (C ) 0.
9
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例5 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 4
解：(sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
h
lim cos( x
h0
h) sin 2 2h
cos
x.
2 即 (sin x) cos x.
定理2.1.2 凡可导函数都是连续函数.
证 设函数 f ( x)在点 x0可导, 即
lim y x0 x
f ( x0 )
有
lim y
x0
lim
x0
y x
x
f
(
x0
)
lim
x0
x
0
函数 f ( x)在点 x0连续 .
注意: 该定理的逆定理不成立.
15
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例10 讨论函数 f ( x) x 在x 0处的可导性.
1.左导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
2.右导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
定理2.1.1
函数 f ( x)在点x0 处可导 左导数 f( x0 ) 和右 导数 f( x0 )都存在且相等.
解: f (0 h) f (0) h ,
导数的概念课件
03
通过求解能量和功率函数的导数，可以得到物体的能量守恒关
系。
05
导数的实际应用案例 分析
导数在经济学中的应用案例分析
边际分析和最优化问题
导数可以用来分析经济函数的边际变化，帮助决策者找到经 济活动的最优解。例如，在生产函数中，通过求导可以找到 生产要素的最佳组合。
弹性分析
复合函数的导数
复合函数的导数是内外函数导数的乘积
$(f(g(x)))' = f'(g(x)) \times g'(x)$
举例
$(sin(x^2))' = cos(x^2) \times 2x$
03
导数在几何中的应用
导数在曲线切线中的应用
切线的斜率
导数可以用来表示曲线在某一点 的切线斜率，斜率越大，曲线在
THANKS
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该点的变化率越大。
切线的方向
导数还可以用来确定曲线在某一 点的切线方向，即函数值增加或
减少最快的方向。
极值点与拐点
导数的符号可以用来判断函数在 某一点的极值点与拐点，当一阶 导数大于0时，函数在该点单调 递增；当一阶导数小于0时，函
数在该点单调递减。
导数在曲线长度中的应用
曲线长度的计算
通过利用导数求出曲线的斜率， 可以计算出曲线的长度，即曲线 与x轴围成的面积。
导数可以用来计算需求的弹性，即需求量对价格变动的敏感 程度。这可以帮助企业了解产品价格的变动对市场需求的影 响，从而制定更合理的定价策略。
导数在物理学中的应用案例分析
速度和加速度
在物理学中，导数被用来表示物体的 速度和加速度。例如，一个物体的位 移对时间的导数就是它的速度，速度 对时间的导数就是它的加速度。
导数的概念 课件
刻t0的速度．Δt越小， v 就越接近于时刻t0的速度，当Δt→0
时，这个平均速度的极限v＝ lim Δt→0
ΔS Δt
＝
lim
Δt→0
St0＋Δt－St0 Δt
就
是物体在时刻t0的速度即为________．
2．导数的概念．
设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当Δx
无限趋近0时，比值
Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝
lim
Δx→0
Δy Δx
.我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的
导数．记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ lim Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0.
Δy Δx
＝
lim
Δx→0
3．对导数概念的理解 (1)“导数”是从现实生活中大量类似问题里，撇开一些 量的具体意义，单纯地抓住它们数量上的共性而提取出来的 一个概念，所以我们应很自然的理解这个概念的提出与其实 际意义． (2)某点导数即为函数在这点的变化率．某点导数概念包 含着两层含义：
∴y′＝ lim
Δx→0
1 x＋Δx＋
＝1 x2
x.
∴y′|x＝1＝12.
题型三 导数的应用 例3 某物体按照s(t)＝3t2＋2t＋4的规律作直线运动，求 自运动开始到4s时，物体运动的平均速度和4s时的瞬时速度． 分析 解答本题，可先求自运动开始到ts时的平均速度v(t) 及函数值的增量Δs，自变量的增量Δt，再利用公式求解即可．
解
自运动开始到ts时，物体运动的平均速度
－v
(t)＝
st t
＝3t＋2＋
4 t
，故前4秒物体的平均速度为
第一节-导数的概念及运算定积分ppt课件
谨记结论·谨防易错 (1)f′(x0)代表函数 f(x)在 x＝x0 处的导数值；(f(x0))′是函数值 f(x0)的导 数，且(f(x0))′＝0. (2)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．周期函数的导数还是 周期函数． (3)f1x′＝－f[′fxx]2. (4)曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线 相切只有一个公共点．
3．在桥梁设计中，桥墩一般设计成圆柱形，因为其各向受力均衡，而且在相
同截面下，浇筑用模最省．假设一桥梁施工队在浇筑桥墩时，采用由内向
外扩张式浇筑，即保持圆柱高度不变，截面半径逐渐增大，设圆柱半径关
于时间变化的函数为 R(t)．若圆柱的体积以均匀速度 c 增长，则圆柱的侧面
积的增长速度与圆柱半径
()
A．成正比，比例系数为 c
四、“基本活动经验”不可少 为了响应国家节能减排的号召，甲、乙两个工厂进行了污 水排放治理，已知某月内两厂污水的排放量 W 与时间 t 的关系如图所示． (1)该月内哪个厂的污水排放量减少得更多？ (2)在接近 t0 时，哪个厂的污水排放量减少得更快？ 答案：(1)乙 (2)甲
在日常生 活中， 随处都 可以看 到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
记法
记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝li m Δx→0
ΔΔxy＝
li m fx0＋Δx－fx0
Δx→0
Δx
几何 是曲线y＝f(x)在点 (x0，f(x0)) 处的 切线的斜率 ，相应的切线方程为 意义 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
在日常生 活中， 随处都 可以看 到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
3．在桥梁设计中，桥墩一般设计成圆柱形，因为其各向受力均衡，而且在相
同截面下，浇筑用模最省．假设一桥梁施工队在浇筑桥墩时，采用由内向
外扩张式浇筑，即保持圆柱高度不变，截面半径逐渐增大，设圆柱半径关
于时间变化的函数为 R(t)．若圆柱的体积以均匀速度 c 增长，则圆柱的侧面
积的增长速度与圆柱半径
()
A．成正比，比例系数为 c
四、“基本活动经验”不可少 为了响应国家节能减排的号召，甲、乙两个工厂进行了污 水排放治理，已知某月内两厂污水的排放量 W 与时间 t 的关系如图所示． (1)该月内哪个厂的污水排放量减少得更多？ (2)在接近 t0 时，哪个厂的污水排放量减少得更快？ 答案：(1)乙 (2)甲
在日常生 活中， 随处都 可以看 到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
记法
记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝li m Δx→0
ΔΔxy＝
li m fx0＋Δx－fx0
Δx→0
Δx
几何 是曲线y＝f(x)在点 (x0，f(x0)) 处的 切线的斜率 ，相应的切线方程为 意义 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
在日常生 活中， 随处都 可以看 到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
导数的概念及运算ppt课件演示文稿(1)
原函数
f(x)=
x
导函数
f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=________
f(x)=xa(a为常数) f(x)=ax(a＞0且a¹1) f(x)=logax(a＞0且a¹1) f(x)=ex f(x)=ln x f(x)=sin x f(x)=cos x
为7和-7.所以切线方程为y-2=7(x-2)和y-2=-7(x+5)，
化简可得切线方程为7x-y-12=0和7x+y+33=0.
经典例题
题型一 导数的定义
【例1】 设函数f(x)存在导数，当t无限趋近于0时，化 简 f a 4t f a 5t =________.
t
f a 4t f a 5t 解： t f a 4t f a f a f a 5t t f a 4t f a f a 5t f a 4 5, 4t 5t
[ g x ]2
f x2 f x1 x2 x1
基础达标
1. 函数f(x)=2x+b在区间[m，n]上的平均变化率为________．
f x 2. 若f′(x0)=2，则当k无限趋近于0时，
0
k f x0 2k
=________.
3. 函数y=x3+cos x的导数为________．
6. 复合函数的导数 一般地，若y=f(u)，u=ax+b，则y′x=y′u〓u′x, 即
导数的概念(1)课件人教新课标
f '(6)=5 说明在第6h附近，原油温度 大约以5 ℃/h的速度上升；
练习1、以初速度为v0(v0>0)作竖直上抛
运动的物体，t秒时的高度为h(t)=v0t--12gt2,
求物体在时刻t0时的瞬时速度。
h
v0
(t0
t)
1 2
g (t0
t)2
v0t0
1 2
gt02
(v0
gt0
)t
1 2
gt
2
x) x
f
(x0 ) 不存在，则称
函数在点x0处不可导。
物体的运动方程 s=s(t)在t0处的导数 即在t0处的瞬时速度vt0
函数y=f(x)在x0处的导数 即曲线在x0处的切线斜率．
导数可以描述任何事物的瞬时变化率． 瞬时变化率除了瞬时速度，切线的斜率 还有：点密度，国内生产总值(GDP)的增
v lim s lim g 6 t 3g 29.4m / s
t0 t t0 2
一般结论
设物体的运动方程是 s=s(t),
物体在时刻 t 的瞬时速度为 v ,
就是物体在 t 到 t+△t 这段时间内,
当△t→0 时平均速度的极限 ，即
v lim s lim st t st
t0 t
或
即
f
x0
lim
x0
y x
lim
x0
f x0
x
x
f
x0
注意：
1、函数应在点的附近有定义， 否则导数不存在。
2、在定义导数的极限式中，△x趋近于0 可正、可负，但不为0，而△y可能为0。
3、导数是一个局部概念，它只与函数在x0 及其附近的函数值有关，与△x无关。
练习1、以初速度为v0(v0>0)作竖直上抛
运动的物体，t秒时的高度为h(t)=v0t--12gt2,
求物体在时刻t0时的瞬时速度。
h
v0
(t0
t)
1 2
g (t0
t)2
v0t0
1 2
gt02
(v0
gt0
)t
1 2
gt
2
x) x
f
(x0 ) 不存在，则称
函数在点x0处不可导。
物体的运动方程 s=s(t)在t0处的导数 即在t0处的瞬时速度vt0
函数y=f(x)在x0处的导数 即曲线在x0处的切线斜率．
导数可以描述任何事物的瞬时变化率． 瞬时变化率除了瞬时速度，切线的斜率 还有：点密度，国内生产总值(GDP)的增
v lim s lim g 6 t 3g 29.4m / s
t0 t t0 2
一般结论
设物体的运动方程是 s=s(t),
物体在时刻 t 的瞬时速度为 v ,
就是物体在 t 到 t+△t 这段时间内,
当△t→0 时平均速度的极限 ，即
v lim s lim st t st
t0 t
或
即
f
x0
lim
x0
y x
lim
x0
f x0
x
x
f
x0
注意：
1、函数应在点的附近有定义， 否则导数不存在。
2、在定义导数的极限式中，△x趋近于0 可正、可负，但不为0，而△y可能为0。
3、导数是一个局部概念，它只与函数在x0 及其附近的函数值有关，与△x无关。
导数的概念-课件-导数的概念
导数在现代数学中的地位和作用
基本概念
导数是现代数学的基本概念之一，是研究函数性质和解决实际问题的 重要工具。
数学分析
导数是数学分析的重要分支，是研究函数的可微性、可导性和连续性 的基础。
应用领域
导数的应用领域非常广泛，不仅限于数学和物理领域，还涉及到工程 学、经济学和计算机科学等多个领域。
数学建模
导数的应用发展
物理学
工程学
导数在物理学的各个分支中都有广泛的应 用，如力学、电磁学、热学等。
在机械工程、航空航天工程、土木工程等 领域，导数被用于优化设计、控制工程和 流体力学等方面。
经济学
计算机科学
导数在经济学中被用于研究经济系统的变 化率和最优决策问题。
在计算机图形学、数值分析和机器学习等 领域，导数被用于计算图像处理、数据拟 合和模型训练等方面。
高阶导数在研究函数的极值、拐 点、曲线的形状等方面有重要应 用。
微分学基本定理
微分学基本定理的内容
微分学基本定理是导数与微分之间的关系，即函数在某点的导数 等于该函数在该点的切线的斜率。
微分学基本定理的推导
通过极限的概念和性质，利用切线斜率的定义推导出微分学基本定 理。
微分学基本定理的应用
微分学基本定理是微分学的基础，在研究函数的增减性、极值、曲 线的形状等方面有重要应用。
复合函数求导法则
若$y = f(u)$和$u = g(x)$都可导， 则复合函数$y = f[g(x)]$的导数为 $(y)' = u' cdot (u)' = u' cdot v'$。
隐函数的导数
由显函数表示的隐函数求 导
若由显函数$F(x, y) = 0$表示的隐函数为$y = f(x)$，则通过求偏导数$frac{partial F}{partial x}$和$frac{partial F}{partial y}$ ，可以得到隐函数$y = f(x)$的导数。
导数的概念-课件-导数的概念(第一课时)
总结导数的理论知识和实 际应用，鼓励学生深入学 习和探索导数。
小结
1 本次课程的重点
总结本次课程的重点内容，帮助学生加深对导数概念的理解。
2 理解和应用
P强调学生对导数的理解和应用，鼓励他们练习导数的求法和应用方法。
导数的概念-课件-导数的 概念(第一课时)
导数的概念-课件-导数的概念(第一课时) 大纲
引言
1 重要性
深入讲解导数的重要性，为学生明确学习目标。
2 概念的含义
引导学生思考导数概念的含义，激发他们对导数的兴趣。
导数的定义
1 定义及公式
详细讲解导数的定义及公式，帮助学生掌握导数的基本概念。
2 导数与函数的关系
讲解导数对函数的单调性的影响，帮助学生分析 函数图像。
求导法则
简要介绍常数函数、幂函数、指数函数、对数函 数及三角函数的求导法则。
应用
1 使用导数求函数极值 2 其它应用领域
3 理论与实际应用
教授使用导数求函数极值 的方法，帮助学生应用导 数解决实际问题。
介绍导数在其他领域的应 用，引发学生对导数的更 多思考。
解释导数与函数的关系，帮助学生理解导数在函数中的应用。
3 使用举例解释
通过举例解释导数的定义，让学生更好地理解导数的具体应用。
导数的性质
可加性和可乘性
介绍导数的可加性和可乘性，帮助学生理解导数 在数学运算中的灵活性。
图形意义
解释导数在图形上的意义，让学生从图像中探索 导数
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所以
s4 0.295g v4 2.95g (m / s) t4 0.1
设在[2.99，3]内的平均速度为v5，则
s5 0.02995 g v5 2.995g (m / s) t5 0.01
设在[2.999，3]内的平均速度为v6，则
s6 0.0029995 g v6 2.9995g (m / s) t6 0.001
函数在点x0处不可导。
物体的运动方程 s=s(t)在t0处的导数
即在t0处的瞬时速度vt0
函数y=f(x)在x0处的导数 即曲线在x0处的切线斜率．
导数可以描述任何事物的瞬时变化率． 瞬时变化率除了瞬时速度，切线的斜率 还有：点密度，国内生产总值(GDP)的增 长率，经济学上讲的一切边际量 等．
各种情况的平均速度 △t>0 0.1 0.01 0.001 v 3.05g 3.005g 3.0005g △t<0 -0.1 -0.01 -0.001 v 2.95g 2.995g 2.9995g
当△t→0时，
物体的速度趋近于一个确定的值3g
在 t=3s 这一时刻的瞬时速度等于
在 3s 到 (3+△t)s 这段时间内的平均速度
s s t t s t v lim lim t 0 t t 0 t
例２、
y
y f ( x)
相交
o
P
x
再来一次
y f ( x)
y
Q Q Q P
再来一次
x x2x 3
Байду номын сангаас
T
o
1
x
上面我们研究了切线的斜率问题,
可以将以上的过程概括如下： 设曲线C是函数 y=f(x) 的图象， 在曲线C上取一点 P及P点邻近的任一点 Q(x0+△x,y0+△y) , 过P,Q两点作割线，
f f ( 2 x ) f ( 2) x x
f(x)=x2-7x+15
(2 x) 2 7(2 x) 15 (22 7 2 15) x
4x x 2 7x x
x 3
f lim (x 3) 3 所以，f (2) lim x 0 x x 0
f x0 x f x0 y lim lim x 0 x x 0 x
上式称为函数y=f(x)在x=x0处的导数 记作： f x0 或 y x x0 即
f x0 x f x0 y f x0 lim lim x0 x x0 x
s3 0.0030005 g v3 3.0005g (m / s) t3 0.001
例1是计算了[3，3+△t]当 t=0.1,t=0.01,t=0.001时的平均速度。 上面是计算了△t>0时的情况 下面再来计算△t<0时的情况
解：设在[2.9，3]内的平均速度为v4，则 △t1=3-2.9=0.1(s) △s1=s(3)-s(2.9)= 0.5g×32-0.5g×2.92 =0.295g(m)
注意：
1、函数应在点的附近有定义， 否则导数不存在。 2、在定义导数的极限式中，△x趋近于0
可正、可负，但不为0，而△y可能为0。
3、导数是一个局部概念，它只与函数在x0 及其附近的函数值有关，与△x无关。
f ( x0 x) f ( x0 ) 4、若极限 lim 不存在，则称 x 0 x
则直线PQ的斜率为
( y0 y) y0 y k PQ xQ xP ( x0 x) x0 x yQ yP
当直线PQ转动时，Q逐渐向P靠近，
也即△x 变小
当△x→0时，PQ无限靠近PT 因此：
k PT lim k PQ
x 0
f ( x0 x) f ( x0 ) y lim lim x 0 x x 0 x
同理可得
f '(6)=5
f (2) 3
说明在第2h附近，原油温度 大约以3 ℃/h的速度下降；
f '(6)=5
第三章 导数及其应用
3.1.2 导数的概念
平均速度不一定能反映物体在某一时刻
的运动情况。 自由落体运动中，物体在不同时刻的 速度是不一样的。 物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
例1、自由落体运动的运动方程为s=
1 2 2 gt ，
计算t从3s到3.1s， 3.01s ， 3.001s 各段时间
当△t→0的极限， s g v lim lim 6 t 3g 29.4m / s t 0 t t 0 2
一般结论 设物体的运动方程是 s=s(t),
物体在时刻 t 的瞬时速度为 v ,
就是物体在 t 到 t+△t 这段时间内,
当△t→0 时平均速度的极限 ，即
内的平均速度（位移的单位为m）。 解：设在[3，3.1]内的平均速度为v1，则
△t1=3.1-3=0.1(s) △s1=s(3.1)-s(3)= 0.5g× 3.12-0.5g×32
=0.305g(m)
s1 0.305g 3.05g (m / s) 所以 v1 t1 0.1
s2 0.03005g v2 3.005g (m / s) 同理 t2 0.01
例1、将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等 各种不同产品，需要对原油进行冷却和加 热。如果第xh时，原油的温度(单位：℃) 为f(x)=x2-7x+15 (0x 8).计算第2h和第6h 时，原油温度的瞬进变化率，并说明它们 的意义。 解：第2h和第6h时，原油温度的 瞬进变化率就是f ' (2)和f ' (6) 根据导数定义：
k PT lim k PQ
x 0
f ( x0 x) f ( x0 ) y lim lim x 0 x x 0 x
s s t t s t v lim lim t 0 t t 0 t
一般地，
函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是